相似三角形解题技巧及口诀 2
相似三角形六大证明技巧
相似三角形六大证明技巧一、AA（角角）相似准则这是最常用的相似三角形证明方法。
如果两个三角形的两个角分别相等，那么这两个三角形相似。
这是因为两个三角形如果两个角相等，那么第三个角也必然相等，从而保证了两个三角形的形状相同。
二、SAS（边角边）相似准则如果两个三角形的两边分别成比例，且夹角相等，那么这两个三角形相似。
这是因为两边成比例且夹角相等，可以保证两个三角形的形状相同。
三、SSS（边边边）相似准则如果两个三角形的三边分别成比例，那么这两个三角形相似。
这是因为三边成比例，可以保证两个三角形的形状相同。
四、HL（斜边和直角边）相似准则这个准则适用于直角三角形。
如果两个直角三角形的斜边和一条直角边分别成比例，那么这两个三角形相似。
这是因为斜边和直角边成比例，可以保证两个直角三角形的形状相同。
五、等比三角形如果两个三角形的对应边成等比，那么这两个三角形相似。
这是因为等比关系可以保证两个三角形的形状相同。
六、共线相似如果两个三角形有一条边共线，且这条边上的两个点分别与另一个三角形的两个点对应，那么这两个三角形相似。
这是因为共线关系可以保证两个三角形的形状相同。
相似三角形六大证明技巧一、AA（角角）相似准则这是最常用的相似三角形证明方法。
如果两个三角形的两个角分别相等，那么这两个三角形相似。
这是因为两个三角形如果两个角相等，那么第三个角也必然相等，从而保证了两个三角形的形状相同。
二、SAS（边角边）相似准则如果两个三角形的两边分别成比例，且夹角相等，那么这两个三角形相似。
这是因为两边成比例且夹角相等，可以保证两个三角形的形状相同。
三、SSS（边边边）相似准则如果两个三角形的三边分别成比例，那么这两个三角形相似。
这是因为三边成比例，可以保证两个三角形的形状相同。
四、HL（斜边和直角边）相似准则这个准则适用于直角三角形。
如果两个直角三角形的斜边和一条直角边分别成比例，那么这两个三角形相似。
这是因为斜边和直角边成比例，可以保证两个直角三角形的形状相同。
相似三角形口诀归纳
1A 字形，A ’形，8字形，蝴蝶形，双垂直,旋转形双垂直结论:射影定理：①直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项．②每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项 ⑴△ACD ∽△CDB →AD:CD=CD:BD →CD 2=AD •BD ⑵△ACD ∽△ABC →AC:AB=AD:AC →AC 2=AD •AB ⑶△CDB ∽△ABC →BC:AC=BD:BC →BC 2=BD •AB结论：⑵÷⑶得AC 2:BC 2=AD:BD结论：面积法得AB •CD=AC •BC →比例式 证明等积式(比例式)策略1、直接法：找同一三角形两条边变化：等号同侧两边同一三角形 三点定形法2、间接法： ⑴3种代换 ①等线段代换； ②等比代换； ③等积代换； ⑵创造条件 ①添加平行线——创造“A ”字型、“8”字型 ②先证其它三角形相似——创造边、角条件相似判定条件：两边成比夹角等、两角对应三边比 相似终极策略：遇等积，化比例，同侧三点找相似； 四共线，无等边，射影平行用等比； 四共线，有等边，必有一条可转换； 两共线，上下比，过端平行条件边。
彼相似，我角等，两边成比边代换。
（3）等比代换：若d c b a ,,,是四条线段，欲证dc b a =，可先证得fe b a =（fe ,是两条线段）然后证dc f e =，这里把fe 叫做中间比。
①∠ABC =∠ADE ．求证：AB ·AE =AC ·AD②△ABC 中，AB=AC ，△DEF 是等边三角形,求证：BD•CN=BM•CE ．③等边三角形ABC 中，P 为BC 上任一点，AP 的垂直平分线交AB 、AC 于M 、N 两点。
求证：BP •PC=BM •CN2FB ☞有射影，或平行，等比传递我看行斜边上面作高线，比例中项一大片①在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AD ⊥BC 于D ，E 为AC 的中点，求证：AB •AF=AC •DF②ABCD③梯形ABCD 中，AD//BC ，作BE//CD,求证：OC 2=OA.OE☞四共线，看条件，其中一条可转换；①Rt △ABC 中四边形DEFG 为正方形。
相似三角形六大证明技巧
回顾相似三角形的判定方法总结：1. 平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似.2. 三边成比例的两个三角形相似.（SSS ）3. 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. (SAS)4. 两角分别相等的两个三角形相似.(AA)5. 斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似(HL) 模型一：反A 型：如图，已知△ABC ，∠ADE =∠C ，若连CD 、BE ，进而能证明△ACD ∽△ABE (SAS) 试一试写出具体证明过程模型二：反X 型：如图，已知角∠BAO =∠CDO ，若连AD ，BC ，进而能证明△AOD ∽△BOC . 试一试写出具体证明过程应用练习：1. 已知△ABC 中，∠AEF=∠ACB ，求证：（1）AE AB AF AC ⋅=⋅（2）∠BEO=∠CFO ，∠EBO=∠FCO （3）∠OEF=∠OBC ，∠OFE=∠OCB相似三角形6大证明技巧相似三角形证明方法之反A 型与反X 型OF ECBA EDCBAO DCBA2.已知在 △ABC 中 ,∠ABC =90∘,AB =3,BC =4. 点 Q 是线段 AC 上的一个动点 , 过点 Q 作 AC 的垂线交线段 AB ( 如图 1) 或线段 AB 的延长线 ( 如图 2) 于点 P .(1)当点 P 在线段 AB 上时 , 求证： △APQ ∽ △ABC ； (2)当 △PQB 为等腰三角形时，求 AP 的长。
模型三：射影定理如图已知△ABC ，∠ACB =90°，CH ⊥AB 于H ，求证：2AC AH AB =⋅，2BC BH BA =⋅，，2HC HA HB =⋅，试一试写出具体证明过程模型四：类射影如图，已知2AB AC AD =⋅，求证：BD ABBC AC=，试一试写出具体证明过程相似三角形证明方法之射影定理与类射影CABHA BCD应用练习：1.如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F 。
九年级数学相似三角形的判定及证明技巧讲义
相似三角形是中学数学中的一个重要内容，对于九年级学生来说，掌握相似三角形的判定及证明技巧是必不可少的。
本文将详细讲解相似三角形的判定及证明技巧，帮助学生更好地理解和运用这一知识点。
一、相似三角形的判定：1.AAA相似判定法：如果两个三角形的对应角度相等，则这两个三角形是相似的。
例如，在△ABC和△DEF中，∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，那么这两个三角形相似。
2.AA相似判定法：如果两个三角形的一个角对等于另一个角，且两个角的对边成比例，则这两个三角形是相似的。
例如，在△ABC和△DEF 中，∠A=∠D，∠C=∠F，且AB/DE=BC/EF，那么这两个三角形相似。
3.SSS相似判定法：如果两个三角形的对应边成比例，则这两个三角形是相似的。
例如，在△ABC和△DEF中，AB/DE=BC/EF=AC/DF，那么这两个三角形相似。
4.平行线判定法：如果两个三角形的对应边平行，则这两个三角形是相似的。
例如，在△ABC和△DEF中，AB∥DE，BC∥EF，AC∥DF，那么这两个三角形相似。
二、相似三角形的证明技巧：1.用平行线证明相似：如果两个三角形的对应边平行，则这两个三角形是相似的。
证明时，可以使用平行线的性质，如同位角相等、内错角互补等。
2.用角度证明相似：如果两个三角形的对应角度相等，则这两个三角形是相似的。
证明时，可以根据已知信息，使用角度的性质进行推导。
3.用边长比证明相似：如果两个三角形的对应边长比相等，则这两个三角形是相似的。
证明时，可以根据已知的边长比，通过等式推导得出结论。
4.用等腰三角形证明相似：如果两个三角形分别为等腰三角形，且对应的顶角相等，则这两个三角形是相似的。
以上是常用的相似三角形的判定及证明技巧，希望对九年级的数学学习有所帮助。
在学习过程中，要多加练习，掌握不同方法的应用，提高解题能力。
同时，要注重理论与实践相结合，灵活运用知识，培养自己的思维能力和推理能力。
祝每位同学在数学学习中取得优异成绩！。
相似三角形解题方法、技巧、步骤、辅助线解析.
相似三角形解题方法、技巧、步骤、辅助线解析贵有恒何必三更眠五更起，最无益只怕一日曝十日寒。
一、相似、全等的关系全等和相似是平面几何中研究直线形性质的两个重要方面，全等形是相似比为1的特殊相似形，相似形则是全等形的推广．因而学习相似形要随时与全等形作比较、明确它们之间的联系与区别；相似形的讨论又是以全等形的有关定理为基础．二、两个三角形相似的六种图形：只要能在复杂图形中辨认出上述基本图形，并能根据问题需要添加适当的辅助线，构造出基本图形，从而使问题得以解决三、三角形相似的证题思路：判定两个三角形相似思路：1）先找两对内角对应相等(对平行线型找平行线)，因为这个条件最简单；2）再而先找一对内角对应相等，且看夹角的两边是否对应成比例；3）若无对应角相等，则只考虑三组对应边是否成比例；1、已知一对等角①找另一角，两角对应相等，两三角形相似；②找夹边对应成比例，两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似2、已知两边对应成比例①找夹角相等，两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；③找第三边也对应成比例，三边对应成比例，两三角形相似3、已知可能的一个直角三角形①找一个直角，斜边、直角边对应成比例，两个直角三角形相似；②找另一角，两角对应相等，两三角形相似③找两边对应成比例判定定理1或判定定理44、与等腰三角形有关的①找顶角对应相等判定定理1②找底角对应相等判定定理1③找底和腰对应成比例判定定理35、相似形的传递性若△1∽△2，△2∽△3，则△1∽3四、“三点定形法”，即由有关线段的三个不同的端点来确定三角形的方法。
具体做法是：先看比例式前项和后项所代表的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，若能，则只要证明这两个三角形相似就可以了，这叫做“横定”；若不能，再看每个比的前后两项的两条线段的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，则只要证明这两个三角形相似就行了，这叫做“竖定”。
有些学生在寻找条件遇到困难时，往往放弃了基本规律而去乱碰乱撞，乱添辅助线，这样反而使问题复杂化，效果并不好，应当运用基本规律去解决问题。
相似三角形证明技巧[整理]
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相似三角形解题方法、技巧、步骤、辅助线解析一、相似三角形(1)三角形相似的条件：① ；② ；③ . 二、两个三角形相似的六种图形：只要能在复杂图形中辨认出上述基本图形，并能根据问题需要舔加适当的辅助线，构造出基本图形，从而使问题得以解决.三、三角形相似的证题思路：判定两个三角形相似思路：1）先找两对内角对应相等(对平行线型找平行线)，因为这个条件最简单； 2）再而先找一对内角对应相等，且看夹角的两边是否对应成比例； 3）若无对应角相等，则只考虑三组对应边是否成比例；找另一角 两角对应相等，两三角形相似找夹边对应成比例 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似找夹角相等 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似 找第三边也对应成比例 三边对应成比例，两三角形相似 找一个直角 斜边、直角边对应成比例，两个直角三角形相似找另一角 两角对应相等，两三角形相似找两边对应成比例 判定定理2 找顶角对应相等 判定定理1 找底角对应相等 判定定理1 找底和腰对应成比例 判定定理3e)相似形的传递性 若△1∽△2，△2∽△3，则△1∽△3四、“三点定形法”，即由有关线段的三个不同的端点来确定三角形的方法。
具体做法是：先看比例式前项和后项所代表的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，若能，则只要证明这两个三角形相似就可以了，这叫做“横定”；若不能，再看每个比的前后两项的两条线段的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，则只要证明这两个三角形相似就行了，这叫做“竖定”。
有些学生在寻找条件遇到困难时，往往放弃了基本规律而去乱碰乱撞，乱添辅助线，这样反而使问题复杂化，效果并不好，应当运用基本规律去解决问题。
例1、已知:如图,ΔABC 中,CE ⊥AB,BF ⊥AC. 求证: BAAC AF AE（判断“横定”还是“竖定”？ ）a)已知一对等b)己知两边对应成比c)己知一个直d)有等腰关例2、如图，CD是Rt△ABC的斜边AB上的高，∠BAC的平分线分别交BC、CD于点E、F，AC·AE=AF·AB吗？说明理由。
相似三角形证明技巧(整理)
相似三角形解题方法、技巧、步骤、辅助线解析一、相似三角形(1)三角形相似的条件：①；② ；③ . 二、两个三角形相似的六种图形：只要能在复杂图形中辨认出上述基本图形，并能根据问题需要舔加适当的辅助线，构造出基本图形，从而使问题得以解决.三、三角形相似的证题思路：判定两个三角形相似思路：1）先找两对内角对应相等(对平行线型找平行线)，因为这个条件最简单； 2）再而先找一对内角对应相等，且看夹角的两边是否对应成比例； 3）若无对应角相等，则只考虑三组对应边是否成比例；找另一角 两角对应相等，两三角形相似找夹边对应成比例 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似找夹角相等 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似找第三边也对应成比例 三边对应成比例，两三角形相似找一个直角 斜边、直角边对应成比例，两个直角三角形相似找另一角 两角对应相等，两三角形相似找两边对应成比例 判定定理2 找顶角对应相等 判定定理1找底角对应相等 判定定理1找底和腰对应成比例 判定定理3e)相似形的传递性 若△1∽△2，△2∽△3，则△1∽△3四、“三点定形法”，即由有关线段的三个不同的端点来确定三角形的方法。
具体做法是：先看比例式前项和后项所代表的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，若能，则只要证明这两个三角形相似就可以了，这叫做“横定”；若不能，再看每个比的前后两项的两条线段的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，则只要证明这两个三角形相似就行了，这叫做“竖定”。
有些学生在寻找条件遇到困难时，往往放弃了基本规律而去乱碰乱撞，乱添辅助线，这样反而使问题复杂化，效果并不好，应当运用基本规律去解决问题。
例1、已知:如图,ΔABC 中,CE ⊥AB,BF ⊥AC. 求证: BAAC AF AE（判断“横定”还是“竖定”？ ）a)已知一对等b)己知两边对应成比c)己知一个直d)有等腰关例2、如图，CD是Rt△ABC的斜边AB上的高，∠BAC的平分线分别交BC、CD于点E、F，AC·AE=AF·AB吗？说明理由。
初中相似三角形几何证明技巧
初中相似三角形几何证明技巧相似三角形是指具有相同形状但大小不同的两个三角形。
在初中的几何学中，相似三角形是一个重要的概念，学生们需要学会如何证明两个三角形是相似的。
下面，我将介绍几种常用的相似三角形几何证明技巧。
1.AA相似定理证明法AA相似定理指出，如果两个三角形的两个角分别相等，那么这两个三角形是相似的。
在证明中，可以先找到两个对应的角相等，然后通过其他已知条件来证明另外两个对应的角也相等。
最后，根据AA相似定理，可以得出两个三角形是相似的。
2.SAS相似定理证明法SAS相似定理指出，如果两个三角形的两个对应边成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形是相似的。
在证明中，可以从已知条件出发，利用比例关系和夹角相等来证明两个对应边成比例。
最后，根据SAS相似定理，可以得出两个三角形是相似的。
3.SSS相似定理证明法SSS相似定理指出，如果两个三角形的三个对应边成比例，那么这两个三角形是相似的。
在证明中，同样可以从已知条件出发，利用三边成比例的关系来证明两个对应边成比例。
最后，根据SSS相似定理，可以得出两个三角形是相似的。
4.辅助线法辅助线法是一种常用的证明技巧，在通过辅助线的引入可以简化证明过程。
对于一些复杂的相似三角形问题，通过引入辅助线，可以将问题拆解成多个简单的相似三角形的证明。
这样，可以分步骤进行证明，更容易理解和思考。
5.割线法割线法是一种用于证明两个相似三角形的证明技巧。
通过在三角形内部或者外部引入割线，并证明割线和三角形的一些边成比例关系，从而导出相似三角形的结论。
这种证明方法常用于证明特殊的相似三角形问题。
总结起来，学习相似三角形的几何证明技巧需要掌握不同的相似定理和常用的辅助线法、割线法等技巧。
在解题过程中，需要灵活运用这些技巧和定理，从已知条件出发，逐步推导出证明结论。
通过反复练习和思考，可以提高解题的能力和几何推理的水平。
（完整版）相似三角形证明技巧（整理）
（完整版）相似三角形证明技巧（整理）相似三角形解题方法、技巧、步骤、辅助线解析一、相似三角形(1)三角形相似的条件：①；② ；③ . 二、两个三角形相似的六种图形：只要能在复杂图形中辨认出上述基本图形，并能根据问题需要舔加适当的辅助线，构造出基本图形，从而使问题得以解决.三、三角形相似的证题思路：判定两个三角形相似思路：1）先找两对内角对应相等(对平行线型找平行线)，因为这个条件最简单；2）再而先找一对内角对应相等，且看夹角的两边是否对应成比例； 3）若无对应角相等，则只考虑三组对应边是否成比例；找另一角两角对应相等，两三角形相似找夹边对应成比例两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似找夹角相等两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似找第三边也对应成比例三边对应成比例，两三角形相似找一个直角斜边、直角边对应成比例，两个直角三角形相似找另一角两角对应相等，两三角形相似找两边对应成比例判定定理2 找顶角对应相等判定定理1找底角对应相等判定定理1 找底和腰对应成比例判定定理3e)相似形的传递性若△1∽△2，△2∽△3，则△1∽△3四、“三点定形法”，即由有关线段的三个不同的端点来确定三角形的方法。
具体做法是：先看比例式前项和后项所代表的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，若能，则只要证明这两个三角形相似就可以了，这叫做“横定”；若不能，再看每个比的前后两项的两条线段的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，则只要证明这两个三角形相似就行了，这叫做“竖定”。
有些学生在寻找条件遇到困难时，往往放弃了基本规律而去乱碰乱撞，乱添辅助线，这样反而使问题复杂化，效果并不好，应当运用基本规律去解决问题。
例1、已知:如图,ΔABC 中,CE ⊥AB,BF ⊥AC. 求证: BAAC AF AE（判断“横定”还是“竖定”？） a)已知一对等b)己知两边对应成比c)己知一个直d)有等腰关例2、如图，CD是Rt△ABC的斜边AB上的高，∠BAC的平分线分别交BC、CD于点E、F，AC·AE=AF·AB吗？说明理由。
相似三角形的六大证明技巧大全
相似三角形的判定方法总结：1. 平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似.2. 三边成比例的两个三角形相似.（SSS ）3. 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. (SAS)4. 两角分别相等的两个三角形相似.(AA)5. 斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似(HL) 相似三角形的模型方法总结： “反A ”型与“反X ”型.示意图结论E D CB A反A 型：如图，已知△ABC ，∠ADE =∠C ，则△ADE ∽△ACB （AA ），∴AE ·AC =AD ·AB. 若连CD 、BE ，进而能证明△ACD ∽△ABE (SAS)O DCBA反X 型：如图，已知角∠BAO =∠CDO ，则△AOB ∽△DOC （AA ），∴OA ·OC =OD ·OB . 若连AD ，BC ，进而能证明△AOD ∽△BOC .“类射影”与射影模型示意图结论A BCD类射影：如图，已知△ABC ，∠ABD =∠C ，则△ABD ∽△ACB （AA ），∴2AB =AD ·AC. CABH射影定理如图，已知∠ACB =90°，CH ⊥AB 于H ，则222,,AC AH AB BC BH BA HC HA HB =⋅=⋅=⋅相似三角形6大证明技巧相似三角形证明方法“旋转相似”与“一线三等角”反A 型与反X 型已知△ABC 中，∠AEF=∠ACB ，求证：（1）AE AB AF AC ⋅=⋅（2）∠BEO=∠CFO ， ∠EBO=∠FCO （3）∠OEF=∠OBC ，∠OFE=∠OCBOF ECBA类射影如图，已知2AB AC AD =⋅，求证：BD ABBC AC= A BCD射影定理已知△ABC ，∠ACB =90°，CH ⊥AB 于H ，求证：2AC AH AB =⋅，2BC BH BA =⋅，2HC HA HB =⋅通过前面的学习，我们知道，比例线段的证明，离不开“平行线模型”（A 型，X 型，线束型），也离不开上述的6种“相似模型”. 但是，王老师认为，“模型”只是工具，怎样选择工具，怎样使用工具，怎样用好工具，取决于我们如何思考问题. 合理的思维方法，能让模型成为解题的利刃，让复杂的问题变简单。
相似三角形 方技巧
相似三角形方技巧
相似三角形是指具有相同形状但大小不同的三角形。
判断两个三角形是否相似有几种常用的方法和技巧。
1. AAA相似性，如果两个三角形的对应角度相等，则它们是相似的。
这是最简单的相似性判定方法之一。
例如，如果两个三角形的对应角分别为A1, A2, B1, B2, C1, C2，且A1=A2, B1=B2,
C1=C2，则这两个三角形是相似的。
2. 相似三角形的性质，相似三角形的对应边长之比相等。
这是相似三角形的重要性质，即如果两个三角形ABC和DEF是相似的，那么它们对应边长的比例相等，即AB/DE=BC/EF=AC/DF。
这一性质可以用来判断两个三角形是否相似，或者在已知两个三角形相似的情况下求出其边长比例。
3. SSS相似性，如果两个三角形的对应边长比例相等，则它们是相似的。
这是另一种判定相似性的方法。
例如，如果三角形ABC 和DEF满足AB/DE=BC/EF=AC/DF，则它们是相似的。
4. 相似三角形的判定定理，根据“角边角”、“边角边”和
“边边边”三种情况，可以判定两个三角形是否相似。
这些定理是在已知一些角度和边长的情况下判断三角形相似的重要方法。
5. 利用相似三角形的性质解决问题，在实际问题中，相似三角形的性质常常被用来解决各种长度、高度、距离等方面的问题。
例如，可以利用相似三角形的性质计算影子的长度、高度、建筑物的高度等等。
总的来说，判断和运用相似三角形的方法和技巧有很多种，需要根据具体的情况选择合适的方法来进行判断和运用。
希望以上信息能够帮助你更好地理解相似三角形的判定和运用。
相似三角形的判定定理2
相似三角形的判定定理2： 两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。
几何符号语言：
∴△ABC∽△A’B’C’ （两边对应成比例且夹角相 等的两个三角形相似。）
方法归纳：应用相似三角形判定定理2解题 时，角必须是两边成比例的夹角相等，切记 不可以是某一边的对角相等。
∴△ACD∽△CBD ∴∠ACD=∠B ∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=∠B+∠BCD=90°
证明：∵∠AED=∠B 又∠DAE=∠CAB
∴△AED∽△ABC（两角对应相等的应成比例且夹角相等 的两三角形相似）
D
4、如图在△ABC与△DEF中，已知∠C=∠F=70°， AC=3.5cm,BC=2.5cm,DF=2.1cm,EF=1.5cm 求证：△ABC∽△DEF
证明：∵AC=3.5cm,BC=2.5cm,DF=2.1cm,EF=1.5cm
∵∠C=∠F=70° ∴△ABC∽△DEF
证明：∵CD是边AB上的高 ∴∠ADC=∠CDB=90°
相似三角形口诀归纳
相似三角形口诀归纳相似图形你必须了解的特殊图形！A字形，A’形，8字形，蝴蝶形，双垂直,旋转形双垂直结论:射影定理：①直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项．②每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项⑴△ACD∽△CDB→AD:CD=CD:BD→CD2=AD•BD⑵△ACD∽△ABC→AC:AB=AD:AC→AC2=AD•AB⑶△CDB∽△ABC→BC:AC=BD:BC→BC2=BD•AB结论：⑵÷⑶得AC2:BC2=AD:BD结论：面积法得AB•CD=AC•BC→比例式证明等积式(比例式)策略1、直接法：找同一三角形两条边变化：等号同侧两边同一三角形三点定形法2、间接法：⑴3种代换①等线段代换；②等比代换；③等积代换；⑵创造条件①添加平行线——创造“A”字型、“8”字型②先证其它三角形相似——创造边、角条件相似判定条件：两边成比夹角等、两角对应三边比相似终极策略：遇等积，化比例，同侧三点找相似；四共线，无等边，射影平行用等比；四共线，有等边，必有一条可转换；两共线，上下比，过端平行条件边。
彼相似，我角等，两边成比边代换。
（3）等比代换：若dcba,,,是四条线段，欲证dcba=，可先证得feba=（fe,是两条线段）然后证dcfe=，这里把fe叫做中间比。
☞有射影，或平行，等比传递我看行斜边上面作高线，比例中项一大片ABCD☞四共线，看条件，其中一条可转换；①Rt △ABC 中四边形DEFG 为正方形。
求证：EF 2=BE •FC②AD 是△ABC 的角平分线，EF 垂直平分AD ，交BC 的延长线于E ，交AB 于F. 求证： DE 2=BE ·CE.☞两共线，上下比，过端平行条件边。
①AD 是△ABC 的角平分线.求证：AB:AC=BD:CD.②在△ABC 中，AB=AC ， 求证：DF:FE=BD:CE.FB A CDE 321E DABC12FEDBCA③在△ABC 中，AB >AC ，D 为AB 上一点，E 为AC 上一点，AD=AE ，直线DE 和BC 的延长线交于点P ，求证：BP:CP=BD:CE.☞彼相似，我条件，创造边角再相似 ①AE 2＝AD ·AB ，且∠ABE ＝∠BCE ，试说明△EBC ∽△DEB②D 为△ABC 内一点，连接BD 、AD ，以BC 为边在△ABC 外作∠CBE=∠ABD ，∠BCE=∠BAD ，求证：△DBE ∽△ABC 。
相似三角形解题技巧横看竖找等线段替换等比替换
关键字：横看竖找
例题1、如图AD是RtABC斜边上的高， DE DF且DE、DF
交AB、AC于点E、F，求证： AF • BD AD • BE
分析
A
先将问题化为比例式AF BE
AD BD
E
横看： AF与BE不能构成三角形
竖找： AF与AD，BE与BD分别
构成AFD和BED
B
C
AF AG
横看竖找发现均不能构成三角形
但由图形猜测AG BF可得到
BF
FC
这个可以找到相似三角形
AF BF
A
B
GF // AB由平行线分线段成比例GE AG EF FB
横看竖找发现均不能构成三角形
C 但能看到ABD与ACD相似得到
AB
BD
AC AD
故而只要证明DF BD即可得证！ AF AD
三、等线段替换法
例题3、在矩形ABCD中，E是CD的中点，BE AC
且交AC于F，过F作FG // AB，交AC于G点，
求证：AG2 AF • FC
分析
D
E
G
F
先将问题化为比例式AG FC
F
D
C
接下来就是利用条件证 明AFD和BED相似 由相似三角形性质 - -对应边成比例即可得证 ！
A
1
E
F
2
B
证明：
3
D
C
二、等比替换法
例题2、如图A在ABC中BAC 90，AD BC，
E是AC中点，ED延长线交AB延长线于点F，
求证：AB• AF AC • DF
分析
A
1
E
B
2
DF AC AF
相似三角形的证明
相似三角形解题方法、技巧、步骤、辅助线解析一、相似、全等的关系全等和相似是平面几何中研究直线形性质的两个重要方面，全等形是相似比为1的特殊相似形，相似形则是全等形的推广．因而学习相似形要随时与全等形作比较、明确它们之间的联系与区别；相似形的讨论又是以全等形的有关定理为基础． 二、相似三角形(1)三角形相似的条件：① ；② ；③ .三、两个三角形相似的六种图形：只要能在复杂图形中辨认出上述基本图形，并能根据问题需要舔加适当的辅助线，构造出基本图形，从而使问题得以解决.四、三角形相似的证题思路：判定两个三角形相似思路：1）先找两对内角对应相等(对平行线型找平行线)，因为这个条件最简单；2）再而先找一对内角对应相等，且看夹角的两边是否对应成比例； 3）若无对应角相等，则只考虑三组对应边是否成比例；找另一角两角对应相等，两三角形相似两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似找第三边也对应成比例三边对应成比例，两三角形相似斜边、直角边对应成比例，两个直角三角形相似找另一角两角对应相等，两三角形相似找两边对应成比例1或判定定理4 找顶角对应相等判定定理1找底角对应相等1 找底和腰对应成比例3e)相似形的传递性 若△1∽△2，△2∽△3，则△1∽△3五、“三点定形法”，即由有关线段的三个不同的端点来确定三角形的方法。
具体做法是：先看比例式前项和后项所代表的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，若能，则只要证明这两个三角形相似就可以了，这叫做“横定”；若不能，再看每个比的前后两项的两条线段的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，则只要证明这两个三角形相似就行了，这叫做“竖定”。
有些学生在寻找条件遇到困难时，往往放弃了基本规律而去乱碰乱撞，乱添辅助线，这样反而使问题复杂化，效果并不好，应当运用基本规律去解决问题。
a)已知一对等b)己知两边对应成比c)己知一个直d)有等腰关例1、已知:如图,ΔABC中,CE⊥AB,BF⊥AC.求证:BAACAF AE例2、如图，CD 是Rt △ABC 的斜边AB 上的高，∠BAC 的平分线分别交BC 、CD 于点E 、F ，AC ·AE=AF ·AB 吗？说明理由。
(完整版)相似三角形证明技巧(整理)
相似三角形解题方法、技巧、步骤、辅助线解析一、相似三角形(1)三角形相似的条件：①；② ；③ . 二、两个三角形相似的六种图形：只要能在复杂图形中辨认出上述基本图形，并能根据问题需要舔加适当的辅助线，构造出基本图形，从而使问题得以解决.三、三角形相似的证题思路：判定两个三角形相似思路：1）先找两对内角对应相等(对平行线型找平行线)，因为这个条件最简单； 2）再而先找一对内角对应相等，且看夹角的两边是否对应成比例； 3）若无对应角相等，则只考虑三组对应边是否成比例；找另一角 两角对应相等，两三角形相似找夹边对应成比例 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似找夹角相等 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似找第三边也对应成比例 三边对应成比例，两三角形相似找一个直角 斜边、直角边对应成比例，两个直角三角形相似找另一角 两角对应相等，两三角形相似找两边对应成比例 判定定理2 找顶角对应相等 判定定理1找底角对应相等 判定定理1 找底和腰对应成比例 判定定理3e)相似形的传递性 若△1∽△2，△2∽△3，则△1∽△3四、“三点定形法”，即由有关线段的三个不同的端点来确定三角形的方法。
具体做法是：先看比例式前项和后项所代表的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，若能，则只要证明这两个三角形相似就可以了，这叫做“横定”；若不能，再看每个比的前后两项的两条线段的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，则只要证明这两个三角形相似就行了，这叫做“竖定”。
有些学生在寻找条件遇到困难时，往往放弃了基本规律而去乱碰乱撞，乱添辅助线，这样反而使问题复杂化，效果并不好，应当运用基本规律去解决问题。
例1、已知:如图,ΔABC 中,CE ⊥AB,BF ⊥AC. 求证: BAAC AF AE（判断“横定”还是“竖定”？ ）a)已知一对等b)己知两边对应成比c)己知一个直d)有等腰关例2、如图，CD是Rt△ABC的斜边AB上的高，∠BAC的平分线分别交BC、CD于点E、F，AC·AE=AF·AB吗？说明理由。
6相似三角形证明技巧
相似三角形证明技巧姓名：_______________ 一、相似、全等的关系全等和相似是平面几何中研究直线形性质的两个重要方面，全等形是相似比为1的特殊相似形，相似形则是全等形的推广•因而学习相似形要随时与全等形作比较、明确它们之间的联系与区别；相似形的讨论又是以全等形的有关定理为基础.二、相似三角形■（1）三角形相似的条件：① ：②________________________________________________ :③_________________ . ______________可用口诀：遇等积，改等比，横看竖看找关系；三点定形用相似，三点共线取平截；平行线，转比例，等线等比来代替；两端各自找联系，可用射影和园幕.1、“三点定形法”：通过“横找” “竖看”寻找三角形，由有关线段的三个不同的端点来确定三角形的方法。
具体做法是：先看比例式前项和后项所代表的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，若能，则只要证明这两个三角形相似就可以了，这叫做“横定”；若不能, 再看每个比的前后两项的两条线段的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，则只要证明这两个三角形相似就行了，这叫做“竖定”。
例1、已知：如图，△ ABCF ,CE丄AB,BF丄AC. A求证:AE AC /V AF BA AB C例2、如图，CD是Rt△ ABC的斜边AB上的高，/ BAC的平分线分别交BC CD于点E、F, 求证：AC- AE=AF- AB例3、已知：如图，△ ABC中，/ ACB=90, AB的垂直平分线交AB于D,交BC延长线于F。
求证：C D=DE・ DR例3、如图在△ ABC 中, AD BE 分别是BG AC 边上的高，DF 丄AB 于F ,交AC 的延长线 于H,交BE 于G,求证：⑴FG/ FA = FB / FH (2) FD 是FG 与FH 的比例中项.说明：证明线段成比例或等积式，通常是借证三角形相似. 找相似三角形用三点定形法 (在比例式中,或横着找三点，或竖着找三点 )，若不能找到相似三角形，应考虑将比例式变形，找等积式代换，或 直接找等比代换例4、如图6，□ABCD 中, E 是BC 上的一点，AE 交BD 于点F ，已知BE EG 3: 1，S △ FBE = 18,求：(1) BF: FD (2)S△ FDA说明：线段BF 、FD 三点共线应用平截比定理•由平行四边形得出两线段平行且相等，再由“平 截比定理”得到对应线段成比例、三角形相似；由比例合比性质转化为所求线段的比；由面积比等 于相似比的平方，求出三角形的面积.2、过渡法(或叫代换法)有些习题无论如何也构造不出相似三角形，这就要考虑灵活地运用“过渡”，其主要类型有三 种：(1)等量过渡法(等线段代换法)遇到三点定形法无法解决欲证的问题时，即如果线段比例式中的四条线段都在图形中的同一条直 线上，不能组成三角形，或四条线段虽然组成两个三角形，但这两个三角形并不相似，那就需要 根据已知条件找到与比例式中某条线段相等的一条线段来代替这条线段，如果没有，可考虑添加 简单的辅助线。
谈相似三角形解题技巧与口诀
相似三角形解题技巧及口诀常见相似类型：A 字形，斜A 字形，8字形、斜8字形（或称X 型），双垂直（母子型），,旋转形【双垂直结论，即直角三角形射影定理】： 【1】直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；【2】 每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。
（1）ACD ∽△CDB →AD:CD=CD:BD →CD ²=AD •BD⑵ △ACD ∽△ABC →AC:AB=AD:AC →AC ²=AD •AB（3）CDB ∽△ABC →BC:AC=BD:BC →BC ²=BD •AB 结论：⑵÷⑶得AC ²:BC ²=AD:BD结论：面积法得AB •CD=AC •BC →比例式 【证明等积式(比例式)策略】: 1、直接法：找同一三角形两条边变化：等号同侧两边同一三角形， 三点定形法 2、间接法：对线段比例式或等积式的证明：常用等线段替换法、中间比过渡法、面积法等．若比例式或等积式所涉及的线段在同一直线上时，应将线段比“转移”(必要时需添辅助线)，使其分别构成两个相似三角形来证明．⑴3种代换 ①等线段代换； ②等比代换； ③等积代换； ⑵创造条件 ①添加平行线——创造“A ”字型、“8”字型②先证其它三角形相似——创造边、角条件相似判定条件：两边成比且夹角等、两角对应相等、三边对对应成比 【口诀】：遇等积，改等比，横看竖看找相似； 不相似，莫生气：等线等比来代替； 平行线，转比例，等线等比来代替；☞遇等积，改等比，横看竖看找相似①△ABC 中，AB=AC ，△DEF 是等边三角形， 求证：BD •CN=BM •CE ．证明：∵△ABC 中，AB=AC ，∴∠B=∠C ．∵△DEF 是等边三角形，∴∠FDE=∠FED ．∴∠MDB=∠AEC ． ∴△BDM ∽△CEN ． ∴CNBMCE BD 即∴BD •CN=BM •CE ．B C AD E反馈：如图，△ABC 是等边三角形，D 、E 在BC 所在的直线上，且AB •AC=BD •CE ． 求证：△ABD ∽△ECA ．证明：∵△ABC 是等边三角形（已知），∴∠ABC=∠ACB=60°（等边三角形的三内角相等，都等于60°），∴∠ABD=∠ACE （等角的补角相等）， 又AB •AC=BD •CE （已知），即ACCEBD AB =∴△ABD ∽△ECA （两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似）②等边三角形ABC 中，P 为BC 上任一点，AP 的垂直平分线交AB 、AC 于M 、N 两点。
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F E
D A B C
A 字形，A ’形，8字形，蝴蝶形，双垂直,旋转形
双垂直结论:射影定理：①直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项．②每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项
⑴△ACD ∽△CDB →AD:CD=CD:BD →CD 2=AD •BD ⑵△ACD ∽△ABC →AC:AB=AD:AC →AC 2=AD •AB ⑶△CDB ∽△ABC →BC:AC=BD:BC →BC 2=BD •AB 结论：⑵÷⑶得AC 2:BC 2=AD:BD
结论：面积法得AB •CD=AC •BC →比例式 证明等积式(比例式)策略
直接法：找同一三角形两条边
变化：等号同侧两边同一三角形 三点定形法 2、间接法： ⑴3种代换
①等线段代换； ②等比代换； ③等积代换； ⑵创造条件
①添加平行线——创造“A ”字型、“8”字型 ②先证其它三角形相似——创造边、角条件
相似判定条件：两边成比夹角等、两角对应三边比
相似终极策略：
遇等积，化比例，同侧三点找相似； 四共线，无等边，射影平行用等比； 四共线，有等边，必有一条可转换； 两共线，上下比，过端平行条件边。
彼相似，我角等，两边成比边代换。
（3）等比代换：若
是四条线段，欲证，可先证得
（
是两条线段）
然后证
，这里把叫做中间比。
①∠ABC=∠ADE ．求证：AB ·AE=AC ·AD
②△ABC 中，AB=AC ，△DEF 是等边三角形 求证：BD•CN=BM•CE ．
③等边三角形ABC 中，P 为BC 上任一点，AP 的垂直平分线交AB 、AC 于M 、N 两点。
求证：BP •PC=BM •CN
☞ 斜边上面作高线，比例中项一大片
①在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，
AD ⊥BC 于D ，E 为AC 的中点，求证：AB •AF=AC •DF
☞有射影，或平行，等比传递我看行
②ABCD
E A
D E A
C D B
C A
D E
D C B A
③梯形ABCD 中，AD//BC ，作BE//CD,
求证：OC 2=OA.OE
☞四共线，看条件，其中一条可转换； ①Rt △ABC 中四边形DEFG 为正方形。
求证：EF 2=BE •FC
②△ABC 中，AB=AC ，AD 是BC 边上的中线，CF ∥BA ， 求证：BP 2=PE·PF 。
③AD 是△ABC 的角平分线，EF 垂直平分AD ，
交BC 的延长线于E ，交AB 于F. 求证： DE 2=BE·CE.
☞两共线，上下比，过端平行条件边。
①AD 是△ABC 的角平分线. 求证：AB:AC=BD:CD.
②在△ABC 中，AB=AC ， 求证：DF:FE=BD:CE.
③在△ABC 中，AB>AC ，D 为AB 上一点，E 为AC 上一点，AD=AE ，直线DE 和BC 的延长线交于点P ，
求证：BP:CP=BD:CE.
④在△ABC 中，BF 交AD 于E.
(1)若AE:ED=2:3，BD:DC=3:2，求AF:FC ； (2)若AF:FC=2:7，BD:DC=4:3，求AE:ED.
（3）BD:CD=2:3,AE:ED=3:4， 求:AF:FC
⑤在△ABC 中，D 、E 分别为BC 的三等分点，AC 边上的中线BM 交AD 于P ，交AE 于Q ，若BM=10cm ，试求BP 、PQ 、QM 的长.
F
B
A
C
D E
12F E
D B
C A
P D
A
B C E E A B C D F
⑥△ABC 中，AC=BC ，F 为边AB 上的一点，
（m 、n ＞0），取CF 的中点D ， 连结AD
并延长交BC 于E.（1）的值.（2）如果BE=2EC ，那么CF 所在直线与边AB 有怎样的位置关系？
证明你的结论；（3）E 点能否为BC 中点？如果能，求出相应的的值；如果不能，证明你的结论。
☞彼相似，我条件，创造边角再相似
①AE 2＝AD·
AB ，且∠ABE ＝∠BCE ， 试说明△EBC ∽△DEB
②已知ABD ∆∽ACE ∆，求证：ABC ∆∽ADE ∆．
③D 为△ABC 内一点，连接BD 、AD ，以BC 为边在△ABC 外作∠CBE=∠ABD ，
∠BCE=∠BAD ，求证：△DBE ∽△ABC 。
④D 、E 分别在△ABC 的AC 、AB 边上， 且AE •AB=AD •AC ，BD 、CE 交于点O. 求证：△BOE ∽△COD .
O
C
D B
A E。