吉林大学2015概率论与数理统计大作业完整版

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吉大(2021-2022)学期《概率论与数理统计》在线作业一答案4

吉大（2021-2022）学期《概率论与数理统计》在线作业一试卷总分:100 得分:100一、单选题（共15题，60分）1、设10件产品中只有4件不合格，从中任取两件，已知所取两件产品中有一件是不合格品，另一件也是不合格品的概率为A1/5【B】.1/4【C】.1/3【D】.1/2【正确选择】：A2、参数估计分）为( ）和区间估计A矩法估计【B】.似然估计【C】.点估计【D】.总体估计【正确选择】：C3、射手每次射击的命中率为为0.02，独立射击了400次，设随机变量X为命中的次数，则X 的方差为（）【A】.6【B】.8【C】.10【D】.20【正确选择】：B4、在长度为a的线段内任取两点将其分）成三段，则它们可以构成一个三角形的概率是A1/4 【B】.1/2【C】.1/3【D】.2/3【正确选择】：A5、进行n重伯努利试验，X为n次试验中成功的次数，若已知EX＝12.8，【D】.X=2.56则n=（）【A】.6【B】.8【C】.16【D】.24【正确选择】：C6、已知全集为{1，3，5，7}，集合A＝{1，3}，则A的对立事件为A{1,3}【B】.{1,3,5}【C】.{5,7}【D】.{7}【正确选择】：C7、利用含有待估参数及（ )其它未知参数的估计量，对于给定的样本值进行计算，求出的估计量的值称为该参数的点估计值A不含有【B】.含有【C】.可能【D】.以上都不对【正确选择】：A8、在条件相同的一系列重复观察中，会时而出现时而不出现，呈现出不确定性，并且在每次观察之前不能确定预料其是否出现，这类现象我们称之为A确定现象【B】.随机现象【C】.自然现象【D】.认为现象【正确选择】：B9、事件A与【B】.相互独立的充要条件为AA+【B】.=Ω【B】.P(AB)=P(【B】.)P(A)【C】.AB=Ф【D】.P(A+【B】.)=P(A)+P(【B】.)【正确选择】：B10、任何一个随机变量X，如果期望存在，则它与任一个常数【C】.的和的期望为（）【A】.EX【B】.EX＋【C】.【C】.EX－CD以上都不对【正确选择】：B11、设电路供电网中有10000盏灯，夜晚每一盏灯开着的概率都是0.7，假定各灯开、关时间彼此无关，则同时开着的灯数在6800与7200之间的概率为（）【A】.0.88888【B】.0.77777【C】.0.99999【D】.0.66666【正确选择】：C12、某市有50％住户订日报，有65％住户订晚报，有85％住户至少订这两种报纸中的一种，则同时订两种报纸的住户的百分）比是A20%【B】.30%【C】.40%【D】.15%【正确选择】：B13、不可能事件的概率应该是A1【B】.0.5【C】.2【D】.0【正确选择】：D14、一批10个元件的产品中含有3个废品，现从中任意抽取2个元件，则这2个元件中的废品数X的数学期望为（）【A】.3/5【B】.4/5【C】.2/5【D】.1/5【正确选择】：A15、电路由元件A与两个并联的元件【B】.、【C】.串联而成，若A、【B】.、【C】.损坏与否是相互独立的，且它们损坏的概率依次为0.3，0.2，0.1，则电路断路的概率是A0.325【B】.0.369【C】.0.496【D】.0.314【正确选择】：D二、判断题（共10题，40分）1、对于两个随机变量的联合分）布，两个随机变量的相关系数为0则他们可能是相互独立的。

概率论与数理统计作业及解答

概率论与数理统计作业及解答第一次作业★1. 甲, 乙, 丙三门炮各向同一目标发射一枚炮弹, 设事件A , B , C 分别表示甲, 乙, 丙击中目标, 则三门炮最多有一门炮击中目标如何表示. 事件E ={事件,,A B C 最多有一个发生},则E 的表示为;E ABC ABC ABC ABC =+++或;ABACBC =或;ABACBC =或;ABACBC =或().ABC ABC ABC ABC =-++(和A B +即并A B ,当,A B 互斥即AB φ=时,A B 常记为A B +.) 2. 设M 件产品中含m 件次品, 计算从中任取两件至少有一件次品的概率.221M mM C C --或1122(21)(1)m M m m M C C C m M m M M C -+--=- ★3. 从8双不同尺码鞋子中随机取6只, 计算以下事件的概率.A ={8只鞋子均不成双},B ={恰有2只鞋子成双},C ={恰有4只鞋子成双}.61682616()32()0.2238,143C C P A C ===1414872616()80()0.5594,143C C C P B C === 2212862616()30()0.2098.143C C C P C C === ★4. 设某批产品共50件, 其中有5件次品, 现从中任取3件, 求:(1)其中无次品的概率; (2)其中恰有一件次品的概率.(1)34535014190.724.1960C C == (2)21455350990.2526.392C C C ==5. 从1～9九个数字中, 任取3个排成一个三位数, 求:(1)所得三位数为偶数的概率; (2)所得三位数为奇数的概率.(1){P 三位数为偶数}{P =尾数为偶数4},9=(2){P 三位数为奇数}{P =尾数为奇数5},9=或{P 三位数为奇数}1{P =-三位数为偶数45}1.99=-=6. 某办公室10名员工编号从1到10,任选3人记录其号码,求:(1)最小号码为5的概率;(2)最大号码为5的概率.记事件A ={最小号码为5}, B ={最大号码为5}.(1) 253101();12C P A C ==(2) 243101().20C P B C ==7. 袋中有红、黄、白色球各一个,每次从袋中任取一球,记下颜色后放回,共取球三次,求下列事件的概率:A ={全红},B ={颜色全同},C ={颜色全不同},D ={颜色不全同},E ={无黄色球},F ={无红色且无黄色球},G ={全红或全黄}.311(),327P A ==1()3(),9P B P A ==33333!2(),339A P C ===8()1(),9P D P B =-=3328(),327P E ==311(),327P F ==2()2().27P G P A ==☆.某班n 个男生m 个女生(m ≤n +1)随机排成一列, 计算任意两女生均不相邻的概率.☆.在[0, 1]线段上任取两点将线段截成三段, 计算三段可组成三角形的概率. 14第二次作业 1. 设A , B 为随机事件, P (A )=0.92, P (B )=0.93, (|)0.85P B A =, 求:(1)(|)P A B , (2)()P A B ∪. (1) ()()0.85(|),()0.850.080.068,()10.92P AB P AB P B A P AB P A ====⨯=-()()()()()()P AB P A P AB P A P B P AB =-=-+0.920.930.0680.058,=-+=()0.058(|)0.83.()10.93P AB P A B P B ===-(2)()()()()P A B P A P B P AB =+-0.920.930.8620.988.=+-=2. 投两颗骰子,已知两颗骰子点数之和为7,求其中有一颗为1点的概率. 记事件A ={(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)}, B ={(1,6),(6,1)}. 21(|).63P B A ==★.在1—2000中任取一整数, 求取到的整数既不能被5除尽又不能被7除尽的概率. 记事件A ={能被5除尽}, B ={能被7除尽}.4001(),20005P A ==取整2000285,7⎡⎤=⎢⎥⎣⎦28557(),2000400P B ==200057,57⎡⎤=⎢⎥⨯⎣⎦57(),2000P AB = ()()1()1()()()P AB P A B P A B P A P B P AB ==-=--+1575710.686.54002000=--+=3. 由长期统计资料得知, 某一地区在4月份下雨(记作事件A )的概率为4/15, 刮风(用B 表示)的概率为7/15, 既刮风又下雨的概率为1/10, 求P (A |B )、P (B |A )、P (A B ).()1/103(|),()7/1514P AB P A B P B ===()1/103(|),()4/158P AB P B A P A ===()()()()P A B P A P B P AB =+-47119.15151030=+-=4. 设某光学仪器厂制造的透镜第一次落下时摔破的概率是1/2,若第一次落下未摔破,第二次落下时摔破的概率是7/10,若前二次落下未摔破,第三次落下时摔破的概率是9/10,试求落下三次而未摔破的概率．记事件i A ={第i 次落下时摔破},1,2,3.i = 1231213121793()()(|)(|)111.21010200P A A A P A P A A P A A A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==---= ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭5. 设在n 张彩票中有一张奖券,有3个人参加抽奖,分别求出第一、二、三个人摸到奖券概率．记事件i A ={第i 个人摸到奖券},1,2,3.i =由古典概率直接得1231()()().P A P A P A n ===或212121111()()()(|),1n P A P A A P A P A A n n n-====-31231213121211()()()(|)(|).12n n P A P A A A P A P A A P A A A n n n n--====--或第一个人中奖概率为11(),P A n=前两人中奖概率为12122()()(),P A A P A P A n +=+=解得21(),P A n=前三人中奖概率为1231233()()()(),P A A A P A P A P A n ++=++=解得31().P A n=6. 甲、乙两人射击, 甲击中的概率为0.8, 乙击中的概率为0.7, 两人同时射击, 假定中靶与否是独立的.求(1)两人都中靶的概率; (2)甲中乙不中的概率; (3)甲不中乙中的概率.记事件A ={甲中靶},B ={乙中靶}.(1) ()()()0.70.70.56,P AB P A P B ==⨯=(2) ()()()0.80.560.24,P AB P A P AB =-=-= (3) ()()()0.70.560.14.P AB P B P AB =-=-=★7. 袋中有a 个红球, b 个黑球, 有放回从袋中摸球, 计算以下事件的概率: (1)A ={在n 次摸球中有k 次摸到红球}; (2)B ={第k 次首次摸到红球};(3)C ={第r 次摸到红球时恰好摸了k 次球}.(1) ();()k n kk n kk k nnna b a b P A C C a b a b a b --⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭(2) 11();()k k kb a ab P B a b a b a b --⎛⎫== ⎪+++⎝⎭ (3) 1111().()rk rr k rr r k k ka b a b P C CCa b a b a b ------⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭8.一射手对一目标独立地射击4次, 已知他至少命中一次的概率为80.81求该射手射击一次命中目标的概率.设射击一次命中目标的概率为,1.p q p =-4801121,,1.818133q q p q =-===-= 9. 设某种高射炮命中目标的概率为0.6, 问至少需要多少门此种高射炮进行射击才能以0.99的概率命中目标.(10.6)10.99,n -<-0.40.01,n <由50.40.01024,=60.40.01,<得 6.n ≥ ☆.证明一般加法(容斥)公式1111()()()()(1)().nn n n i i i i j i j k i i i i ji j kP A P A P A A P A A A P A -===<<<=-+++-∑∑∑证明只需证分块111,,k k n k i i i i i i A A A A A A +⊂只计算1次概率．(1,,n i i 是1,,n 的一个排列,1,2,,.k n =)分块概率重数为1,,k i i A A 中任取1个-任取2个1(1)k -++-任取k 个,即121(1)1k k k k k C C C --++-=⇔ 121(1)(11)0.k k k k k k C C C -+++-=-=将,互换可得对偶加法(容斥)公式1111()()()()(1)().nnn n i i i ij ij k i i i i ji j kP A P A P A A P AA A P A -===<<<=-+++-∑∑∑☆.证明若A , B 独立, A , C 独立, 则A , B ∪C 独立的充要条件是A , BC 独立. 证明(())()()()()P A B C P AB AC P AB P AC P ABC ==+- ()()()()()P A P B P A P C P ABC =+- 充分性:⇐(())()()()()(),P A B C P A P B P A P C P ABC =+-代入()()()P ABC P A P BC = ()(()()())P A P B P C P BC =+-()(),P A P B C = 即,A B C 独立. 必要性:⇒(())()()P A B C P A P B C =()(()()())P A P B P C P BC =+-()()()()()()P A P B P A P C P A P BC =+-()()()()()P A P B P A P C P ABC =+- ()()(),P ABC P A P BC =即,A BC 独立.☆.证明：若三个事件A 、B 、C 独立，则A ∪B 、AB 及A －B 都与C 独立．证明因为[()]()()()()()()()()()()()[()()()()]()()()P A B C P AC BC P AC P BC P ABC P A P C P B P C P A P B P C P A P B P A P B P C P A B P C ==+-=+-=+-=[()]()()()()[()()]()()()P AB C P ABC P A P B P C P A P B P C P AB P C ==== [()]()()()()()()()()[()()]()()()P A B C P AC B P AC P ABC P A P C P A P B P C P A P AB P C P A B P C -=-=-=-=-=-所以A ∪B 、AB 及A －B 都与C 独立. 第三次作业1. 在做一道有4个答案的选择题时, 如果学生不知道问题的正确答案时就作随机猜测. 设他知道问题的正确答案的概率为p , 分别就p =0.6和p =0.3两种情形求下列事件概率: (1)学生答对该选择题; (2)已知学生答对了选择题,求学生确实知道正确答案的概率. 记事件A ={知道问题正确答案},B ={答对选择题}.(1) 由全概率公式得()()(|)()(|)P B P A P B A P A P B A =+113,444p pp -=+=+ 当0.6p =时,13130.67()0.7,444410p P B ⨯=+=+==当0.3p =时,13130.319()0.475.444440p P B ⨯=+=+== (2) 由贝叶斯公式得()4(|),13()1344P AB p pP A B p P B p ===++当0.6p =时,440.66(|),13130.67p P A B p ⨯===++⨯ 当0.3p =时,440.312(|).13130.319p P A B p ⨯===++⨯ 2. 某单位同时装有两种报警系统A 与B , 当报警系统A 单独使用时, 其有效的概率为0.70; 当报警系统B 单独使用时, 其有效的概率为0.80.在报警系统A 有效的条件下, 报警系统B 有效的概率为0.84.计算以下概率: (1)两种报警系统都有效的概率; (2)在报警系统B 有效的条件下, 报警系统A 有效的概率; (3)两种报警系统都失灵的概率.()0.7,()0.8,(|)0.84.P A P B P B A ===(1) ()()(|)0.70.840.588,P AB P A P B A ==⨯=(2) ()0.588(|)0.735,()0.8P AB P A B P B === (3) ()()1()1()()()P AB P A B P A B P A P B P AB ==-=--+10.70.80.5880.088.=--+=☆.为防止意外, 在矿内同时设有两种报警系统A 与B . 每种系统单独使用时, 其有效的概率系统A 为0. 92, 系统B 为0.93, 在A 失灵的条件下, B 有效的概率为0.85,. 求: (1)发生意外时, 两个报警系统至少有一个有效的概率; (2) B 失灵的条件下, A 有效的概率.3. 设有甲、乙两袋, 甲袋中有n 只白球, m 只红球; 乙袋中有N 只白球, M 只红球. 从甲袋中任取一球放入乙袋, 在从乙袋中任取一球, 问取到白球的概率是多少. 记事件A ={从甲袋中取到白球},B ={从乙袋中取到白球}. 由全概率公式得()()(|)()(|)P B P A P B A P A P B A =+111n N m Nn m N M n m N M +=+++++++().()(1)n N n m n m N M ++=+++☆.设有五个袋子, 其中两个袋子, 每袋有2个白球, 3个黑球. 另外两个袋子, 每袋有1个白球, 4个黑球, 还有一个袋子有4个白球, 1个黑球. (1)从五个袋子中任挑一袋, 并从这袋中任取一球, 求此球为白球的概率. (2)从不同的三个袋中任挑一袋, 并由其中任取一球, 结果是白球, 问这球分别由三个不同的袋子中取出的概率各是多少？★4. 发报台分别以概率0.6和0.4发出信号 “·” 及 “-”. 由于通信系统受到于扰, 当发出信号 “·” 时, 收报台分别以概率0.8及0.2收到信息 “·” 及 “-”; 又当发出信号 “-” 时, 收报台分别以概率0.9及0.l 收到信号 “-” 及 “·”. 求: (1)收报台收到 “·”的概率;(2)收报台收到“-”的概率;(3)当收报台收到 “·” 时, 发报台确系发出信号 “·” 的概率;(4)收到 “-” 时, 确系发出 “-” 的概率.记事件B ={收到信号 “·”},1A ={发出信号 “·”},2A ={发出信号“-”}. (1) )|()()|()()(2211A B P A P A B P A P B P +=;52.01.04.0)2.01(6.0=⨯+-⨯= (2) ()1()10.520.48;P B P B =-=-=(3) 1111()()(|)(|)()()P A B P A P B A P A B P B P B ==0.60.8120.923;0.5213⨯=== (4)2222()()(|)(|)()()P A B P A P B A P A B P B P B ==0.40.930.75.0.484⨯=== 5. 对以往数据分析结果表明, 当机器调整良好时, 产品合格率为90%, 而机器发生某一故障时, 产品合格率为30%. 每天早上机器开动时, 机器调整良好的概率为75%. (1)求机器产品合格率,(2)已知某日早上第一件产品是合格品, 求机器调整良好的概率. 记事件B ={产品合格},A ={机器调整良好}. (1) 由全概率公式得()()(|)()(|)P B P A P B A P A P B A =+0.750.90.250.30.75,=⨯+⨯= (2) 由贝叶斯公式得()()(|)(|)()()P AB P A P B A P A B P B P B ==0.750.90.9.0.75⨯== ☆.系统(A), (B), (C)图如下, 系统(A), (B)由4个元件组成, 系统(C)由5个元件组成,每个元件的可靠性为p , 即元件正常工作的概率为p , 试求整个系统的可靠性.(A) (B) (C) 记事件A ={元件5正常},B ={系统正常}.(A) 222(|)(1(1)(1))(44),P B A p p p p p =---=-+ (B) 2222(|)1(1)(1)(2),P B A p p p p =---=- (C) 由全概率公式得()()(|)()(|)P B P A P B A P A P B A =+2222(44)(1)(2)p p p p p p p =⋅-++-- 23452252.p p p p =+-+第四次作业1. 在15个同型零件中有2个次品, 从中任取3个, 以X 表示取出的次品的个数, 求X 的分布律.2213315(),0,1,2.k k C C P X k k C -===☆.经销一批水果, 第一天售出的概率是0.5, 每公斤获利8元, 第二天售出的概率是0.4, 每公斤获利5元, 第三天售出的概率是0.1, 每公斤亏损3元. 求经销这批水果每公斤赢利X0,3,(3)(3)0.1,35,()(5)(3)(5)0.10.40.5,58,(8)1,8.x F P X x F x F P X P X x F x <-⎧⎪-==-=-≤<⎪=⎨==-+==+=≤<⎪⎪=≥⎩2. 抛掷一枚不均匀的硬币, 每次出现正面的概率为2/3, 连续抛掷8次, 以X 表示出现正面的次数, 求X 的分布律.(8,2/3),X B n p ==8821(),0,1,,8.33k kk P X k C k -⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3. 一射击运动员的击中靶心的命中率为0.35, 以X 表示他首次击中靶心时累计已射击的次数, 写出X 的分布律, 并计算X 取偶数的概率.(0.35),X G p =11()0.350.65,1,2.k k P X k pq k --===⨯= ()+()=1,()()=,P X P X P X P X q ⎧⎪⎨⎪⎩奇偶偶奇解得0.6513()=0.394.110.6533q P X q ==++偶4. 一商业大厅里装有4个同类型的银行刷卡机, 调查表明在任一时刻每个刷卡机使用的概率为0.1,求在同一时刻:(1)恰有2个刷卡机被使用的概率;(2)至少有3个刷卡机被使用的概率; (3)至多有3个刷卡机被使用的概率;(4)至少有一个刷卡机被使用的概率. 在同一时刻刷卡机被使用的个数(4,0.1).X B n p ==(1) 2224(2)0.10.90.00486,P X C ==⨯⨯= (2) 3344(3)(3)(4)0.10.90.10.0037,P X P X P X C ≥==+==⨯⨯+= (3) 4(3)1(4)10.10.9999,P X P X ≤=-==-=(4)4(1)1(0)10.910.65610.3439.P X P X ≥=-==-=-=5. 某汽车从起点驶出时有40名乘客, 设沿途共有4个停靠站, 且该车只下不上. 每个乘客在每个站下车的概率相等, 并且相互独立, 试求: (1)全在终点站下车的概率; (2)至少有2个乘客在终点站下车的概率; (3)该车驶过2个停靠站后乘客人数降为20的概率. 记事件A ={任一乘客在终点站下车},乘客在终点站下车人数(40,1/4).X B n p ==(1) 40231(40)8.271810,4P X -⎛⎫===⨯ ⎪⎝⎭(2) 403940140313433(2)1(0)(1)1144434P X P X P X C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫≥=-=-==--⨯=-⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭10.0001340880.999865912.=-=(3) 记事件B ={任一乘客在后两站下车},乘客在后两站下车人数(40,1/2).Y B n p ==2020202040404011(20)0.1268.222C P Y C ⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(精确值)应用斯特林公式!2,nn n n e π⎛⎫ ⎪⎝⎭2020202040404011(20)222C P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭24040!(20!)2= 402204040202e e ⎫⎪⎝⎭⎫⎫⎪⎪⎪⎭⎭0.1262.=其中 1.7724538509.π==参:贝努利分布的正态近似.6. 已知瓷器在运输过程中受损的概率是0.002, 有2000件瓷器运到, 求: (1)恰有2个受损的概率; (2)小于2个受损的概率; (3)多于2个受损的概率; (4)至少有1个受损的概率.受损瓷器件数(2000,0.002),X B n p ==近似为泊松分布(4).P n p λ=⨯=(1) 2441480.146525,2!P e e --=== (2) 4424150.0915782,1!P e e --⎛⎫=+== ⎪⎝⎭(3) 431211130.761897,P P P e-=--=-= (4) 4410.981684.P e -=-=7. 某产品表面上疵点的个数X 服从参数为1.2的泊松分布, 规定表面上疵点的个数不超过2个为合格品, 求产品的合格品率.产品合格品率2 1.2 1.21.2 1.212.920.879487.1!2!P e e --⎛⎫=+=== ⎪⎝⎭ ★8. 设随机变量X求:X 的分布函数, 以及概率(||5).X ≤ 随机变量X 的分布函数为0,3,(3)(3)0.2,35,()(5)(3)(5)0.20.50.7,58,(8)1,8.x F P X x F x F P X P X x F x <-⎧⎪-==-=-≤<⎪=⎨==-+==+=≤<⎪⎪=≥⎩(36)(5)0.5,P X P X <≤===(1)(5)(8)0.50.30.8,P X P X P X >==+==+=(5)(||5)(5)(3)(5)0.20.50.7,P X P X F P X P X ≤=≤===-+==+=第五次作业1. 学生完成一道作业的时间X 是一个随机变量(单位: 小时), 其密度函数是2,00.5()0,kx x x f x ⎧+≤≤=⎨⎩其他试求: (1)系数k ; (2)X 的分布函数; (3)在15分钟内完成一道作业的概率; (4)在10到20分钟之间完成一道作业的概率. (1) 0.50.523200111(0.5),21,32248kk F kx xdx x x k ⎛⎫==+=+=+= ⎪⎝⎭⎰(2) 23200,01()()217,00.5,2(0.5)1,0.5.x x F x P X x x xdx x x x F x <⎧⎪⎪=≤=+=+≤<⎨⎪=≥⎪⎩⎰(3) 322011119()2170.140625,442464x F P X x x xdx ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=≤=+=+== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰(4) 3212316111111129217.6336424108P X F F x xdx ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫≤≤=-=+=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰2. 设连续型随机变量X 服从区间[-a , a ](a >0)上的均匀分布, 且已知概率1(1)3P X >=, 求: (1)常数a ; (2)概率1()3P X <.(1) 1111(1),3,223aa P X dx a a a ->====⎰(2) 13311115()3.36639P X dx -⎛⎫<==+= ⎪⎝⎭⎰3. 设某元件的寿命X 服从参数为θ 的指数分布, 且已知概率P (X >50)=e -4, 试求:(1)参数θ 的值; (2)概率P (25<X <100) . 补分布()()|,0.x x xx x S x P X x e dx e ex θθθθ+∞--+∞->==-=>⎰ (1) 504502(50)(50),0.08,25x S P X e dx e e θθθθ+∞---=>=====⎰(2) 由()(),,0,rxr S rx e S x r x θ-==>取50,x =依次令1,2,2r =得12282(25)(25)(50),(100)(100)(50)S P X S e S P X S e --=>===>==0.0003354563,=其中 2.7182818284.e28(25100)(25)(100)P X P X P X e e --<<=>->=- 0.135334650.00033545630.1349991937.=-= 4. 某种型号灯泡的使用寿命X (小时)服从参数为1800的指数分布, 求: (1)任取1只灯泡使用时间超过1200小时的概率; (2)任取3只灯泡各使用时间都超过1200小时的概率. (1) 1312008002(1200)0.2231301602,P X ee -⨯->===1.6487212707001.= (2) 932(1200)0.0111089965.P X e->==5. 设X ~N (0, 1), 求: P (X <0.61), P (-2.62<X <1.25), P (X ≥1.34), P (|X |>2.13). (1) (0.61)(0.61)0.72907,P X <=Φ=(2) ( 2.62 1.25)(1.25)( 2.62)(1.25)(2.62)1P X -<<=Φ-Φ-=Φ+Φ-0.894359956010.88995,=+-=(3) ( 1.34)1(1.34)10.909880.09012,P X >=-Φ=-= (4)(|| 2.13)22(2.13)220.983410.03318.P X >=-Φ=-⨯=6. 飞机从甲地飞到乙地的飞行时间X ~N (4, 19). 设飞机上午10: 10从甲地起飞, 求: (1)飞机下午2: 30以后到达乙地的概率; (2)飞机下午2: 10以前到达乙地的概率; (3)飞机在下午1: 40至2: 20之间到达乙地的概率.(1) 131331/34111(1)10.841340.15866,331/3P X P X -⎛⎫⎛⎫⎛⎫>=-≤=-Φ=-Φ=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭(2) (4)(0)0.5,P X <=Φ=(3) 72525/647/24261/31/3P X --⎛⎫⎛⎫⎛⎫<<=Φ-Φ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭13122⎛⎫⎛⎫=Φ+Φ- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭0.691460.9331910.62465.=+-=★7. 设某校高三女学生的身高X ~N (162, 25), 求: (1)从中任取1个女学生, 求其身高超过165的概率; (2)从中任取1个女学生, 求其身高与162的差的绝对值小于5的概率; (3)从中任取6个女学生, 求其中至少有2个身高超过165的概率.(1) 162165162(165)0.61(0.6)10.72580.2742,55X P X P --⎛⎫>=>==-Φ=-=⎪⎝⎭ (2) 162(|162|5)12(1)120.8413410.6827,5X P X P ⎛-⎫-<=<=Φ-=⨯-= ⎪⎝⎭(3) 记事件A ={任一女生身高超过165}, ()(165)0.2742,p P A P X ==>= 随机变量Y 贝努利分布(6,0.2742),B n p ==6156(2)1(0)(1)1(1)(1)0.52257.P Y P Y P Y p C p p ≥=-=-==----=第六次作业★1.设随机变量X 的分布律为(1)求Y =|X |的分布律; (2)求Y =X 2+X 的分布律. (1)(2)★.定理X 密度为()X f x ,()y g x =严格单调,反函数()x x y =导数连续,则()Y g X =是连续型变量,密度为(())|()|,()(),()0,XY f x y x y g x y g x f y αβ'=<<=⎧=⎨⎩极小值极大值其它. 证明 1)若()0,x x y ''=>{}{()()}{},Y y g X g x X x ≤=≤=≤()()(()())()(),Y X F y P Y y P g X g x P X x F x =≤=≤=≤= 两边对y 求导,()(())(),.Y X f y f x y x y y αβ'=<<2)若()0,x x y ''=<{}{()()}{},Y y g X g x X x ≤=≤=≥()()(()())()1(),Y X F y P Y y P g X g x P X x F x =≤=≤=≥=- 两边对y 求导,()(())(),.Y X f y f x y x y y αβ'=-<<因此总有()(())|()|,.Y X f y f x y x y y αβ'=<< 或证明()(),()0,()()(()())()1(),()0,X Y X P X x F x g x F y P Y y P g X g x P X x F x g x '≤=>⎧=≤=≤=⎨'≥=-<⎩ 两边对y 求导,(),()(),X Y X dF x dxdx dyf y dF x dx dx dy ⎧⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩或两边微分()(),()()()(),X X Y Y X XdF x f x dx dF y f y dy dF x f x dx =⎧==⎨-=-⎩(),()(),X Y X dx f x dy f y dxf x dy ⎧⎪=⎨-⎪⎩(())|()|,.X f x y x y y αβ'=<<2. 设随机变量X 的密度函数是f X (x ), 求下列随机变量函数的密度函数: (1)Y =tan X ; (2)1Y X=; (3)Y =|X |. (1) 反函数()arctan ,x y y ='21(),1x y y =+由连续型随机变量函数的密度公式得'21()(())|()|(arctan ).1Y X Xf y f x y x y f y y ==+ 或反函数支()arctan ,i x y i y i π=+为整数，'21(),1i x y y =+ '21()(())|()|(arctan ).1Y X i iX i i f y f x y x y f i y y π+∞+∞=-∞=-∞==++∑∑(2) 1,X Y =反函数1,y x y ='211()()().Y X y y X f y f x x f y y==(3) ()()(||)()()()Y X X F y P Y y P X y P y X y F y F y =≤=≤=-≤≤=--. 两边对y 求导得Y 的密度函数为()()(),0.Y X X f y f y f y y =+->★3. 设随机变量X ~U [-2, 2], 求Y =4X 2-1的密度函数.2()()(41)(115,Y F y P Y y P X y P X y =≤=-≤=≤=-≤≤两边对y 求导得随机变量Y 的密度为()115.Y f y y =-≤≤ 或解反函数支12()()x y x y =='''112211()(())|()|(())|()|2(())()115.Y X X X f y f x y x y f x y x y f x y x y y =+==-≤≤★4. 设随机变量X 服从参数为1的指数分布, 求Y =X 2的密度函数(Weibull 分布). 当0y ≤时, 2Y X =的分布()0Y F y =,当0y >时,2()()()(Y X F y P Y y P X y P X F =≤=≤=≤= 两边对y 求导得()Y X f y f '==0,()0.Y y f y >=⎩或反函数y x='()()0.Y X y y f y f x x y ==>★5. 设随机变量X~N (0, 1), 求(1)Y =e X 的密度函数; (2)Y =X 2的密度函数(Gamma 分布). (1) 当0y ≤时, e X Y =的分布()0Y F y =,当0y >时,()()(e )(ln )(ln ),X Y F y P Y y P y P X y y =≤=≤=≤=Φ 因而Y 的密度为''1()(ln )(ln )(ln )(ln ),Y f y y y y y y ϕϕ=Φ=={}2(ln ),0,2()0,0.Y y y f y y ->=≤⎩ 或反函数ln ,X Y =ln ,y x y ='1()()(ln )Y y y f y x x y y ϕϕ=={}2(ln ),0.2y y =-> (2) 当0y ≤时,()0Y F y =;当0Y >时,2()()()((Y X X F y P Y y P X y P X F F =≤=≤=≤≤=-.两边对y 求导得Y的密度函数为2,0,()0.yY y f y ->=⎩或反函数支12()()x y x y =''21122()(())|()|(())|()|,0.yY X X f y f x y x y f x y x y y -=+=>6. 设随机变量X 的密度函数是21,1()0,1X x f x x x ⎧>⎪=⎨⎪≤⎩, 求Y =ln X 的概率密度. 反函数,y y x e ='()()(),0.y y y Y X y y X f y f x x f e e e y -===>第七次作业☆.将8个球随机地丢入编号为1, 2, 3, 4, 5的五个盒子中去, 设X 为落入1号盒的球的个数, Y 为落入2号盒的球的个数, 试求X 和Y 的联合分布律.1. 袋中装有标上号码1, 2, 2的3个球, 从中任取一个并且不再放回, 然后再从袋中任取一球,. 以X , Y 分别记第一、二次取到球上的号码数, 求: (1)(X , Y )的联合分布律(设袋中各球被取机会相等); (2)X , Y 的边缘分布律; (3)X 与Y 是否独立？ (1)(X , Y )的联合分布律为(1,1)0,P X Y ===1(1,2)(2,1)(2,2).3P X Y P X Y P X Y =========(2) X , Y 的分布律相同,12(1),(2).33P X P X ====(3) X 与Y 不独立.2. 设二维连续型变量(,)X Y 的联合分布函数35(1)(1),,0,(,)0,.x y e e x y F x y --⎧-->=⎨⎩其它求(,)X Y 联合密度.2(,)(,),f x y F x y x y ∂=∂∂3515,,0,(,)0,.x y e x y f x y --⎧>=⎨⎩其它★3. 设二维随机变量(X , Y )服从D 上的均匀分布, 其中D 是抛物线y =x 2和x =y 2所围成的区域, 试求它的联合密度函数和边缘分布密度函数, 并判断Y X ,是否独立.分布区域面积213123200211,333x S x dx x x ⎛⎫==-=-= ⎪⎝⎭⎰⎰联合密度213,1,(,)0,.x y f x y S ⎧=<<<⎪=⎨⎪⎩其它边缘X的密度为22()),01,X xf x dy x x ==-<<边缘Y的密度为22()),0 1.Y yf y dy y y ==<<(,)()(),X Y f x y f x f y ≠⋅因此X 与Y 不独立.或(,)f x y 非零密度分布范围不是定义在矩形区域上,因此X 与Y 不独立.4. 设二维离散型变量),(Y X 联合分布列是问,p q 取何值时X 与Y两行成比例1/151/52,1/53/103q p ===解得12,.1015p q ==★5.设(,)X Y 的联合密度为2,11,0,(,)0,.y Ax e x y f x y -⎧-<<>=⎨⎩其它求:(1)常数A ;(2)概率1(0,1);2P X Y <<>(3)边缘概率密度f X (x ), f Y (y ); (4)X 与Y 是否相互独立？ (1) 2220()(,),11,y y X f x f x y dy Ax e dy Ax e dy Ax x +∞+∞+∞--====-<<⎰⎰⎰112112()1,3X f x dx Ax dx A --===⎰⎰3.2A = (2) 112201113(0,1)(0)(1).22216ye P X Y P X P Y x dx e dy -+∞-<<>=<<>==⎰⎰ (3) 23(),11,2X f x x x =-<<111221113()(,),0.2y yy Y f y f x y dx Ax e dx e x dx e y ------====>⎰⎰⎰(4)由23,11,0()()(,),20,yX Y x e x y f x f y f x y -⎧-<<>⎪⋅==⎨⎪⎩其它得X 与Y 独立. 或因为2(,),11,0,y f x y Ax e x y -=-<<>可表示为x 的函数与y 的函数的积且分布在矩形区域上,所以X 与Y 相互独立.由此得(),0;y Y f y e y -=>2(),11,X f x Ax x =-<<112112()1,3X f x dx Ax dx A --===⎰⎰3.2A = 112201113(0,1)(0)(1).22216y e P X Y P X P Y x dx e dy -+∞-<<>=<<>==⎰⎰6. 设X 服从均匀分布(0,0.2),U Y 的密度为55,0,()0,y Y e y f y -⎧>=⎨⎩其它.且,X Y 独立.求:(1)X的密度;(2) (,)X Y 的联合密度. (1)X 的密度为()5,00.2,X f x x =≤≤(2)(,)X Y 的联合密度为525,00.2,0,(,)0,y e x y f x y -⎧≤≤>=⎨⎩其它.第八次作业★1.求函数(1)Z 1=X +Y , (2) Z 2=min{X , Y }, (3) Z 3=max{X , Y }的分布律.(1) 11(0)(0),6P Z P X Y =====1111(1)(0,1)(1,0),362P Z P X Y P X Y ====+===+=1111(2)(0,2)(1,1),12126P Z P X Y P X Y ====+===+=11(3)(1,2).6P Z P X Y =====(2) 2111(1)(1,1)(1,2),1264P Z P X Y P X Y ====+===+=223(0)1(1).4P Z P Z ==-==(3) 31(0)(0),6P Z P X Y =====31117(1)(0,1)(1,1)(1,0),312612P Z P X Y P X Y P X Y ====+==+===++=3111(2)(0,2)(1,2).1264P Z P X Y P X Y ====+===+=2. 设随机变量(求函数Z =X /Y 的分布律.(/1)(1)(1)0.250.250.5,P Z X Y P X Y P X Y =====+==-=+= (/1)1(/1)0.5.P Z X Y P Z X Y ==-=-===3. 设X 与Y 相互独立, 概率密度分别为220()00,xX e x f x x -⎧>=⎨≤⎩0()00,y Y e y f y x -⎧>=⎨≤⎩试求Z =X +Y 的概率密度.()(,)()()zzZ X Y f z f x z x dx f x f z x dx =-=-⎰⎰20222(1),0.z zx z x z x z z e e dx e e dx e e z --+----===->⎰⎰★4. 设X ~U (0, 1), Y ~E (1), 且X 与Y 独立, 求函数Z =X +Y 的密度函数.,01,0,(,)0,y e x y f x y -⎧<<>=⎨⎩其它,当01z <≤时,()(,)()()zzZ X Y f z f x z x dx f x f z x dx =-=-⎰⎰01,zz z x z xz x e dx e e -+-+-====-⎰当1z >时,11110()(,)()().zz x z xz z Z X Y x f z f x z x dx f x f z x dx e dx e e e -+-+--==-=-===-⎰⎰⎰因此11,01,(),1,0,.z z z Z e z f z e e z ---⎧-≤≤⎪=->⎨⎪⎩其它★5. 设随机变量(X , Y )的概率密度为()101,0(,)10x y e x y f x y e -+-⎧⎪<<<<+∞=⎨-⎪⎩其它(1)求边缘概率密度f X (x ), f Y (y ); (2)求函数U =max (X , Y )的分布函数; (3)求函数V =min(X , Y )的分布函数.(1) 1,01,()10,xX e x f x e --⎧<<⎪=-⎨⎪⎩其它.,0,()0,y Y e y f y -⎧>=⎨⎩其它. (2) 11000,0,1()(),01,111,1xx x x X X x e e F x f x dx dx x e e x ----≤⎧⎪-⎪===<<⎨--⎪≥⎪⎩⎰⎰.min{,1}10,0,1,01x x e x e --≤⎧⎪=⎨->⎪-⎩. 0,0,()1,0Y yy F y e y -≤⎧=⎨->⎩.21(1),01,()()()11,1x U X Y x e x F x F x F x e e x ---⎧-<<⎪==-⎨⎪-≥⎩. min{,1}1(1)(1),0.1x x e e x e -----=>-(3) 111,0,()1(),01,10,1x X X x e eS x F x x e x ---≤⎧⎪-⎪-=<<⎨-⎪≥⎪⎩.min{,1}111,0,,01x x e e x e---≤⎧⎪=⎨->⎪-⎩.1,0,()1(),0Y Y yy S y F y e y -≤⎧-=⎨>⎩.112111()11,01,()1()()111,1x x x xV X Y e e e e e e x F x S x S x e e x ---------⎧---+-=<<⎪=-=--⎨⎪≥⎩. 1min{,1}111,01x x x e e e x e --------+=>-.6. 设某种型号的电子管的寿命(以小时计)近似地服从N (160, 202)分布. 随机地选取4只求其中没有一只寿命小于180小时的概率.随机变量2(160,20),X N 180160(180)(1)0.84134,20P X -⎛⎫≤=Φ=Φ= ⎪⎝⎭没有一只寿命小于180小时的概率为444(180)(1(1))(10.84134)0.00063368.P X >=-Φ=-=第九次作业★1.试求: E (X ), E (X 2+5), E (|X |).20.110.210.320.130.10.4,i i iEX x p ==-⨯-⨯+⨯+⨯+⨯=∑2222222(2)0.1(1)0.210.320.130.1 2.2,i i iEX x p ==-⨯+-⨯+⨯+⨯+⨯=∑22(5)57.2,E X EX +=+=||||20.110.210.320.130.1 1.2.i i iE X x p ==⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=∑2. 设随机变量X 的概率密度为0 0,() 01, 1.x x f x x x Ae x -⎧≤⎪=<≤⎨⎪>⎩求: (1)常数A ; (2)X 的数学期望.(1) 1100111(),2x f x dx xdx Ae dx Ae +∞+∞--==+=+⎰⎰⎰,2e A =(2) 12100114()2.2323x e e EX xf x dx x dx xe dx e +∞+∞--==+=+⨯=⎰⎰⎰★3. 设球的直径D 在[a , b ]上均匀分布,试求: (1)球的表面积的数学期望(表面积2D π);(2)球的体积的数学期望(体积316D π).(1) 22222()();3ba x E D ED dx a ab b b a ππππ===++-⎰ (2) 33322()().6624b a x E D ED dx a b a b b a ππππ⎛⎫===++ ⎪-⎝⎭⎰ ★4. 设二维离散型随机变量(X , Y )的联合分布律为求E (X ), E (Y ), E (XY ).2(0.10.050.050.1)2(0.10.150.050.1)i i iEX x p ==-⨯++++⨯+++∑20.320.350.1,=-⨯+⨯=1(0.10.050.1)2(0.050.15)j j jEY y p ==⨯+++⨯+∑3(0.050.10.05)4(0.10.20.05) 2.65,+⨯+++⨯++=,()i j i j ijE XY x y p =∑∑2(10.120.0530.0540.01)2(10.120.1530.0540.05)=-⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯+⨯+⨯+⨯ 1.5 1.50.=-+=★5. 设随机变量X 和Y 独立, 且具有概率密度为2,01,()0,X x x f x <<⎧=⎨⎩其它,3(1)3,1,()0, 1.y Y ey f y y --⎧>=⎨≤⎩(1)求(25)E X Y +; (2)求2()E X Y .(1) 112002()2,3X EX xf x dx x dx ===⎰⎰3(1)114()3,3y Y EY yf y dy ye dy +∞+∞--===⎰⎰或随机变量1Z Y =-指数分布(3),E 141,,33EZ EY EY =-==24(25)25258.33E X Y EX EY +=+=⨯+⨯=(2) 11223001()2,2X EX x f x dx x dx ===⎰⎰由X 和Y 独立得22142().233E X Y EX EY ==⨯=第十次作业1. 设离散型随机变量试求: (1) D (X ); (2) D (-3X +2) .(1) 20.110.210.320.130.10.4,i i iEX x p ==-⨯-⨯+⨯+⨯+⨯=∑2222222(2)0.1(1)0.210.320.130.1 2.2,i i iEX x p ==-⨯+-⨯+⨯+⨯+⨯=∑2222.20.4 2.04.DX EX E X =-=-=(2) 2(32)(3)9 2.0418.36.D X DX -+=-=⨯=★2. 设随机变量X 具有概率密度为22,02,()0,Ax x x f x ⎧+<<=⎨⎩其他，试求: (1)常数A ; (2)E (X ); (3) D (X ); (4) D (2X -3) .(1) 22081()(2)4,3f x dx Ax x dx A +∞-∞==+=+⎰⎰解得9.8A =-(2) 22095()(2).86EX xf x dx x x x dx +∞-∞==-+=⎰⎰(3) 22222094()(2),85EX x f x dx x x x dx +∞-∞==-+=⎰⎰2224519.56180DX EX E X ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭(4) 21919(23)24.18045D X DX -==⨯=★3. 设二维随机变量(,)X Y 联合概率密度为2,01,01,(,)0,x y x y f x y --<<<<⎧=⎨⎩其他，试求: (1),X Y 的协方差和相关系数A ; (2)(21).D X Y -+(1) 103()(,)(2),01,2X f x f x y dy x y dy x x +∞-∞==--=-<<⎰⎰由,x y 的对称性3(),0 1.2Y f y y y =-<<1035(),212X EX xf x dx x x dx EY +∞-∞⎛⎫==-== ⎪⎝⎭⎰⎰12222031(),24X EX x f x dx x x dx EY +∞-∞⎛⎫==-== ⎪⎝⎭⎰⎰2221511,412144DX EX E X DY ⎛⎫=-=-== ⎪⎝⎭11001()(,)(2),6E XY xyf x y dydx xy x y dydx +∞+∞-∞-∞==--=⎰⎰⎰⎰ 因此2151(,)(),612144Cov X Y E XY EXEY ⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭,1.11X Y ρ==-(2) 由随机变量和的方差公式()2(,)D X Y DX DX Cov X Y +=++得(21)(2)()2(2,)D X Y D X D Y Cov X Y -+=+-+-22592(1)22(1)(,).144DX DY Cov X Y =+-+⨯⨯-⨯=★4. 设二维随机变量(,)X Y 具有联合分布律试求,,,EX DX EY DY 以及X 和Y 的相关系数. (1) X 的分布列为0.45由变量X 分布对称得0,EX =或10.4500.4510.450,i i iEX x p ==-⨯+⨯+⨯=∑22222(1)0.4500.4510.450.9,i i iEX x p ==-⨯+⨯+⨯=∑220.9.DX EX E X =-=(2) Y 的分布列为j (,)X Y 取值关于原点中心对称由变量Y 分布对称得0,EY =或20.20.250.2520.20,j j iEY y p ==-⨯-++⨯=∑222222(2)0.2(1)0.2510.2520.2 2.1,j j iEY y p ==-⨯+-⨯+⨯+⨯=∑22 2.1.DY EY E Y =-=(3) 由二维变量(,)X Y 的联合分布列关于两坐标轴对称得,()0,i j i j ijE XY x y p ==∑∑(,)()0,Cov X Y E XY EXEY =-=因此,0.X Y ρ==5. 设随机变量X 服从参数为2的泊松分布(2)P ,随机变量Y 服从区间(0,6)上的均匀分布(0,6),U 且,X Y 的相关系数,X Y ρ=记2,Z X Y =-求,.EZ DZ (1) 2,EX =063,2EY +==(2)2223 4.EZ E X Y EX EY =-=-=-⨯=-(2) 2(60)2, 3.12DX DY -===由,X Y ρ==得(,)1,Cov X Y = 由随机变量和的方差公式()2(,)D X Y DX DY Cov X Y +=++得2(2)(2)2(,2)(2)4(,)10.DZ D X Y DX D Y Cov X Y DX DY Cov X Y =-=+-+-=+--=第十一次作业★1. 试用切比雪夫不等式估计下一事件概率至少有多大: 掷1000次均匀硬币, 出现正面的次数在400到600次之间.出现正面的次数~(1000,0.5),X B n p == 10000.5500,EX np ==⨯=10000.50.5250,DX npq ==⨯⨯=应用切比雪夫不等式,有239(400600)(|500|100)1.10040DX P X P X ≤≤=-≤≥-=2. 若每次射击目标命中的概率为0.1, 不断地对靶进行射击, 求在500次射击中, 击中目标的次数在区间(49, 55)内的概率.击中目标的次数~(500,0.1),X B n p ==5000.150,EX np ==⨯=5000.10.945.DX npq ==⨯⨯= 根据中心极限定理,X 近似服从正态分布(50,45).N EX DX ==(4955)P X P ≤≤=≤≤1≈Φ-Φ=Φ+Φ-⎝⎭⎝⎭ (0.74)(0.15)10.77040.559610.33.=Φ+Φ-=+-=★3. 计算器在进行加法时, 将每个加数舍入最靠近它的整数.设所有舍入误差是独立的且在(-0.5, 0.5)上服从均匀分布, (1)若将1500个数相加, 问误差总和的绝对值超过15的概率是多少？(2)最多可有几个数相加使得误差总和的绝对值小于10的概率不小于0.90.(1) 误差变量,1,2,.i X i =⋅⋅⋅独立同均匀分布(0.5,0.5),X U -10,.12EX DX ==由独立变量方差的可加性150011500125,12i i D X =⎛⎫== ⎪⎝⎭∑15001i i X =∑近似(0,125).N15001||15i i P X =⎧⎫>⎨⎬⎩⎭∑15001|ii P X =⎧⎪=>=⎨⎪⎪⎩⎭∑2222(1.34)220.90990.1802.≈-Φ=-Φ=-⨯=⎝⎭(2) 1||10n i i P X =⎧⎫<⎨⎬⎩⎭∑1||n i P X =⎧⎪=<=⎨⎪⎩210.90,⎛≈Φ-≥ ⎝0.95,⎛Φ≥ ⎝1.645,≥2124.4345.1.645n ≤= 因此,最多可有4个数相加,误差总和的绝对值小于10的概率不小于0.90.★4. 一个系统由n 个相互独立的部件所组成, 每个部件的可靠性(即部件正常工作的概率)为0.90. 至少有80%的部件正常工作才能使整个系统正常运行, 问n 至少为多大才能使系统正常运行的可靠性不低于0.95.正常工作的部件数~(,),X B n p 其中0.9.p =0.9,EX np n ==0.09.DX npq n ==(0.8)P X n≥3P ⎛=≥==-⎭0.95,3⎛≈Φ≥ ⎝⎭1.645,24.354.n ≥≥因此n 至少取25.★5. 有一大批电子元件装箱运往外地, 正品率为0.8, 为保证以0.95的概率使箱内正品数多于1000只, 问箱内至少要装多少只元件？正品数~(,),X B n p 其中0.8.p =0.8,EX np n ==0.16.DX npq n ==(1000)P X≥P =≥=0.95,≈Φ≥1.645,0.810000.n ≥-≥ 解得1637.65,n ≥因此n 至少取1638.★.贝努利分布的正态近似.投掷一枚均匀硬币40次出现正面次数20X =的概率. 正面次数(40,1/2),X B n p ==400.520,400.50.510.EX np DX npq ==⨯===⨯⨯= 离散值20X =近似为连续分组区间19.520.5,X <<(20)(19.520.5)P X P X =<<0.16P ⎫=<=⎪⎭2((0.16)0.5)2(0.56360.5)0.1272.=Φ-=⨯-= 第十二次作业★1. 设X 1, X 2, ⋅⋅⋅, X 10为来自N (0, 0.32)的一个样本, 求概率1021{ 1.44}i i P X =>∑.标准化变量(0,1),1,2,...,10.0.3iXN i =由卡方分布的定义,10222211~(10).0.3ii Xχχ==∑1021 1.44i i P X =⎧⎫>⎨⎬⎩⎭∑10222211 1.44(10)160.1,0.30.3i i P X χ=⎧⎫==>=≈⎨⎬⎩⎭∑ 略大,卡方分布上侧分位数20.1(10)15.9872.χ= ★2. 设X 1, X 2, X 3, X 4, X 5是来自正态总体X ~(0, 1)容量为5的样本, 试求常数c , 使得统计量t 分布, 并求其自由度.由独立正态分布的可加性,12(0,2),X X N +标准化变量(0,1),U N =由卡方分布的定义,22222345~(3),X X X χχ=++U 与2χ独立.由t 分布的定义,(3),T t ===因此c =自由度为3.★3. 设112,,,n X X X 为来自N (μ1, σ2)的样本, 212,,,nY Y Y 为来自N (μ2, σ2)的样本, 且两样本相互独立, 2212,S S 分别为两个样本方差, 222112212(1)(1)2pn S n S S n n -+-=+-. 试证明22().p E S σ=证由221112(1)~(1),n S n χσ--及()211(1)1E n n χ-=-得()2211112(1)(1)1,n S E E n n χσ⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭221.ES σ= 类似地222.ES σ=222112212(1)(1)2pn S n S ES E n n ⎛⎫-+-= ⎪+-⎝⎭22212121212(1)(1).22n n ES ES n n n n σ--=+=+-+-。

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《概率论与数理统计》作业集及答案第1章概率论的基本概念§ 1 .1随机试验及随机事件1.(1) 一枚硬币连丢3次，观察正面H、反面T出现的情形.样本空间是：S= __________________________(2)—枚硬币连丢3次，观察出现正面的次数.样本空间是：S= _____________________________________ ;2.(1)丢一颗骰子.A :出现奇数点，贝U A= _________________ ; B:数点大于2，则B=(2)一枚硬币连丢2次， A :第一次出现正面，则A= _________________ ;B:两次出现同一面，则 = ________________ ; C :至少有一次出现正面，则C= § 1 .2随机事件的运算1•设A、B C为三事件，用A B C的运算关系表示下列各事件：(1)A、B、C都不发生表示为： __________ .(2)A 与B都发生，而C不发生表示为：(3)A与B都不发生，而C发生表示为：.(4)A 、B C中最多二个发生表示为：(5)A、B、C中至少二个发生表示为：.(6)A 、B C中不多于一个发生表示为：2.设S = {x : 0 _ x _ 5}, A = {x :1 ：： x _ 3}, B = {x : 2 _ ：： 4}:贝y(1) A 一 B = , (2) AB = , (3) AB = _______________ ,(4) A B = __________________ , (5) AB = ________________________ 。

§ 1 .3概率的定义和性质1.已知P(A B)二0.8, P( A)二0.5, P(B)二0.6，贝U(1) P(AB) = , (2)( P( A B) )= , (3) P(A B)= .2.已知P(A) =0.7, P(AB) =0.3,则P(AB)= .§ 1 .4古典概型1.某班有30个同学，其中8个女同学，随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率，(2)最多有2个女同学的概率,(3)至少有2个女同学的概率.2.将3个不同的球随机地投入到 4个盒子中，求有三个盒子各一球的概率.§ 1 .5条件概率与乘法公式1 •丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为7,则其中一颗为1的概率是 ____________________ 。

2015年XD-概率论与数理统计及答案

西安电子科技大学网络与继续教育学院2015学年上学期《概率论与数理统计》期末考试试题（综合大作业）考试说明：1、大作业于2015年4月3日公布，2015年5月9日前在线提交；2、考试必须独立完成，如发现抄袭、雷同、拷贝均按零分计。

一、选择题（每小题2.5分，共25分） 1、设A 、B 、C 是随机事件，则（ A ）。

A ．()A B B A B ?=- B ．()A B B A -?C ．()()A B C A B C -=-D ．A B AB AB =-2、设甲、乙两人进行象棋比赛，A 表示事件“甲胜乙负”，则A 表示事件（ D ）。

A ．“甲负乙胜” B ．“甲乙平局” C ．“甲负” D ．“甲负或平局”3、设事件A 与事件B 互不相容，则（ D ）。

A ．()0P AB = B ．()()()P AB P A P B =C ．()1()P A P B =-D ．()1P A B = 4、设A B 、互不相容，且()0,()0P A P B >>，则（ A ）。

A ．()0P BA >B ．()()P A B P A =C ．()0P A B =D ．()()()P AB P A P B =5、在下述函数中，可以作为某随机变量的分布函数的是（ B ）。

A ．21(), 1F x x x =-∞<<+∞+ B ．11()arctan , 2F x x x π=+-∞<<+∞C ．1(1), 0()20, 0xe x F x x -⎧->⎪=⎨⎪≤⎩D ．()() ()xF x f x dx x -∞=-∞<<+∞⎰，其中()1f x dx +∞-∞=⎰6、设随机变量~(0,1)X N ，则方程2240t Xt ++=没有实根的概率为（ A ）。

A ．2(2)1Φ- B ．(4)(2)ΦΦ- C ．(4)(2)ΦΦ--- D ．(2)(4)ΦΦ-7、设随机变量~(1,1)X N ，其分布函数为()F x ，概率密度为()f x ，则（ C ）。

大学概率论与数理统计习题及参考答案

P A P AB1 AB2 P AB1 P AB2 P B1 P A B1 P B2 P A B2
2 1 0.97 0.98 有9个是新的。第一次比赛从中任取3个来用，比赛后仍放回盒中，第二次比赛再从盒中任取3个，求第二次取出的球都是新球的概率。解: 设 Bi 表示事件“第一次取出了 i 个新球”i, =0,1,2,3.
从而P( A B) 1 P( AB) 1 0.012 0.988.
10
三、为防止意外, 在矿内同时设有两种报警系统A与B, 每种系统单独使用时, 其有
效的概率系统A为0.92，系统B为0.93, 在A失灵的条件下, B有效的概率为0.85, 求（1）发生意外时, 这两个报警系统至少有一个有效的概率；（2） B失灵的条件下, A有效的概率.
解
设事件A表示“报警系统A有效”，事件B表示“报警系统B有效”，由已知
P ( A) 0.92, P ( B) 0.93, P ( B A) 0.85,
则 P ( AB ) P ( A) P ( B A) 0.08 0.85 0.068 , 故 P( AB) P( B) P( AB) 0.93 0.068 0.862,
AB 6 ; A B 1 ,5 .
1
四、写出下面随机试验的样本空间：（1）袋中有5只球，其中3只白球2只黑球，从袋中任意取一球，观察其颜色；（2）从（1）的袋中不放回任意取两次球（每次取出一个）观察其颜色；（3）从（1）的袋中不放回任意取3只球，记录取到的黑球个数；（4）生产产品直到有10件正品为止，记录生产产品的总件数；解（１）设
i
表示抛掷一颗骰子，出现i点数，i＝1,2,3,4,5,6. 则样本空间

吉大19年9月《概率论与数理统计》作业考核试题1答案

吉大19年9月《概率论与数理统计》作业考核试题-0001试卷总分:100 得分:0一、单选题(共15 道试题,共60 分)1.任何一个随机变量X，如果期望存在，则它与任一个常数C的和的期望为（）A.EXB.EX＋CC.EX－CD.以上都不对正确答案:B2.安培计是以相隔0.1为刻度的，读数时选取最靠近的那个刻度，允许误差为0.02A，则超出允许误差的概率是（）A.0.4B.0.6C.0.2D.0.8正确答案:B3.事件A＝{a,b,c}，事件B={a,b}，则事件A-B为A.{a}B.{b}C.{c}D.{a,b}正确答案:C4.假设一厂家一条自动生产线上生产的每台仪器以概率0.8可以出厂，以概率0.2需进一步调试，经调试后，以概率0.75可以出厂，以概率0.25定为不合格品而不能出厂。

现该厂新生产了十台仪器（假设各台仪器的生产过程相互独立），则十台仪器中能够出厂的仪器期望值为（）A.9.5B.6C.7D.8正确答案:A5.甲乙两人投篮，命中率分别为0.7，0.6，每人投三次，则甲比乙进球数多的概率是A.0.569B.0.856C.0.436D.0.683正确答案:C6.以A表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则A的对立事件为A.甲滞销,乙畅销B.甲乙均畅销C.甲滞销D.甲滞销或乙畅销正确答案:D7.一台仪表是以0.2为刻度的，读数时选取最靠近的那个刻度，则实际测量值与读数之偏差大于0.05概率为（）A.0.1B.0.3C.0.5D.0.7正确答案:C8.事件A与B互不相容的对立事件，则P(A+B)＝A.0B.2C.0.5D.1正确答案:D9.不可能事件的概率应该是A.1B.0.5C.2D.0正确答案:D10.点估计( )给出参数值的误差大小和范围A.能B.不能C.不一定D.以上都不对正确答案:B11.假设事件A和B满足P(A∣B)＝1，则A.A、B为对立事件B.A、B为互不相容事件C.A是B的子集D.P(AB)=P(B)正确答案:D12.利用含有待估参数及（)其它未知参数的估计量，对于给定的样本值进行计算，求出的估计量的值称为该参数的点估计值A.不含有B.含有C.可能D.以上都不对正确答案:A13.进行n重伯努利试验，X为n次试验中成功的次数，若已知EX＝12.8，DX=2.56则n=（）A.6B.8C.16D.24正确答案:C14.事件A与B相互独立的充要条件为A.A+B=ΩB.P(AB)=P(B)P(A)C.AB=ФD.P(A+B)=P(A)+P(B)正确答案:B15.设电路供电网中有10000盏灯，夜晚每一盏灯开着的概率都是0.7，假定各灯开、关时间彼此无关，则同时开着的灯数在6800与7200之间的概率为（）A.0.88888B.0.77777C.0.99999D.0.66666正确答案:C二、判断题(共10 道试题,共40 分)1.如果相互独立的r,s服从N(u,d)和N(v,t)正态分布，那么E(2r+3s)=2u+3vB.正确正确答案:B2.在某多次次随机试验中，某次实验如掷硬币试验，结果一定是不确定的A.错误B.正确正确答案:B3.在掷硬币的试验中每次正反面出现的概率是相同的，这个概率在每次实验中都得到体现A.错误B.正确正确答案:A4.样本平均数是总体的期望的无偏估计。

【奥鹏】[吉林大学]吉大20年4月《概率论与数理统计》作业考核试题

【奥鹏】-[吉林大学]吉大20年4月《概率论与数理统计》作业考核试题试卷总分:100 得分:100第1题,下列哪个符号是表示必然事件的A、θB、δC、ФD、Ω正确答案:D第2题,事件A与B互不相容的对立事件，则P(A+B)＝A、0B、2C、0.5D、1正确答案:D第3题,设A,B为两事件，且P(AB)=0，则A、与B互斥B、AB是不可能事件C、AB未必是不可能事件D、P(A)=0或P(B)=0正确答案:C第4题,三人独立破译一密码，他们能单独译出的概率分别为1/5,1/3,1/4,则此密码被译出的概率是A、2/5B、3/4C、1/5D、3/5正确答案:D第5题,利用样本观察值对总体未知参数的估计称为( )A、点估计B、区间估计C、参数估计D、极大似然估计正确答案:C第6题,设随机变量X和Y独立，如果D（X）＝4，D（Y）＝5，则离散型随机变量Z＝2X+3Y的方差是（）A、61B、43C、33D、51正确答案:A第7题,一台设备由10个独立工作折元件组成，每一个元件在时间T发生故障的概率为0.05。

设不发生故障的元件数为随即变量X,则借助于契比雪夫不等式来估计X和它的数学期望的离差小于2的概率为（）A、0.43B、0.64C、0.88D、0.1正确答案:C第8题,环境保护条例规定，在排放的工业废水中，某有害物质含量不得超过0.5‰ 现取5份水样，测定该有害物质含量，得如下数据：0.53‰,0。

542‰，0.510‰ ，0.495‰ ，0.515‰则抽样检验结果( )认为说明含量超过了规定A、能B、不能C、不一定D、以上都不对正确答案:A第9题,安培计是以相隔0.1为刻度的，读数时选取最靠近的那个刻度，允许误差为0.02A，则超出允许误差的概率是（）A、0.4B、0.6C、0.2D、0.8正确答案:B第10题,电路由元件A与两个并联的元件B、C串联而成，若A、B、C损坏与否是相互独立的，且它们损坏的概率依次为0.3，0.2，0.1，则电路断路的概率是A、0.325B、0.369C、0.496D、0.314正确答案:D第11题,一批10个元件的产品中含有3个废品，现从中任意抽取2个元件，则这2个元件中的废品数X的数学期望为（）A、3/5B、4/5C、2/5D、1/5正确答案:A第12题,设随机变量的数学期望E（ξ）=μ，均方差为σ，则由切比雪夫不等式，有{P （|ξ-μ|≥3σ）}≤（）A、1/9B、1/8C、8/9D、7/8正确答案:A第13题,参数估计分为( ）和区间估计A、矩法估计B、似然估计C、点估计D、总体估计正确答案:C第14题,已知全集为{1，3，5，7}，集合A＝{1，3}，则A的对立事件为A、{1,3}B、{1,3,5}C、{5,7}D、{7}正确答案:C第15题,设服从正态分布的随机变量X的数学期望和均方差分别为10和2，则变量X落在区间（12,14）的概率为（）A、0.1359B、0.2147C、0.3481D、0.2647正确答案:A第16题,样本均值是泊松分布参数的最大似然估计。

吉大秋学期概率论与数理统计在线作业一

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 吉大17秋学期《概率论与数理统计》在线作业一试卷总分：100 测试时间：--单选题判断题、单选题（共 15 道试题，共 60 分。

）1. 设两个相互独立的事件A和B都不发生的概率为1/9，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相等，则P(A)=A. 1/4B. 1/2C. 1/3D. 2/3满分：4 分2. 相继掷硬币两次，则事件A＝{两次出现同一面}应该是A. Ω＝{（正面,反面）,（正面,正面）}B. Ω＝{（正面,反面）,（反面,正面）}C. {（反面,反面）,（正面,正面）}D. {（反面,正面）,（正面,正面）}满分：4 分3. 相继掷硬币两次，则样本空间为A. Ω＝{（正面,反面）,（反面,正面）,（正面,正面）,（反面,反面）}B. Ω＝{（正面,反面）,（反面,正面）}C. {（正面,反面）,（反面,正面）,（正面,正面）}D. {（反面,正面）,（正面,正面）}满分：4 分4. 设离散型随机变量X的取值是在2次独立试验中事件A发生的次数，而在每次试验中事件A发生的概率相同并且已知，又设EX＝1.2。

则随机变量X的方差为（）A. 0.48B. 0.62C. 0.84D. 0.96满分：4 分5. 利用样本观察值对总体未知参数的估计称为( )A. 点估计B. 区间估计C. 参数估计D. 极大似然估计满分：4 分6. 设10件产品中只有4件不合格，从中任取两件，已知所取两件产品中有一件是不合格品，另一件也是不合格品的概率为A. 1/5B. 1/4C. 1/3D. 1/2------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 满分：4 分7. 参数估计分为( ）和区间估计A. 矩法估计B. 似然估计C. 点估计D. 总体估计满分：4 分8. 投掷n枚骰子，则出现的点数之和的数学期望是A. 5n/2B. 3n/2C. 2nD. 7n/2满分：4 分9. 设随机变量X和Y独立，如果D（X）＝4，D（Y）＝5，则离散型随机变量Z＝2X+3Y的方差是（）A. 61B. 43C. 33D. 51满分：4 分10. 袋内装有5个白球，3个黑球，从中一次任取两个，求取到的两个球颜色不同的概率A. 15/28B. 3/28C. 5/28D. 8/28满分：4 分11. 不可能事件的概率应该是A. 1B. 0.5C. 2D. 0满分：4 分12. 随机变量X服从正态分布，其数学期望为25，X落在区间（15,20）内的概率等于0.2,则X落在区间（30,35）内的概率为（）A. 0.1B. 0.2C. 0.3D. 0.4满分：4 分13. 安培计是以相隔0.1为刻度的，读数时选取最靠近的那个刻度，允许误差为0.02A，则超出允许误差的概率是（）A. 0.4B. 0.6------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------C. 0.2D. 0.8满分：4 分14. 设袋中有k号的球k只（k=1,2,…,n),从中摸出一球，则所得号码的数学期望为（）A. （2n+1）/3B. 2n/3C. n/3D. (n+1)/3满分：4 分15. 设电路供电网中有10000盏灯，夜晚每一盏灯开着的概率都是0.7，假定各灯开、关时间彼此无关，则同时开着的灯数在6800与7200之间的概率为（）A. 0.88888B. 0.77777C. 0.99999D. 0.66666满分：4 分判断题1. 样本的统计量一定不含有未知参数。

概率论与数理统计的作业及解答

概率论与数理统计作业及解答第一次作业★1. 甲乙丙三门炮各向同一目标发射一枚炮弹设事件A B C 分别表示甲乙丙击中目标则三门炮最多有一门炮击中目标如何表示. 事件E {事件,,A B C 最多有一个发生},则E 的表示为;E ABCABC ABCABC 或;ABACBC 或;ABACBC 或;ABACBC 或().ABC ABCABC ABC (和A B 即并AB ,当,A B 互斥即AB时AB 常记为AB )2. 设M 件产品中含m 件次品计算从中任取两件至少有一件次品的概率.221Mm M CC或1122(21)(1)mMm mMC CCm Mm M MC★3. 从8双不同尺码鞋子中随机取6只计算以下事件的概率.A {8只鞋子均不成双},B {恰有2只鞋子成双},C {恰有4只鞋子成双}. 61682616()32()0.2238,143C C P A C1414872616()80()0.5594,143C C C P B C2212862616()30()0.2098.143C C C P C C★4. 设某批产品共50件其中有5件次品现从中任取3件求(1)其中无次品的概率 (2)其中恰有一件次品的概率(1)34535014190.724.1960C C(2)21455350990.2526.392C C C5. 从1～9九个数字中任取3个排成一个三位数求(1)所得三位数为偶数的概率 (2)所得三位数为奇数的概率(1){P 三位数为偶数}{P 尾数为偶数4},9(2){P 三位数为奇数}{P 尾数为奇数5},9或{P 三位数为奇数}1{P 三位数为偶数45}1.996.某办公室10名员工编号从1到10任选3人记录其号码求(1)最小号码为5的概率(2)最大号码为5的概率记事件A {最小号码为5}, B {最大号码为5}. (1) 253101();12C P A C(2) 243101().20C P B C7.袋中有红、黄、白色球各一个每次从袋中任取一球记下颜色后放回共取球三次求下列事件的概率:A ={全红}B ={颜色全同}C ={颜色全不同}D ={颜色不全同}E ={无黄色球}F ={无红色且无黄色球}G ={全红或全黄}.311(),327P A 1()3(),9P B P A 33333!2(),339A P C 8()1(),9P D P B3328(),327P E 311(),327P F 2()2().27P G P A ☆.某班n 个男生m 个女生(m n 1)随机排成一列计算任意两女生均不相邻的概率.☆.在[0 1]线段上任取两点将线段截成三段计算三段可组成三角形的概率.14第二次作业1. 设A B 为随机事件P (A)0.92P(B )0.93(|)0.85P B A 求(1)(|)P A B (2)()P A B ∪(1)()()0.85(|),()0.850.080.068,()10.92P AB P AB P B A P AB P A ()()()()()()P AB P A P AB P A P B P AB 0.920.930.0680.058,()0.058(|)0.83.()10.93P AB P A B P B (2)()()()()P AB P A P B P AB 0.920.930.8620.988.2. 投两颗骰子已知两颗骰子点数之和为7求其中有一颗为1点的概率. 记事件A {(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)}, B {(1,6),(6,1)}. 21(|).63P B A ★.在1—2000中任取一整数求取到的整数既不能被5除尽又不能被7除尽的概率记事件A {能被5除尽}, B {能被7除尽}.4001(),20005P A 取整2000285,728557(),2000400P B 200057,5757(),2000P AB ()()1()1()()()P AB P AB P A B P A P B P AB 1575710.686.540020003. 由长期统计资料得知某一地区在4月份下雨(记作事件A )的概率为4/15刮风(用B 表示)的概率为7/15既刮风又下雨的概率为1/10求P (A |B )、P (B |A )、P (A B )()1/103(|),()7/1514P AB P A B P B ()1/103(|),()4/158P AB P B A P A ()()()()P AB P A P B P AB 47119.151510304设某光学仪器厂制造的透镜第一次落下时摔破的概率是1/2若第一次落下未摔破第二次落下时摔破的概率是7/10若前二次落下未摔破第三次落下时摔破的概率是9/10试求落下三次而未摔破的概率．记事件i A ={第i 次落下时摔破}1,2,3.i1231213121793()()(|)(|)111.21010200P A A A P A P A A P A A A 5设在n 张彩票中有一张奖券有3个人参加抽奖分别求出第一、二、三个人摸到奖券概率．记事件i A ={第i 个人摸到奖券}1,2,3.i 由古典概率直接得1231()()().P A P A P A n 或212121111()()()(|),1n P A P A A P A P A A n n n31231213121211()()()(|)(|).12n n P A P A A A P A P A A P A A A nn nn或第一个人中奖概率为11(),P A n 前两人中奖概率为12122()()(),P A A P A P A n解得21(),P A n前三人中奖概率为1231233()()()(),P A A A P A P A P A n解得31().P A n 6甲、乙两人射击甲击中的概率为08乙击中的概率为07两人同时射击假定中靶与否是独立的求(1)两人都中靶的概率 (2)甲中乙不中的概率 (3)甲不中乙中的概率记事件A ={甲中靶}B ={乙中靶}. (1)()()()0.70.70.56,P AB P A P B (2)()()()0.80.560.24,P AB P A P AB (3)()()()0.70.560.14.P AB P B P AB ★7袋中有a 个红球b 个黑球有放回从袋中摸球计算以下事件的概率(1)A {在n 次摸球中有k 次摸到红球}(2)B {第k 次首次摸到红球}(3)C {第r 次摸到红球时恰好摸了k 次球}(1) ();()kn kk n kk k nnna b a bP A CC a b a b a b (2) 11();()k k kbaabP B a b a b a b (3) 1111().()rk rr k rr r k k kaba bP C CCa b a b a b 8一射手对一目标独立地射击4次已知他至少命中一次的概率为80.81求该射手射击一次命中目标的概率设射击一次命中目标的概率为,1.p q p 4801121,,1.818133q qp q9设某种高射炮命中目标的概率为0.6问至少需要多少门此种高射炮进行射击才能以0.99的概率命中目标(10.6)10.99,n0.40.01,n由50.40.01024,60.40.01,得 6.n☆.证明一般加法(容斥)公式1111()()()()(1)().nn n n i i i i j i j k i i i i ji j kP A P A P A A P A A A P A 证明只需证分块111,,kk nki i i ii i A A A A A A 只计算1次概率．(1,,n i i 是1,,n 的一个排列1,2,,.kn )分块概率重数为1,,ki i A A 中任取1个任取2个1(1)k 任取k 个即121(1)1k k kkk C CC121(1)(11)0.kk kk kkC CC将,互换可得对偶加法(容斥)公式1111()()()()(1)().nn n n i i i i j i j k i i i i ji j kP A P A P A A P A A A P A ☆.证明若A B 独立A C 独立则A B ∪C 独立的充要条件是A BC 独立. 证明(())()()()()P A B C P AB AC P AB P AC P ABC ()()()()()P A P B P A P C P ABC 充分性:(())()()()()(),P A BC P A P B P A P C P ABC 代入()()()P ABC P A P BC ()(()()())P A P B P C P BC ()(),P A P B C 即,A B C 独立.必要性:(())()()P A B C P A P B C ()(()()())P A P B P C P BC ()()()()()()P A P B P A P C P A P BC ()()()()()P A P B P A P C P ABC ()()(),P ABC P A P BC 即,A BC 独立.☆.证明：若三个事件A 、B 、C 独立，则A ∪B 、AB 及A －B 都与C 独立．证明因为[()]()()()()()()()()()()()[()()()()]()()()P A B C P AC BC P AC P BC P ABC P A P C P B P C P A P B P C P A P B P A P B P C P AB PC [()]()()()()[()()]()()()P AB C P ABC P A P B P C P A P B P C P AB P C [()]()()()()()()()()[()()]()()()P A B C P AC B P AC P ABC P A P C P A P B P C P A P AB P C P AB PC 所以A ∪B 、AB 及A －B 都与C 独立. 第三次作业1在做一道有4个答案的选择题时如果学生不知道问题的正确答案时就作随机猜测设他知道问题的正确答案的概率为p 分别就p 0.6和p 0.3两种情形求下列事件概率(1)学生答对该选择题 (2)已知学生答对了选择题求学生确实知道正确答案的概率记事件A ={知道问题正确答案}B ={答对选择题}. (1) 由全概率公式得()()(|)()(|)P B P A P B A P A P B A 113,444p p p当0.6p时13130.67()0.7,444410p P B当0.3p 时13130.319()0.475.444440p P B (2) 由贝叶斯公式得()4(|),13()1344P AB p p P A B p P B p当0.6p 时440.66(|),13130.67p P A B p 当0.3p时440.312(|).13130.319p P A B p2某单位同时装有两种报警系统A 与B 当报警系统A 单独使用时其有效的概率为0.70当报警系统B 单独使用时其有效的概率为0.80.在报警系统A 有效的条件下报警系统B 有效的概率为0.84.计算以下概率 (1)两种报警系统都有效的概率 (2)在报警系统B 有效的条件下报警系统A 有效的概率 (3)两种报警系统都失灵的概率.()0.7,()0.8,(|)0.84.P A P B P B A (1) ()()(|)0.70.840.588,P AB P A P B A (2) ()0.588(|)0.735,()0.8P AB P A B P B (3) ()()1()1()()()P AB P A B P A B P A P B P AB 10.70.80.5880.088.☆.为防止意外在矿内同时设有两种报警系统A 与B 每种系统单独使用时其有效的概率系统A 为092系统B 为0.93在A 失灵的条件下B 有效的概率为0.85求: (1)发生意外时两个报警系统至少有一个有效的概率 (2) B 失灵的条件下A 有效的概率3设有甲、乙两袋甲袋中有n 只白球m 只红球乙袋中有N 只白球M 只红球从甲袋中任取一球放入乙袋在从乙袋中任取一球问取到白球的概率是多少记事件A ={从甲袋中取到白球}B ={从乙袋中取到白球}. 由全概率公式得()()(|)()(|)P B P A P B A P A P B A 111n N m N nm NM nm NM().()(1)nN n m n m NM☆.设有五个袋子其中两个袋子每袋有2个白球 3个黑球另外两个袋子每袋有1个白球 4个黑球还有一个袋子有4个白球 1个黑球 (1)从五个袋子中任挑一袋并从这袋中任取一球求此球为白球的概率 (2)从不同的三个袋中任挑一袋并由其中任取一球结果是白球问这球分别由三个不同的袋子中取出的概率各是多少？★4发报台分别以概率06和04发出信号“·”及“”由于通信系统受到于扰当发出信号“·”时收报台分别以概率08及02收到信息“·”及“”又当发出信号“”时收报台分别以概率09及0l 收到信号“”及“·”求: (1)收报台收到“·”的概率(2)收报台收到“”的概率(3)当收报台收到“·”时发报台确系发出信号“·”的概率(4)收到“”时确系发出“”的概率记事件B ={收到信号“·”}1A ={发出信号“·”}2A ={发出信号“”}. (1) )|()()|()()(2211A B P A P A B P A P B P ;52.01.04.0)2.01(6.0(2) ()1()10.520.48;P B P B (3) 1111()()(|)(|)()()P A B P A P B A P A B P B P B 0.60.8120.923;0.5213(4)2222()()(|)(|)()()P A B P A P B A P A B P B P B 0.40.930.75.0.4845对以往数据分析结果表明当机器调整良好时产品合格率为90%而机器发生某一故障时产品合格率为30%每天早上机器开动时机器调整良好的概率为75%(1)求机器产品合格率(2)已知某日早上第一件产品是合格品求机器调整良好的概率记事件B ={产品合格}A ={机器调整良好}. (1) 由全概率公式得()()(|)()(|)P B P A P B A P A P B A 0.750.90.250.30.75,(2) 由贝叶斯公式得()()(|)(|)()()P AB P A P B A P A B P B P B 0.750.90.9.0.75☆.系统(A) (B) (C)图如下系统(A) (B)由4个元件组成系统(C)由5个元件组成每个元件的可靠性为p 即元件正常工作的概率为p 试求整个系统的可靠性. (A) (B) (C) 记事件A ={元件5正常}B ={系统正常}. (A) 222(|)(1(1)(1))(44),P B A p p p p p (B) 2222(|)1(1)(1)(2),P B A p p p p (C) 由全概率公式得()()(|)()(|)P B P A P B A P A P B A 2222(44)(1)(2)p p pp p p p 23452252.pp p p 第四次作业1在15个同型零件中有2个次品从中任取3个以X 表示取出的次品的个数求X 的分布律.2213315(),0,1,2.k k C C P Xk k CX0 1 2 P22/35 12/35 1/35☆.经销一批水果第一天售出的概率是0.5每公斤获利8元第二天售出的概率是0.4每公斤获利5元第三天售出的概率是0.1每公斤亏损3元求经销这批水果每公斤赢利X 的概率分布律和分布函数X 3 5 8P0.10.40.50,3,(3)(3)0.1,35,()(5)(3)(5)0.10.40.5,58,(8)1,8.xF P X xF x F P XP Xx F x2抛掷一枚不均匀的硬币每次出现正面的概率为2/3连续抛掷8次以X 表示出现正面的次数求X 的分布律.(8,2/3),XB np8821(),0,1,,8.33kkk P Xk Ck 3一射击运动员的击中靶心的命中率为0.35以X 表示他首次击中靶心时累计已射击的次数写出X 的分布律并计算X 取偶数的概率(0.35),XG p11()0.350.65,1,2.k k P Xk pqk()+()=1,()()=,P X P X P X P X q奇偶偶奇解得0.6513()=0.394.110.6533q P X q偶4一商业大厅里装有4个同类型的银行刷卡机调查表明在任一时刻每个刷卡机使用的概率为0.1求在同一时刻(1)恰有2个刷卡机被使用的概率(2)至少有3个刷卡机被使用的概率(3)至多有3个刷卡机被使用的概率(4)至少有一个刷卡机被使用的概率在同一时刻刷卡机被使用的个数(4,0.1).X B n p (1) 2224(2)0.10.90.00486,P X C(2) 3344(3)(3)(4)0.10.90.10.0037,P X P X P X C(3) 4(3)1(4)10.10.9999,P X P X (4)4(1)1(0)10.910.65610.3439.P XP X5某汽车从起点驶出时有40名乘客设沿途共有4个停靠站且该车只下不上每个乘客在每个站下车的概率相等并且相互独立试求(1)全在终点站下车的概率(2)至少有2个乘客在终点站下车的概率 (3)该车驶过2个停靠站后乘客人数降为20的概率记事件A ={任一乘客在终点站下车}乘客在终点站下车人数(40,1/4).X B n p (1) 40231(40)8.271810,4P X (2) 403940140313433(2)1(0)(1)1144434P XP X P XC10.0001340880.999865912.(3) 记事件B ={任一乘客在后两站下车}乘客在后两站下车人数(40,1/2).YB np2020202040404011(20)0.1268.222CP YC(精确值)应用斯特林公式!2,nn n n e 2020202040404011(20)222CP XC24040!(20!)2402204040240202202ee10.1262.25其中3.1415926536, 1.7724538509.参贝努利分布的正态近似6已知瓷器在运输过程中受损的概率是0.002有2000件瓷器运到求 (1)恰有2个受损的概率 (2)小于2个受损的概率 (3)多于2个受损的概率 (4)至少有1个受损的概率受损瓷器件数(2000,0.002),X B np近似为泊松分布(4).P n p (1) 2441480.146525,2!P ee (2) 4424150.0915782,1!P ee(3) 431211130.761897,P P P e (4) 4410.981684.P e7某产品表面上疵点的个数X 服从参数为1.2的泊松分布规定表面上疵点的个数不超过2个为合格品求产品的合格品率产品合格品率21.21.21.2 1.212.920.879487.1!2!Pee★8设随机变量X 的分布律是X3 5 8P0.20.50.3求X 的分布函数以及概率(36),(1),(5),(||5).P XP XP X P X 随机变量X 的分布函数为0,3,(3)(3)0.2,35,()(5)(3)(5)0.20.50.7,58,(8)1,8.xF P X xF x F P XP X x F x(36)(5)0.5,P X P X (1)(5)(8)0.50.30.8,P X P XP X (5)(||5)(5)(3)(5)0.20.50.7,P XP X F P XP X第五次作业1学生完成一道作业的时间X 是一个随机变量(单位小时)其密度函数是2,00.5()0,kx x x f x 其他试求 (1)系数k (2)X 的分布函数 (3)在15分钟内完成一道作业的概率 (4)在10到20分钟之间完成一道作业的概率(1) 0.50.5232111(0.5),21,32248k k F kxxdxxxk (2) 23200,01()()217,00.5,2(0.5)1,0.5.x xF x P Xx xxdx xx x F x(3) 32211119()2170.140625,442464x FP Xx xxdx (4) 3212316111111129217.6336424108PXFF xxdx2设连续型随机变量X 服从区间[a a](a 0)上的均匀分布且已知概率1(1)3P X 求(1)常数a (2)概率1()3P X (1) 1111(1),3,223aa P X dxa aa(2) 13311115()3.36639P Xdx3设某元件的寿命X 服从参数为的指数分布且已知概率P (X 50)e 4试求(1)参数的值 (2)概率P(25X 100) 补分布()()|,0.xxxxxS x P Xx edxeex(1) 504502(50)(50),0.08,25xS P Xedx ee (2) 由()(),,0,rxrS rx eS x r x 取50,x依次令1,2,2r得12282(25)(25)(50),(100)(100)(50)S P X S e S P XS e0.0003354563,其中 2.7182818284.e28(25100)(25)(100)P XP X P X ee0.135334650.00033545630.1349991937.4某种型号灯泡的使用寿命X (小时)服从参数为1800的指数分布求 (1)任取1只灯泡使用时间超过1200小时的概率 (2)任取3只灯泡各使用时间都超过1200小时的概率(1) 1312008002(1200)0.2231301602,P Xee此处 1.6487212707001.e (2) 932(1200)0.0111089965.P Xe5设X ~N (0 1)求P (X 061)P (262X 125)P (X 134)P (|X |213)(1) (0.61)(0.61)0.72907,P X (2) ( 2.621.25)(1.25)(2.62)(1.25)(2.62)1P X0.894359956010.88995,(3) ( 1.34)1(1.34)10.909880.09012,P X(4)(|| 2.13)22(2.13)220.983410.03318.P X 6飞机从甲地飞到乙地的飞行时间X ~N (419)设飞机上午1010从甲地起飞求(1)飞机下午2 30以后到达乙地的概率 (2)飞机下午2 10以前到达乙地的概率 (3)飞机在下午1 40至2 20之间到达乙地的概率(1) 131331/34111(1)10.841340.15866,331/3P X P X (2) (4)(0)0.5,P X (3) 72525/647/24261/31/3PX131220.691460.9331910.62465.★7设某校高三女学生的身高X ~N (16225)求(1)从中任取1个女学生求其身高超过165的概率(2)从中任取1个女学生求其身高与162的差的绝对值小于5的概率(3)从中任取6个女学生求其中至少有2个身高超过165的概率(1) 162165162(165)0.61(0.6)10.72580.2742,55X P X P (2)162(|162|5)12(1)120.8413410.6827,5X P X P(3) 记事件A ={任一女生身高超过165}()(165)0.2742,pP A P X随机变量Y 贝努利分布(6,0.2742),B np6156(2)1(0)(1)1(1)(1)0.52257.P YP Y P Yp C p p 第六次作业★1.设随机变量X 的分布律为(1)求Y |X |的分布律 (2)求Y X 2X 的分布律(1)X 211p k121416112Y0 1 2 P1/6 1/3 1/2(2)Y0 2 P2/12 7/12 ★.定理（连续型随机变量函数的密度公式）设连续型变量X 密度为()X f x ,()y g x 严格单调,反函数()xx y 导数连续,则()Yg X 是连续型变量,密度为(())|()|,()(),()0,X Y f x y x y g x yg x f y 极小值极大值其它.证明1)若()0,xx y {}{()()}{},Yy g X g x Xx ()()(()())()(),Y X F y P Y y P g X g x P X x F x 两边对y 求导,()(())(),.Y X f y f x y x y y2)若()0,xx y {}{()()}{},Yy g X g x Xx ()()(()())()1(),Y X F y P Y y P g X g x P X x F x 两边对y 求导, ()(())(),.Y X f y f x y x y y因此总有()(())|()|,.Y X f y f x y x y y或证明()(),()0,()()(()())()1(),()0,X Y X P X x F x g x F y P Yy P g X g x P Xx F x g x 两边对y 求导,(),()(),X Y X dF x dxdx dy f y dF x dxdx dy或两边微分()(),()()()(),X X Y Y X X dF x f x dx dF y f y dy dF x f x dx (),()(),X Y X dx f x dy f y dx f x dy(())|()|,.X f x y x y y 2设随机变量X 的密度函数是f X (x )求下列随机变量函数的密度函数(1)Y tan X (2)1YX(3)Y |X|(1) 反函数()arctan ,x y y '21(),1x y y 由连续型随机变量函数的密度公式得'21()(())|()|(arctan ).1Y X Xf y f x y x y f y y 或反函数支()arctan ,i x y iy i 为整数，'21(),1i x y y '21()(())|()|(arctan ).1Y X i i X iif y f x y x y f iy y (2) 1,XY 反函数1,y x y '211()()().Y X y yX f y f x x f y y(3) ()()(||)()()()Y X X F y P Y y P X y P y X y F y F y 两边对y 求导得Y 的密度函数为()()(),0.Y X X f y f y f y y★3设随机变量X ~U [2 2]求Y 4X 21的密度函数2111()()(41)(11)1,115,224Y F y P Y y P X y P y Xy y y 两边对y 求导得随机变量Y 的密度为1(),115.81Y f y y y 或解反函数支1211()1,()1,22x y y x y y '''1122111()(())|()|(())|()|2(())(),115.81Y X X X f y f x y x y f x y x y f x y x y yy ★4设随机变量X 服从参数为1的指数分布求Y X 2的密度函数(Weibull 分布)当0y 时, 2Y X 的分布()0Y F y ,当0y 时,2()()()()(),Y X F y P Yy P Xy P X y F y 两边对y 求导得1()()(),2yY X f y f y y e y1,0,2()0,0.y Y e y yf y y 或反函数,yx y '1()(),0.2yY X y yf y f x x ey y★5设随机变量X~N (0 1)求(1)Y e X的密度函数 (2)Y X 2的密度函数(Gamma 分布)(1) 当0y 时, e X Y 的分布()0Y F y ,当0y 时,()()(e)(ln )(ln ),XY F y P Yy P y P X y y 因而Y 的密度为''1()(ln )(ln )(ln )(ln ),Y f y y y y y y 2(ln )1exp ,0,2()20,0.Yy y f y y y 或反函数ln ,X Y ln ,y x y '1()()(ln )Y y yf y x x y y 2(ln )1exp ,0.22y y y(2)当0y 时,()0Y F y ;当0Y时,2()()()()()()Y X X F y P Y y P X y P y Xy F y F y两边对y 求导得Y 的密度函数为21,0,()20,0.y Y e y f y y y 或反函数支12(),(),x y y x y y ''211221()(())|()|(())|()|,0.2y Y X X f y f x y x y f x y x y e y y6设随机变量X 的密度函数是21,1()0,1X x f x xx 求Y ln X 的概率密度反函数,y yx e '()()(),0.y yy Y X y yX f y f x x f e e e y第七次作业☆.将8个球随机地丢入编号为12345的五个盒子中去设X 为落入1号盒的球的个数Y 为落入2号盒的球的个数试求X 和Y 的联合分布律1袋中装有标上号码1 2 2的3个球从中任取一个并且不再放回然后再从袋中任取一球以X Y 分别记第一、二次取到球上的号码数求 (1)(X Y )的联合分布律(设袋中各球被取机会相等) (2)X Y 的边缘分布律 (3)X 与Y 是否独立？(1)(X Y )的联合分布律为(1,1)0,P X Y 1(1,2)(2,1)(2,2).3P X Y P X Y P X Y (2) X Y 的分布律相同12(1),(2).33P X P X (3) X 与Y 不独立2设二维连续型变量(,)X Y 的联合分布函数35(1)(1),,0,(,)0,.xyeex y F x y 其它求(,)X Y 联合密度2(,)(,),f x y F x y x y3515,,0,(,)0,.x yex y f x y 其它★3设二维随机变量(X Y )服从D 上的均匀分布其中D 是抛物线y x 2和x y 2所围成的区域试求它的联合密度函数和边缘分布密度函数并判断Y X ,是否独立分布区域面积21311232211,333xxSdydxx x dxxx联合密度213,1,(,)0,.x y x f x y S 其它边缘X 的密度为22()33(),01,x X xf x dy x x x边缘Y 的密度为22()33(),01.y Y y f y dy y y y (,)()(),X Y f x y f x f y 因此X 与Y 不独立.或(,)f x y 非零密度分布范围不是定义在矩形区域上,因此X 与Y 不独立.4.设二维离散型变量),(Y X 联合分布列是Y X1 351115q 151p15310问,p q 取何值时X 与Y 相互独立. 两行成比例1/151/52,1/53/103q p解得12,.1015pq★5.设(,)X Y 的联合密度为2,11,0,(,)0,.yAx e x y f x y 其它求(1)常数A (2)概率1(0,1);2P XY(3)边缘概率密度f X (x)f Y (y) (4)X 与Y 是否相互独立？ (1)222()(,),11,yyX f x f x y dyAx e dyAxe dyAx x 112112()1,3X f x dxAx dx A3.2A (2) 112201113(0,1)(0)(1).22216yeP X Y P XP Y x dxe dy(3) 23(),11,2X f x x x111221113()(,),0.2yyyY f y f x y dxAx e dxex dxe y(4)由23,11,0()()(,),20,yX Y x e x y f x f y f x y 其它得X 与Y 独立.或因为2(,),11,0,yf x y Ax e x y可表示为x 的函数与y 的函数的积且分布在矩形区域上,所以X 与Y 相互独立.由此得(),0;y Y f y e y 2(),11,X f x Ax x 112112()1,3X f x dx Ax dx A 3.2A 112201113(0,1)(0)(1).22216yeP XYP XP Yx dxe dy6.设X 服从均匀分布(0,0.2),U Y 的密度为55,0,()0,yY ey f y 其它.且,X Y 独立.求(1)X的密度(2) (,)X Y 的联合密度(1)X 的密度为()5,00.2,X f x x(2)(,)X Y 的联合密度为525,00.2,0,(,)0,yex y f x y 其它.第八次作业★1设随机变量(X Y)的联合分布律是XY 0 12 0 1/6 1/3 1/12 11/61/121/6求函数(1)Z 1X Y (2) Z2min{X Y } (3) Z3max{X Y }的分布律(1) 11(0)(0),6P Z P XY1111(1)(0,1)(1,0),362P Z P X Y P XY 1111(2)(0,2)(1,1),12126P Z P X YP XY11(3)(1,2).6P Z P XY(2) 2111(1)(1,1)(1,2),1264P Z P X Y P X Y223(0)1(1).4P Z P Z (3) 31(0)(0),6P Z P X Y 31117(1)(0,1)(1,1)(1,0),312612P Z P X Y P X Y P X Y 3111(2)(0,2)(1,2).1264P Z P XYP XY2设随机变量(X Y )的联合分布律是XY1 1 1 0.25 0.125 10.1250.25求函数Z X /Y 的分布律(/1)(1)(1)0.250.250.5,P Z X Y P XYP X Y(/1)1(/1)0.5.P ZX YP Z X Y3设X 与Y 相互独立概率密度分别为220()0,xX e x f x x 0(),yY e y f y x 试求Z X Y 的概率密度()(,)()()z z Z X Y f z f x z x dxf x f zx dx200222(1),0.z z xz xzxzze edx ee dxe e z★4设X~U (0 1)Y ~E (1)且X 与Y 独立求函数Z X Y 的密度函数,01,0,(,)0,ye xyf x y 其它,当01z 时()(,)()()zzZ X Y f z f x z x dxf x f zx dx1,zzz xz x zx edx ee 当1z 时11110()(,)()().z z xz xzzZ X Y x f z f x zx dxf x f zx dxedx eee 因此11,01,(),1,0,.zzzZ e z f z ee z 其它★5设随机变量(X Y )的概率密度为()101,0(,)10x y ex y f x y e 其它(1)求边缘概率密度f X (x )f Y (y )(2)求函数U max (X ,Y )的分布函数(3)求函数V min (X ,Y )的分布函数(1) 1,01,()10,x X ex f x e 其它.,0,()0,yY e y f y 其它.(2)110,0,1()(),01,111,1x x xxX X xee F xf x dx dxxeex.min{,1}10,0,1,01x xex e.0,0,()1,0Y yyF y e y .21(1),01,()()()11,1x U X Y xe x F x F x F x ee x .min{,1}1(1)(1),0.1xx e ex e(3) 111,0,()1(),01,10,1xX X x eeS x F x x e x .min{,1}111,0,,01x x eex e.1,0,()1(),0Y Y yy S y F y e y.112111()11,01,()1()()111,1xxx xV X Y ee eeeex F x S x S x e ex .1min{,1}111,01x xxeeex e.6设某种型号的电子管的寿命(以小时计)近似地服从N (160 202)分布随机地选取4只求其中没有一只寿命小于180小时的概率随机变量2(160,20),XN 180160(180)(1)0.84134,20P X没有一只寿命小于180小时的概率为444(180)(1(1))(10.84134)0.00063368.P X 第九次作业★1. 设离散型随机变量X 具有概率分布律X 2 1 0 12 3 P0.1 0.2 0.2 0.30.10.1试求E (X )E (X 25)E(|X|)20.110.210.320.130.10.4,i iiEX x p 2222222(2)0.1(1)0.210.320.130.1 2.2,i iiEXx p 22(5)57.2,E X EX ||||20.110.210.320.130.1 1.2.i iiE X x p 2. 设随机变量X 的概率密度为0 0,()01,1.xx f x x x Aex 求 (1)常数A (2)X 的数学期望(1) 11111(),2xf x dx xdxAe dx Ae ,2e A (2) 121114()2.2323xe e EXxf x dxx dx xe dxe★3. 设球的直径D 在[a b ]上均匀分布试求 (1)球的表面积的数学期望(表面积2D)(2)球的体积的数学期望(体积316D )(1) 22222()();3b ax E D EDdxaab b ba(2) 33322()().6624b axEDEDdx a b a b b a ★4. 设二维离散型随机变量(X Y )的联合分布律为XY1 2 3 4 2 0.10 0.05 0.05 0.10 0 0.05 0 0.10 0.20 20.100.150.050.05求E (X )E (Y )E (XY )2(0.10.050.050.1)2(0.10.150.050.1)i iiEXx p 20.320.350.1,1(0.10.050.1)2(0.050.15)j jjEYy p3(0.050.10.05)4(0.10.20.05)2.65,,()ij i jijE XY x y p 2(10.120.0530.0540.01)2(10.120.1530.0540.05)1.5 1.50.★5. 设随机变量X 和Y 独立且具有概率密度为2,01,()0,X x x f x 其它,3(1)3,1,()0,1.y Y ey f y y (1)求(25)E X Y (2)求2()E X Y (1) 1122()2,3X EXxf x dx x dx 3(1)114()3,3y Y EYyf y dy yedy或随机变量1ZY 指数分布(3),E 141,,33EZEY EY24(25)25258.33E XY EXEY(2) 112231()2,2X EXx f x dxx dx 由X 和Y 独立得22142().233E X Y EX EY第十次作业1. 设离散型随机变量X 的分布列为X 21 0 12 3P01 0.2 0.2 0.3 0.1 0.1试求 (1) D (X ) (2) D (3X 2)(1) 20.110.210.320.130.10.4,i i iEXx p 2222222(2)0.1(1)0.210.320.130.1 2.2,i iiEXx p 2222.20.42.04.DXEXE X (2) 2(32)(3)9 2.0418.36.D XDX★2. 设随机变量X 具有概率密度为22,02,()0,Axx x f x 其他，试求 (1)常数A (2)E (X ) (3) D (X ) (4) D (2X 3) (1) 2281()(2)4,3f x dx Axx dx A解得9.8A (2) 2295()(2).86EX xf x dxx xx dx (3) 2222294()(2),85EXx f x dx x xx dx 2224519.56180DXEXE X(4) 21919(23)24.18045D XDX★3. 设二维随机变量(,)X Y 联合概率密度为2,01,01,(,)0,x y x y f x y 其他，试求 (1),X Y 的协方差和相关系数A (2)(21).D X Y (1) 13()(,)(2),01,2X f x f x y dyx y dy x x由,x y 的对称性3(),0 1.2Y f y y y1035(),212X EXxf x dxxx dx EY 1222231(),24X EX x f x dx xx dx EY 2221511,412144DXEXE XDY 1101()(,)(2),6E XY xyf x y dydx xy x y dydx因此2151(,)(),612144Cov X Y E XY EXEY,(,)1.11X YCov X Y DXDY (2) 由随机变量和的方差公式()2(,)D X Y DX DX Cov X Y 得(21)(2)()2(2,)D X Y D X D Y Cov X Y 22592(1)22(1)(,).144DXDY Cov X Y ★4. 设二维随机变量(,)X Y 具有联合分布律YX2 1 0 1 2 1 0.1 0.1 0.05 0.1 0.1 00.050.051 0.1 0.10.05 0.1 0.1试求,,,EX DX EY DY 以及X 和Y 的相关系数(1) X 的分布列为X1 0 1 ip 0.450.10.45由变量X 分布对称得0,EX或10.4500.4510.450,i iiEX x p 22222(1)0.4500.4510.450.9,iiiEXx p 220.9.DX EXE X(2) Y 的分布列为Y21 0 12 jp0.20.250.10.250.2(,)X Y 取值关于原点中心对称由变量Y 分布对称得0,EY或20.20.250.2520.20,j jiEYy p222222(2)0.2(1)0.2510.2520.2 2.1,j j iEYy p222.1.DYEYE Y (3) 由二维变量(,)X Y 的联合分布列关于两坐标轴对称得,()0,ij i jijE XY x y p (,)()0,Cov X Y E XY EXEY因此,(,)0.X YCov X Y DXDY5. 设随机变量X 服从参数为2的泊松分布(2)P 随机变量Y 服从区间(0,6)上的均匀分布(0,6),U 且,X Y 的相关系数,1.6X Y记2,Z X Y 求,.EZ DZ (1) 2,EX 063,2EY (2)2223 4.EZ E XY EXEY (2) 2(60)2, 3.12DXDY由,(,)1,6X YCov X Y DXDY 得(,)1,Cov X Y 由随机变量和的方差公式()2(,)D XY DXDYCov X Y 得2(2)(2)2(,2)(2)4(,)10.DZD XY DXD Y Cov X Y DX DYCov X Y 第十一次作业★1. 试用切比雪夫不等式估计下一事件概率至少有多大掷1000次均匀硬币出现正面的次数在400到600次之间出现正面的次数~(1000,0.5),X B n p 10000.5500,EXnp10000.50.5250,DXnpq应用切比雪夫不等式有239(400600)(|500|100)1.10040DX P XP X2. 若每次射击目标命中的概率为0.1不断地对靶进行射击求在500次射击中击中目标的次数在区间(49 55)内的概率击中目标的次数~(500,0.1),X B n p5000.150,EXnp5000.10.945.DXnpq根据中心极限定理,X 近似服从正态分布(50,45).N EX DX 4950505550(4955)454545X P XP555049505513154545(0.74)(0.15)10.77040.559610.33.★3. 计算器在进行加法时将每个加数舍入最靠近它的整数.设所有舍入误差是独立的且在(0.5 0.5)上服从均匀分布 (1)若将1500个数相加问误差总和的绝对值超过15的概率是多少？(2)最多可有几个数相加使得误差总和的绝对值小于10的概率不小于0.90(1) 误差变量,1,2,.i X i 独立同均匀分布(0.5,0.5),X U 10,.12EXDX由独立变量方差的可加性150011500125,12ii DX 15001i i X 近似(0,125).N 15001||15i i P X 1500111535||5125125i i P X 352222(1.34)220.90990.1802.5(2)1||10ni i P X 112123||2ni i P X nn n32210.90,n320.95,n321.645,n212 4.4345.1.645n 因此最多可有4个数相加误差总和的绝对值小于10的概率不小于0.90★4. 一个系统由n 个相互独立的部件所组成每个部件的可靠性(即部件正常工作的概率)为0.90至少有80%的部件正常工作才能使整个系统正常运行问n 至少为多大才能使系统正常运行的可靠性不低于0.95正常工作的部件数~(,),X B n p 其中0.9.p 0.9,EX np n 0.09.DX npq n (0.8)P X n 0.80.80.930.90.1XEX nEXn n n PDXDXn 0.95,3n 1.645,24.354.3n n因此n 至少取25.★5. 有一大批电子元件装箱运往外地正品率为0.8为保证以0.95的概率使箱内正品数多于1000只问箱内至少要装多少只元件？正品数~(,),X B n p 其中0.8.p 0.8,EX np n 0.16.DXnpqn。

概率论与数理统计课外大作业2参考答案

《概率论与数理统计》作业（参考答案）班级学号姓名得分注意：书写清楚、整洁；并有主要的解题过程.1. 设1021,,,X X X 是来自总体)3.0,0(2N 的样本，求统计量∑=10129100i iX的分布（需说明理由）.解：因)1,0(~3.0/N X i ，)1(~)3.0(22χi X ，由可加性)10(~910010122=∑χi iX2. 设总体),3(~2σN X ，有n=9的样本，样本方差42=s ，求统计量2/)93(-X 的分布（需说明理由）.)8(~293t X - 3. 设总体)9,(~,)4,(~μμN Y N X ，有16,1121==n n 的两个独立样本，求统计量222149S S 的分布（需说明理由）. )1510~492221，F （S S 4. 4. 设总体X 的概率密度函数为⎩⎨⎧<<+=其他,010,)1(),;(x x x f θθθ，),,,(21n X X X 是来自该总体的一个样本，),,,(21n x x x 是相应的样本值，求（1）未知参数θ的矩估计量；（2）最大似然估计量.（（1）XX --=∧112θ;(2) 1ln 1--=∑=∧ni iXnθ班级学号姓名得分注意：书写清楚、整洁；并有主要的解题过程.5. 设),,(321X X X 是来自总体X 的样本，（1）证明：3211213161X X X ++=μ；3212525251X X X ++=μ；3213313131X X X ++=μ 是总体均值μ的无偏估计量；（2）说明哪一个估计较有效？（需说明理由）提示：（1）求)(1μE =++=)213161(321X X X E μ=++)(21)(31)(61321X E X E X E 同理求另外两个……………………….. （2）求)(1μD =++=)213161(321X X X D )(187)(41)(91)(361321X D X D X D X D =++同理求另外两个的方差，比较大小，小的较有效6. 设有一批胡椒粉，每袋净重X （单位：g ）服从正态分布，从中任取9袋，计算得样本均值21.12=x ，样本方差09.02=s ，求总体均值μ的置信度为0.95的置信区间.(306.2)8(025.0=t ，2622.2)9(025.0=t ) 参考答案（)44.12,98.11())1(2/=-±n t ns x α7. 设高速公路上汽车的速度服从正态分布，现对汽车的速度独立地做了6次测试，求得这6次测试的方差22)/(08.0s m s =，求汽车速度的方差2σ的置信度为0.9的置信区间. （488.9)5(205.0=χ，145.1)5(295.0=χ）参考答案（)3493.0,0422.0())1()1(,)1()1(22/1222/2≈-----n s n n s n ααχχ班级学号姓名得分注意：书写清楚、整洁；并有主要的解题过程.8. 甲、乙两位化验员各自独立地用相同的方法对某种聚合物的含氯量各作了10次测量，分别求得测定值的样本方差为6065.0,5419.02221==s s ，设测定值总体服从正态分布),(,),(222211σμσμN N ，试求方差比2221σσ的置信度为0.95的置信区间.（03.4)9,9(025.0=F ）参考答案（)6007.3,2217.0())1,1(,)1(1122/222112/2221≈---n n F s s n F s s αα9. 某糖厂用自动打包机打包，每包标准重量为50公斤，每天开工后需检验一次打包机是否正常工作，某日开工后，测得9包重量，计算得样本均值82.49=x ，样本方差44.12=s ，假设每包的重量服从正态分布.在显著性水平为05.0=α下，打包机工作是否正常？（即检验假设：50:,50:10≠=μμH H ，306.2)8(025.0=t ，2622.2)9(025.0=t )解：由题意，需检验假设：50:,50:10≠=μμH H ；9=n拒绝域为：)1(/2/0->-n t ns x αμ；计算：)8(306.245.03/2.15082.49/025.00t ns x t =<=-=-=μ，不在拒绝域内，即可以认为打包机工作是正常的。

吉林大学概率论与数理统计

1．将n 只球随机地放入N ()n N ≤个盒子中，设每个盒子都可以容纳n 只球，求：（1）每个盒子最多有一只球的概率1p ；（2）恰有()m m n ≤只球放入某一个指定的盒子中的概率2p ；（3）n 只球全部都放入某一个盒子中的概率3p ．（10分）解：由公式直接计算概率.（1）1n N n P p N=. （2）2(1)m n m N n C N p N--=. （3）311n n N p N N-==. 2．已知随机变量X 的概率密度为（10分）,0<1,()0,ax b x f x +<⎧=⎨⎩其他, 且15,28P X ⎧⎫>=⎨⎬⎩⎭求（1）常数,a b 的值；（2）1142P X ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭；（3）()E X . 解:（1）由1011()d ()d 2f x x ax b x a b +∞-∞==+=+⎰⎰，再由1125131{}()d ,8282P X ax b x a b =>=+=+⎰解得11,2a b ==. （2）12141117{}()d .42232P X x x <≤=+=⎰ （3）()E X =∫(-∞,+∞)f(x)xdx=a/3+b/2=7/123. 设随机事件A 、B 满足11(),()(),42P A P B A P A B ===令1,0A X A ⎧=⎨⎩发生,，不发生, 1,0B Y B ⎧=⎨⎩发生,，不发生,求（1）(,)X Y 的概率分布；（2）Z X Y =+的概率分布. （20分）解：（1）111(),()()4312P A P B A P AB ==⇒=，11()()26P A B P B =⇒= {}20,0()1()()()3P X Y P AB P A P B P AB ====--+=， {}10,1()()()12P X Y P AB P B P AB ====-=，{}11,06P X Y ===，{}11,112P X Y ===. （2）Z 可能取值为0，1，2.{}{}{}2110,1,2.3412P Z P Z P Z ======4．假设由自动流水线加工的某种零件的内径X （毫米）服从正态分布(,1)N μ，内径小于10或大于12为不合格品，其余为合格品；销售合格品获利，销售不合格品亏损，已知销售一个零件的利润T （元）与零件内径X 的关系为1,10,20,1012,5,12,X T X X -<⎧⎪=≤≤⎨⎪->⎩．问平均内径μ取何值时，销售一个零件的平均利润最大．（20分）解：{}{}{}20101210512ET P X P X P X =⨯≤≤-<->25(12)21(10)5μμ=Φ--Φ--令2d 250,11ln 10.9d 21ET μμ⎛⎫==-≈ ⎪⎝⎭得（mm ）即平均内径μ取10.9mm 时，销售一个零件的平均利润最大．5．设总体X 的概率密度为(1)(1),12,()0,x x f x θθ⎧+-<<=⎨⎩其它, 其中0θ>是未知参数，又12,,,n X X X L 为取自总体X 的简单随机样本，求θ的矩估计量和最大似然估计量. （20分）解：（1）2123(1)(1)d 2EX x x x θθθθ+=+-=+⎰，令EX X =，得θ的矩估计量322X -=-X θ$. （2）设12,,,n X X X L 为一组样本值，则似然函数为()11(1)(1)(1)[(1)]n nni i i i L x x θθθθθ===+-=+-∏∏，取对数()1ln ln(1)ln (1)ni i L n x θθθ==++-∏，令dln ()0,d L θθ= 得θ的最大似然估计量.1X X θ=-$ 6．设123,,X X X 是总体X 的样本，()E X μ=，2()D X σ=存在，证明估计量 µ1123211366X X X μ=++, ¶2123111424X X X μ=++, ¶3123311555X X X μ=++都是总体X 的均值()E X 的无偏估计量；并判断哪一个估计量更有效．（20分）解：µ2221231311(),(),(),()2825i E D D D μμμσμσμσ====，因为2()D μ最小，所以¶2123111424X X X μ=++更有效.。

概率论与数理统计大作业

概率论与数理统计大作业一、选题背景概率论与数理统计是现代科学中的重要分支，具有广泛的应用领域。

在实际问题中，我们经常需要通过数据分析来了解事物的规律性和趋势，而概率论与数理统计正是提供了一种科学的方法来处理这些数据。

因此，在学习概率论与数理统计时进行一次大作业，不仅能够加深对知识点的理解，还能够提高自己的数据分析能力和实际问题解决能力。

二、选题内容本次概率论与数理统计大作业选题为“某超市销售数据分析”。

主要内容包括以下几个方面：1. 数据收集首先需要收集某超市近两年来各种商品的销售数据，并将其整理成表格形式。

表格中应包含商品名称、销售量、销售额等信息。

2. 数据处理在收集到数据后，需要对其进行初步处理。

可以使用Excel等工具进行数据清洗、去重、排序等操作，并计算出每种商品的年销售量、年销售额以及平均单价等指标。

3. 数据分析在完成数据处理后，可以开始进行数据分析。

可以从以下几个方面入手：（1）商品销售情况分析通过统计每种商品的销售量、销售额等指标，分析各种商品的销售情况，找出畅销商品和滞销商品，并探究其原因。

（2）季节性分析通过比较不同季节或不同月份的销售数据，分析商品在不同季节或月份的销售情况，找出季节性规律。

（3）地域性分析通过比较不同门店或不同城市的销售数据，分析商品在不同地域的销售情况，找出地域性规律。

（4）用户行为分析通过统计用户购买行为数据，如购买时间、购买频率、购买金额等指标，分析用户行为特点，并提出相应的营销策略。

4. 数据可视化为了更直观地展示数据分析结果，可以使用图表等工具进行数据可视化。

例如可以绘制柱状图、折线图、饼图等来展示各种商品的年销售量和年销售额；也可以使用热力图来展示不同城市或门店的销售情况。

三、选题意义本次概率论与数理统计大作业选题有以下几个意义：1. 提高数据处理能力在进行本次大作业时，需要进行数据收集、处理和分析等操作，这将有助于提高自己的数据处理能力和实际问题解决能力。

2016概率论与数理统计吉大网络作业及答案(题库)

(5分)设随机变量X和Y的相关系数为0.7,若则Y与Z的相关系数为• A. 0.3．• B. 0.4．• C. 0.6．• D. 0.7．得分：0知识点：概率论与数理统计作业题收起解析答案D解析2.(5分)设随机变量X服从二项分布B(n，p)，则• A. n；• B. 1-p；• C. p；• D. 。

得分：5知识点：概率论与数理统计作业题收起解析答案B解析(5分)设则下列结论中正确的是• A. 事件A、B互不相容• B. 事件A和B互逆• C. 事件A、B相互独立• D.得分：0知识点：概率论与数理统计作业题展开解析答案C 解析4.(5分)设则• A. 事件A与B互不相容• B. 事件A与B相互独立• C. 事件A与B相互对立• D. 事件A与B互不独立得分：0知识点：概率论与数理统计作业题收起解析答案B解析5.(5分)任何连续型随机变量X的一阶中心矩都是• A. 0• B.• C. 1• D. 不确定得分：0知识点：概率论与数理统计作业题收起解析答案D解析6.(5分)现有10张奖券，其中8张2元，2张5元，今某人随机无放回的抽取三张，则此人得奖金金额的数学期望为• A. 6元• B. 12元• C. 7.8元• D. 9元得分：0知识点：概率论与数理统计作业题收起解析答案C解析7.(5分)设随机变量• A. N(0，1)；• B. N(2，3)；• C. N(0，3)；• D. N(0，2)。

得分：0知识点：概率论与数理统计作业题收起解析答案C解析8.(5分)设为样本均值，则下列结论中正确的是• A. ；• B. ；• C. ；• D.得分：0知识点：概率论与数理统计作业题收起解析答案D解析9.(5分)设随机变量则• A. ；• B. ；• C. ；• D. ．得分：0知识点：概率论与数理统计作业题收起解析答案B解析10.(5分)已知随机变量X服从二项分布,且则二项分布的参数的值为• A.• B.• C.• D.得分：0知识点：概率论与数理统计作业题收起解析答案B解析11.(5分)• A.• B.• C.• D. ．得分：0知识点：概率论与数理统计作业题收起解析答案A解析12.(5分)已知• A. 单调增加• B. 单调减少• C. 保持不变• D. 非单调变化得分：0知识点：概率论与数理统计作业题收起解析答案C解析13.(5分)• A. ；• B. ；• C. ；• D. ．得分：0知识点：概率论与数理统计作业题收起解析答案B解析14.(5分)设随机变量X和Y都服从标准正态分布,则• A.• B.• C.• D.得分：0知识点：概率论与数理统计作业题收起解析答案C解析15.(5分)设总体的无偏估计量的是• A.• B.• C.• D.得分：0知识点：概率论与数理统计作业题收起解析答案C解析16.(5分)设为样本标准差，则服从自由度为分布的是• A. ；• B. ；• C. ；• D. 。

2015概率论与数理统计(A)参考答案

2014上学期概率论与数理统计(A)参考答案一、填空题（每小题3 分，共15分） 1. 0.18 2.8273. 54. 17(0.68)255. 0.106 二、单项选择题（每小题3 分，共15分）1. A2. B3. C4. D5. D 三、（12分）解：(1) 设{}{}2A B ==从甲盒中取得一个白球，从乙盒中取得个黑球，41(),(),55P A P A == 1分22322266417()()()()()0.093.5575C C P B P A P B A P A P B A C C =+=⨯+⨯==3分 5分 6分(2) 222644()()5475()()77575C P A P B A C P A B P B ⨯====，9分 11分 12分四、（12分）解：(1) ()()xF x f x dx -∞=⎰ 1分当1x <时, ()0,F x = 2分当2x >时, ()1,F x = 3分当02x ≤≤时, 2112()2(1)24,xF x dx x x x=-=+-⎰ 4分综上所述, 0,1,2()24,12,1, 2.x F x x x x x <⎧⎪⎪=+-≤≤⎨⎪>⎪⎩(2) （法一） 3221.51.512(1.53)()2(1).3P X f x dx dx x <<==-=⎰⎰ 5分 7分 8分或 ( 法二) 22(1.53)(3)(1.5)1(2 1.54).1.53P X F F <<=-=-⨯+-= 6分 7分 8分(3) 2211()()2(1)32l n 2,E X x f x d xx d x x+∞-∞==-=-⎰⎰ 9分22222118()()2(1),3E X x f x dx x dx x +∞-∞==-=⎰⎰ 10分 2222819()()[()](32ln 2)12ln 24(ln 2).33D X E X E X =-=--=-- 12分五、（12分）解:(1)2分4分(2) 因为1155(0,0)(0)(0)33618P X YP X P Y ===≠=⋅==⨯= 6分所以 ,X Y 不独立. 8分 (3)10分 12分六、（10分）解: （法一）设随机变量Z 的分布函数为()Z F z ,000,0,()()(,)6,01,1, 1.zz x Z x y zz F z P X Y z f x y dxdy dx xdy z z -+≤<⎧⎪⎪=+≤==≤≤⎨⎪>⎪⎩⎰⎰⎰⎰3分 7分30,0,,01,1, 1.z z z z <⎧⎪=≤≤⎨⎪>⎩8分故 23,01,()0,.Z z z f z ⎧≤≤=⎨⎩其他 10分或（法二） ()(,)Z f z f x z x dx +∞-∞=-⎰， 4分当0z < 或 1z > 时，()0,Z f z = 6分当 01z ≤≤ 时，20()63.zZ f z xdx z ==⎰ 10分七、（12分）解: (1) 因为 (),E X λ= 2分由 ()X E X λ== 5分得参数λ的矩估计为 ˆ;X λ= 6分 (2) 似然函数为 11=1e ()niii x x nnni i ii e L x x λλλλλ=--=∑==!!∏∏ 8+1分取对数 11ln ()()ln ln n ni i i i L x n x λλλ===--!∑∑ 10分两边对λ求导, 并令其为零1l n ()0nii x d L n d λλλ==-=∑ 11分解得参数λ的极大似然估计为 ˆ.X λ= 12分八、（12分）解: (1) 总体均值μ的置信区间为:22((1),(1))x n x n αα-- 3分20.226(1)14.95 2.3114.776,3x n α-=-⨯= 4分20.226(1)14.95 2.3115.124,3x n α-=+⨯= 5分总体均值μ在置信概率为0.95时的置信区间为: (14.776,15.124). 6分 (2) 提出假设 01:0.2,:0.2.H H σσ≤> 8分取检验统计量 2220(1)n S χσ-=, 9分拒绝域为 {}{}22220.05(1)(8)V n αχχχχ=>-=> 10分220.05280.05110.2(8)15.50.2χχ⨯==<= 11分故接受原假设0H . 12分。

《概率论与数理统计》作业

A． p1 p2
B． p1 p2
C． p1 p2
D． p1 p2
14.
设的概率密度为
f (x)
Ax, 0,
0 x 1 其它
A．0.1
B．2
C．1
，则A = D．0.5
15. 任何一个连续型随机变量的概率密度 f (x) 一定满足
A． 0 f (x) 1
B．在定义域内单调不减
C．
y)
0
x
2
,0
y
2
，
0
其他
则 A=( )
① 0.1
② 0.5
③1
④2
6. 若事件 A、B 为互逆事件，则 P( A B) （）
①0
②0.5
③1
7. 设ξ～N(0，1)，令η=aξ+b,则 Dη=( )(a,b 为常数)
①a－b
②a＋b
③a
8. 若母体ξ的方差为 2 ，则 2 的无偏估计为（）
应选取服从
分布的统计量．
20. AB AC BC表示的是随机事件 A、B、C 中至少有
发生的事件．
21. 命中率为 p 的射手射击至第 k 次才首次击中目标的概率为
．
22. 随机变量服从区间[a, b] 上的均匀分布，则它的期望为
．
23. 设 ~ N(5,1), ~ N(3,16) ，与相互独立，令 3 , 则 E
3. 设随机变量的方差 D 存在，设 a, b 均为常值，试证明 D(a b) a 2 D
4. 证明必然事件、不可能事件与任何事件相互独立.
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概率论与数理统计第一章概率论与数理统计作业

概率论与数理统计作业班级姓名学号任课教师第一章概率论的基本概念教学要求：一、了解样本空间的概念，理解随机事件的概念，掌握事件的关系及运算．二、理解概率、条件概率的概念，掌握概率的基本性质，会计算古典概率，掌握概率的加法公式、减法公式、乘法公式、全概率公式及贝叶斯公式．三、理解事件的独立性的概念，掌握用事件独立性进行概率计算，理解独立重复试验的概念，掌握计算有关事件概率的方法．重点：事件的表示与事件的独立性；概率的性质与计算．难点：复杂事件的表示与分解；试验概型的选定与正确运用公式计算概率；条件概率的理解与应用；独立性的应用．练习一随机试验、样本空间、随机事件1.写出下列随机事件的样本空间(1)同时掷两颗骰子，记录两颗骰子点数之和；(2)生产产品直到有5件正品为止，记录生产产品的总件数；(3)在单位圆内任意取一点，记录它的坐标．解：（1）{=Ω2；3；4；5；6；7；8；9；10；11；12}; （2）{=Ω5；6；7；…};（3）(){}1,22≤+=Ωy x y x 2.设C B A ,,三事件，用C B A ,,的运算关系表示下列事件：（1）A 发生，B 与C 不发生，记为 C B A ；（2）C B A ,,至少有一个发生，记为C B A ；(3) C B A ,,中只有一个发生，记为C B A C B A C B A ；(4）C B A ,,中不多于两个发生，记为ABC ．3.一盒中有3个黑球，2个白球，现从中依次取球，每次取一个，设i A ={第i 次取到黑球}，,2,1=i 叙述下列事件的内涵：（1）21A A ={}次都取得黑球次、第第21.（2）21A A ={}次取得黑球次或地第21.（3）21A A ={}次都取得白球次、第第21 .（4）21A A ={}次取得白球次或地第21.（5）21A A -={}次取得白球次取得黑球，且第第21.4.若要击落飞机，必须同时击毁2个发动机或击毁驾驶舱，记1A ={击毁第1个发动机}；2A ={击毁第2个发动机}；3A ={击毁驾驶舱}；试用1A 、2A 、3A 事件表示=B {飞机被击落}的事件.解：321A A A B =练习二频率与概率、等可能概型（古典概率）1.若41)()()(===C P B P A P ,0)()(==BC P AB P , 163)(=AC P , 求事件A 、B 、C 都不发生的概率.解：由于 ,AB ABC ⊂ 则 ()(),00=≤≤AB P ABC P 得(),0=ABC P 于是()()()()()()()()ABC P BC P AC P AB P C P B P A P C B A P +---++=169163414141=-++= 所以 ()().16716911=-=-=C B A P C B A P2.设,)(,)(,)(r B A P q B P p A P === 求B A P ().解：因为 ()()(),AB A P B A P B A P -=-=且,A AB ⊂则()()().AB P A P B A P -= 又 ()()()(),r q p B A P B P A P AB P -+=-+=所以()()()().q r r q p p AB P A P B A P -=-+-=-=3.已知在8只晶体管中有2只次品，在其中任取三次，取后不放回，求下列事件的概率：（1）三只都是正品；（2）两只是正品，一只是次品.解：（1）设=A ｛任取三次三只都是正品｝，则基本事件总数5638==C n ,A 包含基本事件数2036==C m ,于是 ()1455620==A P . （2）设=B ｛任取三次两只是正品，一只是次品｝，则基本事件总数5638==C n ，B 包含基本事件数,301226==C C m 于是().28155630==B P 4.在房间里有10个人，分别佩戴从1号到10号的纪念章，任选3人记录其纪念章的号码，（1）求最小号码为6的概率；（2）求最大号码为6的概率．解：（1）设=A ｛最小号码为6｝,则基本事件总数,120310==C n A 包含基本事件数,624==C m 于是().2011206==A P （2）设=B ｛最大号码为6｝，则基本事件总数,120310==C n B 包含基本事件数,1025==C m 于是().12112010==B P 5.一盒中有2个黑球1个白球，现从中依次取球，每次取一个，设i A ={第i 次取到白球}，3,2,1=i . 求)(i A P , 3,2,1=i .解： ()311=A P ; ()=2A P 312312=⨯⨯, ()311231123=⨯⨯⨯⨯=A P . 6.掷两颗均匀的骰子，问点数之和等于7与等于8的概率哪个大？解：样本空间基本事件总数,3666=⨯=n 设=1A ｛点数之和等于7｝，=2A ｛点数之和等于8｝,则 =1A ｛()()()()()()3,4;4,3;2,5;5,2;1,6;6,1｝，1A 包含基本事件数等于6 ；=2A ｛()()()()()3,5;5,3;4,4;2,6;6,2｝，2A 包含基本事件数等于5 ;于是 ()613661==A P ; ()3652=A P .所以()()21A P A P > . 7.一批产品共100件，对其抽样检查，整批产品不合格的条件是：在被检查的4件产品中至少有1件是废品．如果在该批产品有5﹪是废品，问该批产品被拒收的概率．解：设=A ｛被检查的4件产品至少有1件废品｝，则()812.05100495==C C A P ;所以 ()()188.01=-=A P A P .8.将3个球随机放入4个杯子中，求杯子中球数的最大值为2的概率．解：基本事件总数34444=⨯⨯=n ，设=A {杯子中球数最大值为2}，则A 包含的基本事件数36131423==C C C m (3个球任取两个，然后4个杯子任取1个放入，再对1个球在3个杯子中任取一个放入)，于是()3436=A P . 练习三条件概率1.甲、乙两班共有70名同学，其中女同学40名．设甲班有30名同学，而女生15名．求在碰到甲班同学时，正好碰到1名女同学的概率．解：设=A {碰到甲班同学}，=B {碰到乙班同学}，则();7030=A P (),7015=AB P 于是 ()()()5.0301570307015====A P AB P A B P . 2.箱子里有10个白球，5个黄球，10个黑球．从中随机地抽取1个．已知它不是黑球，求它是黄球的概率．解：设=A {任取一个不是黑球}，=B {任取一个是黄球}，则(),532515==A P ();51255==B P 又A B ⊂ ,则()()B P AB P = ,于是()()()315351===A P AB P A B P3.某人有5把钥匙，其中2把能打开房门.从中随机地取1把试开房门，求第3次才打开房门的概率.解：设=i A {第i 次能打开门} ，;3,2,1=i 则 =321A A A {第3次才打开门}，于是由乘法公式有()()()()51324253213121321=⨯⨯==A A A P A A P A P A A A P .4.假设某地区位于甲、乙二河流的汇合处，当任一河流泛滥时，该地区就遭受水灾．设某时期内甲河流泛滥的概率为0.1，乙河流泛滥的概率为0.2.当甲河流泛滥时，乙河流泛滥的概率为0.3.求（1）该时期内这个地区遭受水灾的概率；（2）当乙河泛滥时甲河流泛滥的概率.解：设=A {某时期甲河泛滥}，=B {某时期乙河泛滥}，则(),1.0=A P ()2.0=B P , ()3.0=A B P于是()()()()()()15.02.03.01.0=⨯===B P A B P A P B P AB P B A P ()()()03.015.02.0=⨯==B A P B P AB P()()()()27.003.02.01.0=-+=-+=AB P B P A P B A P5. 甲、乙两车间加工同一种产品，已知甲、乙两车间出现废品的概率分别为3﹪、2﹪，加工的产品放在一起，且已知甲车间加工的产品是乙车间加工的产品的两倍．求任取一个产品是合格品的概率．解：设=A {任取一个为甲生产的产品}，=B {任取一个产品为废品}，则()()()()%2%,3,31,32====A B P A B P A P A P 由全概率公式有 ()()()()()752100231100332=⨯+⨯=+=A B P A P A B P A P B P 6.设甲袋中有3个红球及1个白球.乙袋中有4个红球及2个白球.从甲袋中任取一个球（不看颜色）放到乙袋中后，再从乙袋中任取一个球,求最后取得红球的概率．解：设=A {从甲袋中任取一个球为红球}，=B {最后从乙袋中任取一个球为红球}，则 ()()()();74,75,41,43====A B P A B P A P A P 由全概率公式 ()()()()().281974417543=⨯+⨯=+=A B P A P A B P A P B P 7.玻璃杯成箱出售，每箱20只，假设各箱含0，1，2只残次品的概率分别为0.8,0.1和0.1，一顾客欲购一箱玻璃杯，在购买时，售货员随意取一箱，而顾客随机的一次性抽取4只察看，若无残次品，则买下该箱玻璃杯，否则退回，试求：（1）顾客买下该箱的概率；（2）在顾客买下的一箱中，确实没有残次品的概率．解：设=i A {售货员任取一箱玻璃杯有i 个残品},2,1,0=i ，=B {顾客买下该箱玻璃杯}，则()()();1.0,1.0,8.0210===A P A P A P()()();632.0,8.0,1420418242041910≈====C C A B P C C A B P A B P (1)由全概率公式得()()()()()()()943.0632.01.08.01.018.0221100=⨯+⨯+⨯≈++=A B P A P A B P A P A B P A P B P(2)由贝叶斯公式得 ()()()().848.0943.018.0000≈⨯==B P A B P A P B A P 8.已知一批产品中有95﹪是合格品，检查产品质量时，一个合格品被误判为次品的概率为0.02，一个次品被误判为合格品的概率是0.03，求：（1）任意抽查一个产品，它被判为合格品的概率；（2）一个经检查被判为合格的产品确实是合格品的概率．解：设=A {任取一个产品为合格品}，=B {任取一个产品被判为合格品}，则()()()();03.0,98.002.01,05.0,95.0==-===A B P A B P A P A P于是（1）任意抽查一个产品，它被判为合格品的概率是 ()()()()()9325.003.005.098.095.0=⨯+⨯=+=A B P A P A B P A P B P（2）一个经检查被判为合格的产品确实是合格品的概率是 ()()()().9984.09325.098.095.0≈⨯==B P A B P A P B A P 练习四事件的独立性1.设甲、乙两人独立射击同一目标，他们击中目标的概率分别为0.9和0.8，求在一次射击中目标被击中的概率.解：设 =A {甲击中目标}，=B {乙击中目标}, 则=B A {目标被击中},()()8.0,9.0==B P A P ,于是()()()()()()()().98.08.0098.09.0=⨯-+=-+=-+=B P A P B P A P AB P B P A P B A P2.三人独立地去破译一个密码，他们能译出的概率分别是41,31,51，问能将此密码译出的概率是多少？解：设=i A {第i 人破译密码} ，;3,2,1=i =B {破译密码}, 则 ()()(),41,31,51321===A P A P A P 321A A A B =, 于是()()()()()()().5343325411111321321321=⨯⨯-=-=-=-=-=A P A P A P A A A P A A A P B P B P3.电路由元件A 与两个并联的元件B 及C 串联而成，且它们工作是相互独立的．设元件A 、B 、C 损坏的概率分别是0.3，0.2，0.2，求电路发生间断的概率.解：设=D {电路正常}，则()C A B A C B AD ==, 则 ()()()()()()()()()()().672.08.08.07.08.07.08.07.0=⨯⨯-⨯+⨯=-+=-+=CP B P A P C P A P B P A P C B A P C A P B A P D P 所以 ()()328.0672.011=-=-=D P D P4. 设每次射击时命中率为0.2，问至少必须进行多少次独立射击才能使至少击中一次的概率不小于0.9？解：设至少要进行n 次独立射击，则至少击中一次的概率不小于0.9可表为：()(),9.0011≥=-=≥k P k P n n由于,2.0=p 则,8.0=q 于是()n n k P 8.0101-==-，所以有,1.08.0≥n即 32.103.0ln 2.0ln =≥n 所以至少进行11次独立射击才能使至少击中一次的概率不小于0.9.综合练习题一、选择题1．设事件B A ，，有A B ⊂，则下列式子正确的是（ A ）.(A ）);()(A P B A P = (B) );()(A P AB P =(C) );()|(B P A B P = (D) ).()()(A P B P A B P -=-2．设A 与B 为两个相互独立的事件，0)(>A P ，0)(>B P ，则一定有=)(B A P ( B ).（A ）)()(B P A P + （B ）)()(1B P A P -（C ）)()(1B P A P + （D ）)(1AB P -.3．设B A ,为两事件，且B A ⊃，则下列结论成立的是（ C ）.（A ）A 与B 互斥；（B ） A 与B 互斥；(C)A 与B 互斥；(D) A 与 B 互斥.4．设B A ,为任意两事件，且,0)(,>⊂B P B A 则下列选择必然成立的是（ C ）.(A))|()(B A P A P <； (B) )|()(B A P A P >；(C) )|()(B A P A P ≤； (D) )|()(B A P A P ≥.5．假设事件A 和B 满足1)(=A B P ，则下列正确的是（ D ）．（A ）A 是必然事件；（B ）();0=A B P ；（C ）A B ⊂ ；（D ）B A ⊂.6．对于任意二事件B A ,( B ）.(A) 若AB ≠∅，则B A ,一定独立； (B) ,AB ≠∅则B A ,有可能独立；(C) AB =∅，则B A ,一定独立； (D) AB ≠∅，则B A ,一定不独立；7．若事件A 和B 满足)}(1)}{(1{)(B P A P B A P --= ，则正确的是（ D ）．（A ）互不相容与B A ；（B ）互不相容与B A ；（C ） B A ⊃；（D ）互为独立与B A ．8．设当事件A 与B 同时发生时，事件C 必发生，则（ B ）．（A ）1)()()(-+≤B P A P C P ；（B ）1)()()(-+≥B P A P C P ；（C ）)()(AB P C P =；（D ）)()(B A P C P =.9．设B A 、是两个事件，则=-)(B A P ( C )．（A ）)()(B P A P -；（B ）)()()(AB P B P A P +-；(C) )()(AB P A P -； (D) )()()(AB P B P A P ++.10．设C B A ,,是三个随机事件，41)()()(===C P B P A P ，81)(=AB P ，0)()(==AC P BC P ，则C B A ,,三个随机事件中至少有一个发生的概率是( B )．（A ）43；（B ） 85；（C ） 83；（D ） 81. 11．某学生做电路实验，成功的概率是0(p ﹤p ﹤1)，则在3次重复实验中至少失败1次的概率是（ B ）．（A ）3p ；（B ）31p -；（C ）3)1(p -；（D ）3)1(p -)1()1(22p P p p -+-+.12．设A P B P A P (,7.0)(,8.0)(==|8.0)=B ，则下面结论正确的是（ A ）．（A ）事件A 与B 互相独立；（B ）事件A 与B 互不相容；（C ）;B A ⊂ （D ）).()()(B P A P B A P +=13．下列事件中与A 互不相容的事件是（ D ）（A ）ABC ; (B) C B C B A ; (C) )(C B A ; (D) ))()((B A B A B A .14．若事件A 、B 相互独立且互不相容，则{}=)(),(min B P A P （ C ）．(A) )(A P ；（B ） )(B P ；（C ） 0；（D ） )()(B P A P -.15．,1)|()|(,1)(0,1)(0=+<<<<B A P B A P B P A P 设则（ A ）．(A) )()|(A P B A P = ； (B) A B =； (C) Φ≠AB ； (D) )()()(B P A P AB P ≠.二、填空题1．已知B A ⊂，3.0)(,2.0)(==B P A P ，则)(B A P - 0 ．2．设7.0)(=A P ,5.0)(=B P ．则的最小值为)(AB P 0.2 ．3．三次独立的试验中，成功的概率相同，已知至少成功一次的概率为2719，则每次试验成功的概率为 1/3 ．4．已知()0.5,()0.8P A P B ==，且(|)0.8 P B A =，则=)(B A P 0.9 ．5. 设5.0)(=A P ,4.0)(=B P ,6.0)|(=B A P ,则)|(B A A P = 20/29 ．6．假设事件A 和B 满足1)(=A B P ，则A 和B 的关系是B A ⊂．7．已知7.0)(=A P ，3.0)(=-B A P ，则=)(AB P 0.4 ． 8．已知41)(=A P ,31)(=AB P ,21)(=B A P ,则=)(B A P 1/3 ． 9．设两个相互独立的事件A 和B 都不发生的概率为91，A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发生的概率相等，则=)(A P 2/3 ．10．设C B A ,,构成一个完备事件组，且()0.5,()0.7P A P B ==，则=)(C P 0.2 ．11．设A 与B 为互不相容的事件，0)(>B P ，则=)(B A P 0 ．12.设事件C B A ,,两两互斥，且,4.0)(,3.0)(,2.0)(===C P B P A P则=-])[(C B A P 0.5 .13．设事件A 与B 相互独立，已知1)()(-==a B P A P ,97)(=B A P ,则=a 5/3或4/3 ．14．甲、乙两人独立的对同一目标射击一次，其命中率分别为6.0和5.0，现已知目标被命中，则它是甲射中的概率为 3/4 ．15．假设随机事件A 与B 满足),()(B A P AB P =且p A P =)(，则=)(B P p -1．三、应用题1．甲、乙、丙3人同向一飞机射击，设击中飞机的概率分别为0.4，0.5，0.7.如果只有一人击中飞机，则飞机被击落的概率是0.2；如果有2人击中飞机，则飞机被击落的概率是0.6；如果3人都击中飞机，则飞机一定被击落．求飞机被击落的概率．解:设=i A {第i 人击中飞机}，=i 甲，乙，丙；=i B {i 人击中飞机};3,2,1,0=i ，=C {飞机被击落}；则()()();7.0;5.0;4.0321===A P A P A P()()()()36.03213213211=++=A A A P A A A P A A A P B P ,()()()()41.03213213212=++=A A A P A A A P A A A P B P , ()()14.03213==A A A P B P ;(),2.01=B C P (),6.02=B C P ();13=B C P所以()()()()()()()458.0332211=++=B C P B P B C P B P B C P B P C P2．甲、乙2人投篮命中率分别为0.7，0.8，每人投篮三次，求（1）两人进球数相等的概率；（2）甲比乙进球数多的概率．解：设=i A {甲人三次投篮进i 个球}，=i B {乙人三次投篮进i 个球}，;3,2,1=i 则()(),027.07.0130=-=A P ()(),189.07.017.02131=-⨯⨯=C A P ()()(),411.07.017.02232=-⨯⨯=C A P ()();343.07.03333=⨯=C A P ()(),008.08.0130=-=B P ()(),096.08.018.02131=-⨯⨯=C B P ()()(),384.08.018.02232=-⨯⨯=C B P ()();512.08.033==B P (1)=C {两人进球相等}33221100B A B A B A B A =,()()()()()()()()()()()()();36332.03322110033221100=+++=+++=B P A P B P A P B P A P B P A P B A P B A P B A P B A P C P (2)=D { 甲比乙进球数多}331303120201B A B A B A B A B A B A =()()()()()()()()()()()()().21476.0231303120201=+++++=B P A P B P A P B P A P B P A P B P A P B P A P D P3．一射手命中10环的概率为0.7，命中9环的概率为0.3.该射手3发子弹得到不小于29环的概率．解：设=1A {命中10环}，=2A {命中9环}，则;,2121Ω=Φ=A A A A 于是=B {3发子弹得到不小于29环}={3发子弹均为10环} {有2发击中10环}，所以()()()()()()784.03.07.03.07.023223033333=⨯⨯+⨯⨯=+=C C P P B P4．有2500人参加人寿保险，每年初每人向保险公司交付保险费12元．若在这一年内投保人死亡，则其家属可以向保险公司领取2000元．假设每人在这一年内死亡的概率都是0.002，求保险公司获利不少于10000元的概率．解：设参加保险的人中有x 人死亡，当,100002000122500≥-⨯x 即10≤x 时，保险公司获利不少于10000元。

概率论与数理统计作业

概率论与数理统计作业概率论与数理统计作业第⼀章随机事件与概率1. 将⼀枚均匀的硬币抛两次，事件代B,C 分别表⽰“第⼀次出现正⾯”，“两次出现同，“⾄少有⼀次出现正⾯”。

试写出样本空间及事件 A,B,C 中的样本点。

4. 进⾏⼀系列独⽴试验，每次试验成功的概率均为:，试求以下事件的概率: (1) 直到第r 次才成功;⼀⾯解:正正、正反、反正、反反正正、正反,B 正正,C正正、正反、反正2.设 P(A) 3， P(B) 1,试就以下三种情况分别求 P(BA):(1) ABB , (3) P(AB)解:(1) P(BA) P(B AB) P(B) P(AB) P(B) 0.5(2) P(BA) P(B AB) P(B) P(AB) P(B) P(A) (3) P(BA)P(BAB)P(B)P(AB) 0.5 0.1253.某⼈忘记了电话号码的最后⼀个数字，因⽽随机的拨号，求他拨号不超过三次⽽接通所需的电话的概率是多少？如果已知最后⼀个数字是奇数，那么此概率是多少?解：记H 表拨号不超过三次⽽能接通。

Ai 表第i 次拨号能接通。

注意：第⼀次拨号不通，第⼆拨号就不再拨这个号码。

H A A 1A 2 P(H) P(A)1 _9 10 10 9 10 9 8A 1A 2A 3三种情况互斥P (A JP (A 2 |⽡)P (A)P (A 2| A JP (A 3 门⽠2)19 8 1?10如果已知最后⼀个数字是奇数(记为事件 B)问题变为在B 已发⽣的条件下，求⽣的概率。

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大作业
1.仪器中有三个元件,它们损坏的概率都是0.2,并且损坏与否相互独立.当一个元件损坏时, 仪器发生故障的概率为0.25,当两个元件损坏时,仪器发生故障的概率为0.6,当三个元件损坏时,仪器发生故障的概率为0.95, 当三个元件都不损坏时,仪器不发生故障.求：（1）仪器发生故障的概率；（2）仪器发生故障时恰有二个元件损坏的概率. (1)解：设A 表示事件“仪器发生故障”，i=1,2,3 P(A)=
)/()(3
1
B B i
i i
A P P ∑=,
P(B1)=3*0.2*0.80.2=0.384,P(B2)=3*0.22*0.8=0.096,P(B3)=0.23=0.008 所以P(A)=0.384*0.25+0.096*0.6+0.008*0.95+0.1612 (2) P(B 2/A)=
)
()(2A P A p B =0.96*0.6/0.1612=0.3573
2．设连续型随机变量X 的分布函数为
0,
,()arcsin ,,(0)1,
,x a x F x A B a x a a a x a ≤-⎧⎪⎪
=+-<<>⎨⎪
≥⎪⎩
求：（1）常数A 、B ．（2）随机变量X 落在,22a a ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
内的概率．（3）X 的概率密度函数．
解：（1）F （a+0）=A-2πB=0，F （a-0） =A+2πB=1 所以A=0.5 B=π
1 (2)P{-2a <X 2a }=F （2a ）-F(-2a -0)=3
1
(3)f （x ）=F ，
（X)={
a | x |,,x^2-a^2π1
<其他
3．已知二维随机变量(,)X Y 的概率密度为(2)e ,0,0,
(,)0,x y k x y f x y -+⎧>>=⎨⎩
其它.
（1）求系数k ；（2）判断X 和Y 是否相互独立；（3）计算概率{}21P X Y <<；（4）求min{,}Z X Y =的密度函数()Z f z . 解：（1）.由
.2k ,1),(∞∞
∞
∞==⎰
⎰+-+-得dxdy y x f
（ 2）.相互独立。

X 和Y 的边缘概率密度分别为f x （x ）=⎩⎨⎧>-<=,
0,2^2,0,0x x e x f y (x)=⎩
⎨⎧>-<=,0,^.0,0y y e y 。

（3）.P {}4^11Y |2--=<<e x
（4).Z=min {}的分布函数为y x ,F z (z)=所以⎩
⎨⎧>--<=0,3^1.0,0z z e z fz(z)=⎩⎨
⎧>-<=0
,3^30,0z z e z
4．设二维离散型随机变量(,)X Y 的联合概率分布为
（1）写出关于X 、Y 及XY 的概率分布；（2）求X 和Y 的相关系数XY ρ.
E(X)=4/3,E(Y)=4/3,COV(X,Y)=0,ρXY=0
5．假设0.50，1.25,0.80,2.00是来自总体X 的简单随机样本值。

已知ln Y X =服从正态分布N(μ,1).
(1)求X 的数学期望()E X ；
(2)求μ的置信度为0.95的置信区间. 解：（1）Y 的概率密度为：()()+∞<<∞-=
--
y e
y f y ,212
2
μπ
令μ-=y t 于是有：
()()()()⎰
⎰
⎰
∞
+∞
---
+
∞
+∞
--+--
∞
+∞
-==
===dt
e
e
dt e
e
dy e
e e
E X E b t t t y y
Y
222
12
1
2
12
12
212121π
π
π
μμ
μ2
1+
=μe
2）当置信度95.01=-α时，
05.0=α标准正态分布的水平为05.0=α的分位数等于1.96 故由Y 服从于)4
1
,(μN ,得:
95.0}4
196.14
196.1{=⨯
+<<⨯
-y y P μ
其中()01ln 4
12ln 25.1ln 8.0ln 5.0ln 41
==+++=
y 于是有: 95.0}98.098.0{=<<-μP 从而[]98.0,98.0-就是μ的置信度为0.95的置信区间.
6．设总体X 的概率密度为
0<1,
(1),()0,x x f x θθ<⎧+=⎨⎩
其他,
其中1θ>-是未知参数,12,,,n X X X 为来自总体X 的样本,试求参数θ的矩估计量和最大似然
估计量.
解：（1）因为 1
101
()(1)d 2
E X x x x θθμθθ+==+=+⎰, 令 11A μ=, 即
1
2
θθ++X = , 解得θ的矩估计量为
21
ˆ1X X
θ
-=-
2) 设12,,
,n x x x 是样本12,,
,n X X X 的观测值(01,1,2,
,)i x i n <<=,似然函数为
12
1
1
()()(1)(1)(),n
n
n i i n i i L f x x x x x θθθθθ====+=+∏∏ (9)
取对数得 1
ln ()ln(1)ln n
i i L n x θθθ==++∑
令
1
d ln ()ln 0d 1n
i i L n
x θθθ==+=+∑，
解得θ的最大似然估计值为 1
ˆ
1ln n
i
i n
x θ==--
∑,。