计算电磁学
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第4章 积分方程法
4.1 引言
积分方程法的发展： 1）是由于微分方程法对某些问题的解，需要计算机内存很多，计算精度
难于提高，如对三维场的计算，节点剧增，需要寻求更适当方法计算； 2）在此同时，一些从事解析方法和均匀磁化法磁场计算的研究人员从微
分方程法的离散概念中吸取有用的东西，将源区进行离散，发展成积分方 程法，代表程序有GFUN（可计算二维、三维场）、BIM等程序。
H(r) Hm (r) Hc (r)
下标为 m 的量表示由磁介质磁化所产生的磁场。c 表示电流源存在所产生的 磁场。
介质在空间各点所产生的场强的大小不仅取决于它和场点间的几何距离，而 且与介质的磁化强度有关，磁化强度除了与本身材料有关以外，还与周围电 流源及介质产生的场有关，相互影响，最后趋于稳定，其关系是一个较复杂 的非线性关系。
第4章 积分方程法
4.6 积分方程法与微分方程法（有限元及有限差分法） 的比较
积分法
微分法
基本原理 Maxwell方程+媒质特性方程
处理问题 方法
Hb Hb
H ac H bc
若磁化率
a 和
是已知的，可以写成六个线性方程，有六个未知数
b
：Hax，Hay，Haz，Hbx，Hby，Hbz可求出。但实际上 a 和 b 不是常
数，要经过反复迭代进行求解。
IV. 计算框图：
参数输入，假定 值
形成系数
解方程求 H
查 B ～H 曲线求
计算电流场量
否
I. 假设磁化体单元 a 的磁化强度为 Ma，并认为是一个常数，同样 b 单元 中磁化强度为 Mb，也为常数。
II. 取源点为 b，场点为 a，在上式中，单元内 M 看成常数，可以从积分 中提出。剩下的积分参数只与单元几何形状、场点位置有关，在确定 位置情况下，积分为常数，用 Cab 表示：
第4章 积分方程法
本章只做概念性介绍。
第4章 积分方程法
4.2 积分方程法的物理概念和基本公式
积分方程法从宏观的角度来描述场，场区中每点的值仅取决于所有场源对 它的影响。场点和源点的联系是通过毕奥－萨伐定律实现。由于离散只在源 区进行，加上恒定磁场问题的电流分布是已知的，因此实际上离散只在非线 性铁区内进行，这使得数据输入和网格剖分大为简化。
1 0
是 计算M，H
输出
0
第4章 积分方程法
积分方程法用于求解平行平面场、轴向场情况可以自学，加深对积分 方程法的理解。
（3）积分方程法的特点： 1) 离散区域：只需对电流源和磁性介质进行离散，并且是分别进行考 虑，因此可使电流源和磁性介质对称性充分得到利用； 2) 不需要专门对边界条件进行讨论：在计算中考虑到了空间所有场源 的作用，与外界无能量交换，可以不考虑边界条件； 3) 由积分方程法得到的方程组其系数矩阵是满矩阵，离散单元数受到 限制，故此法对有限小的无源区的封闭边界问题或饱和情况较复杂 的铁区不适用。在使用时要注意各种方法的适用范围； 4) 离散铁区与场点的耦合系数都是以积分形式表示，在二维场是二重 积分，三维场是三重积分，它们虽然可以用格林定理、高斯定理和 椭圆函数等数学手段加以简化，但简化后的结果通常仍需要较复杂 的数学运算。在计算时仍需要较长的 cpu 时间。
磁场积分方程法主要采取的方法： （1）磁化值直接解法； （2）标量磁位的边界积分法 —— 边界元法； （3）等值面电荷积分方程法。
第4章 积分方程法
磁化值直接解法： （1）积分方程法的物理概念： 积分方程法解磁场问题的基本思想是认
为在空间任一点的场是由电流源所产生的磁 场和介质被磁化所产生的磁场迭加而成：
Hm (r)
1
4
V
3(r
r)
M
r r
(r r) 5
r
r
2
M dV
Crr M
Cab M
III. 对所有的场源写出联立方程组：
Ha Hac Caa Ma Cab Mb
H
b
Hbc
Cba Ma
Cbb Mb
又
M
B μ0
H
μ μ0
1
H
χH
（在各向同性媒质中）
代入上式可得
H H
a b
第4章 积分方程法
（2）基本公式： 积分方程法求场的基本思想和物理概念，关键问题是求出产生磁场的
源在所求场点的场强表达式。
a）电流源 c 在空间 r 处所产生的磁场 根据毕奥－萨伐定律，对二维平面
对称场和轴对称场，讲义中已经给出 了推导。因此导线电流在 P 点产生的 场量可认为是已知量。
第4章 积分方程法
毕奥－萨伐定律如何得出？
泊松方程 2 A 0J 的特解为：
A 0
J dV 0
J r
dV
4 R V1
Hale Waihona Puke Baidu
4 V1 r r
r 为场点坐标，r’ 为源点坐标；场点和 源点之间的矩离 R = r - r′，其方向由 源点指向场点。
r
1
r
J (r)
J
r
r
1 r
1 r r
r r r r3
第4章 积分方程法
积分方程法泊松方程的积分形式是由泊松方程的微分形式导出来的，又 可由积分形式的Maxwell方程导出，可以证明两者是等价的。
积分方程法的应用： 求解区域内介质数目少，交界面形状不特别复杂的情况。 不需要对全部求解区域划分网格，只需对有源区和感应(或极化)产生的“
第二次源”区划分网格，节点数大大减少，系数矩阵阶数比有限元(或差分法) 的系数阵阶数低得多，在求解时计算时间短、费用低。
B A 0 J (r) dV
4 V1 r r
B 0
4
V1
J
r
r r r r3
dV
第4章 积分方程法
b）磁介质在场点所产生的磁场
Hm
(r)
1
4
V
3(r
r)
M
r r
(r r) 5
r
r
2
M dV
Crr M
此公式利用矢量磁位与磁矩概念可以导出，推导过程略。
利用此公式可以求出磁介质在空间所产生的磁场分布，但须先知道磁化 强度 M。实际上一般 M 是未知的，因此只有采用先假设的方法，把磁介 质剖分为许多单元。
H ac Hbc
Caa a Ha Cba a Ha
Cab b Hb Cbb b Hb
整理可得
(Caa a 1)Ha Cab b Hb Hac Cba a Ha (Cbb b 1)Hb Hbc
得到一个具有三个方向分量的联立方程组，系数 C 是3×3阶张量。
第4章 积分方程法
C(CbaaaaaHa1)H(Cabb Cb ab 1)b
4.1 引言
积分方程法的发展： 1）是由于微分方程法对某些问题的解，需要计算机内存很多，计算精度
难于提高，如对三维场的计算，节点剧增，需要寻求更适当方法计算； 2）在此同时，一些从事解析方法和均匀磁化法磁场计算的研究人员从微
分方程法的离散概念中吸取有用的东西，将源区进行离散，发展成积分方 程法，代表程序有GFUN（可计算二维、三维场）、BIM等程序。
H(r) Hm (r) Hc (r)
下标为 m 的量表示由磁介质磁化所产生的磁场。c 表示电流源存在所产生的 磁场。
介质在空间各点所产生的场强的大小不仅取决于它和场点间的几何距离，而 且与介质的磁化强度有关，磁化强度除了与本身材料有关以外，还与周围电 流源及介质产生的场有关，相互影响，最后趋于稳定，其关系是一个较复杂 的非线性关系。
第4章 积分方程法
4.6 积分方程法与微分方程法（有限元及有限差分法） 的比较
积分法
微分法
基本原理 Maxwell方程+媒质特性方程
处理问题 方法
Hb Hb
H ac H bc
若磁化率
a 和
是已知的，可以写成六个线性方程，有六个未知数
b
：Hax，Hay，Haz，Hbx，Hby，Hbz可求出。但实际上 a 和 b 不是常
数，要经过反复迭代进行求解。
IV. 计算框图：
参数输入，假定 值
形成系数
解方程求 H
查 B ～H 曲线求
计算电流场量
否
I. 假设磁化体单元 a 的磁化强度为 Ma，并认为是一个常数，同样 b 单元 中磁化强度为 Mb，也为常数。
II. 取源点为 b，场点为 a，在上式中，单元内 M 看成常数，可以从积分 中提出。剩下的积分参数只与单元几何形状、场点位置有关，在确定 位置情况下，积分为常数，用 Cab 表示：
第4章 积分方程法
本章只做概念性介绍。
第4章 积分方程法
4.2 积分方程法的物理概念和基本公式
积分方程法从宏观的角度来描述场，场区中每点的值仅取决于所有场源对 它的影响。场点和源点的联系是通过毕奥－萨伐定律实现。由于离散只在源 区进行，加上恒定磁场问题的电流分布是已知的，因此实际上离散只在非线 性铁区内进行，这使得数据输入和网格剖分大为简化。
1 0
是 计算M，H
输出
0
第4章 积分方程法
积分方程法用于求解平行平面场、轴向场情况可以自学，加深对积分 方程法的理解。
（3）积分方程法的特点： 1) 离散区域：只需对电流源和磁性介质进行离散，并且是分别进行考 虑，因此可使电流源和磁性介质对称性充分得到利用； 2) 不需要专门对边界条件进行讨论：在计算中考虑到了空间所有场源 的作用，与外界无能量交换，可以不考虑边界条件； 3) 由积分方程法得到的方程组其系数矩阵是满矩阵，离散单元数受到 限制，故此法对有限小的无源区的封闭边界问题或饱和情况较复杂 的铁区不适用。在使用时要注意各种方法的适用范围； 4) 离散铁区与场点的耦合系数都是以积分形式表示，在二维场是二重 积分，三维场是三重积分，它们虽然可以用格林定理、高斯定理和 椭圆函数等数学手段加以简化，但简化后的结果通常仍需要较复杂 的数学运算。在计算时仍需要较长的 cpu 时间。
磁场积分方程法主要采取的方法： （1）磁化值直接解法； （2）标量磁位的边界积分法 —— 边界元法； （3）等值面电荷积分方程法。
第4章 积分方程法
磁化值直接解法： （1）积分方程法的物理概念： 积分方程法解磁场问题的基本思想是认
为在空间任一点的场是由电流源所产生的磁 场和介质被磁化所产生的磁场迭加而成：
Hm (r)
1
4
V
3(r
r)
M
r r
(r r) 5
r
r
2
M dV
Crr M
Cab M
III. 对所有的场源写出联立方程组：
Ha Hac Caa Ma Cab Mb
H
b
Hbc
Cba Ma
Cbb Mb
又
M
B μ0
H
μ μ0
1
H
χH
（在各向同性媒质中）
代入上式可得
H H
a b
第4章 积分方程法
（2）基本公式： 积分方程法求场的基本思想和物理概念，关键问题是求出产生磁场的
源在所求场点的场强表达式。
a）电流源 c 在空间 r 处所产生的磁场 根据毕奥－萨伐定律，对二维平面
对称场和轴对称场，讲义中已经给出 了推导。因此导线电流在 P 点产生的 场量可认为是已知量。
第4章 积分方程法
毕奥－萨伐定律如何得出？
泊松方程 2 A 0J 的特解为：
A 0
J dV 0
J r
dV
4 R V1
Hale Waihona Puke Baidu
4 V1 r r
r 为场点坐标，r’ 为源点坐标；场点和 源点之间的矩离 R = r - r′，其方向由 源点指向场点。
r
1
r
J (r)
J
r
r
1 r
1 r r
r r r r3
第4章 积分方程法
积分方程法泊松方程的积分形式是由泊松方程的微分形式导出来的，又 可由积分形式的Maxwell方程导出，可以证明两者是等价的。
积分方程法的应用： 求解区域内介质数目少，交界面形状不特别复杂的情况。 不需要对全部求解区域划分网格，只需对有源区和感应(或极化)产生的“
第二次源”区划分网格，节点数大大减少，系数矩阵阶数比有限元(或差分法) 的系数阵阶数低得多，在求解时计算时间短、费用低。
B A 0 J (r) dV
4 V1 r r
B 0
4
V1
J
r
r r r r3
dV
第4章 积分方程法
b）磁介质在场点所产生的磁场
Hm
(r)
1
4
V
3(r
r)
M
r r
(r r) 5
r
r
2
M dV
Crr M
此公式利用矢量磁位与磁矩概念可以导出，推导过程略。
利用此公式可以求出磁介质在空间所产生的磁场分布，但须先知道磁化 强度 M。实际上一般 M 是未知的，因此只有采用先假设的方法，把磁介 质剖分为许多单元。
H ac Hbc
Caa a Ha Cba a Ha
Cab b Hb Cbb b Hb
整理可得
(Caa a 1)Ha Cab b Hb Hac Cba a Ha (Cbb b 1)Hb Hbc
得到一个具有三个方向分量的联立方程组，系数 C 是3×3阶张量。
第4章 积分方程法
C(CbaaaaaHa1)H(Cabb Cb ab 1)b