解一元二次方程的方法有几种？讲解
一元二次方程的几种解法
x2 4x 4 5.
写成（）2 的形式，得
x 22 5.
x2 4x 1 0.
x2 4x 1.
配方：左右两边同时加上一个常 x2 4x 4 1 4.
数，凑成完全平方，得
x2 4x 4 5.
写成（）2 的形式，得
x 22 5.
解：
x2 4x 1 0.
6x2 x 5 0.
答：a=6, b=1, c= -5.
例2、 已知：关于x的方程
(2m-1)x2-(m-1)x=5m
是一元二次方程, 求：m的取值范围. 解：∵ 原方程是一元二次方程， ∴ 2m-1≠0，
1 ∴ m≠ 2.
二、一元二次方程的解法
形如 ax2=0 (a≠0) 的一元二次方程的解法：
移项：将常数项移到等号一边，得 x2 4x 1.
配方：左右两边同时加上一个常 x2 4x 4 1 4.
数，凑成完全平方，得
x2 4x 4 5.
写成（）2 的形式，得
x 22 5.
解：
x2 4x 1 0.
移项：将常数项移到等号一边，得 x2 4x 1.
配方：左右两边同时加上一个常 x2 4x 4 1 4.
除以二次项系数，得
x2 4x 1 0.
移项：将常数项移到等号一边，得 x2 4x 1.
配方：左右两边同时加上一次项 x2 4x 4 1 4.
系数一半的平方，得
x2 4x 4 5.
写成（）2 的形式，得
x 22 5.
开平方，得
x 2 5.
x1 2 5, x2 2 5.
2xx 3 2x2 1 （不是二次方程）
一元二次方 程的一般形式
完全的一元二次方程
解一元二次方程五种方法
解一元二次方程五种方法解一元二次方程五种方法解一元二次方程是初中数学中的基础知识，也是高中数学中的重要内容，掌握多种解法对于提高数学能力和解题能力有着重要作用。
下面介绍五种解一元二次方程的方法。
方法一：配方法（也称为配方根公式）配方法是一种常见的解一元二次方程的方法，它的步骤如下：1. 根据二次项系数、一次项系数和常数项分离出完全平方项；2. 将方程化为完全平方形式，即形如(x + a) = b；3. 对方程两边取平方根，得到x的两个解：x = -a ± b。
方法二：公式法公式法是解一元二次方程的常用方法之一，它的公式为：x = (-b ±√(b-4ac)) / 2a其中a、b、c分别为一次项系数、二次项系数和常数项。
方法三：图像法图像法是一种直观的解题方法，它的步骤如下：1. 将方程化为标准形式：ax+bx+c=0；2. 将方程左侧变形为y=ax+bx+c的二次函数的图像；3. 通过观察二次函数的图像，得到x的解。
方法四：因式分解法如果一元二次方程的左侧可以因式分解，那么可以使用因式分解法解题。
例如：x+5x+6=0，可以因式分解为(x+2)(x+3)=0。
因此，x的解为x=-2或x=-3。
方法五：完全平方公式完全平方公式是解一元二次方程的一种简便方法，它的步骤如下：1. 根据二次项系数、一次项系数和常数项计算出Δ=b-4ac；2. 如果Δ是完全平方数，那么方程的解为x=(-b±√Δ)/2a。
以上是解一元二次方程的五种方法，希望对大家有所帮助。
掌握多种解题方法可以提高数学思维和解题能力，也可以在考试中提高解题速度和准确性。
一元二次方程怎么解 详细过程
一元二次方程怎么解详细过程一元二次方程的解法有如下几种:第一种:运用因式分解的方法,而因式分解的方法有:(1)十字相乘法(又包括二次项系数为1的和二次项系数不为1,但又不是0的),(2)公式法:(包括完全平方公式,平方差公式,).（3）提取公因式例1:X^2-4X+3=0本题运用因式分解法中的十字相乘法,原方程分解为(X-3)(X-1)=0 ,可得出X=3或1.例2：X^2-8X+16=0本题运用因式分解法中的完全平方公式,原方程分解为（X-4）^2=0 可以得出X1=4 X2=4（注意：碰到此类问题,一定要写X1=X2=某个数,不能只写X=某个数,因为一元二次方程一定有两个根,两个根可以相同,也可以不同）例3：X^2-9=0本题运用因式分解法中的平方差公式,原方程分解为（X-3）（X+3）=0 ,可以得出X1=3,X2=-3.例4：X^2-5X=0本题运用因式分解法中的提取公因式法来解,原方程分解为X （X-5）=0 ,可以得出X1=0 ,X2=5第二种方法是配方法,比较复杂,下面举一个例来说明怎样用配方法来解一元二次方程：X^2+2X-3=0第一步：先在X^2+2X后加一项常数项,使之能成为一项完全平方式,那么根据题目,我们可以得知应该加一个1这样就变成了（X+1)^2.第二步：原式是X^2+2X-3,而(X+1)^2=X^2+2X+1,两个葵花子对比之后发现要在常数项后面减去4,才会等于原式,所以最后用配方法后得到的式子为(X+1)^2-4=0,最后可解方程.还有一种方法就是开平方法,例如:X^2=121,那么X1=11,X2=-11.最后如果用了上面所有的方法都无法解方程,那就只能像楼上所说的用求根公式了.定理就是韦达定理,还有根的判别式,韦达定理就是一元二方程ax^2+bx+c=0(a不等于0)二根之和就是-b/a,两根之积就是c/a 举例：X^2-4X+3=0 两根之和就是-(-4/1)=4,两根之积就是3/1=3,（你可以自己解一下,看看是否正确）.因式分解法：把方程变形为一边是零,把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式,让两个一次因式分别等于零,得到两个一元一次方程,解这两个一元一次方程所得到的根,就是原方程的两个根.这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法.例4．用因式分解法解下列方程：(1) (x+3)(x-6)=-8 (2) 2x2+3x=0(3) 6x2+5x-50=0 (选学） (4)x2-2( + )x+4=0 （选学）(1)(x+3)(x-6)=-8 化简整理得x2-3x-10=0 (方程左边为二次三项式,右边为零)(x-5)(x+2)=0 (方程左边分解因式)∴x-5=0或x+2=0 (转化成两个一元一次方程)∴x1=5,x2=-2是原方程的解.(2)2x2+3x=0x(2x+3)=0 (用提公因式法将方程左边分解因式)∴x=0或2x+3=0 (转化成两个一元一次方程)∴x1=0,x2=-是原方程的解.注意：有些同学做这种题目时容易丢掉x=0这个解,应记住一元二次方程有两个解.(3)6x2+5x-50=0(2x-5)(3x+10)=0 (十字相乘分解因式时要特别注意符号不要出错)∴2x-5=0或3x+10=0∴x1=, x2=- 是原方程的解.(4)x2-2(+ )x+4 =0 （∵4 可分解为2 •2 ,∴此题可用因式分解法）(x-2)(x-2 )=0∴x1=2 ,x2=2是原方程的解.。
初中数学必备 一元二次方程的解法—知识讲解
x2
−
7 10
x
+
49 400
−
49 400
−
4
=
−10
x
−
7 20
2
−
49
400
−
4
=
−10
x
−
7 20
2
+
49 40
−
4
=
−10
x
−
7 20
2
−
111 40
．
∵
−10
x
−
7 20
2
0
，∴
−10
x
+
7 4
2
=
25 16
，
直接开平方，得 x + 7 = 5 ． 44
∴
x1
=
−
1 2
，
x2
=
−3
．
【总结升华】方程(1)的二次项系数是 1，方程(2)的二次项系数不是 1，必须先化成 1，才能配方，这是
关键
的一步．配方时，方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，目的是把方程化为
(mx + n)2 = P(P 0) 的形式，然后用直接开平方法求解．同时要注意一次项的符号决定了左
【典型例题】 类型一、用配方法解一元二次方程
1. 用配方法解方程： (1) x2 − 4x −1 = 0 ；
【答案与解析】 (1)移项，得 x2 − 4x = 1 ．
(2) 2x2 + 7 x + 3 = 0 ．
解一元二次方程的几种方法
解一元二次方程的几种方法一元二次方程是数学中常见的方程类型，解这类方程可以使用多种方法，下面将介绍一些常用的方法来解一元二次方程。
1.公式法一元二次方程的一般形式为ax² + bx + c = 0，其中a、b、c为已知实数，且a≠0。
使用公式法可以通过求解二次方程的根来得出方程的解。
根据求根公式：x = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a)其中±表示两个解，分别为x1和x2。
通过带入方程的系数a、b、c即可得到方程的解。
2.配方法配方法也称为配方或变量代换法。
当一元二次方程不易使用公式法解时，可以通过配方法将方程变形为一个完全平方的形式来求解。
具体步骤如下：首先，将方程转化为完全平方的形式，即将方程化简为(x + p)² = q的形式，其中p和q为待定数；然后，展开得到方程的标准形式，计算出p和q的具体值；最后，将求得的p和q代回原方程中，解出方程的根。
3.因式分解法当一元二次方程的形式为(ax + b)(cx + d) = 0时，可以使用因式分解法来求解。
具体步骤如下：将方程用因式分解的形式表示出来；令每个因式为0，解出各个因式对应的x值；得到方程的解。
4.图像法图像法是通过绘制一元二次方程的图像来求解方程。
一元二次方程的图像为抛物线，可以通过观察抛物线与x轴的交点来得到方程的解。
具体步骤如下：根据方程的系数a、b、c绘制出抛物线的图像；观察抛物线与x轴的交点，即可得到方程的解。
5.完全平方法当一元二次方程的形式为x² + bx + c = 0时，可以使用完全平方法来求解。
具体步骤如下：将方程转化为(x + m)² = n的形式，其中m和n为待定数；展开等式，计算出m和n的具体值；将求得的m和n代回原方程中，解出方程的根。
总结：解一元二次方程的几种方法包括公式法、配方法、因式分解法、图像法和完全平方法。
根据方程的形式和问题的要求选择合适的方法来解方程。
一元二次方程的五种解法
一元二次方程的五种解法一元二次方程是数学中常见的方程类型，解一元二次方程有多种方法。
下面将介绍五种解一元二次方程的方法。
一、因式分解法通过因式分解的方法，将一元二次方程化简为两个一次方程，进而求解方程的解。
例如，对于方程x^2 + 5x + 6 = 0，我们可以通过因式分解得到(x + 2)(x + 3) = 0，进而得到x = -2或x = -3。
二、配方法通过配方法，将一元二次方程转化为一个完全平方的形式，然后求解方程的解。
例如，对于方程x^2 + 6x + 9 = 0，我们可以通过配方法将其转化为(x + 3)^2 = 0，进而得到x = -3。
三、求根公式法一元二次方程的求根公式为x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)，其中a、b、c分别为方程ax^2 + bx + c = 0中的系数。
通过代入系数，计算出方程的解。
例如，对于方程x^2 + 2x - 3 = 0，我们可以代入a = 1，b = 2，c = -3，然后利用求根公式计算出x的值。
四、完成平方法通过将一元二次方程的两边进行平方，化简为一个完全平方的形式，然后求解方程的解。
例如，对于方程x^2 + 4x + 4 = 0，我们可以通过将其两边进行平方得到(x + 2)^2 = 0，进而得到x = -2。
五、图像法通过绘制一元二次方程的图像，观察图像与x轴的交点来求解方程的解。
例如，对于方程x^2 - 4 = 0，我们可以绘制出抛物线的图像，观察到抛物线与x轴的交点为x = 2和x = -2，因此方程的解为x = 2和x = -2。
解一元二次方程有多种方法，包括因式分解法、配方法、求根公式法、完成平方法和图像法。
不同的方法适用于不同的方程，选择合适的解法可以更快地求解一元二次方程的解。
在实际应用中，根据方程的形式和已知条件，选择合适的解法可以简化计算，提高效率。
计算机解一元二次方程
计算机解一元二次方程计算机解一元二次方程是一种利用计算机程序来求解一元二次方程的方法。
一元二次方程是形如ax^2 + bx + c = 0的方程，其中a、b、c是已知的实数，x是未知数。
计算机解一元二次方程的方法有很多种，下面将介绍其中两种常用的方法。
方法一：根据一元二次方程求根公式一元二次方程的求根公式是x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)。
计算机可以通过编写程序来实现这个公式。
首先，需要用户输入方程的三个系数a、b和c。
然后，通过求根公式计算出方程的两个根，即x1 = (-b + √(b^2 - 4ac)) / (2a)和x2 = (-b - √(b^2 - 4ac)) / (2a)。
最后，将计算得到的根输出给用户。
下面是一个使用Python编写的计算机解一元二次方程的示例程序：```pythonimport matha = float(input("请输入a的值："))b = float(input("请输入b的值："))c = float(input("请输入c的值："))delta = b ** 2 - 4 * a * cif delta > 0:x1 = (-b + math.sqrt(delta)) / (2 * a)x2 = (-b - math.sqrt(delta)) / (2 * a)print("方程的两个根为：x1 = ", x1, "，x2 = ", x2)elif delta == 0:x = -b / (2 * a)print("方程有一个根：x = ", x)else:print("方程没有实数根")```方法二：使用数值计算库来求解另一种常用的方法是使用数值计算库来求解一元二次方程。
解一元二次方程的各种方法
解一元二次方程的各种方法一元二次方程是指形如ax^2 + bx + c = 0的方程，其中a、b、c为已知系数，且a不等于0。
解一元二次方程的方法有多种，下面将介绍常见的三种方法：因式分解法、配方法和求根公式法。
一、因式分解法因式分解法是解一元二次方程的最简单直观方法之一，它基于一个数学原理：若两个数的乘积等于0，则其中至少一个数为0。
1. 将方程化为标准形式：ax^2 + bx + c = 0。
2. 尝试将方程因式分解为一个一次因式和一个一元二次式的乘积。
即将方程的左边分解为两个乘积，形如(ax + m)(x + n)，其中m和n为待确定的数。
3. 比较方程两边的系数，得到两个等式：a(m + n) = b和mn = c。
4. 根据上述两个等式求解m和n的值。
5. 将m和n的值代入方程(ax + m)(x + n) = 0，得到方程的解。
二、配方法配方法是解一元二次方程的一种常用方法，通过将方程进行配方，将一元二次方程转化为完全平方的形式，从而求得方程的解。
1. 将方程化为标准形式：ax^2 + bx + c = 0。
2. 若a不等于1，可以通过除以a将一元二次方程化为a(x^2 +(b/a)x + c/a) = 0。
3. 将方程的中间项(b/a)x进行配方，即加减一个常数d，并在方程两边同时加减同样的值，得到a(x^2 + (b/a)x + d^2) = d^2 - c。
4. 将方程的左边进行平方运算，并使用求平方根的性质将方程转化为完全平方的形式：(x + m)^2 = n，其中m为(b/2a)(b/2a) + d，n为(d^2 - c)。
5. 对完全平方形式的方程求解，得到方程的解。
三、求根公式法求根公式法是解一元二次方程的一种通用方法，通过使用一元二次方程的求根公式来求解方程。
一元二次方程的求根公式为：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a。
1. 将方程化为标准形式：ax^2 + bx + c = 0。
专题：一元二次方程的八种解法(后附答案)【精品】
专题：一元二次方程的八种解法方法1 形如x2＝p或(mx＋n)2＝p(p≥0)时，用直接开平方法求解用直接开平方法解一元二次方程的三个步骤：(1)看：看是否符合x2＝p或(mx＋n)2＝p(p≥0)的形式；(2)化：对于不符合x2＝p或(mx＋n)2＝p(p≥0)形式的方程先化为符合的形式；(3)求：应用平方根的意义，将一元二次方程化为两个一元一次方程求解.1．用直接开平方法解下列方程：(1)x2－25＝0; (2)4x2＝1；(3)81x2－25＝0； (4)(2y－3)2－64＝0；(5)3(x＋1)2＝13； (6)(3x＋2)2＝25；(7)(x＋1)2－4＝0; (8)(2－x)2－9＝0.方法2 当二次项系数为1，且一次项系数为偶数时，用配方法求解用配方法解一元二次方程的“五步法”(1)移项：使方程的左边为二次项和一次项，右边为常数项.(2)化1：当方程的二次项系数不为1时，在方程的两边同除以二次项系数，把二次项系数化为1.(3)配方：在方程的两边同时加上一次项系数一半的平方，把原方程化成(x＋n)2＝p的形式.(4)开方：若p≥0，则两边直接开平方得到一元一次方程；若p＜0，则原方程无解.(5)求解：解所得到的一元一次方程，求出原方程的解.2．用配方法解下列方程：(1)x2－2x－2＝0； (2)x2-10x+29=0;（3）x2+2x=2; (4)x2－6x＋1＝2x－15；3.用配方法解下列方程：(1)3x 2＋6x －5＝0; (2)12x 2－6x －7＝0.(3)x 2＋16x －13＝0； (4)2x 2－3x －6＝0；方法3 能化成形如（x+a ）（x+b ）=0时，用因式分解法求解用因式分解法解一元二次方程的“四步法”（“右化零，左分解，两因式，各求解”）4.用因式分解法解下列方程：(1)x 2－8x ＝0； (2)5x 2＋20x ＋20＝0；。
一元二次方程的几种解法
系数一半的平方，得
2 4 4 2
写成（）2 的形式，得
x
7 2
49
24 .
4 16 16
开平方，得
x 7 25 .
4
16
2
x1 , x2 3.
1
解这两个方程，得
44
44
x1 , x2 .
75
75
解法2：配方法
配方法的基本步骤：
1、将二次项系数化为1：两边同时除以二次项系数； 2、移项：将常数项移到等号一边； 3、配方：左右两边同时加上一次项系数一半的平方； 4、等号左边写成（ ）2 的形式； 5、开平方：化成一元一次方程； 6、解一元一次方程； 7、写出方程的解.
2
2x 22 5.
解：系数化1，得 x 22 5 ,
2
开平方，得
x2
5.
2
x 2 10 或 x 2 10 .
2
2
解这两个一元一次方程，得
2
2
x1 2 10 , x2 2 10 .
解法1：直接开平(a≠0, ac<0) 或 a(x+p)2+q=0 (a≠0, aq<0)
移项：将常数项移到等号一边，得 x2 4x 1.
配方：左右两边同时加上一个常 x2 4x 4 1 4.
数，凑成完全平方，得
x2 4x 4 5.
写成（）2 的形式，得
x 22 5.
解：
x2 4x 1 0.
移项：将常数项移到等号一边，得 x2 4x 1.
配方：左右两边同时加上一个常 x2 4x 4 1 4.
解： 3x2 7,
x2 7 , 3
x 7, 3
x 21 , 3 21
解一元二次方程的四种方法的利弊
解一元二次方程的四种方法的利弊随着数学的发展，解一元二次方程是数学学习中的基本内容之一。
为了解决一元二次方程，人们提出了各种各样的方法。
本文将介绍解一元二次方程的四种常见方法，并分析它们的利弊。
方法一：因式分解法原理因式分解法是一种将一元二次方程转化为多个一次方程的方法，通过因式分解将二次项分解成两个一次项的乘积，进而求出方程的解。
优点1.简单直观：因式分解法不需要过多的计算步骤，对于简单的一元二次方程求解任务非常有效。
2.适用范围广：因式分解法适用于多种形式的一元二次方程，如完全平方式、含有一次项的方式等。
缺点1.局限性：因式分解法仅适用于可以进行因式分解的一元二次方程，对于难以因式分解的方程则无法使用此方法。
2.计算复杂度高：对于具有复杂因式分解形式的方程，计算量较大，容易出现计算错误。
3.解的个数限制：因式分解法只能求解出方程的实数解，无法求解出复数解。
方法二：配方法原理配方法是通过将一元二次方程的二次项与一次项相乘，构造出一个完全平方式，然后通过转化求解方程的解。
优点1.适用广泛：配方法适用于多种类型的一元二次方程，可以应对一些无法使用因式分解法解决的方程。
2.可求解复数解：配方法可以求解出一元二次方程的复数解，能够提供更全面的解决方案。
缺点1.计算复杂：配方法需要进行一系列的代数运算和变换，计算过程相对复杂，易出错。
2.限制：对于一些特殊形式的一元二次方程，配方法无法处理，需要采取其他方法解决。
方法三：公式法原理公式法是通过一元二次方程的一般公式解来求解方程的根。
一元二次方程的一般公式解为：x = (-b±√(b²-4ac))/(2a)。
优点1.通用性强：公式法是一种通用的求解一元二次方程的方法，适用于所有的一元二次方程。
2.快速准确：通过代入方程参数直接计算公式，可以迅速而准确地求解方程的解。
缺点1.存在限制：公式法仅适用于解可求得实数解的一元二次方程，无法求解复数解。
一元二次方程的解法详细解析
一元二次方程的解法详细解析只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。
标准形式:ax²+bx+c=0(a≠0)一元二次方程有4种解法，即直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法。
下面小编和你具体讲解一元二次方程的四种解法例析。
一元二次方程的解法例析【一元二次方程要点综述】：【要点综述】：一元二次方程和一元一次方程都是整式方程，它是初中数学的一个重点内容，也是学生今后学习数学的基础。
在没讲一元二次方程的解法之前，先说明一下它与一元一次方程区别。
根据定义可知，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程，一般式为：。
一元二次方程有三个特点：(1)只含有一个未知数；(2)未知数的最高次数是2；(3)是整式方程。
因此判断一个方程是否为一元二次方程，要先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理，如能整理为的形式，那么这个方程就是一元二次方程。
下面再讲一元二次方程的解法。
解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”，将它化为两个一元一次方程。
一元二次方程的基本解法有四种：1、直接开平方法；2、配方法；3、公式法；4、因式分解法。
如下表：方法适合方程类型注意事项直接开平方法≥0时有解，＜0时无解。
配方法二次项系数若不为1，必须先把系数化为1，再进行配方。
公式法≥0时，方程有解；＜0时，方程无解。
先化为一般形式再用公式。
因式分解法方程的一边为0，另一边分解成两个一次因式的积。
方程的一边必须是0，另一边可用任何方法分解因式。
【举例解析】例1：已知，解关于的方程。
分析：注意满足的的值将使原方程成为哪一类方程。
解：由得：或，当时，原方程为，即，解得. 当时，原方程为，即，解得，. 说明：由本题可见，只有项系数不为0，且为最高次项时，方程才是一元二次方程，才能使用一元二次方程的解法，题中对一元二次方程的描述是不完整的，应该说明最高次项系数不为0。
通常用一般形式描述的一元二次方程更为简明，即形如的方程叫作关于的一元二次方程。
一元二次方程的三种主要解法
一元二次方程的三种主要解法一元二次方程是数学中常见的方程形式，其一般形式为ax2+bx+c=0，其中a≠0。
解这类方程主要有三种方法：因式分解法、公式法和配方法。
下面分别介绍这三种方法：1. 因式分解法因式分解法适用于那些可以容易地分解为两个一次因式乘积的二次方程。
具体步骤是：1.将方程ax2+bx+c=0 的左侧进行因式分解，得到(px+q)(rx+s)=0 的形式。
2.根据“两式乘积为0，则至少有一个因式为0”的原则，得到两个一元一次方程：px+q=0 和rx+s=0。
3.分别解这两个一元一次方程，得到x1 和x2。
示例解方程x2−5x+6=0●因式分解得：(x−2)(x−3)=0●解得：x1=2,x2=32. 公式法对于一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0，当不易直接因式分解时，可以使用求根公式求解。
求根公式为：x=−b±√(b2−4ac)/2a其中，Δ=b2−4ac 称为判别式。
●当Δ>0时，方程有两个不相等的实根。
●当Δ=0时，方程有两个相等的实根（即一个实根）。
●当Δ<0时，方程无实根，但在复数范围内有两个根。
示例解方程2x2+3x−2=0●计算判别式：Δ=32−4×2×(−2)=9+16=25●使用求根公式：x=(−3±√25)/2×2=(−3±5)/4●解得：x1=21,x2=−23. 配方法配方法是通过将二次方程转化为完全平方的形式来求解。
具体步骤是：1.将方程ax2+bx+c=0 的常数项移到等号右边，得到ax2+bx=−c。
2.方程两边同时除以a，得到x2+bx/a=−c/a。
3.方程两边同时加上(b/2a)2，使左边成为完全平方，得到(x+b/2a)2=(b2−4ac)/4a2。
4.开方求解x。
示例解方程x2+4x+3=0 •移项得：x2+4x=−3 •配方得：(x+2)2=1 •开方得：x+2=±1•解得：x1=−1,x2=−3。
一元二次方程的解法3种
x 2 a 0(a 0) ( x a ) b
2 2
(ax c) d (d 0, a 0)
2
（1）
3、填空： 2
（2） （3）
（4）
（5）
25 5 2 2 x 5 x __ x 2 _ 4 4 2 2 4 2 x x __ x __ 9 3 3 9 3 2 3 2 x x __ x __ 64 8 4 2 p p 2 x px __ x __ 2 4
2 2
基础练习补充：
2、用配方法解下列方程：
1 x 6 x 8 0 2 24 10 x x 2 2 3 x 15 8 x 4 2 x 990 x
2 2
2
1 1 2 5 x x 2 0 6 x 2 x 1 0 3 2
用配方法解一元二次方程 x 2 x 24 0
2
配方的过程可以用拼图直观地表示。
直观感受配方
x 2 2 x 24 0
x( x 2) 24
x
24
x
1 1 X 1
X+2 x x
1
25
12
小结
1、两种解法：
（1）直接开平方法； （2）配方法. 2、整体的数学思想.
基础练习补充：
系数化为1， 移项，配方，开方，求解，定根
书P34
解下列方程： （1）x 0.6 x 0.16 0
2 2
（2）x 2 5 x 4 0
直接开平方法
凡形如 ax2+c=0 (a≠0, ac<0)
或 a(x+p)2+q=0 (a≠0, aq<0)
一元二次方程解法的四种途径
一元二次方程解法的四种途径引言一元二次方程是数学中的重要概念，它是形如 $ax^2 + bx + c = 0$ 的方程，其中 $a$、$b$ 和 $c$ 是已知常数，而 $x$ 是未知变量。
解一元二次方程有助于我们解决很多实际问题，因此研究多种途径解决一元二次方程是非常重要的。
本文将介绍一元二次方程解法的四种途径，分别是公式法、因式分解法、配方法和图像法。
1. 公式法公式法是求解一元二次方程最常用的方法之一。
一元二次方程的通解公式是：$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$其中，$a$、$b$ 和 $c$ 分别是方程中的系数。
通过带入相应的数值和计算，我们可以得到方程的解。
2. 因式分解法一元二次方程有时可以通过因式分解来求解。
对于形如 $ax^2+ bx + c = 0$ 的方程，如果存在两个数 $m$ 和 $n$，使得 $ax^2 +bx + c = a(x - m)(x - n)$ 成立，那么方程的解就是 $x = m$ 和 $x = n$。
因此，我们可以通过因式分解的方法将方程转化为两个一次方程，然后解得方程的解。
3. 配方法配方法是解一元二次方程的另一种常见方法。
当方程的次数大于2时，我们可以通过配方法将其转化为二次方程来求解。
配方法的步骤如下：1. 将方程中的一次项系数截平方并加入到方程两侧，使方程右侧变为一个完全平方；2. 将方程右侧的完全平方进行开方，得到一个一次方程；3. 解一次方程，得到方程的解。
4. 图像法图像法是一种直观的解一元二次方程的方法。
我们可以通过绘制一元二次方程的图像来得到方程的解。
对于一元二次方程 $y =ax^2 + bx + c$，我们可以绘制出其图像，并通过图像的交点与横轴的交点来得到方程的解。
结论本文介绍了一元二次方程解法的四种途径，包括公式法、因式分解法、配方法和图像法。
每种方法都有其独特的特点和适用范围，我们可以根据具体情况选择合适的方法来求解一元二次方程。
一元二次方程的解题方法有哪些
一元二次方程的解题方法有哪些一元二次方程的解题方法1、直接开平方法利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。
直接开平方法适用于解形如(x+a)2=b的一元二次方程。
根据平方根的定义可知，x+a是b的平方根，2、配方法配方法的步骤：先把常数项移到方程的右边，再把二次项的系数化为1，再同时加上1次项的系数的一半的平方，最后配成完全平方公式3、公式法公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。
一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式：公式法的步骤：就把一元二次方程的各系数分别代入，这里二次项的系数为a，一次项的系数为b，常数项的系数为c4、因式分解法因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。
一元二次方程的概念一元二次方程指的是，经过化简后，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程。
像等号两边都是整式，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的方程叫做一元二次方。
要判断一个方程是否为一元二次方程，需要先化简方程看是否满足条件。
一元二次方程的特点：1、含有一个未知数。
2、且未知数次数最高次数是2。
3、一元二次方程是整式方程。
要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理。
如果能整理为ax2+bx+c=0(a≠0)的形式，则这个方程就为一元二次方程。
4、将方程化为一般形式：ax2+bx+c=0时，应满足(a≠0)。
数学的学习方法1、养成良好的学习数学习惯。
建立良好的学习数学习惯，会使自己学习感到有序而轻松。
高中数学的良好习惯应是：多质疑、勤思考、好动手、重归纳、注意应用。
学生在学习数学的过程中，要把教师所传授的知识翻译成为自己的特殊语言，并永久记忆在自己的脑海中。
良好的学习数学习惯包括课前自学、专心上课、及时复习、独立作业、解决疑难、系统小结和课外学习几个方面。
构造一元二次方程解题的六种方法
构造一元二次方程解题的六种方法类型一、利用根的定义构造：若已知等式具有相同的结构，则可把某两个变元看做是关于某一个字母的一元二次方程的两根.1．已知 p ²－2p－5=0 ，1/q ²－2/q－5=0，其中p，q为实数，且pq≠1，求p2＋1/q ²的值。
解：易知q≠0 ，故由 pq≠1 可得p≠1/q ，又1/q ²－2/q－5=0 即（1/q）2 －2（1/q）－5=0 与 p ²－2p－5=0 形式相同，从而可知 p，1/q为方程 x2－2x－5=0的两根，∴ p ＋1/q =2, p ·1/q =－5,∴ p2＋1/q ²=（p＋1/q）2－2p·1/q = 4－2×（－5）= 4＋10 = 14 。
方法点拨：上题中因为有 p≠1/q这个条件，因而可以逆用一元二次方程根的定义构造一元二次方程 x²－2x－5=0，从而利用韦达定理得解。
(1) 当b=c时，易得a=b=c，显然2c=a+b(2) 当b≠c时，则可把b-c、a-b、c-a当做是有两个相等实数根的一元二次方程(b-c)x²+(a-b)x+c-a=0的系数.又∵(b-c)+(a-b)+(c-a)=0, ∴x1=x2=1,由根与系数的关系得x1·x 2=(c-a)/(b-c)=1，即2c=a+b.7. 已知n²(p－m) ²＝4mp(m－n)(n－p)，求证：1/m+1/m=2/p．证明，由已知n²(p－m) ²＝4mp(m－n)(n－p)，得n²(p－m) ²－4mp(m－n)(n－p)＝0．∴方程p(m－n)x²＋n(p－m)x＋m(n－p)＝0(m≠n)有两个相等的实数根．∵p(m－n)＋n(p－m)＋m(n－p)＝0，∴方程的两个实数根为x1＝x2＝1．根据根与系数的关系，得1×1=m(n-p)/p(m-n)化简得mn＋np＝2mp，∴1/m+1/m=2/p（m≠n）当m＝n时，由已知可得p＝m，此时亦有1/m+1/m=2/p成立，。
四种解一元二次方程的方法
四种解一元二次方程的方法嘿，咱今儿个就来唠唠解一元二次方程的那四种法子！这可都是数学里的宝贝呀！先说说直接开平方法。
这就好比是一把钥匙，能直接打开那扇困住方程的门。
遇到那种能直接写成平方形式的方程，嘿，用它就对啦！就像一把精准的钥匙，咔嗒一下，答案就出来了。
比如说，一个方程是(x-3)²=4，那咱不就能直接得出 x-3=±2，进而算出 x 的值啦，多简单直接呀！再讲讲配方法。
这就像是给方程做一顿美味大餐，得精心调味、搭配。
把方程通过一些巧妙的操作，配成完全平方的形式。
这可得有点耐心和技巧呢！就好像要把各种食材搭配得恰到好处，才能做出美味佳肴。
举个例子，x²+4x-5=0，咱就给它加上 4 变成 x²+4x+4-4-5=0，然后就变成了(x+2)²=9，这不就好解了嘛。
因式分解法呢，就如同拆礼物。
把方程拆呀拆，拆成几个因式相乘等于零的形式。
这可需要一双敏锐的眼睛，能找到那些隐藏的线索，把方程巧妙地拆解开来。
比如 x²-3x+2=0，就能分解成(x-1)(x-2)=0，那答案不就呼之欲出啦！最后说说公式法。
这可是个厉害的大绝招！不管啥样的一元二次方程，它都能给你搞定。
就像是一个万能工具，啥难题都能解决。
只要记住那个神奇的公式，往里一套，答案就出来啦。
不过用的时候可得小心，别算错咯。
哎呀呀，这四种方法各有各的妙处呀！就好像是武林高手的不同绝技，在不同的场合都能大显身手。
咱在解一元二次方程的时候，就得像个聪明的侠客，根据不同的情况，灵活运用这些方法。
有时候一种方法就能搞定，有时候得几种方法结合起来呢。
你想想啊，要是遇到个难题，你能一下子就找到合适的方法把它解开，那得多有成就感呀！就好像是攻克了一座坚固的城堡。
而且呀，这四种方法在生活中也有类比呢！比如说直接开平方法就像直截了当地解决问题，配方法就像精心准备去做一件事，因式分解法就像把复杂的事情拆解成简单的步骤，公式法就像有个通用的规则可以遵循。
解一元二次方程的方法
解一元二次方程的方法一元二次方程是数学中常见的一种方程形式，具有一般性的一次项、二次项和常数项三个部分。
解一元二次方程时，可以运用以下几种方法：因式分解法、配方法、求根公式和完成平方法。
本文将详细介绍这四种方法。
一、因式分解法因式分解法是解一元二次方程的常用方法之一。
具体步骤如下：1. 将一元二次方程转化为标准形式，确保二次项的系数为1。
示例方程：ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0)2. 利用因式分解的思想，将方程化简为两个一次方程的乘积形式。
示例方程：(px + q)(rx + s) = 03. 让乘积等于0，得到两个一次方程。
px + q = 0 或 rx + s = 04. 分别解这两个一次方程，求得x的值。
x = -q/p 或 x = -s/r二、配方法当一元二次方程无法直接因式分解时，可以运用配方法进行求解。
具体步骤如下：示例方程：ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0)2. 根据二次项前的系数b，选择适当的常数m，使得m²与一次项与常数项的乘积相等。
示例方程：ax² + bx + c = am² + 2m + c - am² = 03. 将方程重写为平方差的形式。
示例方程：(√a·x + m)² = 04. 利用平方差公式展开方程，并得到简化后的方程。
示例方程：a·x² + 2√a·m·x + m² = 05. 解这个简化后的方程，求得x的值。
x = (-2√a·m ± √(2√a·m)² - 4·a·m²) / 2·a化简得 x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a三、求根公式求根公式适用于所有的一元二次方程。
其具体形式如下：给定一元二次方程ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0)，则其解为：x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a四、完成平方法完成平方法也是一种常用的解一元二次方程的方法。
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(2)x2－3x＋ (
3 2
)2
=(x－
3 2
)2
(3)x2－12x＋ 62 =(x－ 6 )2
练习； 4x2 6x 3 0
解: 移项，得： 4 x2 6 x 3,
二次项系数化为1，得
x2 3 x 3 , 24
配方，得：
x2
3 2
x
3 4
2
3 4
3 4
2
,
x
3 4
2
21 , 4
由此得:
x 3 21 , 42
x1
3 4
21 , 2
x2
3 4
21 . 2
① 先化为一般形式； ②再确定a、b、c,求b2-4ac； ③ 当 b2-4ac≥ 0时,代入公式:
x=
- b±
b2 2a
4ac
若b2-4ac＜0,方程没有实数根.
x
4
2
5
2
.
3 3
4.变形:方程左边分解因式,右边 合并同类项;
x 4 5. 33
5.开方:根据平方根意义,方程两 边开平方;
x 4 5.
33
1 x1 3 ,
x2 3.
6.求解:解一元一次方程; 7.定解:写出原方程的解.
(1)x2＋8x＋ 42 =(x＋4)2
2.理论依据是:如果两个因式的积等于零 那么至少有一个因式等于零.
因式分解法解一元二次方程的一般步骤: 一移-----方程的右边=0;
二分-----方程的左边因式分解;
三化-----方程化为两个一元一次方程;
四解-----写出方程两个解;
例题解析
例1解下列方程：
1 x x 2 x 2 0;
2 5x2 2x 1 x2 2x 3 .
4
4
解：（1）因式分解，得
(x－2)(x＋1)=0.
于是得
x－2＝0或x＋1=0,
x1=2，x2=－1.
我来试一试
(2)移项、合并同类项，得
4x2 1 0.
因式分解，得 ( 2x＋1)( 2x－1 )=0.
2x＋1=0或2x－1=0,
2
解： （3x-2）²=49
3x -2=±7
x= 2 7
x1=3，x2=
-5 3
3
解：
法一3x-4=±（4x-3）
解：3y²+8y -2=0
3x -4=4x-3或3x-4=-4x+3 b²- 4ac
-x=1或 7x=7
=64 -43（-2）
x1 = -1， x2 =1
=88
法二（3x-4）²-（4x-3）²=0
（3x-4+4x-3）（3x-4x+3）=0 X= 8 88
（7x-7）（-x-1）=0
6
7x-7=0或-x-1=0 x1 = -1， x2 =1
x1
4
3
22 , x2
练习：选用适当方法解一元二次方程：
（1）(x-1)(x+3)=12 （2） (x-3)2 =4x （3）(2y+1)2+2(2y+1)+1=0 （4）(x-1)2=9(x+2)2
于是得
x1
1 2
,
x2
1. 2
规律：
1.一般地，当一元二次方程一次项系数为0时 （ax2+c=0），应选用直接开平方法；
2.若常数项为0（ ax2+bx=0），应选用因式分 解法；
3.若一次项系数和常数项都不为0 (ax2+bx+c=0），先化为一般式，看一边的整 式是否容易因式分解，若容易，宜选用因式 分解法，不然选用公式法；不过当二次项系 数是1，且一次项系数是偶数时，用配方法也 较简单。
例. 3x2 6x 2 0
解： a 3,b 6, c 2.
∆= b2 4ac 62 432 60.>0
方程有两个不等的实数根
x 6 60 6 2 15 3 15 ,
6
6
3
3 15
3 15
即
二次方程时，如果方程能直接开平方， 就采用直接开平方, 其次考虑因式分解，因为这种 方法最快接；再次考虑求根公式法，这种方法是万 能的，能求所有的一元二次方程，尤其当二次项系 数不是1时。当然大前提是有解。最后考虑用配方法， 因为它较复杂，但这种方法常用于证明一个式子大于 零或恒小于零。
. 3
练习： x2 3x 1 0 4
1 解： a 1,b 3, c .
4
∆=
b2 4ac
3
2
4
1 4
4.
>0
方程有两个不同的实数根
x 3 4 32,
21
2
即
2 3
32
x1 2 , x2 2 .
1.用因式分解法的条件是:方程左边能够 分解,而右边等于零;
配方法
解: 3x2 8x 3 0.
例2 解方程 3x2+8x-3=0.
x2 8 x 1 0.
1.化1:把二次项系数化为1;
x2 38 x 1.
2.移项:把常数项移到方程的右边;
x2
8
3
x
4
2
3 3
1
4
2
.
3
3.配方:方程两边都加上一 次项系数一半的平方;
解一元二次方程的方法有几种?
方程的左边是完全平方式,右边是非负数; 即形如
x2 p或(mx n)2 p( p 0)
可得
x p或mx n p.
练习
例. x 62 9 0
解：移项 x 62 9
x 6 3,
x＋6=3 x＋6=－3,
方程的两根为 x1 =－3,
x1 =－9.
用配方法解一元二次方程的步骤:
1.化：若二次项系数不是1，要先化为1. 2.移项:把常数项移到方程的右边; 3.配方:方程两边都加上一次项系数一半的 平方; 4.变形:方程左边写成完全平方形式,右边合 并同类项 5.开方:根据平方根意义,方程两边开平方; 6.求解:解一元一次方程; 7.定解:写出原方程的解.
按括号中的要求解下列一元二次方程：
（1）4(1+x)2=9（直接开平方法）； （2）x2+4x+2=0（配方法）； （3）3x2+2x-1=0（公式法）； （4）(2x+1)2= -3 (2x+1) （因式分解法）
练习：用最好的方法求解下列方程 1、（3x -2）²-49=0 2、（3x -4）²=（4x -3）² 3、4y = 1 - 3 y²