平面图形面积计算
平面图形的周长和面积计算公式
小学数学图形计算公式
一、正方形（a表示边长，C表示周长，S表示面积）
正方形的周长=边长X4
字母表示为：C=4a
正方形的面积=边长＞边长
字母表示为：S=a X a
二、长方形（a表示长，b表示宽，C 表示周长，S表示面积）
长方形的周长=（长+宽）冷
公式：C= （a+b）X
长方形的面积=长＞宽
字母表示为：S=a X b
三、三角形（s面积a底h高）
三角形的面积二底＞高煜
字母表示为：s=a 0吃
三角形的高二面积＞2殒
字母表示为：h = s ＞为
三角形的底二面积＞2嘀
字母表示为：a = s ＞讳
四、平行四边形（a表示底，h表示高，S表示面积）
平行四边形的面积二底為
字母表示为：S= a ＞h
平行四边形的高=面积殒
字母表示为：h= s为
平行四边形的底=面积嚅
字母表示为：a= s讳
五、梯形（s表示面积，a表示上底，b 表示下底，h表示高。
）
梯形的面积=（上底+下底）嘀吃字母表示为：s=（a+b） Xi £
梯形的（上底+下底）=面积X2嘀字母表示为：a+b = s ^2讳
梯形的高=面积^2* （上底+下底）字母表示为：h = s ^2为+b。
面积的基本概念和计算
面积的基本概念和计算面积是几何学中的一个重要概念，用来描述平面图形所覆盖的面积大小。
在日常生活和学习中，我们经常会遇到需要计算或比较面积的情况，比如房屋的面积、学校的操场面积等。
因此，了解面积的基本概念和计算方法对我们的生活和学习都非常有帮助。
一、面积的基本概念面积是用来衡量平面图形所占空间的大小的一个数值。
在数学中，面积通常用单位平方来表示，如平方米、平方厘米等。
不同的平面图形有各自的面积计算方法，下面我们来介绍几种常见的平面图形及其面积计算方法。
1. 矩形的面积计算矩形是最常见的平面图形之一，其面积计算非常简单，只需要将矩形的长和宽相乘即可。
例如，一块长为5米，宽为3米的矩形地毯的面积为5米 × 3米 = 15平方米。
2. 正方形的面积计算正方形是特殊的矩形，其四条边长度相等。
因此，正方形的面积计算也非常简单，只需要将正方形的边长平方即可。
例如，一个边长为4厘米的正方形的面积为4厘米 × 4厘米 = 16平方厘米。
3. 三角形的面积计算三角形是由三条边和三个内角组成的平面图形。
计算三角形的面积需要用到高和底边的概念。
具体计算方法为将底边长度乘以高，然后除以2。
例如，一个底边长为6厘米，高为4厘米的三角形的面积为（6厘米 × 4厘米）÷ 2 = 12平方厘米。
二、面积的计算公式除了上述的基本面积计算方法外，还有一些更为复杂的图形的面积计算公式，下面我们来介绍几个常见的图形及其对应的面积计算公式。
1. 圆的面积计算圆是一个没有边界的几何图形，其面积计算需要用到圆周率π。
圆的面积计算公式为面积等于半径的平方乘以圆周率。
例如，一个半径为3厘米的圆的面积为3厘米 × 3厘米× π ≈ 28.27平方厘米。
2. 梯形的面积计算梯形是由两条平行的边和两条斜边组成的平面图形。
计算梯形的面积需要用到上底、下底和高的概念。
具体计算方法为将上底与下底之和乘以高，然后除以2。
平面图形计算公式(周长与面积)
平面图形的计算（周长与面积）：
平行四边形面积公式：ah S =（其中a 表示底，h 表示高，S 表示面积） 三角形面积公式：ah S 2
1=
（其中a 表示底，h 表示高） 直角三角形面积公式：ab S 21=（其中a 、b 表示两个直角边） 长方形周长公式：()b a C +=2（其中a 表示长，b 表示宽，C 表示周长）
长方形面积公式：ab S =（其中a 表示长，b 表示宽）
正方形周长公式：a C 4=（a 表示边长）
正方形面积公式：a a a S ⨯==2（a 表示边长） 梯形面积公式：()h b a S +=2
1（其中a 表示上底，b 表示下底，h 表示高） 圆的周长公式：r d C ππ2==（其中d 表示直径，r 表示半径，π为圆周率默认取值3.14） 圆的面积公式：22222⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛==ππππC d r S （其中r 表示半径，d 表示直径，π为圆周率） 圆环面积：()
2222r -r --R R S πππ===内圆面积外圆面积（其中R 表示外圆半径，r 表示内圆半径） 扇形面积：3602
r n S π=（其中n 表示圆周角）。
平面图形的面积计算公式的关系
上底, 下底, 高
②填一填下列表格
上底（b） 下底（a） 高 （h） 梯形的面积
（S）
活动： 请在下面格子图内画出高为4厘米，面积为20平 方厘米的梯形。提示：每个小正方形的边长为1厘米。
①要想画好这个梯形要知道哪几个数据？ ②填一填下列表格
上底（b）
4
3
2
1
下底（a）
6
7
高 （h）44 Nhomakorabea20 梯形的面积 （S）
学过哪几种平面图形的面积? 它们的面积怎么计算?
b
a
S长=ab
a a
S正=a 2
h a
S平=ah
b
a
h
h
a
ab
S三=ah÷2 S梯=(b+a)h÷2 b+a=2 S梯÷h
活动： 请在下面格子图内画出高为4厘米，面积为20平 方厘米的梯形。提示：每个小正方形的边长为1厘米。
①要想画好这个梯形要知道哪几个数据？
20
8
9
4
4
20 20
③在格子图中画出相应的梯形
数缺形少直观, 形缺数难入微.
数学家华罗庚先生
练习1、下面四个图形的面积相等,另外三个图形的底是多少？
8
（ 9 ） （ 9 ） （ 18 ）
10
练习2、 在上底为8，下底为10的梯形中添上 一条线，使它分成两个面积相同的部分，你
有几种不同的画法？
小学数学竞赛：基本图形的面积计算.教师版解题技巧 培优 易错 难
模块二、简单的割补
【例 12】图中“风车”（阴影部分）的面积等于 。
【考点】基本图形的面积计算【难度】2星【题型】填空
【关键词】希望杯，4年级，初赛，18题
【解析】由割补法知：这个风车可以拼成一个长为2厘米的正方形，所以它的面积是4平方厘米。
【答案】 平方厘米
【例 13】如图，正方形硬纸片ABCD的每边长20厘米，点E、F分别是AB、BC的中点，现沿图a中的虚线剪开，拼成图b所示的一座“小别墅”，则图b中阴影部分的面积是平方厘米。
【答案】 厘米
【例 10】如图3，边长为4的正方形 和边长为6的正方形 并排放在一起， 和 分别是两个正方形的中心(正方形对角线的交点)，则阴影部分的面积是______.
【考点】基本图形的面积计算【难度】4星【题型】填空
【关键词】希望杯，六年级，初赛，第10题，6分
【解析】等于一个直角梯形减去两个直角梯形的面积,(2+3)×5÷2-2×2÷2-3×3÷2=6.
【考点】基本图形的面积计算【难度】3星【题型】填空
【关键词】希望杯，五年级，复赛，第17题，10分
【解析】方法一、先计算四个长条形面积之和，再减去重叠部分．
=3×25+1×25+2×15+3×15-2×l-2×3-3×1-3×3=155.
方法二、可将四组平行线分别移至端线处，如图所示，移动后阴影部分面积不变。
【考点】基本图形的4年级，初赛，19题
【解析】四个边角的面积和为2×2×4=16，则水池的边长为：104÷2÷4=13，所以水池的面积是：13×13=169平方米。
【答案】 平方米
【例 3】每边长是10厘米的正方形纸片，正中间挖了一个正方形的洞，成为一个宽1厘米的方框。把五个这样的方框放在桌面上，成为一个这样的图案(如图所示)。问桌面上被这些方框盖住的部分面积是多少平方厘米?
面积的认识与计算
面积的认识与计算面积是在几何学中常见的一个概念，用来描述一个平面图形所占据的空间大小。
无论是学习数学还是进行日常生活中的测量，对面积的认识和计算都是必不可少的。
本文将介绍面积的概念、常见图形的面积计算方法以及一些实际应用。
一、面积的概念面积是一个二维概念，用于描述平面图形所包含的区域大小。
它通常以平方单位表示，如平方米、平方厘米等。
在数学中，面积常用符号“S”表示。
对于简单的几何形状，面积往往可以准确计算，而对于复杂的图形，可能需要采用近似计算的方法。
二、常见图形的面积计算方法1. 正方形和长方形的面积计算公式：正方形的面积计算公式为：S = a × a，其中“a”表示正方形的边长。
长方形的面积计算公式为：S = l × w，其中“l”表示长方形的长度，“w”表示长方形的宽度。
2. 三角形的面积计算公式：三角形的面积计算公式为：S = 0.5 × b × h，其中“b”表示三角形的底边长度，“h”表示三角形的高。
3. 圆的面积计算公式：圆的面积计算公式为：S = π × r^2，其中“r”表示圆的半径，“π”为一个常数，约等于3.14159。
4. 梯形的面积计算公式：梯形的面积计算公式为：S = 0.5 × (a + b) × h，其中“a”和“b”表示梯形的上底和下底的长度，“h”表示梯形的高。
5. 平行四边形的面积计算公式：平行四边形的面积计算公式为：S = b × h，其中“b”表示平行四边形的底边长度，“h”表示平行四边形的高。
三、面积计算的实际应用面积计算在日常生活和各个学科中都有重要应用。
以下是一些实际应用的例子：1. 房地产测量：在房地产领域，面积计算用于测量房屋室内面积、地块面积等，是进行房产交易和评估的基础之一。
2. 农业规划：农民和农业规划者需要计算土地的面积，以确定农作物的种植面积和灌溉水的用量等。
面积的计算方法
面积的计算方法面积是研究几何学的一个重要概念，用于测量平面图形或物体的大小。
不同形状的物体有不同的面积计算方法。
本文将介绍几种常见的面积计算方法。
一、矩形的面积计算方法矩形是最简单的平面图形，其面积计算公式为：面积 = 长 ×宽。
可以通过测量矩形的长度和宽度，将两个数值相乘得到矩形的面积。
例如，如果一个矩形的长为5米，宽为3米，那么它的面积可以通过计算 5 × 3 = 15 平方米得到。
二、三角形的面积计算方法三角形也是常见的平面图形，其面积计算公式为：面积 = 底边长度×高 ÷ 2。
三角形的底边为任意一边的长度，高为从底边到与之平行的另一边的垂直距离。
例如，如果一个三角形的底边长度为6米，高为4米，那么它的面积可以通过计算 6 × 4 ÷ 2 = 12 平方米得到。
三、圆的面积计算方法圆是一个连续曲线所围成的一个闭合图形，其面积计算公式为：面积= π × 半径的平方。
其中，π是一个无理数，约等于3.14159。
例如，如果一个圆的半径为2米，那么它的面积可以通过计算3.14159 × 2 × 2 = 12.56636 平方米得到。
在实际应用中，我们通常会直接使用已知形状的面积计算公式，不需要进行详细的推导计算。
四、复杂图形的面积计算方法对于由多个简单图形组合形成的复杂图形，可以通过将其划分为简单的部分，计算各个部分的面积，然后将它们相加得到整个图形的面积。
例如，如果一个房间的形状是一个矩形底部加上一个三角形的屋顶，我们可以先计算矩形的面积，然后计算三角形的面积，最后将它们相加得到整个房间的面积。
总结面积是用来描述平面图形或物体大小的一个重要指标。
不同形状的物体有不同的面积计算方法，如矩形的面积等于长乘以宽，三角形的面积等于底边长度乘以高除以2，圆的面积等于π乘以半径的平方。
对于复杂图形，可以通过划分为简单部分，然后逐个计算各个部分的面积，再相加得到整个图形的面积。
小学五年级数学 平面图形的面积计算
算法（2）：12×5÷2=30（平方厘米）
× 算法（３）：１０×５÷２＝２５（平方厘米）
练习：选取有效的条件进行计算它们的面积。（单位：厘米）
５ ４ ８
５
８
１２
６ ５ １０
８ ４
１、平行四边形面积：８×４＝３２（平方厘米） ２、梯形面积：（８＋１２）×４÷２＝４０（平方厘米） ３、三角形面积：１０×５÷２＝２５（平方厘米）
Байду номын сангаас
练习： １２
６分米
（？）
１０
５米
Ｓ＝１０平方米
（１）： ６×１０÷１２＝５（分米） 或：１２x＝６×１０
（２）： ５x÷２＝１０ 或：１０×２÷５＝４（米）
1.5米
2米
3米
(1)求梯形面积: (1.5+2)×3÷2=5.25(平方米)=525(平方分米) (地板面积)
(2)求地砖面积: 20×20=400(平方厘米) =4(平方分米) (3)单位转换:(想一想) (4)求砖的块数: 525÷4=131.25≈132(块)
长方形、正方形 平行四边形 三角形 梯形
长方形
长方形面积=长×宽
S=ab
平行四边形
平行四边形面积=底×高
S=ah
正方形
正方形面积=边长×边长 S=a 2（a的平方）
三角形
三角形面积=底×高÷２
S=ah÷２
梯形
梯形面积=（上底＋下底）×高÷２
S=（a＋b）h÷2
练习：求下面图形的面积
单位：厘米
12 65
平面图形的周长、面积计算公式
平面图形的周长、面积的计算公式1、长方形（a长、b宽、c周长、s面积）ba二、正方形（s面积、a边长、c周长）1、正方形周长=边长X 4 C=4a2、边长=正方形周长 + 4 a=c +4a --------------------------------------------3、正方形的面积二边长＞边长2s=a X 或者s=a2三、平行四边形（a底、h高）1平行四边形的面积=底＞高S=ahh2、底二平行四边形的面积镐a=s咄3、高二平行四边形的面积詆h=s*a四、三角形（a底、h高、s面积）1、三角形的面积=底＞高吃S=ah 吃2、底=三角形的面积＞2 ^高a=s＞2 + h3、高=三角形的面积＞2 ■底五、梯形（a上底、b下底、h高、s面积）ahb1、梯形的面积=（上底+下底）＞高吃S=（a+b）Xi 吃2、高=梯形的面积*（上底+下底）＞2h=s*（a+b）＞23、（上底+下底）=梯形的面积^高＞2（a+b）=s^h ＞24、上底=梯形的面积^高＞2—下底a=s^h ＞2 —b六、圆（r半径、d直径、o圆心、s面积、c周长）21、圆的周长=直径＞圆周率c=d n2、圆的周长=半径＞2圆周率c=2n rS=n r2常见立体图形的表面积、体积计算公式1、长方体的表面积=（长X 宽+长X 高+宽X 高）X2S 表=(ab+ah+bh) X22、体积=长＞宽槁 V=abh】、正方体1、 长方体的表面积=棱长 ＞棱长X 3 S ^表 =a X a X6 2、 体积=棱长 ＞棱长 ＞棱长2S=n r360 n 360亠、长方体七、面积=圆周率X 半径的平V=a X a Xa 、圆柱体三、圆锥体a。
平面图形面积计算练习题
平面图形面积计算练习题面积是几何学中的重要概念，它用来描述图形的大小。
在数学中，我们经常需要计算各种平面图形的面积，这有助于我们深入理解几何学的基本原理，并且在日常生活中也有广泛应用。
本文将为大家提供一些平面图形面积计算的练习题。
一、正方形的面积计算正方形是最简单的图形之一，在计算面积时使用的公式是边长的平方。
例如，如果一个正方形的边长为a，那么它的面积可以表示为A = a^2。
练习题1：一个正方形的边长为5cm，求其面积。
解答：根据上述公式，我们可以计算出正方形的面积为A = 5^2 =25 cm^2。
二、矩形的面积计算矩形是一种常见的图形，它的两条相邻边分别相等且平行，面积的计算公式是长乘以宽。
即，如果一个矩形的长为L，宽为W，那么它的面积可以表示为A = L * W。
练习题2：一个矩形的长为6cm，宽为4cm，求其面积。
解答：根据上述公式，我们可以计算出矩形的面积为A = 6 * 4 = 24 cm^2。
三、三角形的面积计算三角形是由三条线段组成的图形，它的面积计算公式是底边乘以高再除以2。
即，如果一个三角形的底边长度为b，高度为h，那么它的面积可以表示为A = (b * h) / 2。
练习题3：一个三角形的底边长度为8cm，高度为10cm，求其面积。
解答：根据上述公式，我们可以计算出三角形的面积为A = (8 * 10) / 2 = 40 cm^2。
四、圆的面积计算圆是一个非常特殊的图形，它的面积计算公式是半径的平方乘以π（圆周率）。
即，如果一个圆的半径为r，那么它的面积可以表示为A = π * r^2。
练习题4：一个圆的半径为3cm，求其面积（取π ≈ 3.14）。
解答：根据上述公式，我们可以计算出圆的面积为A = 3.14 * 3^2 ≈28.26 cm^2。
五、梯形的面积计算梯形是一个有两条平行边的图形，它的面积计算公式是上底加下底乘以高再除以2。
即，如果一个梯形的上底长度为a，下底长度为b，高度为h，那么它的面积可以表示为A = ((a + b) * h) / 2。
平面图形和立体图形的计算公式
平面图形和立体图形的计算公式1、正方形C：周长S：面积a：边长周长＝边长×4 C=4a 面积=边长×边长 S=a×a=2a 2、正方体V:体积a:棱长表面积=棱长×棱长×6 S表=a×a×6体积=棱长×棱长×棱长 V=a×a×a=3a3、长方形C：周长S：面积a：边长周长=长+宽×2 C=2a+b面积=长×宽 S=ab4、长方体V:体积s:面积a:长b: 宽h:高1表面积长×宽+长×高+宽×高×2 S=2ab+ah+bh2体积=长×宽×高 V=abh5、三角形s：面积a：底h：高面积=底×高÷2 s=ah÷2三角形高=面积×2÷底三角形底=面积×2÷高6、平行四边形s：面积a：底h：高面积=底×高 s=ah7、梯形s：面积a：上底b：下底h：高面积=上底+下底×高÷2 s=a+b× h÷28、圆形S：面积C：周长лd=直径r=半径1周长=直径×л=2×л×半径 C=лd=2лr2面积=半径×半径×л=π2r9、圆柱体v:体积h:高s：底面积r:底面半径c:底面周长1侧面积=底面周长×高=ch2лr或лd 2表面积=侧面积+底面积×2 3体积=底面积×高 4体积＝侧面积÷2×半径10、圆锥体v:体积h:高s：底面积r:底面半径体积=底面积×高÷3。
平面图形面积的计算
第一讲 平面图形面积知识平台：1．常见的几种规则图形（1）三角形定义：由三条线段首尾直接围成的图形叫做三角形。
锐角三角形（三个角都是锐角） 三角形直角三角形（有一个角是直角）（按角分） 钝角三角形（有一个角是钝角）不等边（腰）三角形三角形 只有两条边相等的三角形（按边分） 等腰三角形等边三角形直角梯形梯形 等腰梯形长方形四边形 平行四边形 菱形2．面积计算公式（1）三角形（2）四边形范例点击例1 已知大正方形的边长是5厘米，小正方形的边长是3厘米，求阴影部分面积。
阴影部分的面积为两个正方形面积之和减去两个空白三角形的面积。
52+32-52÷2-（5+3）×3÷2=9。
5平方厘米例2 如图，已知BCEF 是平行四边形，三角形ABC 是直角三角形，BC 长8厘米，AC 长7厘米，阴影部分面积比三角形ADH 面积大12平方厘米，求HC 的长度是多少？阴影部分面积比三角形ADH 面积大12平方厘米，则平行四边形面积比三角形ABC 的面积大12平方厘米。
求出平行四边形面积后就可求出平行四边形的高。
8×7÷2+12=40平方厘米 40÷8=5厘米。
例3 如图，已知阴影部分的面积为120平方厘米，P 、M 分别是AB 、BC 的中点，长方形宽是16厘米，求长方形的长是多少？若以三角形BPM 的面积为一个单位，三角形ADP 和三角形CDM 的面积均为三角形BPM 的2倍，而长方形面积是三角形BPM 的8倍，那么阴影部分面积是三角形BPM 的3倍，A B C D E FH所以，长方形面积为：120÷3×8=320平方厘米，可求出长方形的长：320÷16=20厘米。
例4 如图，长方形ABCD 中，BC=15厘米，CD=8厘米，三角形AFB 的面积比三角形DEF 的面积大30平方厘米，求DE 的长是多少厘米？三角形ABF 的面积比三角形BCE 的面积大30平方厘米，则有长方形ABCD 的面积比三角形BCE 的面积大30平方厘米。
平面图形面积计算公式
平面图形面积计算公式数列公式是数学中常考的内容，下面本店铺高中本店铺跟大家分享一些关于平面图形面积计算公式，希望能为同学们提供这方面知识的良好指导。
平面图形名称符号周长C和面积S正方形a—边长C=4aS=a2长方形a和b-边长C=2(a+b)S=ab三角形a,b,c-三边长h-a边上的高s-周长的一半A,B,C-内角其中s=(a+b+c)/2S=ah/2=ab/2·sinC=[s(s-a)(s-b)(s-c)]1/2=a2sinBsinC/(2sinA)四边形d,D-对角线长α-对角线夹角S=dD/2·sinα平行四边形a,b-边长h-a边的高α-两边夹角S=ah=absinα菱形a-边长α-夹角D-长对角线长d-短对角线长S=Dd/2=a2sinα梯形a和b-上、下底长h-高m-中位线长S=(a+b)h/2=mh圆r-半径d-直径C=πd=2πrS=πr2=πd2/4扇形r—扇形半径a—圆心角度数C=2r+2πrX(a/360)S=πr2X(a/360)弓形l-弧长b-弦长h-矢高r-半径α-圆心角的度数S=r2/2·(πα/180-sinα)=r2arccos[(r-h)/r] - (r-h)(2rh-h2)1/2 =παr2/360 - b/2·[r2-(b/2)2]1/2=r(l-b)/2 + bh/2≈2bh/3圆环R-外圆半径r-内圆半径D-外圆直径d-内圆直径S=π(R2-r2)=π(D2-d2)/4椭圆D-长轴d-短轴S=πDd/4立方图形名称符号面积S和体积V正方体a-边长S=6a2V=a3长方体a-长b-宽c-高S=2(ab+ac+bc)V=abc棱柱S-底面积h-高V=Sh棱锥S-底面积h-高V=Sh/3棱台S1和S2-上、下底面积h-高V=h[S1+S2+(S1S1)1/2]/3 拟柱体S1-上底面积S2-下底面积S0-中截面积h-高V=h(S1+S2+4S0)/6圆柱r-底半径h-高C—底面周长S底—底面积S侧—侧面积S表—表面积C=2πrS底=πr2S侧=ChS表=Ch+2S底V=S底h=πr2h空心圆柱R-外圆半径r-内圆半径h-高V=πh(R2-r2)直圆锥r-底半径h-高V=πr2h/3圆台r-上底半径R-下底半径h-高V=πh(R2+Rr+r2)/3球r-半径d-直径V=4/3πr3=πd2/6球缺h-球缺高r-球半径a-球缺底半径V=πh(3a2+h2)/6=πh2(3r-h)/3a2=h(2r-h)球台r1和r2-球台上、下底半径h-高V=πh[3(r12+r22)+h2]/6圆环体R-环体半径D-环体直径r-环体截面半径d-环体截面直径V=2π2Rr2=π2Dd2/4桶状体D-桶腹直径d-桶底直径h-桶高V=πh(2D2+d2)/12(母线是圆弧形,圆心是桶的中心)V=πh(2D2+Dd+3d2/4)/15(母线是抛物线形)生活中出处充满数学的趣味，在这里本店铺整理了平面图形面积计算公式，希望同学们能在学习快乐中了解数学，学习进步。
计算面积的五种方法
计算面积的五种方法计算面积是数学中的基本概念之一，它是指一个平面图形所占据的空间大小。
在日常生活中，我们经常需要计算面积，比如测量房间的面积、计算地块的面积等等。
本文将介绍五种计算面积的方法。
一、平行四边形法平行四边形法是计算平行四边形面积的常用方法。
它的计算公式为：面积=底边×高。
其中，底边是平行四边形的一条边，高是从底边垂直向上的线段长度。
例如，一个底边长为5cm，高为3cm的平行四边形的面积为15平方厘米。
二、三角形法三角形法是计算三角形面积的常用方法。
它的计算公式为：面积=底边×高÷2。
其中，底边是三角形的一条边，高是从底边垂直向上的线段长度。
例如，一个底边长为6cm，高为4cm的三角形的面积为12平方厘米。
三、梯形法梯形法是计算梯形面积的常用方法。
它的计算公式为：面积=(上底+下底)×高÷2。
其中，上底和下底分别是梯形的上下两条平行边的长度，高是从上底向下底垂直的线段长度。
例如，一个上底长为3cm，下底长为5cm，高为4cm的梯形的面积为16平方厘米。
四、圆形法圆形法是计算圆形面积的常用方法。
它的计算公式为：面积=π×半径的平方。
其中，π是一个常数，约等于3.14，半径是圆的半径长度。
例如，一个半径为2cm的圆的面积为12.56平方厘米。
五、复合图形法复合图形法是计算由多个简单图形组成的复合图形面积的方法。
它的计算方法是将复合图形分解成若干个简单图形，然后分别计算每个简单图形的面积，最后将它们的面积相加得到复合图形的面积。
例如，一个由一个矩形和一个三角形组成的复合图形，可以将它分解成一个矩形和一个三角形，分别计算它们的面积，然后将它们的面积相加得到复合图形的面积。
计算面积是数学中的基本技能之一，掌握了这些计算方法，可以更加方便地进行测量和计算。
数学分析10.1平面图形的面积
第十章 定积分的应用 1 平面图形的面积公式1：连续曲线y=f(x)(≥0)，以及直线x=a, x=b(a<b)和x 轴所围曲边梯形面积为：A=⎰b a f(x )dx=⎰ba y dx.若f(x)在[a,b]变号，则所围图形的面积为：A=⎰b a |f(x )|dx=⎰ba |y |dx.公式2：上下两条连续曲线y=f 2(x)与y=f 1(x)以及两条直线x=a 与x=b(a<b)所围的平面图形面积为：A=⎰ba 12(x )]-f (x )[f dx.例1：求由抛物线y 2=x 与直线x-2y-3=0所围图形的面积A. 解法一：A 等同于由抛物线y=x 2与直线y=2x+3所围图形的面积. 解方程组：⎩⎨⎧=+= x y 32x y 2，得⎩⎨⎧==9y 3x , ⎩⎨⎧=-=1y 1x . ∴A=⎰-+312)x -3(2x dx=[32-(-1)2]+3[3-(-1)]-3(-1)-333=332. 解法二：如图，图形被x=1分为左右两部分， A 左=⎰--10)]x (x [dx=3⎰10x dx=34. A 右=⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛-9123-x x dx=312-9233-41-922+21)-(93⨯=328. A= A 左+ A 右=34+328=332.公式3：设曲线C 为参数方程x=x(t), y=y(t), t ∈[α,β]，在[α,β]上y(t)连续，x(t)连续且可微且x ’(t)≠0(类似地可讨论y(t)连续可微且y ’(t)≠0的情形). 记a=x(α), b=x(β), (a ≠b)，则由曲线C 及直线x=a, x=b 和x 轴所围的图形，其面积计算公式为：A=⎰'βα(t)x )t (y dt.例2：求由摆线x=a(t-sint), y=a(1-cost) (a>0)的一拱与x 轴所围平面图形的面积.解：摆线的一拱可取t ∈[0,2π]，又x ’=a(1-cost)， ∴A=⎰-2π022)t cos 1(a dt=3πa 2.公式4：若参数方程所表示的曲线是封闭的，即有x(α)=x(β), y(α)=y(β)， 且在(α,β)内曲线自身不再相交，则由曲线自身所围图形面积为： A=⎰'βα(t)dt x )t (y 或A=⎰'βα(t)dt y )t (x .例3：求椭圆22a x +22by =1所围的面积.解：化为参数方程：x=asint, y=bcost, t ∈[0,2π], 又x ’=acost ， ∴A=⎰2π02tdt abcos =πab.公式5：设曲线C 为极坐标方程r=r(θ), θ∈[α,β]，且r(θ)在[α,β]上连续, β-α≤2π.由曲线C 与两条射线θ=α, θ=β所围成的平面图形，通常也称为扇形，此扇形的面积为：A=⎰βα2d θ)θ(r 21. 证：如图，对区间[α,β]作任意分割T ：α=θ0<θ1<…<θn-1<θn =β， 射线θ=θi (i=1,2,…,n-1)把扇形分成n 个小扇形.∵r(θ)在[α,β]上连续，∴当T 很小时，在每一个△i =[θi-1, θi ]上r(θ)的值变化也很小，任取ξi ∈△i ，便有r(θ)≈r(ξi ), θ∈△i , i=1,2,…,n.这时，第i 个小扇形的面积△A i ≈21r 2(ξi)△θi , ∴A ≈∑=n1i 21r 2(ξi )△θi .当T →0时，两边取极限，就有A=⎰βα2d θ)θ(r 21.例3：求双纽线r 2=a 2cos2θ所围平面图形的面积. 解：如图，∵r 2≥0，∴θ∈[-4π,4π]∪[43π,45π]，由图形的对称性可得： A=4·⎰4π02θdθ2cos a 21=a 2 sin2θ|4π0=a 2 .习题1、求由抛物线y=x 2与y=2-x 2所围图形的面积.解：求得两曲线交点为(-1,1), (1,1). ∴所围图形的面积为： A=⎰-1122)x -x -(2dx=38.2、求曲线y=|lnx|与直线x=101, x=10, y=0所围图形的面积. 解：所围图形的面积为： A=⎰10101|lnx |dx=-⎰1101lnx dx+⎰101lnx dx =-(xlnx|1101-⎰1101x dlnx)+ xlnx|101+⎰101x dlnx=-(101ln10-109)+10ln10-9=1099ln10-1081.3、抛物线y 2=2x 把圆x 2+y 2=8分成两部分，求这两部分面积之比. 解：问题等同于抛物线y=21x 2把圆x 2+y 2=8分成两部分，求面积比. 它们的交点为(2,2),(-2,2). 记两部分的面积为A 1,A 2，则A 1=⎰--2222)x 21x -8(dx=8⎰-4π4π2θcos d θ-38=2π+34；A 2=8π-A 1=6π-34.∴21A A =34-6π34+2π=2 -9π2 +3π.4、求内摆线x=acos 3t, y=asin 3t (a>0)所围图形的面积. 解：如图，所围图形面积为： A=4⎰'2π033dt |)t t(asin cos a |=12a2⎰2π024tdttsin cos=12a 2⎰2π024tdt tsin cos =83πa 2.5、求心形线r=a(1+cos θ) (a>0)所围图形的面积. 解法一：根据心形线的对称性，得A=2·⎰+π022d θ)θcos 1(a 21=a 2⎰++π02d θ)θcos θcos 21(=23πa 2.解法二：化为参数方程：x=a(1+cos θ)cos θ, y=a(1+cos θ)sin θ, θ∈[0,2π]， A=|⎰'++2π0d θ]θsin )θcos θ[a(1cos )θcos a(1| =a 2|⎰-+2π0234θ)dθθsin cos θcos 2θcos (2|=23πa 2.6、求三叶形曲线r=asin3θ (a>0)所围图形的面积.解：根根三叶形曲线的形态特点，所围图形由相同的三部分组成，即 A=3⎰32π3π223θsin a 21d θ=⎰32π3π223θsin a 21d3θ=4πa 2.7、求曲线a x +by =1 (a,b>0)与坐标轴所围图形的面积. 解：曲线与x 轴的交点为(a,0)，∴所围图形的面积为： A=b ⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-a0a x a x 21dx=6ab.8、求曲线x=t-t 3, y=1-t 4所围图形的面积.解：当t=-1,1时，x=0,y=0，∴曲线在t ∈[-1,1]围成封闭图形，即 A=|⎰'-11-43)t -)(1t t (dt|=4|⎰-11-46)t t (dt|=3516.9、求二曲线r=sin θ与r=3cos θ所围公共部分的面积. 解法一：化为圆的方程：x 2+(y-21)2=41, (x-23)2+y 2=43. 它们的交点为O(0,0)与P(43,43)，∴所围公共部分的面积为： A=⎰⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+---⎪⎭⎫ ⎝⎛-4302223y 4321-y 41dy=⎰-6π2π2t cos 41dt+⎰3π02t cos 43dt -833 =323+12π+3233+8π-833=245π-43. 解法二：由sin θ=3cos θ, 得tan θ=3，∴二曲线相交于θ=3π.A=⎰3π02θsin 21d θ+⎰2π3π2θcos 23d θ=-)1(cos2θ413π0-⎰d θ+⎰+2π3π1)(cos2θ43d θ =-163+12π+8π-1633=245π-43.(参考解法)如图：求得P(43,43) S 阴=S P OO 1扇形+S P OO 2扇形-S P OO 1∆ -S P OO 2∆ =3πOO 12+6πOO 22-21·43·OO 1-21·43·OO 2=12π+8π-163-1633=245π-43.10、求两椭圆22a x +22b y =1与22b x +22ay =1(a>b>0)所围公共部分的面积.解：两椭圆在第一象限的交点为：⎪⎪⎭⎫⎝⎛++2222b a abb a ab ，. 根据图形的对称性，可得：A=8⎰+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--22baab022x a x 1b dx=4abarcsin 22b a b +-2222b a b 4a +.。
小学常用平面图形公式
常用平面图形公式
2017、6、15制版2022、3、15编辑打印
C= πd ；d = C ÷π或C=2πr ；
r=c÷π÷2
S圆=πr²r²=S÷π
S圆=π（ ）²（r=c÷π÷2）
S圆=π（c÷π÷2）²
圆周长
的一半：
等于圆的周长÷2
计算方法：2πr ÷ 2
即C半周长=πr
环形
（外圆的面积减去内圆的面积）
S环= πR²－πｒ²
S环= π（R²－ｒ²）
半圆
C半圆=πr＋2r=（π＋2）r
计算公式：C半圆=5.14 r
r= C半圆÷5.14
S半圆= S圆÷2
S半圆=πr²÷2=π（ ）²÷2
=π（c÷π÷2）内切圆的面积之比都是一个固定值，即：4∶π（圆面积是正方形面积的78.5％）S圆内正方形=2 r²S圆外正方形=4 r²
S圆外正方形∶ S圆内正方形=2:1S圆外正方形∶ S圆=4∶π S圆内正方形∶ S圆=2∶π
图形
周长
面积
正方形
周长＝边长×4 C=4a
面积=边长×边长 S=a×a=a²
长方形
周长=(长+宽)×2 C=2(a+b)
面积=长×宽 S=ab
平行
四边形
四条边之和
面积=底×高 s=ah
梯形
四条边之和
面积=(上底+下底)×高÷2
s=(a+b)× h÷2
三角形
三条边之和
面积=底×高÷2 s=ah÷2
圆形
圆与正方形、长方形周长与面积关系
当长方形，正方形，圆的周长相等时，圆面积最大，正方形居中，长方形面积最小。反之，面积相同时，长方形的周长最长，正方形居中，圆周长最短。
基本图形的面积计算方法
基本图形的面积计算方法面积是研究几何学中的一个重要概念，它描述了一个物体或图形所占据的平面范围的大小。
在几何学中，面积的计算方法与图形的形状有关，在本文中，我将介绍一些常见基本图形的面积计算方法。
一、三角形的面积计算方法三角形是最简单的平面图形之一，其面积计算公式为：面积 = 底边长度 ×高 / 2其中，底边长度是指三角形的底边的长度，高是指从底边到与之平行的顶点的垂直距离。
二、矩形的面积计算方法矩形是一个拥有四个直角的四边形，其面积计算公式为：面积 = 长 ×宽其中，长代表矩形的长边的长度，宽代表矩形的短边的长度。
三、正方形的面积计算方法正方形是一种特殊的矩形，其四条边相等，且都是直角形成的。
正方形的面积计算公式为：面积 = 边长 ×边长其中，边长指正方形的任意一条边的长度。
四、圆的面积计算方法圆是一个几何学中重要的图形，其面积计算公式为：面积= π × 半径 ×半径其中，π是一个无理数，可以近似取为3.14或22/7，半径代表圆的半径长度。
五、椭圆的面积计算方法椭圆是一个具有两个焦点的几何图形，其面积计算公式为：面积= π × 长半径 ×短半径其中，长半径代表椭圆的长轴的一半长度，短半径代表椭圆的短轴的一半长度。
六、正多边形的面积计算方法正多边形是一个具有相等边长和相等内角的多边形，例如正三角形、正四边形等。
对于正多边形的面积计算，我们可以使用以下公式：面积 = (边长 ×边长) × (边数/ 4 × tan(π / 边数))其中，边长代表正多边形的任意一条边的长度，边数代表正多边形的边的数量。
通过以上的介绍，我们可以看到不同基本图形的面积计算方法是不同的，但都可以通过找到合适的公式来求解。
掌握这些方法对于几何学的学习和实际应用都具有重要意义。
最后，需要注意的是，在应用这些面积计算方法时，要确保所使用的长度单位一致，以求得准确的面积值。
数学分析10.1平面图形的面积
第十章 定积分的应用 1 平面图形的面积公式1：连续曲线y=f(x)(≥0)，以及直线x=a, x=b(a<b)和x 轴所围曲边梯形面积为：A=⎰b a f(x )dx=⎰ba y dx.若f(x)在[a,b]变号，则所围图形的面积为：A=⎰b a |f(x )|dx=⎰ba |y |dx.公式2：上下两条连续曲线y=f 2(x)与y=f 1(x)以及两条直线x=a 与x=b(a<b)所围的平面图形面积为：A=⎰ba 12(x )]-f (x )[f dx.例1：求由抛物线y 2=x 与直线x-2y-3=0所围图形的面积A. 解法一：A 等同于由抛物线y=x 2与直线y=2x+3所围图形的面积. 解方程组：⎩⎨⎧=+= x y 32x y 2，得⎩⎨⎧==9y 3x , ⎩⎨⎧=-=1y 1x . ∴A=⎰-+312)x -3(2x dx=[32-(-1)2]+3[3-(-1)]-3(-1)-333=332. 解法二：如图，图形被x=1分为左右两部分， A 左=⎰--10)]x (x [dx=3⎰10x dx=34. A 右=⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛-9123-x x dx=312-9233-41-922+21)-(93⨯=328. A= A 左+ A 右=34+328=332.公式3：设曲线C 为参数方程x=x(t), y=y(t), t ∈[α,β]，在[α,β]上y(t)连续，x(t)连续且可微且x ’(t)≠0(类似地可讨论y(t)连续可微且y ’(t)≠0的情形). 记a=x(α), b=x(β), (a ≠b)，则由曲线C 及直线x=a, x=b 和x 轴所围的图形，其面积计算公式为：A=⎰'βα(t)x )t (y dt.例2：求由摆线x=a(t-sint), y=a(1-cost) (a>0)的一拱与x 轴所围平面图形的面积.解：摆线的一拱可取t ∈[0,2π]，又x ’=a(1-cost)， ∴A=⎰-2π022)t cos 1(a dt=3πa 2.公式4：若参数方程所表示的曲线是封闭的，即有x(α)=x(β), y(α)=y(β)， 且在(α,β)内曲线自身不再相交，则由曲线自身所围图形面积为： A=⎰'βα(t)dt x )t (y 或A=⎰'βα(t)dt y )t (x .例3：求椭圆22a x +22by =1所围的面积.解：化为参数方程：x=asint, y=bcost, t ∈[0,2π], 又x ’=acost ， ∴A=⎰2π02tdt abcos =πab.公式5：设曲线C 为极坐标方程r=r(θ), θ∈[α,β]，且r(θ)在[α,β]上连续, β-α≤2π.由曲线C 与两条射线θ=α, θ=β所围成的平面图形，通常也称为扇形，此扇形的面积为：A=⎰βα2d θ)θ(r 21. 证：如图，对区间[α,β]作任意分割T ：α=θ0<θ1<…<θn-1<θn =β， 射线θ=θi (i=1,2,…,n-1)把扇形分成n 个小扇形.∵r(θ)在[α,β]上连续，∴当T 很小时，在每一个△i =[θi-1, θi ]上r(θ)的值变化也很小，任取ξi ∈△i ，便有r(θ)≈r(ξi ), θ∈△i , i=1,2,…,n.这时，第i 个小扇形的面积△A i ≈21r 2(ξi)△θi , ∴A ≈∑=n1i 21r 2(ξi )△θi .当T →0时，两边取极限，就有A=⎰βα2d θ)θ(r 21.例3：求双纽线r 2=a 2cos2θ所围平面图形的面积. 解：如图，∵r 2≥0，∴θ∈[-4π,4π]∪[43π,45π]，由图形的对称性可得： A=4·⎰4π02θdθ2cos a 21=a 2 sin2θ|4π0=a 2 .习题1、求由抛物线y=x 2与y=2-x 2所围图形的面积.解：求得两曲线交点为(-1,1), (1,1). ∴所围图形的面积为： A=⎰-1122)x -x -(2dx=38.2、求曲线y=|lnx|与直线x=101, x=10, y=0所围图形的面积. 解：所围图形的面积为： A=⎰10101|lnx |dx=-⎰1101lnx dx+⎰101lnx dx =-(xlnx|1101-⎰1101x dlnx)+ xlnx|101+⎰101x dlnx=-(101ln10-109)+10ln10-9=1099ln10-1081.3、抛物线y 2=2x 把圆x 2+y 2=8分成两部分，求这两部分面积之比. 解：问题等同于抛物线y=21x 2把圆x 2+y 2=8分成两部分，求面积比. 它们的交点为(2,2),(-2,2). 记两部分的面积为A 1,A 2，则A 1=⎰--2222)x 21x -8(dx=8⎰-4π4π2θcos d θ-38=2π+34；A 2=8π-A 1=6π-34.∴21A A =34-6π34+2π=2 -9π2 +3π.4、求内摆线x=acos 3t, y=asin 3t (a>0)所围图形的面积. 解：如图，所围图形面积为： A=4⎰'2π033dt |)t t(asin cos a |=12a2⎰2π024tdttsin cos=12a 2⎰2π024tdt tsin cos =83πa 2.5、求心形线r=a(1+cos θ) (a>0)所围图形的面积. 解法一：根据心形线的对称性，得A=2·⎰+π022d θ)θcos 1(a 21=a 2⎰++π02d θ)θcos θcos 21(=23πa 2.解法二：化为参数方程：x=a(1+cos θ)cos θ, y=a(1+cos θ)sin θ, θ∈[0,2π]， A=|⎰'++2π0d θ]θsin )θcos θ[a(1cos )θcos a(1| =a 2|⎰-+2π0234θ)dθθsin cos θcos 2θcos (2|=23πa 2.6、求三叶形曲线r=asin3θ (a>0)所围图形的面积.解：根根三叶形曲线的形态特点，所围图形由相同的三部分组成，即 A=3⎰32π3π223θsin a 21d θ=⎰32π3π223θsin a 21d3θ=4πa 2.7、求曲线a x +by =1 (a,b>0)与坐标轴所围图形的面积. 解：曲线与x 轴的交点为(a,0)，∴所围图形的面积为： A=b ⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-a0a x a x 21dx=6ab.8、求曲线x=t-t 3, y=1-t 4所围图形的面积.解：当t=-1,1时，x=0,y=0，∴曲线在t ∈[-1,1]围成封闭图形，即 A=|⎰'-11-43)t -)(1t t (dt|=4|⎰-11-46)t t (dt|=3516.9、求二曲线r=sin θ与r=3cos θ所围公共部分的面积. 解法一：化为圆的方程：x 2+(y-21)2=41, (x-23)2+y 2=43. 它们的交点为O(0,0)与P(43,43)，∴所围公共部分的面积为： A=⎰⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+---⎪⎭⎫ ⎝⎛-4302223y 4321-y 41dy=⎰-6π2π2t cos 41dt+⎰3π02t cos 43dt -833 =323+12π+3233+8π-833=245π-43. 解法二：由sin θ=3cos θ, 得tan θ=3，∴二曲线相交于θ=3π.A=⎰3π02θsin 21d θ+⎰2π3π2θcos 23d θ=-)1(cos2θ413π0-⎰d θ+⎰+2π3π1)(cos2θ43d θ =-163+12π+8π-1633=245π-43.(参考解法)如图：求得P(43,43) S 阴=S P OO 1扇形+S P OO 2扇形-S P OO 1∆ -S P OO 2∆ =3πOO 12+6πOO 22-21·43·OO 1-21·43·OO 2=12π+8π-163-1633=245π-43.10、求两椭圆22a x +22b y =1与22b x +22ay =1(a>b>0)所围公共部分的面积.解：两椭圆在第一象限的交点为：⎪⎪⎭⎫⎝⎛++2222b a abb a ab ，. 根据图形的对称性，可得：A=8⎰+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--22baab022x a x 1b dx=4abarcsin 22b a b +-2222b a b 4a +.。
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三
应用提高设计多个
层次的练
习（基础练
习、选择、
判断、解决
实际问题）
对本课知
识进行由
基础到提
1.基础练习（展示台展示）
（1）练一练1，（2）练一练2。
2.选择。
（展示台）
（1）
A 3×4
B 5×2.4
C 4×5
（2）一个长方形和一个正方形周长相
等，已知长方形长的是10厘米，宽
是8厘米，求正方形的面积正确列式
是：( )
A 10×8
B 10×8÷4 C
（10+8）×2÷4=9cm 9×9
学生根据表中条件，
进行口答。
独立完成，能口答就
口答。
看题分别进行选择，
并说明理由。
2、选择题。
（1）下面列式正确的是（）。
A 3×4
B 5×2.4
C 4×5
（2）一个长方形和一个正方形周长相等，已知长方形的长是10厘米，宽是8厘米，求正方形面积的正确列式是：( )
A 10×8
B 10×8÷4 C（10+8）×2÷4=9cm 9×9 （3）下列情况（）便可求出圆面积
A 已知d
B 已知r
C 已知c
3、判断（说说错误的原因）。
（1）平行四边形是与它等底等高三角形面积的2倍。
（）板书设计：平面图形的面积计算
图形名称
面积计算公式
文字公式字母公式
长方形长×宽S=ab
正方形边长×边长S=aa
平行四边形底×高S=ah
三角形底×高÷2 S=ah÷2
梯形（上底+下底）×高÷2 S=(a+b)h÷2
（2）在长为3厘米宽为2厘米长方形内剪一个最大的圆，圆的面积为3.14平方厘米。
（）（3）半径是2分米的圆，圆的周长和面积相等。
（）（4）两个面积相等的梯形可以拼成一个平行四边形。
（）（5）一个三角形的面积为12平方厘米，底是4厘米，则高为3厘米。
（）4、解决实际问题。
（1）一块梯形麦地，上底是32米，下底是58米，高是20米。
这块麦地共收小麦360千克。
平均每平方米收小麦多少千克？照这样计算，每公顷收小麦多少千克？（只列式不计算）
（2）房间长4米、宽3.2米、高3米，地面铺的是边长0.4米的方砖，算一算，装修时至少用了多少块砖？（只列式不计算）
（3）在《阿凡提赶羊》的故事中，已知原来长方形羊圈的长是10米，宽是6米，阿凡提在不改变篱笆长度的情况下，先改围成了正方形，接下来又围成了圆，你能计算出这三种形状羊圈之间的面积相差多少吗？试一试。