平面几何学基本知识

平面几何学基本知识

一、相关数学名词

命题：表达判断的语言形式，叫做命题。每个命题都由“题设”和“结论”两部分组成。其形式常写成“如果......，那么……”。

真命题：正确的命题，叫做真命题。

假命题：戳物的命题，叫做假命题。

逆命题：两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第二个命题的题设是第一个命题的结论，那么这两个命题就叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题就叫做原命题的逆命题。

公理：一些命题的正确性是人们在长期的实践中总结出来的，并把它们作为判断其他命题真假的依据，这样的真命题称为公理。

定理：有些命题的正确行使通过推理证实的，这样的真命题叫做定理。

逆定理：

推论：由定理或公理直接推出的结论，叫做推论。

二、最基本的图形

1、点：通常表示一个物体的位置。点只有位置，没有大小。

2、线段

线段的定义：一条直线上两个点和它们之间的部分，叫做线段。

线段的特征：有两个端点，两个端点可用字母命名。线段具有一定的长度。

线段的基本性质（线段公理）：在所有连接两点的线中，线段最短。

两点距离的定义：连接两点的线段的长度，叫做这两点的距离。

线段中点的定义：把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点。任何一条线段都只有一个中点。

3、射线

射线的定义：把线段向一方无限延长所形成的图形（直线上的一点和它一旁的部分），叫做射线。

射线的特征：只有一个端点，射线不能用长度来量度，即射线无限长。射线具有方向性，可以向一个方向无限延长。用字母表示射线时，必须把表示端点的字母写在前面，如“射线OA”。

4、直线

直线的定义：把线段向两个方无限延长所形成的图形，叫做直线。直线的特征：没有端点，不能用长度来量度，即直线无限长。可以向两个方向无

限延长。

直线的基本性质（直线公理）：经过两点有一条直线，并且只有一条直线。

三、角

角的定义：由两条有公共端点的射线组成的图形，叫做角。

角的特征：两条边都是射线，两条射线有公共端点。

角的种类：平角；周角；直角；锐角；钝角

平角：始边和终边成一直线的角，叫做平角。

周角：一条射线绕着端点转动到始边和终边重合所形成的角，叫做周角。

直角：平角的一半，叫做直角。

锐角：小于直角且始边和终边不重合的角，叫做锐角。

钝角：小于平角且大于直角的角，叫做钝角。

角平分线的定义：从一个角的顶点引出的一条射线，把该角分成两个相等的角，

这条射线叫做这个角的平分线。

角平分线的性质：一个角的角平分线，平分这个角（把这个角分成两个相等的角）。互为余角（互余）的定义：两个角的和等于一个直角（90°）时，这两个角互为余角，简称互余。

同角或等角的余角相等。

互为补角（互补）的定义：两个角的和等于一个平角（180°）时，这两个角互为补角，简称互补。

同角或等角的补角相等。

对顶角的定义：如果一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这两个

角叫做对顶角。

对顶角的特征：两个角具有公共的顶点；一个角的两边分别是另一个角两边的反

向延长线

对顶角的性质：对顶角相等。#相等的两个角不一定是对顶角。

四、在同一平面内，两条不重合直线的位置关系——相交（一般相交、垂直）

相交的两条直线只有一个交点，形成四个角，两组对顶角，四组互补角。

1、一般相交

2、垂直

垂直的定义：两条直线相交所形成的四个角中有一个为直角时，称这两条直线互

相垂直。其中一条直线叫做另一条直线的垂线，这两条直线的交点，叫做垂足。

垂线的性质：

⑴在同一平面内，经过直线外或直线上的一点，有且只有一条直线与已知直

线垂直。

⑵直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短（简说成：垂线

段最短）

点到直线的距离的定义：点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。

线段的垂直平分线的定义：垂直于一条线段并且平分这条线段的直线，叫做这条

线段的垂直平分线。

线段的垂直平分线的性质（定理）：线段的垂直平分线上的点和这条线段两个端

点的距离相等。

线段的垂直平分线定理的逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，都在这条

线段的垂直平分线上。

五、相交线中的角

1、两条直线相交，可以形成4个角：对顶角、邻补角。对顶角2对；邻补角4对。

邻补角的定义：具有一个公共顶点，一条公共边且另一条边互为反向延长线的两

个角称为邻补角。

邻补角的特征：两个邻补角成互补关系（两角的和为180°）。

2、三条直线（指两条直线与第三条直线）相交可以形成8个角：同位角、内错角、同旁内角。

同位角的特征：在两条直线的同侧，同时它们都在第三条直线的同侧的两个角。

同位角共有4对。

内错角的特征：在两条直线的内侧（之间），同时它们分别在第三条直线的两侧

的两个角。内错角共有2对。

同旁内角的特征：在两条直线的内侧（之间），同时它们都在第三条直线的同侧

的两个角。同位角共有2对。

六、在同一平面内，两条不重合直线的位置关系——平行

平行线的定义：在同一平面内，不相交（没有交点）的两条直线，叫做平行线。

平行线的性质（平行公理）：过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。

平行公理的推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也平行。

平行线的性质：

1、两条平行线被第三条直线所截，同位角相等——两直线平行，同位角相等

2、两条平行线被第三条直线所截，内错角相等——两直线平行，内错角相等

3、两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补—两直线平行，同旁内角互补平行线判定定理：

1、两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两直线平行。

2、两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两直线平行。

3、两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两直线平行。

4、如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线平行。

5、如果两条直线同时垂直于第三条直线，那么这两条直线平行。

两条平行线的距离的定义：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做两条平行线的距离。

七、欧几里德平面几何学等量公理

①等于同量的量相等；（等量代换）

②等量加等量其和相等；

③等量减等量其差相等；

④可重合的图形全等；

⑤全体大于部分。