用圆的几何性质解题

用圆的几何性质解题

圆是一个特殊的图形,它有许多重要的性质.在涉及到圆的有关问题时，若能抓住题设中圆的图形特征和数量关系，充分利用圆的有关几何性质，常常可得到简捷的解法.现举例说明如下：

性质1 “圆的弦的垂直平分线必过圆心”

例1 过点),(),,(1111--B A 且圆心在直线02=-+y x 上的圆的方程是 . （01年全国高考题）

分析：∵线段AB 为所求圆的弦，由性质1知，点C 为AB 的垂直平分线与已知直线的交点，

联立两直线方程组成方程组，解得),(11C .∴所求圆的方程为.)()(41122=-+-y x

例2 设圆过双曲线11692

2=-y x 的一个顶点和一个焦点，圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是 .（98年

全国高考题） 分析：由图形的对称性，不妨设圆心在右支上. 如图1，由条件知，

线段AF 1为⊙C 的弦，根据性质1，可得AF 1的垂直平分线直

线CD 段，由题设知A 、F 1的横坐标分别为3、5，∴圆心

C

的横坐标为4，故圆心C 的纵坐标为±43

7，∴圆心C 到双曲线的中心的距离为42+(±437)2 = 163

. 点评：以上两例的关键在于确定圆的圆心。根据题设已知圆的弦，由性质1，得圆心必在此弦的垂直平分线上.

性质2 “圆中90°的圆周角所对的弦是直径”

例3 设直线3x +4y +m =0与圆C 1：x 2+y 2+x -2y =0相交于点P 、Q 两点，当m 为何值时，OP ⊥OQ ？

分析：如图2，因圆C 1：x 2+y 2+x -2y =0过原点，则∠POQ 是圆C 1的圆周角，且为直角.由性质2，可知PQ 为⊙C 1的直径，即直线3x +4y +m =0过⊙C 1的圆心C 1（- 12 ，1） 即3×(- 12)+4×1+m =0 ∴m = - 52 . 点评：处理直线与圆的位置关系常用△法或几何法.本例由于直线与圆的交点和原点的连线互相垂直,且原点在圆上,由性质2,

知PQ 为直径,从而得以上解法.

性质3 “圆中同一条弦所对的圆周角小于它所对的圆内角”

例4 椭圆14

92

2=+y x 的焦点为F 1、F 2，点P 为其上的动点，当∠F 1PF 2为钝角时，点P 横坐标的取值范围是 .（00年全国高考题） 分析：以F 1F 2为直径作圆：522=+y x ,与椭圆14922=+y x 联立， 解得A 、B 两点的横坐标分别为 - 3 5 5，3 5 5.由性质2，知点P 在椭圆的AB 或CD 弧线（在辅助圆内）上时，∠F 1PF 2

为钝角(如图3)，故点P 的横坐标的取值范围是（- 3 5 5

，图1 图2 图3

3 5 5

）. 点评：本题看似与圆无关,但通过构作辅助圆,并利用其几何性质,让问题变得直观明了,便于求解.

性质4“圆的弦心距垂直平分弦”

性质5“圆心角的度数等于它所对弧的度数”

性质6“弦心距、半弦、半径三者构成直角三角形”

例5 设圆满足：①截y 轴所得弦长为2；②被x 轴分成两段圆弧，其弧长之比为3︰1；③

圆心到直线l ：x-2y =0的距离为 5 5

，求该圆的方程.（97年全国高考题） 分析：如图4，设圆M 满足条件，它在y 轴、x 轴上截得的弦分别为AB 、CD ，设圆心M 的坐标为（a ,b ），半径为r ，则点M 到x 轴、y 轴的距离分别为|b |、|a |，作MN ⊥y 轴于N ，连AM ，由性质4，知N 为AB 的中点 ，由条件①，

在Rt △AMN 中，有：r 2 = a 2+1 （1） 由条件②知，⊙M 被x 轴截得的劣弧度数为90°， 由性质5，知∠CMD =90°，由性质6,得 r 2=2b 2 (2) 又由条件③得，|a -2b|5

= 5 5 (3) 解(1) (2) (3)得 ⎩⎨⎧a= -1b = -1或⎩⎨⎧a= 1b = 1，于是r 2=2b 2=2 故所求圆的方程为：(x+1)2+(y +1)2 =2或(x -1)2+(y -1)2 =2. 点评：由以上几例可以看出，在解决圆的有关问题时，只要充分挖

掘圆的几何性质，再将几何条件代数化，既可以迅速获得解题途径，又可以减少解析几何的运算量.

图4