概率论与数理统计浙大四版习题答案第七章

第七章参数估计

1.［ 一］ 随机地取8只活塞环，测得它们的直径为（以

求总体均值卩及方差b 2的矩估计，并求样本方差 S 2。

n

2 6

(X i x) 6 10

i 1

S 2 6.86 10 6。

ln L(e ) nln(e ) n e inc (1 e ) In d 寫⑹

(1) f (x)

e c e x (e 1},x c

0,其它

其中c >0为已知， e >1, e 为未知参数。

(2) f(x)

、e x e 1,0 x 1 0,其它. 其中e >0, e 为未知参数。

(5) P(X x) m p x (1 p)m x ,x 0,1,2, ,m,0 p 1, p 为未知参数。

解：

（ 1) E(X)

xf(x)dx

c

e c e x e dx

e c e

c

e 1

e 1 e c 令 e c X

e 1, 令 e 1

X

X c

(2) E(X)

xf (x)dx

e x e dx - 丄匚,令- '-e X ,We ( X )2

2.［二］设X , X ,…，X n 为准总体的一个样本。求下列各总体的密度函数或分布律 中的未知参数的矩估计量。

得e

1

e (5)

-e 1 解：（1）似然函数 n

L (e ) f (人)e n c n e (x 1 x 2

i 1

X n )

mm 计)

解：U,b 2的矩估计是

X 74.002

E （X ） = mp 令 mp = X ,解得?莖 m 3.［三］求上题中各未知参数的极大似然估计值和估计

量。

ln x i 0

（解唯一故为极大似然估计

量）

In X i nln c

i 1

⑵ L(B ) n n

_

f (X i ) e 2(X 1X 2 X n ) 0 1

,ln L(B )

n

2~

n

ln( 0) (0 1) In X i

i 1

dI nL(0) n d 0 2 1 0 1 n In X i

0,

i 1

? （n

In x i ）2 0 （解唯一）故为极大似然

估

2.一 0 计量。

n

m m n X i n

mn 召 (5) L(p) P{X X i }

p i1 (1 p) i1 , i - 1 X 1 X n

n n n

In L(p) In m X i x i In p (mn

X i )l n(1 p), i 1 i 1 i 1 i 1 n mn x i

i 1

0 1 p

n X i d In L(p) i 1_ dp p n Xi - 解得 p q — —,（解唯一）故为极大似然估计量。 mn m 4.［四（2）］设X , X,…，X.是来自参数为入的泊松分布总体的一个样本，试求入 的极大似然估计量及矩估计量。 解：（1）矩估计 X ~ n 入）,E （ X ）=入，故*= X 为矩估计量。 （2）极大似然估计L

（入）

n

P(X i ；入)

1

n

X i *1 X 1 !X 2! X

e n *,

In

L(入)

i

X i In

In X i !

d In L(入) d 入

n

X i

i 1

入

0 ,解得*

X 为极大似然估计

量。

(其中 p (Z) P{X X i }对

e x ,X i 0,1,)

5.［六］一地质学家研究密歇根湖湖地区的岩石成分，随机地自该地区取

样品，每个样品有 10块石子，记录了每个样品中属石灰石的石子数。假设这

则得到e 的矩估计值为

e 2 2 6(1 e ) e 2

2e 5(1 e )

)=l n2+5ln 求导 d" L (e ) d e ln L ( e e

+ln(1

-e )

100个 100次观

察相互独立，并由过去经验知，它们都服从参数为

n =l0，P 的二项分布。 P 是该地区一一

块石子是石灰石的概率。求 p 的极大似然估计值，该地质学家所得的数据如下 样

品中属石灰石的石子数 012345678 9 10 观察到石灰石的样品个数

1

6

7

23 26 21

12

3

1

解：入的极大似然估计值为 ?=X = ［四（1）］ 设总体X 具有分布律

X 1

2 3 R

e 2

2 e (1 —

e )

2

(1 — e )

其中e （0< e <1）为未知参数。 X 1=1, X 2=2, X 3=1,试求 e 的矩估 计值和最大似然估计值。

解：（1）求e 的矩估计值

E (X ) 1 e 2

[e 3(1 2 20(1 e )][ e e ) (1 3(1

e )] e )2

3 2e

令 E(X) 3 2e

⑵求 e 的最大似然估计值

似然函数 3

L(e )

i 1

P{X i

X i } P{X 1 1}P{X 2 2}P{X 3 1}

已知取得了样本值