关于数学归纳法
数学归纳法定义
数学归纳法定义
数学归纳法是一种证明数学命题的方法。
它基于两个关键思想：基础步骤和归纳步骤。
数学归纳法常用于证明关于自然数的命题，但也可用于其他情况。
首先，基础步骤是证明命题在最小的情况下成立。
通常，我们需要证明当n取某个特定的值时，命题成立。
这是数学归纳法的起点，也是证明的基础。
其次，归纳步骤是证明命题在n=k成立的情况下，n=k+1也成立。
这是数学归纳法的关键部分。
假设命题在n=k成立，然后我们使用这个假设来证明命题在n=k+1也成立。
这种“归纳”的思想可以一直进行下去，直到我们证明了命题对于所有自然数成立。
数学归纳法的证明过程可以简化为以下几步：
1. 证明基础步骤：证明命题对于最小的情况(通常是n=0或n=1)成立。
2. 假设归纳假设：假设命题在n=k成立。
3. 通过归纳假设推导：使用归纳假设来证明命题在n=k+1也成立。
4. 结论：根据数学归纳法的原理，我们可以得出结论，即命题对于所有自然数n成立。
需要注意的是，数学归纳法只能用于证明对于所有自然数成立的命题。
如果一个命题只对于某些自然数成立，那么数学归纳法不能用来证明它。
数学归纳法在数学中有着广泛的应用。
它可以用于证明数列、函数、不等式、恒等式等各种数学问题。
通过使用数学归纳法，我们可以简化证明过程，使得数学推理更加清晰和严谨。
关于数学归纳法的逻辑基础
关于数学归纳法的逻辑基础数学归纳法的逻辑基础:1. 什么是数学归纳法数学归纳法是一种系统推理方法，也称为递归定义，可以将描述或解决问题的计算步骤归纳为基本条件、逐步发展的演绎和总结的推论。
数学归纳法的本质是从基本的特定例子开始，然后根据有效的推理理论逐渐归纳出更普适的结论，最终达到共同结论的一个思考过程。
2. 逻辑结构数学归纳法的逻辑结构由三部分组成，即基本条件（Basic Condition）、演绎发展（Inductive Development）和总结推论（Summary Conclusion）。
在实践中，首先，要引入的基础条件必须是可以处理的，其次，演绎发展必须以系统概念及推理联系内容为基础，在此基础上，再遵循有效的推理步骤逐步发展，最终总结推论，从而得出全面的结论。
3. 基本条件基本条件是指通过数学归纳法得出结论之前所具有的特定条件，也是数学归纳法的推理过程的起点。
基本条件实质上是一个特定例子，此例子可以来源于固定的数学，也可以来自实际情况。
基本条件必须是可以处理的，也就是说要达到充分可信任性。
4. 演绎发展演绎发展是数学归纳法的核心，就是从基本条件中获得更广泛的结论的发展过程。
演绎发展的本质就是对特定条件的检验和从中获得新的结论。
它过程必须是有效的，也就是说，要通过有效的推理手段将结论的演绎发展完成。
5. 总结推论总结推论是演绎发展过程的总结，也是归纳过程的最终结论。
在具体操作中，需要通过正确的推理联系或关系来明确推导的结果以及总结出的更高层次的抽象概念，其结果应当足够正确、充分、科学。
总之，通过数学归纳法的逻辑基础，我们可以将描述或解决问题的计算步骤归纳为基本条件、逐步发展的演绎和总结的推论，并最终达到统一的结论，从而解决问题。
这样，我们就可以在解决一类类问题时辅以数学归纳法，来获得更好的解决效果。
数学归纳法讲义
数学归纳法一、基本知识概要：1.数学归纳法:对于某些与自然数n 有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性：先证明当n 取第一个值n 0时命题成立；然后假设当n=k(k ∈N*，k ≥n 0)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立这种证明方法就叫做数学归纳法2. 数学归纳法的基本思想：即先验证使结论有意义的最小的正整数n 0，如果当n =n 0时，命题成立，再假设当n =k (k ≥n 0，k ∈N *)时，命题成立.(这时命题是否成立不是确定的)，根据这个假设，如能推出当n =k +1时，命题也成立，那么就可以递推出对所有不小于n 0的正整数n 0+1，n 0+2，…，命题都成立.●锦囊妙记(1)数学归纳法的基本形式设P (n )是关于自然数n 的命题，若 1°P (n 0)成立(奠基)2°假设P (k )成立(k ≥n 0)，可以推出P (k +1)成立(归纳)，则P (n )对一切大于等于n 0的自然数n 都成立.3.用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤： (1)证明：当n 取第一个值n 0结论正确；(2)假设当n =k (k ∈N *，且k ≥n 0)时结论正确，证明当n =k +1时结论也正确. 由(1)，(2)可知，命题对于从n 0开始的所有正整数n 都正确递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉.1．用数学归纳法证题要注意下面几点：①证题的两个步骤缺一不可，要认真完成第一步的验证过程；②成败的关键取决于第二步对1+=k n 的证明：1）突破对“归纳假设”的运用；2）用好命题的条件；3）正确选择与命题有关的知识及变换技巧.2．中学教材内，用数学归纳法证明的问题的主要题型有“等式问题”、“整除问题”、“不等式问题”等，要积累这几种题型的证题经验.探究1．数学归纳法的本质：无穷的归纳→有限的演绎（递推关系）2．数学归纳法公理：（1）（递推奠基）：当n 取第一个值n 0结论正确； （2）（递推归纳）：假设当n =k (k ∈N *，且k ≥n 0)时结论正确；（归纳假设）证明当n =k +1时结论也正确。
数学归纳法的变式及应用
61……设 a n 为其第n项，S n 为其前n项的和，其中
a 2 l 3 l2,a 2 l 1 3 ll 1 1求证：
S 2 l 1 1 2 l4 l2 3 l 1,S 2 l 1 2 l4 l2 3 l 1.
证明：令 A n 为 S2n11 2n4n23n1 ；
为 为 B n
S2n
设 p n 是一个关于自然数n的命题，如果 (1) p n 对无穷多个自然数成立； (2) 假设 p n 对于自然数k正确，就能推出 命题对自然数k-1正确； 那么，p n 对任意自然数n都成立。
例 求证n个正实数的算术平均值大于或等 于这n个数的几何平均值，即
a1a2 n anna1a2 an
法证明，反之亦然。
3.数学归纳法的变式
1 跳跃归纳法 跳跃归纳法的基本形式为：
设 p n 是一个关于自然数n的命题，如果 (1) p1、 p2、pl成立；
(2) 假设对于自然数k正确，就能推出命题对自然
数k+l正确；
那么，p n 对任意自然数都成立。
2 反归纳法（倒推归纳法）
反归纳法的基本形式为：
为真。
(2) 对于任意自然数n 15,假定命题 p n 为真 即可以用4分和5分邮票来组成k（15kn）分邮
资。 为了组成n+1分邮资，用组成n-3分邮资的邮 票加上1个4分邮票就可以了。
两类数学归纳法是等价的
第一数学归纳法和第二数学归 纳法是等价的，即用第一数学归纳
法证明的 p n 可以用第二数学归纳
设 p n 是一个关于自然数n的命题，如果
(1) p 1 成立；
(2) 假设 p n 对于所有适合n<k的正整
数n成立，则 p k 也成立； 那么，p n 对任意自然数n都成立。
归纳法
解析：选 C.当 n＝k 时，左边＝ 1 ＋ 1 ＋…＋ 1 ，当 n＝k＋1 时，左边＝ 1 ＋ 1
k＋1 k＋2
k＋k
k＋2 k＋3
＋…＋
1
＋
1
＋
1
，
（k＋1）＋（k－1） （k＋1）＋k （k＋1）＋（k＋1）
故不等式左边的变化是增加 1 和 1 两项，同时减少 1 一项.
2k＋1 2k＋2
k＋1
＝（－1）k－1·k（k＋1）. 2
（7 分）
则当 n＝k＋1 时， 12－22＋32－42＋…＋（－1）k－1k2＋（－1）k（k＋1）2
＝（－1）k－1·k（k＋1）＋（－1）k（k＋1）2 2
（k＋1）－k
＝（－1）k（k＋1）
2
（－1）k（k＋1）[（k＋1）＋1]
＝
2
＝（－1）k（1＋2＋3＋…＋k＋1）.
3.求证：1＋1＋1＋…＋ 1 ＞n（n∈N*）.
23
2n－1 2
证明：①当 n＝1 时，左边＝1，右边＝1，所以不等式成立. 2
②假设当 n＝k（k≥1，k∈N*）时不等式成立，
1 ＋ 1 ＋…＋ 1 ＞5，则当 n＝k＋1 时，
k＋1 k＋2
3k 6
1
＋
1
＋…＋ 1 ＋ 1 ＋ 1 ＋ 1 ＝ 1 ＋ 1 ＋…＋
（k＋1）＋1 （k＋1）＋2
3k 3k＋1 3k＋2 3（k＋1） k＋1 k＋2
1
＋
1 ＋ 1 ＋ 1 －1 3k＋1 3k＋2 3k＋3 k＋1
＞5＋
3k
6
（1 分） （2 分）
（4 分）
正确猜测此结论,是本题的基础.
（2）证明：①当 n＝1 时，左边＝12＝1，
数学归纳法
（—）第一数学归纳法：一般地，证明一个与正整数n有关的命题，有如下步骤：（1）证明当n取第一个值时命题成立；（2）假设当n=k（k≥n的第一个值，k为自然数）时命题成立，证明当n=k+1是命题也成立。
（二）第二数学归纳法：第二数学归纳法原理是设有一个与自然数n有关的命题，如果：（1）当n＝1回时，命题成立；（2）假设当n≤k时命题成立，则当n＝k+1时，命题也成立。
那么，命题对于一切自然数n来说都成立。
（三）螺旋归纳法：螺旋归纳法是归纳法的一种变式，其结构如下：Pi和Qi是两组命题，如果：P1成立Pi成立=>Qi成立那么Pi,Qi对所有自然数i成立利用第一数学归纳法容易证明螺旋归纳法是正确的编辑本段排列，组合·阶乘：n！=1×2×3×……×n，（n为不小于0的整数）规定0！=1。
·排列从n个不同元素中取m个元素的所有排列个数，A（n，m）= n！/(n - m)！（m是上标，n是下标，都是不小于0的整数，且m≤n）··组合从n个不同的元素里，每次取出m个元素，不管以怎样的顺序并成一组，均称为组合。
所有不同组合的种数C（n，m）= A（n，m）/m！=n！/［m！·（n－m）！］（m是上标，n 是下标，都是不小于0的整数，且m≤n）◆组合数的性质：C(n,k) = C(n,k-1) + C(n-1,k-1);对组合数C(n,k)，将n,k分别化为二进制，若某二进制位对应的n为0，而k为1 ，则C(n,k)为偶数；否则为奇数◆整次数二项式定理（binomial theorem）(a+b)^n=C(n,0)×a^n×b^0+C(n,1)×a^(n-1)×b+C(n,2)×a^(n-2)×b^2+ ...+C(n,n)×a^0×b^n所以，有 C(n,0)+C(n,1)+C(n,2)+...+C(n,n)=C(n,0)×1^n+C(n,1)×1^(n-1)×1+C(n,2)×1^(n-2)×1^2+...+C(n,n)×1^n =（1+1）^n= 2^n编辑本段微积分学极限的定义:设函数f(x)在点x。
数学归纳法(各种全)
解：设椭圆221mx ny +=，则4191m n m n +=⎧⎨+=⎩，解得335835m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以椭圆方程为223813535x y +=.六、数学归纳法（一）数学归纳法应用关于正整数的命题的证明可以用数学归纳法.本部分的数学归纳法指的是第一数学归纳法.第一数学归纳法的思维方法是：命题在1n =成立的条件下，如果n k =时命题成立能够推出1n k =+时命题也成立，我们就可以下结论，对于任意正整数命题都成立.1.证明等式典型例题：证明222112(1)(21)6n n n n ++⋅⋅⋅+=++，其中n N *∈.证明：（1）当1n =时，左边211==，右边11(11)(21)16=⨯⨯++=，等式成立.(2)假设n k =时等式成立，即222112(1)(21)6k k k k ++⋅⋅⋅+=++.则当1n k =+时，左边22222112(1)(1)(21)(1)6k k k k k k =++⋅⋅⋅+++=++++1(1)(2)(23)6k k k =+++1(1)[(1)1][2(1)1]6k k k =+++++=右边，即1n k =+时等式成立.根据（1）（2）可知，等式对于任意n N *∈都成立.2.证明不等式典型例题 1.证明1111223n n+++⋅⋅⋅+<，其中n N *∈.证明：（1）当1n =时，左边1=，右边2=，不等式成立.（2）假设n k =时不等式成立，即1111223k k+++⋅⋅⋅+<，则当1n k =+时，左边11111122311k k k k =+++⋅⋅⋅++<+++，右边21k =+.要证左边<右边，536只需证12211k k k +<++，而此式2112(1)k k k ⇔++<+2121k k k ⇔+<+24(1)(21)01k k k ⇔+<+⇔<，显然01<成立，故1n k =+时不等式也成立.综上所述，不等式对任意n N *∈都成立.典型例题2.已知,0a b >，a b ≠，n N ∈，2n ≥，证明()22n nn a b a b ++<.证明：（1）当2n =时，2222222222()2442a b a ab b a b a b +++++=<=，不等式成立.（2）假设n k =时不等式成立，即()22k kk a b a b ++<，则当1n k =+时，左边1()2k a b ++11224k k k k k k a b a b a b a b ab +++++++<⋅=，因为11()()k k k ka b a b ab +++-+()()k k a b a b =--0>，所以11k k k k a b ab a b +++<+，则111142k k k k k k a b a b ab a b ++++++++<，即111()22k k k a b a b +++++<，故1n k =+时不等式也成立.由（1）（2）可知，不等式对任意n N ∈，2n ≥都成立.3.证明整除性问题典型例题：证明22nn ab -能被a b +整除，其中n N *∈.证明：（1）当1n =时，显然22a b -能被a b +整除.（2）假设n k =时命题成立，即22k k a b -能被a b +整除，则当1n k =+时，2(1)2(1)2(1)2(1)2222k k k k k k a b a b a b a b ++++-=-+-222222()()k k k a a b b a b =-+-，因为22a b -与22k k a b -都能被a b +整除，所以222222()()k kk a a b b a b -+-能被a b +整除，即1n k =+时命题也成立.综上所述，原命题成立.4.证明几何问题典型例题：求证平面内n 条直线的交点最多有1(1)2n n -个.证明：平面内n 条直线的交点最多，只需任意三条直线不过同一点，任意两条直线不平行，下面在此条件下证明.（1）当2n =时，显然两条直线只有1个交点，而1(1)12n n -=，命题成立.537（2）假设n k =时命题成立，即平面内k 条直线的交点有1(1)2k k -个，则当1n k =+即平面上有1k +条直线时，因为任意三条直线不过同一点，任意两条直线不平行，所以第1k +条直线与原来的k 条直线共有k 个交点.这时交点的总个数为1(1)2k k k-+1(1)[(1)1)]2k k =++-，即1n k =+时命题也成立.综上所述，原命题成立.（二）其他数学归纳法除了第一数学归纳法以外，还有一些特别的数学归纳法.1.第二数学归纳法典型例题:设n N *∈，且12cos x x α+=，证明：12cos n n x n x α+=.证明：（1）当1n =时，12cos x xα+=，命题成立.当2n =时，21()x x +2212x x =++24cos α=，得2212cos 2x xα+=，命题成立.(2)假设n k ≤(2)k ≥时命题成立，则当1n k =+时，有111k k x x +++11111()()()k k k k x x x x x x--=++-+2cos 2cos 2cos(1)k k ααα=⋅--2[cos(1)cos(1)]2cos(1)k k k ααα=++---2cos(1)k α=+，故1n k =+时不等式也成立.由（1）（2）可知，命题成立.2.反向数学归纳法典型例题:函数:f N N **→满足（1）(2)2f =，（2）对任意正整数m 、n ，()()()f mn f m f n =，（3）当m n >时，()()f m f n >；证明：()f n n =.证明：令2m =、1n =，则(2)(2)(1)f f f =，故(1)1f =.令2m =、2n =，则22(2)(2)(2)2f f f ==；令22m =、2n =，则323(2)(2)(2)2f f f ==；由第一数学归纳法易证(2)2mmf =.下面用反向数学归纳法证()f n n =.（1）由上面推证知，存在无数个形如2m的数使()f n n =成立.（2）假设1n k =+时成立，即(1)1f k k +=+.因为存在t N *∈满足1212t t k +<+≤，则122t t k +≤<.设2t k s =+，s N *∈，则1112(2)(21)(22)(2)(21)(2)2t t t t t t t t f f f f s f f +++=<+<+<⋅⋅⋅<+<⋅⋅⋅<-<=.所以1(21),(22),,(2),,(21)t t t t f f f s f +++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅-是区间1(2,2)t t +内的21t -个不同的自然数，538而区间1(2,2)t t +内恰好有21t -个不同的自然数121,22,,2,,21t t t t s +++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅-，于是11(21)21,(22)22,,(21)21t t t t t t f f f +++=++=+⋅⋅⋅-=-，即()f k k =.由反向数学归纳法知，对任意n N *∈都有()f n n =.3.跷跷板数学归纳法典型例题:n S 是数列{}n a 的前n 项和，设223n a n =，213(1)1n a n n -=-+，n N *∈，求证：2211(431)2n S n n n -=-+及221(431)2n S n n n =++.证明：设()P n ：2211(431)2n S n n n -=-+；()Q n ：221(431)2n S n n n =++.（1）当1n =时，111S a ==，则(1)P 成立.（2）假设n k =时，则()P k 成立，即2211(431)2k S k k k -=-+，则2212k k k S S a -=+=221(431)32k k k k -++21(431)2k k k =++，即()Q k 成立.当()Q k 成立时，21k S +=221k k S a ++21(431)3(1)12k k k k k =+++++21(1)[4(1)3(1)1]2k k k =++-++，即(1)P k +成立.由跷跷板数学归纳法可知，原命题成立.4.二重数学归纳法典型例题:设(,)f m n 满足(,)(,1)(1,)f m n f m n f m n ≤-+-，其中,m n N *∈，1mn >，且(,1)(1,)1f m f n ==，证明：12(,)m m n f m n C -+-≤.证明：设命题(,)P m n 表示(,)f m n .（1）112(,1)1m m f m C -+-==，012(1,)1n f n C +-==，即(,1)P m 、(1,)P n 成立.（2）假设(1,)P m n +、(,1)P m n +成立，即1(1,)m m n f m n C +-+≤，11(,1)m m n f m n C -+-+≤.则(1,1)(1,)(,1)f m n f m n f m n ++≤+++11111(1)(1)2m m m m m n m n m n m n C C C C -+++-+-++++-≤+==，即(1,1)P m n ++也成立.由二重数学归纳法知，原不等式成立.539。
数学归纳法
关键能力·合作学习
类型一 数学归纳法中的增项问题(数学运算、逻辑推理)
1．用数学归纳法证明 1＋12 ＋13 ＋…＋2n－1 1 <nn∈N*，n>1 的第二步从 n＝
k(k∈N*)到 n＝k＋1 成立时，左边增加的项数是( )
A．2k－1
B．2k
C.2k－1
数学归纳法中增项的判断方法 从 n＝k(k∈N*)到 n＝k＋1 时，等式或不等式左边需添加的项可能是一项，但也可能 是多项，必须写出 n＝k 时的式子，和 n＝k＋1 时的式子，让两个式子作差，才能得 出正确结果，把握式子中项的变化规律是关键点，要看清 n 加了 1，项随之发生的变 化，搞清最后一项是什么．
【解析】(1)当 n＝1 时，S1－1 2＝S21 ，所以 S1＝12 ， 当 n≥2 时，Sn－1 2＝Sn－Sn－1 Sn， 所以 Sn＝2－1Sn－1 ，所以 S2＝23 ，S3＝43 ， 猜想 Sn＝n＋n 1 ，n∈N*.
(2)下面用数学归纳法证明：
①当 n＝1 时，S1＝21
，n n＋1
2．(2021·吉林高二检测)用数学归纳法证明 1 n＋1
＋1 n＋2
＋…＋31n
5 ≥6
时，从 n＝
k(k∈N*)到 n＝k＋1，不等式左边需添加的项是( )
1 A.3k＋1
＋1 3k＋2
＋1 3k＋3
1 B.
＋1
＋1
－1
3k＋1 3k＋2 3k＋3 k＋1
1 C.
3k＋1
1 D.3k＋3
【解析】选 B.当 n＝k(k∈N*)时，所假设的不等式为 1 k＋1
”时，第一步应验证
n＝3 是否成立．
数学归纳法相关知识点总结
数学归纳法相关知识点总结一、数学归纳法的基本概念数学归纳法的基本思想是：如果我们能够证明一个结论对于第一个自然数成立（通常是对于n=1），并且能够证明结论对于某一个自然数成立时，它也对于下一个自然数成立，那么我们就可以得出结论对于所有自然数都成立的结论。
因此，数学归纳法通常包括两个步骤：基础步骤（base case）和归纳步骤（inductive step）。
基础步骤是证明一个结论对于第一个自然数成立，通常是证明结论对于n=1时成立。
这个步骤通常是比较直接的，可以通过代入数值或者简单的推理来进行证明。
归纳步骤是假定结论对于某一个自然数n成立，然后证明结论对于下一个自然数n+1也成立。
这个步骤通常是通过数学推理和逻辑推导来进行证明，因此需要一定的数学技巧和思维能力。
通过基础步骤和归纳步骤，我们就可以得出结论对于所有自然数都成立的结论。
这就是数学归纳法的基本思想和步骤。
二、数学归纳法的原理数学归纳法的原理是非常简单的，可以用如下的语言来描述：如果一个结论对于第一个自然数成立，并且对于某一个自然数n成立时，它也对于下一个自然数n+1成立，那么这个结论对于所有自然数都成立。
这个原理也可以用数学符号来表达。
假设P(n)是关于自然数n的一个命题，那么数学归纳法的原理可以用如下的数学表达来描述：(1) 基础步骤：证明P(1)成立；(2) 归纳步骤：假设对于某一个自然数n，命题P(n)成立，证明P(n+1)也成立。
通过基础步骤和归纳步骤，我们就可以得出结论对于所有自然数都成立的结论。
这就是数学归纳法的原理。
三、数学归纳法的应用数学归纳法是数学中非常重要的一种证明方法，它被广泛应用于代数、数论、组合数学、离散数学等多个数学领域中。
下面我们将介绍数学归纳法在不同数学领域中的具体应用。
1. 代数在代数中，数学归纳法常常被用来证明各种恒等式和不等式的成立。
例如，我们可以用数学归纳法来证明各种整式的恒等式、不等式和递推关系式。
数学归纳法公式
数学归纳法公式数学归纳法是一种重要的数学证明方法，用于证明关于正整数的命题。
它基于两个关键步骤：基础步骤和归纳步骤。
在这篇文章中，我将介绍数学归纳法的基本原理和应用，以及一些常见的数学归纳法公式。
一、基本原理数学归纳法的基本原理是建立在自然数的递增序列上的。
首先，我们需要证明一个关于正整数的命题在第一个自然数上成立，这就是基础步骤。
然后，我们假设该命题在某个正整数k上成立，即假设命题在k上成立为前提条件，通过推理证明命题在k+1上也成立，这就是归纳步骤。
根据这两个步骤，我们可以推导出该命题在所有正整数上都成立。
二、应用示例数学归纳法可以应用于各种数学问题，其中包括等差数列、等比数列、数学恒等式等。
这里，我将展示三个具体的数学归纳法应用示例。
1. 等差数列求和公式首先，我们考虑等差数列的求和问题。
定义等差数列的第一个项为a，公差为d。
我们希望找到求和公式来计算等差数列的和。
首先，在基础步骤中，当n=1时，等差数列的和为a。
然后，在归纳步骤中，假设当n=k时等差数列的和为k(a + a+(k-1)d)/2，我们要证明当n=k+1时等差数列的和为(k+1)(a+a+kd)/2。
根据等差数列的性质，我们可以将等差数列的和公式推导出来。
2. 等比数列求和公式接下来，我们考虑等比数列的求和问题。
定义等比数列的第一个项为a，公比为r。
我们希望找到求和公式来计算等比数列的和。
首先，在基础步骤中，当n=1时，等比数列的和为a。
然后，在归纳步骤中，假设当n=k时等比数列的和为a(1-r^k)/(1-r)，我们要证明当n=k+1时等比数列的和为a(1-r^(k+1))/(1-r)。
通过代数运算和等比数列的特性，我们可以得到等比数列的求和公式。
3. 数学恒等式证明数学归纳法还可以用于证明一些数学恒等式。
例如，我们考虑证明斐波那契数列的一个性质：F(n)^2 + F(n+1)^2 = F(2n+1)，其中F(n)表示第n个斐波那契数。
数学归纳法【公开课教学PPT课件】
反思感悟 用数学归纳法证明整除问题时,首先从要证的式子中 拼凑出假设成立的式子,然后证明剩余的式子也能被某式(数)整除. 其中的关键是“凑项”,可采用增项、减项、拆项和因式分解等方法 分析出因子,从而利用归纳假设使问题得到解决.
点拨 数学归纳法一般被用来证明某些涉及正整数n的命题,n可 取无限多个值,但不能简单地说所有涉及正整数n的命题都可以用 数学归纳法证明。一般来说,从n=k到n=k+1时,如果问题中存在可 利用的递推关系,则可以用数学归纳法,否则使用数学归纳法就有 困难.
在运用数学归纳法时,要注意起点n0并非一定取1,也可能取0,2等
(2)数学归纳法:
数学归纳法可以用于证明与正整数 n 有关的命题.证明需要经
过三个步骤:
①验证当n取第一个值n0(如n0=1或2等)时命题成立. ②假设当n=k时(k∈N+,k≥n0)命题成立,
证明当n=k+1 时命题也成立.在完成了上述两个步骤之后,
就可以断定命题对于从n0开始的所有正整数都成立.
正解当 n=1 时,a1=3,当 n≥2
时,an=Sn-Sn-1=6-2an+1-(6-2an)=2an-2an+1,即 an+1=12an.
∵a1=3,
∴a2=12a1=32,a3=34,a4=38.
3,������ = 1,
猜想
an=
3 2������-1
4-4数学归纳法 课件【共44张PPT】
检测篇·达标小练
1．一个关于自然数 n 的命题，如果证得当 n＝1 时命题成立，并在假设当 n＝ k(k≥1 且 k∈N*)时命题成立的基础上，证明了当 n＝k＋2 时命题成立，那么综合上 述，对于( B )
A．一切正整数命题成立 B．一切正奇数命题成立 C．一切正偶数命题成立 D．以上都不对
解析：本题证明了当 n＝1,3,5,7，…时，命题成立，即命题对一切正奇数成立．A， C，D 不正确．故选 B.
检测篇·达标小练
课时作业
展视野•思维升华
课前篇·自主预习
知识点 数学归纳法
一般地，证明一个与正整数 n 有关的命题，可按下列步骤进行： (1)(归纳奠基)证明当 n＝n0 (n0∈N*)时命题成立； (2)(归纳递推)以“当 n＝k(k∈N*，k≥n0) 时命题成立”为条件，推出当 “ n＝k＋1 时命题也成立”． 只要完成了这两个步骤，就可以断定命题对从 n0 开始的所有正整数 n 都成立， 这种证明方法称为数学归纳法．
＝1 时，等式左边是 1＋a＋a2
.
解析：根据数学归纳法的步骤可知，当 n＝1 时，等式的左边应为 1＋a＋a2.
3．用数学归纳法证明：12－22＋32－42＋…＋(2n－1)2－(2n)2＝－n(2n＋1)．
证明：(1)当 n＝1 时，左边＝12－22＝－3， 右边＝－1×(2×1＋1)＝－3，等式成立． (2)假设当 n＝k(k≥1，k∈N＋)时，等式成立，即 12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＝－k(2k＋1)． 当 n＝k＋1 时，12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＋(2k＋1)2－(2k＋2)2＝－k(2k ＋1)＋(2k＋1)2－[2(k＋1)]2＝－k(2k＋1)－(4k＋3)＝－(2k2＋5k＋3)＝－(k＋1)[2(k＋1) ＋1]，所以 n＝k＋1 时等式也成立， 根据(1)和(2)可知，等式对任何 n∈N＋都成立．
数学归纳法
数学归纳法归纳法的发展历程数学归纳法是数学中一种重要的证明方法，也是中学数学一个非常重要的内容，用于证明与无穷的自数集相关的命题．但凡涉及无穷，总会花费数学家大量时间与精力，去理解并弄清它的真正意义．普通归纳法与自然数这一最古老的数学概念及“无穷”这个无法直观感觉的概念相结合的“数学归纳法”，自然也需要一个漫长的认识过程．有限个数字、元素、对象的认识很容易，因为它们很直观，一个个“数”或一个个“考察”即可，当数字、元素、对象多到无数个，即“无限”或“无穷”个时，就不是这么简单数数、看看的事了，因这无穷多的对象是无法完全“摆”出来直观感受的，如果再带上一些复杂的关系，那就更加无法直观反映了．在“无穷”多个对象时，较简单的情形就是与自然数相关的“无穷”，比如用{P (n)}表示与自然数n有关的无穷多的数字、元素、对象或性质、命题等．为了“数”清这无穷多的对象，或“看”清摆不出来的对象是否也带有看得到的对象所具有的复杂关系，那只能用“归纳”的办法去合理地“猜”，这就是普通“归纳法”的作用，是人类认识未知的一个普遍有效的方法，它是通过少数几个对象所显现的特征，根据后面对象与这少数对象在看得到、感觉得了的“相似”关系中，合理推测这些对象特征的办法．这时，也许你运气好恰好“猜”对了，也许没那么好的运气，一而再再而三地猜错，即使你猜对了，对数学家而言也不敢轻易恭维，因为他们需要的是“准确”的计数或“清晰”地看到性质，也就是说，必须对你的猜测给予严格的证明才能认可．如此一来，如何“准确”数、“清晰”看对象或其性质，就成了数学家伤脑筋的一个问题，这一“数”就数了两千多年．从普通不严密的“归纳法”发展到精确的“数学归纳法”，再到更一般的“超穷归纳法”、“连续归纳法”2.1.1 数学归纳法的起源追根溯源，数学归纳法可以在印度和古希腊时代的著作中找到丝缕痕迹，例如，印度婆什迦罗（Bhāskara，1114~约1185）的“循环方法”和欧几里得素数无限的证明中都可以找到这种踪迹．欧几里得《几何原本》第九卷命题20为：质数比任何指定数目都要多（注：质数也称为素数），即：素数无穷．欧几里得对这个命题的证法是经典的．他假定素数是有限的，不妨设这有限的n个素数为1p 、2p 、… 、n p ．然后作自然数1p ﹒2p …n p +1，并证明还存在新的素数，从而得到矛盾．因为若所作的数是素数，则它比全部给出的n 个素数都要大，因此是一个新的素数，这与假设有n 个素数矛盾；又若它不是素数，它必能被一素数整除，但它被已知全部的n 个素数1p 、2p 、… 、n p 除都有余数1，故整除1p ﹒2p …n p +1的素数必定是这n 个素数以外的新的素数，从而又与假设有n 个素数的条件矛盾．欧几里得素数无穷命题即是说，素数的个数与自然数的个数一样多．上述证明可以这样 翻译，首先，至少有一个素数存在，因为2就是素数，这一点在欧几里得的证明中没有指明；此外，上面欧几里得的证明表明，假如有n 个素数，那么就必定有1+n 个素数存在．也就是按现代数学归纳法的要求，证明了从n 到1+n 的递推关系，即完成了数学归纳法证明的关键性一步．但欧几里得没有使用任何明显的术语与现在的推理格式，因此，我们只能认为它蕴涵了现代数学归纳法的痕迹．2.1.2数学归纳法的发展直到十七世纪后，在数学归纳法有了明晰的框架后，各种形式的数学归纳法逐步得到发展，具体使用中的各种变异形式，如奠基步骤中的起始命题证明、归纳步骤中的跳跃台阶设置等都作了相应推广，发展出了最小数原理、第一和第二数学归纳法、反向归纳法、递减归纳法、螺旋归纳法、双重甚至多重归纳法等各种形式的数学归纳法．由于分析算术化的需要，数的理论也得到了充分发展，并最终将整个分析建基于自然数之上，至1889年意大利数学家C ·皮亚诺（C ·Peano ，1858~1932，意大利）发表 算术原理新方法，给出自然数的公里体系，不仅使全部微积分理论根基于此，也使数学归纳法有了一个准确、合理的理论基础．Peano 自然数公理系统：Ⅰ．1是一个自然数；Ⅱ．1不是任何其他自然数的后继；Ⅲ．每个自然数的后继是自然数；Ⅳ．若两个自然数的后继相等, 则这两个自然数也相等；Ⅴ． 若M 是由一些自然数所组成的集合，而且1属于 M ，且当任一自然数a属于M 时，a 的后继也属于M ，则 M 就包含了全部自然数．其中公理V 被称为归纳公理，是数学归纳法的逻辑基础．几乎同时，在分析算术化的过程中，对“无穷”概念作出了深刻的分析，扫除了微积分发展中的主要障碍，并对分析中的“不健康”点（不连续点、不收敛点等）逐渐有了深刻认识，为最终建立实分析奠定了基础．在对“例外”的考虑中，康托尔是独具慧眼的数学家，以此为起点，康托尔在 1897年建立了集合论基础，并对自然数作了深入、细致的研究，发明了超穷数，建立了超穷序数与超穷基数理论，并论述了良序集的特别理论，在此基础上将数学归纳法扩展为超穷归纳法．我们熟悉的归纳公理用集合论的语言可表述为：设S 是自然数集合N 的一个子集，如果：（1）1是 S 的元素；（2）从k 是S 的元素可推出k + 1是S 的元素. 那么，（3）S= N ．对于良序化的集合也有类似的性质：设 A 是良序化的集合，S 是 A 的一个子集，如果（1）A 的最小元素是 S 的元素；（2）x 是A 的元素，而从所有在A 中比x 小的元素是S 的元素可推出x 也是S 的元素. 那么，（3）S= A ．由彼此相似的良序集确定的数称为序数, 对于这样的良序集和序数相应的有下列超穷归纳法（有些教材或专业书直接将上述命题称为超穷归纳法）：超穷归纳法 设)(αΦ是序数α的一个命题，并且满足：如果任给β<α，)(βΦ都成立，则)(αΦ成立．那么，任给序数α，)(αΦ都成立．因为没有序数比0小，所以“任给β<α，)(βΦ都成立”总是真的，因此上述归纳法定理的条件中蕴涵着)0(Φ成立．应用时，有时需要特别证明)0(Φ成立．如若讨论的是大于等于某个序数0α的所有序数的性质，这时，与应用普通数学归纳法一样，需要对超穷归纳法条件需要稍加改动．上述条件改为：如果任给0αβ≤<α，)(βΦ都成立，则)(αΦ成立．易知，数学归纳法是超穷归纳法的特殊形式，但从数学归纳法不能推出超穷归纳法，因为自然数集只是特殊的良序集，而普通的数学归纳法无法跨越无穷达到“超穷”．数学归纳法和超限归纳法是对“离散”的无穷数集作出判断的严格的数学方法．对于连续情形，直到上世纪80年代才发现有一个十分简单而又便于掌握与应用的关于实数的归纳法，称为连续归纳原理或连续归纳法：设 P (x )为关于实数x 的一个命题，如果（i ）有某个实数0x ，使得对一切实数x <0x ，有 P (x )成立；（ii ）若对一切实数x <y 有 P (x )成立，则有y δ> 0，使 P (x )对一切实数x <y +y δ成立．那么，（iii ）对一切实数x 有P(x )成立．连续归纳法与数学归纳法或超穷归纳法形式极为相似，某种程度上表明离散的自然数集或良序集与连续的实数集在一定条件下的统一性．连续归纳法可以用来刻画实数系统的连续性公理，并推出一系列关于实数的命题，以及微积分中涉及连续的所有命题，连续归纳法的发现使有关实数的命题变得简单而易于掌握．至此，“归纳法”完成了较全面的、数学化的发展，“数学归纳法”在有限与无限之间架起了一座安全的桥梁．随着数学对象的进一步扩展，严格、准确的“归纳法”表达形式或许还会有更进一步的发展，因为数学概念的本身就是随着数学的整体发展以及人类认识的不断深化而逐步深入地修改、完善的，文献[8]用集合论的基本概念、现代数学的术语包括代数结构的语言与逻辑手段阐述数学归纳法，以表明数学归纳法的现代建构及其应用．综上所述，“归纳法”的精确化、成熟化几乎伴随了整个数学发展、成熟的历史, 从古代印度数学和古希腊欧几里得《几何原本》至二十世纪下半叶连续归纳法的发现．2.2 数学归纳法的原理分析2.2.1 数学归纳法的逻辑原理数学归纳法是一种证明与自然数n 有关的数学命题的重要方法．我们首先看一个简单的、人们熟悉的归纳集合，即自然数集N={0，1，…}．要确定N ，可先给出一个特殊的元素0，称为初始元，它是产生N 的基础．然后再给出一个由自然数产生自然的运算，即一元后继运算n ′（=n+1）．这个运算作用在初始元0上得到1，再作用在1上得到2，把这个过程一直继续下去，就可以依次把所有自然数产生出来．这个后继运算n ′有一个性质，即当n ∈N 时，则n ′∈N 。
数学归纳法证明不等式
01
02
03
例子一：n=5时的情况
假设n=10时，不等式成立，即$a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6 + a_7 + a_8 + a_9 + a_{10} geq b_1 + b_2 + b_3 + b_4 + b_5 + b_6 + b_7 + b_8 + b_9 + b_{10}$。
02
CHAPTER
数学归纳法证明不等式的步骤
验证基础情况
首先验证n=1时，不等式是否成立。
基础情况成立
如果基础情况成立，则可以继续进行归纳步骤。
初始步骤
归纳步骤
归纳假设
假设当n=k时，不等式成立，即$P(k)$成立。
归纳推理
基于归纳假设，推导当n=k+1时，不等式也成立，即$P(k+1)$成立。
应用归纳假设
在归纳推理过程中，需要利用归纳假设$P(k)$来推导$P(k+1)$。
要点一
要点二
完成归纳
当归纳步骤完成后，可以得出结论，对于任意正整数n，不等式都成立。
归纳假设的应用
03
CHAPTER
应用数学归纳法证明不等式的例子
假设n=5时，不等式成立，即$a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 geq b_1 + b_2 + b_3 + b_4 + b_5$。
确定数列的通项公式
通过数学归纳法，可以证明数列的通项公式，进而研究数列的性质和规律。
数学归纳法总结
数学归纳法总结数学归纳法总结【数学归纳法】【数学归纳法的基本形式】1.第一数学归纳法设P(n)是一个与正整数有关的命题，如果①当nn0(n0N)时，P(n)成立；②假设nk(kn0,kN)成立，由此推得nk1时，P(n)也成立；那么根据①②可得到结论：对一切正整数nn0，命题P(n)成立。
2.第二数学归纳法（串值归纳法）设P(n)是一个与正整数有关的命题，如果①当nn0(n0N)时，P(n)成立；②假设nk(kn0,kN)成立，由此推得nk1时，P(n)也成立；那么根据①②可得到结论：对一切正整数nn0，命题P(n)成立。
3.跳跃数学归纳法设P(n)是一个与正整数有关的命题，如果①当n1,2,...,l时，P(1),P(2),...,P(l)成立；②假设nk(kn0,kN)成立，由此推得nkl时，P(n)也成立；那么根据①②可得到结论：对一切正整数n1，命题P(n)成立。
4.反向数学归纳法设P(n)是一个与正整数有关的命题，如果①P(n)对无限多个正整数n成立；②从命题P(n)成立可以推出命题P(n1)也成立；那么根据①②可得到结论：对一切正整数n，命题P(n)成立。
如果命题P(n)对无穷多个自然数成立的证明很困难，我们还可以考虑反向数学归纳法的另外两种形式：Ⅰ设P(n)是一个与正整数有关的命题，如果①n1时命题P(n)正确；②假如由P(n)不成立推出P(n1)不成立；那么根据①②可得到结论：对一切正整数n，命题P(n)成立。
Ⅱ设P(n)是一个与正整数有关的命题，如果①n1,2,...,r时，命题P(1),P(2),...,P(r)都成立；②假若由由P(n)不成立推出P(nr)不成立；那么根据①②可得到结论：对一切正整数n，命题P(n)成立。
以上讨论的均是完全归纳法，不完全归纳法是从特殊出发，通过实验、观察、分析、综合、抽象概括出一般性结论的一种重要方法，运用不完全归纳法可通过对数列前n项的计算、观察、分析推测出它的通项公式，或推测出这个数列的有关性质。
高中数学讲义：数学归纳法
数学归纳法一、基础知识：1、数学归纳法适用的范围：关于正整数n 的命题（例如数列，不等式，整除问题等），则可以考虑使用数学归纳法进行证明2、第一数学归纳法：通过假设n k =成立，再结合其它条件去证1n k =+成立即可。
证明的步骤如下：（1）归纳验证：验证0n n =（0n 是满足条件的最小整数）时，命题成立（2）归纳假设：假设()0,n k k n n N =³Î成立，证明当1n k =+时，命题也成立（3）归纳结论：得到结论：0,n n n N ³Î时，命题均成立3、第一归纳法要注意的地方：（1）数学归纳法所证命题不一定从1n =开始成立，可从任意一个正整数0n 开始，此时归纳验证从0n n =开始（2）归纳假设中，要注意0k n ³，保证递推的连续性（3）归纳假设中的n k =，命题成立，是证明1n k =+命题成立的重要条件。
在证明的过程中要注意寻找1n k =+与n k =的联系4、第二数学归纳法：在第一数学归纳法中有一个细节，就是在假设n k =命题成立时，可用的条件只有n k =，而不能默认其它n k £的时依然成立。
第二数学归纳法是对第一归纳法的补充，将归纳假设扩充为假设n k £，命题均成立，然后证明1n k =+命题成立。
可使用的条件要比第一归纳法多，证明的步骤如下：（1）归纳验证：验证0n n =（0n 是满足条件的最小整数）时，命题成立（2）归纳假设：假设()0,n k k n n N £³Î成立，证明当1n k =+时，命题也成立（3）归纳结论：得到结论：0,n n n N ³Î时，命题均成立二、典型例题例1：已知等比数列{}n a 的首项12a =，公比3q =，设n S 是它的前n 项和，求证：131n n S n S n++£思路：根据等比数列求和公式可化简所证不等式：321n n ³+，n k =时，不等式为321k k ³+；当1n k =+时，所证不等式为1323k k +³+，可明显看到n k =与1n k =+中，两个不等式的联系，从而想到利用数学归纳法进行证明证明：()11311n nn a q S q -==--，所证不等式为：1313131n n n n+-+£-()()()1313131n n n n +\-£+-1133331n n n n n n n ++Û×-£×+--321n n Û³+，下面用数学归纳法证明：（1）验证：1n =时，左边=右边，不等式成立（2）假设()1,n k k k N =³Î时，不等式成立，则1n k =+时，()()133332163211k k k k k +=׳+=+>++所以1n k =+时，不等式成立n N *\"Î，均有131n n S n S n++£小炼有话说：数学归纳法的证明过程，关键的地方在于寻找所证1n k =+与条件n k =之间的联系，一旦找到联系，则数学归纳法即可使用例2（2015，和平模拟）：已知数列{}n a 满足0n a >，其前n 项和1n S >，且()()112,6n n n S a a n N *=++Î（1）求数列{}n a 的通项公式（2）设21log 1n n b a æö=+ç÷èø，并记n T 为数列{}n b 的前n 项和，求证：233log ,2n n a T n N *+æö>Îç÷èø解：（1）2632n n n S a a =++①()21116322,n n n S a a n n N *---=++³Î②①-②可得：()222211116333n n n n n n n n n a a a a a a a a a ----=-+-Þ+=-0n a >Q 所以两边同除以1n n a a -+可得：13n n a a --={}n a \是公差为3的等差数列()131n a a n \=+-，在2632n n n S a a =++中令1n =可得：211116321S a a a =++Þ=（舍）或12a =31n a n \=-（2）思路：利用（1）可求出n b 和n T ，从而简化不等式可得：33633225312n n n +æö×××>ç÷-èøL ，若直接证明则需要进行放缩，难度较大。
数学归纳法高中知识点总结
数学归纳法高中知识点总结数学归纳法是数学中一种重要的证明方法，它在高中数学中也是一个重点知识点。
在本文中，将对数学归纳法的概念、原理以及具体应用进行总结。
希望通过本文的阐述，能够帮助大家更好地理解和掌握数学归纳法的相关知识。
一、概念和原理数学归纳法是一种用于证明某个命题对于所有自然数都成立的方法。
它的基本思想是：首先证明当n=m时命题成立，然后假设当n=k时命题成立，再证明当n=k+1时命题也成立，从而可以得出结论：对于任意自然数n，命题都成立。
数学归纳法的推理过程分为两步：归纳基础和归纳步骤。
归纳基础是证明当n=m时命题成立，通常情况下令m=1或m=0。
归纳步骤是证明当n=k+1时，命题也成立。
二、具体应用1. 证明数学等式或不等式的成立数学归纳法可以用来证明一些与自然数有关的等式或不等式的成立。
具体的做法是，首先证明当n=m时命题成立，再假设当n=k时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立，从而得出结论：对于任意自然数n，命题都成立。
例如，我们要证明1+2+3+...+n = n(n+1)/2对于任意正整数n成立。
首先当n=1时，显然等式两边相等。
然后假设当n=k时等式成立，即1+2+3+...+k=k(k+1)/2。
我们需要证明当n=k+1时等式也成立。
根据归纳步骤，易知1+2+3+...+(k+1) = (k+1)(k+2)/2。
因此，通过数学归纳法，我们可以证明该等式对于任意正整数n成立。
2. 证明命题关于自然数集的成立数学归纳法还可以用于证明一些命题关于自然数集的成立。
通常情况下，我们需要在归纳步骤中利用归纳假设来进行推理。
例如，我们要证明命题P(n)：1+3+5+...+(2n-1) = n^2对于任意正整数n成立。
首先当n=1时，命题显然成立。
然后假设当n=k时命题成立，即1+3+5+...+(2k-1) = k^2。
我们需要证明当n=k+1时命题也成立。
根据归纳步骤，易知1+3+5+...+(2(k+1)-1) = (k+1)^2。
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一、关于数学归纳法
1．数学归纳法到底是归纳法，还是演绎法？
如果是演绎法，为什么取个名字叫某某归纳法？数学当中很多名称都可以顾名思义看到本质，比如“反函数”——反过来也是函数；“零点”——方程的根，就是数轴上的点。
我想“数学归纳法”也不会例外。
首先，从数学归纳法的本质讲，数学归纳法是自然数理论中的皮亚诺公理即归纳公理的直接应用，既然是公理，数学归纳法的正确性就无需证明，只需要理解与接受。
众所周知， p(n)表示与正整数n有关的待证命题，证明主要有两个步骤：
（1）证明p(1)为真；
（2）证明若p(k)为真，则p(k+1)为真；
有了这两步的保证，就可实现以下的无穷动态的递推过程：
P(1)真P(2)真 P(3)真… P(k)真 P(k+1)真…
因此得到对于任何正整数n，命题p(n)都为真。
纵观全过程，这是一个“个别——特殊——一般”的推理形式，完全合乎归纳推理程序，从这个意义上讲，它是归纳的。
当然，在这个归纳的过程中，是由无数个“三段论”——“演绎论证”构成的，大前提是“若命题P(k)真，则命题P(k+ 1)真”；小前提是P(1)真，结论是P(2)真；大前提是“若命题P(k)真，则命题P(k+ 1)真”；小前提是P(2)真，结论是P（3)真；……
命题“若命题P(k)真，则命题P(k+ 1)真”的证明更是需要用演绎法来证明。
在证明过程的某个局部有演绎，并不妨碍我们说这个证明过程从整体上讲是归纳。
新教材特别重视思想方法的渗透，在学习数学归纳法方法的同时渗透和体验“归纳-猜想-证明”的思想方法。
2．学习数学归纳法的必要性在哪里？
学生知道了不完全归纳法属于合情推理，它能帮助我们研究数学问题，进行数学猜想、发现数学规律、找到数学结论，并为证（解）题提供思路和方向．但由于由有限多个特殊事例得出的结论不一定正确，这种推理方法不能作为一种论证方法．上课的时候一般我们都会举个例子来说明不完全归纳法是不一定准确的，所以有必要学习数学归纳法。
数学归纳法作为一种用于证明与自然数n有关的命题的正确性的证明方法．它能促进学生从有限思维发展到无限思维。
如果我们可以通过一一验证的方法来证明，数学归纳法是不是就变成可有可无了？关键是让学生体验无法一一验证的痛苦。
有了体验之后，学生必然会思索有没有一种对付这类涉及无穷性的命题，既不需做完全的考察而又是十分可靠的办
法，来克服不完全归纳的局限呢?至此引出即将讲述的科学方法—数学归纳法。
它是用有限的步骤，证明命题对无限的自然数都成立的方法，体现了有限与无限的对立统一。
3．数学归纳法的教学重心是什么？
数学归纳法是数学中的“大法”。
由于数学归纳法处理的对象涉及自然数的无限性、其本身的思维方式之别致、概念之难、形式变之多端、应用之广、题目型态之多样使得很多同学只能达到“依样画葫芦”式的工具性理解，而达不到对该方法的“关系性理解”。
数学归纳法教学的重心应是让学生体味到方法的“精髓”，而不是记住解题的程式。
用“多米诺骨牌效应”写意式地诠释数学归纳法是很合适的。
第一块骨牌不倒，后面的骨牌就不倒，这隐喻了归纳奠基的必要性、重要性。
每两块骨牌间的距离要恰当，其中任何一块骨牌倒下时，都会正好倒在下一块骨牌上，并使之跟着倒下，这隐喻了归纳假设推理重要性。
数学归纳法的教学过程中“理解”和“练习”不应该是对立的双方，而应该是两者的统一，或者说两者的整合，而且两者对于学生“原理的理解”和“运用的促进”是一个循环上升的过程，即原理的深入理解促进运用，进一步运用后的反思，特别是障碍克服后的反思，又促进对原理的理解。
二、常将平面三角形与空间四面体之间的性质、结论类比，那么在空间四面体中有没有类似三角形中的正余弦定理存在？
首先，平面三角形是平面几何中的一个基本图形，而四面体是立体几何中的一个基本图形。
二者之间有着密切的联系，同时它们之间的联系体现了平面与空间的联系，一维空间与二维空间的联系，进一步可能有助于对多维空间的理解。
1、从概念上看：三角形是边数最少的多边形，四面体是面数最少的多面体。
2、三角形的任意两边之和大于第三边。
四面体任意三个面的面积之和大于第四个面的面积。
3、任意一个三角形都有一个外接圆，即不共线三点确定一个圆，这个圆圆心称为三角形的外心，外心是各边垂直平分线的交点，外心到三角形各顶点距离相等。
任意一个四面体都有一个外接球，即不共面四点确定一个球；这个球的球心在四面体各个面内的射影是各个面的外心，且它到四面体各顶点的距离也相等。
4、任意一个三角形都有一个内切圆，圆心称为三角形的内心，内心到各边距离相等，是三内角平分线的交点；且设三角形的周长为c,内切圆半径为r,则三角形的面积为。
任意一个四面体都有一个内切球，球心到各个面的距离相等，是从六条棱出发
的六个二面角的平分面的交点。
且设四面体的表面积为S,内切球半径为R，则四面体的体积为。
5、正三角形棱长为a时，周长为3a,面积为，高为，外接圆半径为，内切圆半径为。
外接圆半径是内切圆半径的2倍。
6、正四面体棱长为a时，表面积为，高为，外接球半径为，
内切接球半径为。
外接球半径是内切球半径的3倍。
7、任意三角形的三条中线交于一点，称为三角形的重心，重心到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍。
（重心定理）如图1所示：G为的重心。
且
任意四面体的顶点与对面重心的连线交于一点，正是四面体的物理重心，且四面体的重心到顶点的距离是它到对面重心距离的3倍。
（重心定理的推广）
如图2所示： E，F分别为的重心，AE与BF相交于点G，则G为四面体A-BCD的重心。
8、三角形中三个顶点的坐标分别为，则它的重心坐标为。
四面体中四个顶点的坐标分别为，
，则它的重心坐标为。
9、三角形中有余弦定理：。
在四面体A-BCD中，顶点A,B,C,D所对底面面积分别为；以四面体的各棱为棱的二面角大小分别为。
则有。
余弦定理证明如下：
证明：在中利用射影定理有
由上面三式得：、
，则命题得证。
空间中的余弦定理类比证明如下：
证明：由空间的射影定理知H为点A在平面BCD中的射影，则
同理有：
于是有
=+
+
所以：。
10、三角形中有正弦定理：
证明：在中，有
于是有即：。
同理可证：。
而在四面体ABCD中，设棱AB与面ACD，面BCD所成角分别为，则。
证明：如图4：作AH垂直平面BCD，H为垂足。
则就是AB与平面BCD所成角。
所以AH=AB。
所以同理：
所以即。