关于数学归纳法

一、关于数学归纳法

1．数学归纳法到底是归纳法，还是演绎法？

如果是演绎法，为什么取个名字叫某某归纳法？数学当中很多名称都可以顾名思义看到本质，比如“反函数”——反过来也是函数；“零点”——方程的根，就是数轴上的点。我想“数学归纳法”也不会例外。

首先，从数学归纳法的本质讲，数学归纳法是自然数理论中的皮亚诺公理即归纳公理的直接应用，既然是公理，数学归纳法的正确性就无需证明，只需要理解与接受。

众所周知， p(n)表示与正整数n有关的待证命题，证明主要有两个步骤：

（1）证明p(1)为真；

（2）证明若p(k)为真，则p(k+1)为真；

有了这两步的保证，就可实现以下的无穷动态的递推过程：

P(1)真P(2)真 P(3)真… P(k)真 P(k+1)真…

因此得到对于任何正整数n，命题p(n)都为真。

纵观全过程，这是一个“个别——特殊——一般”的推理形式，完全合乎归纳推理程序，从这个意义上讲，它是归纳的。

当然，在这个归纳的过程中，是由无数个“三段论”——“演绎论证”构成的，大前提是“若命题P(k)真，则命题P(k+ 1)真”；小前提是P(1)真，结论是P(2)真；大前提是“若命题P(k)真，则命题P(k+ 1)真”；小前提是P(2)真，结论是P（3)真；……

命题“若命题P(k)真，则命题P(k+ 1)真”的证明更是需要用演绎法来证明。在证明过程的某个局部有演绎，并不妨碍我们说这个证明过程从整体上讲是归纳。新教材特别重视思想方法的渗透，在学习数学归纳法方法的同时渗透和体验“归纳-猜想-证明”的思想方法。

2．学习数学归纳法的必要性在哪里？

学生知道了不完全归纳法属于合情推理，它能帮助我们研究数学问题，进行数学猜想、发现数学规律、找到数学结论，并为证（解）题提供思路和方向．但由于由有限多个特殊事例得出的结论不一定正确，这种推理方法不能作为一种论证方法．上课的时候一般我们都会举个例子来说明不完全归纳法是不一定准确的，所以有必要学习数学归纳法。

数学归纳法作为一种用于证明与自然数n有关的命题的正确性的证明方法．它能促进学生从有限思维发展到无限思维。如果我们可以通过一一验证的方法来证明，数学归纳法是不是就变成可有可无了？关键是让学生体验无法一一验证的痛苦。有了体验之后，学生必然会思索有没有一种对付这类涉及无穷性的命题，既不需做完全的考察而又是十分可靠的办

法，来克服不完全归纳的局限呢?至此引出即将讲述的科学方法—数学归纳法。它是用有限的步骤，证明命题对无限的自然数都成立的方法，体现了有限与无限的对立统一。

3．数学归纳法的教学重心是什么？

数学归纳法是数学中的“大法”。由于数学归纳法处理的对象涉及自然数的无限性、其本身的思维方式之别致、概念之难、形式变之多端、应用之广、题目型态之多样使得很多同学只能达到“依样画葫芦”式的工具性理解，而达不到对该方法的“关系性理解”。

数学归纳法教学的重心应是让学生体味到方法的“精髓”，而不是记住解题的程式。用“多米诺骨牌效应”写意式地诠释数学归纳法是很合适的。第一块骨牌不倒，后面的骨牌就不倒，这隐喻了归纳奠基的必要性、重要性。每两块骨牌间的距离要恰当，其中任何一块骨牌倒下时，都会正好倒在下一块骨牌上，并使之跟着倒下，这隐喻了归纳假设推理重要性。

数学归纳法的教学过程中“理解”和“练习”不应该是对立的双方，而应该是两者的统一，或者说两者的整合，而且两者对于学生“原理的理解”和“运用的促进”是一个循环上升的过程，即原理的深入理解促进运用，进一步运用后的反思，特别是障碍克服后的反思，又促进对原理的理解。

二、常将平面三角形与空间四面体之间的性质、结论类比，那么在空间四面体中有没有类似三角形中的正余弦定理存在？

首先，平面三角形是平面几何中的一个基本图形，而四面体是立体几何中的一个基本图形。二者之间有着密切的联系，同时它们之间的联系体现了平面与空间的联系，一维空间与二维空间的联系，进一步可能有助于对多维空间的理解。

1、从概念上看：三角形是边数最少的多边形，四面体是面数最少的多面体。

2、三角形的任意两边之和大于第三边。四面体任意三个面的面积之和大于第四个面的面积。

3、任意一个三角形都有一个外接圆，即不共线三点确定一个圆，这个圆圆心称为三角形的外心，外心是各边垂直平分线的交点，外心到三角形各顶点距离相等。任意一个四面体都有一个外接球，即不共面四点确定一个球；这个球的球心在四面体各个面内的射影是各个面的外心，且它到四面体各顶点的距离也相等。

4、任意一个三角形都有一个内切圆，圆心称为三角形的内心，内心到各边距离相等，是三内角平分线的交点；且设三角形的周长为c,内切圆半径为r,则三角形的面积为

。任意一个四面体都有一个内切球，球心到各个面的距离相等，是从六条棱出发

的六个二面角的平分面的交点。且设四面体的表面积为S,内切球半径为R，则四面体的体积为。

5、正三角形棱长为a时，周长为3a,面积为，高为，外接圆半径为，内切圆半径为。外接圆半径是内切圆半径的2倍。

6、正四面体棱长为a时，表面积为，高为，外接球半径为，

内切接球半径为。外接球半径是内切球半径的3倍。

7、任意三角形的三条中线交于一点，称为三角形的重心，重心到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍。（重心定理）如图1所示：G为的重心。且

任意四面体的顶点与对面重心的连线交于一点，正是四面体的物理重心，且四面体的重心到顶点的距离是它到对面重心距离的3倍。（重心定理的推广）

如图2所示： E，F分别为的重心，AE与BF相交于点G，则G为四面体A-BCD的重心。

8、三角形中三个顶点的坐标分别为，则它的重心坐标为

。四面体中四个顶点的坐标分别为，

，则它的重心坐标为。

9、三角形中有余弦定理：。

在四面体A-BCD中，顶点A,B,C,D所对底面面积分别为；以四面体的各棱为棱的二面角大小分别为。则有

。

余弦定理证明如下：

证明：在中利用射影定理有

由上面三式得：、

，则命题得证。