解一元二次方程的方法有几种？讲解

配方法
解: 3x2 8x 3 0.
例2 解方程 3x2+8x-3=0.
x2 8 x 1 0.
1.化1:把二次项系数化为1;
x2 38 x 1.
2.移项:把常数项移到方程的右边;
x2

8
3
x

4
2

3 3

1


4
2

.
3
3.配方:方程两边都加上一 次项系数一半的平方;


3 4
2

,

x

3 4
2


21 , 4
由此得:
x 3 21 , 42
x1

3 4

21 , 2
x2

3 4

21 . 2
① 先化为一般形式； ②再确定a、b、c,求b2-4ac； ③ 当 b2-4ac≥ 0时,代入公式:
x=
- b±
b2 2a
4ac
若b2-4ac＜0,方程没有实数根.
解一元二次方程的方法有几种?
方程的左边是完全平方式,右边是非负数; 即形如
x2 p或(mx n)2 p( p 0)
可得
x p或mx n p.
练习
例. x 62 9 0
解：移项 x 62 9
x 6 3,
x＋6=3 x＋6=－3,
2
解： （3x-2）²=49
3x -2=±7
x= 2 7
x1=3，x2=
-5 3
3
解：
法一3x-4=±（4x-3）
解：3y²+8y -2=0
3x -4=4x-3或3x-4=-4x+3 b²- 4ac
-x=1或 7x=7
=64 -43（-2）
x1 = -1， x2 =1
=88
法二（3x-4）²-（4x-3）²=0
(2)x2－3x＋ (
3 2
)2
=(x－
3 2
)2
(3)x2－12x＋ 62 =(x－ 6 )2
练习； 4x2 6x 3 0
解: 移项，得： 4 x2 6 x 3,
二次项系数化为1，得
x2 3 x 3 , 24
配方，得：
x2
3 2
x


3 4
2


3 4
1、解一元二次方程时，如果方程能直接开平方， 就采用直接开平方, 其次考虑因式分解，因为这种 方法最快接；再次考虑求根公式法，这种方法是万 能的，能求所有的一元二次方程，尤其当二次项系 数不是1时。当然大前提是有解。最后考虑用配方法， 因为它较复杂，但这种方法常用于证明一个式子大于 零或恒小于零。
方程的两根为 x1 =－3,
x1 =－9.
用配方法解一元二次方程的步骤:
1.化：若二次项系数不是1，要先化为1. 2.移项:把常数项移到方程的右边; 3.配方:方程两边都加上一次项系数一半的 平方; 4.变形:方程左边写成完全平方形式,右边合 并同类项 5.开方:根据平方根意义,方程两边开平方; 6.求解:解一元一次方程; 7.定解:写出原方程的解.
按括号中的要求解下列一元二次方程：
（1）4(1+x)2=9（直接开平方法）； （2）x2+4x+2=0（配方法）； （3）3x2+2x-1=0（公式法）； （4）(2x+1)2= -3 (2x+1) （因式分解法）
练习：用最好的方法求解下列方程 1、（3x -2）²-49=0 2、（3x -4）²=（4x -3）² 3、4y = 1 - 3 y²

x

4
2


5
2
.
3 3
4.变形:方程左边分解因式,右边 合并同类项;
x 4 5. 33
5.开方:根据平方根意义,方程两 边开平方;
x 4 5.
33
1 x1 3 ,
x2 3.
6.求解:解一元一次方程; 7.定解:写出原方程的解.
(1)x2＋8x＋ 42 =(x＋4)2
（3x-4+4x-3）（3x-4x+3）=0 X= 8 88
（7x-7）（-x-1）=0
6
7x-7=0或-x-1=0 x1 = -1， x2 =1
x1


4
3
22 , x2
练习：选用适当方法解一元二次方程：
（1）(x-1)(x+3)=12 （2） (x-3)2 =4x （3）(2y+1)2+2(2y+1)+1=0 （4）(x-1)2=9(x+2)2
. 3
Hale Waihona Puke Baidu
练习： x2 3x 1 0 4
1 解： a 1,b 3, c .
4
∆=
b2 4ac

3
2

4



1 4


4.
>0
方程有两个不同的实数根
x 3 4 32,
21
2
即
2 3
32
x1 2 , x2 2 .
1.用因式分解法的条件是:方程左边能够 分解,而右边等于零;
2.理论依据是:如果两个因式的积等于零 那么至少有一个因式等于零.
因式分解法解一元二次方程的一般步骤: 一移-----方程的右边=0;
二分-----方程的左边因式分解;
三化-----方程化为两个一元一次方程;
四解-----写出方程两个解;
例题解析
例1解下列方程：
1 x x 2 x 2 0;
例. 3x2 6x 2 0
解： a 3,b 6, c 2.
∆= b2 4ac 62 432 60.>0
方程有两个不等的实数根
x 6 60 6 2 15 3 15 ,
6
6
3
3 15
3 15
即
x1
3 , x2
于是得
x1


1 2
,
x2

1. 2
规律：
1.一般地，当一元二次方程一次项系数为0时 （ax2+c=0），应选用直接开平方法；
2.若常数项为0（ ax2+bx=0），应选用因式分 解法；
3.若一次项系数和常数项都不为0 (ax2+bx+c=0），先化为一般式，看一边的整 式是否容易因式分解，若容易，宜选用因式 分解法，不然选用公式法；不过当二次项系 数是1，且一次项系数是偶数时，用配方法也 较简单。
2 5x2 2x 1 x2 2x 3 .
4
4
解：（1）因式分解，得
(x－2)(x＋1)=0.
于是得
x－2＝0或x＋1=0,
x1=2，x2=－1.
我来试一试
(2)移项、合并同类项，得
4x2 1 0.
因式分解，得 ( 2x＋1)( 2x－1 )=0.
2x＋1=0或2x－1=0,