(优选)航天器动力学基本轨道

问题： （1）如果参数不适当，航天器可能会撞上地球! （2）如何得到希望的轨道？
一些尝试
假设引力公式为
F
G msm r
r r
其中η不一定为2；Gη为相应的引力常数。
你估计会出现什么现象？
η=1.0
η=2.0 我们的世界
你对 此有 何看 法?
η=1.5 η=2.5
§1.3 航天器运动微分方程的积分
（优选）航天器动力学基本轨 道
2020年9月20日星期日
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航天器的开普勒三大定律
面积定律：航天器与地球中 心的连线在相同的时间内扫 过的面积相等。
航天器的开普勒三大定律
谐和定律：航天器轨道半长 轴的三次方同轨道周期的平 方成正比。
a3 T2
k
a 是轨道半长轴
T 是航天器的运行周期
k 是与轨道无关的常数
S
p
r
O
P
c
a
p a(1 e2) b 1 e2
c ae
轨道的微分描述
设 Oxyz 为参考坐标系，O为
z
地球中心，xyz 指向三颗恒星。
设 me 为地球质量，m为航天器
质量，r为航天器的矢径。
E
O
ma
d2r m dt2
F
Gmem r2
r r
x
FS
r
y
d 2r dt 2
r
r3
G 6.671011m3 / kg s2 万有引力常数 Gme 3.99105 km3 / s2 地心引力常数
由于已经知道航天器的轨道是圆锥曲线，根据 第（2）点，E<0时r有界，因此是椭圆轨道。
根据第（1）点，E>0时r可以无界，因此是 双曲线轨道。
2、动量矩积分
d 2r dt 2
r
r3
方程两边叉乘 r： r v 0
v
S
r
hE
积分后为 r v h
h rer (rer reθ) r2
物理意义： 航天器对地球中心的动量矩守恒。并且表明，
r 与 v 始终在垂直于 h 的同一平面内，该平面称为 轨道平面。
3、拉普拉斯积分
d 2r dt 2
r
r3
两边叉乘 h r v
r
r
v h h (r v)
r3
r3
利用 a (b c) (a c)b (a b)c
v h
r3
[( r
r)r
(r
r)r]
利用 r r rr
关于e的大小，你有何直觉？ 椭圆轨道： E 0 e[0, 1)
e的物理意义
e 1 (v h r )
r
两边叉乘r
e r 1 (v h) r
v
S
r
E
e
可以看出，在一般情况下，er 0
但如果r与v垂直，则 er 0
所以，e平行于椭圆长轴方向，再根据其大小，e 指向近地点。
思考
我们已找到了5个积分常数E, h, e。 问题是：当我们求出常数E，h，并为其中所 使用的技巧而得意时，拉普拉斯利用更复杂的技巧 又找到了一个积分常数e…… 那么我们是否求出了微分方程全部的积分常数？ 难到这些微分方程的积分常数会没完没了吗？
这就是航天器绕地球运动的运动微分方程。
如果在直角坐标系中进行计算：

d2r r
dt 2
r3
x
x
r3
0
y
y
r3
0
z
z
r3
0
r x2 y2 z2
如果给定初始条件： x0 , y0 , z0 , x0 , y0 , z0
就可以计算出以后任意时刻航天器的位置和速度。
算例
为解决这 些问题， 需要对轨 道进行深 入研究
（过程略）
S
r
E
e
物理意义： 为积分常数，表示矢径 r 与 e 重合的 时刻，称为过近地点时间。
§1.4 航天器的轨道要素
前面介绍了航天器轨道的特点及积分情况，
导出了一些积分常数（ E, h, e, ），根据轨道
运动方程，只有六个参数是独立的。
原则上，要唯一确定航天器的轨道，六个独 立的参数可以有多种选取方法，比如取航天器的 初始位置和速度：(x0, y0, z0, x0, y0, z0 ) ，也可以取
正如拉氏方程存在首次积分，航天器的运
动方程也存在一些积分。微分方程积分的本质 是寻找机械系统的不变量。这些积分通常有明 显的物理意义。
直观想象：
“保守力场” 引力的方向
机械能守恒 角动量守恒
是否存在其它 积分？为什么 要求积分？
1、能量积分
d 2r dt 2
r
r3
方程两边点乘 v r
利用 r r rr
积分后为 v2 E
2r
v v
r
3
r r
vv
r
2
r
r
r
r
r
动能 势能
物理意义：航天器单位质量的机械能守恒。
不同轨道的能量积分E
v2 E
2r
v2
2
E
r
（1）如果E>0，r可以为任何正值；
（2）如果E<0，r必须满足
r
E
（3）如果E＝0，临界情况，满足 vp
2
r
双曲线 椭圆 抛物线
a
a
轨道的几何描述
O为地球的质心， 也是椭圆的一个焦点. b S为航天器的质心.
A P 是近地点 (perigee） A 是远地点 (apogee） a 是半长轴 (semi-major axis) b 是半短轴 (semi-minor axis) p 是半通径 (semi-parameter) e 是偏心率 (eccentricity) c 是半焦距 (semi-focus)
v
h
r3
[ rrr
r 2r]
v
h
r3
[ rrr
r 2r]
v
h
[
r r2
r
1 r
r]
0
积分后为 1 (v h r？) e
r
e的方向
e h 1 (v h) h r (r v)
r
0
？
e的大小
e2 e e 1 2Eh2
2
所以 e 在轨道平面内，且只有一个独立的量。 物理意义此处还不太明确。
数学概念：微分方程的定解由初始条件确定；而方程的积分常数 是初始条件的某种组合。因此方程独立的积分常数数目不超过初 始条件的数目。在轨道问题中，积分常数不超过6个。
因此可能还存在另1个积分常数…
4、时间积分
利用 h r 2
及 r p
1 e cos
再利用 p h2
可得到
t
p3
dt
0 (1 e cos )2
E, h,e, 。
但在航天领域，一般习惯用另外的六个独立 参数来描述轨道的状况。
1、问题的提出
如果用航天器的初始位置和速度 (x0, y0, z0, x0, y0, z0 ) 来描述航天器的运动，则在任一时刻，需要求解 微分方程才能确定航天器的位置，不方便。
另一方面，我们已知航天器在某一个平面内的运动 轨迹为圆锥曲线，如果已知： （1）轨道平面在空间惯性坐标系中的方位； （2）圆锥曲线的方向（长半轴方向）； （3）在某一时刻航天器在轨道的某一个点上， 则可以通过求解代数方程确定任一时刻航天器的位 置。