华南理工大学概率论与数理统计课件 (18)

置信区间 置信下限
样本统计量 (点估计)
置信区间与置信水平
/2
1–
s x /2
置信上限
x
x
我们用95%的置信水平得到某班学生考试成绩的置信区间为60-80分，如何理解？
错误的理解：60-80区间以95%的概率包含全班同学平均成绩的真值；或以95% 的概率保证全班同学平均成绩的真值落在60-80分之间。 正确的理解：如果做了多次抽样（如100次），大概有95次找到的区间包含真值， 有5次找到的区间不包括真值。
设总体的分布中含有一个参数，对给定的，如果由样本（X1，X2，…，Xn） 确定两个统计量 1（ X1，X2，…，Xn ）， 2（ X1，X2，…，Xn ），使得 P{1 << 2}=1- ，则称随机区间（ 1 ， 2 ）为参数的置信度（或置信水平） 为1- 的置信区间。
1——置信下限 2——置信上限
6
续解 （2）由题设知X~N（，0.06）
构造U-统计量，得EX的置信区间为
Xu2ຫໍສະໝຸດ sn , X u 2
s
n
而 x 14.95, s 0.06 0.1
n6
当=0.05时，u0.025 1.96
所以，EX的置信区间为（14.754，15.146）
当=0.01时，u0.005 2.58 所以，EX的置信区间为（14.692，15.208）
则取U-统计量 U X ，对做区间估计。 sn
对给定的置信水平1-，由
PU
u 1
确定临界值（X的双侧分位数）得的2 置信区间为
X
u
2
s
n
,
X
u
2
s
n
将观测值 x1, x2,L , xn 代入，则可得具体的区间。
[例] 已知某零件的直径服从正态分布，从该批产品中随机抽取10件， 测得平均直径为202.5mm，已知总体标准差σ=2.5mm，试建立 该种零件平均直径的置信区间，给定置信度为0.95。 解：已知
置信水平提高，置信区间扩大，估计精确度降低。
置信区间随置信水平的变化
x± u 2sx
sx
- 2.58sx
-1.65 s x
+1.65sx +2.58sx
x
-1.96s x
+1.96sx
90%的样本
95% 的样本
99% 的样本
我们引入误差的概念：
为什么记 / s X为z / 2 ?
14.6，15.1，14.9，14.8，15.2，15.1 （1）试求该天产品的平均直径EX的点估计； （2）若已知方差为0.06，试求该天平均直径EX的置信
区间：=0.05；=0.01。
解 （1）由矩法估计得EX的点估计值为
E¶X x 1 14.6 15.114.9 14.8 15.2 15.1 14.95
2、不同的置信水平，参数的置信区间不同。
3、置信区间越小，估计越精确，但置信水平会降低； 相反，置信水平越大，估计越可靠，但精确度会降 低，置信区间会较长。一般：对于固定的样本容量， 不能同时做到精确度高（置信区间小），可靠程度也 高（1- 大）。如果不降低可靠性，而要缩小估计范 围，则必须增大样本容量，增加抽样成本。
区间估计的思想
点估计总是有误差的，但没有衡量偏差程度的量， 区间估计则是按一定的可靠性程度对待估参数给出一个 区间范围。
引例 设某厂生产的灯泡使用寿命X~N（，1002），现 随机抽取5只，测量其寿命如下：1455，1502，1370， 1610，1430，则该厂灯泡的平均使用寿命如何估计？
置信水平、置信区间
正态总体方差未知，对均值的区间估计
正态总体 σ2未知时
n≥30时，只需将
X
2
s n
,
X
2
s
n
中的σ用 S近似代替即可 。
n<30时,由
t X ~ t(n 1)
Sn
P{t t /2} 1
即在1－α置信度下，μ的置信区间为
X
S n
t
2
(n
1)
,
X
S n
t
2
(n
1)
例2 某厂生产的一种塑料口杯的重量X被认为服从正态 分布，今随机抽取9个，测得其重量为（单位：克）： 21.1，21.3，21.4，21.5，21.3，21.7，21.4，21.3， 21.6。试用95%的置信度估计全部口杯的平均重量。 解 由题设可知：口杯的重量X~N（，s2）
真值只有一个，一个特定的区间“总是包含”或“绝对不包含”该真值。但是，用 概率可以知道在多次抽样得到的区间中大概有多少个区间包含了参数的真值。
如果大家还是不能理解，那你们最好这样回答有关区间估计的结果： 该班同学平均成绩的置信区间是60-80分，置信度为95%。
正态总体方差已知，对均值的区间估计
如果总体X~N（，s2），其中s2已知， 未知，
X =202.5, n=10, 1－α=0.95 X ~ N (,s 2 )
查标准正态分布表，得μα/2=1.96 所以在1－α置信度下，μ的置信区间为
X
2
s
n
,
X
2
s
n
)
计算结果为：[200.95, 204.05]
例1 某车间生产滚珠，从长期实践中知道，滚珠直径X 可以认为服从正态分布，从某天的产品中随机抽取6个， 测得直径为（单位：cm）
由抽取的9个样本，可得 S 0.18 x 21.4 n 9
由 1 0.95 得 0.05 查表得 t0.025 (8) 2.306
t 2 (8)
S 2.306 0.18 0.13836
n
9
全部口杯的平均重量的置信区间为（21.26，21.54）
1. 参数区间估计的含义：估计总体参数的区间范围，并给出区间估 计成立的概率值。
p(1 2 ) 1
2. 其中： 1-α(0<α<1)称为置信度；α是区间估计的显著性水平，
其取值大小由实际问题确定，经常取1%、5%和10%。也称犯错 误的可能性。
几点说明
1、参数的置信水平为1-的置信区间（ 1， 2） 表示该区间有100（1-）%的可能性包含总体参 数的真值。
0.45
p( X ) 1
0.4
sX
sX
0.35
p(z ) 1
0.3
sX
0.25
0.2
0.15
p(z ) sX 2
0.1 1
/2
0.05
/2
0
-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
/s X
注意
• 为迎接学校期中检查，原定于13周的上机 调往17周。另外，请各位同学做好课程准 备，以更好的完成课程学习。