吉林大学2015概率论与数理统计大作业完整版

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大作业

1.仪器中有三个元件,它们损坏的概率都是0.2,并且损坏与否相互独立.当一个元件损坏时, 仪器发生故障的概率为0.25,当两个元件损坏时,仪器发生故障的概率为0.6,当三个元件损坏时,仪器发生故障的概率为0.95, 当三个元件都不损坏时,仪器不发生故障.求：（1）仪器发生故障的概率；（2）仪器发生故障时恰有二个元件损坏的概率. (1)解：设A 表示事件“仪器发生故障”，i=1,2,3 P(A)=

)/()(3

1

B B i

i i

A P P ∑=,

P(B1)=3*0.2*0.80.2=0.384,P(B2)=3*0.22*0.8=0.096,P(B3)=0.23=0.008 所以P(A)=0.384*0.25+0.096*0.6+0.008*0.95+0.1612 (2) P(B 2/A)=

)

()(2A P A p B =0.96*0.6/0.1612=0.3573

2．设连续型随机变量X 的分布函数为

0,

,()arcsin ,,(0)1,

,x a x F x A B a x a a a x a ≤-⎧⎪⎪

=+-<<>⎨⎪

≥⎪⎩

求：（1）常数A 、B ．（2）随机变量X 落在,22a a ⎛⎫

- ⎪⎝⎭

内的概率．（3）X 的概率密度函数．

解：（1）F （a+0）=A-2πB=0，F （a-0） =A+2πB=1 所以A=0.5 B=π

1 (2)P{-2a

1

(3)f （x ）=F ，

（X)={

a | x |,,x^2-a^2π1

<其他

3．已知二维随机变量(,)X Y 的概率密度为(2)e ,0,0,

(,)0,x y k x y f x y -+⎧>>=⎨⎩

其它.

（1）求系数k ；（2）判断X 和Y 是否相互独立；（3）计算概率{}21P X Y <<；（4）求min{,}Z X Y =的密度函数()Z f z . 解：（1）.由

.2k ,1),(∞∞

∞

∞==⎰

⎰+-+-得dxdy y x f

（ 2）.相互独立。X 和Y 的边缘概率密度分别为f x （x ）=⎩⎨⎧>-<=,

0,2^2,0,0x x e x f y (x)=⎩

⎨⎧>-<=,0,^.0,0y y e y 。

（3）.P {}4^11Y |2--=<

（4).Z=min {}的分布函数为y x ,F z (z)=所以⎩

⎨⎧>--<=0,3^1.0,0z z e z fz(z)=⎩⎨

⎧>-<=0

,3^30,0z z e z

4．设二维离散型随机变量(,)X Y 的联合概率分布为

（1）写出关于X 、Y 及XY 的概率分布；（2）求X 和Y 的相关系数XY ρ.

E(X)=4/3,E(Y)=4/3,COV(X,Y)=0,ρXY=0

5．假设0.50，1.25,0.80,2.00是来自总体X 的简单随机样本值。已知ln Y X =服从正态分布N(μ,1).

(1)求X 的数学期望()E X ；

(2)求μ的置信度为0.95的置信区间. 解：（1）Y 的概率密度为：()()+∞<<∞-=

--

y e

y f y ,212

2

μπ

令μ-=y t 于是有：

()()()()⎰

⎰

⎰

∞

+∞

---

+

∞

+∞

--+--

∞

+∞

-==

===dt

e

e

dt e

e

dy e

e e

E X E b t t t y y

Y

222

12

1

2

12

12

212121π

π

π

μμ

μ2

1+

=μe

2）当置信度95.01=-α时，

05.0=α标准正态分布的水平为05.0=α的分位数等于1.96 故由Y 服从于)4

1

,(μN ,得:

95.0}4

196.14

196.1{=⨯

+<<⨯

-y y P μ

其中()01ln 4

12ln 25.1ln 8.0ln 5.0ln 41

==+++=

y 于是有: 95.0}98.098.0{=<<-μP 从而[]98.0,98.0-就是μ的置信度为0.95的置信区间.

6．设总体X 的概率密度为

0<1,

(1),()0,x x f x θθ<⎧+=⎨⎩

其他,

其中1θ>-是未知参数,12,,,n X X X 为来自总体X 的样本,试求参数θ的矩估计量和最大似然

估计量.

解：（1） 因为 1

101

()(1)d 2

E X x x x θθμθθ+==+=+⎰, 令 11A μ=, 即

1

2

θθ++X = , 解得θ的矩估计量为

21

ˆ1X X

θ

-=-

2) 设12,,

,n x x x 是样本12,,

,n X X X 的观测值(01,1,2,

,)i x i n <<=,似然函数为

12

1

1

()()(1)(1)(),n

n

n i i n i i L f x x x x x θθθθθ====+=+∏∏ (9)

取对数得 1

ln ()ln(1)ln n

i i L n x θθθ==++∑

令

1

d ln ()ln 0d 1n

i i L n

x θθθ==+=+∑，