数值计算方法复习提纲

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2) 解之即得(1）的最小二乘解
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❖ 一般曲线拟合
利用最小二乘原理求矛盾方程组的最小二乘解（会 计算） （★）
❖ 插值条件、插值点
❖ 插值多项式
插值多项式的存在、唯一性：
❖ 故Ln(x)与Nn(x)等价
Lagrang插值多项式（★）
❖ 构造
f (
x)
n
lk (
k0
x )yk
n
(
k0
n i0
(x ( xk
xi xi
) )
yk
ik
❖ 余项
n
lk ( x ) 1
k0
❖ 线性插值、抛物插值公式及其截断误差
复习
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02:59
第一章 绪论及误差估计
误差的来源、分类（★） 误差的估计（★）
❖ 绝对误差、绝对误差限 ❖ 相对误差、相对误差限 ❖ 有效数字 ❖ 和、差、积、商的误差
数值计算（近似计算）的基本原则（★）
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第2章 非线性方程求根
非线性方程求根的基本步骤（★）
第5章 最小二乘法与曲线拟合
最小二乘原理及正规方程组的构造（计算） （★）
❖ 多项式拟合： y=a0+a1x+…+amxm （1）
1) 对应的正规方程组：CTCa=CTy
n
n
xi
CTC
i0 n
xi2
i0
....
n
xim
n
xi
i0 n
xi2
i0
n
xi3
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱi0
....
n
xm1 i
(n)!
❖
推论：若f ( x ) Pn ( x ), f [ x0 Newton插值公式的构造（★）
,
,
xk
]
a0n,,kk
n n
1) 步骤
2) 估算某点的近似值：
❖ Nn(x)=f(x0)+f[x0,x1](x-x0)+…+f[x0,x1,…,xn] (x-x0)(x-x1)…(x-xn-1)
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❖ 追赶法
1) 适用于：三对角方程组
2) 实质：作Crout分解
❖ 改进平方根法
1) 适用条件：对称正定矩阵
2) 计算量减半
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迭代法：
❖ 向量与矩阵的范数： （★）
1) 向量范数：1-范数、2-范数、∞-范数
2) 矩阵范数（算子范数）：1-范数、2-范数、∞-范数
.... ....
.... .... ....
n
n xim
i0
n
x m 1 i
i0
n
,
xim2
i0
....
n
x
2 i
m
i0
yi
n
a
a0
a1
a2
,
C
T
...
am
y
i0
xi
yi
n
i0
xi2
yi
.....
n
xim yi
(3)
i0
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Hermit插值
❖ 基本思想 ❖ 插值多项式的构造方法
1) Lagrange型构造法（基函数构造法） 2) Newton型构造法（重节点的差商）
了解高次插值会产生Runge现象，解决办法：分段 低次插值（★）
了解三次样条插值的基本原理
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1) 充分条件： x=Bx+f， ||B||<1
2) 充要条件： x=Bx+f，B的谱半径 ( B ) <1 ❖ Jacobi迭代：
1) 公式：x=Jx+f（其中： J=I-D-1A，f=D-1b） 2) 收敛的条件： （★）
a) 充要条件： ( J ) <1
b) 充分条件：||J||<1 c) Ax=b的系数矩阵A （非迭代矩阵 J ） ：严格对角占优 3) 会手工计算（★）
1) 重根时的改进 2) 避免求一阶导数的改进：弦截法
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第3章 线性方程组求解
线性方程组的求解方法： （★）
❖ 直接法
❖ 迭代法
直接法：（各种方法的适用条件、手工计算）
❖ Guass顺序消元法
1) 适用条件： a) 系数矩阵A是严格对角占优的矩阵
n
|| aii | | aij |, A的每行主对角元的绝对值 同行其余元素的绝对值之和 ji i 1 b) 顺序阶主子式为正
2) 算法步骤（★ ★ ★ ）
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❖ 列主元Gauss消元法（★）
1) 选主元的必要性
2) 算法的改进
❖ Gauss-Jordan 消元法
1) 思想、方法
2) Gauss-Jordan消元法的应用：求矩阵的逆矩阵
❖ 三角分解法
1) Doolittle分解（★）
2) Crout分解（★）
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Newton插值
❖ 差商及其性质： （★）
1) 对称性 f [x0 ,, xk ] f [xi0 ,, xik ]
2)
f
[
x0 ,, xn
]
n i0
(
xi
x0
)(
xi
f ( xi ) xi1 )( xi
xi1
)(
xi
xn
)
f [x0 ,, xn ]
f (n) ( )
❖ 判断根存在性 ❖ 有根区间的隔离 ❖ 根的精确化
二分法求根
❖ 基本原理 ❖ 误差估计
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简单迭代法
❖ 迭代原理 ❖ 迭代格式的收敛性判断 ❖ 收敛速度的度量
Newton迭代法
❖ 原理 ❖ 算法步骤（★） ❖ 收敛的阶 ❖ 手工计算（★） ❖ newton迭代法的改进
d) 方程组Ax=b的系数矩阵A（非迭代矩阵）：对称正定
e) 若方程组的Jacobi迭代收敛并且||J||<q1，则该方程 组的Gauss-Seidel迭代也收敛
3) 能写出其迭代矩阵（★）
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么么么么方面
Sds绝对是假的
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第4章 插值法
插值的基本概念：
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❖ Guass-Seidel迭代法：Ax=b
1) 迭代公式：x=Gx+f ,其中 G=(D-L)-1U，f= =(D-L)-1 b
2) 收敛性判断： （★）
a) 充要条件： ( G ) <1
b) 充分条件：||G||<1
c) 方程组Ax=b的系数矩阵A（非迭代矩阵）：严格对角 占优
3)
矩阵的谱半径：
( A)
max
1 i n
|
i
|
a) ρ( A) ≤||A||
b) 若矩阵 A 对某个算子范数满足 ||A|| < 1， 则必有: I±A可逆、 I A1 1
1 || A ||
4) 矩阵的条件数： cond(A)=||A||||A-1||
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❖ 迭代法原理及收敛条件：求解 Ax=b （★）