最短路径问题将军饮马问题.ppt
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将军饮马问题(课堂PPT)
A'
M
C . .A
.B
O
.N
D .B '
.
14
（四）二次轴对称：两点在两相交直线内部
• 例4变式2：如图，OMCN是矩形的台球桌面， 有黑、白两球分别位于B、A两点的位置上，
• 试问怎样撞击白球，使白球A依次碰撞球台 边OM、ON后，反弹击中黑球？
C
B N
M A
O
.
15
（四）二次轴对称：两点在两相交直线内部
M
N
C
C'
∵ 直线MN是点B、B’的对称轴， 点C、C’在对称轴上，∴BC=B’C，BB'C’=B’C’．
∴BC+AC = B’C+AC = B’A．
∴BC ’ +AC ’ = B’C ’ +AC ’
在△AB ’ C’中，AB ’ < AC’+B ’ C’，
∴ BC+AC < BC ’ +AC ’ ，即AC+BC最小．
例4变式2：
M
作 法 :(1)作 点 A关 于 O M 的 对 称 点 A',
点 B关 于 O N的 对 称 点 B'.
. ( 2 ) 连 结 A '和 B '， 交 O M 于 C ， 交 O N 于 D 。 A
A.'
则 点 C、 D为 所 求 。
.C
B.
.
N
.D
O
B'
.
16
将军饮马的实质： （1）求最短路线问题------
问：这位将军怎样走路程最短？
A
B
河
.
5
(二)一次轴对称：两点在一条直线同侧
2020中考数学复习 最值问题-将军饮马问题 (51张PPT)
02、将军饮马模型系列 ————“一定两动”之点到点
当P'、N、M、P''共线时，得△PMN周长的最小值，即线段P'P''长，连接OP'、 OP''，可得△OP'P''为等边三角形，所以P'P''=OP'=OP=8．
02、将军饮马模型系列 ————“两定两动”之点到点
在OA、OB上分别取点M、N使得四边 形PMNQ的周长最小。
05、将军过桥
【分析】 考虑MN长度恒定，只要求AM+NB最小值即可。问题 在于AM、NB彼此分离，所以首先通过平移，使AM与 NB连在一起，将AM向下平移使得M、N重合，此时A 点落在A'位置。
问题化为求A'N+NB最小值，显 然，当共线时，值最小，并得出 桥应建的位置．
05、将军过桥
通过几何变换将若干段原本彼此分离线段组合到一起，是解决问题的关键~
此处M点为折点，作点P关于OA对称 的点P'，将折线段PM+MN转化为 P'M+MN，即过点P'作OB垂线分别 交OA、OB于点M、N，得PM+MN 最小值（点到直线的连线中，垂线段 最短）
03、几何图形中的将军饮马
寻找几何图形中 端点关于折点所在直线的对称点位置
03、几何图形中的将军饮马 ----正方形中的“将军饮马”
则PC+PD的最小值为（ ）
A．4
B．5 C．6
D．7
03、几何图形中的将军饮马 ----正方形中的“将军饮马”
【分析】作点C关于P点所在直线AB的对称点C'，当C'、P、D共线时， PC+PD最小，最小值为5，故选B．
《最短路径-将军饮马问题》教学课件ppt
• A2
AB+BC+CA的和
为什么是最小呢？
·
M
A
两点之间
N
线段最短
反思验证
将军饮马问题
为什么AB+BC+CA的和最小？Fra bibliotek情节1：
O
B
C
• A2
A1 •
C′
B′ ·
M
A
N
两点之间 线段最短
反思验证
将军饮马问题
为什么AB+BC+CA的和最小？
情节2： A1 •
O
C
B
·
M
A
• A2
两点之间 线段最短
N
y
4
A′• 3 2 1•P
-4 -3 -2 -1 0 1 -1 -2 -3 -4
•A
2 3•P 4 x
•B
若换成y 轴呢？
一题多变
将军饮马问题
探究3 若将军要先让马到草地OM吃草，再到河边ON喝水 ，最后回到出发点A，你能画出最短路径吗？
O
A
M
N
探究新知
将军饮马问题
分析：1、建模：点在两直线的内部 2、在OM上找点B，在ON上找点C， 使AB+BC+CA的和最小。
O
B
·
M
A
考虑对称点的作用
C
1.将直线同侧两点问题转 化为直线异侧两点问题；
2.利用轴对称的性质可以 将相等线段转化。
N
方法揭晓
将军饮马问题
作法：
1、作点A关于直线OM的对称点A1，点A关于直线ON的对称点A2 ， 2、连接A1，A2，交OM于B，交ON于C,
则路径A-B-C-A是最短路径。
最短路径将军饮马造桥选址ppt课件
沿垂直于河岸方向依次把 B点平移至B１、B２，使 BB１＝PQ，B１B２ ＝ MN ； 连接B２A交于A点相邻河 岸于M点，建桥MN； 连接B１N交B１的对岸于P 点，建桥PQ； 从Ａ点到Ｂ点的最短路径 为ＡM＋MN＋NP＋ＭＮ＋ ＮＰ＋ＰＱ＋ＱＢ转化为 AB2+B2B1+B1B．
A
M
N
P
Q
B2
B1
M N
P Q
G H
B
篮球比赛是根据运动队在规定的比赛 时间里 得分多 少来决 定胜负 的，因 此，篮 球比赛 的计时 计分系 统是一 种得分 类型的 系统
问题解决
沿垂直于河岸方向依次把A点平 移至A１、A２、A3，使AA１＝ MN，A１A２ ＝PQ，A2A3 =GH ； 连接A3B交于B点相邻河岸于H点， 建桥GH； 连接A2G交第二河与G对岸的P点， 建桥PQ； 连接A1P交第一条河与A的对岸 于N点，建桥MN. 此时从A到B点路径最短.
造桥选址问题
如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河 上造一座桥MN.乔早在何处才能使从A到B的 路径AMNB最短？（假定河的两岸是平行的直 线，桥要与河垂直）
A
B
篮球比赛是根据运动队在规定的比赛 时间里 得分多 少来决 定胜负 的，因 此，篮 球比赛 的计时 计分系 统是一 种得分 类型的 系统
如图，平移A到A1，使Ａ A1等于河宽，连接A1Ｂ交
A1
பைடு நூலகம்
M
河岸于Ｎ作桥ＭＮ，此时
路径ＡＭ＋ＭＮ＋ＢＮ最
短.
N
理由；另任作桥Ｍ１Ｎ１，连接ＡＭ１，ＢＮ１，Ａ１Ｎ１.
Ｍ１
Ｎ１
B
由平移性质可知，ＡＭ＝Ａ１Ｎ，ＡＡ１＝ＭＮ＝Ｍ１Ｎ１，ＡＭ１＝Ａ１Ｎ１. AM+MN+BN转化为ＡＡ１＋Ａ１Ｂ，而ＡＭ１＋Ｍ１Ｎ１＋ＢＮ１ 转化 为ＡＡ１＋Ａ１Ｎ１＋ＢＮ１.
人教版数学八年级上册初中数学《最短路径(将军饮马)》公开课课件
分析问题
新知一 两点一线型 问题2 如图，A，B是直线l同侧的两点，在直线l上作一
点C，使AC+BC最小．
A
问题难在哪里？怎么办？
l
C
如点A，B在直线两侧． B
依据：“两点之间，线段最短”
分析问题
问题2 如图，A，B是直线l同侧的两点，在直线l上作一 点C，使AC+BC最小．
能否把点B变到直线l的另一侧？要求？方法？ 对于直线上任一点C有BC=B′C． 作点B关于直线l的对称点B′．
△AMN的周长最小.
作法：过点A分别作关于直线l1，
A2 N
l2
l2的对称点A1，A2，连接A1A2分
A
别交直线l1，l2于点M，N，则 点M，N即为所求.
M
l1
A1
拓展延伸
如图，在直线l1和直线l2上分别找到点M，N，使得
△AMN的周长最小. 解析：通过轴对称的原理，把 周长最小值转化为两点间距离
为两条直线.
l1
A
B l2
你能用数学语言说明这个问题所表达的意思吗？
拓展延伸
如图，在直线l1和直线l2上分别找到点M，N，使得四
边形AMNB的周长最小.
A1
l1
作法：分别作点A，B关于直
线l1，l2的对称点A1，B1，连 接A1B1分别交直线l1，l2于点 M，N，则点M，N即为所求.
M
A
B
N
l2
巩固新知
如图,A,B两个小镇在河的同侧,现要在笔直的河边a 上修建一个自来水厂分别向两个镇供水,如何选择自来 水厂的位置,可使用的水管最短？ A
解：如图,作点B关于河边a的对称点 B′,连接AB′交河边a于点P,则点P所在 的位置为所求的自来水厂的位置.
将军饮马课件ppt
05
将军饮马问题的扩展和挑 战
变种问题
01
02
03
04
障碍物问题
在路径上设置障碍物，求最短 路径时需要避开障碍物。
多点折返问题
在路径上设置多个折返点，求 最短路径时需要多次折返。
限制条件问题
在求最短路径时加入限制条件 ，如步数限制、时间限制等。
动态变化问题
路径长度会随时间或其他因素 变化，需要求最短路径时考虑
这些变化。
计算复杂度
最坏情况下的时间复杂度
在最坏情况下，算法的时间复杂度可 能较高，需要优化算法以降低时间复 杂度。
空间复杂度
并行计算
为了提高算法的效率，可以考虑使用 并行计算来加速计算过程。
算法的空间复杂度也需要考虑，以评 估算法的内存消耗。
实际应用中的限制和优化
数据精度
在实际应用中，需要考虑 数据精度对算法的影响， 以避免误差累积导致结果 不准确。
在车辆调度方面，将军饮马问题同样 适用。通过优化车辆的出发时间和行 驶路线，物流公司可以最大化利用车 辆资源，提高运输效率。
计算机算法
图论算法
将军饮马问题作为图论中的经典问题，可以应用于计算机算法领域。通过解决将军饮马问题，可以开 发出更高效的图论算法，用于解决其他相关问题。
最短路径算法
最短路径算法是计算机算法中的重要组成部分。将军饮马问题可以作为最短路径算法的参考模型，帮 助开发人员找到图中两点之间的最短路径。
03
04
几何法是利用几何知识解决将 军饮马问题的方法。
它通过将问题转化为几何图形 ，利用几何定理和性质来找到
最短路径。
几何法适பைடு நூலகம்于具有明显几何特 征的问题，如两点之间的最短 距离、三角形中的最短路径等
2.将军饮马模型-课件PPT
3
给妹妹讲初中数学
5 真题训练
2023·黑龙江省齐齐哈尔市
4
给妹妹讲初中数学
5 真题训练
2023·黑龙江省绥化市
5
给妹妹讲初中数学
5 真题训练
2023·广西
给妹妹讲初中数学 6
5 真题训练
2023·四川宜宾
给妹妹讲初中数学 7
5 真题训练
2023·湖南省邵阳市
8
给妹妹讲初中数学
5 真题训练
（2个动点不关联，转化为图形到图形的最值问题）
1个图形做对称图形，与另1个图形的最值。
点到点
图形到图形 直线到直线，垂直 直线到圆，过圆心 圆到圆，过两圆圆心
给妹妹讲初中数学 示例图
4 解题技巧
第五步：求最值。
解题技巧
找到图形中的最短值后，根据题意求解值即可。
给妹妹讲初中数学
4 解题技巧
解题技巧
2 模型探究
给妹妹讲初中数学
4 解题技巧
给妹妹讲初中数学
4 解题技巧
给妹妹讲初中数学
4 解题技巧
（2019，陕西）
给妹妹讲初中数学
4 解题技巧
给妹妹讲初中数学
4 解题技巧
给妹妹讲初中数学
4 解题技巧
（2020，云南）
给妹妹讲初中数学
4 解题技巧
（2019，沈阳）
给妹妹讲初中数学
4 解题技巧
1. 找出最值经过的所有点，标记定点和动点。
2. 画出所有动点的运动轨迹。
3. 判断最值的两个端点是动点还是定点。
4. 根据端点情况，做对称点/对称图形。
5. 求最值。
找动点 画轨迹 判两端 做对称 求最值
给妹妹讲初中数学
将军饮马专题ppt课件
第8题图
返回
1 综合训练
1. 如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，点E为AB的中点，M、N是CD上的两 动点，且MN＝1，则EM＋EN的最小值为____。
1 综合训练
2. 如图，在正方形ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点，P为对角线BD上的一个 动点，则下列线段的长等于AP＋EP最小值的是 ____。
之
间
，
线
段
最
短
2
用模型战试题
每一个试题都是模型，每一种模型都有方法
综合训练
针对训练1
2
1. 如图，等边△ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AB 边上一点，且AE＝2，则线段EF＋CF的最小值为( B ) A. 3 B. 2 3 C. 2 D. 2
第1题图
返回
2 针对训练2
两动一定型 2
例7
在∠MON的内部 有一点A，在OM上找 一点B，在ON上找一 点C，使得△BAC周长
最短．
在 OM上找一点C，在 ON上找一点D，使 得四边形ABCD周 长最短．
例9
在∠MON的内部 有一点A，在OM上 找一点B，在ON上 找一点C，使得AB ＋BC最短．
【传说】
早在古罗马时代，传说亚历山大城有一位精通数学 和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程 去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题．
将军每天从军营A出发，先到河边饮马，然后再去 河岸同侧的军营B开会，应该怎样走才能使路程最短 ？这个问题的答案并不难，据说海伦略加思索就解决 了它．
从此以后，这个被称为“将军饮马”的问题便流传至 今．
A. 3 B. 2 3 C. 3 1 D. 3 2
将军饮马问题ppt课件
B 根据： 两点之间线段最短.
5
将军饮马：
例1变式1：已知美羊羊在A地玩耍，这时喜 羊羊在小溪的对面C玩耍，并且AC两地是关 于小溪的对称点，它俩在小溪的任意一点E 处汇合，再一起回家的最短路线是什么？
A
M C
N
B
6
(二)一次轴对称： 两点在一条直线同侧
例2.如图：一位将军骑马从城堡A到城堡B， 途）二次轴对称：两点在两相交直线内部
例4答案：如图,A是马厩,B为帐篷,牧马人某一天要从 马厩牵出马,先到草地边某一处牧马,再到河边饮马, 然后回到帐篷.请你帮他确定这一天的最短路线.
A′ C
D
B′
A B
15
（四）二次轴对称：两点在两相交直线内部
例4变式1：已知： MON和 MON内两点A、B。 求作：点C和点D,使得点C在OM上， 点D在ON上，且AC+CD+BD+AB最短。
M
N
C
C'
∵ 直线MN是点B、B’的对称轴， 点C、C’在对称轴上，∴BC=B’C，BB' C’=B’C’．
∴BC+AC = B’C+AC = B’A．
∴BC ’ +AC ’ = B’C ’ +AC ’
在△AB ’ C’中，AB ’ < AC’+B ’ C’，
∴ BC+AC < BC ’ +AC ’ ，即AC+BC最小．
将军饮马问题
1
2
看图思考： 为什么有的人会经常践踏草地呢？
禁爱止护践草踏坪 绿地里本没有路，走的人多了… …
两点之间，线段最短
3
将军饮马问题：
两线段之和最短这个问题早在古罗马时代就有 了，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者， 名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向 他请教一个百思不得其解的问题：
5
将军饮马：
例1变式1：已知美羊羊在A地玩耍，这时喜 羊羊在小溪的对面C玩耍，并且AC两地是关 于小溪的对称点，它俩在小溪的任意一点E 处汇合，再一起回家的最短路线是什么？
A
M C
N
B
6
(二)一次轴对称： 两点在一条直线同侧
例2.如图：一位将军骑马从城堡A到城堡B， 途）二次轴对称：两点在两相交直线内部
例4答案：如图,A是马厩,B为帐篷,牧马人某一天要从 马厩牵出马,先到草地边某一处牧马,再到河边饮马, 然后回到帐篷.请你帮他确定这一天的最短路线.
A′ C
D
B′
A B
15
（四）二次轴对称：两点在两相交直线内部
例4变式1：已知： MON和 MON内两点A、B。 求作：点C和点D,使得点C在OM上， 点D在ON上，且AC+CD+BD+AB最短。
M
N
C
C'
∵ 直线MN是点B、B’的对称轴， 点C、C’在对称轴上，∴BC=B’C，BB' C’=B’C’．
∴BC+AC = B’C+AC = B’A．
∴BC ’ +AC ’ = B’C ’ +AC ’
在△AB ’ C’中，AB ’ < AC’+B ’ C’，
∴ BC+AC < BC ’ +AC ’ ，即AC+BC最小．
将军饮马问题
1
2
看图思考： 为什么有的人会经常践踏草地呢？
禁爱止护践草踏坪 绿地里本没有路，走的人多了… …
两点之间，线段最短
3
将军饮马问题：
两线段之和最短这个问题早在古罗马时代就有 了，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者， 名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向 他请教一个百思不得其解的问题：
将军饮马微课课件
A、B两村位于一条河的两岸，假定河的两岸笔直且平行，现在要在 河上垂直于河岸建一座桥。问：应把桥建在什么位置，才能使由A 村经过这座桥到B村的最路程最短？
A、B两村位于一条河的两岸，假定河的两岸笔直且平行，现在要在 河上垂直于河岸建一座桥。问：应把桥建在什么位置，才能使由A 村经过这座桥到B村的最路程最短？
A
草地
C D
●
●
B
河流
P
练习2、如图，正方形ABCD的边长是8，DE=2，点F是对角线AC 上的一个动点，则DF+EF的最小值是_____________．
练习3、如图所示，正方形的面积为12，是等边三角形，E 点在正 方形内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小 值为__________
A
●
●
B
A
●
●
B
A
B
P
AP+BP最短？
●
B
A
●
●
P
A’
AP=A’P AP+BP=A’P+BP
●
B
A
●
P A’
●
P
AP=A’P AP+BP=A’P+BP
点A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM,ON上各取一
点B,C,组成三角形，使三角形周长最小。
●
O
N
E
AB=DB AC=EC AB+BC+AC=DB+BC+CE
练习4、如图，在长方形ABCD中，若在AC，AB上各取点M，N， 请作图使BM+NM最小
D M A N B C
练习5、如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为 对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得 到BN，连接EN、AM、CM.
中考复习专题：中考中“将军饮马”问题的常见模型及典型例题 课件(共38张PPT)
x （1）求a，b的值；
（2）点P、Q分别是x轴、y轴上的动点,当四边形PABQ的周长取最小值时.
①求直线PQ的解析式；②求四边形PABQ周长的最小值。
y
y
B．
A
Q
PO
x
B ． B′
A
Q
PO
x
A′
中考复习专题：中考中“将军饮马” 问题的 常见模 型及典 型例题 课件(共38张PPT)
中考复习专题：中考中“将军饮马” 问题的 常见模 型及典 型例题 课件(共38张PPT)
典例探究
例7
如图，已知点A（
1 2
，y1），B（2，y2）为反比例函数
y
1 的图 x
象上的两点，动点P（x，0）在x轴正半轴上运动，当AP-BP最大时，点
P的坐标是（ D ）
A、（ 1 ，0） B、（ 1 ，0） 2
C、（ 3 ，0） 2
D、（ 5 ，0） 2
y
A
y x 5 2
B
O
P
P
x
中考复习专题：中考中“将军饮马” 问题的 常见模 型及典 型例题 课件(共38张PPT)
梳理体系
【将军饮马问题模型5】同侧两点差的最值问题
A
B l
P （1）
|PA-PB|最大问题
A
B
P
l
（2）
|PA-PB|最小问题
中考复习专题：中考中“将军饮马” 问题的 常见模 型及典 型例题 课件(共38张PPT)
中考复习专题：中考中“将军饮马” 问题的 常见模 型及典 型例题 课件(共38张PPT)
y A
D E OC B x
y
A
C
D
E
C′O C
（2）点P、Q分别是x轴、y轴上的动点,当四边形PABQ的周长取最小值时.
①求直线PQ的解析式；②求四边形PABQ周长的最小值。
y
y
B．
A
Q
PO
x
B ． B′
A
Q
PO
x
A′
中考复习专题：中考中“将军饮马” 问题的 常见模 型及典 型例题 课件(共38张PPT)
中考复习专题：中考中“将军饮马” 问题的 常见模 型及典 型例题 课件(共38张PPT)
典例探究
例7
如图，已知点A（
1 2
，y1），B（2，y2）为反比例函数
y
1 的图 x
象上的两点，动点P（x，0）在x轴正半轴上运动，当AP-BP最大时，点
P的坐标是（ D ）
A、（ 1 ，0） B、（ 1 ，0） 2
C、（ 3 ，0） 2
D、（ 5 ，0） 2
y
A
y x 5 2
B
O
P
P
x
中考复习专题：中考中“将军饮马” 问题的 常见模 型及典 型例题 课件(共38张PPT)
梳理体系
【将军饮马问题模型5】同侧两点差的最值问题
A
B l
P （1）
|PA-PB|最大问题
A
B
P
l
（2）
|PA-PB|最小问题
中考复习专题：中考中“将军饮马” 问题的 常见模 型及典 型例题 课件(共38张PPT)
中考复习专题：中考中“将军饮马” 问题的 常见模 型及典 型例题 课件(共38张PPT)
y A
D E OC B x
y
A
C
D
E
C′O C
将军饮马问题课件
问题拓展
已知：在一个角的内部有两点Q、P
求作：点M和点N, 使得点M在 l1 上 ，点N在 l₂ 上 ，
使 QM+MN+PN+PQ
最短。
2
Q
15
问题拓展
已知： MON 内两点A、B 求作：点C和点D, 使得点C在OM上， 点D在ON上，
使 AC+CD+BD+AB 最 短 。
问题特征： 两线两定两动
9
将三条折线段化为一条直线段.
12
练一练 已知P是△ABC的边BC上的点，你能在AB、AC 上 分别确定一点Q和R, 使△PQR的周长最短吗?
13
课堂小结
将军饮马的实质：
(1)求最短路线问题----通过几何变换找对称图形
( 2 ) 把A,B 在直线同侧的问题转化为在直线的两 侧， 化折线为直线
(3)可利用“两点之间线段最短”加以解决 14
?
抽象： 如图，在直线MN上找一点P, 使得PA+PB最小?
N
6
问题分析
如图，在直线上找一点P使得PA+PB最小?
作法：
(1)作点A关于直线 MN 的对称点 A'
(2)连结AB, 交MN于点 P;
∴ 点P就是所求的点.
未命名1.gsp 7
问题分析
作点A关于直线的对称点A', 连接BA', 交MN于点P, 连接AP, 则PA'=PA,
使AB+BC+AC 最 小
作法： (1)作点A关于OM、ON的 对称点A'、A’'
(2)连接A'和A'',交OM于B, 交ON于C.则点B,C为所求.
最短路径问题将军饮马问题教学PPT课件初中数学公开课
10
6
8 图1
如图2，MN是⊙O的直径，MN=2，点
A在⊙O上，∠AMN=30°，B为弧AN的中点，P是直径MN
上一动点，则PA+PB的最小值为
．
图2
谢谢
F
两点之间，线段最短。
FA+FB>AB
化同图侧1为异侧——轴对称变换
图2
化折线为直线——“两点之间、线段最短”
如图1，正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM=2， N是AC上的一动点，DN+MN的最小值为 10 ．
[想一想] 如果把这道题看成“将军 饮马”的问题，你觉得图中 哪条线段可以看成河流，哪 两个点可以看成A和B呢？
看图思考： 为什么有的人会经常践踏草地呢？
爱护草坪
禁止践踏
绿地里本没有路，走的人多了… …
两点之间，线段最短
将军饮马问题
传说古希腊有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一 天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其 解的问题：
将军每天骑马从城堡A出发，先到河边饮马，然后再去 河岸同侧的城堡B开会，应该怎样走才能使路程最短？
A B
河
从此，这个问题被称为“将军饮马问题”而广为流传。 这个问题其实并不难，据说海伦稍加思索就解决了。
探索：1、两定点在一条直线的异侧
例1.如图：古希腊一位将军骑马从城堡A到城堡B，途中马要到河边 饮水一次。问将军怎样走路程最短？
A
最短路线：
C
ACB
依据：两点之间线段最短
河
B
探索：2、两定点在一条直线同侧 例2.如图：一位将军骑马从城堡A到城堡B，
C
∴BC=B’C，BC’=B’C’
B'
初中数学 将军饮马问题----两线段和最小值专题优质PPt课件
D’
图5
Q
E
F
如图6，已知抛物线的解析式为y=-x2-2x+8， 对称轴为x=-1，点E(1，5)在抛物线上，抛物线与x轴的交点坐标为： A(2，0)；B(-4，0)． *（1）作点E关于对称轴的对称点F，则点F 在 (填“在”或“不在”) 抛物线上，其坐标为 (-3，5) ； **（2）在抛物线的对称轴上找一点M，使M E+MC的 和最小，求出点此时M的坐标； ***（3）在AB上存在两个动点P、Q(点P在Q的左侧)， 且PQ=2，连接QC、FP，当四边形PQCF周长最小时， 求点P的坐标； ****（4）若点D是抛物线上的一个动点，连接AD、 OD，将△AOD绕OD折叠，使得点A落在A’处，连接 CA’求CA’的最大值和最小值.
转化思想
F 两点之间，线段最短。
FA+FB>AB
化同侧为异侧——轴对称变换 化折线为直线——“两点之间、线段最短”
图1
图2
如图3，正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM=2， N是AC上的一动点，DN+MN的最小值为 10 ．
[想一想] 如果把这道题看成“将军 饮马”的问题，你觉得图中 哪条线段可以看成河流，哪 两个点可以看成A和B呢？
如图1，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶 ，奶站应建在什么地方，才能使A、B到它的距离之和最短 呢？ 一般做法：作点A（B）关于 直线的对称点，连接A’B， A’B与直线交点即为所求点 。A’B即为最短距离 理由：A’为A的对称点，所 以无论P在直线 任何位置都 能得到AP=A’P。所以 PA+PB=PA’+PB。这样问题就 化成了求A’到B的最短距离 ，直接相连就可以了
D’
图5
图5
Q
E
F
如图6，已知抛物线的解析式为y=-x2-2x+8， 对称轴为x=-1，点E(1，5)在抛物线上，抛物线与x轴的交点坐标为： A(2，0)；B(-4，0)． *（1）作点E关于对称轴的对称点F，则点F 在 (填“在”或“不在”) 抛物线上，其坐标为 (-3，5) ； **（2）在抛物线的对称轴上找一点M，使M E+MC的 和最小，求出点此时M的坐标； ***（3）在AB上存在两个动点P、Q(点P在Q的左侧)， 且PQ=2，连接QC、FP，当四边形PQCF周长最小时， 求点P的坐标； ****（4）若点D是抛物线上的一个动点，连接AD、 OD，将△AOD绕OD折叠，使得点A落在A’处，连接 CA’求CA’的最大值和最小值.
转化思想
F 两点之间，线段最短。
FA+FB>AB
化同侧为异侧——轴对称变换 化折线为直线——“两点之间、线段最短”
图1
图2
如图3，正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM=2， N是AC上的一动点，DN+MN的最小值为 10 ．
[想一想] 如果把这道题看成“将军 饮马”的问题，你觉得图中 哪条线段可以看成河流，哪 两个点可以看成A和B呢？
如图1，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶 ，奶站应建在什么地方，才能使A、B到它的距离之和最短 呢？ 一般做法：作点A（B）关于 直线的对称点，连接A’B， A’B与直线交点即为所求点 。A’B即为最短距离 理由：A’为A的对称点，所 以无论P在直线 任何位置都 能得到AP=A’P。所以 PA+PB=PA’+PB。这样问题就 化成了求A’到B的最短距离 ，直接相连就可以了
D’
图5
人教版八年级数学上册13.4 课题学习 最短路径问题--将军饮马课件
B A
l
我们是怎样解决问题的？说说思考问题的思路．
反思与总结
新知一 两点一线型
实际问题1 图形表示，数学化 几何问题2
轴对称，转化问题 求两点之间线 段最短问题．
实际意义解释
实际问题1的解
几何问题2的解
轴对称，还原问题
B
B
A
A
DC
l
B′
拓展延伸
新知二 两线一点型
如图，将军从A地出发,先到草地边某处巡逻,再到河边 饮马,然后回到A地,应该怎样走才能使路程最短？
A
拓展延伸
这是个实际问题，你能用自己理解的语言描述一下吗？
如图所示，将A地抽象为一个点，将草地边和河边抽象
为两条直线.
l2
A
l1
你能用数学语言说明这个问题所表达的意思吗？
拓展延伸
如图，在直线l1和直线l2上分别找到点M，N，使得 △AMN的周长最小.
l2
A l1
拓展延伸
如图，在直线l1和直线l2上分别找到点M，N，使得
分析问题
新知一 两点一线型 问题2 如图，A，ห้องสมุดไป่ตู้是直线l同侧的两点，在直线l上作一
点C，使AC+BC最小．
A
问题难在哪里？怎么办？
l
C
如点A，B在直线两侧． B
依据：“两点之间，线段最短”
分析问题
问题2 如图，A，B是直线l同侧的两点，在直线l上作一 点C，使AC+BC最小．
能否把点B变到直线l的另一侧？要求？方法？ 对于直线上任一点C有BC=B′C． 作点B关于直线l的对称点B′．
△AMN的周长最小.
作法：过点A分别作关于直线l1，
A2 N
l
我们是怎样解决问题的？说说思考问题的思路．
反思与总结
新知一 两点一线型
实际问题1 图形表示，数学化 几何问题2
轴对称，转化问题 求两点之间线 段最短问题．
实际意义解释
实际问题1的解
几何问题2的解
轴对称，还原问题
B
B
A
A
DC
l
B′
拓展延伸
新知二 两线一点型
如图，将军从A地出发,先到草地边某处巡逻,再到河边 饮马,然后回到A地,应该怎样走才能使路程最短？
A
拓展延伸
这是个实际问题，你能用自己理解的语言描述一下吗？
如图所示，将A地抽象为一个点，将草地边和河边抽象
为两条直线.
l2
A
l1
你能用数学语言说明这个问题所表达的意思吗？
拓展延伸
如图，在直线l1和直线l2上分别找到点M，N，使得 △AMN的周长最小.
l2
A l1
拓展延伸
如图，在直线l1和直线l2上分别找到点M，N，使得
分析问题
新知一 两点一线型 问题2 如图，A，ห้องสมุดไป่ตู้是直线l同侧的两点，在直线l上作一
点C，使AC+BC最小．
A
问题难在哪里？怎么办？
l
C
如点A，B在直线两侧． B
依据：“两点之间，线段最短”
分析问题
问题2 如图，A，B是直线l同侧的两点，在直线l上作一 点C，使AC+BC最小．
能否把点B变到直线l的另一侧？要求？方法？ 对于直线上任一点C有BC=B′C． 作点B关于直线l的对称点B′．
△AMN的周长最小.
作法：过点A分别作关于直线l1，
A2 N
将军饮马课件
学习目标： 1.会将复杂的数学问题转化为线段最值问题，建立线段之和最小值问 题的几何模型。 2.能依据与线段最值相关的知识点，运用模型解决问题。 学习重难点： 从复杂图形中分离出几何模型，并能运用模型解决因动点产生的线 段之和最小值问题。 知识链接： 1.轴对称的性质。 2.勾股定理的应用。
几何最值问题的解决 ——将军饮马
P'N为PM+MN最小值（依据：垂线段最短）
秒杀技巧
对 称一定点，垂 直出最短
模型巧记
将军饮马问题难， 两定一动一直线。 对称转化是关键， 勾股定理帮忙算。
转化思想
模型梳理
B A
A'
对 称一定点 连 接出最短
模型特征： 两个定点，一个动点在一条直线上， 且两个定点在直线的同侧
（简记为：两定一动）
解题步骤：
1.以动点所在直线为对称轴，作一个 定点关于直线的对称点。
2.连接对称点和另一个定点。
则连线即为线段之和的最小值，连线 与动点所在直线的交点即为取得最值 时动点的位置。
x=3
（0,4）
P
4
四边形APCO的周长 =CO+OA+AP+PC =5+AP+PC
四边形APCO周长最小值 =5+BC
1
（1,0）
（5,0）
模型拓展 将军饮马模型系列 ——“一定两动”之点到点
在OA、OB上分别取点M、N，使得△PMN周长最小。 NhomakorabeaP'
思路：此处M、N均为动点，分别作点P关于OAP（'' 动点M所在 直线）、OB（动点N所在直线）的对称点，化折线段 PM+MN+NP为P'M+MN+NP''，当P'、M、N、P''共线时， △PMN周长最小。
几何最值问题的解决 ——将军饮马
P'N为PM+MN最小值（依据：垂线段最短）
秒杀技巧
对 称一定点，垂 直出最短
模型巧记
将军饮马问题难， 两定一动一直线。 对称转化是关键， 勾股定理帮忙算。
转化思想
模型梳理
B A
A'
对 称一定点 连 接出最短
模型特征： 两个定点，一个动点在一条直线上， 且两个定点在直线的同侧
（简记为：两定一动）
解题步骤：
1.以动点所在直线为对称轴，作一个 定点关于直线的对称点。
2.连接对称点和另一个定点。
则连线即为线段之和的最小值，连线 与动点所在直线的交点即为取得最值 时动点的位置。
x=3
（0,4）
P
4
四边形APCO的周长 =CO+OA+AP+PC =5+AP+PC
四边形APCO周长最小值 =5+BC
1
（1,0）
（5,0）
模型拓展 将军饮马模型系列 ——“一定两动”之点到点
在OA、OB上分别取点M、N，使得△PMN周长最小。 NhomakorabeaP'
思路：此处M、N均为动点，分别作点P关于OAP（'' 动点M所在 直线）、OB（动点N所在直线）的对称点，化折线段 PM+MN+NP为P'M+MN+NP''，当P'、M、N、P''共线时， △PMN周长最小。
中考复习专题：中考中“将军饮马”问题的常见模型及典型例题 课件
使得△PBC的周长最小，如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请
说明理由。
y
C
P
A
B
O
x
【技巧】此类问题有一个动点在一条直线上运动，在直线的一侧有两个 定点，先找出其中一个定点关于这条直线的对称点，然后连接这个对称 点和另一个定点，与已知直线有个交点，这个交点就是使得这个动点到 两个定点距离之和最小的点。
y A
D E OC B x
y
A
C
D
E
C′O C
B
x
数学活动室
1.一次函数 y kx b 的图象与x、y轴分别交于点A（2，0）、B
（0，4）.
学 （1）求该函数的解析式；
（2）O为坐标原点，设OA的中点为C，D、P分别为AB、OB上一
以 动点，求△PCD的最小值，并求取得最小值时P点坐标。
y
致
B
用
D P
O CA
x
2020年中考复习专题：中考中“将军 饮马” 问题的 常见模 型及典 型例题 课件(共38张PPT)中考复习课件中 考ppt课 件中考 专题复 习课件 优秀课 件
梳理体系
【将军饮马问题模型4】双动点双对称（四边形周长的最小值问题）
P1
M
a
A
B b
N
P2
2020年中考复习专题：中考中“将军 饮马” 问题的 常见模 型及典 型例题 课件(共38张PPT)中考复习课件中 考ppt课 件中考 专题复 习课件 优秀课 件
数学活动室
1.如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线 y x 4 与x轴交于点A，过点A的抛物线 y ax2 bx与直线 y x 4 交于
另一点B，且点B的横坐标为1．
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两线段之和最短这个问题早在古罗马时代就 有了，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的 学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜 访他，向他请教一个百思不得其解的问题：
将军每天骑马从城堡 A出发，到城堡B，途 中马要到小溪边饮水一次。将军问怎样走路程 最短？
这就是被称为 将军饮马 而广为流传的问题。
如图：一位将军骑马从城堡 A到城堡B，途中马要 到河边饮水一次，问：这位将军怎样走路程最短？
最短路径问题
——将军饮马问题及延伸
为什么有的人会经常践踏草地呢？
两点之间，线段最短
绿地里本没有路，走的人多 了… …
禁止践 踏
在公路l两侧有两村庄，现要在公路l旁修建一 所候车亭P，要使候车亭到两村庄的距离之和最短， 试确定候车亭P的位置。
A P
l
B
★思考：本题运用了 两点之间，线段最短.
.
将
B A
变式1：
已知：? MON内两点A、B.
求作：点 C和点D,使得点C在OM上，点D在ON 上，且AC+CD+BD+AB最短。
A' M
C
A
B
O
N
D
B'
变式2：如图，OMCN是矩形的台球桌面，有黑、 白两球分别位于 B、A两点的位置上，试问怎样 撞击白球，使白球 A依次碰撞球台边 OM、ON 后，反弹击中黑球？
∴ BP+AP=B'P+AP =B'A ．
∴ BP'+AP'= B'P'+AP'
在△ AB'P中' ，AB'<AP'+B'，P'
∴ BP+AP < BP'+A，P'即AP+BP最小．
变式1：
已知：P、Q是△ ABC的边AB、 AC上的点，你能在 BC上确定一点R， 使△ PQR的周长最短吗？
如图：一位将军骑马从驻地 A出发，先牵马去草地
C
M
B N
A O
变式2：
M
作法:(1)作点A关于OM的对称点A',
点B关于O的N 对称点B'.
. (2)连结A'和B'，交OM于C，交ON于D。 A
则 点 C、 D为 所 求 。
B.
.
N
.D
B'
A.' .C
O
课堂小结：
本节课研究问题的基本过程是什么？
把实际问题变成数学问题或数学模型 →推理 →猜想 →证明 ↓
OM吃草，再牵马去河边 ON喝水， 最后回到驻地 A 问：这位将军怎样走路程最短？
M 草地
O
.驻地A
N 河边
如图:已知 ? MON内一点A
求作:OM上一点B,ON上 一点C,使AB+BC+AC最 小
作法: (1)作点A关于OM、
ON的对称点A'、A''
.A B.
O
M
.A .N . C
A''
(2)连结A'和A'，' 交OM于B,交ON于C,则点B、 C为所求。
A
B
作法：
（1）作点B关于直线 MN 的对称点 B' （2）连结B'A，交MN于点 P；
所以 点P就是所求的点．
A
B
M
N
P
B'
证明：
A B
在MN上任取另一点P'， M
N
P
P'
连结BP、BP'、AP'、B'P'． B'
∵ 直线 MN是点B、B'的对称轴，点P、P'在对称轴上， ∴ BP=B'P，BP'=B'P．'
A
M
D
N
C B
谢谢，再见！
变式1：
已知P是△ ABC的边BC上的点，你能在AB、AC上 分别确定一点Q和R，使△ PQR的周长最短吗？
两点在两相交直线内部
如图，A为马厩，B为帐篷，将军某一天要从马 厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河边饮 马，然后回到帐篷，请你帮助确定这一天的最短 路线。
答案：如图,A是马厩,B为帐篷,牧马人某一天要从马厩 牵出马,先到草地边某一处牧马 ,再到河边饮马 ,然后回 到帐篷.请你帮他确定这一天的最短路线 .
应用到实际问题中← 得出结论
今天我们学习了最短路径的相关问题，我们应 该怎么样找到它们的最短路径呢？
1、确定对称轴，找出定点的对称点。 2、连接对称点与另一点确定所求位置点（连接各 对称点确定所求位置点）。
课后拓展：
在矩形ABCD中，在边和对角线AD、BD上有两个动点M、 N,当M、N运动到何处时，BM+MN最短？
将军每天骑马从城堡 A出发，到城堡B，途 中马要到小溪边饮水一次。将军问怎样走路程 最短？
这就是被称为 将军饮马 而广为流传的问题。
如图：一位将军骑马从城堡 A到城堡B，途中马要 到河边饮水一次，问：这位将军怎样走路程最短？
最短路径问题
——将军饮马问题及延伸
为什么有的人会经常践踏草地呢？
两点之间，线段最短
绿地里本没有路，走的人多 了… …
禁止践 踏
在公路l两侧有两村庄，现要在公路l旁修建一 所候车亭P，要使候车亭到两村庄的距离之和最短， 试确定候车亭P的位置。
A P
l
B
★思考：本题运用了 两点之间，线段最短.
.
将
B A
变式1：
已知：? MON内两点A、B.
求作：点 C和点D,使得点C在OM上，点D在ON 上，且AC+CD+BD+AB最短。
A' M
C
A
B
O
N
D
B'
变式2：如图，OMCN是矩形的台球桌面，有黑、 白两球分别位于 B、A两点的位置上，试问怎样 撞击白球，使白球 A依次碰撞球台边 OM、ON 后，反弹击中黑球？
∴ BP+AP=B'P+AP =B'A ．
∴ BP'+AP'= B'P'+AP'
在△ AB'P中' ，AB'<AP'+B'，P'
∴ BP+AP < BP'+A，P'即AP+BP最小．
变式1：
已知：P、Q是△ ABC的边AB、 AC上的点，你能在 BC上确定一点R， 使△ PQR的周长最短吗？
如图：一位将军骑马从驻地 A出发，先牵马去草地
C
M
B N
A O
变式2：
M
作法:(1)作点A关于OM的对称点A',
点B关于O的N 对称点B'.
. (2)连结A'和B'，交OM于C，交ON于D。 A
则 点 C、 D为 所 求 。
B.
.
N
.D
B'
A.' .C
O
课堂小结：
本节课研究问题的基本过程是什么？
把实际问题变成数学问题或数学模型 →推理 →猜想 →证明 ↓
OM吃草，再牵马去河边 ON喝水， 最后回到驻地 A 问：这位将军怎样走路程最短？
M 草地
O
.驻地A
N 河边
如图:已知 ? MON内一点A
求作:OM上一点B,ON上 一点C,使AB+BC+AC最 小
作法: (1)作点A关于OM、
ON的对称点A'、A''
.A B.
O
M
.A .N . C
A''
(2)连结A'和A'，' 交OM于B,交ON于C,则点B、 C为所求。
A
B
作法：
（1）作点B关于直线 MN 的对称点 B' （2）连结B'A，交MN于点 P；
所以 点P就是所求的点．
A
B
M
N
P
B'
证明：
A B
在MN上任取另一点P'， M
N
P
P'
连结BP、BP'、AP'、B'P'． B'
∵ 直线 MN是点B、B'的对称轴，点P、P'在对称轴上， ∴ BP=B'P，BP'=B'P．'
A
M
D
N
C B
谢谢，再见！
变式1：
已知P是△ ABC的边BC上的点，你能在AB、AC上 分别确定一点Q和R，使△ PQR的周长最短吗？
两点在两相交直线内部
如图，A为马厩，B为帐篷，将军某一天要从马 厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河边饮 马，然后回到帐篷，请你帮助确定这一天的最短 路线。
答案：如图,A是马厩,B为帐篷,牧马人某一天要从马厩 牵出马,先到草地边某一处牧马 ,再到河边饮马 ,然后回 到帐篷.请你帮他确定这一天的最短路线 .
应用到实际问题中← 得出结论
今天我们学习了最短路径的相关问题，我们应 该怎么样找到它们的最短路径呢？
1、确定对称轴，找出定点的对称点。 2、连接对称点与另一点确定所求位置点（连接各 对称点确定所求位置点）。
课后拓展：
在矩形ABCD中，在边和对角线AD、BD上有两个动点M、 N,当M、N运动到何处时，BM+MN最短？