一元二次方程提高题精编版
第二章 一元二次方程 分类提升训练(含答案) 2024--2025学年 北师大版 九年级数学上册
第二章 一元二次方程分类提升训练 2024--2025学年 北师大版 九年级数学上册一、单选题1．关于x 的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m 的值可能是（ ）A ．9B ．6C ．4D ．2．下列方程是一元二次方程的是（ ）A ．B ．C．D ．3．已知关于x 的方程有两个相等的实数根，则（）A ．10B ．25C ．D ．4．设，是关于x 的一元二次方程x 2−2(m +1)x +m 2+2=0的两个实数根，且(x 1+1)(x 2+1)=13，则m 的值为（ ）A ．2B ．4C ．2或D ．或45．某厂家今年一月份的口罩产量是50万个，三月份的口罩产量是80万个，若设该厂家一月份到三月份口罩产量的月平均增长率为x ，则所列方程为（ ）A ．B ．C ．D ．6．如图，一次函数的图象交轴于点，交轴于点，点在线段上不与点，重合，过点分别作和的垂线，垂足为，．当矩形的面积为时，点的坐标为( )A ．B ．C ．或D ．或7．一个研究小组有若干人，互送研究成果，若全组共送研究成果72个，这个小组共有（ ）人A ．8B ．9C ．10D ．72240x x m ++=1-22510x y ++=20ax bx c +-=212x x +=20x =2100x x m -+=m =25-25±1x 2x 4-2-250(1)80x +=250(1)80x -=()501280x +=()250180x +=26y x =-+x A y B P AB (A B)P OA OB C D OCPD 4P ()2,21,52⎛⎫ ⎪⎝⎭()1,41,52⎛⎫ ⎪⎝⎭()1,4()2,28．将方程化为一元二次方程的一般形式，其中二次项系数为，则一次项系数、常数项分别是（ ）A ．、B ．、C ．、D ．、9．已知、是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，且满足，则的值是( )A ．B ．C ．或D ．或二、填空题10．已知，是一元二次方程的两根，则 ．11．数字下乡，农货上行，直播逐渐成为农户销售农产品的重要渠道，某地农村网商年为家，年达到家，设年到年农村网商的月平均增长率为，根据题意可列方程为 ．12．关于的一元二次方程的两实数根分别为，，且，则的值为 ．13．已知关于的 方程 有两个实数根，则 的取值范围是 ．14．劳动教育已纳入人才培养全过程，某学校加大投入，建设校园农场，该农场一种作物的产量两年内从300千克增加到363千克．设平均每年增产的百分率为，则可列方程为 ．15． 二次项系数为，且两根分别为，的一元二次方程为 ．（写成的形式）16．如图，在等边三角形中，D 是的中点，P 是边上的一个动点，过点P 作，交于点E ，连接．若是等腰三角形，则的长是 ．2316x x +=36-16161-6-1-αβx 22(23)0x m x m +++=111αβ+=-m 3131-3-11x 2x 2320220x x --=2111234x x x x --+=202115002023216020212023x x 210x kx k +++=1x 2x 22121x x +=k x 21(1)02m x --=m x 211x =212x =20ax bx c ++=ABC AC AB PE AB ⊥BC ,DP DE 8,AB PDE =V BP三、解答题17．“一盔一带”安全守护行动在全国各地积极开展某品牌头盔的销量逐月攀升，某超市以每个元的进价购进一批该品牌头盔，当该头盔售价为元个时，七月销售个，八九月该品牌头盔销量持续上涨，在售价不变的基础上，九月的销量达到个．（1）求八，九两月销量的月平均增长率；（2）十月该超市为了减少库存，开始降价促销，经调查发现，该品牌头盔售价每降低元，月销量在九月销量的基础上增加个，当该品牌头盔售价为多少元时，超市十月能获利元？18．解方程：（1）（2）19．已知关于x 的一元二次方程 有两个不相等的实数根 m ，n.（1）求t 的取值范围.（2）当t=3时，解这个方程.（3）若m ，n 是方程的两个实数根，设Q=(m-2)(n-2)，试求Q 的最小值.20．某水果超市以每千克元的价格购进一批水果，然后以每千克元的价格出售，一天可以售出千克．通过调查发现，每千克的售价每降低元，一天可以多售出千克．（1）若将这种水果每斤的售价降低元，则每天的销售量是______千克，每千克盈利______元（用含x 的代数式表示）；.2030/2002881318002531x x x -=+3(2)2(2)x x x -=-222tx t 2t 40x -+-+=9121000.120x（2）要想一天盈利元，且保证一天销售量不少于千克，商店需将每千克的售价降低多少元？21．若是关于x 一元二次方程ax 2+bx+c=0(a≠0)的两个根，则方程的两个根和系数a 、b 、c有如下关系：，，把它们称为一元二次方程根与系数关系定理．已知是关于x 的一元二次方程x 2−2(m+1)x+m 2+5=0的两实数根．（1）求的取值范围；（2）若，求的值；（3）已知等腰三角形的一边长为，若、恰好是另外两边的长，求这个角形的周长．22．某超市从厂家购进A 、B 两种型号的水杯，两次购进水杯的情况如下表：进货批次A 型水杯（个）B 型水杯（个）总费用（元）一1002008000二20030013000（1）求A 、B 两种型号的水杯进价各是多少元？（2）在销售过程中，A 型水杯因为物美价廉而更受消费者喜欢．为了增大B 型水杯的销售量，超市决定对B 型水杯进行降价销售，当销售价为44元时，每天可以售出20个，每降价1元，每天将多售出5个，请问超市应将B 型水杯降价多少元时，每天售出B 型水杯的利润达到最大？最大利润是多少？（3）第三次进货用10000元钱购进这两种水杯，如果每销售出一个A 型水杯可获利10元，售出一个B 型水杯可获利9元，超市决定每售出一个A 型水杯就为当地“新冠疫情防控”捐b 元用于购买防控物资．若A 、B 两种型号的水杯在全部售出的情况下，捐款后所得的利润始终不变，此时b 为多少？利润为多少？50025012x x 、12x x 、12b x x a +=-12cx x a=12x x 、m ()()121119x x --=m ABC 71x 2x ABC ∆23．某网店准备销售一种多功能旅行背包，计划从厂家以每个120元的价格进货．（1）经过市场调查发现，当每个背包的售价为140元时，月均销量为980个，售价每增长10元，月均销量就相应减少30个，若使这种背包的月均销量不低于800个，每个背包售价应不高于多少元？（2）在实际销售过程中，由于原材料涨价和生产成本增加的原因，每个背包的进价为150元，而每个背包的售价比（1）中最高售价减少了a%（a＞0），月均销量比（1）中最低月均销量800个增加了5a%，结果该店销售该背包的月均利润达到了40000元，求在实际销售过程中每个背包售价为多少元？答案解析部分1．【答案】D 2．【答案】D 3．【答案】B 4．【答案】A 5．【答案】A 6．【答案】D 7．【答案】B 8．【答案】A 9．【答案】A 10．【答案】404811．【答案】1500(1+x )2=216012．【答案】13．【答案】0≤m≤2且m≠114．【答案】15．【答案】16．【答案】或或．17．【答案】（1）解：设八，九两月销量的月平均增长率为，由题意可得：，解得：，，不符合题意，舍去，答：八，九两月销量的月平均增长率为；（2）解：设该品牌头盔售价降低元，，整理得：，解得：，不符合题意，舍去，元，答：该品牌头盔售价为元时，超市十月能获利元．18．【答案】（1）解：原方程化为，，，，1-2300(1)363x +=22310x x -+=3-+412-x 2200Ω)288%x +=10.220%x ==22x =-()20%a ()()302028831800a a --+=2863600a a +-=14a =290(a =-)3030426(a -=-=)26180025410x x --=5a =4b =-1c =-所以，所以方程有两个不相等的实数根，即，（2）解：原方程可化为，所以，所以，．19．【答案】（1）解：∵ 原方程有两个不相等的实数根，∴b 2-4ac ＞0即4t 2-4（t 2-2t+4）＞0，解之：t>2（2）解：当t=3时，x 2-6x+7=0解之：x₁=3+，x₂=3- （3）解：∵m ，n 是方程的两个实数根，∴m+n=2t ，mn=t 2-2t+4，∴Q=(m-2)(n-2)=mn-2（m+n ）+4=t 2-2t+4-4t+4=（t-3）2-1，当t=3时Q 有最小值为-1.20．【答案】（1），（2）商店需将每千克的售价降低元21．【答案】（1）m≥2；（2）m=5；（3）这个角形的周长为17．22．【答案】（1）A 型号水杯进价为20元，B 型号水杯进价为30元；（2）超市应将B 型水杯降价5元后，每天售出B 型水杯的利润达到最大，最大利润为405元；（3）A ，B 两种杯子全部售出，捐款后利润不变，此时b 为4元，利润为3000元．23．【答案】(1) 200元；(2) 190元22Δ4(4)45(1)360b ac =-=--⨯⨯-=>4610x ±==11x =215x =-3(2)2(2)0x x x -+-=(32)(2)0x x +-=12x =223x =-()100200x +()3x -2。
一元二次方程培优提高题解析
一元二次方程培优提高题解析一、利用判别式判断方程根的情况1. 已知关于x的一元二次方程(m - 1)x^2+2x - 1=0有两个不相等的实数根，求m 的取值范围。
解析：对于一元二次方程ax^2+bx + c = 0(a≠0)，判别式Δ=b^2-4ac。
在方程(m - 1)x^2+2x - 1=0中，a = m- 1，b=2，c=-1。
因为方程有两个不相等的实数根，所以Δ>0且a≠0。
首先计算Δ = 2^2-4(m - 1)×(-1)>0，4 + 4(m - 1)>0，4+4m-4>0，4m>0，解得m>0。
又因为a=m - 1≠0，即m≠1。
所以m的取值范围是m>0且m≠1。
2. 若关于x的一元二次方程kx^2-2x + 1 = 0没有实数根，求k的取值范围。
解析：对于方程kx^2-2x + 1=0，其中a = k，b=-2，c = 1。
因为方程没有实数根，所以Δ=b^2-4ac<0。
Δ=(-2)^2-4k×1<0，4 - 4k<0，-4k<-4，解得k > 1。
又因为方程是一元二次方程，所以k≠0。
综上，k的取值范围是k>1。
二、一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）1. 已知方程x^2-3x - 4 = 0的两根为x_1，x_2，求x_1^2+x_2^2的值。
解析：对于一元二次方程ax^2+bx + c=0(a≠0)，若两根为x_1，x_2，则x_1+x_2=-(b)/(a)，x_1x_2=(c)/(a)。
在方程x^2-3x - 4 = 0中，a = 1，b=-3，c=-4。
所以x_1+x_2=-(-3)/(1)=3，x_1x_2=(-4)/(1)=-4。
x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=3^2-2×(-4)=9 + 8=17。
2. 已知关于x的方程x^2+kx + k - 1=0的两根为x_1，x_2，且x_1^2+x_2^2=5，求k的值。
人教版九年级上第21章 一元二次方程精题汇编(包含答案)
人教版九年级上一元二次方程精题汇编一选择题（每题3分共36分）满分120分1、若一元二次方程x²-2x-3599=0的两根分别为a，b，且a>b，则2a-b的值为( )A.-57B.63C.179D.1812、如果x²-x-1=(x+1)°，那么x的值为( )A2或-1 B.0或1 C.2 D.-13 、定义一种新运算：a*b=a(a-b)，例如,4*3=4(4-3)=4x*2=3，则x的值是( )A.3B.-1C.3或1D.3或-14、已知a、b、c为常数，点P(a，c)在第二象限，则关于x的方程ax²+bx+c=0根的情况是( )A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根C.没有实数根D.无法判断5、已知三角形两边长分别为2和9，第三边的长为一元二次方程x²-14x+48=0的根，则这个三角形周长为() A.11 B.17 C.17或19 D.196、设是方程x²-4x+m=0的两个根，且 + - =1,则 m的值）（） A 2 B 3 C-1 D 47、在△ABC中，BC=2，AB=2，AC=b，且关于x的方程x²-4x+b=0有两个相等的实数根，则AC边上的中线长为 ( )A.1B.2C. 4. D8、用“整体法”求得方程(2x+5)²-4(2x+5)+3=0的解为( )A.=1,=3B.=-2,=3 C=-3 =-1 D.=-2 =-19、要使方程(a-3)x²+(b+1)x+c=0是关于x的一元二次方程，则( )A.a≠0B.a≠3C.a≠1且b≠-1D.a≠3且b≠-1且c≠010、若x=-1是关于x的一元二次方程ax²-bx-2018=0的一个解，则1+a+b的值是( )A.2016B.2017C.2018D.201911、一位同学将方程x²-4x-3=0化成了(x+m)²=n的形式，则m，n的值应为()A.m=-2,n=7B.m=2,n=7C.m=-2,n=1D.m=2,n=-712、已知关于x的一元二次方程a(1+x²)+2bx=c(1-x²)，其中a，b，c分别为△ABC三边的长，如果方程有两个相等的实数根，则△ABC的形状为( )A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形二填空题（每题3分共21分）13、方程3x(x-1)=2(x-1)的根为 ______________14、设等腰三角形一腰与底边的长分别方程x-6x+a=0的两根，当这样的三角形只有一个时，a的取值范围是_______15 、若关于x的一元二次方程x²+2mx-4m+1=0有两个相等的实数根，则(m-2)²-2m(m-1)的值为 __________16、在一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)中，下列说法正确的是___ (填序号)①若a+b+c=0，则b²-4ac≥0；②若方程两根为-1和3，则3a+2c=0；③若方程ax²+c=0有两个不相等的实数根，则方程ax²+bx+c=0必有两个不相等的实数根；④若a=1，c=-1，且方程的两根的平方和为6，则b只能等于2。
一元二次方程精编复习题(含解析)
一元二次方程精编复习题1．下列方程中，是关于x 的一元二次方程的是（ ）A ．2270x x -=B ．5521x x +=-C ．20ax bx c ++=D ．2221x x+= 2．已知2是方程240x x c -+=的一个根，则c 的值为______．3．已知关于x 的方程240x x n ++=可以配方成2()3x m +=，则2()m n -=_____________ 4．若关于x 的一元二次方程2(1)10k x x -++=有实数根，则实数k 的取值范围是______． 5．方程2(3)3x x x +=+的解是______．6．方程（y ﹣2）（y ﹣3）＝12解为___．7．已知一个直角三角形的两边长分别是方程214480x x -+=的两根，则此三角形的斜边长为___________． 8．已知12,x x 是一元二次方程x 2－4x －7＝0的两个实数根，则1211+x x 的值是________． 9．设方程2x 2+3x +1＝0的根为x 1、x 2，则x 12+x 22＝_____________．10．若方程x 2+5x ﹣6＝0的两根为x 1，x 2，则|x 1﹣x 2|＝___．11．设a ，b 是方程220210x x +-=的两个实数根，则22a a b ++的值是_____．12．已知a ，b 分别为一元二次方程x 2＋2x ﹣2011＝0的两个实数根，则a 2﹣3a ﹣5b ＝___． 13．有一人感染了传染性很强的病毒，经过两轮传染后共有625人患病，每轮传染中平均一人传染___人． 14．某商品两次连续涨价由原来的每件100元上涨为每件144元．若两次涨价百分比相同，则每次涨_____％． 15．某种家电价连续两次降价，由原来售价5000元降到3200元，则平均每次降价的百分率为 ____． 16．组织篮球比赛，赛制为单循环形式，共进行了15场比赛，则这次参加比赛的球队个数为____． 17．一个凸多边形总共有20条对角线，它的边数n =____________．18．如图，在宽为4m 、长为6m 的长方形花坛上铺设两条同样宽的石子路，余下部分种植花卉．若种植花卉的面积215m ，则铺设的石子路的宽应为_________m ．19．如图，某小区规划在一个长16m ，宽9m 的矩形场地ABCD 上，修建同样宽的小路，使其中两条与AB 平行，另一条与AD 平行，其余部分种草，若草坪部分总面积为112m 2，则小路的宽为 _____． 20．如图，是一个长为30m ，宽为20m 的矩形花园，现要在花园中修建等宽的小道，剩余的地方种植花草．如图所示，要使种植花草的面积为468m 2，那么小道进出口的宽度应为 ___m ．21．如图，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝6cm ，BC ＝8cm ，动点P 从点A 出发沿AB 边以1cm /s 的速度向点B 匀速移动，同时点Q 从点B 出发沿BC 边以2cm /s 的速度向点C 匀速移动，当P ，Q 两点中有一个点到达终点时，另一个点也停止运动，当△PBQ 的面积为5cm 2时，点P ，Q 运动的时间为__秒． 22．解方程：2269(52)x x x -+=-23．解方程（1）x 2﹣5x ﹣6＝0 （2）4x 2﹣8x +1＝0（用配方法解）．24．解一元二次方程：（1）22530x x +-= （2）()2236x x +=+25．请阅读下面解方程()()22212130x x +-+-=的过程． 解：设21x y +=，则原方程可变形为2230y y --=．解得13y =，21y =-．当3y =时，213x +=，∴x =当1y =-时，211x +=-，22x =-，此方程无实数解，∴原方程的解为：1x ，2x =我们将上述解方程的方法叫作换元法． 请用换元法解方程：211280x x x x --⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．26．已知方程关于x 的一元二次方程23540x x k +-=的一个根是－2，求k 和方程另一个根α的值．27．已知关于x 的一元二次方程221(21)202x k x k -++-=． （1）求证：无论k 为何实数，方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程的两个实数根1x ，2x 满足212()9x x -=，求k 的值．28．如图，要建一个矩形花圃，花圃的一边利用长为12m 的住房墙，另外三边用25m 长的篱笆围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m 宽的门，花圃面积为80m 2，求与墙垂直的一边的长度．29．某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：如果调整价格每件的售价每涨1元，那么每星期少卖10件．已知商品的进价为每件40元．设每件涨价x元，每星期的销量为y件．（1）写出y与x的函数解析式及自变量x的取值范围；（2）如何定价才能使每星期的利润最大？每星期的最大利润是多少？30．某快餐店新推出一种外卖，每份的成本为20元，推出后每份售价为50元，每月可售出200份，经过试卖发现，该外卖每份售价每降价1元，每月可多卖出10份，由于制作能力有限，每月最多制作该外卖350份．设该外卖每份售价x元（x≤50），每月的销售利润为w元．（1）求w与x之间的函数关系式；（2）该外卖每份售价多少元时，每月的销售利润最大？最大利润是多少？（3）该外卖每份售价在什么范围时，每月的销售利润不低于4000元．一元二次方程精典复习题（解析）1．下列方程中，是关于x 的一元二次方程的是（ ）A ．2270x x -=B ．5521x x +=-C ．20ax bx c ++=D ．2221x x+= 【答案】A【分析】根据一元二次方程的定义对各选项进行判断．【详解】解：A 、2270x x -=为一元二次方程，所以A 选项符合题意；B 、5521x x +=-为一元一次方程，所以B 选项不符合题意；C 、对于20ax bx c ++=，只有当0a ≠时，它为一元二次方程，所以C 选项不符合题意；D 、2221x x+=为分式方程，所以D 选项不符合题意． 故选：A ．【点睛】本题考查了一元二次方程的一般式，解题的关键是掌握任何一个关于x 的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式20(a 0)++=≠ax bx c ．这种形式叫一元二次方程的一般形式．也考查了一元二次方程的定义．2．已知2是方程240x x c -+=的一个根，则c 的值为______．【答案】1【分析】将2240x x c -+=即可得出答案．【详解】解：∵2是方程240x x c -+=的一个根，∴2(24(20c -+=，解得：1c =，故答案为：1．【点睛】本题考查了一元二次方程的解，熟知方程的根是指能使方程两边相等的x 的值是解本题的关键．3．已知关于x 的方程240x x n ++=可以配方成2()3x m +=，则2()m n -=_____________【答案】1【分析】将配方后的方程转化成一般方程即可求出m 、n 的值，由此可求得答案．【详解】解：由（x +m ）2＝3，得：x 2+2mx +m 2﹣3＝0，∴2m ＝4，m 2﹣3＝n ，∴m ＝2，∴n ＝1，∴（m ﹣n ）2＝1，故答案为：1．【点睛】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．4．若关于x 的一元二次方程2(1)10k x x -++=有实数根，则实数k 的取值范围是______． 【答案】54k ≤且1k ≠ 【分析】根据二次项系数非零及根的判别式0∆≥，即可得出关于k 的一元一次不等式组，解之即可得出结论．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程2(1)10k x x -++=有实数根， ∴()1014110k k -≠⎧⎨∆=--⨯≥⎩解得：54k ≤且1k ≠． 故答案为：54k ≤且1k ≠． 【点睛】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，利用二次项系数非零及根的判别式0∆≥，找出关于k 的一元一次不等式组是解题的关键．5．方程2(3)3x x x +=+的解是______．【答案】13x =-，212x =【分析】先移项，使方程右边为0，再提公因式(3)x +，然后根据“两式相乘值为0，这两式中至少有一式值为0”进行求解．【详解】解：原方程可化为：2(3)(3)0x x x +-+=，因式分解得：(3)(21)0+-=x x ，所以30x +=或210x -=，解得：13x =-，212x =， 故答案为：13x =-，212x =． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．本题运用的是因式分解法．6．方程（y ﹣2）（y ﹣3）＝12解为___．【答案】16y =，21y =-【分析】将方程转化为一般形式，再根据因式分解法求解即可．【详解】解：()22()31y y --=化简得：2560y y --=(6)(1)0y y -+=解得16y =，21y =-故答案为16y =，21y =-【点睛】此题考查了一元二次方程的求解，熟练掌握因式分解法求解一元二次方程是解题的关键．7．已知一个直角三角形的两条直角边长恰好分别是方程214480x x -+=的两根，则此三角形的斜边长为___________．【答案】10【分析】先解方程214480x x -+=，得出两根，再利用勾股定理来求解即可．【详解】解：∵214480x x -+=，∴（x −6）（x −8）＝0，∴x ＝6或8；∴两直角边为6和8，∴＝10，故答案是：10．【点睛】本题考查一元二次方程的解法，用到的知识点是因式分解法和勾股定理，关键是根据方程的特点选择合适的解法．8．已知12,x x 是一元二次方程x 2－4x －7＝0的两个实数根，则1211+x x 的值是________． 【答案】47- 【分析】 根据一元二次方程根与系数的关系可得12b x x a +=-，12c x x a =，再将1211+x x 变形可得1212x x x x +，最后代入即可求解.【详解】解：因为12,x x 是一元二次方程x 2－4x －7＝0的两个实数根， 所以124b x x a +=-=，127c x x a==-， 因为1211+x x =1212x x x x +， 所以1211+x x =1212x x x x +=4477=--， 故答案为：47-. 【点睛】本题主要一元二次方程根与系数关系，解决本题的关键是要灵活运用一元二次方程根与系数关系. 9．设方程2x 2+3x +1＝0的根为x 1、x 2，则x 12+x 22＝_____________． 【答案】54【分析】利用根与系数的关系求出两根之和与两根之积，原式利用完全平方公式变形后代入计算即可求出值．【详解】解：∵方程2x 2+3x +1＝0的根为x 1、x 2，∴1232x x +=-，1212x x =， 则22221212123195()2()212244x x x x x x +=+-=--⨯=-=． 故答案为：54． 【点睛】本题考查了根与系数的关系，能熟记根与系数的关系的内容是解此题的关键．10．若方程x 2+5x ﹣6＝0的两根为x 1，x 2，则|x 1﹣x 2|＝___．【答案】7【分析】根据根与系数的关系、完全平方公式即可完成．【详解】∵方程x 2+5x ﹣6＝0的两根为x 1，x 2，∴x 1+x 2＝﹣5，x 1x 2＝﹣6，∴|x 1﹣x 2|2＝（x 1+x 2）2﹣4x 1x 2＝（﹣5）2﹣4×（﹣6）＝49，∴|x 1﹣x 2|＝7，故答案为：7．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形应用，关键是完全平方公式的变形应用．11．设a ，b 是方程220210x x +-=的两个实数根，则22a a b ++的值是_____．【答案】2020【分析】根据一元二次方程的解的定义可以求得a 2+a ＝2021，利用根与系数的关系可以求得a +b ＝﹣1．将其代入所求代数式，可求解．【详解】解：∵a 、b 是方程x 2+x ﹣2021＝0的两根，∴a 2+a ﹣2021＝0，a +b ＝﹣1，∴a 2+a ＝2021，∴a 2+2a +b ＝a 2+a +a +b ＝2021﹣1＝2020，故答案为：2020．【点睛】本题考查了根与系数的关系，一元二次方程的解，解题时，采用了“整体代入”的数学思想．12．已知a ，b 分别为一元二次方程x 2＋2x ﹣2011＝0的两个实数根，则a 2﹣3a ﹣5b ＝___．【答案】2021【分析】根据一元二次方程的解的定义得到2220110a a +-=，即222011a a +=，则235a a b --化简为225()a a a b +-+，再根据根与系数的关系得到2a b +=-，然后利用整体代入的方法计算．【详解】解：a 为一元二次方程2220110x x +-=的根，2220110a a ∴+-=，222011a a ∴+=， a ，b 分别为一元二次方程2220110x x +-=的两个实数根，2a b ∴+=-，223525()20115(2)2021a a b a a a b ∴--=+-+=-⨯-=．故答案为2021．【点睛】本题考查了根与系数的关系：若1x ，2x 是一元二次方程20(a 0)++=≠ax bx c 的两根时，12b x x a +=-，12c x x a=．也考查了一元二次方程的解． 13．有一人感染了传染性很强的病毒，经过两轮传染后共有625人患病，每轮传染中平均一人传染______人．【答案】24【分析】根据题意列一元二次方程，解方程即可【详解】设每轮传染中平均一人传染x 人，则第一轮有(1)x +人感染，第二轮有2(1)x +人感染，根据题意可得： 2(1)=625x +解得：1224,26x x ==-（不符题意，舍去）故答案为24【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解一元二次方程，根据题意列出方程是解题的关键．14．某商品经过两次连续涨价，由原来的每件100元上涨为每件144元．若两次涨价的百分比相同，则每次涨_______％．【答案】20【分析】此题可设平均每次涨价的百分率为x，那么第一次涨价后的单价是原来的（1+x），那么第二次涨价后的单价是原来的（1+x）2，根据题意列方程解答即可．【详解】解：设平均每次涨价的百分率为x，根据题意列方程得100（1+x）2＝144，解得x1＝0.2，x2＝-2.2（不符合题意，舍去），即该商品平均每次涨价的百分率为20%．故答案是：20．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用．找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．15．某种家电价格受市场购买力影响，连续两次降价，由原来售价5000元降到3200元，则平均每次降价的百分率为____．【答案】20%．【分析】设平均每次降价的百分率为x，根据题意列出一元二次方程，故可求解．【详解】设平均每次降价的百分率为x，依题意得：5000（1﹣x）2＝3200，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝1.8（不合题意，舍去）．故答案为：20%．【点睛】此题主要考查一元二次方程的实际应用，解题的关键是根据题意找到数量关系列方程．16．组织篮球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），共进行了15场比赛，则这次参加比赛的球队个数为____．【答案】6【分析】设这次参加比赛的球队个数为x个，根据“赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），共进行了15场比赛”，列出关于x的一元二次方程，解之即可．【详解】解：设这次参加比赛的球队个数为x个，根据题意得：12x (x −1)＝15，解得：x 1＝6（舍去），x 2＝-5（舍去），即这次参加比赛的球队个数为6个，故答案是：6．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，正确找出等量关系，列出一元二次方程是解题的关键．17．一个凸多边形总共有20条对角线，它的边数n =____________．【答案】8【分析】根据凸多边形的对角线的条数与边数的关系，可列出方程，解出即可．【详解】解：根据题意可得：()3202n n -= ，解得：18n = ，25n =- （不合题意，舍去）∴它的边数8n =．故答案为：8 ．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，明确题意，准确得到凸多边形的对角线的条数与边数的关系是解题的关键．18．如图，在宽为4m 、长为6m 的长方形花坛上铺设两条同样宽的石子路，余下部分种植花卉．若种植花卉的面积215m ，则铺设的石子路的宽应为_________m ．【答案】1【分析】首先设铺设的石子路的宽应为x 米，由题意得等量关系：（长方形的宽−石子路的宽）×（长方形的长−石子路的宽）＝15，根据等量关系列出方程，再解即可．【详解】解：设铺设的石子路的宽应为x 米，由题意得：（4−x ）（6−x ）＝15，解得：x 1＝1，x 2＝9（不合题意，舍去）故答案为：1．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，设出未知数，列出方程．19．如图，某小区规划在一个长16m，宽9m的矩形场地ABCD上，修建同样宽的小路，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草，若草坪部分总面积为112m2，则小路的宽为_____．【答案】1m【分析】设小路的宽为x m，则种草的部分可合成长为（16-2x）m，宽为（9-x）m的矩形，利用矩形的面积计算公式，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．【详解】解：设小路的宽为xm，则种草的部分可合成长为（16﹣2x）m，宽为（9﹣x）m的矩形，依题意得：（16﹣2x）（9﹣x）＝112，整理得：x2﹣17x+16＝0，解得：x1＝1，x2＝16．当x＝1时，16﹣2x＝14＞0，符合题意；当x＝16时，16﹣2x＝﹣16＜0，不合题意，舍去．故答案为：1m．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．20．如图，是一个长为30m，宽为20m的矩形花园，现要在花园中修建等宽的小道，剩余的地方种植花草．如图所示，要使种植花草的面积为468m2，那么小道进出口的宽度应为___m．【答案】2【分析】设小道进出口的宽度应为xm ，则剩余部分可合成长为（30﹣2x ）m ，宽为（20﹣x ）m 的矩形，根据矩形的面积计算公式，结合种植花草的面积为468m 2，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．【详解】解：设小道进出口的宽度应为xm ，则剩余部分可合成长为（30﹣2x ）m ，宽为（20﹣x ）m 的矩形， 依题意得：（30﹣2x ）（20﹣x ）＝468，整理得：x 2﹣35x +300＝0，解得：x 1＝2，x 2＝35．当x ＝2时，30﹣2x ＝26，符合题意；当x ＝35时，30﹣2x ＝﹣40＜0，不合题意，舍去．故答案为：2．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键在于找到等量关系列出方程.21．如图，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝6cm ，BC ＝8cm ，动点P 从点A 出发沿AB 边以1cm /s 的速度向点B 匀速移动，同时点Q 从点B 出发沿BC 边以2cm /s 的速度向点C 匀速移动，当P ，Q 两点中有一个点到达终点时，另一个点也停止运动，当△PBQ 的面积为5cm 2时，点P ，Q 运动的时间为__秒．【答案】1【分析】设点P ，Q 运动的时间为t 秒，则AP tcm = ，2BQ tcm = ，(6)BP t cm =- ， 根据△PBQ 的面积为5cm 2， 可列出关于t 的方程，解出t 即可．【详解】解：设点P ，Q 运动的时间为t 秒，则AP tcm = ，2BQ tcm = ，(6)BP t cm =- ， ∴11(6)222PBQ S BP BQ t t =⋅=-⋅ ， ∵△PBQ 的面积为5cm 2， ∴1(6)252t t -⋅=，解得：11t = 或25t = ， ∵当P ，Q 两点中有一个点到达终点时，另一个点也停止运动，∴25t =不符合题意，舍去．故答案为：1【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，明确题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．22．分别用公式法和因式分解法解方程2269(52)x x x -+=-．【答案】12x =，283x = 【分析】利用公式法和因式分解法分别求解一元二次方程即可．【详解】解：公式法：原方程可化为2314160x x -+=，∵a ＝3，b ＝－14，c ＝16，∴24b ac -＝2(14)4316--⨯⨯＝4＞0，∴x ＝713±， ∴原方程的根为12x =，283x =； 因式分解法：原方程可化为[(x 3)(52x)][(x 3)(52x)]-+----＝0，∴（2－x ）（3x －8）＝0，∴2－x ＝0或3x －8＝0，∴原方程的根为12x =，283x =． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键在于能够熟练掌握公式法和因式分解法解一元二次方程方程．23．解方程（1）x 2﹣5x ﹣6＝0；（2）4x 2﹣8x +1＝0（用配方法解）．【答案】（1）x 1＝6，x 2＝﹣1；（2）x 1＝x 2＝1【分析】（1）利用因式分解法可得方程的解；（2）利用配方法解方程可得答案．【详解】解：（1）x 2﹣5x ﹣6＝0，因式分解，得（x ﹣6）（x +1）＝0，于是，得x ﹣6＝0或x +1＝0，解得x 1＝6，x 2＝﹣1；（2）4x 2﹣8x +1＝0， 整理得：2124x x -=-， 配方得：212114x x -+=-+，即23(1)4x -=，开方得：1x -=解得：x 1＝x 2＝1 【点睛】 本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键在于能够熟练掌握解一元二次方程的方法．24．解一元二次方程：（1）22530x x +-=（2）()2236x x +=+【答案】（1）112x =，23x =-；（2）12x =-，21x = 【分析】（1）根据一元二次方程的求根公式即可求解；（2）利用因式分解法求解一元二次方程即可．【详解】（1）22530x x +-=．解：2a =，5b =，3c =-， ()224541349b ac -=-⨯⨯-=，x =112x =，23x =-． （2）解：2(2)36x x +=+()()22320x x +-+=()()2230x x ++-=20x +=或10x -=12x =-，21x =．【点睛】此题主要考查一元二次方程的求解，解题的关键是熟知公式法及因式分解法的运用．25．请阅读下面解方程()()22212130x x +-+-=的过程． 解：设21x y +=，则原方程可变形为2230y y --=．解得13y =，21y =-．当3y =时，213x +=，∴x =当1y =-时，211x +=-，22x =-，此方程无实数解，∴原方程的解为：1x ，2x =我们将上述解方程的方法叫作换元法． 请用换元法解方程：211280x x x x --⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 【答案】13x =或13x =- 【分析】 设1x y x -=，则原方程变形为：2280y y --=，从而得到，12y =-，24y =，则得到12x x-=-和 14x x -=，解出即可．【详解】 解：设1x y x-=， 则原方程变形为：2280y y --=，解得，12y =-，24y =，当2y =-时，12x x-=-，解得，13x =， 经检验13x =是分式方程的解． 当4y =时，14x x -=，解得13x =-， 经检验13x =-是分式方程的解， ∴原分式方程的解为113x =，213x =-． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，解分式方程，根据题意，理解换元法是解题的关键．26．已知方程关于x 的一元二次方程23540x x k +-=的一个根是－2，求k 和方程另一个根α的值．【答案】k 的值为12，方程另一个根α的值为13．【分析】方法1，根据方程的根的意义，先求得k 的值，再解一元二次方程求得另一个根，方法2 ，根据根与系数的关系，列出方程组，解方程即可求得,k α的值．【详解】方法1，根据方程的根的意义可知，()()2325240k ⨯-+⨯--=，则12k =． ∴原方程为23520x x +-=，解得12x =-，213x =． ∴k 的值为12，方程另一个根α的值为13． 方法2 ，根据根与系数的关系得()()523423k αα⎧+-=-⎪⎪⎨-⎪⋅-=⎪⎩，解得1312k α⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩． ∴k 的值为12，方程另一个根α的值为13． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，方程的根的意义，根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的解法，根与系数的关系是解题的关键．27．已知关于x 的一元二次方程221(21)202x k x k -++-=． （1）求证：无论k 为何实数，方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程的两个实数根1x ，2x 满足212()9x x -=，求k 的值．【答案】（1）见解析；（2）0k =或2k =-【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式可得出22(1)7k ∆=++，结合偶次方的非负性可得出0∆>，进而可证出：无论k 为何实数，方程总有两个不相等的实数根；（2）根据根与系数的关系可得出12(21)x x k +=+，212122x x k =-，结合212()9x x -=，即可得出关于k 的方程，解之即可得出结论．【详解】（1）证明：22221[(21)]41(2)2492(1)72k k k k k ∆=-+-⨯⨯-=++=++． 2(1)0k +，22(1)70k ∴++>，即0∆>，∴无论k 为何实数，方程总有两个不相等的实数根．（2）解：1x ，2x 是方程221(21)202x k x k -++-=的两个实数根，1221x x k ∴+=+，212122x x k =-． 212()9x x -=，222121212122()49x x x x x x x x ∴+-=+-=，即221(21)4(2)92k k +--=， 2240k k ∴+=，解得：10k =，22k =-，k ∴的值为0或2-．【点睛】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是：（1）牢记“当△0>时，方程有两个不相等的实数根”；（2）利用根与系数的关系结合212()9x x -=，找出关于k 的方程．28．如图，要建一个矩形花圃，花圃的一边利用长为12m 的住房墙，另外三边用25m 长的篱笆围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m 宽的门，花圃面积为80m 2，求与墙垂直的一边的长度．【答案】8m【分析】根据题意，得四边形ABCD 为矩形；根据花园面积及篱笆的总长度，AB x =，通过列一元二次方程并求解，结合题意分析，即可得到答案．【详解】如下图：根据题意，得四边形ABCD 为矩形，1EF =m∴AB CD =，AD BC =∴25m 26m AB BC CD EF ++=+=，12m AD BC =≤∴226AB BC +=m∵花圃面积为80m 2∴80AB BC ⨯=m 2设AB x =m ，则()262m BC x =-∴()26280x x -=∴213400x x -+=∴()()580x x --=∴5x =或8x =当5x =时，26216BC x =-=m∵12AD BC =≤∴5x =不符合题意当8x =时，26210BC x =-=m∴8x =符合题意∴与墙垂直的一边的长度为8m ．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用；解题的关键是根据题意列出一元二次方程，从而完成求解．29．某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：如果调整价格每件的售价每涨1元，那么每星期少卖10件．已知商品的进价为每件40元．设每件涨价x 元，每星期的销量为y 件．（1）写出y 与x 的函数解析式及自变量x 的取值范围；（2）如何定价才能使每星期的利润最大？每星期的最大利润是多少？【答案】（1） y =300﹣10x （0≤x ≤30）；（2）定价65元时，每星期的利润最大，最大利润是6250元．【分析】（1）根据涨价时，每涨价1元，每星期要少卖出10件，可列出销售量的代数式，进一步即可求出x 的取值范围；（2）根据涨价的函数表达式，利用二次函数的性质解答即可．【详解】解：（1）∵每涨价1元，每星期要少卖出10件，∴每件涨价x 元，每星期实际可卖出（300﹣10x ）件，∴y 与x 的函数解析式为：y =300﹣10x ；由y ≥0，即300﹣10x ≥0，解得x ≤30，∴x 的取值范围是0≤x ≤30；（2）设每星期的利润为w 元，则由题意得：w ＝（60﹣40+x ）（300﹣10x ）＝﹣10x2+100x+6000＝﹣10（x﹣5）2+6250，∵﹣10＜0，∴当x＝5时，w与取得最大值，最大值为6250，∴定价65元时，每星期的利润最大，最大利润是6250元．【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是正确理解题意列出函数关系，本题属于中等题型．30．某快餐店新推出一种外卖，每份的成本为20元，推出后每份售价为50元，每月可售出200份，经过试卖发现，该外卖每份售价每降价1元，每月可多卖出10份，由于制作能力有限，每月最多制作该外卖350份．设该外卖每份售价x元（x≤50），每月的销售利润为w元．（1）求w与x之间的函数关系式；（2）该外卖每份售价多少元时，每月的销售利润最大？最大利润是多少？（3）该外卖每份售价在什么范围时，每月的销售利润不低于4000元．【答案】（1）w＝−10x2+900x-14000（35≤x≤50）（2）当外卖每份售价45元，每月的销售利润最大利润6250元；（3）35≤x≤50【分析】（1）根据“总利润＝单份利润×月销售数量”列出函数解析式，（2）将函数配方成顶点式，利用二次函数的性质可得；（3）先求得W＝4000元时x的值，再结合二次函数的性质确定W≥4000时x的范围即可得．【详解】（1）设该外卖每份售价x元，则每份的利润为（x-20）元，每月的销售量为200＋（50-x）×10，根据题意得w＝（x-20）[200＋（50-x）×10]＝−10x2+900x-14000，∵每月最多制作该外卖350份∴200＋（50-x）×10≤350解得x≥35∵x≤50，∴自变量x的取值为35≤x≤50，∴w与x之间的函数关系式为w＝−10x2+900x-14000（35≤x≤50）（2）∵w＝−10x2+900x-14000=-10（x-45）2+6250∴当x=45时，每月的销售利润最大w=6250；（3）当W＝4000时，得：−10x2+900x-14000＝4000，解得：x1＝30，x2＝60，∵35≤x≤45时，w随x的增大而增大；45≤x≤50时，w随x的增大而减小∴要使每月的销售利润不低于4000元，x的取值为35≤x≤50．【点睛】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意找到题目蕴含的相等关系，并据此列出函数解析式及二次函数的图象和性质．。
九年级数学上册 一元二次方程(提升篇)(Word版 含解析)
九年级数学上册 一元二次方程（提升篇）（Word 版 含解析）一、初三数学 一元二次方程易错题压轴题（难）1．如图，在矩形ABCD 中，6AB cm =，8AD cm =，点P 从点A 出发沿AD 向点D 匀速运动，速度是1/cm s ，过点P 作PE AC ∥交DC 于点E ，同时，点Q 从点C 出发沿CB 方向，在射线CB 上匀速运动，速度是2/cm s ，连接PQ 、QE ，PQ 与AC 交与点F ，设运动时间为()(08)<<t s t ．（1）当t 为何值时，四边形PFCE 是平行四边形；（2）设PQE 的面积为2()s cm ，求s 与t 的函数关系式；（3）是否存在某一时刻t ，使得PQE 的面积为矩形ABCD 面积的932； （4）是否存在某一时刻t ，使得点E 在线段PQ 的垂直平分线上．【答案】（1）83t =；（2）S =299(08)8t t t -+<<；（3）当2t s =或6s 时，PQE 的面积为矩形ABCD 面积的932；（4）当573256=t 时，点E 在线段PQ 的垂直平分线上 【解析】 【分析】（1）由四边形PFCE 是平行四边形，可得,PF CE ∥由PD QC 得四边形CDPQ 为平行四边形，即PD CQ =，列式82t t -=，计算可解. （2）由PE AC ∥，得=DP DE DA DC ，代入时间t ，得886-=t DE 解得364=-DE t ，34CE t =再通过S S =梯形CDPQ PDE CEQ S S --△△构建联系，可列函数式299(08)8S t t t =-+<<.（3）由PQE 的面积为矩形ABCD 面积的932得299986832S t t =-+=⨯⨯，可解当2t s =或6s 时，PQE 的面积为矩形ABCD 面积的932． （4）当点E 在线段PQ 的垂直平分线上时，=EQ PE ，得22=EQ PE ，由Rt CEQ 与△Rt PDE 可得，222+=CE CQ EQ ，222PD DE PE +=，即2222+=+CE CQ PD DE ，代入364=-DE t ，34CE t =，2CQ t =，8PD t =-可得222233(2)(8)644⎛⎫⎛⎫+=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭t t t t ，计算验证可解.【详解】（1）当四边形PFCE 是平行四边形时，∥PF CE ， 又∵PD QC ，∴四边形CDPQ 为平行四边形， ∴PD CQ =， 即82t t -=， ∴83t =（2）∵PE AC ∥，∴=DP DEDA DC ， 即886-=t DE， ∴364=-DE t ， ∴336644=-+=CE t t ，∴21133(8)66242248⎛⎫=⋅=--=-+ ⎪⎝⎭△PDE S PD DE t t t t ， 2113322244=⋅=⨯⨯=△CEQ S CE CQ t t t ，S 梯形11()(28)632422=+⋅=+-⋅=+CDPQ QC PD CD t t t ，∴S S =梯形299(08)8--=-+<<△△CDPQ PDE CEQ S S t t t（3）由题意，299986832-+=⨯⨯t t 解得12t =，26t =所以当2t s =或6s 时，PQE 的面积为矩形ABCD 面积的932．（4）当点E 在线段PQ 的垂直平分线上时，=EQ PE ， ∴22=EQ PE ，在Rt CEQ 中，222+=CE CQ EQ ， 在△Rt PDE 中，222PD DE PE +=， ∴2222+=+CE CQ PD DE ，即222233(2)(8)644⎛⎫⎛⎫+=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭t t t t 解得1573256-=t ，2573256+=-t （舍）所以当57325-=t 时，点E 在线段PQ 的垂直平分线上． 【点睛】本题考查的是一次函数与几何图形的实际应用，勾股定理，平行线的性质，解一元二次方程，需要注意的是在解一元二次方程的实际应用中经常会涉及到解的验证，不可忽略.2．已知:在平面直角坐标系xoy 中,直线k y x b =+分别交x 、y 轴于点A 、B 两点,OA=5,∠OAB=60°.(1)如图1,求直线AB 的解析式；(2)如图2,点P 为直线AB 上一点，连接OP ,点D 在OA 延长线上，分别过点P 、D 作OA 、OP 的平行线,两平行线交于点C ，连接AC,设AD=m,△ABC 的面积为S,求S 与m 的函数关系式; (3)如图3,在(2)的条件下,在PA 上取点E ,使PE=AD, 连接EC,DE,若∠ECD=60°,四边形ADCE 的周长等于22，求S 的值.【答案】(1)直线解析式为353y x =-+53253+；(3)203S =. 【解析】 【分析】(1)先求出点B 坐标，设AB 解析式为y kx b =+，把点A(5，0)，B(0，3分别代入，利用待定系数法进行求解即可；(2)由题意可得四边形ODCP 是平行四边形，∠OAB=∠APC=60°，则有PC=OD=5+m ，∠PCH=30°，过点C 作CH ⊥AB ，在Rt △PCH 中 利用勾股定理可求得CH=)52m +，再由S=12AB •CH 代入相关数据进行整理即可得； (3) 先求得∠PEC=∠ADC ，设∠OPA=α，则∠OPC= ∠ADC= ∠PEC=60°+α，在BA 延长线上截取AK=AD ，连接OK ，DK ，DE ，证明△ADK 是等边三角形，继而证明△PEC ≌△DKO ，通过推导可得到OP=OK=CE=CD ，再证明△CDE 是等边三角形，可得CE=CD=DE ，连接OE ，证明△OPE ≌△EDA ，继而可得△OAE 是等边三角形，得到OA=AE=5 ，根据四边形ADCE 的周长等于22，可得ED=172m -，过点E 作EN ⊥OD 于点N ，则DN=52m +，由勾股定理得222EN DN DE +=， 可得关于m 的方程，解方程求得m 的值后即可求得答案.【详解】(1)在Rt △ABO 中OA=5，∠OAB=60°， ∴∠OBA=30°，AB=10 ， 由勾股定理可得OB=， ∴B(0，，设AB 解析式为y kx b =+，把点A(5，0)，B(0，)分别代入，得05k bb=+⎧⎪⎨=⎪⎩，∴k b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，∴直线解析式为y =+ (2)∵CP//OD ，OP//CD ，∴四边形ODCP 是平行四边形，∠OAB=∠APC=60°， ∴PC=OD=5+m ，∠PCH=30°， 过点C 作CH ⊥AB ，在Rt △PCH 中 PH=52m +，由勾股定理得CH=()52m +， ∴S=12AB •CH=110)2m ⨯+=+；(3) ∵∠ECD=∠OAB=60°，∴∠EAD+∠ECD=180°，∠CEA+∠ADC=180°， ∴∠PEC=∠ADC ，设∠OPA=α，则∠OPC= ∠ADC= ∠PEC=60°+α， 在BA 延长线上截取AK=AD ，连接OK ，DK ，DE ， ∵∠DAK=60°， ∴△ADK 是等边三角形， ∴AD=DK=PE ，∠ODK=∠APC ， ∵PC=OD ， ∴△PEC ≌△DKO ，∴OK=CE ，∠OKD=∠PEC=∠OPC=60°+α， ∠AKD= ∠APC=60° ， ∴∠OPK= ∠OKB ， ∴OP=OK=CE=CD ， 又∵∠ECD=60°， ∴△CDE 是等边三角形， ∴CE=CD=DE ，连接OE ，∵ ∠ADE=∠APO ，DE=CD=OP ， ∴△OPE ≌△EDA ， ∴AE=OE ， ∠OAE=60°， ∴△OAE 是等边三角形， ∴OA=AE=5 ，∵四边形ADCE 的周长等于22， ∴AD+2DE=17， ∴ED=172m-， 过点E 作EN ⊥OD 于点N ，则DN=52m +， 由勾股定理得222EN DN DE +=，即22253517()()()222m m -++=， 解得13m =，221m =-(舍去)， ∴S=15325322+=203.【点睛】本题考查的四边形综合题，涉及了待定系数法，平行四边形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，解一元二次方程等，综合性较强，有一定的难度，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.3．（1）课本情境:如图，已知矩形AOBC ，AB ＝6cm ，BC ＝16cm ，动点P 从点A 出发，以3cm/s 的速度向点O 运动，直到点O 为止；动点Q 同时从点C 出发，以2cm/s 的速度向点B 运动，与点P 同时结束运动，出发 时，点P 和点Q 之间的距离是10cm ； （2）逆向发散:当运动时间为2s 时，P ，Q 两点的距离为多少？当运动时间为4s 时，P ，Q 两点的距离为多少？（3）拓展应用：若点P 沿着AO→OC→CB 移动，点P ，Q 分别从A ，C 同时出发，点Q 从点C 移动到点B 停止时，点P 随点Q 的停止而停止移动，求经过多长时间△POQ 的面积为12cm 2？【答案】（1）85s 或245s （2）62cm ；213cm （3）4s 或6s 【解析】 【分析】(1)过点P 作PE ⊥BC 于E ，得到AP ＝3t ，CQ ＝2t ，PE ＝6，EQ ＝16﹣3t ﹣2t ＝16﹣5t ，利用勾股定理得到方程，故可求解；（2）根据运动时间求出EQ 、PE ，利用勾股定理即可求解；(3) 分当点P 在AO 上时，当点P 在OC 上时和当点P 在CB 上时，根据三角形的面积公式列出方程即可求解． 【详解】解：（1）设运动时间为t 秒时，如图，过点P 作PE ⊥BC 于E ， 由运动知，AP ＝3t ，CQ ＝2t ，PE ＝6，EQ ＝16﹣3t ﹣2t ＝16﹣5t ， ∵点P 和点Q 之间的距离是10 cm ， ∴62+（16﹣5t ）2＝100， 解得t 1=85，t 2=245， ∴t ＝85s 或245s . 故答案为85s 或245s（2）t=2时，由运动知AP ＝3×2＝6 cm ，CQ ＝2×2＝4 cm ， ∴四边形APEB 是矩形， ∴PE ＝AB ＝6，BE ＝6，∴EQ ＝BC ﹣BE ﹣CQ ＝16﹣6﹣4＝6， 根据勾股定理得2262PE EQ += ∴当t ＝2 s 时，P ，Q 两点的距离为2 cm ；当t ＝4 s 时，由运动知AP ＝3×4＝12 cm ，CQ ＝2×4＝8cm ， ∴四边形APEB 是矩形， ∴PE ＝AB ＝6，BQ ＝8，CE=OP=4 ∴EQ ＝BC ﹣CE ﹣BQ ＝16﹣4﹣8＝4， 根据勾股定理得22213PE EQ +=, P ，Q 两点的距离为13.（3）点Q 从C 点移动到B 点所花的时间为16÷2=8s ， 当点P 在AO 上时，S △POQ ＝2PO CO ⋅＝(163)62t -⋅＝12， 解得t ＝4．当点P 在OC 上时，S △POQ ＝2PO CQ ⋅＝(316)22t t-⋅＝12， 解得t ＝6或﹣23（舍弃）． 当点P 在CB 上时，S △POQ ＝2PQ CO ⋅＝(2223)62t t +-⨯＝12， 解得t ＝18＞8（不符合题意舍弃），综上所述，经过4 s 或6 s 时，△POQ 的面积为12 cm 2． 【点睛】此题主要考查勾股定理的应用、一元二次方程与动点问题，解题的关键是熟知勾股定理的应用，根据三角形的面积公式找到等量关系列出方程求解．4．已知关于x 的一元二次方程()221210m x m x +-+=有两个不相等的实数根．（1）求实数m 的取值范围；（2）若原方程的两个实数根分别为1x ，2x ，且满足1212215x x x x +=-，求m 的值． 【答案】（1）14m <且0m ≠；（2）15m =- 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到：()22140m m ∴∆=-->且20m ≠，然后求出两个不等式解集的公共部分即可.（2）利用根与系数的关系得到12221m x x m -+=， 1221x x m=，加上14m <且0m ≠，则可判断10x <，20x <，所以1212215x x x x --=-，2221215m m m--=-，然后解方程求出m 即可得到满足条件的m 的值.【详解】（1）因为方程()221210m x m x +-+=有两个不相等的实数根，()221240m m ∴∆=-->，解得14m <； 又因为是一元二次方程，所以20m ≠，0m ∴≠．m ∴的取值范围是14m <且0m ≠． （2）1x ，2x 为原方程的两个实数根，12221m x x m -∴+=，1221x x m= 14m <且0m ≠，122210m x x m -∴+=<，12210x x m=>，10x ∴<，20x <． 1212215x x x x +=-，1212215x x x x --=-，2221215m m m -∴-=-，215210m m ∴--=，解得113m =，215m =-， 14m <且0m ≠，113m ∴=不合题意，舍去，15m ∴=-． 【点睛】 此题主要考查一元一次方程的定义和判别式的意义，正确理解概念和熟练运用根的判别式是解题的关键.5．已知关于x 的一元二次方程x 2﹣x +a ﹣1=0． （1）当a=﹣11时，解这个方程；（2）若这个方程有两个实数根x 1，x 2，求a 的取值范围；（3）若方程两个实数根x 1，x 2满足[2+x 1（1﹣x 1）][2+x 2（1﹣x 2）]=9，求a 的值． 【答案】（1）123,4x x =-=（2）54a ≤（3）-4 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程的解法即可求出答案； （2）根据判别式即可求出a 的范围； （3）根据根与系数的关系即可求出答案． 【详解】（1）把a =﹣11代入方程，得x 2﹣x ﹣12=0， （x +3）（x ﹣4）=0， x +3=0或x ﹣4=0， ∴x 1=﹣3，x 2=4；（2）∵方程有两个实数根12x x ，， ∴△≥0，即（﹣1）2﹣4×1×（a ﹣1）≥0，解得54a ≤：； （3）∵12x x ，是方程的两个实数根，222211221122101011x x a x x a x x a x x a -+-=-+-=∴-=--=-，，，． ∵[2+x 1（1﹣x 1）][2+x 2（1﹣x 2）]=9，∴221122229x x x x ⎡⎤⎡⎤+-+-=⎣⎦⎣⎦， 把22112211x x a x x a -=--=-，代入，得：[2+a ﹣1][2+a ﹣1]=9，即（1+a ）2=9， 解得：a =﹣4，a =2（舍去）， 所以a 的值为﹣4．点睛：本题考查了一元二次方程，解题的关键是熟练运用判别式以及根与系数的关系．6．某建材销售公司在2019年第一季度销售,A B 两种品牌的建材共126件，A 种品牌的建材售价为每件6000元，B 种品牌的建材售价为每件9000元.（1）若该销售公司在第一季度售完两种建材后总销售额不低于96.6万元，求至多销售A 种品牌的建材多少件？（2）该销售公司决定在2019年第二季度调整价格，将A 种品牌的建材在上一个季度的基础上下调%a ，B 种品牌的建材在上一个季度的基础上上涨%a ；同时，与（1）问中最低销售额的销售量相比，A 种品牌的建材的销售量增加了1%2a ，B 种品牌的建材的销售量减少了2%5a ，结果2019年第二季度的销售额比（1）问中最低销售额增加2%23a ，求a 的值.【答案】（1）至多销售A 品牌的建材56件;(2)a 的值是30. 【解析】 【分析】（1）设销售A 品牌的建材x 件，根据售完两种建材后总销售额不低于96.6万元，列不等式求解；（2）根据题意列出方程求解即可. 【详解】（1）设销售A 品牌的建材x 件.根据题意，得()60009000126966000x x +-≥， 解这个不等式，得56x ≤， 答：至多销售A 品牌的建材56件.（2）在（1）中销售额最低时，B 品牌的建材70件， 根据题意，得()()()12260001%561%90001%701%6000569000701%2523a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯+++⨯-=⨯+⨯+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，令%a y =，整理这个方程，得21030y y -=，解这个方程，得1230,10y y ==， ∴10a =（舍去），230a =，即a 的值是30.【点睛】本题考查了一元二次方程和一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系和不等关系，列方程组和不等式求解．7．如图，A 、B 、C 、D 为矩形的4个顶点，AB ＝16cm ，BC ＝6cm ，动点P 、Q 分别以3cm /s 、2cm /s 的速度从点A 、C 同时出发，点Q 从点C 向点D 移动．(1)若点P 从点A 移动到点B 停止，点P 、Q 分别从点A 、C 同时出发，问经过2s 时P 、Q 两点之间的距离是多少cm ？(2)若点P 从点A 移动到点B 停止，点Q 随点P 的停止而停止移动，点P 、Q 分别从点A 、C 同时出发，问经过多长时间P 、Q 两点之间的距离是10cm ？(3)若点P 沿着AB →BC →CD 移动，点P 、Q 分别从点A 、C 同时出发，点Q 从点C 移动到点D 停止时，点P 随点Q 的停止而停止移动，试探求经过多长时间△PBQ 的面积为12cm 2？【答案】（1）2cm ；（2）85s 或245s ；（3）经过4秒或6秒△PBQ 的面积为 12cm 2．【解析】 试题分析：（1）作PE ⊥CD 于E ，表示出PQ 的长度，利用PE 2+EQ 2=PQ 2列出方程求解即可；（2）设x 秒后，点P 和点Q 的距离是10cm ．在Rt △PEQ 中，根据勾股定理列出关于x 的方程（16-5x ）2=64，通过解方程即可求得x 的值；（3）分类讨论：①当点P 在AB 上时；②当点P 在BC 边上；③当点P 在CD 边上时． 试题解析：（1）过点P 作PE ⊥CD 于E ．则根据题意，得EQ=16-2×3-2×2=6（cm），PE=AD=6cm；在Rt△PEQ中，根据勾股定理，得PE2+EQ2=PQ2，即36+36=PQ2，∴2cm；∴经过2s时P、Q两点之间的距离是2；（2）设x秒后，点P和点Q的距离是10cm．（16-2x-3x）2+62=102，即（16-5x）2=64，∴16-5x=±8，∴x1=85，x2=245；∴经过85s或245sP、Q两点之间的距离是10cm；（3）连接BQ．设经过ys后△PBQ的面积为12cm2．①当0≤y≤163时，则PB=16-3y，∴12PB•BC=12，即12×（16-3y）×6=12，解得y=4；②当163＜x≤223时，BP=3y-AB=3y-16，QC=2y，则1 2BP•CQ=12（3y-16）×2y=12，解得y1=6，y2=-23（舍去）；③223＜x≤8时，QP=CQ-PQ=22-y，则1 2QP•CB=12（22-y）×6=12，解得y=18（舍去）．综上所述，经过4秒或6秒△PBQ 的面积为 12cm 2．考点：一元二次方程的应用．8．如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，以点B 为圆心，BC 的长为半径画弧，交线段AB 于点D ，以点A 为圆心，AD 长为半径画弧，交线段AC 于点E ，连结CD .（1）若28A ∠=︒，求ACD ∠的度数；（2）设BC a =，AC b =；①线段AD 的长度是方程2220x ax b +-=的一个根吗？说明理由.②若线段AD EC =，求a b的值. 【答案】（1）ACD ∠＝31︒；（2）①是；②34a b =. 【解析】【分析】（1）根据三角形内角和定理求出∠B ，根据等腰三角形的性质求出∠BCD ，计算即可； （2）①根据勾股定理求出AD ，利用求根公式解方程，比较即可；②根据勾股定理列出算式，计算即可．【详解】（1）在ABC ∆中，90ACB ∠=︒.∴90B A ∠=︒-∠9028=︒-︒62=︒，∵BC BD =，∴1802B BCD BDC ︒-∠∠=∠= 180622︒-︒= 59=︒.∴DCA ACB BCD ∠=∠-∠9059=︒-︒31=︒.（2）①BD BC a ==，∴AD AB BD =-AB a =-.在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，AB ==∵2220x ax b +-=，∴22a x -±=a =-a AB =-±.∴线段AD 的长度是方程2220x ax b +-=的一个根.②∵AE AD =，又∵AD EC =， ∴2b AE EC ==， ∴2b AD =. 在Rt ABC ∆中，222AB AC BC =+， ∴2222b a b a ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭， 22224b a ab b a ++=+， ∴234b ab =. ∵0b >， ∴34b a =， ∴34a b =. 【点睛】本题考查的是勾股定理、一元二次方程的解法，掌握一元二次方程的求根公式、勾股定理是解题的关键．9．使得函数值为零的自变量的值称为函数的零点．例如，对于函数1y x =-，令y=0，可得x=1，我们就说1是函数1y x =-的零点．己知函数222(3)yx mx m =--+(m m 为常数)．（1）当m =0时，求该函数的零点；（2）证明：无论m 取何值，该函数总有两个零点；（3）设函数的两个零点分别为1x 和2x ，且121114x x +=-，此时函数图象与x 轴的交点分 别为A 、B(点A 在点B 左侧)，点M 在直线10y x =-上，当MA+MB 最小时，求直线AM 的函数解析式．【答案】（1）当m =0时，该函数的零点为6和6-．（2）见解析,（3）AM 的解析式为112y x =--． 【解析】【分析】（1）根据题中给出的函数的零点的定义，将m=0代入y=x 2-2mx-2（m+3），然后令y=0即可解得函数的零点；（2）令y=0，函数变为一元二次方程，要想证明方程有两个解，只需证明△＞0即可； （3）根据题中条件求出函数解析式进而求得A 、B 两点坐标，个、作点B 关于直线y=x-10的对称点B′，连接AB′，求出点B′的坐标即可求得当MA+MB 最小时，直线AM 的函数解析式【详解】（1）当m =0时，该函数的零点为6和6-．（2）令y=0，得△=∴无论m 取何值，方程总有两个不相等的实数根． 即无论m 取何值，该函数总有两个零点．（3）依题意有， 由解得．∴函数的解析式为． 令y=0，解得∴A()，B(4,0) 作点B 关于直线10y x =-的对称点B’，连结AB’，则AB’与直线10y x =-的交点就是满足条件的M 点．易求得直线10y x =-与x 轴、y 轴的交点分别为C （10,0），D （0,10）． 连结CB’，则∠BCD=45°∴BC=CB’=6，∠B’CD=∠BCD=45°∴∠BCB’=90°即B’（106-，）设直线AB’的解析式为y kx b =+，则20{106k b k b -+=+=-，解得112k b =-=-， ∴直线AB’的解析式为112y x =--， 即AM 的解析式为112y x =--．10．如图，在矩形ABCD 中，6AB = ，10BC = ，将矩形沿直线EF 折叠．使得点A 恰好落在BC 边上的点G 处，且点E 、F 分别在边AB 、AD 上（含端点），连接CF . （1）当32BG = 时，求AE 的长；（2）当AF 取得最小值时，求折痕EF 的长；（3）连接CF ，当△FCG 是以CG 为底的等腰三角形时，直接写出BG 的长.【答案】（1）92AE =；（2）62EF =3）185BG =. 【解析】【分析】 （1）根据折叠得出AE=EG ，据此设AE=EG=x ，则有BE=6-x ，由勾股定理求解可得；（2）由FG ⊥BC 时FG 的值最小，即此时AF 能取得最小值，显然四边形AEGF 是正方形，从而根据勾股定理可得答案；（3）由△CFG 是以FG 为一腰的等腰三角形，可知应分两种情况讨论：①FG=FC ；②FG=GC ；分别求解可得．【详解】（1）由折叠易知，AE EG =，设AE EG x ==，则有6BE x =-，由勾股定理，得()(222632x x =-+，解得92x =，即92AE = （2）由折叠易知，AF FG =，而当FG BC ⊥时，FG 的值最小，即此时AF 能取得最小值，当FG BC ⊥时，FG 的值最小，即此时AF 能取得最小值，当FG BC⊥时，点E与点B重合，此时四边形AEGF是正方形，∴折痕226662EF=+=.（3）由△CFG是以FG为一腰的等腰三角形，可知应分两种情况讨论：①当FG=FC时，如图2，过F作FH⊥CG于H，则有：AF=FG=FC，CH=DF=GH设AF=FG=FC=x，则DF=10-x=CH=GH在Rt△CFH中∵CF2=CH2+FH2∴x2=62+（10-x）2解得：x=345，∴DF=CH=GH=10-165，即BG=10-165×2=185，②当FG=GC时，则有：AF=FG=GC=x，CH=DF=10-x；∴GH=x-（10-x）=2x-10，在Rt△FGH中，由勾股定理易得：x2=62+（2x-10）2，化简得：3x2-40x+136=0，∵△=（-40）2-4×3×136=-32＜0，∴此方程没有实数根．综上可知：BG=185．【点睛】本题主要考查四边形的综合问题，解题的关键是掌握矩形和翻折变换的性质、正方形的判定与性质、勾股定理、一元二次方程根与系数的关系等知识点，也考查了分类讨论的数学思想．。
一元二次方程提高(中等及较难)(含解析)
一元二次方程提高（中等及较难）一、选择题1、某农机厂四月份生产零件50万个，第二季度共生产零件182万个．设该厂五、六月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（）A．50（1+x）2=182 B．50+50（1+x）+50（1+x）2=182C．50（1+2x）=182 D．50+50（1+x）+50（1+2x）2=1822、如下图，小雨在一幅长90cm、宽40cm的油画四周外围镶上一条宽度相同的边框，制成一幅挂图，并使油画画面的面积是整个挂图面积的54％，设边框的宽度为xcm，根据题意所列方程正确的是（）A．（90+x）（40+x）×54％=90×40B．（90+2x）（40+2x）×54％=90×40C．（90+x）（40+2x）×54％=90×40D．（90+2x）（40+x）×54％=90×40二、填空题3、某公司生产某种产品，每件产品成本是3元，售价是4元，年销售量为10万件．为了获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告．根据经验，每年投入广告费为x（万元）时，产品的年销售量将是原销售量的y倍，且y=-+x+．如果把利润看作是销售额减去成本费和广告费，则当年利润为16万元时，广告费x为__________万元．三、解答题4、某商场销售一种品牌羽绒服和防寒服，其中羽绒服的售价是防寒服售价的5倍还多100元，2014年1月份（春节前期）共销售500件，羽绒服与防寒服销量之比是4：1，销售总收入为58.6万元．（1）求羽绒服和防寒服的售价；（2）春节后销售进入淡季，2014年2月份羽绒服销量下滑了6m%，售价下滑了4m%，防寒服销量和售价都维持不变，结果销售总收入下降为16.04万元，求m的值．5、黄冈百货商店服装柜在销售中发现：“宝乐”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“六•一”国际儿童节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽量减少库存．经市场调查发现：如果每件童装降价4元，那么平均每天就可多售出8件．要想平均每天销售这种童装上盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？6、青海新闻网讯：2016年2月21日，西宁市首条绿道免费公共自行车租赁系统正式启用．市政府今年投资了112万元，建成40个公共自行车站点、配置720辆公共自行车．今后将逐年增加投资，用于建设新站点、配置公共自行车．预计2018年将投资340.5万元，新建120个公共自行车站点、配置2205辆公共自行车．（1）请问每个站点的造价和公共自行车的单价分别是多少万元？（2）请你求出2016年到2018年市政府配置公共自行车数量的年平均增长率．7、受房贷收紧、对政策预期不确定等因素影响，今年前两个月，全国商品住宅市场销售出现销售量和销售价齐跌态势，数据显示，2014年前两个月，某房地产开发公司的销售面积一共8300平方米，其中2月份比1月份少销售300平方米．（1）求2014年1、2月份各销售了多少平方米；（2）该公司2月份每平方米的售价为8000元，3月份开始，决定以降价促销的方式应对当前的形势，据调查，与2月份相比较，每平方米销售单价下调a%，则销售面积将增加（a+10）%，结果3月份总销售额为3456万元，求a的值．8、某县2013年公共事业投入经费40000万元，其中教育经费占15%，2015年教育经费实际投入7260万元，若该县这两年教育经费的年平均增长率相同．（1）求该县这两年教育经费平均增长率；（2）若该县这两年教育经费平均增长率保持不变，那么2016年教育经费会达到8000万元吗？9、某厂家生产甲乙两种型号的显示器，随着电子行业的竞争越来越激烈，厂家为了促销，将乙型号的显示器价格经过两次降价，由400元/台降到225元/台，某公司决定从该厂家购进甲乙两种不同型号的显示器共50台，且购进甲种显示器的台数至少为23台；（1）求乙型号显示器连续两次降价的百分率（两次降价的百分率相同）；（2）若要求甲型显示器的台数不超过乙型显示器的台数，问有哪些购买方案？10、每年暑假，都有许多驴友为实现自己的一个梦想，骑自行车丈量中国最美公路川藏线．A、B两个驴友团队于同一天出发前往目的地拉萨．A队走317国道，结果30天到达．B队走318国道，总路程比A队少200千米，且路况更好，平均每天比A队多骑行20千米，结果B队比A队提前8天到达拉萨．（1）求318国道全程为多少千米？（2）骑行过程中，B队每人每天平均花费150元．A队开始有3个人同行，计划每人每天花费110元，后来又有几个人加入队伍，实际每增加1人，每人每天的平均花费就减少5元．若最终A、B两队骑行的人数相同（均不超过10人），两队共花费36900元，求两驴友团各有多少人？11、某商场销售一种品牌羽绒服和防寒服，其中羽绒服的售价是防寒服售价的5倍还多100元，2014年1月份（春节前期）共销售500件，羽绒服与防寒服销量之比是4：1，销售总收入为58.6万元．（1）求羽绒服和防寒服的售价；（2）春节后销售进入淡季，售价不变，2014年2、3月份羽绒服销量比上一个月都下滑了m%，结果3月份羽绒服的销售总收入为14万元，求m的值．12、某超市销售一种饮料，平均每天可售出100箱，每箱利润120元。
中考数学复习《一元二次方程》专项提升训练题-附答案
中考数学复习《一元二次方程》专项提升训练题-附答案学校:班级:姓名:考号:一、选择题1．把x2−5x=31配方，需在方程的两边都加上（）A．5B．25C．2.5D．2542．方程x2−8x+16=0根的情况是（）．A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．有一个实数根D．没有实数根3．若x=0是关于x的一元二次方程(m−1)x2+2x+m2−1=0的解，则m的值为（）A．m=±1B．m=0C．m=1D．m=−14．一元二次方程3x2−mx−3=0有一根是x=1，则另一根是（）A．x=1B．x=−1C．x=2D．x=45．关于x的一元二次方程kx2+2x+1=0有两个实根，则实数k的取值范围是（）A．k≤1B．k<1C．k≤1且k≠0D．k<1且k≠06．在学校举行的图书共享仪式上互赠图书，每个同学都把自己的图书向本组其他成员赠送一本，某小组成员之间共互赠了30本图书，若设该组共有x名同学，那么依题意可列出的方程是（）A．x(x−1)=30B．x(x+1)=30x(x−1)=30C．2x(x−1)=30D．127．若a是方程3x2−6x−2=10的一个解，则2a2−4a−2031的值是（）A．2023 B．－2023 C．2022 D．－20228．某航空公司有若干个飞机场，每两个飞机场之间都开辟一条线，一共开了21条线，则这个航空公司共有飞机场（）A．4个B．5个C．6个D．7个二、填空题9．若关于x的方程(m−1)⋅x2+x+m2−1=0，有一根为0，则m=．10．已知抛物线y=x2+2x+k−1与x轴有两个交点，则k的取值范围是．11．若x1、x2是一元二次方程x2+2x＝3的两根，则x1•x2的值是．12．游行队伍有8行12列，后又增加了69人，要使得队伍增加的行数和列数相同，需要增加行。
13．已知关于x的方程ax2+bx+c=0的两根为x1=1，x2=2，则方程a(x+2)2+b(x+2)+c=0的两根之和为．14．解方程：（1）x2−2x=99；（2）(x+3)2=−2(x+3)15．已知关于x的一元二次方程x2+(3−k)x+2−k=0.（1）求证：此方程总有两个实数根；（2）若此方程恰有一个根大于1，求k的取值范围．16．关于x的一元二次方程x2−(2m−1)x+m2−2m=0有实数根.（1）求m的取值范围；（2）若方程的两个实数根为x1，x2，且满足x12+x22−x1x2=9，求m的值.17．某公司投资建了一商场，共有商铺30间，据预测，当每间租金定为10万元，可全部租出，每间的年租金每增加5000元，少租出商铺1间，该公司要为租出的商铺每间每年交各种费用1万元，未租出的商铺每间每年交各种费用5000元．（1）当每间商铺的年租金为l3万元时，能租出多少间？（2）若从减少空铺的角度来看，当每间商铺的年租金为多少万元时，该公司的年收益为275万元？18．重庆奉节脐橙，柚子非常出名，奉节大力发展经济作物．其中果树种植已经具有规模性了，今年受气1．D2．B3．D4．B5．C6．A7．B8．D9．m=±110．k<211．-312．313．-114．（1）解：∵x2−2x=99∴x2−2x+1=100，即(x−1)2=100∴x−1=10或x−1=−10解得：x1=11（2）解：∵(x+3)2=−2(x+3)∴(x+3)2+2(x+3)=0∴(x+3)(x+5)=0∴x+3=0或x+5=0解得：x1=−315．（1）证明：∵Δ=(3−k)2−4×(2−k)=k2−2k+1=(k−1)2≥0∴方程总有两个实数根；（2）解：∵x2+(3−k)x+2−k=(x+1)(x+2−k)=0∴x1=−1∵方程有一个根大于1∴k−2>1，解得：k>3∴k的取值范围为k>3.16．（1）解：关于x的一元二次方程x2−(2m−1)x+m2−2m=0有实数根∴Δ=b2−4ac=[−(2m−1)]2−4(m2−2m)=4m+1≥0解得m≥−14.（2）解：∵x1+x2=2m−1x1x2=m2−2m∴x12+x22−x1x2=(x1+x2)2−3x1x2=(2m−1)2−3(m2−2m)=m2+2m+1 .∵x12+x22−x1x2=9∴m2+2m+1=9，即(m+1)2=9解得m=2或m=−4 .由（1）知m≥−14∴m=2 .17．（1）解：∵（130000﹣100000）÷5000=6∴能租出30﹣6=24（间）（2）解：设每间商铺年租金增加x万元所以（30﹣）（10+x）﹣（30﹣）×1﹣×0.5=275解得x1=5，x2=0.5∴每间商铺的年租金为10.5万元或15万元∴若从减少空铺的角度来看，当每间商铺的年租金为10.5万元时，该公司的年收益为275万元18．解：（1）设今年柚子xkg由题意得：4200－x≤6x解得：x≥600答：该果农今年收获柚子至少600kg．（2）由题意知：1000×（1－a%）×15+2000×（1+2a%）×10×（1－56a%）＝1000×15+2000×10令a%＝m15×（1－m）+20×（1+2m）（1－56m）＝15+20100m2－25m＝0解得：10m =（不合题意，舍去），20.25m =＝25% ∴a ＝25。
(完整版)一元二次方程培优提高例题
考点一、概念(1)定义:①只含有一个未知数．．．．．．．．，并且②未知数的最高次数是．．．．．．．．．2．,这样的③整式方程．．．．就是一元二次方程。
（2）一般表达式：)0(02≠=++a c bx ax⑶难点：如何理解 “未知数的最高次数是2”: ①该项系数不为“0"； ②未知数指数为“2”；③若存在某项指数为待定系数,或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。
典型例题:例1、下列方程中是关于x 的一元二次方程的是( ）A ()()12132+=+x x B 02112=-+x xC 02=++c bx axD 1222+=+x x x变式：当k 时，关于x 的方程3222+=+x x kx 是一元二次方程。
例2、方程()0132=+++mx x m m是关于x 的一元二次方程,则m 的值为 。
针对练习:★1、方程782=x 的一次项系数是 ,常数项是 。
★2、若方程()021=--m xm 是关于x 的一元一次方程，⑴求m 的值;⑵写出关于x 的一元一次方程.★★3、若方程()112=•+-x m x m 是关于x 的一元二次方程,则m 的取值范围是 。
★★★4、若方程nx m+x n—2x 2=0是一元二次方程，则下列不可能的是（ )A 。
m=n=2 B.m=2，n=1 C.n=2，m=1 D.m=n=1考点二、方程的解⑴概念:使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。
⑵应用:利用根的概念求代数式的值;典型例题：例1、已知322-+y y 的值为2，则1242++y y 的值为 .例2、关于x 的一元二次方程()04222=-++-a x x a 的一个根为0，则a 的值为 。
说明：任何时候，都不能忽略对一元二次方程二次项系数的限制.例3、已知关于x 的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的系数满足b c a =+,则此方程必有一根为 。
说明：本题的关键点在于对 “代数式形式”的观察,再利用特殊根“-1”巧解代数 式的值。
一元二次方程综合提高精选题含答案
一元二次方程综合提高题一、选择题1.若关于x的一元二次方程（x－2）（x－3）=m有实数根x1,x2，且x1≠x2，有下列结论：①x1=2，x2=3；②1m4 >-；③二次函数y=（x－x1）（x－x2）＋m的图象与x轴交点的坐标为（2，0）和（3，0）．其中，正确结论的个数是【】（A）0 （B）1 （C）2 （D）3【答案】C。
【考点】抛物线与x轴的交点，一元二次方程的解，一元二次方程根的判别式和根与系数的关系。
【分析】①∵一元二次方程实数根分别为x1、x2，∴x1=2，x2=3，只有在m=0时才能成立，故结论①错误。
②一元二次方程（x－2）（x－3）=m化为一般形式得：x2－5x＋6－m=0，∵方程有两个不相等的实数根x1、x2，∴△=b2－4ac=（－5）2－4（6－m）=4m＋1＞0，解得：1m4>-。
故结论②正确。
③∵一元二次方程x2－5x＋6－m=0实数根分别为x1、x2，∴x1＋x2=5，x1x2=6－m。
∴二次函数y=（x－x1）（x－x2）+m=x2－（x1＋x2）x＋x1x2＋m=x2－5x＋（6－m）＋m =x2－5x＋6=（x－2）（x－3）。
令y=0，即（x－2）（x－3）=0，解得：x=2或3。
∴抛物线与x轴的交点为（2，0）或（3，0），故结论③正确。
综上所述，正确的结论有2个：②③。
故选C。
2.如果关于x的一元二次方程x2+4x+a=0的两个不相等实数根x1，x2满足x1x2﹣2x1﹣2x2﹣5=0，那么a的值为【】A．3 B．﹣3 C．13 D．﹣13【答案】B。
【考点】一元二次方程根与系数的关系。
【分析】∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2+4x+a=0的两个不相等实数根，∴x 1+x 2=﹣4，x 1x 2=a 。
∴x 1x 2﹣2x 1﹣2x 2﹣5=x 1x 2﹣2（x 1+x 2）﹣5=a ﹣2×（﹣4）﹣5=0，即a+3=0， 解得，a=﹣3。
一元二次方程期末复习提高卷
一元二次方程期末复习(提高卷)一元二次方程期末复习（提高卷）1．关于x 的一元二次方程22(1)2540m x x m m -++-+=常数项为0，则m 值等于2．如果21(1)xx x --=+，那么x 的值为 3．m 是方程210x x +-=的根，则式子2222017mm ++的值为4．满足22(1)1n nn +--=的整数n 有 个5．已知三角形的两边长是4和6，第三边的长是方程2(3)10x --=的根，则此三角形的周长为6．已知边长为a 的正方形的面积为8，则下列说法中错误的是 ①a 是无理数 ②a是方程230x -=的解 ③a 是8的算术平方根 ④2＜a ＜4 7．若两个不等实数,m n 满足条件：2210mm --=，2210n n --=，则22mn += ．8．已知实数x 满足222()()6x x x x +-+=，则2x x+= ． 9．对于实数,a b定义运算a ﹡b=．若12,x x 是一元二次方程2560x x -+=的两个根，则12x x *= ．10．已知实数,m n 满足21m n-=，则代数式22241mn m ++-的最小值等于 ．11．如果方程2(1)(2)04kx xx --+=的三根可以作为一个三角形的三边之长，那么实数k 的取值范围是 ．12．已知整数k ＜5，若△ABC 的边长均满足关于x的方程280x -+=，则△ABC 的周长是 ．13．已知：ABCD 的两边AB ，AD 的长是关于x 的方程21024m xmx -+-=的两个实数根．（1）当m 为何值时，四边形ABCD 是菱形？求出这时菱形的边长；（2）若AB 的长为2，那么ABCD 的周长是多少？14．已知关于x 的方程22(1)3(31)180mx m x ---+=有两个正整数根，且m 是正整数，求m 的值.15．如图，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形，,,a b c是Rt△ABC和Rt△BED边长，易知，这时我们把关于x的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．请解决下列问题：（1）写出一个“勾系一元二次方程”；（2）求证：关于x的“勾系一元二次方程”必有实数根；（3）若1x=-是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形ACDE的周长是6，求△ABC面积．16．等腰△ABC的直角边AB=BC=10cm，点P、Q 分别从A、C两点同时出发，均以1cm/秒的相同速度作直线运动，已知P沿射线AB运动，Q沿边BC的延长线运动，PQ与直线AC相交于点D．设P点运动时间为t，△PCQ的面积为S．（1）求出S关于t的函数关系式；（2）当点P运动几秒时，S△PCQ =S△ABC？（3）作PE⊥AC于点E，当点P、Q运动时，线段DE的长度是否改变？证明你的结论．一元二次方程期末复习（提高卷）参考答案与试题解析1．（2017•河北模拟）关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x+m2﹣5m+4=0，常数项为0，则m值等于（）A．1 B．4 C．1或4 D．0【考点】A2：一元二次方程的一般形式．【解答】解：由题意，得m2﹣5m+4=0，且m﹣1≠0，解得m=4，故选：B．2．（2015•烟台）如果x2﹣x﹣1=（x+1）0，那么x的值为（）A．2或﹣1 B．0或1 C．2 D．﹣1【考点】A8：解一元二次方程﹣因式分解法；6E：零指数幂．【解答】解：∵x2﹣x﹣1=（x+1）0，∴x2﹣x﹣1=1，即（x﹣2）（x+1）=0，解得：x1=2，x2=﹣1，当x=﹣1时，x+1=0，故x≠﹣1，故选：C．3．（2017•潮阳区模拟）m是方程x2+x﹣1=0的根，则式子2m2+2m+2015的值为（）A．2013 B．2016 C．2017 D．2018【考点】A3：一元二次方程的解．【解答】解：∵m是方程x2+x﹣1=0的根，∴m2+m﹣1=0，即m2+m=1，∴2m2+2m+2015=2（m2+m）+2015=2+2015=2017．故选C．4．（2012•浙江校级自主招生）满足（n2﹣n﹣1）n+2=1的整数n有几个（）A．4个B．3个C．2个D．1个【考点】A3：一元二次方程的解；6E：零指数幂．【解答】解：（1）n2﹣n﹣1=1，解得：n=2或n=﹣1；（2），解得：n=0；（3），解得：n=﹣2．故选：A．5．（2017•历城区模拟）已知边长为a的正方形的面积为8，则下列说法中，错误的是（）A．a是无理数B．a是方程x2﹣3=0的解C．a是8的算术平方根D．2＜a＜4【考点】A3：一元二次方程的解；26：无理数．【解答】解：∵边长为a的正方形的面积为8，∴a==2，∴A，C，D都正确，故选B．6．（2017•河北模拟）已知三角形的两边长是4和6，第三边的长是方程（x﹣3）2﹣1=0的根，则此三角形的周长为（）A．10 B．12 C．14 D．12或14【考点】A3：一元二次方程的解；K6：三角形三边关系．【解答】解：（x﹣3）2﹣1=0，x﹣3=±1，解得x1=4，x2=2．若x=4，则三角形的三边分别为4，4，6，其周长为4+4+6=14；若x=2时，6﹣4=2，不能构成三角形，则此三角形的周长是14．故选：C．7．（2015•株洲）有两个一元二次方程M：ax2+bx+c=0；N：cx2+bx+a=0，其中a•c ≠0，a≠c．下列四个结论中，错误的是（）A．如果方程M有两个相等的实数根，那么方程N也有两个相等的实数根B．如果方程M的两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同C．如果5是方程M的一个根，那么是方程N的一个根D．如果方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根必是x=1【考点】AA：根的判别式；A3：一元二次方程的解；AB：根与系数的关系．【解答】解：A、如果方程M有两个相等的实数根，那么△=b2﹣4ac=0，所以方程N也有两个相等的实数根，结论正确，不符合题意；B、如果方程M的两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同，那么△=b2﹣4ac ≥0，＞0，所以a与c符号相同，＞0，所以方程N的两根符号也相同，结论正确，不符合题意；C、如果5是方程M的一个根，那么25a+5b+c=0，两边同时除以25，得c+b+a=0，所以是方程N的一个根，结论正确，不符合题意；D、如果方程M和方程N有一个相同的根，那么ax2+bx+c=cx2+bx+a，（a﹣c）x2=a ﹣c，由a≠c，得x2=1，x=±1，结论错误，符合题意；故选：D．二．填空题（共6小题）8．（2013•黔东南州）若两个不等实数m、n满足条件：m2﹣2m﹣1=0，n2﹣2n﹣1=0，则m2+n2的值是 6 ．【考点】AB：根与系数的关系．【解答】解：由题意知，m、n是关于x的方程x2﹣2x﹣1=0的两个根，则m+n=2，mn=﹣1．所以，m2+n2=（m+n）2﹣2mn=2×2﹣2×（﹣1）=6．故答案是：6．9．（2012•金牛区三模）已知实数x满足，则= 3 ．【考点】A9：换元法解一元二次方程．【解答】解：设=y，则原方程可变形为y2﹣y=6，解得y1=﹣2，y2=3，当y1=﹣2时，=﹣2，∵△=b2﹣4ac＜0∴此方程无解，当y2=3时，=3，∵△=b2﹣4ac＞0∴此方程有解，∴=3；故答案为：3．10．（2013•临沂）对于实数a，b，定义运算“﹡”：a﹡b=．例如4﹡2，因为4＞2，所以4﹡2=42﹣4×2=8．若x1，x2是一元二次方程x2﹣5x+6=0的两个根，则x1﹡x2= 3或﹣3 ．【考点】A8：解一元二次方程﹣因式分解法．【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣5x+6=0的两个根，∴（x﹣3）（x﹣2）=0，解得：x=3或2，①当x1=3，x2=2时，x1﹡x2=32﹣3×2=3；②当x1=2，x2=3时，x1﹡x2=3×2﹣32=﹣3．故答案为：3或﹣3．11．（2014•南通）已知实数m，n满足m﹣n2=1，则代数式m2+2n2+4m﹣1的最小值等于 4 ．【考点】AE：配方法的应用；1F：非负数的性质：偶次方．【解答】解：∵m﹣n2=1，即n2=m﹣1≥0，m≥1，∴原式=m2+2m﹣2+4m﹣1=m2+6m+9﹣12=（m+3）2﹣12，则代数式m2+2n2+4m﹣1的最小值等于（1+3）2﹣12=4．故答案为：4．12．（2012•德清县自主招生）如果方程（x﹣1）（x2﹣2x+）=0的三根可以作为一个三角形的三边之长，那么实数k的取值范围是3＜k≤4 ．【考点】AB：根与系数的关系；AA：根的判别式；K6：三角形三边关系．【解答】解：由题意，得：x﹣1=0，x2﹣2x+=0；设x2﹣2x+=0的两根分别是m、n（m≥n）；则m+n=2，mn=；m﹣n==；根据三角形三边关系定理，得：m﹣n＜1＜m+n，即＜1＜2；∴，解得3＜k≤4．13．（2013•绵阳）已知整数k＜5，若△ABC的边长均满足关于x的方程x2﹣3x+8=0，则△ABC的周长是6或12或10 ．【考点】AA：根的判别式；A8：解一元二次方程﹣因式分解法；K6：三角形三边关系．【解答】解：根据题意得k≥0且（3）2﹣4×8≥0，解得k≥，∵整数k＜5，∴k=4，∴方程变形为x2﹣6x+8=0，解得x1=2，x2=4，∵△ABC的边长均满足关于x的方程x2﹣6x+8=0，∴△ABC的边长为2、2、2或4、4、4或4、4、2．∴△ABC的周长为6或12或10．故答案为：6或12或10．．三．解答题（共5小题）14．（2014•亳州一模）端午节期间，某食品店平均每天可卖出300只粽子，卖出1只粽子的利润是1元．经调查发现，零售单价每降0.1元，每天可多卖出100只粽子．为了使每天获取的利润更多，该店决定把零售单价下降m（0＜m＜1）元．（1）零售单价下降m元后，该店平均每天可卖出300+100×只粽子，利润为（1﹣m）（300+100×）元．（2）在不考虑其他因素的条件下，当m定为多少时，才能使该店每天获取的利润是420元并且卖出的粽子更多？【考点】AD：一元二次方程的应用．【解答】解：（1）300+100×，（1﹣m）（300+100×）．（2）令（1﹣m）（300+100×）=420．化简得，100m2﹣70m+12=0．即，m2﹣0.7m+0.12=0．解得m=0.4或m=0.3．可得，当m=0.4时卖出的粽子更多．答：当m定为0.4时，才能使商店每天销售该粽子获取的利润是420元并且卖出的粽子更多．15．（2011•淄博）已知：▱ABCD的两边AB，AD的长是关于x的方程x2﹣mx+﹣=0的两个实数根．（1）当m为何值时，四边形ABCD是菱形？求出这时菱形的边长；（2）若AB的长为2，那么▱ABCD的周长是多少？【考点】AD：一元二次方程的应用；L5：平行四边形的性质；L8：菱形的性质．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AB=AD，∴△=0，即m2﹣4（﹣）=0，整理得：（m﹣1）2=0，解得m=1，当m=1时，原方程为x2﹣x+=0，解得：x1=x2=0.5，故当m=1时，四边形ABCD是菱形，菱形的边长是0.5；（2）把AB=2代入原方程得，m=2.5，把m=2.5代入原方程得x2﹣2.5x+1=0，解得x1=2，x2=0.5，∴C▱ABCD=2×（2+0.5）=5．16．（2015•黄冈中学自主招生）已知关于x的方程（m2﹣1）x2﹣3（3m﹣1）x+18=0有两个正整数根（m是正整数）．△ABC的三边a、b、c满足，m2+a2m﹣8a=0，m2+b2m﹣8b=0．求：（1）m的值；（2）△ABC的面积．【考点】AB：根与系数的关系；A1：一元二次方程的定义；A3：一元二次方程的解；A8：解一元二次方程﹣因式分解法；KH：等腰三角形的性质；KQ：勾股定理；KS：勾股定理的逆定理．【解答】解：（1）∵关于x的方程（m2﹣1）x2﹣3（3m﹣1）x+18=0有两个正整数根（m是整数）．∵a=m2﹣1，b=﹣9m+3，c=18，∴b2﹣4ac=（9m﹣3）2﹣72（m2﹣1）=9（m﹣3）2≥0，设x1，x2是此方程的两个根，∴x1•x2==，∴也是正整数，即m2﹣1=1或2或3或6或9或18，又m为正整数，∴m=2；（2）把m=2代入两等式，化简得a2﹣4a+2=0，b2﹣4b+2=0当a=b时，当a≠b时，a、b是方程x2﹣4x+2=0的两根，而△＞0，由韦达定理得a+b=4＞0，ab=2＞0，则a＞0、b＞0．①a≠b，时，由于a2+b2=（a+b）2﹣2ab=16﹣4=12=c2故△ABC为直角三角形，且∠C=90°，S△ABC=．②a=b=2﹣，c=2时，因＜，故不能构成三角形，不合题意，舍去．③a=b=2+，c=2时，因＞，故能构成三角形．S△ABC=×（2）×=综上，△ABC的面积为1或．17．（2016•濉溪县三模）如图，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是Rt△ABC和Rt△BED边长，易知，这时我们把关于x的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．请解决下列问题：（1）写出一个“勾系一元二次方程”；（2）求证：关于x的“勾系一元二次方程”必有实数根；（3）若x=﹣1是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形ACDE的周长是6，求△ABC面积．【考点】AD：一元二次方程的应用；KR：勾股定理的证明．【解答】（1）解：当a=3，b=4，c=5时勾系一元二次方程为3x2+5x+4=0；（2）证明：根据题意，得△=（c）2﹣4ab=2c2﹣4ab∵a2+b2=c2∴2c2﹣4ab=2（a2+b2）﹣4ab=2（a﹣b）2≥0即△≥0∴勾系一元二次方程必有实数根；（3）解：当x=﹣1时，有a﹣c+b=0，即a+b=c∵2a+2b+c=6，即2（a+b）+c=6∴3c=6∴c=2∴a2+b2=c2=4，a+b=2∵（a+b）2=a2+b2+2ab∴ab=2∴S△ABC=ab=1．18．（2014•江西模拟）等腰△ABC的直角边AB=BC=10cm，点P、Q分别从A、C 两点同时出发，均以1cm/秒的相同速度作直线运动，已知P沿射线AB运动，Q 沿边BC的延长线运动，PQ与直线AC相交于点D．设P点运动时间为t，△PCQ 的面积为S．（1）求出S关于t的函数关系式；（2）当点P运动几秒时，S△PCQ =S△ABC？（3）作PE⊥AC于点E，当点P、Q运动时，线段DE的长度是否改变？证明你的结论．【考点】AD：一元二次方程的应用；KE：全等三角形的应用．【解答】解：（1）当t＜10秒时，P在线段AB上，此时CQ=t，PB=10﹣t∴当t＞10秒时，P在线段AB得延长线上，此时CQ=t，PB=t﹣10∴（4分）（2）∵S△ABC=（5分）∴当t＜10秒时，S△PCQ=整理得t2﹣10t+100=0无解（6分）当t＞10秒时，S△PCQ=整理得t2﹣10t﹣100=0解得t=5±5（舍去负值）（7分）∴当点P运动秒时，S△PCQ =S△ABC（8分）（3）当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．证明：过Q作QM⊥AC，交直线AC于点M易证△APE≌△QCM，∴AE=PE=CM=QM=t，∴四边形PEQM是平行四边形，且DE是对角线EM的一半．又∵EM=AC=10∴DE=5∴当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．同理，当点P在点B右侧时，DE=5综上所述，当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．。
一元二次方程综合提高题
一元二次方程根的综合提高一、一元二次方程根的符号或根的分布例1 实数k 取何值时，一元二次方程042)32(2=-+--k x k x ，（1）有两个正根；（2）有两个异号根，并且正根的绝对值较大；（3）一根大于3，一根小于3．变式训练1.已知二次方程2(23)100x k x k --+-=的两根都是负数，求k 的取值范围？2.关于x 的二次方程)0(04)1(22≠=---m x m mx 的两根一个比1大，另一个比1小，求m 的取值范围？3. 已知关于x 的方程0141)1(22=+++-k x k x 的两根是一个矩形两邻边的长．（1）求k 的取值范围；（2）当矩形的对角线长为5时，求k 的值．二、求根公式法分解因式 分解因式⑴21664x x -+ ⑵ 2215x x -- ⑶2673x x -- ⑷ 221x x +-韦达定理：如果一元二次方程20(0)axbx c a ++=≠有两根12,x x ，那么两根之和12_____x x +=，两根之积：12____x x ⋅=由此可将多项式2axbx c ++分解因式：222121212()()()()b c ax bx c a x x a x x x x x x a aa x x x x ⎡⎤++=++=-++⎣⎦=--这种方法就叫求根公式法分解因式。
例2 分解因式： ⑴ 244x x +- ⑵ 2241x x +-变式训练：分解因式：⑴221x x -- ⑵ 2234x x -- ⑶ 2361x x --三、一元二次方程与三角形综合问题例3．已知关于x 的方程x 2－（2m －1）x +2(m －1)＝0。
（1）求证：无论m 为何值，这个方程总有实数根。
（2）如果等腰三角形的一边a ＝8，另两边b 和c 恰好是这个方程的两个根，求这个三角形的周长。
变式训练1. 已知等腰△ABC 的一边a ＝8，另两边b 和c 恰好是方程：2120x kx -+=的两根，求△ABC 的周长。
九年级数学一元二次方程(提升篇)(Word版 含解析)
（1）点C的坐标为；
（2）①设△BCD的面积为S，用含m的式子表示S，并写出m的取值范围；
②当S=6时，求点B的坐标（直接写出结果即可）.
【答案】（1）C（8，8）；（2）①S=0.5m2﹣4m（m＞8），或S=﹣0.5m2+4m（0＜m＜8）；②点B的坐标为（4+2 ，0）或（2，0）或（6，0）.
（2）当点P运动到边BC上时，试求出使AP长为 时运动时间t的值；
（3）当点P运动到边AC上时，是否存在点P，使△CDP是等腰三角形？若存在，请求出运动时间t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) AB＝3，BC＝4;(2) t＝4;(3)t为10秒或9.5秒或 秒时，△CDP是等腰三角形.
【解析】
3．为了满足师生的阅读需求，某校图书馆的藏书从2016年底到2018年底两年内由5万册增加到7.2万册.
（1）求这两年藏书的年均增长率；
（2）经统计知：中外古典名著的册数在2016年底仅占当时藏书总量的5.6%，在这两年新增加的图书中，中外古典名著所占的百分率恰好等于这两年藏书的年均增长率，那么到2018年底中外古典名著的册数占藏书总量的百分之几？
3= ，解得：m=6
则点C(6，3)
∵A(9，0)
将点A，C代入一次函数 得：
解得：k=－1，b=9
∴一次函数解析式为：y=－x+9PQ=
∵要使
∴0＜
解得： 或
（3）在△PQC中，以PQ的长为底，则点C到PQ的距离为高，设为h
第（2）已知：PQ=
一元二次方程综合提高训练卷(20大题)
一元二次方程综合提高训练卷（20大题）1．先化简，再求值：(a−2aa+1)÷a2−2a+1a2−1−a2，其中a是方程x2−x−72=0的解．2．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利44元，为了扩大销售，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫降价1元，商场每天可多售5件．若商场平均每天要盈利1600元，每件衬衫应降价多少元？3．已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+1）x+14m2+1＝0的两根是一个矩形两邻边的长．（1）m取何值时，方程有两个正实数根．（2）当矩形的对角线长为√5时，求m的值．4．已知关于x的一元二次方程x2+（4m+1）x+2m﹣1＝0；（1）求证：不论m任何实数，方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程的两根为x1、x2且满足1x1+1x2=−12，求m的值．5．等腰△ABC的直角边AB＝BC＝10cm，点P、Q分别从A、C两点同时出发，均以1cm/秒的相同速度做直线运动，已知P沿射线AB运动，Q沿边BC的延长线运动，PQ与直线AC相交于点D．设P点运动时间为t，△PCQ的面积为S．（1）求出S关于t的函数关系式；（2）当点P运动几秒时，S△PCQ＝S△ABC？（3）作PE⊥AC于点E，当点P、Q运动时，线段DE的长度是否改变？证明你的结论．6．每年的3月8日是国际劳动妇女节，是世界各国妇女争取和平、平等、发展的节日，沙坪坝某商店抓住这一机会，将A 、B 两种巧克力进行降价促销活动，在这一天前来购买这两种巧克力的顾客共有400名，每名顾客均购买了一盒巧克力，其中A 、B 两种的巧克力的销售单价分别为90元和50元．（1）若选择购买B 种巧克力的人数不超过购买A 种巧克力数的0.6倍．求至少有多少人选择购买A 种巧克力？（2）“七夕”节是中国的情人节，该商店估计当天购买巧克力的人会比较多，于是提高了A 种巧克力的售价，结果发现“七夕”节当天前来购买巧克力的顾客人数出现了下降，经统计发现与（1）问中选择A 种巧克力的人数最少时相比，A 种巧克力每上涨3元，购买A 种巧克力的人数会下降5人，同时购买B 种巧克力的人数也下降3人，但是B 种巧克力的售价没变，最终“七夕”节期间两种巧克力的总销售额与（1）问中选择A 种巧克力的顾客最少时的两种巧克力的总销售额持平，求“七夕”节当天A 种巧克力的售价．7．西南大学银翔实验中学第二届缤纷科技节于2019年5月份隆重举行，主题：绿色体验•成长﹣玩出你的稀缺竞争力”，本届缤纷科技节有展示类、体验类、竞赛类共40多个项目.4月份，学校对活动中所需物品统一购，其中某一体验类项目需要A 、B 两种材料，已知A 种材料单价32元/套，B 种材料单价24元/套，活动需要A 、B 两种材料共50套计划购买A 、B 两种材料总费用不超过1392元． （1）若按计划采购，最多能购买A 种材料多少套？（2）在实际来购过程中，受多方面因素的影响，与（1）中最多购买A 种材料的计划相比，实际采购A 种材料数量的增加了34a %，B 种材料的数量减少413a %（A 、B 材料的数量均为整数），实际采购A 种材料的单价减少了38a %，B 种材料的单价增加112a %，且实际总费用比按（1）中最多购买A 种材料的总费用多了16元，求a ．8．已知关于x 的一元二次方程x 2+3x ﹣m ＝0有实数根． （1）求m 的取值范围（2）若两实数根分别为x 1和x 2，且x 12+x 22=11，求m 的值．9．如图，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是Rt△ABC和Rt△BED 边长，易知AE=√2c，这时我们把关于x的形如ax2+√2cx+b=0的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．请解决下列问题：（1）写出一个“勾系一元二次方程”；（2）求证：关于x的“勾系一元二次方程”ax2+√2cx+b=0必有实数根；（3）若x＝﹣1是“勾系一元二次方程”ax2+√2cx+b=0的一个根，且四边形ACDE 的周长是6√2，求△ABC面积．10．已知关于x的方程（m2﹣1）x2﹣3（3m﹣1）x+18＝0有两个正整数根（m是正整数）．△ABC的三边a、b、c满足c=2√3，m2+a2m﹣8a＝0，m2+b2m﹣8b＝0．求：（1）m的值；（2）△ABC的面积．11．阅读下列材料：求函数y=3x2+2xx2+x+0.25的最大值．解：将原函数转化成x的一元二次方程，得(y−3)x2+(y−2)x+14y=0．∵x为实数，∴△=(y−2)2−4(y−3)×14y=−y+4≥0，∴y≤4．因此，y的最大值为4．根据材料给你的启示，求函数y=3x2+x+2x2+2x+1的最小值．12．端午节期间，某食品店平均每天可卖出300只粽子，卖出1只粽子的利润是1元．经调查发现，零售单价每降0.1元，每天可多卖出100只粽子．为了使每天获取的利润更多，该店决定把零售单价下降m（0＜m＜1）元．（1）零售单价下降m元后，该店平均每天可卖出只粽子，利润为元．（2）在不考虑其他因素的条件下，当m定为多少时，才能使该店每天获取的利润是420元并且卖出的粽子更多？13．菜农李伟种植的某蔬菜计划以每千克5元的单价对外批发销售，由于部分菜农盲目扩大种植，造成该蔬菜滞销．李伟为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每千克3.2元的单价对外批发销售．（1）求平均每次下调的百分率；（2）小华准备到李伟处购买5吨该蔬菜，因数量多，李伟决定再给予两种优惠方案以供选择：方案一：打九折销售；方案二：不打折，每吨优惠现金200元．试问小华选择哪种方案更优惠，请说明理由．14．观察下面方程的解法x4﹣13x2+36＝0解：原方程可化为（x2﹣4）（x2﹣9）＝0∴（x+2）（x﹣2）（x+3）（x﹣3）＝0∴x+2＝0或x﹣2＝0或x+3＝0或x﹣3＝0∴x1＝2，x2＝﹣2，x3＝3，x4＝﹣3你能否求出方程x2﹣3|x|+2＝0的解？15．在前面的学习中，我们通过对同一面积的不同表达和比较，根据图1和图2发现并验证了平方差公式和完全平方公式．这种利用面积关系解决问题的方法，使抽象的数量关系因几何直观而形象化．【研究速算】提出问题：47×43，56×54，79×71，…是一些十位数字相同，且个位数字之和是10的两个两位数相乘的算式，是否可以找到一种速算方法？几何建模：用矩形的面积表示两个正数的乘积，以47×43为例：（1）画长为47，宽为43的矩形，如图3，将这个47×43的矩形从右边切下长40，宽3的一条，拼接到原矩形上面．（2）分析：原矩形面积可以有两种不同的表达方式：47×43的矩形面积或（40+7+3）×40的矩形与右上角3×7的矩形面积之和，即47×43＝（40+10）×40+3×7＝5×4×100+3×7＝2021．用文字表述47×43的速算方法是：十位数字4加1的和与4相乘，再乘以100，加上个位数字3与7的积，构成运算结果．归纳提炼：两个十位数字相同，并且个位数字之和是10的两位数相乘的速算方法是（用文字表述）．【研究方程】提出问题：怎样图解一元二次方程x2+2x﹣35＝0（x＞0）？几何建模：（1）变形：x（x+2）＝35．（2）画四个长为x+2，宽为x的矩形，构造图4（3）分析：图中的大正方形面积可以有两种不同的表达方式，（x+x+2）2或四个长x+2，宽x的矩形面积之和，加上中间边长为2的小正方形面积．即（x+x+2）2＝4x（x+2）+22∵x（x+2）＝35∴（x+x+2）2＝4×35+22∴（2x+2）2＝144∵x＞0∴x＝5归纳提炼：求关于x的一元二次方程x（x+b）＝c（x＞0，b＞0，c＞0）的解．要求参照上述研究方法，画出示意图，并写出几何建模步骤（用钢笔或圆珠笔画图，并注明相关线段的长）【研究不等关系】提出问题：怎样运用矩形面积表示（y+3）（y+2）与2y+5的大小关系（其中y＞0）？几何建模：（1）画长y+3，宽y+2的矩形，按图5方式分割（2）变形：2y+5＝（y+3）+（y+2）（3）分析：图5中大矩形的面积可以表示为（y+3）（y+2）；阴影部分面积可以表示为（y+3）×1，画点部分的面积可表示为y+2，由图形的部分与整体的关系可知（y+3）（y+2）＞（y+3）+（y+2），即（y+3）（y+2）＞2y+5归纳提炼：当a＞2，b＞2时，表示ab与a+b的大小关系．根据题意，设a＝2+m，b＝2+n（m＞0，n＞0），要求参照上述研究方法，画出示意图，并写出几何建模步骤（用钢笔或圆珠笔画图并注明相关线段的长）16．若x1，x2是关于x的方程x2+bx+c＝0的两个实数根，且|x1|+|x2|＝2|k|（k是整数），则称方程x2+bx+c＝0为“偶系二次方程”．如方程x2﹣6x﹣27＝0，x2﹣2x﹣8＝0，x2+3x−274=0，x2+6x﹣27＝0，x2+4x+4＝0，都是“偶系二次方程”．（1）判断方程x2+x﹣12＝0是否是“偶系二次方程”，并说明理由；（2）对于任意一个整数b，是否存在实数c，使得关于x的方程x2+bx+c＝0是“偶系二次方程”，并说明理由．17．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+2k＝0有两个实数根x1，x2．（1）求实数k的取值范围；（2）是否存在实数k使得x1•x2﹣x12﹣x22≥0成立？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．18．“关爱留守儿童，关注农民工子弟教育”已逐渐成为政府以及社会关心的一大民生问题，下表是某电视台2011年一民生栏目组调查的数据：类别现状户数比例A父母常年在外打工，孩子留在老家由老人照顾200B父母常年在外打工，孩子带在身边10%C父母就近在城镇打工，晚上回家照顾孩子25%D父母在家务农，并照顾孩子15%（1）请将统计表中的空缺数据填写完整；（2）若2013年此电视台民生栏目组再次抽查，样本容量不变，但B类所占比例提高到了12.1%，求B类户数平均每年的增长率．19．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）若△ABC的两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根．第三边BC的长为5，当△ABC是等腰三角形时，求k的值．20．已知：如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm．点P从点A开始沿AB 边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．（1）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于6cm2？（2）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于5cm？（3）在（1）中，△PQB的面积能否等于8cm2？说明理由．。
解一元二次方程100题(提升练)--初中数学专项训练
解一元二次方程100题(提升练)1解方程：(1)3x-1．2=22-x 2=6(2)3x-22解下列一元二次方程：(1)x2-16=0(直接开平方法)；(2)x2-4x+7=10(配方法)．(3)2x2-3x-5=0(公式法)；(4)3x2+5x-2=0(因式分解法)．3解方程：(1)x2-2x-3=0．(2)x x-2=x-2．4解下列一元二次方程：(1)x2-3x=4；(2)2x-1．2=3x-15解方程：(1)x2-2x-1=0(2)x5x+2=65x+2(3)(2x-1)2-3=0(4)2x2+x-6=0．6解方程．(1)3x x+1；(2)2x2-3x-5=0． =2x+17解下列方程：(1)用配方法解方程：3x2-2x-1=0；(2)2y-1+4(因式分解法)．2=31-2y8选择合适的方法解下列方程：(1)x2-4x-2=0；(2)2x x+3．=6x+39解下列方程：(1)x x+1(2)2x2-3x-1=0．=x+110解方程：(1)x x-2+x-2=0；(2)4x2-8x+1=0．11请选择适当的方法解下列一元二次方程：(1)(x-2)2-9=0(2)x2+2x=3(3)2x 2+4x -1=0(4)x -5 2=2x -1 5-x12解方程：(1)2x 2+4x -1=0；(2)2x x -1 =2x -1．13解方程：(1)x -2 2=1．(2)x x -3 +x =3．14用适当的方法解下列方程：(1)7x 2=21x ；(2)x 2-6x =-8：(3)2x 2-6x -1=0；(4)9x -2 2=4x +1 2.15解下列一元二次方程：(1)x 2-4x =1；(2)x -5 2-2x x -5 =0．16解方程：(1)(x -5)(3x -2)=10；(2)x 2+3x +1=0．17解方程：(1)3x2-2=4x(2)4x-32+x x-3=0 (3)x x-3=6-2x(4)2x2-7x+3=0 18解方程(1)x2-5x-1=0(2)xx-3-4x=119解下列方程：(1)3x-12=x+12(2)3x-52=10-2x (3)x-2x+5=18(4)-3x2-4x+4=020解下列方程：(1)3x2-7x=0(2)x2+3x-4=0(3)x-52=2x-5(4)(3-x)2+x2=521计算：(1)x2+2x+1=9；(2)2x2-x-6=0．22解分式方程：(1)2xx+3+1=72x+6(2)6x+1x-1-3x-1=123解方程(1)x2-2x-5=0(用配方法解)(2)2x x+1=x+124用适当的方法解下列一元二次方程(1)3x-12-27=0；(2)x2-8x-9=0(配方法)．25解方程：(1)4x2=12x；(2)34x2-2x-12=026解方程：(1)3x2-5x-2=0；(2)x+42=5x+4．27用恰当的方法解方程．(1)-x2+3x+4=0；(2)3x2x-1=4x-2．28解下列方程：(1)(x+5)2=2x+34；(2)3t2-2t-1=0(用配方法)．29用适当的方法解下列方程：(1)x x-1=x(2)x2+2x-2=030用适当的方法解下列方程：(1)x2+5x-1=0；(2)7x5x+2；=65x+2(3)3x2+2x=0；(4)x2-2x-8=0．31解方程：(1)x2-4x+3=0；(2)x-3+8=0．2-6x-332解方程：(1)x-52=16；(2)x2-4x+1=0．33解方程：(1)x2-2x-3=0．(2)(x+2)(3x-1)=10．34解方程(1)x(x-1)=2(x-1)；(2)x2+4x+2=035用指定的方法解方程：(1)1x2-2x-5=0(用配方法)(2)x2=8x+20(用公式法)2(3)x-3=10(用适当的方法)3x-12+4x x-3=0(用因式分解法)(4)x+236用适当的方法解方程．(1)2x2+1=3x(2)x-322=3x-137解方程：(1)x x-2=x-2.(2)x2-2x-5=0；38解方程：(1)x2-8x=0．(2)2x-32+x2-9=0．(3)x+1=4x-10． 2=2x-1．(4)x2x-539用适当的方法解方程．(1)2x2+4x-3=0；(2)x x-2=4-x240用适当的方法解方程：(1)x2+x-6=0；(2)m2+5m+7=3m+11．41解方程：(1)x-3=x x-3(2)2x2-4x-5=042解方程：(1)x2+x-12=0；(2)x-1-6=0．2-5x-143用适当的方法解下列方程：(1)2x-2． 2-4=0．(2)x-32=2x3-x 44(1)解方程(用公式法)：x+2=3x+2．2x-3(2)解方程(用因式分解法)：2x-22=x-245解方程：(1)x2+3x-1=0；(2)3(x-1)2=x(x-1)46解方程(1)x2-2x-24=0(2)2x-3=3x x-3 47(1)x-3=0 (2)2x2+4x-6=0；(用配方法)2+4x x-348解下列一元二次方程：(1)x2+5x-24=0(2)3x2=22-x49解方程：(1)x2-4x=4；(2)x+2=12．x+150解方程：(1)x2+8x-1=0(2)x x-2+x-2=051用合适的方法解一元二次方程；(1)x2+8x=9(2)2x+6=(x+3)2=0(4)x2-22x+2=0(3)2x2-7x-1252解下列方程．(1)x(x+4)=-3(x+4)(2)2x2-5x+2=0(公式法)53解方程：(1)x2-4x-3=0；(2)3x x-2=0．-x-254用适当的方法解一元二次方程：(1)x2-2x-8=0；(2)3x x-2．=22-x 55(1)解方程：x2-6x+8=0．(2)解方程：3x2-5x+1=056(1)用配方法解方程：-x2+4x=3(2)解方程：4x2=9x57解方程：(1)2x2-3x+1=0；(2)2x-3+3x+3=6x2-9．58解下列方程：(1)(x-2)2=16；(2)y2-3y+2=0；(3)-2x2+4x+12=0；(4)3x2+6x+15=0．59按要求解下列方程：(1)x-62=16(直接开平方法)；(2)x2-4x+2=0(配方法)；(3)x2+3x-4=0(公式法)；(4)2x+4=x+22(因式分解法)．60解下列一元二次方程：(1)x2-2x-3=0；(2)x x+2=x+2．61用适当的方法解下列方程：(1)4x2x+3=82x+3(2)x2-2x-5=0(3)3x2+x-5=0(4)x2+6x+1-13=062解方程：(1)x²-2x-5=0；(2)x+4；2=2x+4 (3)x-1=6． 2-9=0；(4)x x+563计算(1)x-52=16(2)2x2-7x+6=064解方程：(1)x2-4x-4=0(2)x(x+4)=-3(x+4)65解下列方程：(1)x2-3x=0(2)x2+2x-1=066解方程：(1)x-12-25=0；(2)x2-4x-1=0．67解方程：(1)x2-2x+1=0；(2)x2-7x-8=0﹒68解方程(1)x2-1=0(2)2x2-5x+3=069用适当的方法解下列方程(1)x2-2x=2x+1；(2)x2x+3=2x+3．70(1)解方程2x x+1=0(2)解方程：3x2-2x-4=0+3x+171计算：(1)5x2-3x=0；(2)x2-4x+1=0．72解方程：(1)2x2-4x+1=0；(2)x2+2x-3=0．73用适当的方法解方程(1)72x-32=28(2)2x2-x-15=0(3)2x2+4x-5=0(4)2x+12+32x+1+2=074解方程(1)2x+12=121；(2)x2-12x+27=0；(3)2x+12=x2+2；(4)4x2-4=1x-2-1．75用适当的方法解下列方程．(1)x2-4x-1=0；(2)x-32=53-x．76解方程：(1)3x-52=x2-25；(2)x2-1=3x．77解方程：(1)y y-2=3y-2(2)x2+8x-9=078解方程：(1)x2-4x+1=0(用配方法)(2)3(x-2)2=x(x-2)(3)2x2-22x-5=0(4)(y+2)2=(3y-1)279解方程：(1)2x2-4x=1(配方法)；(2)x x+4=3x+12．80解方程(1)x-2=82-5=0(2)x x+4(3)2x2-7x=4(4)2x-32=02-x+181解方程：(1)x+82-5x+8+6=0(2)3x(2x+1)=4x+2 82(1)x2-6x+5=0；(2)3x2-2x-1=0．83请选择适当的方法解下列一元二次方程：(1)2x2x+5；(2)x2+2x-5=0． 2x+5=x-1(1)2x+32-25=0．(2)2x2-7x-2=0．(3)x+2．(4)x2-2x-3=0． 2=3x+285解方程(1)x2-4x+1=0(2)5x-32+23-5x=086选择适当的方法解下列一元二次方程：(1)3x-4；(2)2x2+4x-3=0． 2=54-x87用配方法解下列方程(1)3x2-4x-2=0；(2)6x2-2x-1=0；(3)2x2+1=3x；(4)x-3=-5．2x+188解下列方程：(1)x2+25x+10=0(2)42y-522=93y-1(1)x2-4x=0；(2)x2+4x-4=0．90解下列分式方程.(1)x+14x2-4-xx-2=1-2xx+2.(2)13x-4-10x-3=4x-5-1x-1.91解方程：(1)x2-4x-7=0；(2)3x x-1=2x-2．92用适当的方法解下列方程：(1)x2-2x+1=0(2)x2-3x+2=093用适当的方法解下列方程：(1)3x2-2x=0；(2)x2-x-1=0．94解方程：(1)4x-32=x-3(2)2x2-4x-1=095解下列方程：(1)x2+2x-3=0(用配方法)(2)2x2+5x-1=0(用公式法)(3)2x-3=12 2=x2-9(4)x+1x-396用适当的方法解下列方程：(1)x x-2=2-x(2)2x2+3x-1=097解方程：(1)x2-5x-6=0；(2)3x x-1=4x-4．98解方程(1)x2-3x-9=0(2)x x+4=2x+899解方程：(1)x+22-4=0；(2)x2+5x+6=0．100解方程(1)x2-2x+2=0；(2)x2-3x-4=0．参考答案1(1)x 1=1+63，x 2=1-63；(2)x 1=43，x 2=2【分析】(1)利用直接开平方法解方程即可；(2)先移项，然后利用因式分解法解方程即可．(1)解：∵3x -1 2=6，∴3x -1=±6，解得x 1=1+63，x 2=1-63；(2)解：∵3x -2 2=22-x ，∴3x -2 2+2x -2 =0，∴3x -2 +2 x -2 =0，即3x -4 x -2 =0，∴3x -4=0或x -2=0，解得x 1=43，x 2=2．【点拨】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键．2(1)x 1=4,x 2=-4；(2)x 1=2+7，x 2=2-7；(3)x 1=52，x 2=-1；(4)x 1=13,x 2=-2【分析】按要求解一元二次方程即可．(1)解：x 2-16=0，x 2=16，解得x 1=4,x 2=-4；(2)解：x 2-4x +7=10，x 2-4x =3，x 2-4x +4=7，x -22=7，解得x 1=2+7，x 2=2-7；(3)解：2x 2-3x -5=0，a =2，b =-3，c =-5，∴x 1,2=--3 ±-32-4×2×-52×2，解得x 1=52，x 2=-1；(4)解：3x 2+5x -2=0，3x -1 x +2 =0，解得x 1=13,x 2=-2．【点拨】本题考查了解一元二次方程．解题的关键在于正确的运算．3(1)x 1=-1,x 2=3；(2)x 1=1,x 2=2【分析】(1)先把方程的左边分解因式，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可；(2)移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可(1)解：x2-2x-3=0，x+1x-3=0，x+1=0,x-3=0，∴x1=-1,x2=3；(2)解：x x-2=x-2，x x-2-x-2=0，x-1x-2=0，x-1=0,x-2=0，x1=1,x2=2．【点拨】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解方程是解此题的关键，解一元二次方程的方法有直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法等.4(1)x1=4，x2=-1；(2)x1=1，x2=2+3 2【分析】(1)采用因式分解法解此方程，即可求解；(2)采用因式分解法解此方程，即可求解．(1)解：由原方程得：x2-3x-4=0，得x-4x+1=0，故x-4=0或x+1=0，解得x1=4，x2=-1，所以，原方程的解为x1=4，x2=-1；(2)解：由原方程得：2x-12-3x-1=0，得x-12x-1-3=0，故x-1=0或2x-2-3=0，解得x1=1，x2=2+3 2，所以，原方程的解为x1=1，x2=2+3 2．【点拨】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握和运用解一元二次方程的方法是解决本题的关键．5(1)x1=1+2,x2=1-2；(2)x1=6,x2=-25；(3)x1=1+32,x2=1-32；(4)x1=32,x2=-2【分析】(1)方程运用配方法求解即可；(2)方程移项后运用因式分解法求解即可；(3)方程移项后运用直接开平方法求解即可；(4)方程运用因式分解法求解即可．解：(1)x2-2x-1=0x2-2x=1，x2-2x+1=2，x-12=2，x-1=±2，∴x1=1+2,x2=1-2；(2)x5x+2=65x+2x5x+2-65x+2=0，x-65x+2=0，x-6=0,5x+2=0，∴x1=6,x2=-25；(3)(2x-1)2-3=0 (2x-1)2=3，2x-1=±3，2x=1±3，∴x1=1+32,x2=1-32；(4)2x2+x-6=02x-3x+2=0，2x-3=0,x+2=0，x1=32,x2=-2．【点拨】本题主要考查了一元二次方程的解法，熟练掌握因式分解法，配方法和直接开平方法是解答本题的关键．6(1)x1=-1，x2=23；(2)x1=-1，x2=52【分析】(1)先移项，再利用提公因式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，再进一步求解即可；(2)利用十字相乘法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，再进一步求解即可．(1)解：∵3x x+1=2x+1，∴3x x+1-2x+1=0，则x+13x-2=0，∴x+1=0或3x-2=0，解得x1=-1，x2=2 3；(2)解：∵2x2-3x-5=0，∴x+12x-5=0，∴x+1=0或2x-5=0，解得x1=-1，x2=5 2．【点拨】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．7(1)x1=1，x2=-13；(2)y1=-32，y2=1【分析】(1)直接利用配方法解方程得出答案；(2)直接利用十字相乘法解方程得出答案．(1)解：∵3x2-2x-1=0，∴x2-23x-13=0，∴x2-23x=13，∴x2-23x+19=49，∴x-132=49，∴x -13=±23，解得x 1=1，x 2=-13；(2)解：∵2y -1 2=31-2y +4，∴2y -1 2+32y -1 -4=0，∴2y -1 -1 2y -1 +4 =0，∴2y -1 -1=0或2y -1 +4=0，解得y 1=-32，y 2=1．【点拨】此题主要考查了一元二次方程的解法，正确掌握相关解一元二次方程的解法是解题关键．8(1)x 1=2+6,x 2=2-6；(2)x 1=-3,x 2=3【分析】(1)利用配方法得到(x -2)2=6，然后用直接开平方法解方程；(2)先移项，再利用因式分解法把方程转化为x +3=0或2x -6=0，然后解两个一次方程即可．解：(1)x 2-4x -2=0，x 2-4x =2，x 2-4x +4=6，(x -2)2=6，x -2=±6，所以x 1=2+6，x 2=2-6；(2)2x x +3 =6x +3 ，2x x +3 -6x +3 =0，x +3 2x -6 =0，x +3=0或2x -6=0，所以x 1=-3，x 2=3．【点拨】本题考查了配方法和因式分解法解一元二次方程，熟练掌握其方法步骤是解决此题的关键，因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．9(1)x 1=-1，x 2=1；(2)x 1=3+174，x 2=3-174【分析】(1)移项后，利用因式分解法求解即可；(2)直接利用公式法求解即可．(1)解：x x +1 =x +1 ，x x +1 -x +1 =0，∴x +1 x -1 =0，∴x +1=0或x -1=0，解得：x 1=-1，x 2=1；(2)解：2x 2-3x -1=0，∴a =2，b =-3，c =-1，∴x =-b ±b 2-4ac 2a =--3 ±-3 2-4×2×-1 2×2=3±174，∴x 1=3+174，x 2=3-174．【点拨】本题考查了因式分解法和求根公式法解一元二次方程，熟练掌握因式分解的方法及求根公式是解题的关键．10(1)x 1=2，x 2=-1；(2)x 1=2+32，x 2=2-32【分析】(1)采用因式分解法解此方程，即可求解；(2)采用公式法解此方程，即可求解．(1)解：由原方程得：x -2 x +1 =0，∴x -2=0或x +1=0，解得x 1=2，x 2=-1，所以，原方程的解为x 1=2，x 2=-1；(2)解：∵a =4，b =-8，c =1，∴Δ=-8 2-4×4×1=64-16=48>0，∴x =8±432×4=2±32，解得x 1=2+32，x 2=2-32，所以，原方程的解为x 1=2+32，x 2=2-32．【点拨】本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握和运用一元二次方程的解法是解决本题的关键．11(1)x 1=5，x 2=-1；(2)x 1=-3，x 2=1；(3)x 1=-2+62，x 2=-2-62；(4)x 1=5，x 2=2【分析】(1)利用直接开方法求解即可；(2)利用因式分解法求解即可；(3)利用公式法求解求解即可；(4)利用因式分解法求解即可．(1)解：(x -2)2-9=0∴(x -2)2=9直接开方得：x -2=3或x -2=-3，解得：x 1=5，x 2=-1；(2)x 2+2x =3x 2+2x -3=0，∴x +3 x -1 =0，解得：x 1=-3，x 2=1；(3)2x 2+4x -1=0，其中a =2,b =4,c =-1，∴Δ=b 2-4ac =24>0，∴x =-4±242×2=-2±62,，∴x 1=-2+62，x 2=-2-62；(4)x -5 2=2x -1 5-x移项得：x -5 2+2x -1 x -5 =0，∴x -5 (x -5+2x -1)=0，整理得：x -5 (3x -6)=0，解得：x 1=5，x 2=2．【点拨】题目主要考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法步骤是解题关键．12(1)x1=-1+62，x2=-1-62；(2)x1=1+22，x2=1-22【分析】(1)利用配方法解一元二次方程即可得；(2)先去括号，再利用配方法解一元二次方程即可得．(1)解：2x2+4x-1=0，2x2+4x=1，x2+2x=12，x2+2x+1=12+1，即x+12=32，x+1=±62，x=-1±62，所以方程的解为x1=-1+62，x2=-1-62．(2)解：2x x-1=2x-1，2x2-2x=2x-1，2x2-4x=-1，x2-2x=-12，x2-2x+1=-12+1，即x-12=12，x-1=±22，x=1±22，所以方程的解为x1=1+22，x2=1-22．【点拨】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的常用方法(直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法、换元法等)是解题关键．13(1)x1=3，x2=1；(2)x1=3，x2=-1【分析】(1)利用直接开平方法解方程即可；(2)先移项，再利用因式分解法解方程即可．(1)解：x-22=1∴x-2=±1，当x-2=1时，x=3，当x-2=-1时，x=1，∴x1=3，x2=1；(2)解：x x-3+x=3移项得：x x-3+x-3=0，∴x-3x+1=0，∴x-3=0，x+1=0，∴x1=3，x2=-1．【点拨】本题考查解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法和因式分解法是解题的关键．14(1)x1=0，x2=3；(2)x1=2，x2=4；(3)x1=3+112，x2=3-112；(4)x1=8，x2=45【分析】(1)将原方程转化为7x 2-21x =0，再利用因式分解法求解即可；(2)将原方程转化为x 2-6x +8=0，再利用因式分解法求解即可；(3)直接利用公式法求解即可；(4)两边开方，得到两个一元一次方程，再求出方程的解即可．(1)解：将原方程转化为7x 2-21x =0，∴7x x -3 =0，∴7x =0或x -3=0，解得：x 1=0，x 2=3；(2)解：将原方程转化为x 2-6x +8=0，∴x -2 x -4 =0，∴x -2=0或x -4=0，解得：x 1=2，x 2=4；(3)解：∵a =2，b =-6，c =-1，∴b 2-4ac =-6 2-4×2×-1 =36+8=44，∴x =-b ±b 2-4ac 2a =--6 ±442×2=6±2114，∴x 1=3+112，x 2=3-112；(4)解：将方程转化为3x -2 =±2x +1 ，∴3x -2 =2x +1 或3x -2 =-2x +1 ，解得：x 1=8，x 2=45．【点拨】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的方法，常用的方法有：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法．15(1)x 1=2+5，x 2=2-5；(2)x 1=5，x 2=-5【分析】(1)用配方法求解即可；(2)用因式分解法求解即可．(1)解：x 2-4x =1，x 2-4x +4=1+4，x -2 2=5，x -2=±5，∴x 1=2+5，x 2=2-5；(2)解：x -5 2-2x x -5 =0，x -5 x -5-2x =0，x -5=0或x -5-2x =0，x 1=5，x 2=-5．【点拨】本题考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法：直接开方法、配方法、公式法、因式分解法是解题的关键．16(1)x 1=0，x 2=173；(2)x 1=-3+52，x 2=-3-52【分析】(1)先化成一元二次方程的一般形式，再用因式分解法求解即可；(2)用公式法求解即可．(1)解：(x -5)(3x -2)=10，去括号得：3x2-2x-15x+10=10移项合并同类项得：3x2-17x=0，分解因式得：x(3x-17)=0，∴x=0或3x-17=0，解得：x1=0x2=17 3；(2)解：x2+3x+1=0，a=1，b=3，c=1，解得x=-3±32-42，∴x1=-3+52，x2=-3-52；【点拨】本题考查了因式分解法、公式法解一元二次方程．解题的关键在于对解一元二次方程方法的熟练掌握．17(1)x1=2+103，x2=2-103；(2)x1=125，x2=3；(3)x1=-2，x2=3；(4)x1=12，x2=3．【分析】(1)根据公式法求解即可；(2)根据因式分解法求解即可；(3)根据因式分解法求解即可；(4)根据因式分解法求解即可；(1)解：3x2-2=4x，3x2-4x-2=0，∴a=3，b=-4，c=-2，∴Δ=b2-4ac=-42-4×3×-2=40，∴x=-b±Δ2a =--4±402×3=2±103，∴x1=2+103，x2=2-103；(2)解：4x-32+x x-3=0，4x-3+xx-3=0，5x-12x-3=0，∴5x-12=0或x-3=0，∴x1=125，x2=3；(3)解：x x-3=6-2x，x x-3=-2x-3，x x-3+2x-3=0，x+2x-3=0，∴x+2=0或x-3=0，∴x1=-2，x2=3；(4)解：2x2-7x+3=0，2x-1x-3=0，∴2x-1=0或x-3=0，∴x1=12，x2=3．【点拨】本题考查解一元二次方程．根据方程的特点选择合适的方法解方程是解题关键．18(1)x 1=5+292,x 2=5-292；(2)x =12【分析】(1)公式法解一元二次方程；(2)将分式方程化为整式方程，再进行验根，即可得解．(1)解：∵x 2-5x -1=0，∴a =1,b =-5,c =-1，∴△=b 2-4ac =25+4=29>0，∴x =5±292，∴x 1=5+292,x 2=5-292；(2)解：去分母，得：x 2-4x -3 =x x -3 ，去括号，得：x 2-4x +12=x 2-3x ，移项，合并得：-x =-12，系数化1：x =12；检验：把x =12代入x x -3 ≠0，∴x =12是原方程的解．【点拨】本题考查解一元二次方程和分式方程．熟练掌握公式法解一元二次方程，以及解分式方程的步骤，是解题的关键．19(1)x 1=0,x 2=12；(2)x 1=5,x 2=133；(3)x 1=-7,x 2=4；(4)x 1=23,x 2=-2【分析】(1)利用直接开平方法求解即可；(2)移项后利用分解因式法求解即可；(3)原方程化为一般形式后再利用分解因式法求解；(4)原方程化为一般形式后再利用分解因式法求解.(1)解：∵3x -1 2=x +1 2，∴3x -1=±x -1 ，∴3x -1=x -1或3x -1=-x -1 ，解得x 1=0,x 2=12；(2)解：移项，得3x -5 2-10-2x =0，即3x -5 2+2x -5 =0，进一步可变形为x -5 3x -5 +2 =0，∴x -5=0或3x -5 +2=0，解得：x 1=5,x 2=133；(3)解：原方程可变形为x 2+3x -28=0，即为x +7 x -4 =0，∴x +7=0或x -4=0，解得：x 1=-7,x 2=4；(4)解：原方程即为3x 2+4x -4=0，∴3x -2 x +2 =0，∴3x -2=0或x +2=0，解得：x1=23,x2=-2.【点拨】本题考查了一元二次方程的求解，属于基本题目，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键.20(1)x1=0，x2=73；(2)x1=1，x2=-4；(3)x1=5，x2=7；(4)x1=1，x2=2【分析】(1)提公因式因式分解，解方程即可；(2)因式分解法解方程即可；(3)先移项然后提公因式解方程即可；(4)先化成一元二次方程的一般式，然后进行因式分解，计算求解即可．(1)解：3x2-7x=0，x3x-7=0，解得，x1=0，x2=7 3；(2)解：x2+3x-4=0，x-1x+4=0，解得，x1=1，x2=-4；(3)解：x-52=2x-5，x-5x-5-2=0，解得，x1=5，x2=7；(4)解：(3-x)2+x2=5，9-6x+x2+x2=5，x2-3x+2=0，x-1x-2=0，解得，x1=1，x2=2；【点拨】本题考查了解一元二次方程．解题的关键在于选用合适的方法解方程．21(1)x1=2,x2=-4；(2)x1=2,x2=-3 2【分析】(1)用配方法解方程即可；(2)利用因式分解法解方程即可．(1)解：x2+2x+1=9x+12=9，x+1=±3∴x1=2,x2=-4；(2)解：2x2-x-6=0，2x+3x-2=0∴x1=2,x2=-32.【点拨】此题考查解一元二次方程，掌握解方程的步骤与方法，根据方程的特点，选择合适的方法解方程是解决问题的关键．22(1)x=16；(2)x=-4【分析】先把分式方程化为整式方程求解，然后检验即可．(1)解：2xx+3+1=72x+6去分母得：4x+2x+6=7，去括号得；4x+2x+6=7，移项得：4x+2x=7-6，合并同类项得：6x=1，系数化为1得：x=1 6，经检验，x=16是原方程的解，∴原方程的解为x=16；(2)解：6x+1x-1-3x-1=1去分母得：6-3x+1=x+1x-1，去括号得；6-3x-3=x2-1，移项，合并同类项得：x2+3x-4=0，解得x=1或x=-4，经检验，x=-4是原方程的解，x=1不是原方程的解，∴原方程的解为x=-4．【点拨】本题主要考查了解分式方程，解一元二次方程，熟知解分式方程的方法是解题的关键．23(1)x1=1+6，x2=1-6；(2)x1=-1，x2=1 2【分析】(1)利用配方法解方程即可；(2)先移项，然后利用因式分解法解方程即可．(1)解：∵x2-2x-5=0，∴x2-2x=5，∴x2-2x+1=6，即x-12=6，∴x-1=±6，解得x1=1+6，x2=1-6；(2)解：∵2x x+1=x+1，∴2x x+1-x+1=0，∴2x-1x+1=0，∴2x-1=0或x+1=0，解得x1=-1，x2=1 2．【点拨】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键．24(1)x1=4，x2=-2；(2)x1=9，x2=-1【分析】(1)利用直接开平方的方法解方程即可；(2)利用配方法解方程即可．(1)解：∵3x-12-27=0，∴3x-12=27，∴x-12=9，∴x-1=±3，解得x1=4，x2=-2；(2)解：∵x2-8x-9=0，∴x2-8x=9，∴x2-8x+16=25，即x-42=25，∴x-4=±5，解得x1=9，x2=-1．【点拨】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键．25(1)x1=0，x2=3；(2)x1=4+223，x2=4-223【分析】(1)移项后提公因式求解即可；(2)去分母后用求根公式计算求解即可．(1)解：4x2=12x，4x x-3=0令x=0，x-3=0，解得x1=0，x2=3；(2)解：34x2-2x-12=0，3x2-8x-2=0，解得x=8±-82-4×3×-22×3=4±223，∴x1=4+223，x2=4-223【点拨】本题考查了因式分解法、公式法解一元二次方程．解题的关键在于掌握解一元二次方程的解法．26(1)x1=2，x2=-13；(2)x1=-4，x2=1【分析】(1)用公式法解一元二次方程即可；(2)先移项，然后再用因式分解法解一元二次方程即可．(1)解：由题意得，a=3，b=-5，c=-2，Δ=b2-4ac=-52-4×3×-2=49，∴x=5±72×3，∴x1=2，x2=-13；(2)解：移项得：x+42-5x+4=0，提公因式得：x+4x+4-5=0，∴x+4x-1=0，∴x+4=0或x-1=0，∴x1=-4，x2=1．【点拨】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的一般方法，准确计算．27(1)x1=4,x2=-1；(2)x1=23,x2=12【分析】(1)利用因式分解法解一元二次方程即可得；(2)利用因式分解法解一元二次方程即可得．(1)解：-x2+3x+4=0，即x2-3x-4=0，x-4x+1=0，x-4=0或x+1=0，x=4或x=-1，故方程的解为x1=4,x2=-1．(2)解：3x2x-1=4x-2，3x2x-1-22x-1=0，3x-22x-1=0，3x-2=0或2x-1=0，x=23或x=1 2，故方程的解为x1=23,x2=12．【点拨】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的常用方法(直接开平方法、配方法、因式分解法、公式法、换元法等)是解题关键．28(1)x1=-9，x2=1；(2)t1=1，t2=-1 3【分析】(1)整理后，利用因式分解法求解即可；(2)利用配方法求解即可．(1)解：(x+5)2=2x+34x2+8x-9=0，(x+9)(x-1)=0，∴x1=-9，x2=1；(2)3t2-2t-1=0，t2-23t=13，t2-23t+19=13+19，即t-132=49，∴t-13=±23，∴t1=1，t2=-13．【点拨】本题考查了解一元二次方程-因式分解法，配方法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．29(1)x1=0,x2=2；(2)x1=-1+3,x2=-1-3【分析】(1)方程移项后，利用因式分解法求出解即可；(2)方程运用配方支求解即可解：(1)x x-1=xx x-1-x=0x x-1-1=0x=0,x-1-1=0∴x1=0,x2=2(2)x2+2x-2=0x2+2x=2x2+2x+1=2+1x+12=3x+1=±3x1=-1+3,x2=-1-3【点拨】此题考查了解一元二次方程-因式分解法和配方法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．30(1)x1=-5+292，x2=-5-292；(2)x1=-25，x2=67；(3)x1=-23，x2=0；(4)x1=-2，x2=4【分析】(1)利用公式法解方程即可；(2)先移项，然后利用因式分解法解方程即可；(3)利用因式分解法解方程即可；(4)利用因式分解法解方程即可．(1)解：∵x2+5x-1=0，∴a=1，b=5，c=-1，∴Δ=b2-4ac=52-4×1×-1=29>0，∴x=-b±b2-4ac2a =-5±292，解得x1=-5+292，x2=-5-292；(2)解：∵7x5x+2=65x+2，∴7x5x+2-65x+2=0，∴7x-65x+2=0，∴7x-6=0或5x+2=0，解得x1=-25，x2=67；(3)解：∵3x2+2x=0，∴x3x+2=0，∴x=0或3x+2=0，解得x1=-23，x2=0；(4)解：∵x2-2x-8=0，∴x-4x+2=0，∴x+2=0或x-4=0，解得x1=-2，x2=4．【点拨】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键．31(1)x1=1，x2=3；(2)x1=5，x2=7【分析】(1)利用十字相乘法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，再进一步求解即可；(2)将x-3看做整体，利用十字相乘法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，再进一步求解即可．(1)解：∵x2-4x+3=0，∴x-1x-3=0，∴x-1=0或x-3=0，解得x1=1，x2=3；(2)解：∵x-32-6x-3+8=0，∴x-3-2x-3-4=0，即x-5x-7=0，∴x-5=0或x-7=0，解得x1=5，x2=7．【点拨】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．32(1)x1=9，x2=1；(2)x1=2+3，x2=2-3【分析】(1)利用一元二次方程直接开平方法即可求解．(2)利用一元二次方程公式法x=-b±b2-4ac2a即可求解．(1)解：x-52=16x-5=±4x=5±4∴x1=9，x2=1．(2)解：x2-4x+1=0x=--4±-42-4×1×12×1=2±3∴x1=2+3，x2=2-3．【点拨】此题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握直接开平方法、公式法是解题的关键．33(1)x1=-1，x2=3；(2)x1=43，x2=-3【分析】(1)直接因式分解解方程即可；(2)先化成一般式的形式，然后因式分解解方程即可．(1)解：x2-2x-3=0，x+1x-3=0，x+1=0，x-3=0，解得，x1=-1，x2=3；(2)解：x+23x-1=10，3x2+5x-12=0，3x-4x+3=0，3x-4=0，x+3=0，解得，x1=43，x2=-3．【点拨】本题考查了因式分解法解一元二次方程．解题的关键在于正确的进行因式分解．34(1)x1=1，x2=2；(2)x1=-2+2，x2=-2-2【分析】(1)先移项得到x(x-1)-2(x-1)=0，利用因式分解法把方程转化为x-2=0或x-1=0，然后解两个一次方程即可．(2)原方程运用配方法求解即可．解：(1)x(x-1)=2(x-1)，x(x-1)-2(x-1)=0，(x-1)(x-2)=0，x-2=0或x-1=0，∴x1=1，x2=2(2)x2+4x+2=0x2+4x+4=2x+22=2x +2=±2∴x 1=-2+2，x 2=-2-2【点拨】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了用配方法解一元二次方程．35(1)x 1=2+14,x 2=2-14；(2)x 1=10,x 2=-2；(3)x 1=3,x 2=0.6；(4)x 1=-3,x 2=43【分析】(1)利用配方法解方程即可；(2)利用公式法解方程即可；(3)利用因式分解法解方程即可；(4)先将给出的方程进行变形，然后利用因式分解法解方程即可．解：(1)移项，得：12x 2-2x =5，系数化1，得：x 2-4x =10，配方，得：x 2-4x +4=14，(x -2)2=14，x -2=±14，∴x 1=2+14，x 2=2-14；(2)原方程可变形为x 2-8x -20=0，a =1，b =-8，c =-20，Δ=-8 2-4×1×-20 =64+80=144>0，原方程有两个不相等的实数根，∴x =-b ±b 2-4ac 2a =8±1442=8±122，∴x 1=10，x 2=-2；(3)原方程可变形为：x -3 x -3+4x =0，整理得：x -3 5x -3 =0，解得x 1=3，x 2=0.6；(4)原方程可变形为：3x 2+5x -2-10=0，整理得：3x 2+5x -12=0，3x -4 x +3 =0，∴x 1=-3，x 2=43【点拨】本题主要考查的是配方法，公式法，因式分解法解一元二次方程的有关知识，掌握配方法的基本步骤，一元二次方程的求根公式是解题关键．36(1)x 1=1，x 2=12；(2)x 1=-1，x 2=1【分析】(1)利用求根公式直接求解即可；(2)先移项，然后利用平方差公式分解因式求解即可；(1)解：原方程可化为：2x 2-3x +1=0∴a =2，b =-3，c =1∴△=b 2-4ac =-3 2-4×2×1=1>0方程有两个不相等的实数根x =-b ±b 2-4ac 2a =3±12×2=3±14 ∴x 1=1，x 2=12(2)解：原方程移项，得x-32-3x-12=0因式分解，得-2x-24x-4=0于是得-2x-2=0或4x-4=0∴x1=-1，x2=1【点拨】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握公式法、因式分解法解一元二次方程是解题的关键．37(1)x1=1，x2=2；(2)x1=1+6，x2=1-6；【分析】(1)移项，因式分解即可得到答案；(2)移项，配方，直接开平方即可得到答案；(1)解：移项得，x(x-2)-(x-2)=0，因式分解得，(x-2)(x-1)=0，∴x-1=0或x-2=0，解得：x1=1，x2=2，∴原方程的解是：x1=1，x2=2；(2)解：移项得，x2-2x=5，配方得，x2-2x+1=5+1，即(x-1)2=6，x-1=±6，∴x1=1+6，x2=1-6；【点拨】本题考查因式分解法解一元二次方程及配方法解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握各种解法，选择适当的方法求解．38(1)x1=0，x2=8；(2)x1=3，x2=1；(3)方程无实数根；(4)x1=52，x2=2．【分析】(1)利用因式分解法即可解方程；(2)利用因式分解法即可解方程；(3)依次去括号，移项，合并同类项，得到x2=-2，根据平方的非负性可知，方程无解；(4)利用因式分解法即可解方程．(1)解：x2-8x=0，x x-8=0，令x=0或x-8=0，解得：x1=0，x2=8；(2)解：2x-32+x2-9=0，2x-32+x+3x-3=0，x-32x-3+x+3=0，x-33x-3=0，令x-3=0或3x-3=0，解得：x1=3，x2=1；(3)解：x+12=2x-1，x2+2x+1=2x-1，x2+2x+1-2x+1=0，x2+2=0，x2=-2，∵x2≥0，故原方程无实数根；(4)解：x2x-5=4x-10，x2x-5=22x-5，x2x-5-22x-5=0，2x-5x-2=0，令2x-5=0或x-2=0，解得：x1=52，x2=2．【点拨】本题考查的是解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法和步骤是解题关键．39(1)x1=-2+102，x2=-2-102；(2)x1=-1，x2=2【分析】(1)利用公式法解方程即可；(2)先移项，然后利用因式分解法解方程即可．(1)解：∵2x2+4x-3=0，∴a=2，b=4，c=-3，∴Δ=b2-4ac=42-4×2×-3=40>0，∴x=-b±b2-4ac2a =-4±2104=-2±102，解得x1=-2+102，x2=-2-102；(2)解：∵x x-2=4-x2，∴x x-2=x+22-x，∴x x-2+x+2x-2=0∴x+x+2x-2=0，∴x+x+2=0或x-2=0，解得x1=-1，x2=2．【点拨】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键．40(1)x1=2，x2=-3；(2)m1=5-1，m2=-5-1【分析】(1)利用因式分解法解方程即可；(2)先把方程化为一般式，然后利用公式法解方程即可．(1)解：∵x2+x-6=0，∴x+3x-2=0，∴x+3=0或x-2=0，解得x1=2，x2=-3；(2)解：∵m2+5m+7=3m+11，∴m2+2m-4=0，∴a=1，b=2，c=-4，∴Δ=b2-4ac=22-4×1×-4=20>0，∴m=-b±b2-4ac2a =-2±252，解得m1=5-1，m2=-5-1．【点拨】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键．41(1)x1=3，x2=1；(2)x1=2+142，x2=2-142【分析】(1)先移项，再把方程的左边提公因式分解因式，化为两个一次方程，解一次方程即可；(2)先求出根的判别式的值，再代入求根公式，用公式法解答．(1)解：∵x-3=x x-3，移项得：x-3-x x-3=0，∴x-31-x=0，∴x-3=0或1-x=0，解得：x1=3，x2=1；(2)解：∵2x2-4x-5=0，∴Δ=-42-4×2×-5=56，∴x=--4±562×2=2±142，x1=2+142，x2=2-142．【点拨】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握利用因式分解法解一元二次方程和运用公式法解一元二次方程，是解本题的关键．42(1)x1=3，x2=-4；(2)x1=0，x2=7【分析】(1)利用十字相乘因式分解法直接求解即可得到答案；(2)先换元，令m=x-1，将x-12-5x-1-6=0转化为m2-5m-6=0，利用十字相乘因式分解法直接求解即可得到答案．(1)解：x2+x-12=0，∴x+4x-3=0，解得x1=3，x2=-4；(2)解：x-12-5x-1-6=0，令m=x-1，则m2-5m-6=0，∴m-6m+1=0，解得m=6或m=-1，∴x-1=-1或x-1=6，解得x1=0，x2=7．【点拨】本题考查解一元二次方程，根据具体的方程结构特征熟练运用一元二次方程的解法求解是解决问题的关键．43(1)x1=2+2，x2=-2+2；(2)x1=1，x2=3【分析】(1)利用直接开平方法求解即可．(2)利用因式分解法求解即可．(1)解：∵2x-22-4=0，∴x-22=2，即：x-2=±2解得：x1=2+2，x2=-2+2．(2)∵x-32=2x3-x，∴x-32+2x3-x=0，∴x-3+2xx-3=0，即3x-3x-3=0，【点拨】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键．44(1)x1=1+172，x2=1-172；(2)x1=2，x2=52【分析】(1)先整理成一般式，再利用公式求解即可；(2)先整理成一般式，再利用因式分解求解即可．解：(1)整理，得：x2-x-4=0，∵a=1，b=-1，c=-4，∴Δ=-12-4×1×-4=17>0，则x=-b±b2-4ac2a=1±172，∴x1=1+172，x2=1-172．(2)方程化为：2x2-9x+10=0因式分解得，x-22x-5=0于是得2x-5=0或x-2=0即x1=2或x2=5 2．【点拨】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的方法，如公式法、因式分解法，是解题的关键．45(1)x1=-3+132，x2=-3-132；(2)x1=1或x2=32【分析】(1)原方程已经是一般形式，利用根的判别式判断根的情况，再利用求根公式求解即可；(2)找出公因式，利用提取公因式法分解因式，降次后再分别求解即可．解：(1)x2+3x-1=0解：由题意的：a=1，b=3，c=-1∵Δ=b2-4ac=32-4×1×-1=9+4=13∴x1=-b+b2-4ac2a =-3+132，x2=-b-b2-4ac2a=-3-132(2)3(x-1)2=x(x-1)解：移项因式分解得：x-13x-1-x=0化简得：x-12x-3=0∴x-1=0或2x-3=0∴x=1或x=32【点拨】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握求根公式和因式分解法解一元二次方程是解决本题的关键．46(1)x1=-4，x2=6；(2)x1=3，x2=2 3【分析】(1)利用十字相乘法将原方程化为两个一元一次方程求解即可解方程；(2)利用因式分解法求解即可解方程．(1)解：x2-2x-24=0，x+4x-6=0，x+4=0或x-6=0，(2)解：2x-3-3x x-3=0，x-32-3x=0，x-3=0或2-3x=0，解得：x1=3，x2=2 3．【点拨】本题考查了解一元二次方程，正确掌握一元二次方程的解法是解题关键．47(1)x1=3，x2=35；(2)x1=1，x2=-3．【分析】(1)利用提公因式法解方程；(2)利用配方法解方程．解：(1)(x-3)2+4x(x-3)=0，(x-3)(x-3+4x)=0，∴x-3=0或5x-3=0，∴x1=3，x2=35；(2)2x2+4x-6=0，x2+2x=3，x2+2x+1=3+1，即(x+1)2=4，∴x+1=±2，∴x1=1，x2=-3．【点拨】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握配方法、因式分解法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键．48(1)x1=-8，x2=3；(2)x1=-1+133，x2=-1-133．【分析】(1)利用因式分解法求解即可得到答案；(2)将原方程化为一般式根据求根公式求解即可得到答案；(1)解：因式分解可得，(x+8)(x-3)=0，即x-3=0或x+8=0，解得：x1=-8，x2=3；(2)解：原方程变形得，3x2+2x-4=0，即a=3，b=2，c=-4，∴Δ=b2-4ac=22-4×3×(-4)=52>0∴原方程有两个不相等的实数根，∴x=-b±Δ2a =-2±522×3=-2±2136，∴x1=-1+133，x2=-1-133．【点拨】本题考查解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握各种解法及选择适当的方法．49(1)x1=2+22，x2=2-22；(2)x1=2，x2=-5【分析】(1)配方法解方程；(2)因式分解法解方程．∴x2-4x+4=4+4，∴x-22=8，∴x-2=±22，解得：x1=2+22，x2=2-22；(2)解：x+2x+1=12，整理的：x2+3x-10=0，∴x-2x+5=0，解得：x1=2，x2=-5．【点拨】本题考查解一元二次方程．熟练掌握解一元二次方程的方法，是解题的关键．50(1)x1=-4+17，x2=-4-17；(2)x1=2，x2=-1【分析】(1)先利用配方法得到x+42=17，然后利用直接开平方法解方程．(2)利用因式分解法把原方程转化为x-2=0或x+1=0，然后解两个一次方程即可．(1)解：x2+8x-1=0，x2+8x=1，x2+8x+16=1+16，x+42=17，x+4=±17，x1=-4+17，x2=-4-17；(2)解：x x-2+x-2=0，x-2x+1=0，x-2=0或x+1=0，x1=2，x2=-1．【点拨】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了配方法．51(1)x1=-9或x2=1；(2)x1=-3或x2=-1；；(3)x1=7+534或x2=7-534；(4)x=2【分析】(1)先将原方程整理成一元二次方程的一般形式，然后再利用解一元二次方程一因式分解法,进行计算即可解答；(2)利用解一元二次方程一因式分解法，进行计算即可解答；(3)利用解一元二次方程一公式法，进行计算即可解答；(4)利用解一元二次方程一因式分解法，进行计算即可解答．(1)解：x2+8x=9x2+8x-9=0x+9x-1=0x+9=0或x-1=0x1=-9或x2=1；(2)解：2x+6=(x+3)22x+6-(x+3)2=02x+3-(x+3)2=0x+32-x-3=0x+3-1-x=0x+3=0或-x-1=0x 1=-3或x 2=-1；(3)解：2x 2-7x -12=0∵Δ=-7 2-4×2×-12 =49+4=53>0，∴x =7±534，∴x 1=7+534或x 2=7-534；(4)解：x 2-22x +2=0x -2 2=0x -2=0x =2．【点拨】本题考查了解一元二次方程一因式分解法，公式法，熟练掌握解一元二次方程一因式分解法是解题的关键．52(1)x 1=-3，x 2=-4；(2)x 1=12，x 2=2【分析】(1)原方程整理后，利用因式分解法解该一元二次方程即可；(2)直接用公式法解该一元二次方程即可．(1)解：x (x +4)=-3(x +4)，x (x +4)+3(x +4)=0，(x +3)(x +4)=0，∴x 1=-3，x 2=-4；(2)解：2x 2-5x +2=0，∵a =2，b =-5，c =2，∴Δ=b 2-4ac =(-5)2-4×2×2=9>0，∴x =-b ±b 2-4ac 2a =-(-5)±92×2=5±34，∴x 1=12，x 2=2．【点拨】本题主要考查了因式分解法和公式法解一元二次方程，熟练掌握因式分解的方法及求根公式是解题的关键．53(1)x 1=2+7，x 1=2-7；(2)x 1=2，x 2=13【分析】(1)采用公式法解此方程，即可求解；(2)采用因式分解法解此方程，即可求解．(1)解：x 2-4x -3=0，∵a =1，b =-4，c =-3，∴Δ=b 2-4ac =16-4×1×-3 =16+12=28，∴x =-b ±b 2-4ac 2a =4±272=2±7，∴x 1=2+7，x 1=2-7，所以，原方程的解为x 1=2+7，x 1=2-7；(2)解：由原方程得：x -2 3x -1 =0，故x -2=0或3x -1=0，。
一元二次方程的定义提高练习(含答案)
一元二次方程的定义提高练习一.选择题（共8小题）1.（2012-汉川市模拟）下列方程是一元二次方程的是（ ）A. x 2- l=y• （x+2） （x+1） =x 2C. 6x 2=5 D.B.2.（2007*滨州）关于x 的一元二次方程（m+1） R N+l+4x+2=0的解为（ ）AA. 3. Xj-1 ♦ x2= - 1B ・ X ］二x2= 1C • X ］二x2二-1（2002・甘肃）方程（m+2） x"+3mx+l=0是关于x 的一元二次方程，则（ D. ,无解A. 4. m=±2B. m=2 ・ m=-2C.若关于X 的方程（k-1） x2-4x-5=0是一元二次方程，则k 的取值范围是（ D. )mK±2A. 5. )B. k#lC. kWO 且 kHl kHO关于x 的方程(m - 2) x" - mx+l=0是一元二次方程，贝U m 二( )D. k 二 0A. ±2B. 2C. -2D.不确定6. 方程二4；②3y2-2y=7；③2-- 5xy+3yW)；④中，23x是一元二次方程的为（ )A. 7. ①B. .C.③②一元二次方程R 2-4X -M5二0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ D. )④cA.8. 19 一4， Vs B. 0, 一4， - ^3C ・ 0, - 4,关于x 的方程（a--a-2） x'+ax+b=O 是一元二次方程的条件是（ ）D. 1, -4, - VsA. aK - 1B. aH2C. -aW - 1 且 aW2D. a# - 1 或 a#2二.填空题（共8小题）9 .关于x 的方程mx J+3x=x 2+4是一元二次方程，则m 应满足条件是10 .若关于x 的方程（m- 1） 丫皿？+1 - mx - 3二0是一元二次方程，则11.关于X的一元二次方程ax- - 3x+2=0中，a的取值范围是.12.若（3一1）工.十1+5工二4是关于X的一元二次方程，则a二.13.当k二时，（k-l） /Jk- （2k- 1） x-3二0是关于x的一元二次方程.14.当m二时，方程（m'-l） x'- mx+5=0不是一元二次方程.15.方程（m+4） x " T+5X+3=0是关于x的一元二次方程，则m= .16.关于x的方程（m+3）一 %（川一3） x+2=0是一元二次方程，则m的值为三.解答题（共4小题）17.方程（m+1） x N + 1+ （m - 3） x - 1-0；（1）m取何值时是一元二次方程，并求出此方程的解；¥（2）m取何值时是一元一次方程.18. x%m-Zx'+B：。
完整版)一元二次方程能力拔高题
完整版)一元二次方程能力拔高题一元二次方程培优专题复考点一、概念一元二次方程是只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程。
其中，一般表达式为ax²+bx+c=0（a≠0），难点在于理解“未知数的最高次数是2”，即该项系数不为0，未知数指数为2.若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。
典型例题：例1、下列方程中是关于x的一元二次方程的是（）A、3(x+1)=2(x+1)B、2x+11=2x²C、2x/x-2=-2/xD、x²+2x=x²+1变式：当k时，关于x的方程kx+2x=x+3是一元二次方程。
例2、方程(m+2)x²=mx+1的一个根为x=1/2.针对练：1、方程8x=7的一次项系数是8，常数项是7.2、若方程(m-2)x²+22mx+1=0是关于x的一元二次方程，则m的值为-11/2.3、若方程(m-1)x+mn²/m·x=1是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是m≠0且m≠1.4、若方程nx²+x-2x=0是一元二次方程，则下列不可能的是m=2,n=1.考点二、方程的解方程的解是指使方程两边相等的未知数的值。
应用上，可以利用根的概念求代数式的值。
典型例题：例1、已知2y+y²-3的值为2，则4y+2y²+1的值为3.例2、关于x的一元二次方程(a-2)x²+x+a-4=0的一个根为x=2，则a的值为5.例3、已知关于x的一元二次方程ax²+bx+c=0的系数满足a+c=b，则此方程必有一根为x=1.例4、已知a,b是方程x²-4x+m=0的两个根，b,c是方程y²-8y+5m=0的两个根，则m的值为10.针对练：1、已知方程x+kx-10=0的一根是2，则k为-5，另一根是-2.2、已知关于x的方程x+kx-2=0的一个解与方程x²+3x-10=0的两个解之和相等，则k的值为-2.3、已知m是方程x²-x-1=0的一个根，则代数式m²-m-1=0.4、已知a是方程x²-3x+1=0的根，则2a-6=0，a=3.5、方程(a-b)x+(b-c)x+c-a=0的一个根为x=1.22x+1=3x的解相同。
一元二次方程强化提高
一元二次方程强化提高例题1、已知0201852=--x x，求代数式()()211223-+---x x x 的值。
练习：已知0120182=+-a a ，求120184035222++-a a a 的值。
韦达定理：a b x x -=+21，ac x x =∙21； 例题2、若1x ，2x 是方程0201822=-+x x 的两个根，试求（1）2221x x +； （2）2111x x +； （3）()()5521--x x ； （4）21x x -例题3、已知m 、n 是关于x 的一元二次方程042222=+-+-t t tx x 的两实数根，求()()22++n m 的最小值。
练习：（1）一元二次方程022=-+bx x 中，若0<b ，求这个方程根的情况。
（2）．已知1x 、2x 是关于x 的方程022=-+b ax x 的两实数根，且221-=+x x ，121=∙x x ，求a b 的值。
（3）关于x 的一元二次方程0522=--a x x （a 为常数）的两根之比3:2:21=x x ，求12x x -的值。
（4）1x 、2x 是方程02=++k x x 的两个实根，若恰22221212k x x x x =++成立，求k 的值。
（5）关于x 的方程()013222=++--k x k x 有两个不相等的实数根21x x 、。
（1）求k 的取值范围； （2）若72121=++x x x x ，求k 的值。
（6）若1x 、2x 是关于x 的方程0522=--x x 的两根，求代数式632121---x x x 的值。
例题4、已知关于x 的方程()011222=+++-k x k x 有两个不相等的实数根，且均大于1，求k 的取值范围。
练习：（1）若方程02=-+q px x 的二根为21x x 、，且11>x ，03>++q p ，求2x 的取值范围。
（2）已知方程()0332=+--a x a ax 的一根小于2-，另外一根大于1-，求a 的取值 范围。
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一元二次方程提高题一．选择题（共10小题）1．一元二次方程x2﹣6x﹣6=0配方后化为（）A．（x﹣3）2=15 B．（x﹣3）2=3 C．（x+3）2=15 D．（x+3）2=32．若关于x的方程x2+2x﹣3=0与=有一个解相同，则a的值为（）A．1 B．1或﹣3 C．﹣1 D．﹣1或33．若关于x的方程kx2﹣3x﹣=0有实数根，则实数k的取值范围是（）A．k=0 B．k≥﹣1且k≠0 C．k≥﹣1 D．k＞﹣14．关于x的一元二次方程x2+（a2﹣2a）x+a﹣1=0的两个实数根互为相反数，则a的值为（）A．2 B．0 C．1 D．2或05．已知一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的两根分别为x1，x2，则+的值为（）A．2 B．﹣1 C．D．﹣26．对于方程x2﹣2|x|+2=m，如果方程实根的个数为3个，则m的值等于（）A．1 B．C．2 D．2.57．方程x2﹣|2x﹣1|﹣4=0，求满足该方程的所有根之和为（）A．0 B．2 C．D．2﹣8．已知关于x的方程（m﹣1）+2x﹣3=0是一元二次方程，则m的值为（）A．1 B．﹣1 C．±1 D．不能确定9．m是方程x2+x﹣1=0的根，则式子2m2+2m+2015的值为（）A．2013 B．2016 C．2017 D．201810．三角形两边长分别为5和8，第三边是方程x2﹣6x+8=0的解，则此三角形的周长是（）A．15 B．17 C．15或17 D．不能确定二．填空题（共5小题）11．关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+6x+k2﹣k=0的一个根是0，则k的值是．12．已知实数m满足m2﹣3m+1=0，则代数式m2+的值等于．13．已知m是方程x2﹣2017x+1=0的一个根，则代数式m2﹣2018m++3的值是．14．关于x的方程x2﹣2mx+3m=0的两个根是等腰△ABC的两条边长，已知一个根是2，则△ABC的周长为．15．若实数a、b满足（a+b）（a+b﹣6）+9=0，则a+b的值为．三．解答题（共11小题）16．解方程：（x﹣3）（x﹣1）=3．17．解一元二次方程：x2﹣3x=1．18．解方程：（2x+1）2=2x+1．19．4x2﹣3=12x（用公式法解）20．解方程：2x2﹣4x=1（用配方法）21．已知M=5x2+3，N=4x2+4x．（1）求当M=N时x的值；（2）当1＜x＜时，试比较M，N的大小．22．已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣4=0（1）当m为何值时，方程有两个不相等的实数根？（2）若边长为5的菱形的两条对角线的长分别为方程两根的2倍，求m的值．23．关于x的方程x2﹣（2k﹣1）x+k2﹣2k+3=0有两个不相等的实数根．（1）求实数k的取值范围；（2）设方程的两个实数根分别为x1、x2，存不存在这样的实数k，使得|x1|﹣|x2|=？若存在，求出这样的k值；若不存在，说明理由．24．学校为奖励“汉字听写大赛”的优秀学生，派王老师到商店购买某种奖品，他看到如图所示的关于该奖品的销售信息，便用1400元买回了奖品，求王老师购买该奖品的件数．25．随着柴静纪录片《穹顶之下》的播出，全社会对空气污染问题越来越重视，空气净化器的销量也大增，商社电器从厂家购进了A，B两种型号的空气净化器，已知一台A型空气净化器的进价比一台B型空气净化器的进价多300元，用7500元购进A型空气净化器和用6000元购进B型空气净化器的台数相同．（1）求一台A型空气净化器和一台B型空气净化器的进价各为多少元？（2）在销售过程中，A型空气净化器因为净化能力强，噪音小而更受消费者的欢迎．为了增大B型空气净化器的销量，商社电器决定对B型空气净化器进行降价销售，经市场调查，当B型空气净化器的售价为1800元时，每天可卖出4台，在此基础上，售价每降低50元，每天将多售出1台，如果每天商社电器销售B 型空气净化器的利润为3200元，请问商社电器应将B型空气净化器的售价定为多少元？26．关于x的方程x2+2x+2，其中p是实数．（1）若方程没有实数根，求P的范围；（2）若p＞0，问p为何值时，方程有两个相等的实数根？并求出这两个根．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．（2017•泰安）一元二次方程x2﹣6x﹣6=0配方后化为（）A．（x﹣3）2=15 B．（x﹣3）2=3 C．（x+3）2=15 D．（x+3）2=3【分析】方程移项配方后，利用平方根定义开方即可求出解．【解答】解：方程整理得：x2﹣6x=6，配方得：x2﹣6x+9=15，即（x﹣3）2=15，故选A【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．2．（2017•凉山州）若关于x的方程x2+2x﹣3=0与=有一个解相同，则a 的值为（）A．1 B．1或﹣3 C．﹣1 D．﹣1或3【分析】两个方程有一个解相同，可以先求得第一个方程的解，然后将其代入第二个方程来求a的值即可．注意：分式的分母不等于零．【解答】解：解方程x2+2x﹣3=0，得x1=1，x2=﹣3，∵x=﹣3是方程的增根，∴当x=1时，代入方程，得，解得a=﹣1．故选：C．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，分式方程的解．此题属于易错题，解题时要注意分式的分母不能等于零．3．（2017•齐齐哈尔）若关于x的方程kx2﹣3x﹣=0有实数根，则实数k的取值范围是（）A．k=0 B．k≥﹣1且k≠0 C．k≥﹣1 D．k＞﹣1【分析】讨论：当k=0时，方程化为﹣3x﹣=0，方程有一个实数解；当k≠0时，△=（﹣3）2﹣4k•（﹣）≥0，然后求出两个中情况下的k的公共部分即可．【解答】解：当k=0时，方程化为﹣3x﹣=0，解得x=；当k≠0时，△=（﹣3）2﹣4k•（﹣）≥0，解得k≥﹣1，所以k的范围为k≥﹣1．故选C．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．4．（2017•呼和浩特）关于x的一元二次方程x2+（a2﹣2a）x+a﹣1=0的两个实数根互为相反数，则a的值为（）A．2 B．0 C．1 D．2或0【分析】设方程的两根为x1，x2，根据根与系数的关系得a2﹣2a=0，解得a=0或a=2，然后利用判别式的意义确定a的取值．【解答】解：设方程的两根为x1，x2，根据题意得x1+x2=0，所以a2﹣2a=0，解得a=0或a=2，当a=2时，方程化为x2+1=0，△=﹣4＜0，故a=2舍去，所以a的值为0．故选B．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a ≠0）的两根时，x1+x2=﹣，x1x2=．也考查了根的判别式．5．（2017•黔东南州）已知一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的两根分别为x1，x2，则+的值为（）A．2 B．﹣1 C．D．﹣2【分析】根据根与系数的关系得到x1+x2=2，x1x2=﹣1，利用通分得到+=，然后利用整体代入的方法计算【解答】解：根据题意得x1+x2=2，x1x2=﹣1，所以+===﹣2．故选D．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a ≠0）的两根时，x1+x2=﹣，x1x2=．6．（2017•江阴市自主招生）对于方程x2﹣2|x|+2=m，如果方程实根的个数为3个，则m的值等于（）A．1 B．C．2 D．2.5【分析】先把已知方程转化为关于|x|的一元二次方程的一般形式，再根据方程有三个实数根判断出方程根的情况，进而可得出结论．【解答】解：原方程可化为x2﹣2|x|+2﹣m=0，解得|x|=1±，∵若1﹣＞0，则方程有四个实数根，∴方程必有一个根等于0，∵1+＞0，∴1﹣=0，解得m=2．故选C．【点评】本题考查的是根的判别式及用公式法解一元二次方程，先根据题意得出|x|的值，判断出方程必有一根为0是解答此题的关键．7．（2017•雨城区校级自主招生）方程x2﹣|2x﹣1|﹣4=0，求满足该方程的所有根之和为（）A．0 B．2 C．D．2﹣【分析】因为题目中带有绝对值符号，所以必须分两种情况进行讨论，去掉绝对值符号，得到两个一元二次方程，求出方程的根，不在讨论范围内的根要舍去．【解答】解：①当2x﹣1≥0时，即x≥，原方程化为：x2﹣2x﹣3=0，（x﹣3）（x+1）=0，x1=3，x2=﹣1，∵﹣1＜，∴x2=﹣1（舍去）∴x=3；②当2x﹣1＜0，即x＜时，原方程化为：x2+2x﹣5=0，（x+1）2=6，x+1=±，x1=﹣1+，x2=﹣1﹣∵﹣1+＞，∴x1=﹣1+（舍去）∴x=﹣1﹣．则3+（﹣1﹣）=2﹣．故选：D．【点评】本题考查的是解一元二次方程，由于带有绝对值符号，必须对题目进行讨论，对不在讨论范围内的根要舍去．8．（2017•凉山州一模）已知关于x的方程（m﹣1）+2x﹣3=0是一元二次方程，则m的值为（）A．1 B．﹣1 C．±1 D．不能确定【分析】根据一元二次方程的定义得出m﹣1≠0，m2+1=2，求出即可．【解答】解：∵关于x的方程（m﹣1）+2x﹣3=0是一元二次方程，∴m﹣1≠0且m2+1=2，即m≠1且m=±1，解得：m=﹣1．故选B．【点评】本题考查了对一元二次方程的定义的理解和运用，注意：①是整式方程，②只含有一个未知数，③所含未知数的项的最高次数是2．9．（2017•潮阳区模拟）m是方程x2+x﹣1=0的根，则式子2m2+2m+2015的值为（）A．2013 B．2016 C．2017 D．2018【分析】根据一元二次方程的解的定义得到m2+m﹣1=0，即m2+m=1，然后利用整体代入的方法计算2m2+2m+2015的值．【解答】解：∵m是方程x2+x﹣1=0的根，∴m2+m﹣1=0，即m2+m=1，∴2m2+2m+2015=2（m2+m）+2015=2+2015=2017．故选C．【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．10．（2017•市中区三模）三角形两边长分别为5和8，第三边是方程x2﹣6x+8=0的解，则此三角形的周长是（）A．15 B．17 C．15或17 D．不能确定【分析】求出已知方程的解确定出第三边，即可求出三角形周长．【解答】解：方程x2﹣6x+8=0，分解因式得：（x﹣2）（x﹣4）=0，解得：x=2或x=4，当x=2时，三角形三边长为2，5，8，不能构成三角形，舍去；当x=4时，三角形三边长为4，5，8，周长为4+5+8=17，故选B【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，以及三角形三边关系，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．二．填空题（共5小题）11．（2017•菏泽）关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+6x+k2﹣k=0的一个根是0，则k的值是0．【分析】由于方程的一个根是0，把x=0代入方程，求出k的值．因为方程是关于x的二次方程，所以未知数的二次项系数不能是0．【解答】解：由于关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+6x+k2﹣k=0的一个根是0，把x=0代入方程，得k2﹣k=0，解得，k1=1，k2=0当k=1时，由于二次项系数k﹣1=0，方程（k﹣1）x2+6x+k2﹣k=0不是关于x的二次方程，故k≠1．所以k的值是0．故答案为：0【点评】本题考查了一元二次方程的解法、一元二次方程的定义．解决本题的关键是解一元二次方程确定k的值，过程中容易忽略一元二次方程的二次项系数不等于0这个条件．12．（2017•镇江）已知实数m满足m2﹣3m+1=0，则代数式m2+的值等于9．【分析】先表示出m2=3m﹣1代入代数式，通分，化简即可得出结论．【解答】解：∵m2﹣3m+1=0，∴m2=3m﹣1，∴m2+=3m﹣1+=3m﹣1+=====9，故答案为：9．【点评】此题主要考查了代数式的化简求值，分式的通分，约分，解本题的关键是得出m2=3m﹣1．13．（2017•北仑区模拟）已知m是方程x2﹣2017x+1=0的一个根，则代数式m2﹣2018m++3的值是2．【分析】根据一元二次方程根的定义得到m2=2017m﹣1，再利用整体代入的方法得到原式=2017m﹣1﹣2018m++3，然后合并即可．【解答】解：∵m是方程x2﹣2017x+1=0的一个根，∴m2﹣2017m+1=0，∴m2=2017m﹣1，∴原式=2017m﹣1﹣2018m++3=﹣1﹣m+m+3=2．故答案为2．【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．14．（2017•威海一模）关于x的方程x2﹣2mx+3m=0的两个根是等腰△ABC的两条边长，已知一个根是2，则△ABC的周长为14．【分析】利用一元二次方程解的定义，把x=2代入x2﹣2mx+3m=0得m=4，则方程化为x2﹣8x+12=0，利用因式分解法解得x1=2，x2=6，然后利用三角形三边的关系确定三角形三边，再计算它的周长．【解答】解：把x=2代入x2﹣2mx+3m=0得4﹣4m+3m=0，解得m=4，所以方程化为x2﹣8x+12=0，解得x1=2，x2=6，所以三角形三边为6、6、2，所以△ABC的周长为14．故答案为14．【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．15．（2017•曹县模拟）若实数a、b满足（a+b）（a+b﹣6）+9=0，则a+b的值为3．【分析】设t=a+b，则原方程转化为关于t的方程t（t﹣6）+9=0，由此求得t的值即可．【解答】解：设t=a+b，则由原方程得到：t（t﹣6）+9=0，整理，得（t﹣3）2=0，解得t=3．即a+b=3．故答案是：3．【点评】本题考查了换元法解一元二次方程．换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理．三．解答题（共11小题）16．（2017•丽水）解方程：（x﹣3）（x﹣1）=3．【分析】先把方程化为一般式，然后利用因式分解法解方程．【解答】解：方程化为x2﹣4x=0，x（x﹣4）=0，所以x1=0，x2=4．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：就是因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．17．（2017•埇桥区模拟）解一元二次方程：x2﹣3x=1．【分析】配方，开方，即可得出两个方程，求出方程的解即可．【解答】解：x2﹣3x=1，x2﹣3x+（）2=1+（）2，（x﹣）2=，开方得：x﹣=±，x1=，x2=．【点评】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键．18．（2017•广元模拟）解方程：（2x+1）2=2x+1．【分析】因式分解法求解可得．【解答】解：∵（2x+1）2﹣（2x+1）=0，∴（2x+1）（2x+1﹣1）=0，即2x（2x+1）=0，则x=0或2x+1=0，解得：x=0或x=﹣．【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．19．（2017•江汉区校级模拟）4x2﹣3=12x（用公式法解）【分析】利用公式法求解可得．【解答】解：原方程整理为：4x2﹣12x﹣3=0，∵a=4，b=﹣12，c=﹣3，∴△=144﹣4×4×（﹣3）=192＞0，则x==．【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．20．（2017•江汉区校级模拟）解方程：2x2﹣4x=1（用配方法）【分析】方程两边都除以2，配方，开方，即可得出两个方程，求出方程的解即可．【解答】解：方程整理得：x2﹣2x=，配方得：x2﹣2x+1=，即（x﹣1）2=，开方得：x﹣1=±，解得：x1=1+，x2=1﹣．【点评】本题考查了解一元二次方程，能正确配方是解此题的关键．21．（2017•萧山区模拟）已知M=5x2+3，N=4x2+4x．（1）求当M=N时x的值；（2）当1＜x＜时，试比较M，N的大小．【分析】（1）利用题意列方程5x2+3=4x2+4x，然后利用因式分解法解方程即可；（2）利用求差法得到M﹣N=（x﹣1）（x﹣3），然后根据x的取值范围确定积的符合，从而得到M与N的关系关系．【解答】解：（1）根据题意得5x2+3=4x2+4x，整理得x2﹣4x+3=0，（x﹣1）（x﹣3）=0，x﹣1=0或x﹣3=0，所以x1=1，x2=3；（2）M﹣N=5x2+3﹣（x2+4x）=x2﹣4x+3=（x﹣1）（x﹣3），∵1＜x＜，∴x﹣1＞0，x﹣3＜0，∴M﹣N=（x﹣1）（x﹣3）＜0，∴M＜N．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．注意因式分解的应用．22．（2017•绥化）已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣4=0（1）当m为何值时，方程有两个不相等的实数根？（2）若边长为5的菱形的两条对角线的长分别为方程两根的2倍，求m的值．【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△=4m+17＞0，解之即可得出结论；（2）设方程的两根分别为a、b，根据根与系数的关系结合菱形的性质，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值，再根据a+b=﹣2m﹣1＞0，即可确定m的值．【解答】解：（1）∵方程x2+（2m+1）x+m2﹣4=0有两个不相等的实数根，∴△=（2m+1）2﹣4（m2﹣4）=4m+17＞0，解得：m＞﹣．∴当m＞﹣时，方程有两个不相等的实数根．（2）设方程的两根分别为a、b，根据题意得：a+b=﹣2m﹣1，ab=m2﹣4．∵2a、2b为边长为5的菱形的两条对角线的长，∴a2+b2=（a+b）2﹣2ab=（﹣2m﹣1）2﹣2（m2﹣4）=2m2+4m+9=52=25，解得：m=﹣4或m=2．∵a＞0，b＞0，∴a+b=﹣2m﹣1＞0，∴m=﹣4．若边长为5的菱形的两条对角线的长分别为方程两根的2倍，则m的值为﹣4．【点评】本题考查了根的判别式、根与系数的关系、菱形的性质以及解一元二次方程，解题的关键是：（1）根据方程的系数结合根的判别式，找出△=4m+17＞0；（2）根据根与系数的关系结合菱形的性质，找出关于m的一元二次方程．23．（2017•鄂州）关于x的方程x2﹣（2k﹣1）x+k2﹣2k+3=0有两个不相等的实数根．（1）求实数k的取值范围；（2）设方程的两个实数根分别为x1、x2，存不存在这样的实数k，使得|x1|﹣|x2|=？若存在，求出这样的k值；若不存在，说明理由．【分析】（1）由方程有两个不相等的实数根知△＞0，列出关于k的不等式求解可得；（2）由韦达定理知x1+x2=2k﹣1，x1x2=k2﹣2k+3=（k﹣1）2+2＞0，将原式两边平方后把x1+x2、x1x2代入得到关于k的方程，求解可得．【解答】解：（1）∵方程有两个不相等的实数根，∴△=[﹣（2k﹣1）]2﹣4（k2﹣2k+3）=4k﹣11＞0，解得：k＞；（2）存在，∵x1+x2=2k﹣1，x1x2=k2﹣2k+3=（k﹣1）2+2＞0，∴将|x1|﹣|x2|=两边平方可得x12﹣2x1x2+x22=5，即（x1+x2）2﹣4x1x2=5，代入得：（2k﹣1）2﹣4（k2﹣2k+3）=5，解得：4k﹣11=5，解得：k=4．【点评】本题主要考查根与系数的关系及根的判别式，熟练掌握判别式的值与方程的根之间的关系及韦达定理是解题的关键．24．（2017•皇姑区一模）学校为奖励“汉字听写大赛”的优秀学生，派王老师到商店购买某种奖品，他看到如图所示的关于该奖品的销售信息，便用1400元买回了奖品，求王老师购买该奖品的件数．【分析】根据题意首先表示出每件商品的价格，进而得出购买商品的总钱数，进而得出等式求出答案．【解答】解：∵30×40=1200＜1400，∴奖品数超过了30件，设总数为x件，则每件商品的价格为：[40﹣（x﹣30）×0.5]元，根据题意可得：x[40﹣（x﹣30）×0.5]=1400，解得：x1=40，x2=70，∵x=70时，40﹣（70﹣30）×0.5=20＜30，∴x=70不合题意舍去，答：王老师购买该奖品的件数为40件．【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，根据题意正确表示出每件商品的价格是解题关键．25．（2017•三门峡一模）随着柴静纪录片《穹顶之下》的播出，全社会对空气污染问题越来越重视，空气净化器的销量也大增，商社电器从厂家购进了A，B两种型号的空气净化器，已知一台A型空气净化器的进价比一台B型空气净化器的进价多300元，用7500元购进A型空气净化器和用6000元购进B型空气净化器的台数相同．（1）求一台A型空气净化器和一台B型空气净化器的进价各为多少元？（2）在销售过程中，A型空气净化器因为净化能力强，噪音小而更受消费者的欢迎．为了增大B型空气净化器的销量，商社电器决定对B型空气净化器进行降价销售，经市场调查，当B型空气净化器的售价为1800元时，每天可卖出4台，在此基础上，售价每降低50元，每天将多售出1台，如果每天商社电器销售B 型空气净化器的利润为3200元，请问商社电器应将B型空气净化器的售价定为多少元？【分析】（1）设每台B种空气净化器为x元，A种净化器为（x+300）元，根据用6000元购进B种空气净化器的数量与用7500元购进A种空气净化器的数量相同，列方程求解；（2）根据总利润=单件利润×销量列出一元二次方程求解即可．【解答】解：（1）设每台B型空气净化器为x元，A型净化器为（x+300）元，由题意得，=，解得：x=1200，经检验x=1200是原方程的根，则x+300=1500，答：每B型空气净化器、每台A型空气净化器的进价分别为1200元，1500元；（2）设B型空气净化器的售价为x元，根据题意得；（x﹣1200）（4+）=3200，解得：x=1600，答：如果每天商社电器销售B型空气净化器的利润为3200元，请问商社电器应将B型空气净化器的售价定为1600元．【点评】本题考查了一元二次方程及分式方程的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系，注意分式方程应该检验，难度不大．26．（1999•重庆）关于x的方程x2+2x+2，其中p是实数．（1）若方程没有实数根，求P的范围；（2）若p＞0，问p为何值时，方程有两个相等的实数根？并求出这两个根．【分析】（1）换元，令=y，把中根号下的数看成整体，再求p的范围；（2）方程有两个相等的实数根，判别式=0，求出p，再求得两实根．【解答】解：（1）令=y，①则原方程变为y2+2y﹣（p2+2p）=0．（3分）∵△=4+4（p2+2p）=4（p2+2p+1）=4（p+1）2≥0，即y1=p，y2=﹣2﹣p．（6分）若原方程没有实数根，只须解这个不等式组，得﹣2＜p＜0．（9分）（2）∵p＞0，把y1=p代入①，得=p②而y2=﹣2﹣p＜0，舍去．（11分）将②式平方，整理得x2+2x﹣（p2﹣2p）=0．③（12分）令△=4+4（p2﹣2p）=4（p2﹣2p+1）=4（p﹣1）2=0，解得p=1．（15分）当p=1时，原方程有两个相等的实数根．把p=1代入③，得x2+2x+1=0，∴x1=x2=﹣1．（17分）经检验，当p=1时，x1=x2=﹣1是原方程的根．（18分）【点评】本题是换元法解无理方程，注意这个方程无解条件的讨论是解决本题的关键．。