2020年宁夏银川二中高考数学一模试卷(理科)(含答案解析)

2020年宁夏银川二中高考数学一模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合，0，1，2，，则A. 1，B. 0，1，C. 0，2，D. 1，2，2.若复数z满足，则z在复平面内对应的点位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.根据历年气象统计资料，某地四月份吹东风的概率为，既吹东风又下雨的概率为则在吹东风的条件下下雨的概率为A. B. C. D.4.展开式中含项的系数为A. B. 60 C. D. 1205.已知函数，下列结论错误的是A.B. 函数的图象关于直线对称C. 的最小正周期为D. 的值域为6.若等差数列和等比数列满足，，则A. B. 1 C. D. 47.已知，，，则A. B. C. D.8.在内接于球O的四面体ABCD中，有，，，若球O的最大截面的面积是，则t的值为A. 5B. 6C. 7D. 89.如图，网格纸上小正方形的边长为从A，B，C，D四点中任取两个点作为向量的始点和终点，则的最大值为A. 1B.C. 3D.10.设是等比数列的前n项和，，，成等差数列，且，则m等于A. 6B. 7C. 8D. 1011.设抛物线C：的焦点为F，抛物线C与圆：交于M，N两点，若，则的面积为A. B. C. D.12.已知实数a，b，c，d满足，则的最小值为A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若x，y满足约束条件，则的最大值为______．14.在发生公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”过去10日，A、B、C、D四地新增疑似病例数据信息如下：A地：中位数为2，极差为5；B地：总体平均数为2，众数为2；C地：总体平均数为1，总体方差大于0；D地：总体平均数为2，总体方差为3．则以上四地中，一定符合没有发生大规模群体感染标志的是______、______填A、B、C、15.已知双曲线的左、右焦点分别为、，过点作圆的切线交双曲线右支于点M，若，则双曲线的离心率为______．16.已知球、母线和直径相等的圆柱、正方体，它们的体积依次为，，，若它们的表面积相等，则：：______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足．求角B的大小；若的平分线AD交BC于D，，求的值．18.改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校所有的1000名学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B 的学生的支付金额分布情况如下：支付金额不大于元大于元支付方式仅使用A 27人3人仅使用B24人1人Ⅰ估计该校学生中上个月A，B 两种支付方式都使用的人数；Ⅱ从样本仅使用B的学生中随机抽取1人，求该学生上个月支付金额大于元的概率；Ⅲ已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用B的学生中随机抽查1人，发现他本月的支付金额大于元．结合Ⅱ的结果，能否认为样本仅使用B的学生中本月支付金额大于元的人数有变化？说明理由．19.如图，四棱锥的底面是平行四边形，，O是AD的中点，．求证：平面PAD；若，，点M在侧棱PD上，且，二面角的大小为，求直线BP与平面MAC所成角的正弦值．20.已知椭圆W：的焦距为2，过右焦点和短轴一个端点的直线的斜率为，O为坐标原点．Ⅰ求椭圆W的方程．Ⅱ设斜率为k的直线l与W相交于A，B两点，记面积的最大值为，证明：．21.已知函数求曲线在点处的切线方程；令，讨论的单调性并判断有无极值，若有，求出极值．22.已知曲线C的极坐标方程为，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系．求曲线C的普通方程；、B为曲线C上两个点，若，求的值．23.若，，且．求的最小值；是否存在a，b，使得的值为？并说明理由．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解：集合，0，1，2，，1，．故选：A．先分别求出集合M，N，由此能求出．本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用．2.答案：A解析：解：由，得，在复平面内对应的点的坐标为，位于第一象限．故选：A．把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3.答案：B解析：【分析】本题考查条件概率，正确理解条件概率的意义及其计算公式是解题的关键．利用条件概率的计算公式即可得出．【解答】解：设事件A表示四月份吹东风，事件B表示吹东风又下雨，根据条件概率计算公式可得在吹东风的条件下下雨的概率．故选：B．4.答案：B解析：解：展开式的通项为；令，得，的系数为：，故选：B．利用二项展开式的通项公式求得第项，令x的指数为3得，的系数．本题考查二项式系数的性质，关键是熟记二项展开式的通项，是基础题．5.答案：D解析：解：由，故A正确；由利用余弦函数的图象可知为偶函数，故B正确；由周期公式可得的最小正周期为：，故C正确；由余弦函数的性质可得的值域为，故D错误；故选：D．由平方差公式及二倍角的余弦函数公式化简函数解析式可得，利用余弦函数的图象和性质及余弦函数的周期公式即可得解．本题主要考查了平方差公式及二倍角的余弦函数公式，考查了余弦函数的图象和性质，属于基础题．6.答案：B解析：解：等差数列的公差设为d，等比数列的公比设为q，，，可得，解得，，则，故选：B．等差数列的公差设为d，等比数列的公比设为q，由等差数列和等比数列的通项公式，解方程可得d，q，再由它们的通项公式计算可得所求值．本题考查等差数列和等比数列的通项公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．7.答案：A解析：解：在R上是减函数，且，，又在上为增函数，且，，，，，，，故选：A．利用对数函数和指数函数的性质求解．本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数的性质的合理运用．8.答案：A解析：解：将四面体放入到长方体中，AB与CD，AD与BC，AC与BD相当于一个长方体的相对面的对角线，设长方体的长，宽，高分别是a，b，c则，所以球O的最大截面的面积是，球的最大截面既是过球心的大圆，设球的半径为R则，所以，，所以，，解得：，故选：A．由题意将四面体放入长方体中，由长方体的对角线与外接球的直径相等可求出外接球的半径，球的最大截面既是过球心的圆，由题意求出外接球的半径，进而求出t的值．考查三棱锥的外接球的半径的与长方体棱长的关系，属于中档题．9.答案：C解析：解：由题意可知：则，，，就是求解在上的投影的最大值，由图形可知：向量．，，是向量的数量积的最大值．故最大值为：3．故选：C．把向量的数量积最大，转化为两个向量的模以及两个向量的夹角的余弦函数值的乘积取得最大值，进而求解结论．本题考查向量的数量积的应用，考查数形结合以及计算能力．10.答案：C解析：【分析】先假设，分别利用首项表示出前3、6、及9项的和，得到已知的等式不成立，矛盾，所以得到q不等于1，然后利用等比数列的前n项和的公式化简得到关于q的方程，根据q 不等于0和1，求出方程的解，即可得到q的值．然后求解m．本小题主要考查等比数列的基础知识，逻辑推理能力和运算能力，是一道综合题．【解答】解：若，则有，，．但，即得，与题设矛盾，．又依题意可得整理得．由得方程．，，，，，．，，故选：C．11.答案：B解析：解：圆，即为，可得圆经过原点，抛物线也过原点，设，，，由，可得，又，解得，，由，解得，又，可得的面积为，故选：B．由圆经过原点，抛物线也过原点，设，，，由两点的距离公式和N 既在抛物线上又在圆上，可得m，n，p，进而得到焦点F的坐标，由三角形的面积公式计算可得所求值．本题考查抛物线方程和圆方程的运用，考查两点的距离公式和三角形的面积求法，考查化简运算能力，属于中档题．12.答案：B解析：由题意得，设是曲线C：的点，是直线的点，可看成曲线C上的点到直线l上的点的距离的平方，对求导得，令，得，所以切点为，所以曲线C上的点到直线l：的距离最小，该点到直线l的距离为，故选：B．将要求的式子看成与间的距离，然后挖掘a与b，c与d之间的函数关系，最终转化成两函数图象上的点之间的距离最值问题．本题考查了利用切线法求曲线上的点到直线的距离最小值问题，本题的关键在于能够分析出结论的几何意义，以及挖掘出a，b间、c，d间的函数关系．有一定难度．13.答案：1解析：解：由得，作出不等式组对应的平面区域如图阴影部分：平移直线，由图象可知当直线经过点C时，直线的纵截距最小，此时z最大，由，得．代入目标函数，得，故答案为：1．作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可．本题主要考查线性规划的基本应用，利用目标函数的几何意义是解决问题的关键，利用数形结合是解决问题的基本方法．14.答案：A D解析：解：该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”．在A地中，中位数为2，极差为5，，每天新增疑似病例不会超过7人，所以A地符合标准；在B地中，总体平均数为2，众数为2，每天新增疑似病例可以超过7人，所以B地不符合标准；在C地中，总体平均数为1，总体方差大于0，每天新增疑似病例可以超过7人，所以C地不符合标准；在D地中，总体平均数为2，总体方差为根据方差公式，如果存在大于7的数存在，那么方差大于3，所以D地符合标准．故答案为：AD．根据平均数、中位数、众数和方差、极差的定义和性质，判断即可．本题考查了平均数、中位数、众数和方差、极差的定义与性质的应用问题，也考查了推理与判断能力，是中档题．15.答案：解析：解：如图：，设，则，，在中，由正弦定理得，即，，，，由余弦定理得，，．故答案为：．如图：，设，则，，然后在三角形中由正余弦定理列方程可解得离心率．本题考查了双曲线的离心率，属中档题．16.答案：6：4：解析：解：设球的直径为d，正方体的棱长为a，圆柱的底面半径是r，球的表面积为，正方体的表面积为，圆柱的表面积为．则．球的体积为，圆柱的体积为，正方体的体积是，，，，，，，，，，．：：：：：4：．故答案为：6：4：．设球的直径为d，正方体的棱长为a，圆柱的底面半径是r，分别写出球的表面积，圆柱的表面积与正方体的表面积，由表面积的关系把球的直径与正方体的棱长用圆柱的底面半径表示，然后写出球的体积、圆柱的体积及正方体的体积用r表示，则体积平方的比值可求．本题考查球、圆柱、正方体的体积与表面积的求法，考查运算求解能力，是中档题．17.答案：本题满分为12分解：在中，．由余弦定理可得：，，分由正弦定理可得：，，分，的平分线AD交BC于D，，分分解析：由已知及余弦定理可求得，结合范围，可求B的值．由正弦定理可得，进而根据同角三角函数基本关系式可求，根据二倍角的正弦函数公式即可求解的值．本题主要考查了余弦定理，正弦定理，同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦函数公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．18.答案：解：Ⅰ由题意得：从全校所有的1000名学生中随机抽取的100人中，A，B两种支付方式都不使用的有5人，仅使用A的有30人，仅使用B的有25人，，B两种支付方式都使用的人数有：，估计该校学生中上个月A，B两种支付方式都使用的人数为：人．Ⅱ从样本仅使用B的学生有25人，其中不大于2000元的有24人，大于2000元的有1人，从中随机抽取1人，基本事件总数，该学生上个月支付金额大于2000元包含的基本事件个数，该学生上个月支付金额大于2000元的概率．Ⅲ不能认为样本仅使用B的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化，理由如下：上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用B的学生中随机抽查1人，发现他本月的支付金额大于2000元的概率为，虽然概率较小，但发生的可能性为．故不能认为样本仅使用B的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化．解析：本题考查频数、概率的求法，考查频数分布表、概率等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于基础题．Ⅰ从全校所有的1000名学生中随机抽取的100人中，A，B两种支付方式都不使用的有5人，仅使用A的有30人，仅使用B的有25人，求出A，B两种支付方式都使用的人数有40人，由此能估计该校学生中上个月A，B两种支付方式都使用的人数．Ⅱ从样本仅使用B的学生有25人，其中不大于2000元的有24人，大于2000元的有1人，从中随机抽取1人，基本事件总数，该学生上个月支付金额大于2000元包含的基本事件个数，由此能求出该学生上个月支付金额大于2000元的概率．Ⅲ从样本仅使用B的学生中随机抽查1人，发现他本月的支付金额大于2000元的概率为，虽然概率较小，但发生的可能性为不能认为样本仅使用B的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化．19.答案：证明：平行四边形ABCD中，设N是BC的中点，连接ON，是AD的中点，，，，，平行四边形ABCD中，，则，，且，平面PAD，平面PAD，平面PAD．解：由知平面PAD，平面ABCD，面面ABCD，连接PO，PN，，，，，，PO，平面PNO，平面PNO，平面PNO，，二面角的平面角为，，又面面ABCD，面面，，平面PAD，平面ABCD，又平面ABCD，又由可得，，OD，ON两两互相垂直．以O为原点，ON，OD，OP方向为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，则，，2，，0，，由，得，则4，，，2，，设平面MAC的一个法向量y，，则取，得1，，设直线BP与平面MAC所成角为，则直线BP与平面MAC所成角的正弦值为：．解析：本题考查线面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．设N是BC的中点，连接ON，推导出，，，，，，由此能证明平面PAD．由平面PAD，得面面ABCD，连接PO，PN，则，，，从而平面PNO，，从而二面角的平面角为，，以O为原点，ON，OD，OP方向为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，由此能求出直线BP与平面MAC所成角的正弦值．20.答案：Ⅰ解：由题意得椭圆W的半焦距，右焦点，上顶点，直线MF的斜率为，解得，由，得，椭圆W的方程为．Ⅱ证明：设直线l的方程为，其中或2，，由方程组得，，由韦达定理，得，．．原点O到直线的距离，，当且仅当，即时取等号．与k的取值无关系，因此．解析：利用椭圆的标准方程及其性质、斜率计算公式即可得出；设直线l的方程为，其中或2，，把直线l的方程与椭圆的方程联立可得关于x的一元二次方程及根与系数的关系，进而得到弦长，利用点到直线的距离公式可得原点到直线l的距离，利用三角形的面积计算公式和基本不等式即可得出．本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得关于x的一元二次方程及根与系数的关系、弦长公式、点到直线的距离公式、三角形的面积计算公式和基本不等式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．21.答案：解：，，又，则切线方程为；，令，则，函数在R上单调递增．，时，；时，，当时，，时，，函数在单调递增；时，，函数在单调递减．时，函数取得极小值，，无极大值，当时，令解得，．时，时，，，函数单调递增；时，，，函数单调递减；时，，，函数单调递增．当时，函数取得极小值，．当时，函数取得极大值，；时，，时，，函数在R上单调递增．无极值，时，，时，，，函数单调递增；时，，，函数单调递减；时，，，函数单调递增．当时，函数取得极大值，．当时，函数取得极小值，，综上所述：当时，函数在单调递增；在单调递减，极小值为无极大值，当时，函数在，上单调递增；在上单调递减，极小值极大值，当时，函数在R上单调递增．无极值当时，函数在，上单调递增；在上单调递减．极大值极小值．解析：本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性，极值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．求出函数的导数，计算，，求出切线方程即可；求出函数的导数，令，求出，通过讨论a的范围，结合函数的单调性求出的极值即可．22.答案：解：由，得，将，代入，得到曲线C的普通方程是分因为，所以，由，设，则B点的坐标可设为，所以分解析：由，得，将，代入，能求出曲线C的普通方程．由，得，由，设，则B点的坐标可设为，由此能求出的值．本题考查曲线的普通方程的求法，考查两线段平方的倒数和的求法，是中档题，解题时要认真审题，极坐标方程、直角坐标方程互化合理运用．23.答案：解：，，，，，当且仅当时取等号，，．，，当且仅当时取等号．，，，，不存在a，b，使得的值为．解析：本题主要考查基本不等式在最值中的应用，要注意检验等号成立条件是否具备，属于基础题．由条件利用基本不等式求得，再利用基本不等式求得的最小值．根据及基本不等式求得，从而可得不存在a，b，使得的值为．。