相似三角形解题技巧及口诀 2

F E

D A B C

A 字形，A ’形，8字形，蝴蝶形，双垂直,旋转形

双垂直结论:射影定理：①直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项．②每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项

⑴△ACD ∽△CDB →AD:CD=CD:BD →CD 2=AD •BD ⑵△ACD ∽△ABC →AC:AB=AD:AC →AC 2=AD •AB ⑶△CDB ∽△ABC →BC:AC=BD:BC →BC 2=BD •AB 结论：⑵÷⑶得AC 2:BC 2=AD:BD

结论：面积法得AB •CD=AC •BC →比例式 证明等积式(比例式)策略

直接法：找同一三角形两条边

变化：等号同侧两边同一三角形 三点定形法 2、间接法： ⑴3种代换

①等线段代换； ②等比代换； ③等积代换； ⑵创造条件

①添加平行线——创造“A ”字型、“8”字型 ②先证其它三角形相似——创造边、角条件

相似判定条件：两边成比夹角等、两角对应三边比

相似终极策略：

遇等积，化比例，同侧三点找相似； 四共线，无等边，射影平行用等比； 四共线，有等边，必有一条可转换； 两共线，上下比，过端平行条件边。 彼相似，我角等，两边成比边代换。 （3）等比代换：若

是四条线段，欲证，可先证得

（

是两条线段）

然后证

，这里把叫做中间比。

①∠ABC=∠ADE ．求证：AB ·AE=AC ·AD

②△ABC 中，AB=AC ，△DEF 是等边三角形 求证：BD•CN=BM•CE ．

③等边三角形ABC 中，P 为BC 上任一点，AP 的垂直平分线交AB 、AC 于M 、N 两点。 求证：BP •PC=BM •CN

☞ 斜边上面作高线，比例中项一大片

①在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，

AD ⊥BC 于D ，E 为AC 的中点，求证：AB •AF=AC •DF

☞有射影，或平行，等比传递我看行

②ABCD

E A

D E A

C D B

C A

D E

D C B A

③梯形ABCD 中，AD//BC ，作BE//CD,

求证：OC 2=OA.OE

☞四共线，看条件，其中一条可转换； ①Rt △ABC 中四边形DEFG 为正方形。 求证：EF 2=BE •FC

②△ABC 中，AB=AC ，AD 是BC 边上的中线，CF ∥BA ， 求证：BP 2=PE·PF 。

③AD 是△ABC 的角平分线，EF 垂直平分AD ，

交BC 的延长线于E ，交AB 于F. 求证： DE 2=BE·CE.

☞两共线，上下比，过端平行条件边。 ①AD 是△ABC 的角平分线. 求证：AB:AC=BD:CD.

②在△ABC 中，AB=AC ， 求证：DF:FE=BD:CE.

③在△ABC 中，AB>AC ，D 为AB 上一点，E 为AC 上一点，AD=AE ，直线DE 和BC 的延长线交于点P ，

求证：BP:CP=BD:CE.

④在△ABC 中，BF 交AD 于E.

(1)若AE:ED=2:3，BD:DC=3:2，求AF:FC ； (2)若AF:FC=2:7，BD:DC=4:3，求AE:ED.

（3）BD:CD=2:3,AE:ED=3:4， 求:AF:FC

⑤在△ABC 中，D 、E 分别为BC 的三等分点，AC 边上的中线BM 交AD 于P ，交AE 于Q ，若BM=10cm ，试求BP 、PQ 、QM 的长.

F

B

A

C

D E

12F E

D B

C A

P D

A

B C E E A B C D F

⑥△ABC 中，AC=BC ，F 为边AB 上的一点，

（m 、n ＞0），取CF 的中点D ， 连结AD

并延长交BC 于E.（1）的值.（2）如果BE=2EC ，那么CF 所在直线与边AB 有怎样的位置关系？

证明你的结论；（3）E 点能否为BC 中点？如果能，求出相应的的值；如果不能，证明你的结论。

☞彼相似，我条件，创造边角再相似

①AE 2＝AD·

AB ，且∠ABE ＝∠BCE ， 试说明△EBC ∽△DEB

②已知ABD ∆∽ACE ∆，求证：ABC ∆∽ADE ∆．

③D 为△ABC 内一点，连接BD 、AD ，以BC 为边在△ABC 外作∠CBE=∠ABD ，

∠BCE=∠BAD ，求证：△DBE ∽△ABC 。

④D 、E 分别在△ABC 的AC 、AB 边上， 且AE •AB=AD •AC ，BD 、CE 交于点O. 求证：△BOE ∽△COD .

O

C

D B

A E