高等数学第3版(张卓奎 王金金)第三章习题解答

习题3－1

1．填空题

（1）函数x y 2

sin =在区间]2

,2[π

π-

上满足罗尔定理的=ξ ． （2）曲线x

e y -=在点=x 处的切线与连接两点)1,0(与)1,1(e

的弦平行．

解 （1）显然函数x y 2

sin =在区间]2

,2[π

π-

上满足罗尔定理的三个条件，所以存在22

ππξ∈（-，），使得()0'=y ξ，即sin 20,0ξξ==．

（2） 由于函数x

e

y -=在区间[01],上连续，(01),内可导，

所以满足拉格朗日定理的条件．故存在01x ∈

（，），使得(1)(0)()10-'=-y y y x ，即1

1e e

ξ--=-，解得11ln(e )ξ=--．

2．证明下列恒等式 （1）arctan arccot 2

x x π

+=

，),(+∞-∞∈x ．

（2）3

11

3arccos arccos(34)()22

π--=-

≤≤x x x x ． 证 （1） 令()arctan arccot =+f x x x ，则(,),()0x f x '∀∈-∞+∞=，所以()≡f x C （常数）．又(0),2

f π

=

故()arctan arccot ,(,)2

f x x x x π

=+=

∈-∞+∞．

（２） 令3

()3arccos arccos(34)=--f x x x x ，则11

(),22

∀∈-

<

()0f x '=+

==，

所以()≡f x C （常数）．又1

(0)(),2

=±=f f π 所以

311

()3arccos arccos(34)()22

=--=-≤≤f x x x x x π．

3．证明：方程015

=-+x x 只有一个正实数根．

证 存在性：令5

()1=+-f x x x ．则()f x 在区间[01],上连续，且(0)10,=-f ，根据零点定理知，至少存在(01)ξ∈,，使得()0=f ξ，即ξ是方程的一个正实数根；

唯一性：假设方程有两个正根1212(0)()∈+∞<设,,ξξξξ，则()f x 在12[],ξξ上满足罗尔定理

的条件，所以至少存在一点412[],()=5+1=0'∈使,f ηξξηη，这与4

()510'=+>f x x 矛盾．说明

方程015

=-+x x 只有一个正实数根．

4．设函数)(x f 在[0,]π上连续，在(0,)π内可导，证明：在(0,)π内至少存在一点ξ，使得

()sin ()cos 0'+=f f ξξξξ．

证 令()()sin =F x f x x ．则()F x 在[0,]π上连续，在(0,)π内可导，并且(0)()0==F F π，故()F x 在[0,]π上满足罗尔定理的条件．因此，至少存在一点(0,)∈ξπ，使得()0ξ'=F ，亦即

()sin ()cos 0'+=f f ξξξξ．

5．设函数)(x f 在],[b a 上二阶可导，且0)()(==b f a f ，令)()()(x f a x x F -=，证明：在

),(b a 内至少存在一点ξ，使得0)(=''ξF ．

证

()()0==F a F b ，则()F x 在区间[,]a b 上满足罗尔定理的条件，(,)∴∃∈a b η使得

()0'=F η．又()()()(),''=+-F x f x x a f x 可见()0'=F a ，故()'F x 在区间[,]a η上也满足罗尔

定理的条件，所以，(,)(,)∴∃∈∈a a b ξη，使得()0''=F η．

6．证明下列不等式

（1） 当1>x 时，x

e e x >； （2） 当0b a >>时，

ln b a b b a

b a a

--<<

． 证（1） 令()=x f x e ，则()f x 在区间[1,]x 上满足拉格朗日中值定理的条件，从而有

()(1)()(1)(1)'-=-<-x e e e x e x ξ即，>x e ex 从而．

（２）令()ln =f x x ，则()f x 在区间[,]a b 上满足拉格朗日中值定理的条件，从而有

ln ln 1-=-b a b a ξ，又由于111

<

，亦

ln b a b b a b a a --<<． 7．设0a b <<，函数)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，证明：在),(b a 内至少存在一点ξ，使得()()()ln

b

f b f a f a

ξξ'-=． 证 令()ln g x x =，则()()f x g x 、在区间[,]a b 上满足柯西中值定理的条件．从而

(,)∃∈a b ξ使

()()()()()()f b f a f g b g a g ξξ'-='-，即 ()()()

1ln ln f b f a f b a

ξξ

'-=

-，即()()()ln b f b f a f a ξξ'-=． 8．设0a b <<．证明：在),(b a 内至少存在一点ξ，使(1)()-=--b a ae be e b a ξξ．

证 令函数1

(),()x e f x g x x x

==，则()()f x g x 、在区间[,]a b 上满足柯西中值定理的条件．从