2020届高考数学(理)一轮复习讲义 2.5 指数与指数函数

§2.5指数与指数函数1．分数指数幂(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是mna＝na m(a>0，m，n∈N＋，且mn为既约分数)；正数的负分数指数幂的意义是mna ＝1na m(a>0，m，n∈N＋，且mn为既约分数)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义．(2)有理指数幂的运算性质：aαaβ＝aα＋β，(aα)β＝aαβ，(ab)α＝aαbα，其中a>0，b>0，α，β∈Q. 2．指数函数的图象与性质概念方法微思考1．如图是指数函数(1)y＝a x，(2)y＝b x，(3)y＝c x，(4)y＝d x的图象，则a，b，c，d与1之间的大小关系为________．提示c>d>1>a>b>02．结合指数函数y＝a x(a>0，a≠1)的图象和性质说明a x>1(a>0，a≠1)的解集跟a的取值有关．提示当a>1时，a x>1的解集为{x|x>0}；当0<a<1时，a x>1的解集为{x|x<0}．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)na n＝(na)n＝a(n∈N＋)．(×)(2)分数指数幂mna可以理解为mn个a相乘．(×)(3)函数y＝3·2x与y＝2x＋1都不是指数函数．(√)(4)若a m<a n(a>0，且a≠1)，则m<n.(×)(5)函数y＝2－x在R上为单调减函数．(√)题组二 教材改编2．化简416x 8y 4(x <0，y <0)＝________. 答案 －2x 2y3．若函数f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)的图象经过点P ⎝⎛⎭⎫2，12，则f (－1)＝________. 答案2解析 由题意知12＝a 2，所以a ＝22，所以f (x )＝⎝⎛⎭⎫22x ，所以f (－1)＝⎝⎛⎭⎫22－1＝ 2.4．已知a ＝1335-⎛⎫ ⎪⎝⎭，b ＝1435-⎛⎫ ⎪⎝⎭，c ＝3432-⎛⎫⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是________．答案 c <b <a解析 ∵y ＝⎝⎛⎭⎫35x是R 上的减函数，∴1335-⎛⎫ ⎪⎝⎭>1435-⎛⎫ ⎪⎝⎭>035⎛⎫ ⎪⎝⎭， 即a >b >1，又c ＝3432-⎛⎫ ⎪⎝⎭<032⎛⎫⎪⎝⎭＝1，∴c <b <a .题组三 易错自纠5．计算：1332-⎛⎫ ⎪⎝⎭×⎝⎛⎭⎫－760＋148×42________. 答案 2解析 原式＝1332⎛⎫⎪⎝⎭×1＋342×142－1323⎛⎫⎪⎝⎭＝2. 6．若函数f (x )＝(a 2－3)·a x 为指数函数，则a ＝______. 答案 2解析 由指数函数的定义可得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－3＝1，a >0，a ≠1，解得a ＝2.7．若函数y ＝(a 2－1)x 在(－∞，＋∞)上为减函数，则实数a 的取值范围是________________． 答案 (－2，－1)∪(1，2)解析 由题意知0<a 2－1<1，即1<a 2<2， 得－2<a <－1或1<a < 2.8．已知函数f (x )＝a x (a >0，a ≠1)在[1,2]上的最大值比最小值大a2，则a 的值为________．答案 12或32解析 当0<a <1时，a －a 2＝a2，∴a ＝12或a ＝0(舍去)．当a >1时，a 2－a ＝a2，∴a ＝32或a ＝0(舍去)．综上所述，a ＝12或32.题型一 指数幂的运算1．若实数a >0，则下列等式成立的是( ) A ．(－2)－2＝4B ．2a －3＝12a3C ．(－2)0＝－1D ．414a -⎛⎫ ⎪⎝⎭＝1a答案 D解析 对于A ，(－2)－2＝14，故A 错误；对于B,2a －3＝2a3，故B 错误；对于C ，(－2)0＝1，故C 错误；对于D ，414a -⎛⎫ ⎪⎝⎭＝1a，故D 正确．2．计算：23278-⎛⎫- ⎪⎝⎭＋120.002-－10(5－2)－1＋π0＝________. 答案 －1679解析 原式＝⎝⎛⎭⎫－32－2＋12500－10(5＋2)(5－2)(5＋2)＋1＝49＋105－105－20＋1＝－1679. 3．化简：()()31211332140.1a b---⎛⎫⋅⎪⎝⎭⋅⋅(a >0，b >0)＝________.答案 85解析 原式＝2×333223322210a b a b--⋅⋅⋅⋅＝21＋3×10－1＝85.4．化简：412333223384a a ba ab a -⎛-÷- ⎝⎭+________(a >0)．答案 a 2解析 原式＝331113332211113333222a a b a a b b ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭122311331115322a a a b a a a ⎛⎫⋅ ⎪-⎝⎭÷⨯⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭5111623331113362.2a a a a b a a b a ⎛⎫=-⨯⨯= ⎪⎝⎭- 思维升华 (1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：①必须同底数幂相乘，指数才能相加； ②运算的先后顺序．(2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数．(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．题型二 指数函数的图象及应用例1 (1)函数f (x )＝a x－b的图象如图所示，其中a ，b 为常数，则下列结论正确的是( )A．a>1，b<0B．a>1，b>0C．0<a<1，b>0D．0<a<1，b<0答案 D解析由f(x)＝a x－b的图象可以观察出，函数f(x)＝a x－b在定义域上单调递减，所以0<a<1，函数f(x)＝a x－b的图象是在y＝a x的基础上向左平移得到的，所以b<0.(2)已知函数f(x)＝|2x－1|，a<b<c且f(a)>f(c)>f(b)，则下列结论中，一定成立的是() A．a<0，b<0，c<0 B．a<0，b≥0，c>0C．2－a<2c D．2a＋2c<2答案 D解析作出函数f(x)＝|2x－1|的图象，如图，∵a<b<c且f(a)>f(c)>f(b)，结合图象知，0<f(a)<1，a<0，c>0，∴0<2a<1.∴f(a)＝|2a－1|＝1－2a<1，∴f(c)<1，∴0<c<1.∴1<2c<2，∴f(c)＝|2c－1|＝2c－1，又∵f(a)>f(c)，∴1－2a>2c－1，∴2a＋2c<2，故选D.思维升华(1)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除．(2)对于有关指数型函数的图象可从指数函数的图象通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．跟踪训练1 (1)已知实数a，b满足等式2 019a＝2 020b，下列五个关系式：①0<b<a；②a<b<0；③0<a<b；④b<a<0；⑤a＝b.其中不可能成立的关系式有()A．1个B．2个C．3个D．4个答案 B解析如图，观察易知，a，b的关系为a<b<0或0<b<a或a＝b＝0.(2)方程2x＝2－x的解的个数是________．答案 1解析方程的解可看作函数y＝2x和y＝2－x的图象交点的横坐标，分别作出这两个函数的图象(如图)．由图象得只有一个交点，因此该方程只有一个解．题型三 指数函数的性质及应用命题点1 比较指数式的大小例2 (1)已知a ＝432，b ＝254，c ＝1325，则( ) A ．b <a <c B ．a <b <c C ．b <c <a D ．c <a <b答案 A解析 由a 15＝15432⎛⎫ ⎪⎝⎭＝220，b 15＝15452⎛⎫⎪⎝⎭＝212，c 15＝255>220，可知b 15<a 15<c 15，所以b <a <c .(2)若－1<a <0，则3a，13a ，a 3的大小关系是__________．(用“>”连接)答案 3a >a 3>13a 解析 易知3a>0，13a<0，a 3<0，又由－1<a <0，得0<－a <1，所以(－a )3<()13a -，即－a 3<－13a ，所以a 3>13a ，因此3a>a 3>13a .命题点2 解简单的指数方程或不等式例3 (1)(2018·包头模拟)已知实数a ≠1，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4x ，x ≥0，2a －x ，x <0，若f (1－a )＝f (a －1)，则a的值为______． 答案 12解析 当a <1时，41－a ＝21，解得a ＝12；当a >1时，代入不成立．故a 的值为12.(2)若偶函数f (x )满足f (x )＝2x －4(x ≥0)，则不等式f (x －2)>0的解集为________________． 答案 {x |x >4或x <0} 解析 ∵f (x )为偶函数，当x <0时，－x >0，则f (x )＝f (－x )＝2－x －4，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －4，x ≥0，2－x －4，x <0，当f (x －2)>0时，有⎩⎪⎨⎪⎧ x －2≥0，2x －2－4>0或⎩⎪⎨⎪⎧x －2<0，2－x ＋2－4>0， 解得x >4或x <0.∴不等式的解集为{x |x >4或x <0}． 命题点3 指数函数性质的综合应用 例4 (1)已知函数f (x )＝2|2x －m |(m 为常数)，若f (x )在区间[2，＋∞)上单调递增，则m 的取值范围是________． 答案 (－∞，4]解析 令t ＝|2x －m |，则t ＝|2x －m |在区间⎣⎡⎭⎫m 2，＋∞上单调递增，在区间⎝⎛⎦⎤－∞，m2上单调递减．而y ＝2t 在R 上单调递增，所以要使函数f (x )＝2|2x －m |在[2，＋∞)上单调递增，则有m2≤2，即m ≤4，所以m 的取值范围是(－∞，4]． (2)函数f (x )＝4x －2x ＋1的单调增区间是________．答案 [0，＋∞)解析 设t ＝2x (t >0)，则y ＝t 2－2t 的单调增区间为[1，＋∞)，令2x ≥1，得x ≥0，又y ＝2x 在R 上单调递增， 所以函数f (x )＝4x －2x ＋1的单调增区间是[0，＋∞)．(3)若函数f (x )＝24313ax x ⎛⎫ ⎪⎝⎭－＋有最大值3，则a ＝________.答案 1解析 令h (x )＝ax 2－4x ＋3，y ＝⎝⎛⎭⎫13h (x )，由于f (x )有最大值3，所以h (x )应有最小值－1， 因此必有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，12a －164a ＝－1，解得a ＝1，即当f (x )有最大值3时，a 的值为1.思维升华 (1)利用指数函数的函数性质比较大小或解方程、不等式，最重要的是“同底”原则，比较大小还可以借助中间量；(2)求解与指数函数有关的复合函数问题，要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断． 跟踪训练2 (1)函数f (x )＝x 2－bx ＋c 满足f (x ＋1)＝f (1－x )，且f (0)＝3，则f (b x )与f (c x )的大小关系是( ) A ．f (b x )≤f (c x ) B ．f (b x )≥f (c x ) C ．f (b x )>f (c x ) D ．与x 有关，不确定答案 A解析 ∵f (x ＋1)＝f (1－x )，∴f (x )关于x ＝1对称， 易知b ＝2，c ＝3，当x ＝0时，b 0＝c 0＝1，∴f (b x )＝f (c x )，当x >0时，3x >2x >1，又f (x )在(1，＋∞)上单调递增，∴f (b x )<f (c x )， 当x <0时，3x <2x <1，又f (x )在(－∞，1)上单调递减， ∴f (b x )<f (c x )， 综上，f (b x )≤f (c x )． (2)已知f (x )＝2x －2－x ，a ＝1479-⎛⎫ ⎪⎝⎭，b ＝1597⎛⎫⎪⎝⎭，则f (a )，f (b )的大小关系是__________． 答案 f (b )<f (a )解析 易知f (x )＝2x －2－x 在R 上为增函数，又a ＝1479-⎛⎫⎪⎝⎭＝1497⎛⎫ ⎪⎝⎭>1597⎛⎫⎪⎝⎭＝b ， ∴f (a )>f (b )．(3)若不等式1＋2x ＋4x ·a ≥0在x ∈(－∞，1]时恒成立，则实数a 的取值范围是____________． 答案 ⎣⎡⎭⎫－34，＋∞ 解析 从已知不等式中分离出实数a ，得a ≥－⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫14x ＋⎝⎛⎭⎫12x .∵函数y ＝⎝⎛⎭⎫14x ＋⎝⎛⎭⎫12x 在R 上是减函数，∴当x ∈(－∞，1]时，⎝⎛⎭⎫14x ＋⎝⎛⎭⎫12x≥14＋12＝34，从而得－⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫14x ＋⎝⎛⎭⎫12x ≤－34. 故实数a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫－34，＋∞.1．设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则a，b，c的大小关系是()A．a<b<c B．a<c<b C．b<a<c D．b<c<a答案 C解析因为函数y＝0.6x在R上单调递减，所以b＝0.61.5<a＝0.60.6<1.又c＝1.50.6>1，所以b<a<c.2．已知函数f(x)＝5x，若f(a＋b)＝3，则f(a)·f(b)等于()A．3 B．4 C．5 D．25答案 A解析∵f(x)＝5x，∴f(a＋b)＝5a＋b＝3，∴f(a)·f(b)＝5a×5b＝5a＋b＝3.故选A. 3．(2018·大连模拟)已知a，b∈(0,1)∪(1，＋∞)，当x>0时，1<b x<a x，则()A．0<b<a<1 B．0<a<b<1C．1<b<a D．1<a<b答案 C解析 ∵当x >0时，1<b x ，∴b >1. ∵当x >0时，b x <a x ，∴当x >0时，⎝⎛⎭⎫a b x>1. ∴ab>1，∴a >b ，∴1<b <a ，故选C. 4．已知f (x )＝3x －b (2≤x ≤4，b 为常数)的图象经过点(2,1)，则f (x )的值域为( ) A ．[9,81] B ．[3,9] C ．[1,9] D ．[1，＋∞) 答案 C解析 由f (x )过定点(2,1)可知b ＝2， 因为f (x )＝3x－2在[2,4]上是增函数，f (x )min ＝f (2)＝1，f (x )max ＝f (4)＝9. 故选C.5．若函数f (x )＝a |2x －4|(a >0，a ≠1)满足f (1)＝19，则f (x )的单调递减区间是( )A ．(－∞，2]B ．[2，＋∞)C ．[－2，＋∞)D ．(－∞，－2]答案 B解析 由f (1)＝19，得a 2＝19，所以a ＝13或a ＝－13(舍去)，即f (x )＝⎝⎛⎭⎫13|2x －4|. 由于y ＝|2x －4|在(－∞，2]上单调递减，在[2，＋∞)上单调递增， 所以f (x )在(－∞，2]上单调递增，在[2，＋∞)上单调递减．故选B.6．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－⎝⎛⎭⎫12x ，a ≤x <0，－x 2＋2x ，0≤x ≤4的值域是[－8,1]，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－3]B ．[－3,0)C ．[－3，－1]D ．{－3} 答案 B解析 当0≤x ≤4时，f (x )∈[－8,1]，当a ≤x <0时，f (x )∈⎣⎡⎭⎫－12a ，－1，所以⎣⎡⎭⎫－12a ，－1 [－8,1]，即－8≤－12a <－1，即－3≤a <0.所以实数a 的取值范围是[－3，0)．7．若“m >a ”是“函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫13x ＋m －13的图象不过第三象限”的必要不充分条件，则实数a 能取的最大整数为________． 答案 －1解析 f (0)＝m ＋23，∴函数f (x )的图象不过第三象限等价于m ＋23≥0，即m ≥－23，∵“m >a ”是“m ≥－23”的必要不充分条件，∴a <－23，则实数a 能取的最大整数为－1.8．不等式222x x －＋>⎝⎛⎭⎫12x ＋4的解集为________．答案 (－1,4)解析 原不等式等价于222x x －＋>2－x －4，又函数y ＝2x 为增函数，∴－x 2＋2x >－x －4， 即x 2－3x －4<0，∴－1<x <4.9．当x ∈(－∞，－1]时，不等式(m 2－m )·4x －2x <0恒成立，则实数m 的取值范围是________． 答案 (－1,2)解析 原不等式变形为m 2－m <⎝⎛⎭⎫12x ， 因为函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x 在(－∞，－1]上是减函数， 所以⎝⎛⎭⎫12x ≥⎝⎛⎭⎫12－1＝2，当x ∈(－∞，－1]时，m 2－m <⎝⎛⎭⎫12x恒成立等价于m 2－m <2，解得－1<m <2.10．已知函数f (x )＝2x－12x ，函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，x ≥0，f (－x )，x <0，则函数g (x )的最小值是________．答案 0解析 当x ≥0时，g (x )＝f (x )＝2x －12x 为单调增函数，所以g (x )≥g (0)＝0；当x <0时，g (x )＝f (－x )＝2－x －12－x ＝12x －2x 为单调减函数，所以g (x )>g (0)＝0，所以函数g (x )的最小值是0.11．已知9x －10·3x ＋9≤0，求函数y ＝⎝⎛⎭⎫14x －1－4⎝⎛⎭⎫12x＋2的最大值和最小值． 解 由9x －10·3x ＋9≤0，得(3x －1)(3x －9)≤0， 解得1≤3x ≤9，即0≤x ≤2.令⎝⎛⎭⎫12x ＝t ，则14≤t ≤1，y ＝4t 2－4t ＋2＝4⎝⎛⎭⎫t －122＋1. 当t ＝12，即x ＝1时，y min ＝1；当t ＝1，即x ＝0时，y max ＝2.12．已知函数f (x )＝b ·a x (其中a ，b 为常量，且a >0，a ≠1)的图象经过点A (1,6)，B (3,24)． (1)求f (x )的表达式；(2)若不等式⎝⎛⎭⎫1a x ＋⎝⎛⎭⎫1b x－m ≥0在(－∞，1]上恒成立，求实数m 的取值范围． 解 (1)因为f (x )的图象过A (1,6)，B (3,24)，所以⎩⎪⎨⎪⎧b ·a ＝6，b ·a 3＝24.所以a 2＝4，又a >0，所以a ＝2，b ＝3. 所以f (x )＝3·2x .(2)由(1)知a ＝2，b ＝3，则当x ∈(－∞，1]时，⎝⎛⎭⎫12x ＋⎝⎛⎭⎫13x－m ≥0恒成立，即m ≤⎝⎛⎭⎫12x ＋⎝⎛⎭⎫13x在(－∞，1]上恒成立．又因为y ＝⎝⎛⎭⎫12x 与y ＝⎝⎛⎭⎫13x 在(－∞，1]上均为减函数，所以y ＝⎝⎛⎭⎫12x ＋⎝⎛⎭⎫13x 在(－∞，1]上也是减函数，所以当x ＝1时，y ＝⎝⎛⎭⎫12x ＋⎝⎛⎭⎫13x 有最小值56，所以m ≤56，即m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，56.13．(2018·呼和浩特调研)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －1，x <1，2x ，x ≥1，则满足f (f (a ))＝2f (a )的a 的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤23，1 B ．[0,1] C.⎣⎡⎭⎫23，＋∞ D ．[1，＋∞) 答案 C解析 令f (a )＝t ，则f (t )＝2t .当t <1时，3t －1＝2t ，令g (t )＝3t －1－2t ，则g ′(t )＝3－2t ln 2，当t <1时，g ′(t )>0，g (t )在 (－∞，1)上单调递增，即g (t )<g (1)＝0，则方程3t －1＝2t 无解．当t ≥1时，2t ＝2t 成立，由f (a )≥1，得a <1，且3a －1≥1，解得23≤a <1；a ≥1，且2a ≥1，解得a ≥1.综上可得a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫23，＋∞.故选C.14．若函数f (x )＝2|x ＋a |(a ∈R )满足f (1－x )＝f (1＋x )，f (x )在区间[m ，n ]上的最大值记为f (x )max ，最小值记为f (x )min ，若f (x )max －f (x )min ＝3，则n －m 的取值范围是______________． 答案 (0,4]解析 因为f (1－x )＝f (1＋x )，所以f (x )的图象关于直线x ＝1对称，所以a ＝－1， 所以f (x )＝2|x －1|.作出函数y ＝f (x )的图象如图所示．当m <n ≤1或1≤m <n 时，离对称轴越远，m 与n 的差越小，由y ＝2x－1与y ＝21－x 的性质知极限值为0.当m <1<n 时，函数f (x )在区间[m ，n ]上的最大值与最小值的差为f (x )max －f (x )min ＝2|±2|－20＝3，则n －m 取得最大值2－(－2)＝4，所以n －m 的取值范围是(0,4]．15．设f (x )＝|2x －1－1|，a <c 且f (a )>f (c )，则2a ＋2c ______4.(选填“>”“<”“＝”) 答案 <解析 f (x )在(－∞，1]上是减函数，在[1，＋∞)上是增函数，故结合条件知必有a <1. 若c ≤1，则2a <2,2c ≤2，故2a ＋2c <4； 若c >1，则由f (a )>f (c )，得1－2a －1>2c －1－1， 即2c －1＋2a －1<2，即2a ＋2c <4. 综上知，总有2a ＋2c <4.16．已知函数f (x )＝14x －λ2x －1＋4(－1≤x ≤2)．(1)若λ＝32，求函数f (x )的值域；(2)若方程f (x )＝0有解，求实数λ的取值范围． 解 (1)f (x )＝14x －λ2x －1＋4＝⎝⎛⎭⎫122x－2λ·⎝⎛⎭⎫12x ＋4(－1≤x ≤2)． 设t ＝⎝⎛⎭⎫12x ，得g (t )＝t 2－2λt ＋4⎝⎛⎭⎫14≤t ≤2. 当λ＝32时，g (t )＝t 2－3t ＋4＝⎝⎛⎭⎫t －322＋74⎝⎛⎭⎫14≤t ≤2. 所以g (t )max ＝g ⎝⎛⎭⎫14＝5316，g (t )min ＝g ⎝⎛⎭⎫32＝74. 所以f (x )max ＝5316，f (x )min ＝74，故函数f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤74，5316. (2)方程f (x )＝0有解可转化为 λ＝2·2x ＋12·12x (－1≤x ≤2)．设φ(x )＝2·2x ＋12·2x ⎝⎛⎭⎫12≤2x ≤4， 当2x ＝12，即x ＝－1时，φ(x )min ＝2；当2x ＝4，即x ＝2时，φ(x )max ＝658. ∴函数φ(x )的值域为⎣⎡⎦⎤2，658. 故实数λ的取值范围是⎣⎡⎦⎤2，658.。