平面力偶系教案
工程力学-2-3平面力偶系
平衡方程的建立
根据力的平衡条件，列出所有力的 力矩，然后求和，得到平衡方程。
平衡方程的应用
通过平衡方程可以求解未知力的大 小和方向，或者判断物体是否处于 平衡状态。
平面力矩系平衡问题的应用
机械系统
01
在机械系统中，许多问题涉及到力矩平衡，如转轴的支承、旋
转体的平衡等。
建筑结构
02
在建筑结构中，需要分析各种力的力矩作用，以确保结构的稳
指的是两个力和一个力偶同时作 用在一个刚体上，其中两个力相 互平行且垂直于第三个力偶。
学习目标
1
理解平面力偶系的基本概念和性质。
2
掌握如何分析2-3平面力偶系中的力和力矩平衡。
3
了解如何应用平面力偶系解决实际工程问题。
02
平面力偶系的基本概念
力偶的定义与表示
定义
力偶是大小相等、方向相反且作用线平行但不重合的一对大 小相等之力。
表示
用实线和虚线分别表示力的大小和方向，中间用圆点隔开。
力偶的性质
力偶无合力
力偶中的两个力无法合成为一个力， 因为它们作用在两个不同的点上。
力偶无转向轴
力偶不能通过一个单一的刚性转动来 消除，因为力的方向和作用线是唯一 的。
力偶系的合成
合成原则
当多个力偶作用于同一刚体时，其合力矩为各力偶矩的代数和。
建筑结构中的力偶平衡
总结词
在建筑结构设计中，力偶平衡用于确保结构的稳定性和安全性。
详细描述
在建筑设计过程中，通过合理布置支撑结构，形成稳定的力偶系统，以抵抗外部载荷和地震等自然灾害的影响。 力偶平衡的运用能够显著提高建筑的安全性和稳定性。
其他工程领域中的力偶平衡实例
平面汇交力系与平面力偶系PPT教案
第33页/共41页
FR Fi 0
力多边形自行封闭
Fxi 0 Fyi 0
34
5. 平面力对点之矩
MO (F ) F d 2OAB
6. 合力矩定理：
MO (FR ) MO (F1) MO (F2 ) MO (Fn ) MO (Fi )
7. 力偶和力偶矩
力偶——两个大小相等、方向相反且 不共线 的平行 力组成 的力系 。
A
F
D
d
B
C
F'
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25
平面力偶 性质：
1.力偶不能合成为一个力，也不能用 一个力 来平衡,只能用 力偶来 平衡 。 2.力偶对平面内任意一点的矩都等于 力偶矩 ，与矩 心无关
2.4.2 同平面内力偶的等效定理定理
定理：在 同平面 内的两 个力偶 ，如果 力偶矩 相等， 则两力 偶彼此 等效。
30
[例2-8]图示杆系，已知m，l。 求A、B处约束 力。
练习：
解：
FAD
1、研究对象二力杆：AD
FC
FAD
FB
2、研究对象： 整体 M 0
m
思考：CFBA杆D 受 F力B情 况l 如何？
F
' C
m
FB
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31
AD杆 m
F
' C
解：
FAD
1、研究对象二力杆：BC
FC
FB
FB
FAD
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17
例2-4：图示压榨机，在A点作用水平力F、C块与光滑墙
接触，在F力作用使C块压紧物体D，求：物体D所受压力。
h
y
y
B
平面力系和平面力偶系课件
弹性力学问题的能量方程
应变能
物体在外力作用下产生变形时，内部 储存的能量称为应变能，单位是焦耳 (J)。
应力
胡克定律
在弹性范围内，应力与应变之间成正 比，即σ=Eε。
物体内部单位截面积上所受的力称为 应力，单位是帕斯卡(Pa)。
典型例题解析
06
固定端约束反力的计算例题
总结词
该例题主要展示了如何利用固定端约束反力的计算方法。
力的性质
力具有物质性、相互性和矢量性。力不能离开物体单独存在， 有施力物体和受力物体；两个物体之间的作用总是相互的， 存在作用力和反作用力；力用矢量表示，可以计量大小和方向。
平面力系的分类和性质
平面力系的分类
平面力系可以分为平面汇交力系、平面平行力系和任意平面力系。
平面力系的性质
平面力系中，力的合成和平衡具有特定的性质。例如，平面汇交力系合成后合力为零，即力系平衡；平面平行力 系合成后合力与原力系等效，即力系平衡；对于任意平面力系，合成后如存在合力，则合力与原力系等效，即力 系平衡。
详细描述
杠杆是一种简单机械，它可以通过放大或缩 小力臂来改变力的作用效果。在杠杆的平衡 条件中，我们需要考虑物体的质量、重力以 及支点的位置。通过计算，我们可以得到支 点的反作用力以及杠杆的平衡条件。进一步
求解可以得到物体的平衡状态。
弹性力学问题的能量方程例题
要点一
总结词
要点二
详细描述
该例题介绍了弹性力学中能量方程的建立与应用。
课程目的和内容
内容 平面力系的定义、性质和计算方法
平面力偶系的定义、性质和计算方法
课程目的和内容
平面力系和力偶系的合成与平衡 典型例题的讲解和练习
平面力系的基本概念
工程力学力偶和平面力偶系教学设计
授课题目力偶和平面力偶系课程名称工程力学学科工学授课学时20分钟适用专业机械制造及其自动化，全日制专科，大一学生教学目标 1.了解力偶的等效条件2.掌握力偶的性质3.重点掌握力偶系的平衡条件4.学会分析物体的受力情况教学重难点 1.重点：力偶的性质和力偶系的平衡条件2.难点：物体的受力分析教学方法讲授法授课教材《工程力学》景英峰主编教学过程教学内容组织教学新课引言讲授新课1.询问及检查课堂出勤2.集中学生听课注意力提问问题，“什么是力矩？大家还记得上节课手机的例子吗？”让学生带着问题回忆上节课力矩的知识点，和让手机平动和转动的例子，再让学生思考如何能让手机只转动。
从而导入新课，力偶。
一、力偶的概念和性质1.力偶与力偶矩力偶：由大小相等、方向相反且不共线的两个平行力组成力偶的作用面：两力作用线所决定的平面力偶臂：力作用线间的垂直距离力偶距：力与力偶臂的乘积影响力偶作用效果的因素：与距心的位置无关2.力偶的等效条件同平面内的力偶等效条件：力偶距大小相等，力偶转向相同案例分析由此可得出以下两个重要推论（1）只要不改变力偶矩的大小和力偶的转向，力偶就可以在它的作用平面内任意移动或转动，而不改变它对物体的作用效果。
（2）只要保持力偶矩不变，可以同时改变力偶的力的大小和力偶臂的长短，而不会改变力偶对物体的作用效果。
3.力偶的性质（1）力偶在任一坐标轴上投影的代数和为零。
（2）力偶没有合力，因此力偶不能与一个力平衡，它必须用力偶来平衡。
（3）力偶对物体的作用效应取决于力偶的三要素，而与矩心位置无关。
（4）力偶对于作用面内任一点之矩为一常量并等于其力偶矩。
二、平面力偶系的合成与平衡1.平面力偶系的合成在物体上同时作用有两个或两个以上的力偶时，这些力偶组成力偶系。
在同一个平面内的力偶系叫作平面力偶系。
2.平面力偶系的平衡条件平面力偶系的平衡方程案例分析例1 一简支梁作用一矩为M=50kN·m的力偶，简支梁长d=4m，不计梁重，求支座A和B的约束力。
第二章：平汇交力系与平面力偶系
第二章平面汇交力系与平面力偶系一、要求1、掌握平面汇交力系合成（分解）的几何法。
能应用平衡的几何条件求解平面汇交力系的平衡问题。
2、能正确地将力沿坐标轴分解和求力在坐标轴上的投影。
对合力投影定理应有清晰的理解。
3、能熟练地运用平衡方程求解平面汇交力系的平衡问题。
4、对于力对点的矩应有清晰的理解，并能熟练地计算。
5、深入理解力偶和力偶矩的概念。
明确平面力偶的性质和平面力偶的等效条件。
6、掌握平面力偶系的合成方法，能应用平衡条件求解力偶系的平衡问题。
二、重点、难点1、 力在坐标轴上的投影，合力投影定理，平面汇交力系的平衡条件及求解平衡问题的解析法。
2、 力对点之矩的计算，力偶矩的概念，平面力偶性质和力偶等效条件。
三、学习指导平面汇交力系合成的结果是一个合力，合力作用线通过力系的汇交点，合力的大小和方向等于力系的矢量和，即∑==+⋅⋅⋅⋅⋅⋅++=ni i n F F F F R 121或简化为∑=F R上式是平面矢量方程，只可以求解两个未知数。
每一个力都有大小和方向两个要素（因为力的汇交点是已知的），因此，方程中只能有两个要素是未知的。
矢量方程的解法有：几何法和解析法。
只有力沿直角坐标轴分解的平行四边形才是矩形。
力在轴上投影的大小等于分力的大小，投影的正负表示分力沿坐标轴的方向。
平面汇交力系平衡的必要和充分条件是力系的合力为零。
即∑R=F这个平面的矢量方程可解两个未知数，解法有几何法和解析法。
（1）平衡的几何条件：平面汇交力系的力多边形封闭。
（2）平衡的解析条件：平面汇交力系的各分力在两个坐标轴上投影的代数和分别等于零即：∑=0YX；∑=0对于平衡方程，和平面汇交力系合成与分解的解析法一样，一般也选直角坐标系。
但在特殊情况下，有时选两个相交的相互不垂直的坐标轴，可使问题的求解简化。
这是因为平衡时合力恒等于零，合力在任一坐标轴的投影也恒等于零，所以，不一定局限在直角坐标系。
合力投影定理与合力矩定理是结构静力计算经常要用到的两个定理。
(土建施工)教学设计-平面力偶系的合成及平衡条件
平面力偶系的合成及平衡条件
一、教学内容
知识目标：了解平面力偶系的合成过程；
熟悉平面力偶系求合力偶；
掌握平面力偶系的平衡条件。
能力目标：具备利用平面力偶系平衡条件求解未知力的能力。
二、教学重难点
重点：平面力偶系的合成。
难点：平面力偶系的平衡条件。
三、教学方法
采用线上线下混合式教学法、小组讨论法、案例分析等方法。
四、教学实施
课前：教师利用云课堂APP部署任务，学生在课前了解多个力偶能否合成，如何合成，以及答复教师在云课堂APP中提出其它相关问题。
课中：教师首先讲解平面力偶系的合成，并以小组方式要求学生练习；重点分析平面力偶系的平衡条件，之后利用平衡条件求解平面力偶系的平衡问题；最后请小组互相说明本节课的重点及需要注意的事项，小组进行互评打分，最后老师点评。
课后：教师通过云课堂APP部署相关知识点的作业，要求学生按时完成，教师对作业进行批改，总结学生学习的缺乏。
五、教学小结
学生通过云课堂APP进行本次课程学习效果的评价；教师总结课程内容，并进行下次课程任务部署。
【2024版】《工程力学》教学课件第二章平面力系和平面力偶系
其中 FA P1 P2'
FB P1' P
由此可以推出
n
M M1 M 2 M n M i i 1
即平面力偶系合成结果还是一个力偶,其力偶矩为各力偶 矩的代数和。
平面力偶系平衡的充要条件是：所有各力偶矩的代数和等于零。
（4）解平衡方程，得
FAC
FBC
P 2 sin 450
15 2
2
kN
第三节 力矩、平面力偶系的合成与平衡
一、力对点的矩
1.力矩的概念和性质 将力F对点O的矩定义为：力F的大 小与从O 点到力F的作用线的垂直 距离的乘积，即
M O (F) Fh
方向用右手法则确定：以使物体作逆时针转动为正（图示 为正），作顺时针转动为负，将O点到力O的作用线的垂 直距离h称为力臂。
X=Fx=F cos=F sin Y=Fy=F cos = F sin F X 2 Y 2 Fx2 Fy2
cos X Fx
FF
cos Y Fy
FF
合力投影定理：
合力在任一轴上的投影，等于各分力在同一轴上投影的代数
和。
FRx X1 X2 X4 X
FRy Y1 Y2 Y3 Y4 Y
由 Y 0
RA RB P q4 0
得 RA 4.37kN 结果为正值，说明与假设方向一致。
第七节 静定与静不定问题及物系的平衡
一、静定与静不定问题
静定问题——未知力数目等于对应的独立平衡方程的 数目，因此可以由平衡方程求得所有的未知量，这一 类问题我们称之为静定问题。
静不定问题——未知力数目多于对应的独立平衡方程的 数目。静不定问题的求解必须借助变形协调方程 。
力学平面汇交力系与平面力偶系解析PPT学习教案
合力的作用线通过该三角形的几何中心。
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2-4 平面力偶
1 、力偶与力偶矩
1）力偶：由两个大 小相等，方向相反且 作用线不重合的平行 力组成的力系。
第23页/共44页
2-4 平面力偶
力偶性质：
性质1：力偶在任意坐标 轴上的投影等于零。
性质2：力偶既没有合力 ，本身又不平衡，它和 力一样是静力学的一个 基本力学量。
2-2 平面汇交力系合成与平衡的解析法
4、对力的方向判定不准的，一般用解析法。 5、解析法解题时，力的方向可以任意设，如果 求出负值，说明力方向与假设相反。对于二力构 件，一般先设为拉力，如果求出负值，说明物体 受压力。
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2-3 平面力对点之矩的概念及计算 力对物体可以产生 移动效应--取决于力的大小、方向
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平面汇交力系：
各力的作用线都在 同一平面内且 汇交于一 点的力系。
研究方法：几何法，解析法 。
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2-1 平面汇交力系合成与平衡的几何法
一、平面汇交力系合成的几何法
任意个共点力的合成：
合 力 矢 ： 沿 反方向 连接力 多边形 ， 构 成 力 多 边 形的 封闭边 。
D
45
平衡的性质，可以判断A与B 端的约束 力FA 和FB 构成一力偶，因此有： FA = FB 。梁AB受力如图。
列平衡方程：
FA
M
A
B
M 0, M FA l cos 45 0
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2-3 平面力对点之矩的概念及计算
三、力矩与合力矩的解析表达式
1、平面力矩的解析表达式
MO (F ) MO (Fy ) MO (Fx ) xF sin yF cos
工学理论力学平面汇交力系与平面力偶系PPT学习教案
ctg 600
第35页/共75页
例2-8
结构如图所示，已知主动力F，确定铰 链O、B 约束力 的方向 （不计 构件自 重）
1、研究OA杆
FA A F O
Fo
2、研究AB杆
（A）
A
B
FA
F
B
O
FB
FB
Fo （B）
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解题技巧及说明：
1、一般地，对于只受三个力作用的物 体，且 角度 特殊时用 几 何法（解力三角形）比较简便。
AB 1.2 3
SCD
sin
450
P cos450
tg
4.24
kN
RA
SCD
cos450 cos
3.16
kN
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例2-4
重物A质量m=10kg,悬挂在支 架铰接 点 B 处，A、C 为固定铰支座，杆件位置如图示，略去 支架杆 件重量 ，求重 物处于 平衡时 ，AB 、BC 杆的内力。
【解】
取碾子为研究对象，画其受力图(b)。 O
F O
A
F
FP
(b)
B
F
F
A
R
FP
B
h
(a)
第24页/共75页
例2-2
【解】
1、碾子拉过障碍物，应有
建立坐标系，列投影方程
，如图(c)
FB 0
X 0 : FA sin F 0 F
Y 0 : FP FA cos 0
利用上述平衡方程求得：
结论：平面汇交力系可简化为一合力 ，其合 力的大 小与方 向等于 各分力 的矢量 和(几何 和)， 合力的 作用线 通过汇 交点。 用矢量式表示为：
2.3平面力偶系的合成与平衡-单元教学设计
单元教学日历教学实施【步骤l 】引入新课1）复习力在坐标轴上的投影。
2）如何进行平面汇交力系的简化平衡情况下力系需要满足什么条件【步骤2】课程介绍及知识讲授1）平面汇交力系合成的几何法力系合力时依次应用三角形合成法则，将已知各力依次首尾相连，形成如图2-1b 所示有缺口的力多边形，第一个力的起点指向最后一个力的终点即为该平面汇交力系合力的大小及方向。
这种求合力的方法称为力多边形法则，也称几何法。
即F R =F 1+F 2+…+F n =∑F i如果平面汇交力系是一个平衡力系，那么按力多边形法则将力系中各力依次首尾相接，所得到结果一定是一个自行封闭的力的多边形，这就是平面汇交力系平衡的几何条件。
2）合力投影定理：合力在任一轴上的投影等于各分力在该轴上投影的代数和。
F Rx = F 1 x + F 2 x +…+ F n x =∑F xF Ry = F 1y + F 2 y +…+ F n y =∑F y3）平面汇交力系合成的解析法F R =()()2222Fy Fx F F Ry Rx ∑+∑=+tan Ry RxF FyF Fxα∑==∑式中α为合力F R 与x 轴所夹的锐角，合力的指向由投影和∑F x 、∑F y 的正负号决定，合力作用线通过该平面汇交力系的交点。
4）平面汇交力系的平衡条件⎪⎭⎪⎬⎫==∑∑00yx FF 平面汇交力系作用下，物体处于平衡状态的充要条件为：平面汇交力系中所有各力在两条坐标轴上的投影的代数和分别为零。
该解析条件包含两个独立方程，可以求解两个未知量。
【步骤3】应用案例讲解1）平面汇交力系的合成（略）2）平面汇交力系作用下物体的平衡分析（略）通过例题求解过程，提醒学生注意：为了计算力的投影方便，坐标轴应尽量与较多的力平行或垂直，不一定总是设置水平轴和铅直轴。
力的大小代数值计算为正说明力的设定指向与实际方向一致；结果为负说明力的设定方向与实际方向相反，尽管计算结果为负，但在以后的计算中，列投影方程时仍按力的原设定方向投影，而在代入数值时，这个力的大小按负值代入即可。
汽车机械基础(高教版)教案：第二章 力矩与平面力偶系 吴建蓉 编.doc
教师授课教案20 /20 学年第学期课程汽车机械基础教学内容旧知复习：1.三角形法则、多边形法则。
2.力在坐标轴上的投影。
3. 平面汇交力系的平衡。
讲授新课：第二章力矩与平面力偶系第1节力矩、力偶与力偶矩一、力矩力除了能使物体移动外，还能使物体绕某一点转动。
把力的大小与力臂的乘积称为力矩，用MO（F）表示，即MO（F）= F d式中，点O称为力矩中心，简称矩心。
矩心O到F的作用线的垂直距离d称为力臂，力矩的单位为N·m。
正负符号表示力矩的转向。
一般规定：力使物体作逆时针转动的力矩为正，反之为负。
二、合力矩平面汇交力系的合力对平面内任一的力矩，等于力系中各分力对同一点的力矩的代数和，这就是合力矩定理。
即MO （F）= MO（F1）MO+（F2）+…+MO（Fn）= MO（Fi）三、力偶1. 力偶的概念对物体施加一对大小相等、方向相反、作用线平行但不在同一条直线上的两个力，使物体产生纯转动，称这对力为力偶。
力偶中两个力之间的垂直距离d称为力偶臂。
2. 力偶的特性（1）力偶是大小相等、方向相反、作用线平行的两个力，没有合力；力偶在任何坐标轴的投影的代数和等于零。
（2）力偶不能与一个力平衡，必须用力偶来平衡。
（3）大小、作用面、转向三要素相同的力偶都是等效力偶。
（4）力偶与力矩的共同点是能改变物体的转动状态，不同点是力矩使物体的转动效应与矩心有关，而力偶对作用面内任何一点的矩为一常数。
3.力偶矩力偶对物体产生的转动效果取决于这两个力的大小和两个力之间的垂直距离的乘积，称为力偶矩，用m（F、F＇）表示，即m（F、F＇）= F d式中，F——力的大小，N；d——力偶臂，m。
注意：与力矩相似，力偶矩也有方向。
一般规定：使物体作逆时针转动的力偶矩为正，反之为负。
课堂练习小结：1.力矩、合力矩、力偶的概念。
2.力偶的特性。
教师授课教案20 /20 学年第学期课程汽车机械基础教学内容旧知复习：1.力矩、合力矩、力偶的概念。
山东大学《理论力学》教案第2章 平面汇交力系与平面力偶系
第2章 平面汇交力系与平面力偶系一、目的要求1．平面汇交力系（多个力）合成与平衡的几何法，并能应用平衡的几何条件求解平面汇交力系的平衡问题。
2.能正确地将力沿坐标轴分解和求力在坐标轴上的投影，对合力投影定理有清晰的理解，掌握汇交力系合成的解析法和平衡方程，并能熟练的应用平衡方程求解汇交力系的平衡问题。
3. 理解力对点之矩的概念，并能熟练地计算。
4．深入理解力偶和力偶矩的概念，明确平面力偶的性质和平面力偶的等效条件。
二、基本内容1．平面汇交力系合成的几何法·力多边形法则平面汇交力系可合成为通过汇交点的合力，其大小和方向等于各分力的矢量和。
即∑==+++=n i i 11F F F F F n 2R 或 ∑=F F R合力R F 的大小和方向可用力三角形法则或力多边形法则得到。
作出图示首尾相接的开口的力多边形，封闭边矢量即所求的合力。
2．平面汇交力系平衡的几何条件平面汇交力系平衡的必要和充分条件是：力系的合力等于零。
其矢量表达式为∑==0F F R （2-2） 力系平衡的几何条件是：力系的力多边形自行封闭。
如图2-4所示。
3．力在正交坐标轴系的投影与力的解析表达式力F 在y x ,轴上的投影分别为cos cos sin x y F F F F F αβα=⎫⎪⎬==⎪⎭力的投影是代数量。
4．平面汇交力系合成的解析法合力投影定理：合力在某轴上的投影等于各分力在同一轴上投影的代数和。
平面汇交力系平衡的必要和充分条件是：各力在两个坐标轴上的投影的代数和分别为零。
即00x y F F ⎫=⎪⎬=⎪⎭∑∑ 两个独立的平衡方程，可解两个未知量。
5.平面内的力对点O 之矩是代数量，记为M o (F )ABO Fh M o ∆±=±=2)(F其中F 为力的大小，h 为力臂，∆ABO 为力矢AB 与矩心O 组成三角形的面积。
一般以逆时针转向为正，反之为负。
力矩的解析表达式为： 合力矩定理： 6.力偶和力偶矩：·大小相等，方向相反，作用线平行的两个力称为力偶。
第二节、平面力偶系的合成与平衡.
• 二、 如图所示的工件上作用有三个力偶。已知： 三个力偶的矩分别为M1＝M2＝10N.m，M3＝ 20N.m；固定螺柱间的距离l＝200mm， 求两个光滑螺柱所受的水平力？
FA＝－FB
由力偶系的平衡条件 得 ∑M＝0 FAl―M1－ M2―M3＝0 FA＝（M1＋M2＋ M3）／l
FB
力偶臂：组成力偶的两个力之间的垂直距离 d称为力偶臂。 力偶矩：力偶使物体转动的效应用力偶矩来 度量，力F与力偶臂d的乘积前冠以正、负 号，称为力偶矩。用 M (F，F ′)或m表示。 M (F，F ′)=±F﹒d 单位 N.m, kN.m 正负号规定： 使物体顺时针方向转动时，力偶矩为负； 使物体逆时针方向转动时，力偶矩为正；
刚体是否平衡？为什么？
F2 F1 F2 F1
F'1 F' 2
a b
F'1 F' 2
不平衡 。 合力偶≠0
平衡 。 合力偶 = 0
讨论
求力F 对A点之矩。 1. 力的分力计算 Fx=Fcosα Fy=Fsinα
F b a
a
2. 应用合力矩定理
Fx
A
√a2+b2
MA(F)=MA(Fy)+ MA(Fx)
合力矩定理
MO (FR) =ΣMO(Fi)
FR'
O O
d
FR
A
例2-7 已知：图示重力坝 P1=450 kN , P2=200 kN , F1=300 kN , F2=70 kN 求：力系的合力 合力与基线OA的交点到点O的距离x， 合力作用线方程
例2-7 解：（1）向O点简化， 求主矢和主矩。
M=m1＋m2＋…＋mn=∑mi
平面力偶系合成结果还是一个力偶,
2-2平面力偶系
力对点之矩
平面力偶理论
本章重点与难点： 合力矩定理与平面力偶理论。
平面力偶系
1
力对物体的外效应
平面力偶系
平动效应 由力矢来度量，取决于力的大小、方向
转动效应 由力矩来度量，取决于力矩的大小、转向
平面力偶系
一、平面力对点之矩的概念及计算
（一）力对点的矩
一个很小的力也会产生很大的作用效果 力 矩
F
F/
a bc d
是一个基本力学量。
力偶在任意轴上投影的代数和 恒为零
力偶只能与力偶（即等值、反向、不共线的一对平 行力）等效。
性质2：
力偶对其所在平面内任一点的矩
平面力偶系
恒等于力偶矩， 而与矩心的位置无关
MO( F,F' ) F( x d ) F' x
MO( F ,F' ) -Fd
M A
l
D
45
B 解：选梁AB为研究对象，A与 B 端的约束力FA 和FB 构成一力 偶。梁AB受力如图。
列平衡方程：
FA
M
A
B M 0, M F A l cos 45 0
解得
FB
FA
FB
M l cos 45
2M l
平面力偶系
例2 机构如图所示，各构件自重不计，主动力偶M1为 已知，求：平衡时力偶M及支座A、B的约束反力
力偶臂： 两力之间的垂直距离
力偶作用面 力偶所在的平面 符号：（F1, F2）
F1 F2
平面力偶系
力偶矩 力偶对物体的转动效应用力偶矩来衡量
该转动效应取决于：
（1）力偶矩的大小 m F d
平面力偶系的合成、平衡与平面一般力系的简化教案
平面力偶系的合成、平衡与平面一般力系的简化教案．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．装．．．．．．．．．．．．．订．．．．．．．．．．线．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．各力偶对物体的转动效应相互抵消，物体处于平衡状态；当合力偶矩不等于零，则物体必有转动效应而不平衡。
所以，平面力偶系平衡的必要和充分条件是：力偶系中所有各力偶矩的代数和等子零，即∑=0m利用上式求解平面力偶系的平衡问题，可求出一个未知量。
例1：图示梁AB受一力偶作用。
力偶矩m=10KN/m,梁长l=4m,α=30度。
梁自重不计，求AB支座反力。
解：（1）取研究对象（2）取平衡条件cos=+-=∑αlFmomBKNalmFB9.2866.0410cos=⨯=⋅=KNFFBA9.2==例2：∑m=0FA·a2- m=0 FA =2am例3：§3 平面一般力系的合成 平面汇交力系可以合成为一个合力,平面力偶系可以合成一个力偶。
那么,一般力系合成的最简单形式是什么? 一、平面一般力系的简化设在某物体上作用有平面一般力系F 1……F n ,在力系的作用平面内任选一点O ，并根据力的平移定理将力系中各力都平移到O 点，于是就得到汇交于O 点的汇交力系F 1＇，F 2＇……F n ＇和内力偶矩为m 1,m 2,……m n 所组成的附加平面力偶系。
且有：F 1＇= F 1 F 2＇= F 2 Fn ＇=Fn m 1= m 0 (F 1) m 2 = m 0 (F 2) m n = m n (F n )1、平面汇交力系F 1＇，F 2＇……F n ＇可以合成为作用于O 点的合力F R ＇矢量F R ＇称为原力系的主矢量。
即：F R ＇=F 1＇+F 2＇+……F n ＇ 其大小和方向由下式确定∑∑+=2/2/)()(/yxR F F F tg θ=∑∑''xF y F 因 F 1＇= F 1 F 2＇=F 2 Fn ＇=Fn 所以 ∑∑+=22)()(/y x R F F F tg θ=∑∑FxFy注意：（1）在计算主矢量时，不必将力平移后再求投影。
第3章力矩与平面力偶系
例如：双手操作方向盘。
F1
C D
F′
A B F1′
F
工程力学教程电子教案
第3章 力矩与平面力偶系
证明：设有一力偶 (F, F ′),如图所示 。 运用加减 平衡力系的公理并注意到：
( F , F ) ~ ( F , F , F , F ) ~ ( F , F ) 1 1 R R ( F , F ) ~ ( F , F ) R R
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第3章 力矩与平面力偶系
例 题 3- 3
如图所示的铰接四连杆机构OABD，在杆OA和 BD上分别作用着矩为M1和M2的力偶，而使机构在图 示位置处于平衡。已知OA=r，DB=2r， =30°，不 计各杆自重，试求M1和M2 之间的关系。
B A
M1 M2 D
O
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F
d F′ 力偶作用面 x 力偶臂
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第3章 力矩与平面力偶系
(3) 力偶矩
例如：
MO (F ) MO (F ) F x F (d x) F d
F x
d O
F
力偶对刚体的转动效应是用力偶矩度量， 即用力偶中的两个力对其作用面内任一点之矩 的代数和来度量。
M ( F ) M ( F ) O R O
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第3章 力矩与平面力偶系
§3-2 力偶的概 念 1. 力偶和力偶矩
(1) 力偶的概念 把大小相等、方向相反、作用线平行的 两个力叫做力偶。并记作（F，F′）。可用 图(a)表示, 例如：双手操纵方向盘,如图(b)。
F 力偶臂 d F′
力矩的单位：N· m，kN· m
力矩的性质：
平面力偶系
M
i
0
四、任务实施：
1、选择工件为研究对象，分析受力情况。
工件在水平面内受三个钻头对其的三个主动力偶的作用和两个螺栓的水
平反力的作用。 根据力偶系的合成定理，三个主动力偶合成后仍为一力偶M，其力偶矩 大小为： M= ∑Mi =M1+M2 +M3 =(-10)+(-10)+(-20)=-40(N.m); 负号表示合力偶矩为顺时针方向。 求两个螺栓对工件的水平约束反力 FA和FB 。 根据平面力偶系的平衡条件∑Mi=0，得： FA .L+M=0
三、知识链接：
1．平面力偶系的概念
平面力偶系——作用在物体上同一平面内由若干 力偶所组成的力偶系。
2．平面力偶系的合成
平面力偶系的简化结果为一合力偶，合力偶矩等
于各分力偶矩的代数和，即
M M1 M2 Mn Mi
3．平面力偶系的平衡条件
必要和充分条件——所有力偶矩的代数和等于零。
小结：
1、平面力偶系的概念 2、平面力偶系的合成 3、平面力偶系的平衡条件
一、任务描述
如图1—2—23所示，在多轴钻床上加工一水平工件的三个孔。工作时每个 钻头作用于工件的切削力构成一个力偶，各力偶矩的大小分别为 M1=M2=10N.m , M3 =20N.m ,转向如图所示。工件在A、B两处用两个螺栓 卡在工作台上，两螺栓间的距离为L=200mm。试求两个螺栓对工件的水平 约束反力 和 的大小。
图1-2-23多轴钻床加工工件
二、任务分析： •根据任务描述，在多轴钻床上加工一水平工件的三个孔， 工作时工件在水平面内受三个钻头对其的三个主动力偶 作用，三个主动力偶都是使工件产生顺时针转动趋势。 为确保加工安全，在工件的两端各用一螺栓卡住，以防 止工件转动。由于力偶可以在其作用面内移动，因此可 以用一等效主动和力偶M来代替三个主动力偶对工件的 作用。力偶只能用力偶来平衡，所以两个螺栓对工件的 水平约束反力必然组成一力偶与主动合力偶M平衡。因 此螺栓对工件的水平约束反力应为等值、反向且作用线 相互平行，如图1—2—23所示。要计算这两个力的大小， 、 需要用到有关平面力偶系的合成与平衡的知识。
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项目一 1.1.2 教学设计
2015年 5月日星期模块名称平面力偶系模块课时3、4
模块描述
理解力矩、力偶、平面力偶系。
了解求解平面力偶系合成的方法。
教学目标提高学生运用平面几何知识解决力学问题的能力，提高对知识的理解运用能力。
培养学生的分析问题能力
教学资源理论联系实际进行分析，围绕练习题展开讨论教学组织按座位自然分组
教学过程
教学阶
段
（可以
按照完成这一模块（任务）的步骤呈现）学习任务知识点
活动设计
（教师活动、学生活动）
（讲解、示范、组织、指导、安
排、操作等）
估
用
时
间
新课引入复习巩固所
学知识
力的概念和平面力系合
成方法
教师：引导学生一起复习相关知识
点。
5
新课讲解学习力对点
之矩
1、力对点之矩
力对点的矩是很早以前人们在
使用杠杆、滑车、绞盘等机械搬运或
提升重物时所形成的一个概念。
现以
板手拧螺母为例来说明。
如图1-1-4
所示，在板手的A点施加一力F，将
使板手和螺母一起绕螺钉中心O转
动，这就是说，力有使物体（扳手）
产生转动的效应。
实践经验表明，扳
手的转动效果不仅与力F的大小有
关，而且还与点O到力作用线的垂
直距离d有关。
当d保持不变时，力
10
F越大，转动越快。
当力F不变时，
d值越大，转动也越快。
若改变力的
作用方向，则扳手的转动方向就会发
生改变，因此，我们用F与d的乘
积再冠以适当的正负号来表示力F
使物体绕O点转动的效应，并称为
力F对O点之矩，简称力矩，以符
号MO（F）表示，即
d
F
F
M⋅
±
=
)
(O
O点称为转动中心，简称矩心。
矩心O到力作用线的垂直距离d称
为力臂。
学生：思考力矩在下列两种情况下等
于零？
教师：引导学生回答（1）力等于零；
（2）力的作用线通过矩心，即力臂
等于零。
教师：绘制图形，要求分别计算下图
所示的F1、F2对O点的力矩。
学习合力矩2、合力矩教师：我们知道平面汇交力系对物体
的作用效应可以用它的合力R来代
替。
这里的作用效应包括物体绕某点
转动的效应，而力使物体绕某点的转
动效应由力对该点之矩来度量，因
此，平面汇交力系的合力对平面内任
一点之矩等于该力系的各分力对该
点之矩的代数和。
合力矩定理是力学
中应用十分广泛的一个重要定理。
学生：用自己的话说明合力矩。
10
学习力偶和力偶矩3、力偶和力偶矩教师：在生产实践和日常生活中，经
常遇到大小相等、方向相反、作用线
不重合的两个平行力所组成的力系。
这种力系只能使物体产生转动效应
而不能使物体产生移动效应。
例如，
司机用双手操纵方向盘，木工用丁字
头螺丝钻钻孔，以及用拇指和食指开
10
关自来水龙头或拧钢笔套等。
这种大小相等、方向相反、作用线不重合的两个平行力称为力偶。
用符号（F，F′）表示。
力偶的两个力作用线间的垂直距离d称为力偶臂，力偶的两个力所构成的平面称为力偶作用面。
教师：实践表明，当力偶的力F越大，或力偶臂越大，则力偶使物体的转动效应就越强；反之就越弱。
因此，与力矩类似，我们用F与d的乘积来度量力偶对物体的转动效应，并把这一乘积冠以适当的正负号称为力偶矩，用m表示，即
Fd
m±
=
学生：理解记住公式。
教师：强调式中正负号表示力偶矩的转向。
通常规定：若力偶使物体作逆时针方向转动时，力偶矩为正；反之为负。
在平面力系中，力偶矩是代数量。
力偶矩的单位与力矩相同。
学习并理解力偶的基本性质4、力偶的基本性质
（1）力偶没有合力，不
能用一个力来代替
（2）力偶对其作用面
教师：绘制图形，说明由于力偶中的
两个力大小相等、方向相反、作用线
平行，如果求它们在任一轴x上的投
影，如图所示。
设力与轴x的夹角为
α，由图可得
cos
cos=
'
-
=
∑α
αF
F
X
这说明，力偶在任一轴上的投影等于
零。
既然力偶在轴上的投影为零，，所
以力偶对物体只能产生转动效应，
而一个力在一般情况下，对物体可
产生移动和转动两种效应。
学生：思考力偶和力对物体的作用效
应不同，力偶能不能用一个力来代
替？得出力偶不能简化为一个力，因
而力偶也不能和一个力平衡，力偶只
能与力偶平衡。
20
内任一点之矩都等于力偶矩，与矩心位置无关（3）同一平面内的两个力偶，如果它们的力偶矩大小相等、转向相同，则这两个力偶等效，称为力偶的等效性。
教师：绘图并讲解，
力偶的作用是使物体产生转动效应，
所以力偶对物体的转动效应可以用
力偶的两个力对其作用面某一点的
力矩的代数和来度量。
图中所示力偶（F，F′），力偶臂为d，逆时针转向，其力偶矩为m=Fd，在该力偶作
用面内任选一点O为矩心，设矩心
与F′的垂直距离为x。
显然力偶对
O点的力矩为
m
Fd
x
F
x
d
F
F
F
M=
=
⋅'
-
+
=
')
(
)
,
(O
10此值就等于力偶矩。
这说明力偶
对其作用面内任一点的矩恒等于力
偶矩，而与矩心的位置无关。
教师：引导学生从以上性质还可得出
两个推论：
（1）用面内任意移转，而不会改变
它对物体的转动效应。
（2）在保持力偶矩大小和转向不变
的条件下，可以任意改变力偶的力的
大小和力偶臂的长短，而不改变它
对物体的转动效应。
（3）力偶对于物体的转动效应完全
取决于力偶矩的大小、力偶的转向及
力偶作用面，即力偶的三要素。
学习平面力偶系的合成与平衡5、平面力偶系的合成与
平衡
教师：作用在同一平面内的一群力偶
称为平面力偶系。
平面力偶系合成可
以根据力偶等效性来进行。
合成的结
果是：平面力偶系可以合成为一个合
力偶，其力偶矩等于各分力偶矩的代
数和。
即
i
n
2
1m
m
m
m
M∑
=
+
+
+
=
讲解P10例3、4
20
课堂小结知识点总结本堂课的重点是力矩力
偶等概念，并掌握其求
解步骤。
5
作业布置
如图所示，在物体同一平面内受到三个力偶的作用，设
m N 150 N,400 N,20021⋅===m F F ，求其合成的结果。
教学后记（反映教师教学得失与改进措施）。