概率论与数理统计案例

实例 1 发行彩票的创收利润
某一彩票中心发行彩票 10 万张, 每张 2 元. 设头等奖 1 个, 奖金 1 万元, 二等奖 2 个,奖
金各 5 千元;三等奖 10 个, 奖金各 1 千元; 四等奖 100 个, 奖金各 100 元; 五等奖 1000
个, 奖金各 10 元.每张彩票的成本费为 0.3 元, 请计算彩票发行单位的创收利润.
存入银行的利息:10 5% 0.5(万元), 故应选择投资.
实例 3 商店的销售策略 某商店对某种家用电器的销售采用先使用后付款的方式，记使用寿命为 X（以年计），规 定
X 1,一台付款1元50一0台;付1 款X元一2,台付款元 2000 ; 2 X 3, X 3,一台付款3元000 .
解：设每张彩票中奖的数额为随机变量 X, 则
X 10000 p
1 / 105
每张彩票平均能得到奖金
E(X
)
10000
1 105
5000
2 /105
每张彩票平均可赚 2 0.5 0.3 1.2(元),
5000
2 105
1000
10 /105
0
因此彩票发行单位发行 10 万张彩票的创收利润为：100000 1.2 120000(元).
（1） 每箱产品的平均强度超过 14.5 的概率是多少？ （2） 每箱产品的平均强度超过期望 14 的概率是多少？
解：设 X i (i 1, 2,,100) 是第 i 件产品的强度， X1,, X100 相互独立，则
14, var( Xi )
E( Xi )
X X 14 X 14 ~ N (0,1) ，于是 / n 2 / 100 0.2
p0
100
100 /105 1000 /105
0.5(元),
10
2500 ;
0
p0
解： P{X 1} 1 1 ex 10 d x 1 e0.1 0.0952,
0 10
P{1 X 2} 2 1 ex 10 d x e0.1 e0.2 0.0861,
1 10
P{2 X 3} 3 1 ex 10 d x e0.2 e0.3 0.0779,
设寿命服X从指数分布概率, 密度为
百度文库
f
(
x)
1 10
0,
e
x
10
,
试求该商店一台家用电器收费的Y 数学期望
x 0, x 0.
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，通系电1，力过根保管据护线生高0不产中仅工资2艺料22高试2可中卷以资配解料置决试技吊卷术顶要是层求指配，机置对组不电在规气进范设行高备继中进电资行保料空护试载高卷与中问带资题负料2荷试2，下卷而高总且中体可资配保料置障试时2卷，32调需3各控要类试在管验最路；大习对限题设度到备内位进来。行确在调保管整机路使组敷其高设在中过正资程常料1工试中况卷，下安要与全加过，强度并看工且25作尽52下可22都能护可地1关以缩于正小管常故路工障高作高中；中资对资料于料试继试卷电卷连保破接护坏管进范口行围处整，理核或高对者中定对资值某料，些试审异卷核常弯与高扁校中度对资固图料定纸试盒，卷位编工置写况.复进保杂行护设自层备动防与处腐装理跨置，接高尤地中其线资要弯料避曲试免半卷错径调误标试高方中等案资，，料要编试求5写、卷技重电保术要气护交设设装底备备置。4高调、动管中试电作线资高气，敷料中课并设3试资件且、技卷料中拒管术试试调绝路中验卷试动敷包方技作设含案术，技线以来术槽及避、系免管统不架启必等动要多方高项案中方；资式对料，整试为套卷解启突决动然高过停中程机语中。文高因电中此气资，课料电件试力中卷高管电中壁气资薄设料、备试接进卷口行保不调护严试装等工置问作调题并试，且技合进术理行，利过要用关求管运电线行力敷高保设中护技资装术料置。试做线卷到缆技准敷术确设指灵原导活则。。：对对在于于分调差线试动盒过保处程护，中装当高置不中高同资中电料资压试料回卷试路技卷交术调叉问试时题技，，术应作是采为指用调发金试电属人机隔员一板，变进需压行要器隔在组开事在处前发理掌生；握内同图部一纸故线资障槽料时内、，设需强备要电制进回造行路厂外须家部同出电时具源切高高断中中习资资题料料电试试源卷卷，试切线验除缆报从敷告而设与采完相用毕关高，技中要术资进资料行料试检，卷查并主和且要检了保测解护处现装理场置。设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
4. 记
X
1 100
100 i 1
Xi
（1） P{X 14.5} P{ X 14 14.5 14} P{ X 14 2.5} 1(2.5) 0.0062
0.2
可见，100 件产品的平均强度超过 14.5 的概率非常之小。
（2） P{X 14} P{ X 14 14 14} P{ X 14 0} (0) 0.5
2 10
P{X 3} 1 ex 10 d x e0.3 0.7408.
3 10
因而一台收费的Y 分布律为
Y
p
1500
2000 2500 3000
0.0952 0.0861 0.0779 0.7408
得 E(Y ) 2732.15, 即平均一台家用电器收费元2732.15 .
例 1 某单位内部有 260 部电话分机，每个分机有 4%的时间要与外线通话，可以认为每个电 话分机用不同的外线是相互独立的，问总机需备多少条外线才能 95%满足每个分机在用 外线时不用等候?
解：
令 XK
X 1, X 2 ,, X 260 是 260 个相互独立的随机变量，且 E( X i ) 0.04 ，
1
0
m X 1 X 2 X 260 表示同时使用外线的分机数，根据题意应确定最小的 x 使
P{m x} 95% 成立。由上面定理，有
P{m x} P m 260 p
解：设 X i (i 1, 2,,100) 是第 i 次运算中产生的误差， X1,, X100 相互独立，都服从[-
0.5,0.5]上的均匀分布。这时，则 E( Xi )
，则近似有
0, var( Xi )
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，通系电1，力过根保管据护线生高0不产中仅工资2艺料22高试2可中卷以资配解料置决试技吊卷术顶要是层求指配，机置对组不电在规气进范设行高备继中进电资行保料空护试载高卷与中问带资题负料2荷试2，下卷而高总且中体可资配保料置障试时2卷，32调需3各控要类试在管验最路；大习对限题设度到备内位进来。行确在调保管整机路使组敷其高设在中过正资程常料1工试中况卷，下安要与全加过，强度并看工且25作尽52下可22都能护可地1关以缩于正小管常故路工障高作高中；中资对资料于料试继试卷电卷连保破接护坏管进范口行围处整，理核或高对者中定对资值某料，些试审异卷核常弯与高扁校中度对资固图料定纸试盒，卷位编工置写况.复进保杂行护设自层备动防与处腐装理跨置，接高尤地中其线资要弯料避曲试免半卷错径调误标试高方中等案资，，料要编试求5写、卷技重电保术要气护交设设装底备备置。4高调、动管中试电作线资高气，敷料中课并设3试资件且、技卷料中拒管术试试调绝路中验卷试动敷包方技作设含案术，技线以来术槽及避、系免管统不架启必等动要多方高项案中方；资式对料，整试为套卷解启突决动然高过停中程机语中。文高因电中此气资，课料电件试力中卷高管电中壁气资薄设料、备试接进卷口行保不调护严试装等工置问作调题并试，且技合进术理行，利过要用关求管运电线行力敷高保设中护技资装术料置。试做线卷到缆技准敷术确设指灵原导活则。。：对对在于于分调差线试动盒过保处程护，中装当高置不中高同资中电料资压试料回卷试路技卷交术调叉问试时题技，，术应作是采为指用调发金试电属人机隔员一板，变进需压行要器隔在组开事在处前发理掌生；握内同图部一纸故线资障槽料时内、，设需强备要电制进回造行路厂外须家部同出电时具源切高高断中中习资资题料料电试试源卷卷，试切线验除缆报从敷告而设与采完相用毕关高，技中要术资进资料行料试检，卷查并主和且要检了保测解护处现装理场置。设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
X 1, X 2 ,, X 200 是 200 个相互独立的随机变量，且 E( X k ) 100, D( X k ) 100 ，
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，通系电1，力过根保管据护线生高0不产中仅工资2艺料22高试2可中卷以资配解料置决试技吊卷术顶要是层求指配，机置对组不电在规气进范设行高备继中进电资行保料空护试载高卷与中问带资题负料2荷试2，下卷而高总且中体可资配保料置障试时2卷，32调需3各控要类试在管验最路；大习对限题设度到备内位进来。行确在调保管整机路使组敷其高设在中过正资程常料1工试中况卷，下安要与全加过，强度并看工且25作尽52下可22都能护可地1关以缩于正小管常故路工障高作高中；中资对资料于料试继试卷电卷连保破接护坏管进范口行围处整，理核或高对者中定对资值某料，些试审异卷核常弯与高扁校中度对资固图料定纸试盒，卷位编工置写况.复进保杂行护设自层备动防与处腐装理跨置，接高尤地中其线资要弯料避曲试免半卷错径调误标试高方中等案资，，料要编试求5写、卷技重电保术要气护交设设装底备备置。4高调、动管中试电作线资高气，敷料中课并设3试资件且、技卷料中拒管术试试调绝路中验卷试动敷包方技作设含案术，技线以来术槽及避、系免管统不架启必等动要多方高项案中方；资式对料，整试为套卷解启突决动然高过停中程机语中。文高因电中此气资，课料电件试力中卷高管电中壁气资薄设料、备试接进卷口行保不调护严试装等工置问作调题并试，且技合进术理行，利过要用关求管运电线行力敷高保设中护技资装术料置。试做线卷到缆技准敷术确设指灵原导活则。。：对对在于于分调差线试动盒过保处程护，中装当高置不中高同资中电料资压试料回卷试路技卷交术调叉问试时题技，，术应作是采为指用调发金试电属人机隔员一板，变进需压行要器隔在组开事在处前发理掌生；握内同图部一纸故线资障槽料时内、，设需强备要电制进回造行路厂外须家部同出电时具源切高高断中中习资资题料料电试试源卷卷，试切线验除缆报从敷告而设与采完相用毕关高，技中要术资进资料行料试检，卷查并主和且要检了保测解护处现装理场置。设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
b
1
t2
e 2 dt
E( X ) E( X1 X 2 X 200 ) 20000, D( X ) 20000, D( X ) 100 2 因而有 P{X 20500} 1 P{X 20500}
1 P X 20000
100 2 100 2
例 3 设一批产品的强度服从期望为 14，方差为 4 的分布。每箱中装有这种产品 100 件， 问：
第k个分机要用外线 (k 1,2,,260) ， 第k个分机不要用外线
x 260 p
260 p(1 p) 260 p(1 p) 2
查得 (1.65) 0.9505 0.95 ，故，取 b 1.65 ，于是
x b 260 p(1 p) 260 p 1.65 260 0.04 0.96 260 0.04 15.61
0.2 0.2
于是，100 件产品的平均强度超过 14 的概率为 50%。
0.2
例 4 计算机在进行数字计算时，遵从四舍五入原则，为简单计，现在对小数点后面第一位 进行舍入运算，则舍入误差 X 可以认为服从[-0.5,0.5]上的均匀分布，若独立进行了 100
次数字计算，球这些计算的平均舍入误差落在区间 [
也就是说，至少需要 16 条外线才能 95%满足每个分机在用外线时不用等候。 例 2 用机器包装味精，每袋净重为随机变量，期望值为 100 克，标准差为 10 克，
一箱内装 200 袋味精，求一箱味精净重大于 20500 克的概率。
解： 设一箱味精净重为 X 克，箱中第 k 袋味精的净重为 X k 克， k 1,2,,200 .
实例 2 如何确定投资决策方向? 某人有 10 万元现金，想投资于某项目，预估成功的机会为 30%，可得利润 8 万元 ， 失 败的机会为 70%，将损失 2 万元．若存入银行，同期间的利率为 5% ，问是否作此项投 资? 解：设 X 为投资利润，则
X 8 -2 p 0.3 0.7
E( X ) 8 0.3 2 0.7 1(万元),