第2讲逆矩阵精品PPT课件
合集下载
高等数学逆矩阵ppt课件
268.
例7: 设方阵A满足矩阵方程 A2–A–2E = O, 证明: A, A+2E 都可逆, 并求它们的逆矩阵.
证明: 由 A2–A–2E=O, 得 A(A–E)=2E,
则
A
1
(
A
E
)
A1 E,
故A可逆, 且A-1 = 1 ( A E ).
2
2
又由 A2–A–2E=O, 得 (A+2E)(A–3E)+4E=O,
1 3
2, A12
2 3
1 3
3, A13
2 3
2 4
2,
同理可得 A21 6, A22 6, A23 2,
A31 4, A32 5, A33 2. 所以,
A
2 3
2
6 6
2
4 5
,
2
故
A1
|
1 A A|
1 3
1
2
3 3
1
5
122.
7
例3: 下列矩阵A,B是否可逆? 若可逆, 求其逆矩阵.
由伴随矩阵的性质: AA*= A*A = | A | E, 知
当| A | 0时,
A 1 A 1 A A E, | A| | A|
按逆矩阵的定义得, A1
1
A .
| A|
当| A | = 0 时, 称A为奇异矩阵, 否则称A为非奇异
矩阵.
4
由此可得, A是可逆矩阵的充分必要条件是A为非 奇异矩阵.
§2.3 逆 矩 阵
一、逆矩阵的概念和性质
在数的运算中, 当数 a 0 时, 有 aa-1 = a-1a = 1.
其中 a1 1 为a 的倒数, 或称a的逆(元). a
逆矩阵PPT课件
（ii）如果 = diag(1 , 2 , … , n)为对角矩阵, 则 k = diag(1k , 2k , … , nk)，从而
高等代数
() = a0 E + a1 + … + am m
1
1
1m
a0
1
a1
定义2 当|A|=0时，称A为奇异矩阵（退化矩阵）， 否则称A为非奇异矩阵（非退化矩阵）， 由定理2可知，可逆矩阵就是非奇异矩阵。
高等代数
逆矩阵的求法一：待定系数法
例1:
设
2
A
1
1
0
,
求A的逆矩阵。
解：
设
a
B
c
b d
是A的逆矩阵,
高等代数
逆矩阵的求法二：伴随矩阵法
项式，A 为 n 阶矩阵，记
(A) = a0 E + a1 A + … + am A m ，
(A) 称为矩阵 A 的 m 次多项式.
高等代数
2. 计算方法
（i）如果 A = P P -1，则 Ak = Pk P –1，从而 (A) = a0 E + a1 A + … + am A m = Pa0EP -1 + Pa1P -1 + … + PammP –1 = P ()P -1 .
3
求 (A) = A3 + 2A2 – 3A .
高等代数
学习导引 1，为什么提出矩阵分块法？体现了一种什么思想？ 2，方阵A的伴随矩阵 是分块矩阵吗？ 3，分块矩阵的加法、数乘运算要注意哪些问题？ 4，如何对分块矩阵进行乘法运算、转置运算？ 5，分块对角阵的行列式、逆矩阵、高次幂如何运算？
高等代数
() = a0 E + a1 + … + am m
1
1
1m
a0
1
a1
定义2 当|A|=0时，称A为奇异矩阵（退化矩阵）， 否则称A为非奇异矩阵（非退化矩阵）， 由定理2可知，可逆矩阵就是非奇异矩阵。
高等代数
逆矩阵的求法一：待定系数法
例1:
设
2
A
1
1
0
,
求A的逆矩阵。
解：
设
a
B
c
b d
是A的逆矩阵,
高等代数
逆矩阵的求法二：伴随矩阵法
项式，A 为 n 阶矩阵，记
(A) = a0 E + a1 A + … + am A m ，
(A) 称为矩阵 A 的 m 次多项式.
高等代数
2. 计算方法
（i）如果 A = P P -1，则 Ak = Pk P –1，从而 (A) = a0 E + a1 A + … + am A m = Pa0EP -1 + Pa1P -1 + … + PammP –1 = P ()P -1 .
3
求 (A) = A3 + 2A2 – 3A .
高等代数
学习导引 1，为什么提出矩阵分块法？体现了一种什么思想？ 2，方阵A的伴随矩阵 是分块矩阵吗？ 3，分块矩阵的加法、数乘运算要注意哪些问题？ 4，如何对分块矩阵进行乘法运算、转置运算？ 5，分块对角阵的行列式、逆矩阵、高次幂如何运算？
课件：逆矩阵
(3) 若A, B为同阶方阵且均可逆, 则 AB亦可逆, 且
( AB)1 B1A1 (4) 若A可逆，则AT也可逆，且( AT )1 ( A1)T.
(5) 若A可逆，则 A1 A 1 .
(6)( A )1 ( A1) A 1 A. (7)( A ) A n2 A,当n 2时，( A) A
证明：若 AB E，则 AB A B 1，故 A 0， 即 A可逆, 且 B ( A1A)B A1( AB) A1, 同理，B可逆，且 A B1 .
方阵A的逆矩阵的求法:
(1) 利用公式 A1 1 A, (适用于二阶、三阶矩阵求逆) A
(2) 寻找方阵 B , 使得 AB E. (适用于抽象矩阵求逆)
【例9】设
3 1 0
A
2
2
0
0 0 4
解 AX A 2X
解方程 AX A 2X .
AX 2X A
( A 2E) X A,得到
X ( A 2E )1 A,
1 1 0 1 3 1 0
X
2
4
0
2
2
0
0 0 2 0 0 4
4 1 0 3 1 0
1 2
5 10
5 15
，
5 0 0 1 0 0
则
A1
A* A
1 25
0 0
5 10
5 15
1 5
0 0
1 2
13
若|A|＝ 0, 则称 A为奇异矩阵 (退化矩阵) . 若|A|≠ 0, 则称 A为非奇异矩阵 (非退化矩阵).
推论： 设A、B为同阶方阵，若 AB E，
则 A和 B都可逆，且 A1 B，B1 A .
(8)(AB) BA
注： ( A B)1 A1 B1
( AB)1 B1A1 (4) 若A可逆，则AT也可逆，且( AT )1 ( A1)T.
(5) 若A可逆，则 A1 A 1 .
(6)( A )1 ( A1) A 1 A. (7)( A ) A n2 A,当n 2时，( A) A
证明：若 AB E，则 AB A B 1，故 A 0， 即 A可逆, 且 B ( A1A)B A1( AB) A1, 同理，B可逆，且 A B1 .
方阵A的逆矩阵的求法:
(1) 利用公式 A1 1 A, (适用于二阶、三阶矩阵求逆) A
(2) 寻找方阵 B , 使得 AB E. (适用于抽象矩阵求逆)
【例9】设
3 1 0
A
2
2
0
0 0 4
解 AX A 2X
解方程 AX A 2X .
AX 2X A
( A 2E) X A,得到
X ( A 2E )1 A,
1 1 0 1 3 1 0
X
2
4
0
2
2
0
0 0 2 0 0 4
4 1 0 3 1 0
1 2
5 10
5 15
，
5 0 0 1 0 0
则
A1
A* A
1 25
0 0
5 10
5 15
1 5
0 0
1 2
13
若|A|＝ 0, 则称 A为奇异矩阵 (退化矩阵) . 若|A|≠ 0, 则称 A为非奇异矩阵 (非退化矩阵).
推论： 设A、B为同阶方阵，若 AB E，
则 A和 B都可逆，且 A1 B，B1 A .
(8)(AB) BA
注： ( A B)1 A1 B1
逆矩阵及其求法-PPT
4
15 1
15 2
15
1 2 3
1 0 0
x1 1
x2
0
x3
0
A22
An
2
A2n
Ann
| A | 0 0
1 0 0
|
1 A
|Leabharlann 0 | A| 0
|
1 A
|
|
A
|
0
1
0
0
0 | A |
0
0
1
=E
同样 ( 1 A* )A 1 | A | E E
| A|
| A|
由逆阵得定义有: A1 1 A* | A|
注: AA*=A*A=|A|E
1 2 3 x1 1
其中A 2
2
5, X
x2
,
B
2
3 5 1 x3 3
∵|A|=150
A可逆
求得 A1 112353
13
15 8
4
15 1
,
15 15 15
4 15
1 15
2 15
X=A1B
X
x1
x
2
x3
112353 15 4
15
13
15 8
15 1
15
0 1 5 2 1 1
例3 设方阵A满足A2A2E=0,证明:A, A+2E 都可逆,并求它们得逆阵、
[证] A2A2E=0 A(AE)=2E
A A E E 2
A A E 1 2
|A|0 A可逆, A1 1 ( A E )
2
A2A2E=0 (A+2E)(A3E)+4E=0 ( A 2E)[ 1 ( A 3E)] E 4 A 2E 1 (A 3E) 1 4
2-5逆矩阵PPT课件
可改写为 XA + X(2E) = B, 即 X(A+2E) = B ,
其中 A 2E 3 2, 该矩阵可逆，其逆
1 1
1 2
( A 2E )1 1 1 51
2 3
5 1
5 3
.
5 5
2
故
X
B(
A
2E
)1
1
2
3 1 2
1
5 1
5
2
5 3
5
1 0 0
1 1 . 2
推论2 若A, B都是方阵，且满足AB = E (或 BA=E )，则A可逆，且A-1 = B .
证 由AB = E 得 |A||B| = 1, 于是|A|≠0，A可逆； 则A-1存在，又 B = EB = (A-1 A)B = A-1E = A-1.
推论2说明，在验证B是否为A的逆矩阵时，只 需验证一个等式AB = E 或BA=E 即可, 但注意A, B 须是方阵的前提下才能如此验证.
0 0 4 2
求
例3 A-1,
设A
B-1 .
1 0 0
3 0 0
0 1 2
0 11
,
B
0 3 1
0 1 0
5 0 0
2
0 0
解 把A, B分块化为分块对角阵：
1
A
1 0 0
2 3 0 0
0 0 1 2
0 0 11
A11 0
0 A22 ,
而
A1 11
|
1 A11
|
A* 11
1 5
二、可逆矩阵的判定及其求法
1、伴随矩阵法
定义4 设A (aij )为n阶矩阵，Aij为行列式 | A |
逆矩阵PPT课件
学习目标：1、了解逆矩阵的概念及性质
2、掌握逆矩阵的求法
学习重点：会判别逆矩阵是否存在；如何求逆矩阵 学习难点：熟练运用公式求逆矩阵
一、概念的引入
当数 在数的运算中， 其中 为 时， 有
的倒数， （或称
的逆）；
在矩阵的运算中， 单位阵 相当于数的乘法运算中 的1， 那么，对于矩阵 ， 如果存在一个矩阵 , 使得
证明： 若设
可得 所以 的逆矩阵是唯一的,即
(2)、
(3)、
证明
例
设
目前只能利用定义，用待定系数法解决！
解 则 设 是 的逆矩阵,
又因为
所以
显然当阶数大时，很繁！深切渴望好 方法！！！
三、逆矩阵的求法
定理 矩阵 可逆的充要条件是 ，且
牢 记 这 个 定 理
注：
现在有两种方法：待定系数法（略）和公式法。 例1 求方阵 的逆矩阵.
逆矩阵的计算方法
思考题
思考题解答
答Leabharlann 则矩阵 称为 的可逆矩阵或逆阵.
二、逆矩阵的概念和性质
1、 定义 对于 阶矩阵 ，如果有一个 阶矩阵 则说矩阵 是可逆的，并 ,使得 把矩阵 称为 的逆矩阵. 例 设
注意：
要同时成立！
现在要解决的问题：1. 方阵 满足什么条件时可逆? 2. 可逆时，逆阵怎样求？
2、性质 若 (1)、 是可逆矩阵，则 和 是 的逆矩阵是唯一的. 的可逆矩阵，则有
解
同理可得
用伴随阵求三阶以上 矩阵的逆阵计算量大
故
显然当阶数大时，还是有点很繁哦！继续 渴望好方法！！！
例2
解
用伴随阵求三阶以上矩阵的逆阵计算量大
例3
设
解
于是
2、掌握逆矩阵的求法
学习重点：会判别逆矩阵是否存在；如何求逆矩阵 学习难点：熟练运用公式求逆矩阵
一、概念的引入
当数 在数的运算中， 其中 为 时， 有
的倒数， （或称
的逆）；
在矩阵的运算中， 单位阵 相当于数的乘法运算中 的1， 那么，对于矩阵 ， 如果存在一个矩阵 , 使得
证明： 若设
可得 所以 的逆矩阵是唯一的,即
(2)、
(3)、
证明
例
设
目前只能利用定义，用待定系数法解决！
解 则 设 是 的逆矩阵,
又因为
所以
显然当阶数大时，很繁！深切渴望好 方法！！！
三、逆矩阵的求法
定理 矩阵 可逆的充要条件是 ，且
牢 记 这 个 定 理
注：
现在有两种方法：待定系数法（略）和公式法。 例1 求方阵 的逆矩阵.
逆矩阵的计算方法
思考题
思考题解答
答Leabharlann 则矩阵 称为 的可逆矩阵或逆阵.
二、逆矩阵的概念和性质
1、 定义 对于 阶矩阵 ，如果有一个 阶矩阵 则说矩阵 是可逆的，并 ,使得 把矩阵 称为 的逆矩阵. 例 设
注意：
要同时成立！
现在要解决的问题：1. 方阵 满足什么条件时可逆? 2. 可逆时，逆阵怎样求？
2、性质 若 (1)、 是可逆矩阵，则 和 是 的逆矩阵是唯一的. 的可逆矩阵，则有
解
同理可得
用伴随阵求三阶以上 矩阵的逆阵计算量大
故
显然当阶数大时，还是有点很繁哦！继续 渴望好方法！！！
例2
解
用伴随阵求三阶以上矩阵的逆阵计算量大
例3
设
解
于是
逆矩阵的计算ppt课件
可见AB为恒等变换所对应的矩阵，故AB = E 。
上页 下页 返回
26
用(8)代入(10)，得 X = B( AX ) = ( BA )X
即有 BA = E。 于是有AB = BA = E。 具有这种性质的矩阵A称为是可逆的，而矩阵B 称为 矩阵A 的逆矩阵。
上页 下页 返回
27
证 AT ( A1 )T ( A1 A)T ET E.
上页 下页 返回
8
当| A | 0时, 定义 A0 E, Ak ( A1 )k ,
其中 k 为正整数。
当| A | 0,, 为整数时,有
A A A ,( A ) A .
上页 下页 返回
9
例9
1 求方阵 A 2
2 2
13 的 逆 阵.
上页 下页 返回
11
解 于是
A1
1 3
3 3
2 1
1
X A1CB1
52 , 21
B 1
3 5
21,
1 3
2 1
3 3 1
5221
1 2 3
3 0 1
3 5
21
1 0
0
1 2 2
3 5
21
2 10 10
1 4. 4
上页 下页 返回
12
矩阵的运算小结
一、已定义过的运算：
★矩阵与矩阵的加、减法； ★矩阵与数的乘积； ★矩阵与矩阵的乘积； ★方阵的行列式； ★逆矩阵； ★矩阵的转置。
Ex.4
设A
2 0
0 3
00 , 求A的 逆 矩 阵.
0 0 4
解 因| A| 24 0,故A可逆. 又
A11 12, A22 8, A33 6, Aij 0(i, j 1,2,3,且i j),
上页 下页 返回
26
用(8)代入(10)，得 X = B( AX ) = ( BA )X
即有 BA = E。 于是有AB = BA = E。 具有这种性质的矩阵A称为是可逆的，而矩阵B 称为 矩阵A 的逆矩阵。
上页 下页 返回
27
证 AT ( A1 )T ( A1 A)T ET E.
上页 下页 返回
8
当| A | 0时, 定义 A0 E, Ak ( A1 )k ,
其中 k 为正整数。
当| A | 0,, 为整数时,有
A A A ,( A ) A .
上页 下页 返回
9
例9
1 求方阵 A 2
2 2
13 的 逆 阵.
上页 下页 返回
11
解 于是
A1
1 3
3 3
2 1
1
X A1CB1
52 , 21
B 1
3 5
21,
1 3
2 1
3 3 1
5221
1 2 3
3 0 1
3 5
21
1 0
0
1 2 2
3 5
21
2 10 10
1 4. 4
上页 下页 返回
12
矩阵的运算小结
一、已定义过的运算：
★矩阵与矩阵的加、减法； ★矩阵与数的乘积； ★矩阵与矩阵的乘积； ★方阵的行列式； ★逆矩阵； ★矩阵的转置。
Ex.4
设A
2 0
0 3
00 , 求A的 逆 矩 阵.
0 0 4
解 因| A| 24 0,故A可逆. 又
A11 12, A22 8, A33 6, Aij 0(i, j 1,2,3,且i j),
2-3逆矩阵【课件】线性代数
故 A A1 E 1, 所以 A 0. 当 A 0时,
一：逆矩阵的概念与性质
AA
A A
AE
A A
A
A
E,
AA
按逆矩阵的定义得
A1 A . A
证毕
奇异矩阵与非奇异矩阵的定义
当 A 0时, A称为奇异矩阵,当 A 0时, A称为 非奇异矩阵. 由此可得A是可逆阵的充要条件是A为非奇异矩阵.
§2．3
可 逆 矩 阵
逆矩阵的概念 逆矩阵的运算性质 伴随矩阵 逆矩阵的计算 矩阵方程
概念的引入
对于线性方程组
a11x1 a12 x2 a1n xn b1
a21 x1
a22 x2 a2n xn
b2
am1x1 am2 x2 amn xn bm
我们令 a11
A
a21
若设 B 和 C 是 A 的可逆矩阵，则有
AB BA E, AC CA E,
可得 B EB CAB CAB CE C.
所以 A 的逆矩阵是唯一的,即 B C A1.
说明2：并不是所有的矩阵都有逆矩阵？ 设矩阵A有逆矩阵B 则 AB=BA=E 取行列式有：| AA B0 |=|A||B|=|E|=1
2 6 4
A* A12 A22 A32 2 3 1
A13
A23
A33
1
2 1
问题：计算 AA* 与 A*A 的积。
一：逆矩阵的概念与性质
AA
a11 a12
a21 a22 a11 A11
a1n a2n
a12 A12
A11 A12
A21
A22 a1n
A1n
An1 An2 A
i=j
故 AA A ij A ij A E.
矩阵的逆及其求法PPT课件
(A
E )
4
0
2
.
8 1 3
6 1 1
所以
(A
E )1
1 2
(A
E )
1 2
4 8
0 1
2
,
3
6 1 1 2 1 1 8 1
B
1 2
4 8
0 1
2
2
3 2
6 1
4
3
1 2
4 8
2 1
故
6
1 2
1
2
A B 4 7 3 .
2
3
11
2 2
1
2
.
充分发挥其作用，有必要对它进一步探讨。
定理3 A可逆 A 行 E Pm P2P1A E
Pm P2P1E A1 E 行 A1
求 A1方法 ：( A E) 行(E A1)
21
第21页/共36页
例7 求下列矩阵的逆
矩阵 1 0 1
1. A 2 1 0 3 2 5
解：
1 0 1 1 0 0
A A1 E 1 0 , 因此 A 0.
充分性．设 A 0, 由定理 2.1 知
AA A A A E.
故有 A( 1 A* ) ( 1 A* )A E .
A
A
9
第9页/共36页
由逆矩阵定义知，A 可逆，且其逆为
A1 1 A* . A
定理 2.2 不仅给出了判断矩阵可逆的方法， 还给出了求解逆矩阵的一种方法 .
2
第2页/共36页
一、逆矩阵的概念
定义1 设 A 为 n 阶方阵，如有 n 阶方阵 B ，使 AB = BA = E .
则称 A 为可逆阵，B 为 A 的逆阵，记作 B A1 .
第2章 2.3逆矩阵
ö ÷
æ ç
a1-1
÷= ç
ai ç ç è
a1a2a4 ÷ a1a2a3÷ø
ç
ç è
(Õ ai ¹ 0)
A-1 = 1 A* A
a2-1 O
ö
÷
÷
÷
a4
-1
÷ ø
同理 矩阵的逆
æ
a1 ö
ç ç
a2
÷ ÷
ç a3
÷
ç è
a4
÷ ø
(Õ ai ¹ 0)
æ
ç
ç
ç
ç è
a4
a3
a2
a1 ö-1 ÷
æ ç
A11 A12
A21 L A22 L
M÷ ç M M
ann
÷ ø
ç è
A1n
A2n L
ö
÷
÷ = A I.
÷
A
÷ ø
An1 ö
An2
÷ ÷
M÷
Ann
÷ ø
同理可得 A* A = A I . 所以 AA* = A* A = A I
定理 1 A可逆 Û A ¹ 0 ，且A可逆时,有
A-1 = 1 A* A
A
ad - bc è - c a ø
例3: 判断下列方阵是否可逆，若可逆，求其逆矩阵.
æ1 2 3ö
A
=
ç ç
2
2
1÷÷ ,
çè 3 4 3÷ø
æ 0 -1 5 ö
B
=
ç ç
-4
2
-2
÷ ÷
.
çè 1 -1 3 ÷ø
解 因 A = 2 ¹ 0， B = 0，故 A可逆，B 不可逆．
线代课件-逆矩阵
則
A1
|
1 A|
A*
A*
A11 A12 A13
A21 A22 A23
A31 A32
A33
M11 M12
M21 M 22
M 31 M32
7 6
4 3
9
7
M13 M23 M33 3 2 4
| A | 0
方陣A可逆
此時，稱矩陣A 為非奇異矩陣
A1 1 A* | A|
定理: 方陣A可逆的充要條件是 | A | 0 ．
A B
A B 1
1
1
( AT )1 ( A1 )T
例 设A为3阶方阵，且 | A| 1 , 求 | 3A1 2A* |。 2
答案： | 3A1 2A* | 4A* 或 2A1 16
（矩陣方程的求解） 例： 書上P45 例8, 9
例 设 A可逆. 证明:( A* )1 ( A1 )* A 。 A
amn xn bm ：
线性方程组的向量表示
1x1 2 x2 n xn b 其中 j =（a1j ,a2 j , amj）T, j 1,2, , n
例：證明克蘭姆法則. （見書上P52）
3、分块对角矩阵
设
A
B O
O C
，其中
B,C
均为方阵，则：
（ⅰ） A B C
；
（ⅱ）
An
x2
b2
amn
xn
bm
：
a11 a12
其中
A
a21
a22
am1
am2
a1n
a2n
x1
，
x
x2
,
b1
b
b2
.
《逆矩阵矩阵的秩》课件
《逆矩阵矩阵的秩》PPT课 件
contents
目录
• 逆矩阵的定义与性质 • 矩阵的秩的定义与性质 • 逆矩阵与矩阵秩的关系 • 逆矩阵的应用 • 总结与展望
01
逆矩阵的定义与性质
逆矩阵的定义
逆矩阵
设矩阵$A$是一个$n times n$矩阵 ，如果存在一个$n times n$矩阵 $B$，使得$AB = A = I$，则称 $B$是$A$的逆矩阵。
在矩阵分解中的应用
矩阵分解
逆矩阵是矩阵分解的一个重要组成部分，通过将一个复杂矩阵分解为几个简单的、易于处理的矩阵，可以更好地 理解和分析该矩阵。
特征值和特征向量
在求解特征值和特征向量的过程中，常常需要用到逆矩阵。
在数值分析中的应用
数值稳定性
在某些数值分析方法中，如迭代法求解线性方程组，使用逆矩阵可以增加数值稳定性，减少误差的传 播。
03
通过逆矩阵与矩阵秩的研究，可以解决实际问题，推
动科学技术进步。
未来研究的方向和展望
01
深入研究逆矩阵与矩阵秩的性质和关系，探索其在不同领域的应用。
02
结合现代计算技术和数值分析方法，提高逆矩阵与矩阵秩计算和求解 的精度和效率。
03
探索逆矩阵与矩阵秩在人工智能、大数据分析等领域的应用，推动相 关领域的发展。
02
矩阵的秩的定义与性 质
矩阵的秩的定义
矩阵的秩
一个矩阵的秩是其行向量组或列向量组的一个最大线 性无关组的向量个数。
行向量组的秩
矩阵的行向量组的秩等于行向量的最大线性无关组中 的向量个数。
列向量组的秩
矩阵的列向量组的秩等于列向量的最大线性无关组中 的向量个数。
矩阵的秩的性质
contents
目录
• 逆矩阵的定义与性质 • 矩阵的秩的定义与性质 • 逆矩阵与矩阵秩的关系 • 逆矩阵的应用 • 总结与展望
01
逆矩阵的定义与性质
逆矩阵的定义
逆矩阵
设矩阵$A$是一个$n times n$矩阵 ，如果存在一个$n times n$矩阵 $B$，使得$AB = A = I$，则称 $B$是$A$的逆矩阵。
在矩阵分解中的应用
矩阵分解
逆矩阵是矩阵分解的一个重要组成部分，通过将一个复杂矩阵分解为几个简单的、易于处理的矩阵，可以更好地 理解和分析该矩阵。
特征值和特征向量
在求解特征值和特征向量的过程中，常常需要用到逆矩阵。
在数值分析中的应用
数值稳定性
在某些数值分析方法中，如迭代法求解线性方程组，使用逆矩阵可以增加数值稳定性，减少误差的传 播。
03
通过逆矩阵与矩阵秩的研究，可以解决实际问题，推
动科学技术进步。
未来研究的方向和展望
01
深入研究逆矩阵与矩阵秩的性质和关系，探索其在不同领域的应用。
02
结合现代计算技术和数值分析方法，提高逆矩阵与矩阵秩计算和求解 的精度和效率。
03
探索逆矩阵与矩阵秩在人工智能、大数据分析等领域的应用，推动相 关领域的发展。
02
矩阵的秩的定义与性 质
矩阵的秩的定义
矩阵的秩
一个矩阵的秩是其行向量组或列向量组的一个最大线 性无关组的向量个数。
行向量组的秩
矩阵的行向量组的秩等于行向量的最大线性无关组中 的向量个数。
列向量组的秩
矩阵的列向量组的秩等于列向量的最大线性无关组中 的向量个数。
矩阵的秩的性质
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
例
设
P=
1 1
2 4
,
=
1 0
0 2
,
AP=P,
求
An.
解.
|P|=2,
P1
1 2
4 1
2 1
,
A
PP1,
A2 PP1PP1 P2P1, , An PnP1
而
1 0
0 2
，
2
1
0
0 22
，
， n
1
0
故
An
1 1
21
4
0
0 1 4
2n
2
1
2
1
2-2n 2n 1
343
21
A11 4
2, 3
21
A12 3
3, 3
同理可得 A13 2, A21 6, A22 6, A23 2, A31 4, A32 5, A33 2,
得
A
2 3
6 6
4 5 ,
2 2 2
故
A1
1 A
A
1 2
2 3 2
6 6 2
4 5
2
1 3 1
2
3 3 1
A1E A1 .
证毕
三、逆矩阵的运算规律
1 若A可逆,则A1亦可逆,且 A1 1 A.
2 若A可逆,数 0,则A可逆,且
A1 1 A1.
3 若A, B为同阶方阵且均可逆 ,则AB亦可逆,且
AB 1 B1 A 1
证明
AB B1A1 A BB1 A1
AEA1 AA1 E,
若设 B 和 C 是 A 的逆矩阵，则有
AB BA E, AC CA E,
可得 B EB CAB CAB CE C.
所以 A 的逆矩阵是唯一的,即 B C A1.
当 A 0时,
AA
a11 a12
a21 a22 a11 A11
a1n a2n
a12 A12
A11 A12
=
2-2
n+1
2n+1 1.
0 2n
，
四、小结
逆矩阵的概念及运算性质.
逆矩阵 A1 存在 A 0.
逆矩阵的计算方法
1待定系数法;
2利用公式A1 A ;
A
3初等变换法 下一章介绍 .
思考题
若A可逆,那么矩阵方程AX B是否有唯一解 X A1B? 矩阵方程 YA B 是否有唯一解 Y BA1 ?
思考题解答
答 是的. 这是由于A1的唯一性决定的.
对于行数和列数较高的矩阵 ，为了 简化运算，经常采用分块法，使大矩阵的 运算化成小矩阵的运算.
例
a
A
0 1
0
1 a 0 1
0 0 b 1
0 0 1 b
B1 B2 B3
,
即
a
A
0
01
1
a
0 1
0
0
b 1
0 0 b1
B1 BB23
k为正整数
当 A 0, , 为整数时,有
A A A ,
A A .
5 若A可逆 ,则有 A1 A 1 .
证明
AA1 E A A1 1
因此 A1 A 1 .
四、逆矩阵的求法
例1
求方阵
1 A 2
2 2
3 1
的逆矩阵.
3 4 3
1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ3
解 A 2 2 1 2 0, A1存在.
性质：
10 矩阵A的两个多项式 ( A)和f ( A)可交换，即：
( A) f ( A) f ( A)( A)
20 若A PP1，则 Ak Pk P1
( A) a0E a1A am Am
Pa0EP1 Pa1P1 PammP1 P(a0E a1 amm )P1
P ()P1
A, A 2E都可逆,并求它们的逆矩阵 .
证明 由A2 A 2E 0,
A1
得AA E 2E A A E E
2 A A E 1 A 0, 故A可逆.
2
A1 1 A E .
2
又由A2 A 2E 0
A 2E A 3E 4E 0
A
2E
1 4
A
3E
E
A
2E
2 5 2. 1
例2
设
1 A 2
3
2 2 4
3 1, 3
B
2 5
1 , 3
C
1 2 3
3 0, 1
求矩阵X使满足 AXB C.
123
解
A 2
2
1 2 0,
2 B
1 1 0,
53
343
A1, B1都存在.
且
A1
1 3
2
1
3 3 1
2 5 2, 1
一、概念的引入
在数的运算中，当数a 0 时， 有
aa1 a1a 1,
其中 a1 1 为 a 的倒数，（或称 a 的逆）；
a
在矩阵的运算中，单位阵E相当于数的乘法运算中 的1， 那么，对于矩阵 A ，如果存在一个矩阵A1,
使得
AA1 A1 A E,
则矩阵 A1称为 A 的可逆矩阵或逆阵.
二、逆矩阵的概念和性质
定义 对于n 阶矩阵 A ，如果有一个n 阶矩阵B
,使得
AB BA E,
则说矩阵A是可逆的，并把矩阵 B 称为A 的逆矩阵.
记作 A1 .
例1
设 A 1 1
1, B 1 2 1 1 2
1 2, 1 2
AB BA E, B是A的一个逆矩阵.
说明 若 A 是可逆矩阵，则 A 的逆矩阵是唯一的.
1
A 2E 1 A 3E 1,
故A 2E可逆.
4
且 A 2E 1 1 A 3E 3E A .
4
4
五、矩阵多项式
一般的，设 (x) a0 a1x am xm为x的m次多项式，
A为n阶矩阵，
记： ( A) a0E a1A am Am 则( A)称为矩阵A的m次多项式.
AB1 B1 A1.
推广 A1 A2 Am 1 Am1 A21 A1.1
4 若A可逆,则AT亦可逆 ,且 AT 1 A1 T. 证明 AT A1 T A1A T ET E,
AT 1
A1
T
.
另外, 当 A 0时,定义
A0 E, Ak A1 k .
B1 3 5
1, 2
又由 AXB C A1 AXBB1 A1CB1
E X A1CB1.
于是 X A1CB1
1 3 2
1
3 3 1
2 1 5 2 2 1 3
03 1
3 5
1 2
1 0
0
1 2 2
3 5
1
2 10
2 10
1 4. 4
例 3 设方阵A满足方程A2 A 2E 0,证明 :
A21
A22 a1n
A1n
An1 An2 A
aann11Ana1n2 an2 Aann2n A1n aAnn2nAnn AAnn
A
O
O
A
A
, A
推论 若AB E或BA E ,则B A1.
证明 A B E 1, 故 A 0,
因而A1存在, 于是
B EB A1A B A1AB