全国高中物理竞赛专题八 物体的性质训练题答案

1、 证明成分相同而体积、温度不相等的两杯液体，混合后总体积不变，在混合过程中与外界隔热．证明 绝热： ()()1012020mC t t m C t t -+-= 平衡温度： 1122012m t m t t m m +=+设00C 时液体密度0ρ，则 11002200,m V m V ρρ== 两杯液体的初态体积分别为()()110122021,1V V t V V t ββ=+=+ 混合液体的温度0t ，则()()''110022001,1V V t V V t ββ=+=+于是()()()''121020102001122102001012021211V V V V V V V t m t m t V V V t V t V V ββρββ=+=++++=++=+++=+得证．2、 已知氯化钠的摩尔质量25.8510kg mol μ-=⨯ ，密度为332.2210kg m ρ-=⨯ ，估算两相邻钠离子的最近距离（要求一位有效数字）．解：取1molNaCl 为研究对象，其摩尔体积为 V μρ= 每个分子所占据的体积为A AV N N μρ= 由离子晶体NaCl 的排列特点可知：一个Na +和一个Cl -占有相当于两个小立方体的空间体积，因此每个小立方体的体积为'2AV N μρ=故小立方体的边长为a =两相邻Na +的最近距离为()10410m d -==⨯3、 厚度均为0.2mm h =的钢片和青铜片，在1293K T =时，将它们的端点焊接起来，成为等长的平面双金属片．若钢和青铜的线膨胀率分别为510K -和5210K -⨯．当把它们的温度升高到2393K T =时，它们弯成圆弧形，试求这圆弧的半径．解：两金属片膨胀弯曲后两圆弧所对的圆心角相等，每一金属片加热后的长度与它是否弯曲无关，所以根据加热后金属片的长度（弧长）等于相应的半径与圆心角的乘积可求得问题的解．每一金属片中性层长度等于它加热后的长度，与是否弯曲无关．设弯成圆弧的半径为R ，ϕ为圆弧所对圆心角，1α和2α分别为钢片和青铜片的线膨胀率：L 为金属片原长，1L ∆和2L ∆分别为钢片和青铜片由1T 升高到2T 时的伸长量，如图所示．对于钢片()111212h R L LL L T T ϕα⎛⎫-=+∆ ⎪⎝⎭∆=- 对于铜片()222212h R L L L L T T ϕα⎛⎫+=+∆ ⎪⎝⎭∆=- 由以上四式可以得到()()()()1221212122T T R h T T αααα++-⎡⎤⎣⎦=-- 代入数据以后得()20.03cm R =4、 一根1.0m 长的竖直玻璃管，在020C 时用某种液体灌到一半，问当玻璃管温度升高到030C 时，液体高度变化了多少？取玻璃的线膨胀系数为501.010C α-=⨯，液体的体膨胀系数为5=4.010C β-⨯．解：温度升高，玻璃管的截面积会增大，液体的体积也会增大，分别求出这两个量以后即可求得030C 时液柱的高度．设00C 时玻璃管的截面积为0S ，液体的体积为0V ，则根据热膨胀规律，在020C 时玻璃管的截面积20S 、液体的体积20V 可表示为()()20020200201212S S t V V t αβ=+=+同理，在030C 时玻璃管的截面积30S 、液体的体积30V 可表示为 ()()30030300301212S S t V V t αβ=+=+另由题意得20200.5V S = 在030C 时液柱的高度可表示为 3030V h S =将有关数据代入后可得0.5001m h =，即当玻璃管温度升高到030C 时，液柱的高度增加了0.0001m ．5、 两根均匀的不同金属棒，密度分别为12ρρ、，线膨胀系数分别为12αα、，长度都为l ，一端粘合在一起，温度为00C ，悬挂棒于A 点，棒恰成水平并静止，如图所示，若温度升高到0C t ，要使棒保持水平并静止，需改变悬点，设位于B 点，求AB 间的距离．解：设A 点距两棒粘合端的距离为x ，则1222l l x x ρρ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解得 12122l x ρρρρ-=+同理，设膨胀后长度分别为12l l 、，密度仍近似为12ρρ、，B 点距粘合端的距离为'x ，则''121222l l x x ρρ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解得 '11221212l l x ρρρρ-=+而 ()()11221,1l l t l l t αα=+=+ 所以 ()()1122'122lt AB x x ραραρρ-=-=+ 6、 有三根端点互相连接的线浮在水面上，如图（a ）所示，其中1，2两条长1.5cm ，第三条长1cm ，先在圆中A 点处滴下某种杂质，使水的表面张力系数比原来减小了12.5倍，求每根线上的张力．然后再把该种杂质滴在B 点，再求每根线上的张力．已知水的表面张力系数=0.07N m σ．解：A 区液面含杂质之后，表面张力减小，因此2、3两根线受到外部液面的净拉力而成为一个圆，1线松弛．当B 区也含杂质后，1、2两根线形成一圆，3线松弛．1） A 区滴入杂质以后，形成图（b ）所示情况，圆周长2312.5cm,cm.2LL l l R π=+==取圆心角为θ的一小段弧，这一段线受相邻线段的张力T 和表面张力F 的作用而平衡，如图（c ）所示，根据共点力平衡的条件有AB123图（a ）图（b ）图（c ）图（d ）12sin2 2.5T R θσσθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭因为θ很小，所以 2sin222T TT θθθ==110.62.5T R R σθσθσθ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭所以()232410.30.30.07 2.5103.141.6710N 0LT T T σπ--==⨯⨯⨯==⨯=2） 在B 点也滴入杂质后，出现图（d ）情况，20.3m 2R π=用1）类似的解法可得到 ()4123210N ,0T T T -==⨯=7、 如图所示，一辆质量为M 、长度为L 的车厢可以无摩擦地沿轨道运行，车厢内充满气体，正中间由可动的竖直轻隔板分开，气体的初始温度为T ，右半侧车厢内装有加热器，使气体温度加热到2T ，左半侧车厢内气体温度保持初温，试求车厢发生的位移．气体的总质量为m ．解：右半侧车厢气体温度升高以后，可动竖直隔板向左运动，致使车厢整体向右运动． 开始加热前隔板在正中间意味着车厢左、右两侧中气体的初状态完全相同，即左、右两侧气体的质量也应相同．加热后当温度稳定时车厢两部分压强又相同，但体积显然不等．对车厢左、右侧气体分别根据克拉伯龙方程得122pV RT pV RTγγ==即可得1212V V = 所以隔板现在位于车厢左端3l L =处设水平轴x 沿轨道方向，选取车厢左端为初始坐标原点的零点，则开始时车厢的质心坐标等于12x L =．当隔板右侧气体温度升高时车厢往右移动一段距离a ，如图所示，系统质心新坐标为222262315212L m L m M a a L a x M m ML mLa M m⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=++=++因为系统在水平轴上不受外力作用，所以系统质心位置不变，即 12x x = 由此可得车厢移动的距离为()()15212212ML mL L a M m Lm M m +=-+=+ 8、 一内径均匀的U 型细玻璃管竖直倒立放置，A 端封闭，D 端为开口，如图所示，当竖直管AB 内空气温度为027C 时，管内封闭的空气柱长为40cm ，U 型管水平部分BC 长5cm ，充满了水银，当AB 管内的气温发生变化时，水平部分的水银将发生移动，设管外大气压强恒为75cmHg ，试求要使管内水银离开水平管BC ，AB 管内空气温度应是多少？解：若升温，水银将向CD 管转移，设某时刻CD 管中已有长为cm x 的水银，则由理想气体状态方程得()()75407540300x x T-+⨯= 显然当7540x x -=+，即17.5cm x =时，T 有极大值，但17.5cm>5cm x =，故实际在升温过程中没有突然自动转移的状态出现，即水银BC 全部转移到CD 管内时对应温度最高，由理想气体状态方程得()755457540300T-⨯⨯=得 ()315K T = 同理，在降温过程中，由()()75407540300x x T+-⨯= 得在17.5cm x =-时，T 才有最大值．故温度最低的状态对应水银全部转移到AB 管中时，即满足()()7554057540300T+-⨯= 得 ()280K T =故要使管内水银离开水平管BC ，AB 管内的温度应大于315K 或小于280K ． 9、 如图（a ）所示，有两个截面为S 的相同的U 形管1、2，其内部装有高度为1h 和2h 、密度为ρ的液体．现用同样截面的导管将两者在大气中密接起来，如图（b ）所示．导管中有一活塞D ，它把管中气体分成长度皆为0L 的两部分，每部分中气体的压强皆为大气压0p ．活塞与管壁间的最大静摩擦力为F ．现向U 形管1开口端缓慢注入一质量的同种液体，达到平衡时U 形管2的左侧液面高度变为3h ．试求注入液体的体积．解：设加入U 形管1中的液体体积为V ，则这部分液体在U 形管中的长度为 Vx S=（1） 令11R L h h 、分别表示U 形管1中左、右两侧液面的高度，2R h 表示U 形管2右侧液面的高度，根据液体的不可压缩性，由图（c ）可知111R 2=L h x h h ++ （2）(a)h (b)2R 322h h h += （3） 令L R p p 、分别代表系统达到新的平衡后活塞D 左、右两侧的气体压强，由平衡条件可得011L L R p gh p gh ρρ+=+ （4）302R R p gh p gh ρρ+=+ （5）L R Fp p S=+（6） 以L R L L 、分别代表系统达到新的平衡后活塞D 左、右两侧的气体的长度．若将中间密封气体视为理想气体，运用波马定律可以分别得到00L L R R p L p L p L == （7） 因为液体注入前后管子各部分的长度是不变的，因此有关系式1201R 322L R h h L h h L L ++=+++ （8） 最后解得()()()()1112131R000023002302322222422L R Fx h h h h h h h gSp L p L F h h L F gS p g h h p g h h Sρρρρ=+-=--++=-++--+-+-+ （9） 由（1）和（9）式可知，要注入液体的体积应为()()()000023002302322422Sp L Sp L F V S h h L g p g h h p g h h S ρρρ=-++--+-+-+ （10）10、在一个圆柱形容器中用移动活塞将气体分成两部分，每部分为1mol 单原子气体．容器左侧保持温度不变，活塞不导热，移动无摩擦，如图所示．求两边温度相等时右边气体的热容．解：活塞在不同位置，热容就可能不同，题目要求两边温度相等时右边(c)气体的热容，则只要抓住这个状态进行小过程分析，按照热容定义求解．在温度相等时，两边气体完全对称，所以活塞在正中央，左边气体，用“1”表示，右边气体用“2”表示．左边气体做等温变化，设活塞移动一个很小距离导致左边气体体积减小一个V ∆、压强增大p ∆，由气态方程有()110pV nR T ∆=∆= 展开即()()1111p p V V pV +∆-∆=略去二阶小量后有1p V p V ∆=∆ （1） 对右边气体由22p V nRT = （2）()()()22p p V V nR T T +∆+∆=+∆ （3）（3）-（2）得22p V pV nR T ∆+∆=∆ （4） 由于两边气体压强相等，且开始体积相等，则可设1212,p p p V V V ==== （5） （1）、（5）代入（4）得2p V nR T ∆=∆ （6） 对右边气体，外界对它做功为W p V ∆=-∆ 内能变化为V E nC T ∆=∆ 由热力学第一定律有V Q E W nC T p V ∆=∆-∆=∆-∆ （7） 对单原子气体有32V C R = （8） （6）、（8）代入（7）得2Q R T ∆=∆ 由热容定义有2QC R T∆==∆ 11、质量为1m 的圆筒水平地放置在真空中，质量为2m 、厚度可忽略的活塞将圆筒分为体积相同的两部分，圆筒的封闭部分充有mol n 的单原子理想气体，气体的摩尔质量为M ，温度为0T ，突然放开活塞，气体逸出．试问圆筒的最后速度是多少？设摩擦力、圆筒和活塞的热交换以及气体重心的运动均忽略不计．（012273K,0.6kg,0.3kg,25mol T m m n ====氦的摩尔质量为3410kg mol,-⨯12.6J mol K,53V C γ== ）解：过程的第一个阶段是绝热膨胀，膨胀到两倍体积后温度将是T ，根据绝热方程有()110002T V T V γγ--=因此12T T γ-=圆筒和活塞的总动能等于气体内能的损失，即()222211022V m v m v nC T T -=- 根据热量守恒定律，有2211m v m v = 解上述方程，得过程第一阶段结束时的圆筒速度1v =v由此得出结论：在过程第一阶段的最后瞬间，圆筒以速度1v 向右运动，此时活塞正好从圆筒冲出．我们把坐标系设置在圆筒上，所给的是一个在真空中开口的圆筒，筒内储有质量为nM 、温度为T 的气体．显然，气体将向右方流动，并推动圆筒向右以速度x v 运动，气体分子的动能由下式给出：2322m nMv nRT = 式中m v 是分子的平均速度[注：指均方根速率]，它由下述关系式给定：m v =平衡状态下各有16的分子在坐标轴方向来回运动，计算气体逸出时，假定有16的分子向圆筒的底部运动，这自然只是一级近似，因此，6nm 的质量以速度m v 向圆筒底部运动，并与筒底作弹性碰撞．之后圆筒以速度x v 、气体以速度g v 运动．对于弹性碰撞，动量守恒定律和机械能守恒定律成立，由动量守恒有166m g x nM nMv v m v =+ 由机械能守恒有222162622g m x nMv nMv m v =+⨯⨯ 解以上方程组，得到气体逸出后的圆筒速度为126g m nM v v m nM ==+气体分子的16以速度g v 反弹回来，g v 的绝对值要小于m v ，气体必然有较低的温度，其一部分内能使圆筒的动能增加，速度相加后得圆筒速度为()1x v v +，代入所给的数据：120.1kg,172.0K,325.7m s651.4m 1035m s,990m 56.0m sm g x nM T v v v v v ======-=得圆筒的最后速度为325.7m 56.0m 381.7m += 12、00C 时，一水银温度计玻璃泡的容积为0V ，毛细管的横截面积为0A ，玻璃的线胀系数为1α，水银的体胀系数为β．若00C 时，泡内恰好盛满水银，证明：1） 在0C t 时，设0A 不变，毛细管中水银的高度与t 成正比； 2） 若t 随温度变化，第一问的结论是否成立．解：1）神温度泡受热后0C t 时的体积为1V ，而玻璃泡内水银在0C t 时的体积为2V ，则()()()1012021011313V V t V V t V V V V t αββα=+=+∆=-=-温度升高后水银膨胀，有一部分水银溢到毛细管中，其上升高度为h ，值为 ()01003V t V h A A βα-∆== 由于此式中()0013V A βα-、、是恒量，因此h 与t 成正比． 2）若毛细管的横截面积随温度而变化 ()012A A t α=+ 如果21t α ，第一问的公式仍成立． 13、毛细管由两根内径分别为1d 和2d 的薄玻璃管构成，其中12d d <，如图所示．管内注入质量为M 的一大滴水，当毛细管水平放置时，整个水滴“爬进”细管内，而当毛细管竖直放置时，所有水从中流出来．试问当毛细管的轴与竖直方向之间成多大角时，水滴一部分在粗管内而另一部分在细管内？水的表面张力系数σ，水的密度为ρ．对玻璃管来说，水是浸润液体．解：由于对玻璃管来说，水是浸润液体，故玻璃管中的水面成图示的凹弯月面，且可认为接触角为00．当管水平放置时，因水想尽量和玻璃多接触，故都“爬进”了细管内．而当细管竖直放置时，由于水柱本身的重力作用使得水又“爬进”了粗管．毛细管轴与竖直线之间夹角为最大时，这实际上是整个水滴在毛细管内的情况，这时水柱长为max 2214M L d ρπ=于是根据平衡条件得 00max max 1244cos p p gL d d σσρα-=-+ 式中0p 为大气压强． 由此得到22max 1arccos1d d Mg d πσα⎛⎫=- ⎪⎝⎭同理，毛细管的轴与竖直线之间的夹角为最小值，这将是整个水滴位于粗管内的情况，这时水柱长min 2114M L d ρπ=根据平衡条件得00min min 1244cos p p gL d d σσρα-=-+ 由此得到11min2arccos 1d d Mg d πσα⎛⎫=- ⎪⎝⎭注：本题中的水面为凹液面，故附加压强4ad为负值． 14、有一气筒，除底部外都是绝热的，上边是一个可以上下无摩擦地移动不计重力的活塞，中间有一个位置固定的能导热的隔板，把筒分割成相等的两部分A 和B ，在A 和B 中各盛有1mol 氮气，如图所示，现有底部慢慢地将350J 的热量传送给气体，设导热板的热容量可忽略，求A 和B 温度改变了多少？它们各吸收了多少热量？若将位置固定的导热板换成可自由滑动的绝热隔板，其他条件不变，则A 和B 温度又改变了多少？解：A B 、中间的隔板导热，因而A B 、两部分气体温度始终相等，B 中温度升高后将等压膨胀．设末态时A B 、温度为'T ，对B 部分气体有''V VT T =B 部分气体对外做功为()'pVW p V V T T=-=∆ A B 、两部分气体的内能增量为5252E R T R T ∆=⨯∆=∆ 根据热力学第一定律得E Q W ∆=- 即()7.02K 6QT R∆== 对A 部分气体有()5145.8J 2A Q R T =∆= 对B 部分气体有()204.2J B A Q Q Q =-=若将A B 、之间位置固定的导热隔板换成可自由滑动的绝热隔板，则B 部分气体的温度将不会发生改变．因为A B 、部分气体压强相等，故A 部分气体对B 部分气体所做的功总是等于B 部分气体对大气做的功，即B 对外界做的净功为零，而A 部分气体则做等压膨胀，其对外做功可表示为'A W p V R T =∆=∆这一过程中A 部分气体内能的增量可表示为 '512A E R T ∆=⨯∆ 根据热力学第一定律可得'72A Q W E R T =+∆=∆ 代入数据后得()'11.5K A T ∆=15、 在水平放置的洁净平玻璃板上倒一些水银，由于重力和表面张力的影响，水银近似成圆饼形状（侧面向外突出），过圆饼轴线的竖直截面如图（a ）所示，已知水银的密度3313.610kg m ρ=⨯，水银的表面张力系数0.49N m σ=，当圆饼的半径很大时，试估算其厚度h 的数值大约是多少？（取一位有效数字）解：由于水银内部存在压强，使水银圆饼侧面向外突出，稳定时，此向外的作用力与水银侧表面张力（收缩趋势）平衡．如图（b ）所示，在圆饼的侧面处取宽度为x ∆，高为h 的面元S ∆，由于重力而产生的水银对S ∆的侧压力为21122F p S gh h x gh x ρρ=∆=∆=∆ 上式中12p gh ρ=为水银对侧面的平均压强．由于压力F 使圆饼侧面向外突出，设上下两层的表面张力的合力的水平分力'F 是指向水银内部的，其方向与F 的方向相反，设上表面处的表面张力1F 的方向与水平方向成θ角，则'F 的大小为()'12cos cos 1cos F F F x x x θσθσσθ=+=∆+∆=∆+当水银的形状稳定时，'F F =，由于圆饼半径很大，S ∆两侧表面张力3F 和4F 可认为方向相反而相互抵消，因而()211cos 2x gh x σθρ∆+=∆ 解得h =由于θ的实际数值一定大于0，小于2π，所以1将ρ和σ的数值代入上式得h ==h 的取值范围：()()332.710m 410m h --⨯<<⨯由此可得水银层厚度的估算值可取3310m -⨯或3410m -⨯．F F 4(b)16、如图所示，一根两端封闭、粗细均匀的石英管竖直放置，管内有一段水银柱，水银柱下方为空气，上方为一种可分解的双原子分子气体．这种双原子分子气体的性质是当温度0T T >时，它的双原子分子开始分解为单原子分子．若用0n 表示0T 时的双原子分子数，用n ∆表示()T T +∆时分解了的双原子分子数，则当T ∆很小时，分解遵循的规律为00n Tn T ∆∆=已知初始温度为0T ，此时下方空气柱的长度是02l ，上方气柱的长度为0l ，水银柱产生的压强为下方空气柱压强的α倍()01α<<．设石英管和水银柱体积随温度的变化可以忽略．试问：当温度由0T 稍稍增加时，水银柱是上升还是下降？解：设温度为0T 时，下方空气压强为0p ，当温度升为()0T T +∆时，其压强记为1p ．若设体积不变，则应有0100p p T T T=+∆ 即 1001T p p T ⎛⎫∆=+⎪⎝⎭温度为0T 时，由于水银柱所产生的压强为0p α，故上方双原子分子气体压强为 ()0001p p p αα-=-当温度升为()0T T +∆时，有n ∆个双原子分子分解为2n ∆个单原子分子．设0T 时双原子分子气体的物质的量为v ，则()0T T +∆时双原子分子气体的物质的量为01n v n ν⎛⎫∆=- ⎪⎝⎭双单原子分子气体的物质的量为2nv n ν∆=单 设石英管截面积为S ，由克拉伯龙方程有()()()()000000001.2.n p l S R T T R T T n np l S R T T R T T n νννν⎛⎫∆=+∆=-+∆ ⎪⎝⎭∆=+∆=+∆双双单单 故温度为0T T +∆时，上方气体的总压强2p 为 2p p p =+双单 上方气体的状态方程为()20001n p l S R T T n ν⎛⎫∆=++∆ ⎪⎝⎭上方气体在0T 时的状态方程为()0001p l S RT αν-= 由以上两式可得()2000111n T p p n T α⎛⎫⎛⎫∆∆=-++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭因00n Tn T ∆∆=，且T ∆很小，故可引入小量()1εε ． 令00n Tn T ε∆∆==这样，当温度由0T 变化到0T T +∆时，上方气体和下方气体的压强增量分别为()()()()()()220002111112p p p p p pααεααεε∆=--=-+--=-+上()100001p p p p p p εε∆=-=+-=下 上、下方气体压强增量之差为()()()()220012121p p p p p αεεεαεαε∆=∆-∆⎡⎤⎡⎤=-+-=-+-⎣⎦⎣⎦下上由于 01,1αε<< 因此，可以做出如下判断：当12α≤时，0p ∆>水银柱应下降； 当12α>时，0p ∆<水银柱应上升．17、水平放置的一个圆筒形的绝热容器（汽缸）容积为0100L V =，充以氦气，用不传热的活塞把绝热容器分成两部分，活塞能无摩擦地移动，在对容器左边那部分气体的增加100J Q ∆=热量的情况下，试计算当活塞停止移动后，在容器内的压强变化是多少？解：设左边气体的初始状态为()111p V T 、、，末状态为()222p V T 、、，则111222p V RT p V RT γγ==得 ()2122111T T p V p V Rγ-=- 对左边气体，根据热力学第一定律有()2132Q E AE R T T γ∆=∆+∆=- 对右边气体，因是绝热压缩，故0Q =，而()()()()''31202101''20221011323232A E R T T p V V p V V R R p V p V p V p V γγγ=∆=----==--+ 代入后得 ()21032Q p p V ∆=- 得 ()02667Pa 3Qp V ∆∆== 18、将压强为01atm p =的空气等温地压入肥皂泡内，最后吹成半径为3cm R =的肥皂泡，设肥皂泡的胀大过程是等温的，求吹成这个肥皂泡所需的总功．（已知肥皂液的表面张力系数21410N m σ--=⨯，肥皂泡沫很薄，内半径几乎等于外半径且等于R ，由肥皂泡膜引起膜内外的压强差为4p R σ∆=）解：将压强为0p 的空气等温压缩到p 的过程中，外界做的功为 010lnln p mpW RT pV p p μ=-= 肥皂泡由于面积增大外力做的功为222248W R R σπσπ== 因 04p p R σ=+ 故 1000441ln 1W p V Rp Rp σσ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因为41Rp σ故 0044ln 1Rp Rp σσ⎛⎫+=⎪⎝⎭ 即 32100044416133W p R R Rp Rp σσππσ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭外力所做的总功为()2312401.710J 3W W W R πσ-=+==⨯ 19、有一具有绝热壁的刚性圆柱形封闭汽缸内有一装有小阀门L 的绝热活塞，在气缸的左端装有电容器H ．起初，活塞紧贴右端内壁，L 关闭，整个气缸内装有一定质量的单原子理想气体，温度为()0K T ，活塞与气缸壁间摩擦可忽略，现设法把活塞缓慢压制气缸中央，并用销钉F 把活塞固定，从而把气缸分成体积相等的左、右两室，如图所示．在上述气体压缩过程中对气体做功W ，气体温度上升到()K T ．现开始L ，经足够长时间再关闭L ，然后拔出F ，并用H 加热气体．加热完毕经历一定时间以后，测得左室内气体压强变为加热前的1.5倍，右室的体积变为加热前的0.75倍，试求电热器传给气体的热量．解：将活塞由汽缸右端绝热压缩至汽缸中央的做功值已知，据此可求得缸内气体的摩尔数．开启小阀门L ，缸内左侧气体向右室气体自由膨胀．由加热前后两部分气体的压强、体积关系可求得加热后两部分气体的温度，进而可求得电热器传给气体的热量．将活塞从汽缸右端缓慢压至中央的过程为绝热压缩，设气体的摩尔数为γ，则 ()032W R T T γ=-开启小阀门L ，左边气体向真空自由膨胀，最后达到两边压强、温度都处处相等的平衡态．这一过程中左、右侧气体的温度均为T ．设左、右侧气体的体积、压强同为V p 、将L 关闭，拔出销钉F ，对左右室气体根据理想气体状态方程得1.5 1.251.50.75pV p VT T pV p V T T == 左右由此得 159,88T T T T ==右左 虽然加热过程中左边气体对右边气体做功，但是作为一个整体，它们并未对外做功，所吸收的热量就等于气体内能的增加，即()()()0332222342Q R T T R T T TW RT T T γγγ=-+-==- 右左20、如图所示，一端封闭、内径均匀的玻璃管长1m L =，其中有一截长'15cm L =的水银柱把一部分空气封闭在管中．当管水平放置时，封闭气柱A 长40cm A L =，当把管在竖直面内慢慢旋转至竖直位置后，再把开口端向下插入水银槽内，直至气柱A 的长度变为''37.5cm A L =为止，这时系统处于平衡．已知大气压为0750mmHg p =，温度不变，求槽内水银进入管内的水银柱高度h ． 解：当管内水平倒转开口向下时，A 内空气压强由750mm A p =减小为()'750150m m H g A p =-，空气柱由400mm A L =增为'A L ，由玻意耳定律''500mm A AA Ap L L p == 此时开口端空气柱长度'x L 为'1000500150350mm x L =--=可见开口端气体有（长度为100mm ）外泄，此时开口端压强仍为大气压'750mmHg B B p p ==因管插入水银槽后，A 内气体长度减小为''375mm A L =，由于气体质量一直未变，由玻意耳定律：''''800mmHg A AA Ap L p L == 此时开口端被封闭空气压强为''800150950mmHg x p =+=这部分空气柱长度为''''''750350276mm 950x x xx p L L p ⨯==≈ 因此，进入玻璃管中的水银柱的高度为1000375150276199mm h =---= 21、一球形热气球，其隔热很好的球皮连同吊篮等装载的总质量为300kg ，经加热后，气体膨胀到最大体积，此时它的直径为18m ，球内外气体成分相同，而球内气体压强则稍高过大气压．试求出刚好能使热气球上升时球内空气的温度．已知此时大气温度为027C ，压强为1标准大气压，在标准状态下空气的密度为31.3kg m ．解：热气球排开空气质量为 31143M r πρ=式中，9m r =为球半径，1ρ是温度1300K T =、压强11atm p =的空气密度．因标准状态下的空气密度30 1.3kg m ρ=，由于mVρ=，故由克拉伯龙方程有31010101.18kg m p T T p ρρ== 代入得 13603kg M = 故气球内热空气的质量2M 为21300kg 3303kg M M =-=气球内热空气的压强为211atm p p ≈=，温度记为2T ，体积V 即为热气球容积，摩尔质量为γ，则有222M p V RT γ=即222p VT M Rγ=对于被热气球排开的质量为1M 的空气，有 111M p V RT γ=即111M T VRp γ=代入2T 的表达式，得 212121327K p M T T M p == 为使热气球刚好上升，球内空气应加热到327K ． 22、图为一种测量低温用的气体温度计．下端是侧温泡A ，上端是压力计B ，两者通过绝热毛细管相连，毛细管容积不计．先把测温计在室温0T 下充气到压强0p ，然后加以密封．将A 浸入待测液体内，当A 和液体达到热平衡后B 的读数为p ，A 和B 的容积分别为A V 和B V ，求待测液体的温度．B解：对A B 、的初、末状态分别用克拉伯龙方程，有A 的初状态 100A m p V RT M =A 的末状态 2A mpV RT M =B 的初状态 300B mp V RT M =B 的末状态 40B mpV RT M =因为整个装置是密封的，所以有132400000A B A B m m m m p V Mp V M pV M pV M RT RT RT RT +=++=+消去M R 、得00000A B A Bp V p V pV pV T T T T +=+这样我们就用克拉伯龙方程推出了混合气体的状态方程，整理后可以得到 00011B A T pT p V p V p =⎛⎫+- ⎪⎝⎭23、如图所示，在一根上端开口、下端封闭的竖直玻璃管内，下端有60cm 长的水银柱，中段有18cm 的空气柱，上端有45cm 长的水银柱，水银面恰平管口，已知大气压075cmHg p =，若使玻璃管绕其下端在竖直平面内缓慢转一周（设温度不变），问管中空气柱的长度变为多少？解：当玻璃管绕其下端缓慢转过090C 以后，A 部分水银开始有溢出，达0180C 时溢出的水银最多，本题的关键是要确定这个状态时，A 端水银是否全部溢出，如没有还剩多长？把管转至开口向下时，设A 部分水银还剩cm h ，此时B 部分气体压强为2p ，则 215cm,60cmHg h p ≤≥其中小于号对应的状态为C段水银与管顶接触且还存在作用力，等于号对应的状态有两种可能：一种是C 段水银虽与管顶接触但恰无作用力；另一种是C 段水银与管顶之间有一段真空．管中向上时B 部分气体有：311120cmHg,18cm ,p V S ==转至开口向下时取260cmHg p =，根据玻意耳定律1122pV p V = 得此时B 部分气柱长为36cm因为361560111601845++=<++，这说明A 段水银已只剩15cm ，C 段水银与管顶之间还有一段真空存在了，即对应上面的第三种情况．所以，当管再缓慢转至开口向上时，B 部分气体的压强390cmHg p =，再根据玻意耳定律1133pV p V =，得最后管中气柱长为24cm ．。