九年级数学上册全部学案(青岛版)
初中数学 九年级上导学案(青岛泰山版)
初中数学九年级上导学案(青岛泰山版) 第1章特殊四边形1.1 平行四边形及其性质学习目标:1、知道平行四边形的概念;2、掌握平行四边形边和角之间的位置关系和数量关系3、通过操作、观察、培养动手和归纳能力,在观察、操作、推理、归纳的过程中发展合情推理能力。
重点、难点:平行四边形的性质及推理。
导学过程:一、情境导入1、想一想我们实际生活中,哪些物体的形状是平行四边形?2、在小学时,我们已经学习了平行四边形,哪位同学说一说,什么叫做平行四边形?二、自主学习自学课本第4也内容,完成下列问题:1、怎样用符号表示平行四边形?2、看下图,我们知道平行四边形是由边和角组成,找一找□ABCD中的对边、对角、邻边、邻角、对角线。
三、合作交流根据平行四边形定义很容易得到两组对边平行,那么根据图形、平行四边形还有什么特征呢?进一步启发学生平行四边形的特征与边、角、对角线有什么关系?归纳并证明:四、随堂练习1、已知□ABCD,根据下列条件填空:⑴已知∠A=50°,则∠B= _____,∠C= _____,∠D= _____。
⑵已知∠A+∠C=200°,则∠A= _____,∠B= _____。
⑶已知AB=3,BC=5,则□ABCD的周长= _______。
2、已知□ABCD中,AC、BD为两条对角线,图中有哪些相等的线段,哪些相等的角。
3、完成课本中例1、例2.五、课堂小结:六:课外拓展1、把两个完全重合且三边都不相等的三角形按不同的方法拼成平行四边形,你能拼成几个平行四边形?(看谁拼的又快又多又好2、有一张平行四边形的纸片你能把它剪成面积相等的两块三角形纸片吗?你能把它剪成面积相等的4块三角形纸片吗?七、巩固检测:(A教材P6中1、P7中练习1、习题1.1中1(B教材P6中2、P7中练习2、习题1.1中51.2 平行四边形的判定学习目标1.经历探索、猜想、证明的过程,进一步发展推理论证的能力。
2.能运用综合法证明平行四边形判定定理。
青岛版数学九年级上册教案(全册)
青岛版数学九年级上册教案（全册）1.1相似多边形教学目标【知识与能力】1、了解相似多边形的概念.2、在简单情形下，能根据定义判断两个多边形相似. 【过程与方法】通过探索相似多边形的特征，能识别两个相似多边形的对应顶点、对应角和对应边，会求相对多边形的相似比. 【情感态度价值观】通过用符号表示相似多边形及它们的对应元素，发展学生的符号意识.教学重难点【教学重点】相似多边形的定义。
【教学难点】判断两个多边形是否相似。
课前准备无教学过程教学过程 一、创设情景 老师：五星红旗是中华人民共和国的国旗.国旗上的左上角有五颗五角星.在现实生活中，你还见到这样形状相同但大小未必相等的图形吗？如图:四边形A 1B 1C 1D 1是四边形ABCD 经过相似变换所得的像， 请分别求出这两个四边形的对应边的长度,并分别量出这两个四边形各个内角的度数，然后与你的同伴议一议：这两个四边形的对应角之间有什么 关系？对应边之间有什么关系？ABCD A 1 B 1 C 1D 1二、新课 1、相似形形状相同的平面图形叫做相似形.2、相似多边形各对应角相等、各对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形. 对应顶点的字母写在对应的位置上，如四边形A 1B 1C 1D 1∽四边形ABCD .相似多边形对应边的比叫做相似比.四边形A 1B 1C 1D 1与四边形ABCD 的相似比为12k .判断，它们形状相同吗？这两个五边形是相似六边形，即六边形A 1B 1C 1D 1E 1F 1∽六边形ABCDEF . 3、例题演练例1如图课本第6页图 已知四边形AEFD ∽四边形EBCF . （1）写出他们相等的角及对应边的比例式； （2）若AD =3，EF =4，求BC 的长. 4、拓展练习下列每组图形的形状相同，它们的对应角有怎样的关系？对应边呢？ (1)正三角形ABC 与正三角形DEF ； (2)正方形ABCD 与正方形EFGH .解:(1)由于正三角形每个角等于60°，所以∠A =∠D =60°,∠B =∠E =60°,∠C =∠F =60°. 由于正三角形三边相等，所以AB :DE =BC :EF =CA :FD .解：(2)由于正方形的每个角都是直角，所以∠A =∠E =90°，∠B =∠F =90°， ∠C =∠G =90°，∠D =∠H =90°.由于正方形的四边相等，所以AB :EF =BC :FG =CD :GH =DA :HE . 课堂小结1、对应角相等，对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形.2、相似多边形对应边的比叫做相似比. 重要方法：A BCDEF A 1B 1C 1D 1E 1F 1运用相似多边形的性质解决实际问题时，一定要弄清他们的关系，并努力把实际问题与之联系，从而把实际问题简单化.1.2怎样判定三角形相似（1）教学目标【知识与能力】1．了解平行线分线段成比例基本事实及其推论.. 2．会用平行线分线段成比例解决实际问题. 【过程与方法】借助方格纸，通过观察、计算，由特殊到一般地逐步归纳、猜想，进而明确平行线分线段成比例的基本事实；然后把这一基本事实特殊化（应用在三角形中），得到推论，为后面证明相似三角形的判定基本事实做准备. 【情感态度价值观】掌握推理证明的方法，发展演绎推理能力 课前准备课件、方格纸. 教学过程1.情景导入梯子是我们生活中常见的工具.如图是一个生产过程中不合格的左右不对称的梯子的简图，经测量，AB ＝BC ＝CD ，AA 1∥BB 1∥CC 1∥DD 1，那么A 1B 1和B 1C 1相等吗？2.新知探究在图4-6中，小方格的边长均为1，直线l 1 ∥ l 2∥ l 3，分别交直线m ，n 与格点A 1，A 2，A 3，B 1，B 2，B 3.图4-6（1）计算 的值，你有什么发现？（2）将2l 向下平移到如图4-7的位置，直线m ,n 与2l 的交点分别为21,B A 你在问题（1）中发现结论还成立吗？如果将2l 平移到其他位置呢？12122323B BB B A A A A 与（3）在平面上任意作三条平行线，用它们截两条直线，截得的线段成比例吗？3.分组讨论，得出结论平行线分线段成比例基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.4.想一想（一）如果把图1中l1 , l2两条直线相交，交点A刚落到l3上，如图2所得的对应线段的比会相等吗？依据是什么？（二）如果把图1中l1 , l2两条直线相交，交点A刚落到l4上，如图2（2）所得的对应线段的比会相等吗？依据是什么？得出结论：（推论）平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边的延长线)相交，截得的对应线段成比例.5.例题学习探究点一：平行线分线段成比例如图，直线l 1∥l 2∥l 3，直线AC 分别交这三条直线于点A ，B ，C ，直线DF 分别交这三条直线于点D ，E ，F ，若AB ＝3，DE ＝72，EF ＝4，求BC 的长.解：∵直线l 1∥l 2∥l 3，且AB ＝3，DE ＝72，EF ＝4，∴根据平行线分线段成比例可得AB BC ＝DE EF，即BC ＝EF DE ·AB ＝4 72×3＝247.方法总结：利用平行线分线段成比例求线段长的方法：先确定图中的平行线，由此联想到线段之间的比例关系，结合待求线段和已知线段写出一个含有它们的比例关系式，构造出方程，解方程求出待求线段长.如图所示，直线l 1∥l 2∥l 3，下列比例式中成立的是（ ）A.AD DF ＝CE BCB.AD BE ＝BC AFC.CE DF ＝AD BC D.AF DF ＝BE CE解析：由平分线分线段成比例可知AD DF ＝BCCE，故A 选项不成立；由AD BC ＝AF BE可知B 选项不成立；由CE DF ＝BC AD可知C 选项不成立；D 选项成立.故选D.方法总结：应用平行线分线段成比例得到的比例式中，四条线段与两条直线的交点位置无关，关键是线段的对应，可简记为：“上下＝上下，上全＝上全，下全＝下全”或“上上＝下下＝全全”.探究点二：平行线分线段成比例的推论如图所示，在△ABC 中，点D ，E 分别在AB ，AC 边上，DE ∥BC ，若AD ：AB ＝3∶4，AE ＝6，则AC 等于（ ）A.3B.4C.6D.8 解析：由DE ∥BC 可得AD AB ＝AE AC ，即34＝6AC，∴AC ＝8.故选D.易错提醒：在由平行线推出成比例线段的比例式时，要注意它们的相互位置关系，比例式不能写错，要把对应的线段写在对应的位置上.如图，在△ABC 的边AB 上取一点D ，在AC 上取一点E ，使得AD ＝AE ，直线DE 和BC 的延长线相交于P ，求证：BP CP ＝BDCE.解析：本题无法直接证明，分析所要求证的等式中，有BP ：CP ，又含有BD ，故可考虑过点C 作PD 的平行线CF ，便可以构造出BP CP ＝BD DF，此时只需证得CE ＝DF 即可.证明：如图，过点C 作CF ∥PD 交AB 于点F ，则BP CP ＝BD DF ，AD DF ＝AECE. ∵AD ＝AE ，∴DF ＝CE ，∴BP CP ＝BDCE. 方法总结：证明四条线段成比例时，如果图形中有平行线，则可以直接应用平行线分线段成比例的基本事实以及推论得到相关比例式.如果图中没有平行线，则需构造辅助线创造平行条件，再应用平行线分线段成比例的基本事实及其推论得到相关比例式.6.课时小结平行线分线段成比例基本事实： (1)两直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例（关键要能熟练地找出对应线段） (2)平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边的延长线)相交，截得的对应线段成比例.1.2怎样判定三角形相似（2）教学目标【知识与能力】1.了解两角对应相等的两个三角形相似这个判定定理的证明过程.2.能运用三角形相似的判定定理证明三角形相似.【过程与方法】1.在类比全等三角形的证明方法,探究三角形相似的证明方法的过程中,进一步体验类比思想、特殊与一般的辩证思想.2.经历类比、猜想、探究、归纳、应用等数学活动,提高学生分析问题、解决问题的能力.3.通过应用三角形相似的判定方法解决简单问题,培养学生的应用意识.【情感态度价值观】1.进一步发展学生的探究、交流能力、合情推理能力和逻辑推理意识,并能够运用三角形相似的条件判定三角形相似.2.在三角形相似判定的探究过程中,渗透类比的数学思想,提高学生分析问题、解决问题的能力.3.敢于发表自己的想法、勇于质疑,养成认真勤奋、独立思考、合作交流等学习习惯,形成实事求是的科学态度.教学重难点【教学重点】能运用两角对应相等的两个三角形相似这个判定定理证明三角形相似.【教学难点】三角形相似的判定定理的证明过程.课前准备多媒体课件教学过程一、新课导入：导入一:【课件展示】你知道金字塔有多高吗?传说法老命令祭师们测量金字塔的高度,祭师们为此伤透了脑筋,为了帮助祭师们解决困难,古希腊伟大的数学家泰勒斯利用巧妙的办法测量了金字塔的高度(在金字塔旁边竖立一根木桩,当木桩影子的长度和木桩的长度相等时,只要测量出金字塔的影子的长度,便可得出金字塔的高度(如图所示)),这展示了他非凡的数学及科学才能.导入二:(1)证明三角形相似的方法是什么?(三角形相似的定义、由平行线证明三角形相似)(2)全等三角形如何定义的?证明三角形全等有几种方法?(对应角、对应边相等的三角形是全等三角形;SSS,SAS,ASA,AAS,HL)(3)全等三角形与相似三角形有什么关系?导入三:(观察实物并课件展示)观察教师手中的一副三角尺和学生手中的三角尺,其中同样两个锐角(30°与60°或45°与45°).【思考】(1)如图所示,两个等腰直角三角形的三角板相似吗?说说理由.(2)如图所示,两个含30°角的直角三角形的三角板相似吗?说说理由.(3)如果两个三角形有两组对应角相等,那么它们是否相似?[导入语]有三个角对应相等、三条边对应成比例的两个三角形相似.能不能用较少的条件来判定两个三角形相似呢?这就是我们今天要探究的主要内容.[设计意图]以生活实例为情境导入新课,让学生感受数学来源于生活,又应用于生活,激发学生学习的兴趣;由数学课上常用的三角尺猜想三角形相似的条件,顺利自然地导出本节课的课题.二、新知构建：观察思考:完成导入三中提出的问题.【师生活动】教师提示学生用三角形相似的定义可以证明三角形相似,学生独立完成导入三中问题(1)(2),并作出问题(3)中的猜想,教师对学生的回答进行点评,归纳出猜想“如果两个三角形有两组对应角相等,那么它们相似.”[设计意图]完成导入三中的问题,通过用三角形相似的定义证明两个三角形是相似的,然后做出猜想,直接进入本节课的学习,衔接自然,让学生的思维迅速活跃在本节课内容的探究活动中.做一做:【课件展示】如图所示,已知∠α,∠β.(1)分别以∠α,∠β为两个内角,任意画出两个三角形.(2)量出这两个三角形各对应边的长,并计算出相应的比.这两个三角形相似吗?【师生活动】(1)同桌两个分别画出ΔABC,其中∠A=∠α,∠B=∠β.(2)同桌分别测量AB,BC,AC的长度,判断两个三角形是否相似.(3)学生完成测量后,教师几何画板演示:改变角的大小,但始终保持两个三角形的两角分别相等,观察两个三角形是否相似.(4)根据操作、测量,师生共同猜想判定三角形相似的方法.[设计意图]教师通过让学生动手画图、测量,根据三角形相似的定义,判断出画出的三角形是相似三角形(或通过动画演示观察),从而作出猜想,很自然地带着学生的思维走入下一个证明猜想环节,培养学生的动手操作能力,让学生经历知识的形成过程,加深对相似三角形的判定方法的理解和掌握.共同探究两角对应相等的两个三角形相似【课件展示】如图所示,在Δ和Δ中,∠=∠,∠=∠求证ΔABC∽ΔA'B'C'.思路一教师引导分析:(1)除了定义外,还有什么方法可以证明三角形相似?(由平行线证明三角形相似)(2)如何把两个三角形转化到一个三角形内,利用平行线证明三角形相似?(在ΔABC的边AB,AC(或它们的延长线)上,分别截取AD=A'B',AE=A'C',连接DE)(3)根据平行线能否证明ΔADE与ΔABC相似?(能)(4)根据已知条件ΔA'B'C'与ΔADE是否全等?(由SAS可证得全等)(5)你能根据上面的分析,完成证明过程吗?【师生活动】学生在教师的引导下积极思考回答问题,完成证明思路的探究活动,然后独立完成证明过程,同时学生板书,教师在巡视中帮助有困难的学生,对学生的板书点评,规范书写格式,归纳该证明的思路.(板书)证明:如图所示,在ΔABC的边AB,AC(或它们的延长线)上,分别截取AD=A'B',AE=A'C',连接DE.∵∠A=∠A',∴ΔADE≌ΔA'B'C'.∴∠ADE=∠B',∠AED=∠C',DE=B'C'.又∵∠B=∠B',∴DE∥B'C'.∴ΔADE∽ΔABC.∴ADAB =AEAC=DEBC.∴A'B'AB =A'C'AC=B'C'BC.又∵∠A=∠A',∠B=∠B',∠C=∠C',∴ΔABC∽ΔA'B'C'.思路二教师引导:除了定义,前边学过在同一个三角形中,由平行线可以证明两个三角形相似,如何通过作平行线,将一个三角形转化到另一个三角形中?【师生活动】教师给学生足够的时间进行小组合作交流证明思路,然后尝试书写过程,小组代表板书,教师巡视过程中帮助有困难的学生,对学生的展示点评并归纳解题思路,规范学生的书写证明过程.教师在归纳证明思路时,说明若ΔABC≌ΔA'B'C',ΔA'B'C'∽ΔA″B″C″,则ΔABC∽ΔA″B″C″.今后我们可以直接应用它.(板书)(证明过程同思路一)追加提问:1.通过上面的证明,你能用语言叙述上面的结论吗?2.怎样用几何语言描述上述结论?【师生活动】学生思考回答,师生共同完成相似三角形判定定理的归纳,然后课件展示.【课件展示】相似三角形的判定定理:两角对应相等的两个三角形相似.几何语言:如图所示,在ΔABC和ΔA'B'C'中,∠A=∠A',∠B=∠B'.则ΔABC∽ΔA'B'C'.[设计意图]学生在教师设计的小问题下完成做出的猜想的证明思路,提高学生分析问题、解决问题的能力,通过作辅助线,让学生体会转化思想、数形结合思想在数学中的应用,通过证明猜想、归纳结论等数学活动,提高学生归纳总结能力及严谨的学习态度,培养学生数学思维与能力.例题讲解【课件展示】如图所示,在ΔABC中,点D,E,F分别在边AB,AC,BC上,且DE∥BC,DF∥AC.求证ΔADE∽ΔDBF.【师生活动】学生独立完成后,小组内交流答案,教师对学生的板书点评,规范证明过程. (板书)证明:∵DE∥BC,∴∠ADE=∠B.又∵DF∥AC,∴∠A=∠BDF.∴ΔADE∽ΔDBF.[设计意图]通过例题展示,让学生进一步体会相似三角形判定定理的运用,鼓励学生独立完成,养成独立思考的习惯,通过规范学生的书写过程,培养学生严谨的学习态度.做一做:【课件展示】如图所示,点D在ΔABC的边AB上,过点D作直线截ΔABC,使截得的三角形与原三角形相似.你认为满足条件的直线有几条?请把这些直线画出来.【师生活动】学生独立思考后,小组合作交流,教师要给学生充足的时间讨论,在巡视中引导有困难的学生全面地思考问题,学生尝试在黑板上画出符合条件的所有直线,教师点评并归纳总结.追加提问:点D在RtΔABC的边AB上,过点D作直线截ΔABC,使截得的三角形与原三角形相似.你认为满足条件的直线有几条?[设计意图]通过该练习,让学生体会相似三角形判定定理的应用,渗透分类思想在数学中的应用,提高学生的归纳概括能力.[知识拓展]1.判断两个三角形相似,在有一组对应角相等的情况下,可以选择突破口:寻找另一组对应角相等.2.在应用相似三角形的判定定理时,还要注意一些隐含条件,如公共角、对顶角等.三、课堂小结：1.相似三角形的判定定理:两角对应相等的两个三角形相似.2.判定定理的证明方法及思路.3.应用三角形相似的判定定理进行计算和证明.1.2怎样判定三角形相似（3）教学目标【知识与能力】1.了解两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似判定定理的证明过程.2.能运用相似三角形的判定定理证明三角形相似.【过程与方法】1.经历探索相似三角形判定定理的过程,进一步体验类比思想、特殊与一般的辩证思想.2.让学生经历从实验探究到归纳证明的过程,发展学生的逻辑推理能力,体会数学思维的价值.3.探究相似三角形的判定定理的证明,培养学生合情推理及演绎推理能力,提高逻辑思维能力.【情感态度价值观】1.通过画图、观察、猜想、度量验证等实践活动,培养学生获得猜想的经验,激发学生探索知识的兴趣.2.通过动手操作、合作交流、归纳猜想等数学活动,培养学生大胆动手、勇于探索和勤于思考的精神.教学重难点【教学重点】能运用两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似的判定定理证明三角形相似.【教学难点】相似三角形判定定理的证明过程.课前准备多媒体课件教学过程一、新课导入：导入一:复习提问:1.证明三角形相似的方法是什么?(相似三角形的定义、利用平行线证明三角形相似、相似三角形的判定定理1)2.探究相似三角形的判定定理1的证明时,我们用的什么方法?(在三角形的边上截取线段,由全等三角形及由平行证明三角形相似来证明)导入二:【课件展示】如图所示,有些空心圆柱形机械零件的内径是不能直接测量的,往往需要使用交叉卡钳进行测量.图中所示为一个零件的剖面图,内径AB未知.现用交叉卡钳去测量,若OC OA =ODOB=1m,CD=b,那么我们就可以计算内径的长.你知道其中的道理吗?形的判定定理2做好铺垫;通过测量空心圆柱形机械零件的内径,让学生体会数学来源于生活,生活中处处有数学,从而激发学生的学习兴趣.二、新知构建：思路一教师引导学生操作、思考、交流、归纳.【课件展示】1.动手操作一:画出ΔABC和ΔA'B'C',使∠A'=∠A,A'B'AB =A'C'AC=2.【学生活动】学生独立完成画图.2.动手操作二:(1)比较∠C'和∠C(或∠B'和∠B)的大小.(∠C'=∠C;∠B'=∠B)(2)由比较的结果,能断定ΔABC和ΔA'B'C'相似吗?(ΔABC∽ΔA'B'C')【学生活动】学生通过测量、比较、小组合作交流,完成问题的回答.3.动手操作三:(1)改变对应边的比值和夹角的度数(但保持夹角相等),再画出两个三角形,它们相似吗?(2)你能用语言叙述上面的结论吗?【师生活动】学生动手画图,小组合作交流,得到所画的三角形相似,师生共同归纳猜想.【课件展示】猜想:两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似.思路二动手操作、测量、比较:(1)画出ΔABC和ΔA'B'C',使∠A'=∠A,A'B'AB =A'C'AC=2.(2)画出ΔABC和ΔA'B'C',使∠A'=∠A,A'B'AB =A'C'AC=3.(3)比较∠C'和∠C(或∠B'和∠B)的大小.(4)由比较的结果,能断定ΔABC和ΔA'B'C'相似吗?(5)若在ΔABC和ΔA'B'C'中,∠A'=∠A,A'B'AB =A'C'AC=k,ΔABC和ΔA'B'C'相似吗?(6)根据上面的操作,你能猜想正确的结论吗?【师生活动】学生独立画图、测量、比较、思考、归纳,小组内合作交流,进行猜想,教师对学生的回答进行点评,课件展示猜想.【课件展示】猜想:两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似.[设计意图]通过学生动手画图、测量、思考、交流、归纳等数学活动,师生共同进行猜想,为探究相似三角形的判定定理做好铺垫,培养学生动手操作、归纳总结能力,激发学生的学习兴趣,体会由特殊到一般的数学思想方法.一起探究二证明两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似【课件展示】已知:如图所示,在ΔABC和ΔA'B'C'中,ABA'B'=ACA'C',∠A=∠A'.求证:ΔABC∽ΔA'B'C'.【思考】1.你有什么方法证明该结论?(先作出一个与ΔABC相似的三角形,再证明作出的三角形与ΔA'B'C'全等)2.你能写出你的证明过程吗?3.用语言叙述这个命题,并用几何语言表示.【师生活动】学生独立思考后,小组合作交流,小组代表板书,教师帮助有困难的学生,规范学生的证明过程.【课件展示】证明:如图所示,在ΔABC的边AB(或它的延长线)上截取AD=A'B',过点D作DE∥BC,交AC于点E.∵ΔABC∽ΔADE,∴ABAD =ACAE.∵ABA'B'=ACA'C',AD=A'B',∴ACAE =ACA'C'.∴AE=A'C'.又∵∠A=∠A',∴ΔADE≌ΔA'B'C'.∴ΔABC∽ΔA'B'C'.相似三角形的判定定理:两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似.几何语言:如图所示,若ABA'B'=ACA'C',∠A=∠A'.则ΔABC∽ΔA'B'C'.追加提问:在ΔABC和ΔA'B'C'中,ABA'B'=ACA'C',∠B=∠B',这两个三角形一定相似吗?【师生活动】学生通过画图举出反例,说明这两个三角形不一定相似,教师强调该判定方法的易错点:角必须是两边的夹角.[设计意图]学生类比相似三角形的判定定理1的证明思路,完成相似三角形判定定理2的证明,证明过程中,教师引导学生作辅助线,让学生体会转化思想、数形结合思想在数学中的应用,通过探究相似三角形的判定定理,提高学生归纳总结能力及严谨的学习态度,培养学生数学思维与能力的提高.例题讲解【课件展示】已知:在ΔABC与ΔA'B'C'中,∠A=∠A'=60°,AB=4 cm,AC=8 cm,A'B'=11 cm,A'C'=22 cm.求证:ΔABC∽ΔA'B'C'.【师生活动】学生独立完成,对有困难的学生教师引导其应用相似三角形的判定定理,通过证明两边对应成比例且夹角相等,来证得这两个三角形相似,学生板书证明过程,教师点评并规范书写格式.(板书)证明:∵ABA'B'=411,ACA'C'=822=411,∴ABA'B'=ACA'C'.又∵∠A=∠A'=60°,∴ΔABC∽ΔA'B'C'.[设计意图]通过分析题意,学生独立完成用判定定理证明三角形相似,达到巩固所学知识的目的,通过简单例题的解答,让学生体会到成功的快乐,激发学生学习数学的热情.[知识拓展]1.对于已知两组边的长度及边的夹角相等的情况,常用相似三角形的判定定理2判定两个三角形相似.2.在应用相似三角形的判定定理2时,一定要注意必须是两边夹角相等才行.3.在应用相似三角形的判定定理2时,还要注意一些隐含条件,如公共角、对顶角等.三、课堂小结：1.相似三角形的判定定理2:两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似.2.应用相似三角形的判定定理2时的注意事项.3.证明三角形相似的方法:平行线法、判定定理1、判定定理2.1.2怎样判定三角形相似（4）教学目标【知识与能力】1.了解三边成比例的两个三角形相似判定定理的证明过程.2.能运用相似三角形的判定定理证明三角形相似.【过程与方法】1.经历类比、猜想、探究、归纳、应用等数学活动,提高学生分析问题、解决问题的能力.2.通过应用相似三角形的判定方法和性质解决简单问题,培养学生的应用意识.【情感态度价值观】1.探究相似三角形的判定定理的证明,培养学生合情推理及演绎推理能力,提高逻辑思维能力.2.在相似三角形判定定理的探究过程中,培养学生大胆动手、勇于探索和勤于思考的精神,同时体验成功带来的快乐.3.在探究活动中通过小组合作交流,培养学生共同探究的合作意识及探索实践的良好习惯.教学重难点【教学重点】能运用三边成比例的两个三角形相似证明三角形相似.【教学难点】相似三角形判定定理的证明过程.课前准备多媒体课件教学过程一、新课导入：导入一:复习提问:(1)相似三角形的判定定理1和2的内容是什么?(2)用什么方法证明的判定定理1和2?【师生活动】学生回答问题,对学生出现的问题教师及时纠正,并强调易错点.导入二:学校为了改善环境,在一片空地上修建一块三角形草地,图纸如图(1)所示,完工后小明想要确定图(2)的草坪是否和图纸中的三角形相似,你能帮帮他吗?[导入语]根据前边的学习,我们判断三角形相似需要两个对应角相等或两边对应成比例且夹角相等,而图纸中的三角形没有角的大小,只有边的大小,我们只测量三角形草坪边的大小,能否判定三角形相似就是本节课的学习任务.[设计意图]通过复习相似三角形的判定方法及定理证明思路,为本节课用类比方法探究另一个判定定理做好铺垫;以生活实例为情境导入新课,让学生感受数学来源于生活,激发学生学习的兴趣.二、新知构建：思路一动手操作:(1)同桌分别画一个ΔABC和ΔA'B'C',使AB=1.5 cm,AC=2.5 cm,BC=2 cm;A'B'=3 cm,A'C'=5 cm,B'C'=4 cm.(2)比较ΔABC与ΔA'B'C'各个角,它们对应相等吗?这两个三角形相似吗?【学生活动】学生动手画图,然后通过测量三角形的内角,根据相似三角形的判定定理判定三角形相似.(3)如果一个三角形的三边长分别是另一个三角形三边长的k倍,那么这两个三角形是否相似?【学生活动】学生动手操作,然后测量三角形的角度,根据定义判定两个三角形相似. (4)猜想:三角形三边对应成比例,两个三角形相似.你能证明这个结论吗?【课件展示】已知:如图所示,在ΔABC和ΔA'B'C'中,ABA'B'=ACA'C'=BCB'C'.求证:ΔABC∽ΔA'B'C'.教师引导分析:(1)上节课证明两个三角形相似,如何把两个三角形转化到一个三角形内,利用平行线证明三角形相似?(2)类比上节课的证明思路,尝试证明.。
青岛版数学九年级上册同步导学案：4.3.1用公式法解一元二次方程
4.3.1用公式法解一元二次方程【学习目标】1.会用配方法解方程推导出一元二次方程的求根公式。
2.能利用一元二次方程根的判别式推断根的状况。
3.学会运用公式法解一元二次方程。
【学习重难点】1.运用公式法解一元二次方程．2.用配方法解方程推导出一元二次方程的求根公式．【学习过程】一、学习打算：配方法解一元二次方程的步骤：二、自主探究运用配方法，我们已经会解x2 + x - 1 = 0， 2x2 + 3x - 1 = 0等一元二次方程. 你会运用配方法解一般形式的一元二次方程ax2 + bx + c = 0吗？试一试.运用配方法解方程ax2+bx+c=0 (a,b,c都是常数，且a≠0) 归纳总结：1.依据上题，得出一元二次方程的求根公式________________________________________.2.什么叫做公式法：_______________________________.3.一元二次方程根的判别式：________________________.例1用公式法解方程（1）2x2+5x-3=0 （2）4x2=9x三、课堂小结：1、谈一谈，这节课你有哪些收获？2、对于本节所学内容你还有哪些怀疑？四、随堂训练1、一元二次方程ax2+bx+c=0 (a,b,c都是常数，且a≠0)的求根公式：___________________________.用求根公式的前提条件是____ _________2、一元二次方程x2+2= 22x,其中a=____,b=____,c=___,b2-4ac=___3、解下列方程：（1）2x2+11x+5=0 （2）5x2=4-2x。
九年级数学上册 4.7 一元二次方程的应用（第2课时）导学案青岛版
4.7 一元二次方程的应用培育学生分析问题、解决问题的能力，提高数学应用的意识。
重点难点：列出一元二次方程，解决有关转变率的实际问题。
列出一元二次方程，解决有关转变率的实际问题。
预习案1.临汾市国民生产总值2004年为亿元，2006年增加到591.6亿元，设平均每一年的增加率为x，那么所列方程是．2市政府为了解决老百姓看病贵的问题，决定下调一些药品的价钱．某种药品原售价为125元/盒，持续两次降价后售价为80元/盒．假设每次降价的百分率相同，求这种药品每次降价的百分率．探讨案3.兰州市政府为解决老百姓看病难的问题，决定下调药品的价钱，某种药品通过两次降价，由每盒72元调至56元．假设每次平均降价的百分率为x，由题意可列方程为________．4.为了解决老百姓看病难的问题，卫生部门决定下调药品的价钱．某种药品通过两次持续降价后，由每盒100元下调至64元，求这种药品平均每次降价的百分率是多少？5.据报导，我省农作物秸秆的资源庞大，但合理利用量十分有限，2006年的利用率只有30%，大部份秸秆被直接燃烧了．假定我省每一年产出的农作物秸秆总量不变，且合理利用量的增加率相同，要使2020年的利用率提高到60%，求每一年的增长率．2 1.41）对标自查：通过本节课的学习,你有哪些收成？还有哪些疑惑？测试题某商场今年2月份的营业额为400万元,3月份的营业额比2月份增加10%,5月份的营业额达到633.6万元,求3月份到5月份营业额的平均月增加率.某商店将进价为8元的商品按每件10元售出，天天可售出200件，此刻采取提高商品售价减少销售量的方法增加利润，若是这种商品每件的销售价每提高0.5元其销售量就减少10件，问应将每件售价定为多少元时，才能使天天利润为640元？。
青岛版数学九年级上册同步导学案：1.4.2图形的位似
1.4.2 图形的位似【学习目标】1、探索出坐标系中位似图形对应点间坐标数量关系。
2、能根据要求在坐标系中放大和缩小图形。
【学习重难点】1、能根据要求在坐标系中放大和缩小图形。
2、坐标系中位似图形对应点间坐标数量关系。
【学习过程】一、学习准备：1.位似图形：如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线，对应边，像这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做。
2.位似图的性质：(1)位似图形一定，位似比等于；(2)位似图形对应点和位似中心在；(3)任意一对对应点到位似中心的距离之比等于或；(4)对应线段或者在。
二、自主探究（1）如图1-32，在直角坐标系中，矩形OABC 的顶点坐标分别为（0，0），（6，0），（6，4），（0，4）. 如果将点O，A，B，C 的横、纵坐标都缩小一半，得到点O'，A'，B'，C'，顺次连接点O'，A'，B'，C'，得到了一个怎样的图形？（2）四边形O'A'B'C' 与矩形OABC 是位似图形吗？如果是，位似中心是哪个点？它们的相似比是多少？（3）如图 1-34，已知△OAB 的顶点 O 是坐标原点，顶点 A，B 的坐标分别为（-1，2），（-3，0）. 把△OAB 各个顶点的横、纵坐标都扩大到原来的 3 倍，得到点O'，A'，B' . 连接 O'A'，O'B'，A'B'，△O'A'B' 与△OAB 是位似图形吗？如果是，位似中心是哪个点？（4）由（1）（2）（3）你能得出什么结论？结论：上面得到的结论还能推广吗？如果能，说出你推广后的结论，与同学交流.例题学习例2、如图1-35，四边形 OABC 的顶点坐标分别为（0，0），（2，0），（4，4），（-2，2）.（1）如果四边形 O'A'B'C' 与四边形 OABC 位似，位似中心是原点，它的面积等于四边形 OABC 面积的94倍，分别写出点 A'，B'，C' 的坐标. （2）画出四边形 OA'B'C' .三、课堂小结：1、谈一谈，这节课你有哪些收获？2、对于本节所学内容你还有哪些疑惑？四、随堂训练1．在如图的方格纸中（每个小方格的边长都是1个单位）有一点O 和ABC △．（1）请以点O 为位似中心，把ABC △缩小为原来的一半（不改变方向），得到A B C '''△;（2）请用适当的方式描述A B C '''△的顶点A '，B '，C '的位置．2.如图，已知O 是坐标原点，B ，C 两点的坐标分别为(31)(21)-，，，． （1）以O 点为位似中心在y 轴的左侧．．将OBC △放大到两倍（即新图与原图的相似比为2），画出图形；（2）分别写出B ，C 两点的对应点B '，C '的坐标；（3）如果OBC △内部一点M 的坐标为()x y ，，写出M 的对应点M '的坐标．3.如图表示ΔAOB 和把缩小后得到的ΔCOD ，写出它们的相似比。
九年级数学上册 梯形的定义与等腰梯形的性质学案 青岛版
梯形的定义与等腰梯形的性质学案［课前延伸］一、用具准备：剪刀，矩形纸片，三角形纸片，透明直尺二、复习回顾：1、同学们，在过去的时间里你们都认识了哪些平面图形啊？请同学们结合对以前图形的认识说出以下图形的名称：（）（）（）（）2、怎样的图形叫做平行四边形？两组对边分别（填平行或不平行）的四边形叫做平行四边形。
三、新知引入：（1）用长方形和透明直尺交叠在一起，重叠部分形成的是平行四边形，为什么？（因为两组对边分别都）（2）操作：用纸剪下一个任意三角形，把透明直尺放在三角形上，如果重叠的部分是四边形，观察该四边形的四条边有什么特点？（一组对边，另一组对边）把透明直尺略微转一下方向，再看看现在还具有这样的特点吗？（3）你们是怎么知道这一特点的呢？因为这个四边形的一组对边是原来长方形的一组对边，所以它们是互相的，而另一组对边是原来三角形的两条边，它们是的（4）你们知道这样的图形叫什么吗？（5）在下面的图形中怎样剪一刀使其变成一个具有上述特点的图形？为什么？（用一条虚线在图上画出剪的位置）［课内探究］一、学习目标：1、梯形、等腰梯形和直角梯形的有关概念。
2、等腰梯形性质定理的结论及推导过程。
3、等腰梯形性质定理的应用。
二、自主整理：自学课本27页至28页，完成以下内容： 1、（1）一组对边 ，另一组对边 的四边形叫做梯形。
的两边叫做梯形的底，不平行的两边叫梯形的 ，在两底之间，与底垂直的线段叫做梯形的（2） 的梯形叫做等腰梯形。
（3）的梯形叫做直角梯形。
有效训练：1、如图，四边形ABCD 中，当，且AB 不平行于CD 时，四边形ABCD 2、如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ， 则上底是 ，下底是 ，腰是 。
3、如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，当 = 时，梯形ABCD 是等腰梯形。
三、新知探究：试一试：有一个矩形纸片,如果用剪刀只剪一刀,怎样能得到一个等腰梯形?完成后想一想：1、等腰梯形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？2、等腰梯形同一底上的两个内角的关系呢？ 证明你的这个结论的正确性：已知：如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ， 求证：∠B= ∠C, ∠A= ∠ADC证明：过点D 作DE ∥AB ，交BC 于点E.于是∠1=∵AD ∥BC ，DE ∥AB ，∴四边形ABED 是平行四边形. ∴AB=∵AB=CD, ∴CD=∴∠1=∠C ∴∠B=∵∠A 与∠B 互补，∠ADC 与∠C 互补， ∴∠A=.等腰梯形的性质定理1：等腰梯形同一底上的两个内角 。
2019-2020学年九年级数学上册-4.1-一元二次方程导学案(新版)青岛版
2019-2020学年九年级数学上册 4.1 一元二次方程导学案（新版）青岛版 学习目标：1. 认识一元二次，会辨认一元二次方程。
2.学会把一元二次方程化成一般形式，并能找出二次方程系数、一次项系数和常数项。
（重点）3.感悟一元二次方程与实际生活的密切关系。
( 难点) 学法指导：分析数量关系，建立一元二次方程的数学模型预习案1．（2007•兰州）下列方程中是一元二次方程的是（ ）A ．2x+1=0B ．y 2+x=1C ．x 2+1=0D ． X 1+x 2=1 2．关于x 的方程（m+1）x 2+2mx-3=0是一元二次方程，则m 的取值是（ ）A ．任意实数B ．m≠1C ．m≠-1D ．m ＞13. （2003•吉林）把方程3x 2=5x+2化为一元二次方程的一般形式是4、一元二次方程3x 2=5x 的一般形式为____________，二次项系数为_________一次项系数为__________常数项为__________.5、把一元二次方程（x-3）2=4化为一般形式为： ，二次项为，一次项系数为 ，常数项为 ．6、．（2013•安顺）已知关于x 的方程x 2-kx-6=0的一个根为x=3，则实数k 的值为（ ）7．（2010•鞍山）已知x=2是方程23x 2-2a=0的一个解，则2a-1的值是（ ）探究案1、（2002•甘肃）方程（m+2）x |m|+3mx+1=0是关于x 的一元二次方程，则（ ）A ．m=±2 B ．m=2 C ．m=-2 D ．m≠±22、（2009•东营）若n （n≠0）是关于x 方程x 2+mx+2n=0的根，则n+m+4的值为（ ）3、（2011•济宁）已知关于x的方程x2+bx+a=0的一个根是-a（a≠0），则a-b值为（）4、（2013•黑龙江）若x=1是关于x的一元二次方程x2+3mx+n=0的解，则6m+2n=5、（2013•牡丹江）若关于x的一元二次方程为ax2+bx+5=0（a≠0）的解是x=1，则2013-a-b的值是（）达标测评：1.下列方程是关于x的一元二次方程的是（）A:ax2+bx+c=0 B:k2x+bk+6+0 C:3x2+2x+1=0 D(m2+3)x2+3x-2=0 2．（2011•兰州）下列方程中是关于x的一元二次方程的是（）3、（2011•乌鲁木齐）关于x的一元二次方程（a-1）x2+x+|a|-1=0的一个根是0，则实数a的值为（）A．-1 B．0 C．1 D．-1或14、．（2008•菏泽）关于x的一元二次方程（m-1）x2+5x+m2-3m+2=0的常数项为0，则m等于（）5、已知x=1是一元二次方程x2+ax+b=0的一个根，则代数式a2+b2+2ab的值是6、.方程（3x-1）（2x+4）=1化为一般形式是其中二次项系数为_________，一次项系数为______，常数项为_______.7、（2005•武汉）方程3x2=5x+2的二次项系数为，，一次项系数为8、已知关于x的方程（m+3）x2+5x+m2-9=0有一个解是0，则m的值为（）9、已知一元二次方程ax2+bx+c=0，当a-b+c=0时，那么x的值一定是（）10.小明家有一块长150㎝，宽100㎝的矩形地毯，为了使地毯美观，小明请来了工匠在地毯的四周镶上宽度相同的花色地毯，镶完后的面积是原地毯面积的2倍，若设花色地毯的宽为x㎝，则根据题意，可列方程为____________________,并化成一般形式。
九年级数学上册 图形的位似学案青岛版
图形的位似学习目标1.通过实验、操作、思考活动认识位似形.2.会利用位似形原理将一个图形放大或缩小.3.经历“探索—发现—猜想”，通过实际问题的研究，提高分析问题、解决问题的能力；4.懂得数学在现实生活中的作用，增强学好数学的信心.学习重点：理解位似是由位似中心和相似比决定的.学习难点：作位似图形以及求位似图形的相似比.学习过程：一、创设情景，感悟新知1.怎样作一个三角形的内接正方形呢？二、探索规律，揭示新知两个图形相似且对应点的连线相交于一点，像这样的相似形叫做位似形.三、尝试反馈，领悟新知1.如图，已知四边形ABCD，用尺规将它放大，使放大前后的图形对应线段的比为1∶2.2.如图，已知O是坐标原点，B.C两点的坐标分别为（3，－1）、（2，1）.（1）以O为位似中心在y轴的将△OBC放大到两倍（即新图与原图的相似比为2），画出图形；（2）分别写出B.C两点的对应点B‘、C‘的坐标；（3）如果△OBC内部一点M的坐标为（x，y），写出M的对应点M’的坐标.3.如果两个三角形不仅是相似三角形，而且每对对应点所在的直线都经过同一点，那么这两个三角形叫做位似三角形，它们的相似比又称为位似比，这个点叫做位似中心.利用三角形的位似可以将一个三角形缩小或放大.（1）如图（1），点O是等边△PQR的中心，P‘、Q’、R‘分别是OP、OQ、OR的中点，则△P’Q‘R’与△PQR是位似三角形，△P’Q‘R’与△PQR的位似比，位似中心分别为（）A.2、点PB.、点PC.2、点OD.、点O（2）如图（2），用下面的方法可以画△AOB的内接等边三角形.阅读后证明相应问题.画法：①在△AOB画等边三角形CDE，使点C在OA上，点D在OB上；②连结OE并延长，交AB于点E‘，过E’作E‘C’∥EC，交OA于点C‘，作E’D‘∥ED，交OB于点D’；③连结C‘D’.则△C‘D’E‘是△AOB的内接三角形.求证：△C‘D’E‘是等边三角形.四、课堂练习，巩固新知1.用作位似图形的方法，可以将一个图形放大或缩小，位似中心位置可选在（）修正栏：A.原图形的外部B.原图形的内部C.原图形的边上D.任意位置2.两个图形是位似图形，则它们一定相似，反过来，两个图形相似，则它们（）A.一定位似B. 一定不位似C.不一定位似D.对应点的连线交于一点3.如图，矩形OABC的顶点坐标分别为O（0，0），A（6，0），B（6，4），C（0，4），画出以点O为位似中心，矩形OABC的位似图形OA’B‘C’，使它的面积等于矩形OABC面积的，并分别写出A’、B‘、C’三点的坐标.4.印刷一张矩形的广告牌，如图，它的印刷面积是32dm2，上下空白各1dm，两边空白各0.5dm，设印刷部分从上到下的长为xdm。
同行学案青岛专版九上数学
同行学案青岛专版九上数学全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：同行学案是一份专门为学生提供数学学习帮助的资料，旨在帮助学生提高数学学习的效果，增强数学学习的兴趣，激发学生对数学学习的热情。
而青岛专版九上数学同行学案，则是专门为青岛地区初中九年级上学期的数学学习而设计的一份教辅资料。
本文将详细介绍【同行学案青岛专版九上数学】的内容和特点，以及如何正确使用同行学案提高数学学习效果。
一、同行学案青岛专版九上数学的内容和特点同行学案青岛专版九上数学的内容主要包括了九年级上学期数学的全部知识点，每个知识点都有专门的练习题和习题讲解，以帮助学生巩固知识、提高能力。
同行学案青岛专版九上数学在内容上覆盖全面、深入浅出，既有基础知识点的讲解，也有提高题的练习，适合不同水平的学生使用。
1. 知识点归纳清晰：同行学案将九年级上学期的数学知识点按照章节进行了清晰的分类和归纳，方便学生查阅和复习。
2. 题型齐全全面：同行学案中包含了各种题型的练习题，涵盖了选择题、填空题、计算题、应用题等，有助于学生全面掌握并灵活运用知识。
3. 详细的习题讲解：每道练习题后都有详细的习题讲解，包括解题思路、关键步骤和注意事项，帮助学生正确理解并掌握解题方法。
4. 实用性强：同行学案不仅提供了大量的练习题，还附有习题答案和详细的解题过程，方便学生自主检查和纠正错误，帮助提高学习效果。
二、如何正确使用同行学案提高数学学习效果1. 定期复习：在课堂学习的基础上，结合同行学案中的练习题进行定期复习，巩固知识，提高记忆力。
2. 制定学习计划：根据自己的学习情况和时间安排，合理安排学习计划，有针对性地选择同行学案中的练习题进行练习。
3. 注重方法：在做题前，先认真阅读同行学案中的习题讲解，掌握解题方法和技巧，提高解题效率。
4. 注重实战：在做题过程中，要注重实战练习，多做一些难度适中和提高题，锻炼解题能力，培养数学思维。
5. 注重总结：在做完练习后，要及时总结做题的经验和不足，思考解题过程中的问题和不确定因素，为下次学习做好准备。
九年级数学上册全部学案(青岛版)
2．如图，在 ABCD中，AC为对角线，BE⊥AC，DF⊥AC，E、F为垂足，求证：BE＝DF．
3、（选择）在下列图形的性质中，平行四边形不一定具有的是（ ）．
（A）对角相等 （B）对角互补 （C）邻角互补 （D）内角和是
1、在四边形中，最常见、价值最大的是平行四边形，生活中也常见平行四边形的实例，如_______________________________________________________等，都是平行四边形。
2、____________________________________是平行四边形。
学生掌握平行四边形的五个判定方法，这些判定的方法是：
从边看：①的四边形是平行四边形；
②的四边形是平行四边形；
③的四边形是平行四边形．
从对角线看：的四边形是平行四边形．
从角看：的四边形是平行四边形．
五、当堂检测
1、在四边形ABCD中，AC交BD于点O，若AO=1/2AC,BO=1/2BD,则四边形ABCD是平行四边形。（ ）
如图， EFGH中，连接对角线EG、HF，设它们分别交于点O．分别度量OH、OF的长度，你发现它们存在的数量关系是_________________.
猜想线段OG、OE之间的数量关系是_______________________.
证明你的猜想：
由此我们可以得到平行四边形的性质定理3_____________________________．
3、平行四边形的性质是：_________________________________________.
学习过程：
青岛版数学九年级上册教案(全册)
青岛版数学九年级上册教案（全册）1.1相似多边形教学目标【知识与能力】1、了解相似多边形的概念.2、在简单情形下，能根据定义判断两个多边形相似. 【过程与方法】通过探索相似多边形的特征，能识别两个相似多边形的对应顶点、对应角和对应边，会求相对多边形的相似比. 【情感态度价值观】通过用符号表示相似多边形及它们的对应元素，发展学生的符号意识.教学重难点【教学重点】相似多边形的定义。
【教学难点】判断两个多边形是否相似。
课前准备无教学过程教学过程 一、创设情景 老师：五星红旗是中华人民共和国的国旗.国旗上的左上角有五颗五角星.在现实生活中，你还见到这样形状相同但大小未必相等的图形吗？如图:四边形A 1B 1C 1D 1是四边形ABCD 经过相似变换所得的像， 请分别求出这两个四边形的对应边的长度,并分别量出这两个四边形各个内角的度数，然后与你的同伴议一议：这两个四边形的对应角之间有什么 关系？对应边之间有什么关系？ABCD A 1 B 1 C 1D 1二、新课 1、相似形形状相同的平面图形叫做相似形.2、相似多边形各对应角相等、各对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形. 对应顶点的字母写在对应的位置上，如四边形A 1B 1C 1D 1∽四边形ABCD .相似多边形对应边的比叫做相似比.四边形A 1B 1C 1D 1与四边形ABCD 的相似比为12k .判断，它们形状相同吗？这两个五边形是相似六边形，即六边形A 1B 1C 1D 1E 1F 1∽六边形ABCDEF . 3、例题演练例1如图课本第6页图 已知四边形AEFD ∽四边形EBCF . （1）写出他们相等的角及对应边的比例式； （2）若AD =3，EF =4，求BC 的长. 4、拓展练习下列每组图形的形状相同，它们的对应角有怎样的关系？对应边呢？ (1)正三角形ABC 与正三角形DEF ； (2)正方形ABCD 与正方形EFGH .解:(1)由于正三角形每个角等于60°，所以∠A =∠D =60°,∠B =∠E =60°,∠C =∠F =60°. 由于正三角形三边相等，所以AB :DE =BC :EF =CA :FD .解：(2)由于正方形的每个角都是直角，所以∠A =∠E =90°，∠B =∠F =90°， ∠C =∠G =90°，∠D =∠H =90°.由于正方形的四边相等，所以AB :EF =BC :FG =CD :GH =DA :HE . 课堂小结1、对应角相等，对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形.2、相似多边形对应边的比叫做相似比. 重要方法：A BCDEF A 1B 1C 1D 1E 1F 1运用相似多边形的性质解决实际问题时，一定要弄清他们的关系，并努力把实际问题与之联系，从而把实际问题简单化.1.2怎样判定三角形相似（1）教学目标【知识与能力】1．了解平行线分线段成比例基本事实及其推论.. 2．会用平行线分线段成比例解决实际问题. 【过程与方法】借助方格纸，通过观察、计算，由特殊到一般地逐步归纳、猜想，进而明确平行线分线段成比例的基本事实；然后把这一基本事实特殊化（应用在三角形中），得到推论，为后面证明相似三角形的判定基本事实做准备. 【情感态度价值观】掌握推理证明的方法，发展演绎推理能力 课前准备课件、方格纸. 教学过程1.情景导入梯子是我们生活中常见的工具.如图是一个生产过程中不合格的左右不对称的梯子的简图，经测量，AB ＝BC ＝CD ，AA 1∥BB 1∥CC 1∥DD 1，那么A 1B 1和B 1C 1相等吗？2.新知探究在图4-6中，小方格的边长均为1，直线l 1 ∥ l 2∥ l 3，分别交直线m ，n 与格点A 1，A 2，A 3，B 1，B 2，B 3.图4-6（1）计算 的值，你有什么发现？（2）将2l 向下平移到如图4-7的位置，直线m ,n 与2l 的交点分别为21,B A 你在问题（1）中发现结论还成立吗？如果将2l 平移到其他位置呢？12122323B BB B A A A A 与（3）在平面上任意作三条平行线，用它们截两条直线，截得的线段成比例吗？3.分组讨论，得出结论平行线分线段成比例基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.4.想一想（一）如果把图1中l1 , l2两条直线相交，交点A刚落到l3上，如图2所得的对应线段的比会相等吗？依据是什么？（二）如果把图1中l1 , l2两条直线相交，交点A刚落到l4上，如图2（2）所得的对应线段的比会相等吗？依据是什么？得出结论：（推论）平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边的延长线)相交，截得的对应线段成比例.5.例题学习探究点一：平行线分线段成比例如图，直线l 1∥l 2∥l 3，直线AC 分别交这三条直线于点A ，B ，C ，直线DF 分别交这三条直线于点D ，E ，F ，若AB ＝3，DE ＝72，EF ＝4，求BC 的长.解：∵直线l 1∥l 2∥l 3，且AB ＝3，DE ＝72，EF ＝4，∴根据平行线分线段成比例可得AB BC ＝DE EF，即BC ＝EF DE ·AB ＝4 72×3＝247.方法总结：利用平行线分线段成比例求线段长的方法：先确定图中的平行线，由此联想到线段之间的比例关系，结合待求线段和已知线段写出一个含有它们的比例关系式，构造出方程，解方程求出待求线段长.如图所示，直线l 1∥l 2∥l 3，下列比例式中成立的是（ ）A.AD DF ＝CE BCB.AD BE ＝BC AFC.CE DF ＝AD BC D.AF DF ＝BE CE解析：由平分线分线段成比例可知AD DF ＝BCCE，故A 选项不成立；由AD BC ＝AF BE可知B 选项不成立；由CE DF ＝BC AD可知C 选项不成立；D 选项成立.故选D.方法总结：应用平行线分线段成比例得到的比例式中，四条线段与两条直线的交点位置无关，关键是线段的对应，可简记为：“上下＝上下，上全＝上全，下全＝下全”或“上上＝下下＝全全”.探究点二：平行线分线段成比例的推论如图所示，在△ABC 中，点D ，E 分别在AB ，AC 边上，DE ∥BC ，若AD ：AB ＝3∶4，AE ＝6，则AC 等于（ ）A.3B.4C.6D.8 解析：由DE ∥BC 可得AD AB ＝AE AC ，即34＝6AC，∴AC ＝8.故选D.易错提醒：在由平行线推出成比例线段的比例式时，要注意它们的相互位置关系，比例式不能写错，要把对应的线段写在对应的位置上.如图，在△ABC 的边AB 上取一点D ，在AC 上取一点E ，使得AD ＝AE ，直线DE 和BC 的延长线相交于P ，求证：BP CP ＝BDCE.解析：本题无法直接证明，分析所要求证的等式中，有BP ：CP ，又含有BD ，故可考虑过点C 作PD 的平行线CF ，便可以构造出BP CP ＝BD DF，此时只需证得CE ＝DF 即可.证明：如图，过点C 作CF ∥PD 交AB 于点F ，则BP CP ＝BD DF ，AD DF ＝AECE. ∵AD ＝AE ，∴DF ＝CE ，∴BP CP ＝BDCE. 方法总结：证明四条线段成比例时，如果图形中有平行线，则可以直接应用平行线分线段成比例的基本事实以及推论得到相关比例式.如果图中没有平行线，则需构造辅助线创造平行条件，再应用平行线分线段成比例的基本事实及其推论得到相关比例式.6.课时小结平行线分线段成比例基本事实： (1)两直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例（关键要能熟练地找出对应线段） (2)平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边的延长线)相交，截得的对应线段成比例.1.2怎样判定三角形相似（2）教学目标【知识与能力】1.了解两角对应相等的两个三角形相似这个判定定理的证明过程.2.能运用三角形相似的判定定理证明三角形相似.【过程与方法】1.在类比全等三角形的证明方法,探究三角形相似的证明方法的过程中,进一步体验类比思想、特殊与一般的辩证思想.2.经历类比、猜想、探究、归纳、应用等数学活动,提高学生分析问题、解决问题的能力.3.通过应用三角形相似的判定方法解决简单问题,培养学生的应用意识.【情感态度价值观】1.进一步发展学生的探究、交流能力、合情推理能力和逻辑推理意识,并能够运用三角形相似的条件判定三角形相似.2.在三角形相似判定的探究过程中,渗透类比的数学思想,提高学生分析问题、解决问题的能力.3.敢于发表自己的想法、勇于质疑,养成认真勤奋、独立思考、合作交流等学习习惯,形成实事求是的科学态度.教学重难点【教学重点】能运用两角对应相等的两个三角形相似这个判定定理证明三角形相似.【教学难点】三角形相似的判定定理的证明过程.课前准备多媒体课件教学过程一、新课导入：导入一:【课件展示】你知道金字塔有多高吗?传说法老命令祭师们测量金字塔的高度,祭师们为此伤透了脑筋,为了帮助祭师们解决困难,古希腊伟大的数学家泰勒斯利用巧妙的办法测量了金字塔的高度(在金字塔旁边竖立一根木桩,当木桩影子的长度和木桩的长度相等时,只要测量出金字塔的影子的长度,便可得出金字塔的高度(如图所示)),这展示了他非凡的数学及科学才能.导入二:(1)证明三角形相似的方法是什么?(三角形相似的定义、由平行线证明三角形相似)(2)全等三角形如何定义的?证明三角形全等有几种方法?(对应角、对应边相等的三角形是全等三角形;SSS,SAS,ASA,AAS,HL)(3)全等三角形与相似三角形有什么关系?导入三:(观察实物并课件展示)观察教师手中的一副三角尺和学生手中的三角尺,其中同样两个锐角(30°与60°或45°与45°).【思考】(1)如图所示,两个等腰直角三角形的三角板相似吗?说说理由.(2)如图所示,两个含30°角的直角三角形的三角板相似吗?说说理由.(3)如果两个三角形有两组对应角相等,那么它们是否相似?[导入语]有三个角对应相等、三条边对应成比例的两个三角形相似.能不能用较少的条件来判定两个三角形相似呢?这就是我们今天要探究的主要内容.[设计意图]以生活实例为情境导入新课,让学生感受数学来源于生活,又应用于生活,激发学生学习的兴趣;由数学课上常用的三角尺猜想三角形相似的条件,顺利自然地导出本节课的课题.二、新知构建：观察思考:完成导入三中提出的问题.【师生活动】教师提示学生用三角形相似的定义可以证明三角形相似,学生独立完成导入三中问题(1)(2),并作出问题(3)中的猜想,教师对学生的回答进行点评,归纳出猜想“如果两个三角形有两组对应角相等,那么它们相似.”[设计意图]完成导入三中的问题,通过用三角形相似的定义证明两个三角形是相似的,然后做出猜想,直接进入本节课的学习,衔接自然,让学生的思维迅速活跃在本节课内容的探究活动中.做一做:【课件展示】如图所示,已知∠α,∠β.(1)分别以∠α,∠β为两个内角,任意画出两个三角形.(2)量出这两个三角形各对应边的长,并计算出相应的比.这两个三角形相似吗?【师生活动】(1)同桌两个分别画出ΔABC,其中∠A=∠α,∠B=∠β.(2)同桌分别测量AB,BC,AC的长度,判断两个三角形是否相似.(3)学生完成测量后,教师几何画板演示:改变角的大小,但始终保持两个三角形的两角分别相等,观察两个三角形是否相似.(4)根据操作、测量,师生共同猜想判定三角形相似的方法.[设计意图]教师通过让学生动手画图、测量,根据三角形相似的定义,判断出画出的三角形是相似三角形(或通过动画演示观察),从而作出猜想,很自然地带着学生的思维走入下一个证明猜想环节,培养学生的动手操作能力,让学生经历知识的形成过程,加深对相似三角形的判定方法的理解和掌握.共同探究两角对应相等的两个三角形相似【课件展示】如图所示,在Δ和Δ中,∠=∠,∠=∠求证ΔABC∽ΔA'B'C'.思路一教师引导分析:(1)除了定义外,还有什么方法可以证明三角形相似?(由平行线证明三角形相似)(2)如何把两个三角形转化到一个三角形内,利用平行线证明三角形相似?(在ΔABC的边AB,AC(或它们的延长线)上,分别截取AD=A'B',AE=A'C',连接DE)(3)根据平行线能否证明ΔADE与ΔABC相似?(能)(4)根据已知条件ΔA'B'C'与ΔADE是否全等?(由SAS可证得全等)(5)你能根据上面的分析,完成证明过程吗?【师生活动】学生在教师的引导下积极思考回答问题,完成证明思路的探究活动,然后独立完成证明过程,同时学生板书,教师在巡视中帮助有困难的学生,对学生的板书点评,规范书写格式,归纳该证明的思路.(板书)证明:如图所示,在ΔABC的边AB,AC(或它们的延长线)上,分别截取AD=A'B',AE=A'C',连接DE.∵∠A=∠A',∴ΔADE≌ΔA'B'C'.∴∠ADE=∠B',∠AED=∠C',DE=B'C'.又∵∠B=∠B',∴DE∥B'C'.∴ΔADE∽ΔABC.∴ADAB =AEAC=DEBC.∴A'B'AB =A'C'AC=B'C'BC.又∵∠A=∠A',∠B=∠B',∠C=∠C',∴ΔABC∽ΔA'B'C'.思路二教师引导:除了定义,前边学过在同一个三角形中,由平行线可以证明两个三角形相似,如何通过作平行线,将一个三角形转化到另一个三角形中?【师生活动】教师给学生足够的时间进行小组合作交流证明思路,然后尝试书写过程,小组代表板书,教师巡视过程中帮助有困难的学生,对学生的展示点评并归纳解题思路,规范学生的书写证明过程.教师在归纳证明思路时,说明若ΔABC≌ΔA'B'C',ΔA'B'C'∽ΔA″B″C″,则ΔABC∽ΔA″B″C″.今后我们可以直接应用它.(板书)(证明过程同思路一)追加提问:1.通过上面的证明,你能用语言叙述上面的结论吗?2.怎样用几何语言描述上述结论?【师生活动】学生思考回答,师生共同完成相似三角形判定定理的归纳,然后课件展示.【课件展示】相似三角形的判定定理:两角对应相等的两个三角形相似.几何语言:如图所示,在ΔABC和ΔA'B'C'中,∠A=∠A',∠B=∠B'.则ΔABC∽ΔA'B'C'.[设计意图]学生在教师设计的小问题下完成做出的猜想的证明思路,提高学生分析问题、解决问题的能力,通过作辅助线,让学生体会转化思想、数形结合思想在数学中的应用,通过证明猜想、归纳结论等数学活动,提高学生归纳总结能力及严谨的学习态度,培养学生数学思维与能力.例题讲解【课件展示】如图所示,在ΔABC中,点D,E,F分别在边AB,AC,BC上,且DE∥BC,DF∥AC.求证ΔADE∽ΔDBF.【师生活动】学生独立完成后,小组内交流答案,教师对学生的板书点评,规范证明过程. (板书)证明:∵DE∥BC,∴∠ADE=∠B.又∵DF∥AC,∴∠A=∠BDF.∴ΔADE∽ΔDBF.[设计意图]通过例题展示,让学生进一步体会相似三角形判定定理的运用,鼓励学生独立完成,养成独立思考的习惯,通过规范学生的书写过程,培养学生严谨的学习态度.做一做:【课件展示】如图所示,点D在ΔABC的边AB上,过点D作直线截ΔABC,使截得的三角形与原三角形相似.你认为满足条件的直线有几条?请把这些直线画出来.【师生活动】学生独立思考后,小组合作交流,教师要给学生充足的时间讨论,在巡视中引导有困难的学生全面地思考问题,学生尝试在黑板上画出符合条件的所有直线,教师点评并归纳总结.追加提问:点D在RtΔABC的边AB上,过点D作直线截ΔABC,使截得的三角形与原三角形相似.你认为满足条件的直线有几条?[设计意图]通过该练习,让学生体会相似三角形判定定理的应用,渗透分类思想在数学中的应用,提高学生的归纳概括能力.[知识拓展]1.判断两个三角形相似,在有一组对应角相等的情况下,可以选择突破口:寻找另一组对应角相等.2.在应用相似三角形的判定定理时,还要注意一些隐含条件,如公共角、对顶角等.三、课堂小结：1.相似三角形的判定定理:两角对应相等的两个三角形相似.2.判定定理的证明方法及思路.3.应用三角形相似的判定定理进行计算和证明.1.2怎样判定三角形相似（3）教学目标【知识与能力】1.了解两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似判定定理的证明过程.2.能运用相似三角形的判定定理证明三角形相似.【过程与方法】1.经历探索相似三角形判定定理的过程,进一步体验类比思想、特殊与一般的辩证思想.2.让学生经历从实验探究到归纳证明的过程,发展学生的逻辑推理能力,体会数学思维的价值.3.探究相似三角形的判定定理的证明,培养学生合情推理及演绎推理能力,提高逻辑思维能力.【情感态度价值观】1.通过画图、观察、猜想、度量验证等实践活动,培养学生获得猜想的经验,激发学生探索知识的兴趣.2.通过动手操作、合作交流、归纳猜想等数学活动,培养学生大胆动手、勇于探索和勤于思考的精神.教学重难点【教学重点】能运用两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似的判定定理证明三角形相似.【教学难点】相似三角形判定定理的证明过程.课前准备多媒体课件教学过程一、新课导入：导入一:复习提问:1.证明三角形相似的方法是什么?(相似三角形的定义、利用平行线证明三角形相似、相似三角形的判定定理1)2.探究相似三角形的判定定理1的证明时,我们用的什么方法?(在三角形的边上截取线段,由全等三角形及由平行证明三角形相似来证明)导入二:【课件展示】如图所示,有些空心圆柱形机械零件的内径是不能直接测量的,往往需要使用交叉卡钳进行测量.图中所示为一个零件的剖面图,内径AB未知.现用交叉卡钳去测量,若OC OA =ODOB=1m,CD=b,那么我们就可以计算内径的长.你知道其中的道理吗?形的判定定理2做好铺垫;通过测量空心圆柱形机械零件的内径,让学生体会数学来源于生活,生活中处处有数学,从而激发学生的学习兴趣.二、新知构建：思路一教师引导学生操作、思考、交流、归纳.【课件展示】1.动手操作一:画出ΔABC和ΔA'B'C',使∠A'=∠A,A'B'AB =A'C'AC=2.【学生活动】学生独立完成画图.2.动手操作二:(1)比较∠C'和∠C(或∠B'和∠B)的大小.(∠C'=∠C;∠B'=∠B)(2)由比较的结果,能断定ΔABC和ΔA'B'C'相似吗?(ΔABC∽ΔA'B'C')【学生活动】学生通过测量、比较、小组合作交流,完成问题的回答.3.动手操作三:(1)改变对应边的比值和夹角的度数(但保持夹角相等),再画出两个三角形,它们相似吗?(2)你能用语言叙述上面的结论吗?【师生活动】学生动手画图,小组合作交流,得到所画的三角形相似,师生共同归纳猜想.【课件展示】猜想:两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似.思路二动手操作、测量、比较:(1)画出ΔABC和ΔA'B'C',使∠A'=∠A,A'B'AB =A'C'AC=2.(2)画出ΔABC和ΔA'B'C',使∠A'=∠A,A'B'AB =A'C'AC=3.(3)比较∠C'和∠C(或∠B'和∠B)的大小.(4)由比较的结果,能断定ΔABC和ΔA'B'C'相似吗?(5)若在ΔABC和ΔA'B'C'中,∠A'=∠A,A'B'AB =A'C'AC=k,ΔABC和ΔA'B'C'相似吗?(6)根据上面的操作,你能猜想正确的结论吗?【师生活动】学生独立画图、测量、比较、思考、归纳,小组内合作交流,进行猜想,教师对学生的回答进行点评,课件展示猜想.【课件展示】猜想:两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似.[设计意图]通过学生动手画图、测量、思考、交流、归纳等数学活动,师生共同进行猜想,为探究相似三角形的判定定理做好铺垫,培养学生动手操作、归纳总结能力,激发学生的学习兴趣,体会由特殊到一般的数学思想方法.一起探究二证明两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似【课件展示】已知:如图所示,在ΔABC和ΔA'B'C'中,ABA'B'=ACA'C',∠A=∠A'.求证:ΔABC∽ΔA'B'C'.【思考】1.你有什么方法证明该结论?(先作出一个与ΔABC相似的三角形,再证明作出的三角形与ΔA'B'C'全等)2.你能写出你的证明过程吗?3.用语言叙述这个命题,并用几何语言表示.【师生活动】学生独立思考后,小组合作交流,小组代表板书,教师帮助有困难的学生,规范学生的证明过程.【课件展示】证明:如图所示,在ΔABC的边AB(或它的延长线)上截取AD=A'B',过点D作DE∥BC,交AC于点E.∵ΔABC∽ΔADE,∴ABAD =ACAE.∵ABA'B'=ACA'C',AD=A'B',∴ACAE =ACA'C'.∴AE=A'C'.又∵∠A=∠A',∴ΔADE≌ΔA'B'C'.∴ΔABC∽ΔA'B'C'.相似三角形的判定定理:两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似.几何语言:如图所示,若ABA'B'=ACA'C',∠A=∠A'.则ΔABC∽ΔA'B'C'.追加提问:在ΔABC和ΔA'B'C'中,ABA'B'=ACA'C',∠B=∠B',这两个三角形一定相似吗?【师生活动】学生通过画图举出反例,说明这两个三角形不一定相似,教师强调该判定方法的易错点:角必须是两边的夹角.[设计意图]学生类比相似三角形的判定定理1的证明思路,完成相似三角形判定定理2的证明,证明过程中,教师引导学生作辅助线,让学生体会转化思想、数形结合思想在数学中的应用,通过探究相似三角形的判定定理,提高学生归纳总结能力及严谨的学习态度,培养学生数学思维与能力的提高.例题讲解【课件展示】已知:在ΔABC与ΔA'B'C'中,∠A=∠A'=60°,AB=4 cm,AC=8 cm,A'B'=11 cm,A'C'=22 cm.求证:ΔABC∽ΔA'B'C'.【师生活动】学生独立完成,对有困难的学生教师引导其应用相似三角形的判定定理,通过证明两边对应成比例且夹角相等,来证得这两个三角形相似,学生板书证明过程,教师点评并规范书写格式.(板书)证明:∵ABA'B'=411,ACA'C'=822=411,∴ABA'B'=ACA'C'.又∵∠A=∠A'=60°,∴ΔABC∽ΔA'B'C'.[设计意图]通过分析题意,学生独立完成用判定定理证明三角形相似,达到巩固所学知识的目的,通过简单例题的解答,让学生体会到成功的快乐,激发学生学习数学的热情.[知识拓展]1.对于已知两组边的长度及边的夹角相等的情况,常用相似三角形的判定定理2判定两个三角形相似.2.在应用相似三角形的判定定理2时,一定要注意必须是两边夹角相等才行.3.在应用相似三角形的判定定理2时,还要注意一些隐含条件,如公共角、对顶角等.三、课堂小结：1.相似三角形的判定定理2:两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似.2.应用相似三角形的判定定理2时的注意事项.3.证明三角形相似的方法:平行线法、判定定理1、判定定理2.1.2怎样判定三角形相似（4）教学目标【知识与能力】1.了解三边成比例的两个三角形相似判定定理的证明过程.2.能运用相似三角形的判定定理证明三角形相似.【过程与方法】1.经历类比、猜想、探究、归纳、应用等数学活动,提高学生分析问题、解决问题的能力.2.通过应用相似三角形的判定方法和性质解决简单问题,培养学生的应用意识.【情感态度价值观】1.探究相似三角形的判定定理的证明,培养学生合情推理及演绎推理能力,提高逻辑思维能力.2.在相似三角形判定定理的探究过程中,培养学生大胆动手、勇于探索和勤于思考的精神,同时体验成功带来的快乐.3.在探究活动中通过小组合作交流,培养学生共同探究的合作意识及探索实践的良好习惯.教学重难点【教学重点】能运用三边成比例的两个三角形相似证明三角形相似.【教学难点】相似三角形判定定理的证明过程.课前准备多媒体课件教学过程一、新课导入：导入一:复习提问:(1)相似三角形的判定定理1和2的内容是什么?(2)用什么方法证明的判定定理1和2?【师生活动】学生回答问题,对学生出现的问题教师及时纠正,并强调易错点.导入二:学校为了改善环境,在一片空地上修建一块三角形草地,图纸如图(1)所示,完工后小明想要确定图(2)的草坪是否和图纸中的三角形相似,你能帮帮他吗?[导入语]根据前边的学习,我们判断三角形相似需要两个对应角相等或两边对应成比例且夹角相等,而图纸中的三角形没有角的大小,只有边的大小,我们只测量三角形草坪边的大小,能否判定三角形相似就是本节课的学习任务.[设计意图]通过复习相似三角形的判定方法及定理证明思路,为本节课用类比方法探究另一个判定定理做好铺垫;以生活实例为情境导入新课,让学生感受数学来源于生活,激发学生学习的兴趣.二、新知构建：思路一动手操作:(1)同桌分别画一个ΔABC和ΔA'B'C',使AB=1.5 cm,AC=2.5 cm,BC=2 cm;A'B'=3 cm,A'C'=5 cm,B'C'=4 cm.(2)比较ΔABC与ΔA'B'C'各个角,它们对应相等吗?这两个三角形相似吗?【学生活动】学生动手画图,然后通过测量三角形的内角,根据相似三角形的判定定理判定三角形相似.(3)如果一个三角形的三边长分别是另一个三角形三边长的k倍,那么这两个三角形是否相似?【学生活动】学生动手操作,然后测量三角形的角度,根据定义判定两个三角形相似. (4)猜想:三角形三边对应成比例,两个三角形相似.你能证明这个结论吗?【课件展示】已知:如图所示,在ΔABC和ΔA'B'C'中,ABA'B'=ACA'C'=BCB'C'.求证:ΔABC∽ΔA'B'C'.教师引导分析:(1)上节课证明两个三角形相似,如何把两个三角形转化到一个三角形内,利用平行线证明三角形相似?(2)类比上节课的证明思路,尝试证明.。
青岛版初三数学学案
3.1一元二次方程学案成功学习【成功目标】1. 认识一元二次，会辨认一元二次方程。
2.学会把一元二次方程化成一般形式，并能找出二次方程系数、一次项系数和常数项。
3.感悟一元二次方程与实际生活的密切关系。
【成功自学】一.知识回顾一元一次方程（举例） 分式方程（举例） 二.自主探究（一）一元二次方程的概念1.自学课本76页内容，得到的三个方程分别是① ② ③2.整理这三个方程，使方程的右边为0，并左边按 x 的降幂排列。
① ② ③ 这三个方程的共同特点3. 像这样的方程叫做一元 二次方程。
[成功量学]1.下面的方程是一元二次方程吗？为什么？（1） x 2-9=0 （2）y 2-4y=0 (3)31x-x 2 =0 (4)4s(s-1)=4s 2+2(5)3x+ x 2-1=0 (6)3x 3-4x 2+1=02.关于x 的方程（a-1）x 2-3ax+5=0是一元二次方程，这时a 的取值范围是___________3.下列关于x 的方程中是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. E.4.关于x 的方程（a-1）x 2-3ax+5=0是一元二次方程，这时的取值范围是_________ (二)一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式为___________________，二次项是________,一次项是________，常数项是_______，其中a 称为__________b 称为__________. [成功量学]1.一元二次方程3x 2=5x 的一般形式为____________，二次项系数为__________一次项系数为__________常数项为__________.2.将下列一元二次方程化为一般形式，并分别指出它的二次项系数，一次项系数，常数项。
①3x(x+1)=4(x-2) ②(x+3)2=(x+2)(4x-1) ③2(y+5)(y-1)=y 2-8 ④2t=(t+1)225432=+-x x 42322=++y x x 02122=++x x 726322=+-x x 02=++c bx ax3.m 何值时，方程 是关于x 的一元二次方程?4.若 是关于x 的一元二次方程,求ab 的值.5.当m =________时,方程(m －1)x 2－(2m －1)x+m=0是关于χ的一元一次方程, 当m=__________时,上述方程才是关于χ的一元二次方程．成功展示成功检测1.下列方程是关于x 的一元二次方程的是（ ）A:ax 2+bx+c=0 B:k 2x+bk+6+0 C:3x 2+2x+1=0 D(m 2+3)x 2+3x-2=0 2.方程（3x-1）（2x+4）=1化为一般形式是其中二次项系数为_________，一次项系数为______，常数项为_______.3.当k 时，方程 是关于x 的一元二次方程。
2013年青岛版初三数学上册导学案全册教学设计
青岛版数学九年级上册学案1.1平行四边形及其性质（1）学习目标：1、理解并掌握平行四边形的定义2、掌握平行四边形的性质定理1及性质定理23、提高综合运用知识的能力学习重点：平行四边形的定义，对角、对边相等的性质，以及性质的应用．学习难点：运用平行四边形的性质进行有关的论证和计算．预习指导：1、在四边形中，最常见、价值最大的是平行四边形，生活中也常见平行四边形的实例，如_______________________________________________________等，都是平行四边形。
2、____________________________________是平行四边形。
3、平行四边形的性质是：_________________________________________.学习过程：一、学习新知1、平行四边形的定义（1）定义：________________________________________叫做平行四边形。
（2）几何语言表述: ∵AB∥CD AD∥BC ∴四边形ABCD是平行四边形（3）定义的双重性: 具备__________________的四边形，才是平行四边形，反过来，平行四边形就一定具有性质。
（4）平行四边形的表示：平行四边形ABCD记作_________,读作___________.2、平行四边形的性质平行四边形是一种特殊的四边形，它除具有四边形的性质和两组对边分别平行外，还有什么特殊的性质呢？已知：如图ABCD，求证：AB＝CD，CB＝AD．分析：要证AB＝CD，CB＝AD．我们可以考虑只要证明四条线段所在的两个三角形全等，因此我们可以作辅助线__________________,它将平行四边形分成_________和__________，我们只要证明这两个三角形证明：总结：本题提供了证明线段相等的方法，也体现了数学中的转化思想。
在上题中你能证明∠B=∠D, ∠BAD=∠BCD 吗？利用我们学过的方法试一试。
青岛版九年级上册第一章复习导学案
数学九年级上册：《图形的相似》复习学案学习目标：①通过具体实例认识图形的相似，探索相似图形的性质，知道相似多边形的对应角相等，对应边成比例，面积的比等于对应边比的平方．②了解两个三角形相似的概念，探索两个三角形相似的条件．③了解图形的位似，能够利用位似将一个图形放大或缩小．课内探究知识点一：相似多边形概念：两个边数相同的多边形，如果一个多边形的各个角与另一个多边形的各个角对应相等，各边对应成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形．基本练习：1．下列图形是相似多边形的是（ ） A ．所有的平行四边形； B ．所有的矩形 C ．所有的菱形；D ．所有的正方形2． 在一张由复印机复印出来的纸上，一个多边形的一条边长由原来的1cm 变成4cm ，那么它的周长由原来的3cm 变成 （ ）A 、 6cmB 、 12cmC 、 24cmD 、 42cm 3．如图，把一个矩形纸片ABCD 沿AD 和BC 的中点连线EF 对折，要使矩形AEFB 与原矩形相似，则原矩形长与宽的比为（ ）A ．2∶1B ．3∶1C 、2∶1D ．4∶14．把矩形ABCD 对折，折痕为EF ，如果矩形DEFC 与矩形ABCD 相似，且AB =4，求AD 的长．5、梯形ABCD 中，AD ∥BC ，E ，F 分别为AB ，CD 上一点，且梯形AEFD ∽梯形EBCF ，若AD ＝4，、BC ＝9．试求AE ：EB 的值．知识点二：平行线分线段成比例定理定理：三条平行线截两条直线,所得的线段对应成比例．推论：平行于三角形的一边，并且与其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例． 基本图形：对应练习：1．如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在AB 、AC 上，DE ∥BC ．若AD =4，DB =2，则的值为 ．2．已知，如图（10），D ,E ,F 分别在△ABC 的边AB ,AC ,BC 上，且FCED 是平行四边形，若BD =8,BF =6,AC =15,AD =4,求△ABC 的周长．3．已知，如图（11），在△ABC 中，D 是AB 的中点，F 是BC 延长线上的点，连结DF 交AC 于E ，求证：BF CF =AE CE对3题的变形题：4． ΔABC 中，点D 为BC 中点，点E 在CA 上，且CE =21EA ， AD ，BE 交于点F ，则AF ：FD = ．5．如图，在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、BC 上的点，且DE ∥AC ，若S △BDE ：S △CDE =1：4，则S △BDE ：S △ACD =（ ）A ．1:16B ． 1:18C ． 1:20D ． 1:246．如图，在ΔABC 中，作直线DN 平行于中线AM ，设这条直线交边AB 与点D ，交边CA 的延长线于点E ，交边BC 于点N ． 求证：AD ∶AB =AE ∶AC ．知识点三：相似三角形的判定和性质判定 1．有两角对应相等的两个三角形相似．2．两边成比例，且夹角相等的两个三角形相似．性质 相似三角形对应线段的比等于相似比；图形语言：∵∠A =∠A ′ ∠B =∠B ′ ∴△ABC ∽____________图形语言 ∵∠B =∠'B，A 字型基本图形 X 型基本图形A B CD ME N AF EC 'B 'CBC 1C1''''C B BC B A AB =∴△ABC ∽'''C B A ∆ 基本图形课堂练习：1．如图，已知DE ∥BC ，EF ∥AB ，且AD ：DB =3：5，那么CF :CB 的值为（ ） A 5:8 B 3:8 C 3:5 D 2:5 2．下列能够判定△ABC ∽△DEF 的是（ ）A ．AB DE =AC DF ，∠B =∠E B ．AB DF =ACDE ，∠C =∠FC ．BC EF =AC DF ，∠C =∠F D ．AB DE =EFBC，∠B =∠E 3．在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下：甲：将边长为3、4、5的三角形按图1的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似． 乙：将邻边为3和5的矩形按图2的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形不相似．对于两人的观点，下列说法正确的是（ ）A ． 两人都对B ． 两人都不对C ．甲对，乙不对D ． 甲不对，乙对4．(2014•黑龙江)在同一时刻两根木竿在太阳光下的影子如图所示，其中木竿AB =2m ，它的影子BC =1．6m ，木竿PQ 的影子有一部分落在了墙上，PM =1．2m ，MN =0．8m ，则木竿PQ 的长度为m ．5．如图，D 是△ABC 的边AC 上的一点，连接BD ，已知∠ABD =∠C ，AB =6，AD =4，求线段CD 的长．6．射影定理：若BD =1，AC =2 求CD 得长．7．如图，点C 、D 在线段AB 上，且ΔPCD 是等边三角形． (1)当AC ，CD ，DB 满足怎样的关系时，ΔACP ∽ΔPDB ； (2)当ΔPDB ∽ΔACP 时，试求∠APB 的度数．8．如图，已知△ABC 与△ADE 的边DE 、AB 相交于O ，且∠1＝∠2＝∠3．求证：△ADE ∽△ABC ．9．如图，△ABC 和△ADE 中，∠ABC =∠ADE ，∠BAD =∠CAE 求证：（1）△ABC ∽△ADE （2）△ABD ∽△ACE10．如图9，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形(阴影部分)与△ABC 相似的是（ ）11、如图，已知△ABC 中，EF ∥GH ∥IJ ∥BC，则图中相似三角形共有对． 12．如图，AB ∥CD ，AE ∥FD ，AE ，FD 分别交BC 于点 G 、H ，则图中共有相似三角形 A ．4对 B ．5对D C B A213OAG E HF JI BCC ．6对D ．7对（ ）13、如图,已知△ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC ,点E 、F 在AB 上,∠ECF =45°．（1）求证:△ACF ∽BEC ；（2）设△ABC 的面积为S ，求证:AF ·BE =2S ．14、如图，在中,过点B 作BE ⊥CD ,垂足为E ,连结AE ,F 为AE 上一点,且∠BFE =∠C ．（1）求证:△ABF ∽△EAD ；（2）若AB =4,∠BAE =30°，求AE 的长；（3）在（1）（2）的条件下,若AD =3,求BF 的长．15、如图，平行四边形ABCD 中，AB =24，P 、Q 三等分AC ，DP交AB于M ，MQ 交CD 于N ，求CN 的长．16如图，ΔABC 与ΔADB 中，∠ABC =∠ADB =90°，AC =5cm ，AB =4cm ，如果图中的两个直角三角形相似，求AD 的长．17、如图,P 为正方形ABCD 的边BC 上的点,BP =3PC ,Q 是CD 中点,（1）求证:△ADQ ∽△QCP ；（2）在现在的条件下,请再写出一个正确结论．18、如图，ABC △中，D E 、分别是边BC AB 、的中点，AD CE 、相交于G ．求证：13GE GD CE AD ==．19、如图,在△ABC中,AB =AC ,AD ⊥BC ,DE ⊥AC ,M 为DE 的中点,AM 与BE 相交于N ,AD 与BE 相交于F ．求证:（1）DE CE =AD CD ；（2）△BCE ∽△ADM ；（3）AM 与BE 互相垂直．20． 数学兴趣小组想测量一棵树的高度，在阳光下，一名同学测得一根长为1米的竹竿的影长为0.8米．同时另一名同学测量一棵树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图），其影长为1.2米，落在地面上的影长为2.4米，求树高知识点四 图形的位似对应边互相平行（或共线）且每对对应点所在的直线都经过同一点的两个相似多边形叫做位似图形，这个点叫做位似中心1 画法2坐标特点练习 以O 为位似中心，把△ABC 缩小到原来的1/2．B C ABCA45° AEF BC A CE F D BA B M C N D Q PA D BF EN MC第10A B PDQCB CD GE A。
初中数学青岛版九年级上册高效课堂资料学案： 4.1一元二次方程(1)
初中数学青岛版九年级上册高效课堂资料4.1一元二次方程（1）【教学目标】1. 能够准确表述一元二次方程的概念；2.会把一元二次方程化为一般形式，并能熟练确定各项及其系数。
【重点与难点】一元二次方程的概念及其一般形式．课前预习案温故知新1.你能区分下列方程哪些是一元一次方程，哪些是二元一次方程，哪些是分式方程吗？请把序号写在对应位置．（1）232-=-x y （2）3101+=+x （3）590--=x（4）3807+=x （5）0-=y x一元一次方程 ；二元一次方程 ； 分式方程 ． 2.有关多项式化简：()()2321+--x x x ，结果按字母x 的降幂排列，并说出它是几次几项式， 二次项、一次项、常数项以及各项的系数分别是什么？课内探究案自主学习：认真阅读并回答课本124-125页交流与发现问题（1）-（4），理解一元二次方程的概念，完成下列问题：1.一元二次方程概念中你能找出几个关键词？请写出来．2、 下列方程哪些是一元二次方程？哪些不是？为什么？ （1）012=-x （2）y x 3)1(22=- （3）x x 4592-= （4）3210--=x x （5）0212=-x x（6）052=-x x（7）20=x （81=（9）()()24321+=-x x x （10）()221=+t t3、请写出.一元二次方程的一般形式： .想一想：确定一元二次方程各项及其系数时应注意什么？学以致用：准确找出各项及其系数1、 将关于x 的一元二次方程()()3142+=-x x x 化为一般形式，并分别指出它的二次项系数，一次项系数和常数项．2、将下列一元二次方程化为一般形式，并分别写出它的二次项系数、一次项系数和常数项.（1）2x (x +1)=5(x -2)(x -2) （2）2(y +5)(y -1) = y 2-8【小结】；1、判断一个方程式一元二次方程的关键是什么？ 2、如何准确地找出一元二次方程的各项及其系数？【变式拓展】要使关于x 的方程 是一元二次方程，求k 值．【课堂小结】 1. 知识方面： 2. 数学思想方法：课内达标题 总分10分 得分 .1. .0532)2(22=++---m mx x m x m 的方程已知关于 （1）若原方程是一元二次方程，则m 的值为多少？ （2）若原方程是一元一次方程，则m 的值为多少？02)1()1(1=+-+++x k x k k。
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青岛版数学九年级上册学案1.1平行四边形及其性质（1）审核人：张宏学习目标：1、理解并掌握平行四边形的定义2、掌握平行四边形的性质定理1及性质定理23、提高综合运用知识的能力学习重点：平行四边形的定义，对角、对边相等的性质，以及性质的应用．学习难点：运用平行四边形的性质进行有关的论证和计算．预习指导：1、在四边形中，最常见、价值最大的是平行四边形，生活中也常见平行四边形的实例，如_______________________________________________________等，都是平行四边形。
2、____________________________________是平行四边形。
3、平行四边形的性质是：_________________________________________.学习过程：一、学习新知1、平行四边形的定义（1）定义：________________________________________叫做平行四边形。
（2）几何语言表述: ∵ AB∥CD AD∥BC ∴四边形ABCD是平行四边形（3）定义的双重性: 具备__________________的四边形，才是平行四边形，反过来，平行四边形就一定具有性质。
（4）平行四边形的表示：平行四边形ABCD记作_________,读作___________.2、平行四边形的性质平行四边形是一种特殊的四边形，它除具有四边形的性质和两组对边分别平行外，还有什么特殊的性质呢？已知：如图ABCD，求证：AB＝CD，CB＝AD．分析：要证AB＝CD，CB＝AD．我们可以考虑只要证明四条线段所在的两个三角形全等，因此我们可以作辅助线__________________,它将平行四边形分成_________和__________，我们只要证明这两个三角形全等即可得到结论．证明：总结：本题提供了证明线段相等的方法，也体现了数学中的转化思想。
在上题中你能证明∠B=∠D, ∠BAD=∠BCD吗？利用我们学过的方法试一试。
证明：通过上面的证明，我们得到了平行四边形的性质定理1是：_______________________________________.平行四边形的性质定理2是：_______________________________________.二、应用举例：例1、如图，在平行四边形ABCD中，AE=CF，求证：AF=CE．例2：（1）在平行四边形ABCD中，∠A=500，求∠B、∠C、∠D的度数。
（2）在平行四边形ABCD中，∠A=∠B+400，求∠A的邻角的度数。
三、随堂练习1、如图（6），在平行四边形ABCD中，AE=CF，求证AF=CE2、平行四边形的两邻边的比是2：5，周长为28cm，求四边形的各边的长。
3、在平行四边形ABCD中，若∠A：∠B=2：3，求∠C、∠D的度数。
四、课堂小结：五、当堂检测1．填空：（1）在ABCD中，∠A=︒50，则∠B= 度，∠C= 度，∠D= 度．（2）如果ABCD中，∠A—∠B=240，则∠A= 度，∠B= 度，∠C= 度，∠D= 度．（3）如果ABCD的周长为28cm，且AB：BC=2∶5，那么AB= cm，BC= cm，CD= cm，CD= cm．2．如图，在ABCD中，AC为对角线，BE⊥AC，DF⊥AC，E、F为垂足，求证：BE＝DF．3、（选择）在下列图形的性质中，平行四边形不一定具有的是（）．（A）对角相等（B）对角互补（C）邻角互补（D）内角和是︒360第3题图第4题图4、如图：在ABCD中，如果EF∥AD，GH∥CD，EF与GH相交与点O，那么图中的平行四边形一共有（）．（A）4个（B）5个（C）8个（D）9个5、如图，AD∥BC，AE∥CD，BD平分∠ABC，求证：AB=CE图（6）FEDCBA1.1 平行四边形及其性质（2）审核人：张宏学习目标：1、掌握平行四边形对角线互相平分的性质．2、能综合运用平行四边形的性质解决平行四边形的有关计算问题，和简单的证明题．培养学生的推理论证能力和逻辑思维能力．学习重点：掌握平行四边形对角线互相平分的性质．学习难点：能综合运用平行四边形的性质解决平行四边形的有关计算问题，和简单的证明题．培养学生的推理论证能力和逻辑思维能力．学习过程：二、 学习新知 如图，EFGH 中，连接对角线EG 、HF ，设它们分别交于点O ．分别度量OH 、OF 的长度，你发现它们存在的数量关系是_________________.猜想线段OG 、OE 之间的数量关系是_______________________.证明你的猜想：由此我们可以得到平行四边形的性质定理3_____________________________．二、应用举例：例题已知： ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，EF 过点O 与AB 、CD 分别相交于点E 、F ．求证：OE ＝OF ．分析：要证OE ＝OF ，根据图形分析，只要证明OE 、OF 所在的两个三角形_______≌______. 证明：若例1中的条件都不变，将EF 转动到图b 的位置，那么例1的结论是否成立？若将EF 向两方延长与平行四边形的两对边的延长线分别相交（图c 和图d ），例1的结论是否成立，说明你的理由．三、随堂练习1、在平行四边形中，周长等于48，① 已知一边长12，求各边的长② 已知AB=2BC ，求各边的长③ 已知对角线AC 、BD 交于点O ，△AOD 与△AOB 的周长的差是10，求各边的长2、如图，ABCD 中，AE ⊥BD ，∠EAD=60°，AE=2cm ，AC+BD=14cm ，则△OBC 的周长是____ ___cm ． 3、ABCD 一内角的平分线与边相交并把这条边分成cm 5，cm 7的两条线段，则ABCD 的周长是__ ___cm ．四、课后小结：平行四边形的对角线具备的性质是_________________________.五、当堂检测1．判断对错（1）在ABCD中，AC交BD于O，则AO=OB=OC=OD．（）（2）平行四边形两条对角线的交点到一组对边的距离相等．（）（3）平行四边形的两组对边分别平行且相等．（）（4）平行四边形是轴对称图形．（）2．在 ABCD中，AC＝6、BD＝4，则AB的范围是__ ______．3．在平行四边形ABCD中，已知AB、BC、CD三条边的长度分别为（x+3），（x-4）和16，则这个四边形的周长是．4．公园有一片绿地，它的形状是平行四边形，绿地上要修几条笔直的小路，如图，AB＝15cm，AD＝12cm，AC⊥BC，求小路BC，CD，OC的长，并算出绿地的面积．1.2 平行四边形的判定（1）审核人：张宏学习目标：1、在探索平行四边形的判别条件中，理解并掌握用边来判定平行四边形的方法．2、会综合运用平行四边形的判定方法和性质来解决问题．3、培养用类比、逆向联想及运动的思维方法来研究问题．学习重点：理解和掌握平行四边形的判定定理。
预习指导：1、平行四边形定义是____________________________________.2、平行四边形性质是(1)_____________________________________________.(2)_______________________________________________________________.3、平行四边形的判定定理是（1）_____________________________________.(2)________________________________________________________________.学习过程：三、学习新知小明的父亲手中有一些木条，他想通过适当的测量、割剪，钉制一个平行四边形框架，你能帮他想出一些办法来吗？请学生通过观察、测量、猜想、验证、探索构成平行四边形的条件，思考并探讨：（1）你能适当选择手中的硬纸板条搭建一个平行四边形吗？（2）你怎样验证你搭建的四边形一定是平行四边形？（3）你能说出你的做法及其道理吗？（4）能否将你的探索结论作为平行四边形的一种判别方法？你能用文字语言表述出来吗？（5）证明以上发现的平行四边形的判定发方法。
平行四边形的判定定理（1）两组对边分别相等的四边形是平行四边形已知：求证：证明：平行四边形的判定定理（2）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
已知：求证：证明：二、应用举例例题：已知：如图，ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，求证：BE=DF．三、随堂练习已知：如图，ABCD中，E、F分别是AC上两点，且BE⊥AC于E，DF⊥AC于F．求证：四边形BEDF是平行四边形．四、课后小结平行四边形的判定定理（1）是________________________________________.平行四边形的判定定理（2）是________________________________________.五、当堂检测1、已知如图，O为平行四边形ABCD的对角线AC的中点，EF经过点O，且与AB交于E，与CD 交于F。
求证：四边形AECF是平行四边形。
2、已知：如图，△ABC，BD平分∠ABC，DE∥BC，EF∥AC，求证：BE=CF1.2平行四边形的判定（2）审核人：张宏学习目标：1、在探索平行四边形的判别条件中，理解并掌握用对角线来判定平行四边形的方法．2．会综合运用平行四边形的判定方法和性质来解决问题．3．培养用类比、逆向联想及运动的思维方法来研究问题．学习重点：理解和掌握平行四边形的判定定理。
学习难点：几何推理方法的应用。
学习过程：四、学习新知已知:如图，平行四边形HGFE中，HF与GE交与点O，HO=OF,GO=OE,求证：四边形HGFE是平行四边形。
由此，我们可以得到平行四边形的判定方法：平行四边形的判定定理（3）__________________________________________________________.五、应用举例例题：已知：如图ABCD的对角线AC、BD交于点O，E、F是AC上的两点，并且AE=CF．求证：四边形BFDE是平行四边形．分析：欲证四边形BFDE是平行四边形可以根据判定方法2来证明．证明：三、随堂练习1．如图，在四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，（1）若AD=8cm，AB=4cm，那么当BC=___ _cm，CD=___ _cm时，四边形ABCD为平行四边形；（2）若AC=10cm，BD=8cm，那么当AO=__ _cm，DO=__ _cm时，四边形ABCD为平行四边形．2．已知：如图，ABCD中，点E、F分别在CD、AB上，DF∥BE，EF交BD于点O．求证：EO=OF．3．证明：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。