自动控制原理线性系统的稳定性分析

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控制系统的稳定性分析

自动控制原理
其中系数 b1 , b2 , b3 等;根据
下列公式计算：
b1
a1a 2 a 0a 3 a1
b2
a1a 4 a 0a 5 a1
b3
a1a 6 a 0a 7 a1
同样的方法可以计算c;d;e等各行的系数
自动控制原理
注意:
在展开的阵列中;为简化其后的数值计算;可用一个正整数去除或乘某一个整行;并不影响稳定性结论; 劳斯判据还说明：方程式5 4中;其正实部特征根数;等于劳斯阵列中第一列的系数改变的次数;
自动控制原理
从乃氏图上看;Gjw不包围1;j0点
G ( jw ) 1
稳定
G ( jw )
G ( jw )
不稳定
自动控制原理
2 若开环系统不稳定;有p个零点在右半平面;q的零点在原点;npq个零点在左半平面则
argD K(jw)(n2pq)2
如果闭环是稳定的;则
argDb(jw)n 2
故
a r g 1 G (jw ) n ( n 2 p q ) p q
F是新引进的函数;其分母是系统开环特征多项式;分子是闭环特征多项式;
对于非单位反馈系统;开环传递函数为
GsG' sHsM DK Kss
自动控制原理
2 乃奎斯特队稳定判据 1 若开环是稳定的;则根据米哈依洛夫定理
argDk
jwn
2
如果闭环系统稳定;有
于是
argDb
jwn
2
arg1G (jw )0o
0
0
a n1 0
0
an2 an
自动控制原理
系统稳定的充要条件是：主行列式
式 1,2, n1 ;均大于零;即

《自动控制原理》第五章：系统稳定性

5.2 稳定的条件
当σi和λi均为负数，即特征根的 σi和λi均为负数，均为负数实部为负数，系统是稳定的；实部为负数，系统是稳定的；或极点均在左平面。或极点均在左平面。
5.3 代数稳定性判据
定常线性系统稳定的充要条件定常线性系统稳定的充要条件是特征方程的根具有负充要条件是特征方程的根具有负实部。因此，判别其稳定性，要解系统特征方程的根。为实部。因此，判别其稳定性，要解系统特征方程的根。避开对特征方程的直接求解，可讨论特征根的分布，避开对特征方程的直接求解，可讨论特征根的分布，看其是否全部具有负实部，并以此来判别系统的稳定性，这样是否全部具有负实部，并以此来判别系统的稳定性，也就产生了一系列稳定性判据。也就产生了一系列稳定性判据。其中最主要是E.J.Routh(1877 )h和Hurwitz（其中最主要是E.J.Routh(1877年)h和Hurwitz（1895 E.J.Routh(1877年年）分别提出的代数判据。分别提出的代数判据代数判据。
习题讲解：习题讲解：
µ
G1
Q21
G1
h2
k1 k1 G1 ( s ) = , G1 ( s ) = (T1s + 1) (T1s + 1) k1k 2 G0 ( s ) = (T1s + 1)(T2 s + 1)
kp
G0 ( s ) G(s) = 1 + G0 ( s ) K p
5.4 Nyquist稳定性判据 Nyquist稳定性判据
系统稳定的条件？系统稳定的条件？
5.2 稳定的条件
d n y (t ) d ( n −1) y (t ) dy (t ) 线性系统微分方程：线性系统微分方程： n a + an −1 + L + a1 + a0 y (t ) n ( n −1) dt dt dt d m x(t ) d ( m −1) x(t ) dx(t ) = bm + bm−1 + L + b1 + b0 x(t ) m ( m −1) dt dt dt d n y (t ) d ( n −1) y (t ) dy (t ) + a( n −1) + L + a1 + a0 y (t ) = 0 齐次微分方程：齐次微分方程： an n ( n −1) dt dt dt an s n + an −1s n −1 + L + a1s + a0 = 0 设系统k 设系统k个实根

自动控制原理实验四-线性定常控制系统的稳定分析

实验四线性定常控制系统的稳定分析
一、实验目的
（1）深刻理解反馈对系统稳定性的作用和影响；
（2）深刻理解系统类型对系统稳定性的影响的规律；
（3）深刻理解零点对系统稳定性无影响；
（4）理解系统参数对系统稳定性的影响。

二、实验原理及内容：
1．单位反馈对系统稳定性的影响
(1) 已知开环系统结构图如图4-1所示。

R （S
其中W(S)分别为：（a ）1()0.11W s s =+和（b ）1()0.2
W s s =- (2)闭环系统单位负反馈形式为：
图4-2 闭环系统
其中W(S)同（1）。

通过观察两组W （S ）在开环和闭环两种形式下系统的零、极点分布和单位阶跃响应曲。

自动控制原理实验报告--控制系统的稳定性和稳态误差

本科实验报告课程名称：自动控制原理实验项目：控制系统的稳定性和稳态误差实验地点：多学科楼机房专业班级：学号：学生姓名：指导教师：2012 年5 月15 日一、实验目的和要求：1．学会利用MATLAB 对控制系统的稳定性进行分析； 2．学会利用MATLAB 计算系统的稳态误差。

二、实验内容和原理：1．利用MATLAB 描述系统数学模型如果系统的的数学模型可用如下的传递函数表示nn n m m m a s a s b s b s b s U s Y s G ++++++==-- 11110)()()( 则在MATLAB 下，传递函数可以方便的由其分子和分母多项式系数所构成的两个向量惟一确定出来。

即num=[b 0,b 1 ,…, b m ]; den=[1,a 1,a 2 ,…,a n ]例2-1 若系统的传递函数为5234)(23+++=s s s s G 试利用MA TLAB 表示。

当传递函数的分子或分母由若干个多项式乘积表示时，它可由MA TLAB 提供的多项式乘法运算函数conv( )来处理，以获得分子和分母多项式向量，此函数的调用格式为 p=conv(p1,p2)其中，p1和p2分别为由两个多项式系数构成的向量，而p 为p1和p2多项式的乘积多项式系数向量。

conv( )函数的调用是允许多级嵌套的。

例2-2 若系统的传递函数为)523)(1()66(4)(232++++++=s s s s s s s s G试利用MA TLAB 求出其用分子和分母多项式表示的传递函数。

2．利用MATLAB 分析系统的稳定性在分析控制系统时，首先遇到的问题就是系统的稳定性。

判断一个线性系统稳定性的一种最有效的方法是直接求出系统所有的极点，然后根据极点的分布情况来确定系统的稳定性。

对线性系统来说，如果一个连续系统的所有极点都位于左半s 平面，则该系统是稳定的。

MATLAB 中根据特征多项式求特征根的函数为roots( )，其调用格式为r=roots(p) 其中，p 为特征多项式的系数向量；r 为特征多项式的根。

自动控制原理-第3章

响应曲线如图3-2所示。图中
为输出的稳态值。
第三章线性系统的时域分析法
图 3-2 动态性能指标
第三章线性系统的时域分析法
动态性能指标通常有以下几种:
延迟时间td: 指响应曲线第一次达到稳态值的一半所需的时间
上升时间tr: 若阶跃响应不超过稳态值, 上升时间指响应曲线从稳态值的10%上升到90%所需的时间; 对于有振荡的系统, 上升时间定义为响应从零第一次上升到稳态值所需的时间。上升时间越短, 响应速度越快。
可由下式确定: (3.8)
振荡次数N: 在0≤t≤ts内, 阶跃响应曲线穿越稳态值c(∞)次一半称为振荡次数。
上述动态性能指标中, 常用的指标有tr、ts和σp。上升时间tr 价系统的响应速度; σp评价系统的运行平稳性或阻尼程度; ts是同
时反映响应速度和阻尼程度的综合性指标。应当指出, 除简单的一、二阶系统外, 要精确给出这些指标的解析表达式是很困难的。
中可以看出, 随着阻尼比ζ的减小, 阶跃响应的振荡程度加剧。 ζ =0时是等幅振荡, ζ≥1时是无振荡的单调上升曲线, 其中临界阻尼对应的过渡过程时间最短。在欠阻尼的状态下, 当0.4＜ζ＜0.8时过
渡过程时间比临界阻尼时更短, 而且振荡也不严重。因此在控制工程中, 除了那些不允许产生超调和振荡的情况外, 通常都希
第三章线性系统的时域分析法 4. 脉冲函数脉冲函数(见图3-1(d))的时域表达式为
(3.4)
式中,h称为脉冲宽度, 脉冲的面积为1。若对脉冲的宽度取趋于零的极限, 则有
(3.5) 及
(3.6)
称此函数为理想脉冲函数, 又称δ函数(见图3-1(e))。
第三章线性系统的时域分析法

自动控制原理课件：线性系统的稳定性和稳态特性分析

设系统处于某一平衡状态，若此系统在干扰作用下离开了原来的平衡状态，那么，在扰动消失后，系统能否回到原来的平衡状态，这就是系统的稳定性问题。
上述系统在干扰作用消失后，能够恢复到原始的平衡状态，或者说系统的零输入响应具有收敛性质，则系统为稳定的。
由此可得到线性系统稳定的充分必要条件: 系统特征方程的所有根（系统的所有闭环极点），均位于复数s平面的左半部．
系统给定误差传递函数为
Er (s) R(s)
1 1 G(s)
1
1 K (0.5s 1)
s(s 1)(3s 1)
Er
(s)
s(s
s(s 1)(3s 1) 1)(3s 1) K (0.5s
1)
R(s)
esr
lim
s0
sEr
(s)
lim s
s0
s(s 1)(3s 1)
1
s(s 1)(3s 1) K(0.5s 1) s
3.3 劳斯稳定判据线性系统稳定与否，取决于特征根的实部是否均为负值（复数s平面
的左半部）．但是求解高阶系统的特征方程是相当困难的．而劳斯判据，
避免解特征方程，只需对特征方程的系数进行代数运算，就可以判断系统
的稳定性，因此这种数据又称为代数稳定判据．
１．劳斯判据将系统的特征方程写成如下标准形式
下面要讨论系统跟踪输入信号的精确度或抑制干扰信号的能力．
这里讨论的稳态误差仅限于由系统结构、参数及输入信号的不同而导致的稳态误差，不包含由于具体元件的灵敏性、温湿度影响所带来的误差问题。
控制系统的输入包含给定输入和扰动量，对应的控制系统的稳态误差也分为两类：
给定稳态误差
扰动稳态误差
Er (s) R(s) B(s) R(s) Er (s)Gc (s)Go (s)H(s)

自动控制原理控制系统的稳定性分析

Course 自动控制原理东南大学自动控制系Southeast University Dept. of Automatic Control Chap 4 控制系统的稳定性分析稳定性分析的意义稳定性是控制系统能够正常工作的首要条件。

稳定压倒一切。

只有稳定的情况下，性能分析和改进才有意义。

负反馈只是使系统稳定的一种手段，并不一定能够保证闭环系统的稳定。

例子：秋千东南大学自动控制系Southeast University Dept. of Automatic Control Chap 4 控制系统的稳定性分析4.1 稳定性stability的概念和定义d f b c a b c 平衡点单/多平衡点系统干扰，偏差稳定的物理意义东南大学自动控制系Southeast University Dept. of Automatic Control 稳定范围/区域a 4.1 稳定性的概念和定义若控制系统在任何足够小的初始偏差作用下，随着时间的推移，偏差会逐渐衰减并趋于零，具有恢复原平衡状态的性能，则称该系统是稳定stable的；否则，称该系统是不稳定unstable的。

可通过研究描述系统的微分或差分方程的解得到系统稳定性。

东南大学自动控制系Southeast University Dept. of Automatic Control 4.1 稳定性的概念和定义基于稳定性研究的问题是扰动作用去除后系统的运动情况与输入量和初始偏差无关。

稳定性是系统本身的“固有特性”，一个控制系统的稳定性取决于系统本身的结构和参数值。

线性系统稳定性分析只需考虑齐次系统情况即可。

东南大学自动控制系Southeast University Dept. of Automatic Control 4.1 稳定性的概念和定义李亚普诺夫Lyapunov 1892稳定性x t F x t t xc t F xc t t 0 x0 x t0 Lyapunov stability 0 0 if x0 xc then x t xc n Lyapunov asymptotic stability x xc xi xic 2 i 1 If in addition lim x t xc 0 t东南大学自动控制系Southeast University Dept. of Automatic Control 4.1 稳定性的概念和定义x2 x2 xc xc x1 x1东南大学自动控制系Southeast University Dept. of Automatic Control 4.1 稳定性的概念和定义x2 xc x1东南大学自动控制系Southeast University Dept. of Automatic Control 4.1 稳定性的概念和定义x x x t x 0e t x t 0 x 0 e t x 0 0 xx x t x 0et x1 x2 x2 x1 1 x1 0 x东南大学自动控制系Southeast University Dept. of Automatic Control Chap 4 控制系统的稳定性分析4.2 线性定常系统稳定的充分必要条件4.2.1 状态空间模型若讨论稳定性是基于状态空间模型的，则只关心是齐次状态方程的响应是否收敛到xe0－渐进稳定性连续线性定常系统渐近稳定的充分必要条件是：它的系数矩阵A的特征值全都具有负实部。

西工大、西交大自动控制原理第五节线性系统的稳定性分析9-10

1.系统稳定性概念
线性控制系统的稳定性定义
设线性控制系统在初始扰动的影响下，其过渡过程随着时间的推移逐渐衰减并趋向于零，则称该系统渐进稳定(简称稳定)。反之，若在初始扰动的影响下，系统过渡过程随着时间的推移而发散，则称系统为不稳定。
1.系统稳定性概念
线性控制系统的稳定性是系统自身的固有特性。稳定与否和输入信号及初始偏差的大小无关。
若通过系统自身的调节作用，使偏差最后逐渐减小，系统又逐渐恢复到平衡状态，那么，这种系统便是稳定的。
1. 系统稳定性概念
c(t)
c(t)
扰动
O (a)
扰动
O t
t (b)
不稳定
稳定
1. 系统稳定性概念
大范围稳定: 不论扰动引起的初始偏差有多大，
当扰动取消后，系统都能够恢复到原有的平衡状态。
试用Hurwitz判据判断系统的稳定性。
解：(1) 特征方程式的各项系数均大于0。 (2) 各阶Hurwitz行列式为：
D1 a1 1 0
D2
a1 a0
a3 1 a2 2
5 7 0
3
3、稳定判据（代数判据）
(1) Hurwitz稳定判据
a1 a3 a5 1 5 0 D3 a0 a2 a4 2 3 10 45 0
2线性系统稳定的充分必要条件
设线性系统在初始条件为零时，输入一个理想单位脉冲信号 (t)，这时系统的输出称为脉冲过渡函数（或称脉冲响应）g (t)
若系统闭环传递函数为：
m
Φs
Cs Rs
M s N s
Kg
n1
s sj
s zi
i 1
s2 2ζ k ωk s ωk2

自动控制原理稳定性判据知识点总结

自动控制原理稳定性判据知识点总结自动控制原理是探讨控制对象的动态特性以及如何设计稳定的控制系统的学科。

在自动控制系统的设计和分析中，稳定性是一个重要的概念。

本文将对自动控制原理中的稳定性判据进行总结，帮助读者更好地理解和应用这些知识。

1. 稳定性定义稳定性是指控制系统在一定的输入条件下，输出不随时间而无穷增长或无穷减小的性质。

一个稳定的控制系统能够保持输出的有限性，而不会因为扰动或非线性特性产生不可控制的结果。

2. 稳定性判据2.1. 线性系统的稳定性线性系统的稳定性判据可以分为两类：时域判据和频域判据。

2.1.1. 时域判据时域判据主要通过分析系统的状态转移方程或差分方程来判断系统的稳定性。

在稳定的线性系统中，初始状态被扰动后，系统状态在有限时间内收敛到稳定状态。

2.1.2. 频域判据频域判据通过系统的频率响应函数来判断稳定性。

常用的频域稳定性判据有：奈奎斯特稳定判据、Nyquist判据、波恩稳定判据等。

这些判据通过分析系统的极点位置和频率响应曲线来判断系统稳定性。

2.2. 非线性系统的稳定性非线性系统的稳定性判据相对于线性系统更加复杂。

常见的非线性稳定性判据有：李雅普诺夫稳定性判据、小扰动稳定性判据等。

2.2.1. 李雅普诺夫稳定性判据李雅普诺夫稳定性判据是对非线性系统进行稳定性判断的重要方法。

其基本思想是通过构造李雅普诺夫函数来判断系统的稳定性。

若李雅普诺夫函数为正定函数且导数小于等于零，系统即为稳定的。

2.2.2. 小扰动稳定性判据小扰动稳定性判据是通过对非线性系统进行线性化处理，然后判断线性化后的系统是否稳定来判断非线性系统的稳定性。

3. 典型的稳定性判据3.1. Nyquist判据Nyquist判据是频域判据中的一种，用于判断线性系统的稳定性。

通过绘制系统的频率响应曲线，然后判断曲线与虚轴的交点来确定系统的稳定性。

3.2. Routh-Hurwitz判据Routh-Hurwitz判据是一种时域判据，用于判断线性系统的稳定性。

自动控制原理3第五节稳定性和代数稳定判据

项系数an1 至最后一项系数 a0 ，在主对角线以下各行中各项系数下标逐次增加，在主对角线以上各行中各项系数下标逐次减小。
当下标大于n或小于0时，行列式中的项取0。
20
3.5 系统的稳定性和代数稳定判据
2
3.5 系统的稳定性和代数稳定判据
稳定的定义和定理
定义1：对于线性定常系统，在任何一组初始条件下，若输入
x(t)=0，当t→∞时，系统的输出及其各阶导数为零，即
lim y(t) lim y(t) ... lim y(n1)(t) 0
t
t
t
则称该系统为渐近稳定的。
定义2：对于线性定常系统在零初始条件下，加入一个有界的输
4
3.5 系统的稳定性和代数稳定判据
稳定的充要条件和属性
前面讨论的当外作用消失后，如果经过足够长的时间它能回复到原来的起始平衡状态可看作第二项经过足够长的时间变为零。
系数取决于初始条件的多项式系数取决于初始条件的多项式
Y2(s)
sn an1sn1 ... a1s a0
n1
n2
(s p j ) (s2 2 kk k2 )
❖且 a1a2 a3a0 0
15
3.5 系统的稳定性和代数稳定判据
特殊情况下劳斯阵列的列写及结论：
劳斯判据特殊情况
用一个正数去乘或除某整行，不会改变系统的稳定性结论；
劳斯阵第一列所有系数均不为零，但也不全为正数，则系统不稳定。表示s右半平面上有极点，右极点个数等于劳斯阵列第一列系数符号改变的次数。
an an2 an4 an6 ... 0 0
0
赫尔维茨行列式： 0
an1 an3 an5 ... 0 0 an an2 an4 ... 0 0

自动控制原理第三次实验报告-线性系统的频率响应分析&离散系统的稳定性分析

该方法在时域曲线窗口将信号源和被测系统的响应曲线显示出来，直接测量对象输出与信号源的相位差及幅值衰减情况，就可得到对象的频率特性。
间接频率特性的测量
用来测量闭环系统的开环特性，因为有些线性系统的开环时域响应曲线发散，幅值不易测量，可将其构成闭环负反馈稳定系统后，通过测量信号源、反馈信号、误差信号的关系，从而推导出对象的开环频率特性。
六、数据处理
1.直接测量方法 (测对象的闭环频率特性)
测各参数下时域波形（部分）
测得波特图如下：
测得对象的闭环极坐标图：
2．间接测量方法：(测对象的开环频率特性)
测各参数下时域波形（部分）
测得波特图如下：
测得对象的闭环极坐标图：
七、分析讨论
(1) 测量过程中要去除运放本身的反相的作用，即保持两路测量点的相位关系与运放无关，所以在测量过程中可能要适当加入反相器，滤除由运放所导致的相位问题。
③ 理论依据
④ 测量方式：实验中采用间接方式，只须用两路表笔CH1和CH2来测量图 3.1-1 中的反馈测量点和误差测量点，通过移动游标，确定两路信号和输入信号之间的相位和幅值关系，即可间接得出积分环节的波特图。
(2) 直接频率特性测量方法
只要环节的时域响应曲线收敛就不用构成闭环系统而采用直接测量法直接测量输入、输出信号的幅值和相位关系，就可得出环节的频率特性。
④ 测量方式：实验中选择直接测量方式，用 CH1 路表笔测输出测量端，通过移动游标，测得输出与信号源的幅值和相位关系，直接得出一阶惯性环节的频率特性。
三、仪器设备
PC 机一台，TD-ACC+(或 TD-ACS)教学实验系统一套。
四、线路示图( 见模拟电路图 )
五、内容步骤
（一）．实验内容

自动控制原理稳定性知识点总结

自动控制原理稳定性知识点总结自动控制原理是控制工程学科中的重要基础理论，涉及到系统的稳定性是其中的核心概念。

稳定性是指系统在一定条件下具有趋向于平衡或稳定状态的特性。

本文将对自动控制原理中的稳定性知识点进行总结。

一、稳定性的概念与分类稳定性是评判系统质量的重要指标，可以分为三类：稳定、渐进稳定和不稳定。

1. 稳定：当系统受到外界扰动时，系统的输出能够趋于有限值，并且不会产生持续的振荡。

2. 渐进稳定：当系统受到外界扰动时，系统的输出能够趋于有限值，但可能会产生一定的振荡，最终趋于稳定。

3. 不稳定：当系统受到外界扰动时，系统的输出会无限增长或无限振荡，无法趋于稳定状态。

二、线性系统的稳定性判断线性系统的稳定性判断可以通过系统传递函数的极点位置来进行分析。

系统的稳定性与极点的位置有关。

1. 极点位置与稳定性- 极点位于左半平面（实部小于零）时，系统是稳定的。

- 极点位于右半平面（实部大于零）时，系统是不稳定的。

- 极点位于虚轴上时，系统可能是渐进稳定的。

2. 稳定性判据通常情况下，可以通过判断系统传递函数的极点来判断系统的稳定性。

对于一阶系统（一般形式为G(s) = K/(Ts+1)），如果零极点的实部都小于零，则系统是稳定的；对于高阶系统，需要通过判断极点位置是否在左半平面中来进行稳定性分析。

三、稳定性分析的常见方法1. Bode图法Bode图是一种用来表示系统频率响应的图表。

通过绘制系统传递函数的幅频特性和相频特性图，可以直观地分析系统的稳定性。

在Bode 图上，对于稳定系统，幅频特性曲线在低频和高频均趋于0dB，相频特性曲线在各频率下都为负值。

2. Nyquist判据Nyquist判据是通过分析系统的频率响应和复平面上的极点分布来进行稳定性判定的方法。

通过绘制Nyquist曲线，可以判断系统的稳定性。

如果曲线不经过-1点且围绕该点的圈数为0，则系统是稳定的。

3. 根轨迹法根轨迹法是通过分析传递函数的极点随控制参数变化的轨迹来判断系统的稳定性。

3自动控制原理第三章02

2）当特征根为复根时：
pi = σi ± jωi
σit
lim(ae i
t →∞
(σi + jωi )t
+ ai+1e
(σi − jωi )t
)
lim(ae sin(ωit +ϕi )) =
t →∞
∞ ai 0
σi > 0 σi = 0 σi < 0
特征根实部全为负值，为负值，响应才收敛为零，才收敛为零，系统稳定；系统稳定；
二、线性定常系统的稳定性
线性定常系统
C(s) bmsm + bm−1sm−1 +Lb1s + b0 G(s) = = n , n≥m n−1 R(s) s + an−1s +La1s + a0
设系统的n个特征根互异
si = pi = σi + jωi , i = 1,2,L, n
则系统的单位脉冲响应表为单极点形式 C(s) = 展开为部分分式时间响应
例3－6 已知系统的闭环特征方程为－
s4 + 2s3 + 3s2 + 4s + 5 = 0 试用劳斯判据判别系统的稳定性。试用劳斯判据判别系统的稳定性。解作劳斯表如下 s4 1 3 5 s3 2 4 2×5 − 0×1 2×3 − 4×1 2 1 b2 = =5 b1 = =1 s 5 2 2 s1 -6 s0 5 第一列中有负值出现，不全部大于零，负值出现第一列中有负值出现，不全部大于零，所以系统不稳定。稳定
1、劳斯（Routh）判据、劳斯（）特征方程 D(s) = an sn + an−1sn−1 +La1s + a0 = 0 作劳斯表如下，作劳斯表如下，将方程的各系数间隔填入前两行 sn an a n- 2 an-4 …… sn-1 an-1 a n- 3 an-5 …… sn-2 b1 b2 b3 …… sn-3 c1 c2 c3 …… sn-4 …… …… …… …… …… …… s2 e1 e2 s1 f1 计算以下各行。计算以下各行。 s0 g1

自动控制原理01系统的稳定性分析课件

0
8*162*0 16 8
F (s) 2s4 12s2 16 0 即： (s2 2)(s2 4) 0
解之得： s1,2 j 2
s3,4 j2
3.1.3 稳定判据
（3）劳斯稳定判据的应用
例3-4 某单位反馈系统的开环传递函数为 G(s)
K
s(s 1)(s 5)
求取使系统稳定时的K的取值范围。
F (s) 2s4 12s2 16 0 F(s) 8s3 24s ds
s4 1612 2
2
s3 08
结论：第一列没有变号，说明系统不含正实部根；系统不稳定，出现纯虚根
s2 8*122*246 8
s 1 6*248*168 63
s0 16
8
12
4016 12 2
0 24
20 16
16
0
320 16 2
分析系统稳定性。解：用方法①
结论：系统不稳定，有2个正实部极点
s4
1
s3
4
s 2 4*11*4 0 4
s1
4* 4*1 0
s0
1
11Biblioteka 404*11*0 1 4
3.1.3 稳定判据
例3-2：用方法②，将特征方程乘以s+1，得：
s5 5s4 5s3 5s2 5s 1 0
用此式构建劳斯表：
q
C(t)
Aje pjt
j 1
dk k 1 k 2
r
[ Bk ekkt
k 1
c osdk t
Ck
dk
ekk t
sin dkt]
系统稳定的条件： ① 系统的实数极点一定为负数
② 系统的复数极点一定具有负实部

自动控制原理第3章控制系统的稳定性及特性

解：列劳斯表为
s5
1
2
1
s4
2
4
1
s3
0
1
2
s2 4 1 1 1
s1
1
2
s0
1
劳斯表中第1列元素不全为正数且符号改变了2次，所以系统不稳定，有2个特征根位于s
b.劳斯表某行全为零
说明特征方程中存在一些大小相等，但方向相反的根。例3-11 给定控制系统特征方程为 s 6 s 5 6 s 4 5 s 3 9 s 2 4 s 4 0
劳斯判据的特殊情况1 a.某行第1列元素为零，其余不为零，或不全为零。
例3-9：考虑系统特征方程如下：
( s ) s 5 2 s 4 2 s 3 4 s 2 s 1 0
试分析系统的稳定性。
解：构造劳斯表如下：
s5
1
2
s4
2
4
s3
12
s2
41
1
s1 (2 1 2 2 ) (4 1) 0
3.3.1 稳定的概念与定义
定义：若线性系统在初始扰动的影响下，其过渡过程随时间的
推移逐渐衰减并趋于零，则称系统为渐近稳定，简称稳定；反之若在初始扰动影响下，系统的过渡过程随时间推移而发散，则称其不稳定。
3.3.2 线性系统稳定的充要条件
稳定性是系统自身的固有特性，与外界输入信号无关。
设系统的运动方程为
s4 1
s3 2
s2
23-4 2
1
s1
1 4 -2 5 1
6
s0 5
35 40 5 0
符号改变一次符号改变一次
Rout阵 h 列第一列符号次,改变二故有两个实部为。正的
例 3-8 已知系统的特征方程 s34s260 ，

自动控制原理高阶系统的瞬态响应和稳定性分析

实验三高阶系统的瞬态响应和稳定性分析一、实验目的1. 通过实验，进一步理解线性系统的稳定性仅取决于系统本身的结构和参数，它与外作用及初始条件均无关的特性；2. 研究系统的开环增益K或其它参数的变化对闭环系统稳定性的影响。

二、实验设备1. THBDC-1型控制理论·计算机控制技术实验平台；2. PC机一台(含上位机软件)、USB数据采集卡、37针通信线1根、16芯数据排线、USB接口线。

三、实验内容1、观测三阶系统的开环增益K为不同数值时的阶跃响应曲线；2、观测三阶系统时间常数T（极点）不同数值时的阶跃响应曲线。

四、实验原理三阶系统及三阶以上的系统统称为高阶系统。

一个高阶系统的瞬态响应是由一阶和二阶系统的瞬态响应组成。

控制系统能投入实际应用必须首先满足稳定的要求。

线性系统稳定的充要条件是其特征方程式的根全部位于S平面的左方。

应用劳斯判断就可以判别闭环特征方程式的根在S平面上的具体分布，从而确定系统是否稳定。

本实验是研究一个三阶系统的稳定性与其参数Ｋ和Ｔ对系统性能的关系。

三阶系统的方框图如图3-1所示。

图3-1 三阶系统的方框图三阶系统模拟电路图如图3-2所示。

图3-2 三阶系统的模拟电路图图3-1的开环传递函数为)1)(1)(1(2)(321+++=S T S T S T K S G (XR K 100=) (3-1) 式中K 值可调节R X 的值来改变。

当取C 1=1μF ，C 2=1μF ，C 3=1μF ，时，三阶系统对应的闭环传递函数特征方程为：0.001S 3+0.03S 2+0.3S+1+2K=0根据劳斯稳定判据，欲使系统稳定，则Ｋ应满足：0<K<4。

即当K=4时，系统处于临界状态；K>4时，系统处于发散状态。

五、实验步骤1、根据图3-2所示的三阶系统的模拟电路图，设计并组建该系统的模拟电路(取C 1= C 2= C 3=1μF)。

当系统输入一阶跃信号时，在下列几种情况下，用上位软件观测并记录不同K 值时的实验曲线。

自动控制原理第三章2线性定常系统的稳定性

的脉冲响应函数就是系统闭环传递函数的拉氏反变换。
令闭环传递函数含有q个实数极点和r对复数极点:
i 1 G ( s ) ( s ) q r 2 2 ( S P ( S 2 ) j) k nS k nk j 1 k 1
K ( S Z i)
m
( 3 53 )
r r p t 2 2 t tk j k nk k n 0 j k nk k k nk k j 1 k 1 k 1 q
K ( s z i)
m
C ( t ) A A e B e sin 1 t C e cos 1 t t 0 ( 3 4 )
q

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第三章线性系统的时域分析法
6
3.5.2 线性系统稳定的充要条件
g(t) 0 lim t
充要条件
系统稳定
闭环特征方程式的根须都位于S的左半平面
不稳定系统
有一个正实根或一对实部为正的复数根发散
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第三章线性系统的时域分析法
7
稳定实际
18.03.2019
第三章线性系统的时域分析法
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C ( s ) G ( s ) R ( s ) q
K ( s z i)
i 1 r 2 j k nk 2 nk
m
( s p ) ( s 2 s ) q+2r=n
j 1 k 1
( 3 53 )
G ( s ) 2 2 S P S 2 S j 1 k 1 j k nk nk
稳定是控制系统能够正常运行的首要条件。对系统进行各类品质指标的分析也必须在系