7.2点估计的评价标准概率论与数理统计习题和课件(历史上最好的概率论与数理统计)

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点估计的评价标准

点估计的评价标准

点估计的评价标准在统计学中,点估计是利用样本数据来估计总体参数的方法。

在实际应用中,我们经常需要评价点估计的好坏,以确定其是否可靠。

本文将从准确性、一致性、有效性三个方面来评价点估计的质量。

首先,准确性是评价点估计的重要标准之一。

准确性指的是点估计的期望值与真实参数值的接近程度。

一个好的点估计应该是无偏的,即其期望值等于真实参数值。

此外,点估计的方差应该尽可能小,这意味着点估计的波动越小越好。

在实际应用中,我们可以通过模拟抽样来评价点估计的准确性,观察其抽样分布是否接近于总体分布,以及点估计的抽样分布是否集中在真实参数值附近。

其次,一致性是评价点估计的另一个重要标准。

一致性指的是当样本容量逐渐增大时,点估计逐渐接近真实参数值的性质。

换句话说,随着样本容量的增大,点估计的抽样分布应该逐渐集中在真实参数值附近。

一致性是评价点估计长期稳定性的重要标准,一个好的点估计应该是一致的,即在样本容量充分大时,能够准确地估计出真实参数值。

最后,有效性是评价点估计的另一个重要标准。

有效性指的是点估计的方差达到了克拉美罗下界,即在所有无偏估计中,方差最小的估计。

在实际应用中,我们可以通过计算不同点估计的方差来评价其有效性,方差越小,说明点估计的效率越高,估计结果越稳定。

综上所述,点估计的评价标准主要包括准确性、一致性和有效性三个方面。

在实际应用中,我们可以通过模拟抽样和计算方差等方法来评价点估计的质量。

只有在准确性高、一致性好、有效性强的情况下,我们才能够相信点估计的结果,从而进行科学的决策和预测。

因此,在实际应用中,我们需要充分考虑这些评价标准,选择合适的点估计方法,以确保估计结果的可靠性和准确性。

点估计的评价标准

点估计的评价标准

点估计的评价标准在统计学中,点估计是指利用样本数据对总体参数进行估计的方法。

点估计的评价标准是统计学中一个非常重要的问题,因为它直接关系到所得到的估计结果的准确性和可靠性。

在实际应用中,我们常常需要对总体参数进行估计,比如平均值、方差、比例等,而点估计就是用来解决这个问题的。

对于点估计的评价标准,主要有无偏性、有效性和一致性三个方面。

首先,无偏性是评价点估计的重要标准之一。

无偏性是指在重复抽样的情况下,样本估计量的数学期望等于总体参数的真值。

换句话说,就是样本估计量的平均值等于总体参数的真值。

如果一个估计量是无偏的,那么它的抽样分布的中心值将会接近总体参数的真值。

无偏性是一个估计量的一个重要性质,因为它能够保证在大量重复抽样的情况下,估计结果不会出现系统性的偏差。

其次,有效性是评价点估计的另一个重要标准。

有效性是指在所有可能的总体分布下,一个估计量的方差最小。

换句话说,就是在所有可能的估计量中,方差最小的那个估计量是最有效的。

有效性是一个估计量的一个重要性质,因为它能够保证在给定样本量的情况下,估计结果的精确度最高。

最后,一致性是评价点估计的另一个重要标准。

一致性是指当样本量逐渐增大时,估计量趋向于总体参数的性质。

换句话说,就是当样本量足够大的时候,估计结果将会越来越接近总体参数的真值。

一致性是一个估计量的一个重要性质,因为它能够保证在大样本量的情况下,估计结果的稳定性和可靠性。

综上所述,无偏性、有效性和一致性是点估计的评价标准。

在实际应用中,我们需要根据具体的情况来选择合适的估计方法,并且对所得到的估计结果进行评价。

只有在估计结果具有无偏性、有效性和一致性的情况下,我们才能够对总体参数进行准确和可靠的估计。

因此,对于点估计的评价标准,我们必须严格把关,确保所得到的估计结果是具有统计学意义的。

《概率论与数理统计》全套课件PPT(完整版)

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m?????若对于一随机试验每个样本点出现是等可能的样本空间所含的样本点个数为无穷多个且具有非零的有限的几何度量即则称这一随机试验是一几何概型的20义定义当随机试验的样本空间是某个区域并且任量意一点落在度量长度面积体积相同的子区域是等可能的则事件a的概率可定义为?mamap??说明当古典概型的试验结果为连续无穷多个时就归结为几何概率
P(B| A) P(AB) P(A)
为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率2.9
2. 性质: 条件概率符合概率定义中的三个条件, 即
10 对于每一个事件B, 有 1 P(B | A) 0.
20 P(S | A) 1.
30 设B1 , B2 ,两两互不相容, 则
P( Bi | A) P(B i | A).
i1
i1
此外, 条件概率具有无条件概率类似性质.例如:
(1) P( | A) 0.
(2) 设B1 ,B2 ,, Bn两两互不相容,则
n
n
P( Bi | A) P(B i | A).
30
i1
i1
(3) P(B | A) 1 P(B | A).
(4) P(B C | A) P(B | A) P(C | A) - P(BC | A).
在其中计算B发生的概率, 从而得到P(B|A). 例2. 在1, 2, 3, 4, 5这5个数码中, 每次取一个数码, 取后不放回, 连取两次, 求在第1次取到偶数的条 件下, 第2次取到奇数的概率.
32
(二) 乘法公式: 由条件概率定义, 立即可得P(A) 0, 则有 P(AB) P(A)P(B | A).
注 当A=S时, P(B|S)=P(B), 条件概率化为无 条件概率, 因此无条件概率可看成条件概率.

概率论与数理统计课件(最新完整版)

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“骰子出现2点”
图示 A与B互斥
A B

说明 当AB= 时,可将AB记为“直和”形式 A+B. 任意事件A与不可能事件为互斥.
5. 事件的差 事件 “A 出现而 B 不出现”,称为事件 A 与
B 的差. 记作 A- B(或 AB
)
实例 “长度合格但直径不合格”是“长度合格”
与“直径合格”的差.
实例4 “从一批含有正
其结果可能为:
品和次品的产品中任意抽
取一个产品”.
正品 、次品.
实例5 “过马路交叉口时,
可能遇上各种颜色的交通
指挥灯”.
实例6 “一只灯泡的寿命” 可长可 短. 随机现象的特征: 条件不能完全决定结果
说明 1. 随机现象揭示了条件和结果之间的非确定性联
系 , 其数量关系无法用函数加以描述.
1. 包含关系 若事件 A 出现, 必然导致 B 出现 , 则称事件 B 包含事件 A,记作 B A 或 A B. 实例 “长度不合格” 必然导致 “产品不合 格” 所以“产品不合格” 包含“长度不合格”. 图示 B 包含 A.
A
B

若事件A包含事件B,而且事件B包含事件A, 则称事 件A与事件B相等,记作 A=B. 2. 事件的和(并) “ 二 事 件A, B至 少 发 生 一 个 ” 也 是 个 一事件 , 称 为 事 件A 与 事 件 B的和事件.记 作A B, 显 然 A B {e | e A或e B}. 实例 某种产品的合格与否是由该产品的长度与 直径是否合格所决定,因此 “产品不合格”是“长度 不合格”与“直径不合格”的并. 图示事件 A 与 B 的并.
(2) ABC or AB C;
( 3) ABC ;

7.2(估计量的评价标准)

7.2(估计量的评价标准)
(n − 1) S 2
σ
2
~ χ 2 (n − 1)
可得
E (S ) = σ ,
2 2
2σ 4 2 D( S ) = n −1
由切比雪夫不等式, 由切比雪夫不等式,当 n → ∞,对任意 ε > 0,
P{| S 2 − σ 2 |< ε } ≥ 1 − D( S 2 )
ε2
2σ 4 = 1− →1 2 (n − 1)ε
n−1 n−1 2 E ( B2 ) = E(S ) = D( X ) ≠ D( X ). n n
7.2
估计量的评价标准
所以,B2不是总体方差D(X)的无偏估计,尽管B2是 所以, 不是总体方差 的无偏估计,尽管 的无偏估计 D(X)的矩估计量. 的矩估计量. 的矩估计量
1 n n 2 看作对B 我们可以把 S = ∑ ( X i − X ) = n − 1 B2 看作对 2的 n − 1 i =1
P{ X = k } =
λk
k!
e −λ , k = 0,1, 2, L
分别是E(X) =λ和D(X)=λ 的矩估计量, 的矩估计量, 由于 X 和B2分别是 ˆ ˆ 于是得到λ 的两个不同的矩估计量 λ1 = X 和 λ2 = B2
7.2
估计量的评价标准
既然估计量不是唯一的, 那么, 究竟孰优孰劣就 既然估计量不是唯一的 , 那么 , 要有一个评价标准. 要有一个评价标准 . 评价估计量的好坏一般从以下 三个方面考虑: 有无系统偏差; 波动性的大小; 三个方面考虑 : 有无系统偏差 ; 波动性的大小 ; 当 样本容量增大时是否越来越精确. 样本容量增大时是否越来越精确 . 这些就是估计量 的无偏性,有效性和相合性. 的无偏性,有效性和相合性.

概率论与数理统计完整ppt课件

概率论与数理统计完整ppt课件
化学
在化学领域,概率论与数理统计被用于研究化学反应的速率和化 学物质的分布,如化学反应动力学、量子化学计算等。
生物
在生物学中,概率论与数理统计用于研究生物现象的变异和分布, 如遗传学、生态学、流行病学等。
在工程中的应用
通信工程
01
概率论与数理统计在通信工程中用于信道容量、误码率、调制
解调等方面的研究。
边缘分布
对于n维随机变量(X_1,...,X_n),在概 率论中,分别定义了X_1的边缘分布 、...、X_n的边缘分布。
04
数理统计基础
样本与抽样分布
01
02
03
总体与样本
总体是包含所有可能数据 的数据集合,样本是总体 的一个随机子集。
抽样方法
包括简单随机抽样、分层 抽样、系统抽样等。
样本分布
描述样本数据的分布情况 ,如均值、中位数、标准 差等。
参数估计与置信区间
参数估计
利用样本数据估计总体的 未知参数,如均值、方差 等。
点估计
用样本统计量作为总体参 数的估计值。
置信区间
给出总体参数的一个估计 区间,表示对总体的参数 有一个可信的估计范围。
假设检验与方差分析
假设检验
通过样本数据对总体参数提出 假设,然后根据假设进行检验
01
定义
设E是一个随机试验,X,Y是定义在E上,取值分别为实数的随机变量
。称有序实数对(X,Y)为一个二维随机变量。
02
分布函数
设(X,Y)是一个二维随机变量,对于任意实数x,y,二元函数
F(x,y)=P({X<=x,Y<=y})称为二维随机变量(X,Y)的分布函数。
03
边缘分布
对于二维随机变量(X,Y),在概率论中,分别定义了X的边缘分布和Y的

概率论与数理统计PPT课件第七章最大似然估计

概率论与数理统计PPT课件第七章最大似然估计
5
引例 设总体 X 服从0-1分布,且P (X = 1) = p, 用极大似然法求 p 的估计值。 解 X 的概率分布可以写成
P ( X x ) p x (1 p)1 x , x 0,1
设 X1, X2,…, Xn为总体 X 的样本, 设 x1, x2,…, xn为总体 X 的样本值, 则
P ( X1 x1 , X 2 x2 , , X n xn )
p i1 (1 p)
xi
n
n
xi
i 1
n
L( p)
,n
6
xi 0,1, i 1, 2,
对于不同的 p ,L (p)不同,见右下图
Lp 0.01 0.008 0.006 0.004 0.002 0.2 p 0.4 0.6 0.8 1

l ( ) n ln xi
i 1
n
1 ˆ 得 的最大似然估计为 xn
28
dl n xi 0 d i 1
n
例5 设X1,X2,…Xn是取自总体X的一个样本 x 1 , 0 x 1 其中 >0, 求 的最大似然估计. 解:似然函数为
似然函数为:
L( , )
2 i 1
n
1 2
exp{
1 2
2
( xi ) }
2
24
对数似然函数为:
l ( , ) ln L( , )
2 2n n 1 2 ln(2 ) ln( ) 2 2 2 2
( x
i 1
n
i
)
2
, k.
解k个方程组求得1 ,
,k的最大似然估计值。

(完整版)概率论与数理统计习题集及答案

(完整版)概率论与数理统计习题集及答案

《概率论与数理统计》作业集及答案第1章 概率论的基本概念§1 .1 随机试验及随机事件1. (1) 一枚硬币连丢3次,观察正面H ﹑反面T 出现的情形. 样本空间是:S= ;(2) 一枚硬币连丢3次,观察出现正面的次数. 样本空间是:S= ; 2.(1) 丢一颗骰子. A :出现奇数点,则A= ;B :数点大于2,则B= . (2) 一枚硬币连丢2次, A :第一次出现正面,则A= ;B :两次出现同一面,则= ;C :至少有一次出现正面,则C= .§1 .2 随机事件的运算1. 设A 、B 、C 为三事件,用A 、B 、C 的运算关系表示下列各事件:(1)A 、B 、C 都不发生表示为: .(2)A 与B 都发生,而C 不发生表示为: . (3)A 与B 都不发生,而C 发生表示为: .(4)A 、B 、C 中最多二个发生表示为: . (5)A 、B 、C 中至少二个发生表示为: .(6)A 、B 、C 中不多于一个发生表示为: . 2. 设}42:{},31:{},50:{≤<=≤<=≤≤=x B x x A x x S :则(1)=⋃B A ,(2)=AB ,(3)=B A , (4)B A ⋃= ,(5)B A = 。

§1 .3 概率的定义和性质1. 已知6.0)(,5.0)(,8.0)(===⋃B P A P B A P ,则(1) =)(AB P , (2)()(B A P )= , (3))(B A P ⋃= . 2. 已知,3.0)(,7.0)(==AB P A P 则)(B A P = .§1 .4 古典概型1. 某班有30个同学,其中8个女同学, 随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率,(2)最多有2个女同学的概率,(3) 至少有2个女同学的概率.2. 将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率.§1 .5 条件概率与乘法公式1.丢甲、乙两颗均匀的骰子,已知点数之和为7, 则其中一颗为1的概率是 。

概率论与数理统计--- 估计量的评选标准

概率论与数理统计--- 估计量的评选标准


15
例3 设总体 X 的均值和方差均存在 ,nX1, „, Xn 是总体 X 的样本, C1 , C2 ,„ ,Cn 为不全相同且满足 C i 1 的任一组常数,
证明: (1) 样本的线性函数 Ci X i 是总体均值 的无偏估计量 ; i 1 n n 1 X 较 C X 有效. (2) 总体均值的无偏估计量 X n i i i i 1 i 1 n n n 证(1) E ( C i X i ) C i EX i C i
24
譬如,在估计湖中鱼数的问题中, 若我们根据一个 实际样本得到鱼数 N 的极大似然估计为 1000 条.
但实际上, N 的真值可能大于 1000 条, 也可能小于1000条. 若我们能给出一个区间, 在此区间内我们合 理地相信 N 的真值位于其中, 这样对鱼数的估计就有 把握多了.
也就是说, 我们希望确定一个尽可能小的区间, 使我们能以 • 比较高的可靠程度相信它包含真参数值.
i 1 j 1
n
m
解:(1) E(T)=an+bm =(na+mb) 当na+mb=1时, E(T)=
此时,T是的无偏估计
(2) D(T)=a2n+b24m
1 na 2 na 4m( ) m 2 4(1 na ) 2 na m 8n(1 na ) dD 0 0 2na 令 m da 4 (4n+m)a=4 a 4n m D(a)>0 此时D(T)最小,即T最有效 4 1 a , b 4n m 4n m
定义:设ˆ (X1,X2,…,Xn)为的估计量,若E(ˆ) 存在,且有 ˆ E ( ) , 则称ˆ 为的无偏估计量

概率论与数理统计教学PPT浙大第三版

概率论与数理统计教学PPT浙大第三版

数据挖掘
02
通过对大量数据进行挖掘和分析,发现数据间的关联和规律,
为人工智能系统的决策提供依据。
自然语言处理
03
自然语言处理中需要进行文本分类、情感分析等任务,需要概
率论与数理统计的知识进行模型训练和优化。
05
概率论与数理统计的未来发展
概率论与数理统计与其他学科的交叉发展
概率论与数理统计与计算机科学的交叉
概率论与数理统计的应用领域
金融
风险评估、投资组合优化、保 险精算等。
科学研究
物理、生物、化学、医学等领 域的数据分析和实验设计。
工程
可靠性工程、质量控制、系统 优化等。
人工智能和机器学习
数据挖掘、模型训练和评估等 。
概率论与数理统计的发展历程
概率论的起源
可以追溯到17世纪中叶,当时赌 博游戏引发了对概率计算的兴趣。
掌握点估计的概念和方法, 如矩估计和最大似然估计。
区间估计
了解区间估计的概念,掌 握单个和多个参数的区间 估计方法。
估计量的评价准则
了解无偏性、有效性和一 致性等评价估计量的准则。
假设检验
假设检验的基本原理
理解假设检验的基本思想、假设的设定和检验步骤。
单个总体参数的检验
掌握单个总体均值、比例和方差的假设检验方法。
概率论与数理统计教学 ppt浙大第三版
• 概率论与数理统计简介 • 概率论基础 • 数理统计基础 • 概率论与数理统计的应用 • 概率论与数理统计的未来发展
01
概率论与数理统计简介
概率论与数理统计的定义
概率论
研究随机现象的数学学科,通过 概率模型和随机变量描述随机事 件和随机结果。
数理统计

点估计的评价标准

点估计的评价标准

点估计的评价标准点估计是统计学中的一个重要概念,它是指通过样本数据估计总体参数的值。

在实际应用中,我们经常需要对总体参数进行估计,以便做出合理的决策。

而如何评价点估计的好坏,是统计学中的一个关键问题。

本文将从准确性、一致性、有效性等方面,对点估计的评价标准进行探讨。

首先,我们来谈谈点估计的准确性。

准确性是评价一个点估计方法好坏的重要标准。

一个好的点估计方法应该能够尽可能接近真实的总体参数值。

在评价准确性时,我们通常使用均方误差、偏差、方差等指标来进行评估。

均方误差是指估计值与真实值之间的平方差的期望值,偏差是指估计值与真实值之间的差值的期望值,方差则是用来衡量估计值的离散程度。

因此,一个准确的点估计方法应该具有较小的均方误差、偏差和方差。

其次,我们来谈谈点估计的一致性。

一致性是指当样本容量趋于无穷大时,点估计值趋于总体参数值的性质。

在评价一致性时,我们通常使用渐进性、相合性等指标来进行评估。

渐进性是指当样本容量趋于无穷大时,点估计值以概率1收敛于总体参数值,相合性则是指当样本容量趋于无穷大时,点估计值以概率收敛于总体参数值。

因此,一个一致的点估计方法应该具有较强的渐进性和相合性。

最后,我们来谈谈点估计的有效性。

有效性是指在所有可能的估计方法中,具有最小的方差的性质。

在评价有效性时,我们通常使用克拉美洛-拉奇下界等指标来进行评估。

克拉美洛-拉奇下界是指在所有无偏估计中,方差最小的下界。

因此,一个有效的点估计方法应该具有较小的方差。

综上所述,点估计的评价标准包括准确性、一致性和有效性。

一个好的点估计方法应该在这三个方面都具有较好的性能。

在实际应用中,我们需要根据具体的问题和数据特点,选择合适的点估计方法,并通过准确性、一致性和有效性等指标对其进行评价,以便得到合理的估计结果。

希望本文对点估计的评价标准有所帮助。

(完整版)《概率论与数理统计》讲义

(完整版)《概率论与数理统计》讲义

第一章 随机事件和概率 第一节 基本概念1、排列组合初步(1)排列组合公式)!(!n m m P n m -= 从m 个人中挑出n 个人进行排列的可能数。

)!(!!n m n m C n m -=从m 个人中挑出n 个人进行组合的可能数。

例1.1:方程xx x C C C 76510711=-的解是 A . 4 B . 3 C . 2 D . 1例1.2:有5个队伍参加了甲A 联赛,两两之间进行循环赛两场,试问总共的场次是多少?(2)加法原理(两种方法均能完成此事):m+n某件事由两种方法来完成,第一种方法可由m 种方法完成,第二种方法可由n 种方法来完成,则这件事可由m+n 种方法来完成。

(3)乘法原理(两个步骤分别不能完成这件事):m ×n某件事由两个步骤来完成,第一个步骤可由m 种方法完成,第二个步骤可由n 种方法来完成,则这件事可由m ×n 种方法来完成。

例1.3:从5位男同学和4位女同学中选出4位参加一个座谈会,要求与会成员中既有男同学又有女同学,有几种不同的选法?例1.4:6张同排连号的电影票,分给3名男生和3名女生,如欲男女相间而坐,则不同的分法数为多少?例1.5:用五种不同的颜色涂在右图中四个区域里,每一区域涂上一种颜色,且相邻区域的颜色必须不同,则共有不同的涂法A.120种B.140种 C.160种D.180种(4)一些常见排列①特殊排列②相邻③彼此隔开④顺序一定和不可分辨例1.6:晚会上有5个不同的唱歌节目和3个不同的舞蹈节目,问:分别按以下要求各可排出几种不同的节目单?①3个舞蹈节目排在一起;②3个舞蹈节目彼此隔开;③3个舞蹈节目先后顺序一定。

例1.7:4幅大小不同的画,要求两幅最大的排在一起,问有多少种排法?例1.8:5辆车排成1排,1辆黄色,1辆蓝色,3辆红色,且3辆红车不可分辨,问有多少种排法?①重复排列和非重复排列(有序)例1.9:5封不同的信,有6个信箱可供投递,共有多少种投信的方法?②对立事件例1.10:七人并坐,甲不坐首位,乙不坐末位,有几种不同的坐法?例1.11:15人中取5人,有3个不能都取,有多少种取法?例1.12:有4对人,组成一个3人小组,不能从任意一对中取2个,问有多少种可能性?③ 顺序问题例1.13:3白球,2黑球,先后取2球,放回,2白的种数?(有序) 例1.14:3白球,2黑球,先后取2球,不放回,2白的种数?(有序) 例1.15:3白球,2黑球,任取2球,2白的种数?(无序)2、随机试验、随机事件及其运算(1)随机试验和随机事件如果一个试验在相同条件下可以重复进行,而每次试验的可能结果不止一个,但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果,则称这种试验为随机试验。

概率论与数理统计PDF版课件7-2

概率论与数理统计PDF版课件7-2
即有%的概率包含的真实值. 这就是置信水平 − =
. 的一个合理解释. 但注意,并不要求包含真实值的区
间正好%,只要是大约%就是合理地,比如也可以.
第七章参数估计 §7.2 区间估计
求置信区间的步骤
෡=
෡ , ⋯ , ,
(1)找一个与未知参数有关的统计量
11 0.248

3.816
第七章参数估计 §7.2 区间估计
注1 上述求解或 的置信区间时,我们选取的点估计
都是矩估计量或者最大似然估计量. 事实上,我们也可以用
贝叶斯估计量来构造置信区间.详细内容参考本章“重要补
充及扩展问题”的第五节(见教材P220)
注2 上述利用枢轴量进行区间估计的时候都要求总体服
从正态分布. 但实际中,我们考虑的总体经常不服从正态分
布. 这种情况下的区间估计采用的是大样本区间估计. 详细
内容参考本章“重要补充及扩展问题”的第六节(见教材
P220)
第七章参数估计 §7.2 区间估计
三、两个正态总体的区间估计
设 , ⋯ , 为来自正态总体 ∼ , 的简单随机
1. 当 和 已知时,求 − 的置信区间
ഥ−
ഥ 作为总体均值差 − 的点估计;
(1)选取样本均值差
X − Y − ( 1 − 2 )
(2)构造枢轴量
~ N ( 0,1) ;
2
2
(
)
1
n1
(3)选取 = − = Τ ;
+
2
n2
(4) − 的 − 的置信区间
.
n
n
2
2
第七章参数估计 §7.2 区间估计
例3( 见教材P213) 假设 轮胎的寿 命服从正 态分布

概率论与数理统计ppt课件

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称这种试验为等可能概型(或古典概型)。
*
例1:一袋中有8个球,其中3个为红球,5个为黄球,设摸到每一球的可能性相等,从袋中不放回摸两球, 记A={恰是一红一黄},求P(A). 解:
(注:当L>m或L<0时,记 )
例2:有N件产品,其中D件是次品,从中不放 回的取n件, 记Ak={恰有k件次品},求P(Ak). 解:
*
第四章 随机变量的数字特征 4.1 数学期望 4.2 方差 4.3 协方差及相关系数 4.4 矩、协方差矩阵 第五章 大数定律和中心极限定理 5.1 大数定律 5.2 中心极限定理 第六章 数理统计的基本概念 6.1 总体和样本 6.2 常用的分布
*
第七章 参数估计 7.1 参数的点估计 7.2 估计量的评选标准 7.3 区间估计 第八章 假设检验 8.1 假设检验 8.2 正态总体均值的假设检验 8.3 正态总体方差的假设检验 8.4 置信区间与假设检验之间的关系 8.5 样本容量的选取 8.6 分布拟合检验 8.7 秩和检验 第九章 方差分析及回归分析 9.1 单因素试验的方差分析 9.2 双因素试验的方差分析 9.3 一元线性回归 9.4 多元线性回归
解: 设 Ai={ 这人第i次通过考核 },i=1,2,3 A={ 这人通过考核 },
亦可:
*
例:从52张牌中任取2张,采用(1)放回抽样,(2)不放 回抽样,求恰是“一红一黑”的概率。
利用乘法公式
与 不相容
(1)若为放回抽样:
(2)若为不放回抽样:
解: 设 Ai={第i次取到红牌},i=1,2 B={取2张恰是一红一黑}



1 2 N


1 2 N
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《概率论与数理统计》课件第七章 参数估计

《概率论与数理统计》课件第七章 参数估计
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03
若存在, 是否惟一?
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1
2
3
4
5
6
对于同一个未知参数,不同的方法得到的估计量可能不同,于是提出问题
应该选用哪一种估计量? 用何标准来评价一个估计量的好坏?
常用标准
(1)无偏性
(3)一致性
(2)有效性
7.2 估计量的评选标准
无偏性
一致性
有效性
一 、无偏性
定义1 设 是未知参数θ的估计量
09
则称 有效.
10

11
例4 设 X1, X2, …, Xn 是X 的一个样本,
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问那个估计量最有效?
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解 ⑴
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由于
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验证
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都是
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的无偏估计.
都是总体均值
的无偏估计量.

D
C
A
B
因为
所以
更有效.
例5 设总体 X 的概率密度为
关于一致性的两个常用结论
1. 样本 k 阶矩是总体 k 阶矩的一致性估计量.
是 的一致估计量.
由大数定律证明
用切比雪夫不 等式证明
似然函数为
其中
解得参数θ和μ的矩估计量为
2

3

1

6
,故
5
,表明L是μ的严格递增函数,又
4
第二个似然方程求不出θ的估计值,观察
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所以当
01
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从而参数θ和μ的最大似然估计值分别为
03
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时L 取到最大值
02
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概率论与数理统计 第7章参数估计习题及答案

概率论与数理统计   第7章参数估计习题及答案

第7章参数估计----点估计一、填空题1、设总体X服从二项分布B(N,p),,是其一个样本,那么矩估计量pN其中未知参数是X的样本,B(1,p),2、设总体X~则p的矩估计为,样本的似然函数为。

3、设是来自总体的样本,则有关于及的似然函数。

二、计算题1、设总体X具有分布密度,其中是未知参数,为一个样本,试求参数的矩估计和极大似然估计.解:因令为的矩估计因似然函数L(x1,x,由得,的极大似量估计量为αn、设总体X服从指数分布,是来自X的样本,(1)0,其他求未知参数的矩估计;(2)求的极大似然估计.56解:(1)由于,令1,故的矩估计为(2)似然函数dlnLnn故的极大似然估计仍为。

223、设总体,为取自X的一组简单随机样本,求的极大似然估计;[解] (1)似然函数于是,,得的极大似然估计:令4、设总体X服从泊松分布为取自X的一组简单随机样本, (1)求未知参数的矩估计;(2)求的极大似然估计.,此为的矩估计。

解:(1)令(2)似然函数nn故的极大似然估计仍为。

第七章参数估计----点估计的评价标准一、填空题1、设X1,X2,X3是取自总体X的一个样本,则下面三个均值估计量都是总体5ˆ2. 均值的无偏估计,则2、设是取自总体的样本,则可以作为的无偏估计量是( A ).1n2A、、、、二、计算题1n1、设为从一总体中抽出的一组样本,总体均值已知,用去估计总体方差,它是否是的无偏估计,应如何修改,才能成为无偏估计. 22解:因不是的无偏估计1n22但是的无偏估计2、设是来自总体的一个样本,若使偏估计,求常数C的值。

解:为的无58第七章参数估计----区间估计一、选择题1、设总体,未知,设总体均值的置信度的置信区间长度l,那么l与a的关系为( A ).A、a增大,l减小C、a增大,l不变B、a增大,l增大D、a与l关系不确定222、设总体,且已知,现在以置信度估计总体均值,下列做法中一定能使估计更精确的是( C ).A、提高置信度,增加样本容量C、降低置信度,增加样本容量B、提高置信度,减少样本容量D、降低置信度,减少样本容量二、计算题1、设总体,当样本容量时,测得,求未知参数的置信度为0.95的置信区间.解:的置信区间为222的置信区间为(4.412,5.588)。

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i =1 i =1
2
n
n
利用柯西不等式
n 2 i n 2
n 2 2 ai bi ai bi i =1 i =1 i =1 n n
n 2

c ˆ1 ) ˆ) ci2 var( = Var ( n n i =1
例1
x 1 - e X ~ f ( x; ) = 0
x 0, x0
0 为常数
则 X 是 的相合估计。
证明: 经过简单计算可得
E X = , Var ( X ) =
2
n
.
于是
lim D( X ) = lim n
n

2
n
=0
所以 X 是 的相合估计量,证毕。
特别地,
样本均值 X 是总体期望 E( X ) 的无偏估计量
1 n 2 样本二阶原点矩 A2 = X i 是总体二阶 n i =1
原点矩 2 = E ( X 2 ) 的无偏估计量。
例2 设总体 X 的期望 E( X )与方差 D( X )存在,
( X 1 , X 2 ,L, X n ) 是 X 的一个样本, n > 1,证明:
所以 E ( X h ) = x
0

nx n-1

n
dx
n = , n1
n1 故有 E Xh = , n
n 故 max( X 1 , X 2 ,L, X n ) 也是 的无偏估计量. n1
有效性
定义 设
ˆ = ( X , X ,L, X ) 1 1 1 2 n
ˆ = ( X , X ,L, X ) 2 2 1 2 n
都是总体参数 的无偏估计量,
ˆ ) Var( ˆ) Var( 1 2
且至少有一个 使得上述不等号严格成立,
则称 ˆ1 比 ˆ2 更有效。
例1
设( X 1 , X 2 ,L, X n ) 为 X 的一个样本,密度函数为
证明: 不论 X 服从什么分布, 是 k 的无偏估计量。
1 n k Ak = X i n i =1

由于 E( X i ) = k i = 1,2, L, n 因而
k
1 n k 1 n E ( Ak ) = E ( X i ) = E ( X ik ) n i =1 n i =1
1 = n k = k n
n -1 2 = n
2
1 n 2 2 E ( X X ) = 故 证毕。 i n - 1 i =1
例3 设总体 X 的密度函数为
x 1 - e f ( x ; ) = 0
x 0, x0
0 为常数
( X 1 , X 2 ,L, X n )
2
所以, X 比
n min{X1, X 2 ,L, X n } 更有效。
例2 设总体期望为 E( X )= , 方差 D( X )= 2
( X 1 , X 2 ,L, X n ) 为总体X 的一个样本。
(1)设常数 证明 (2) 证明
1 ci i = 1,2, L, n. n
n
c
i =1

因为 E ( 2 X ) = 2 E ( X ) = 2 E ( X ) = 2

2
=,
所以 2 X 是 的无偏估计量.
因为 X h = max( X1 , X 2 ,L, X n )的概率密度为
nx n-1 n , 0 x , f ( x) = 其他 0,
= 1 - P( X1 z) P( X 2 z)LP( X n z)
0 nz = 1 - ( P( X i z )) = i =1 1 e
n
z0 z0
0 f Z ( z ) = n - nz e
z0 z0
n 即 Z ~ E
n 1 = n 1 D X , ˆ D( 2 ) = D Xh h n n
n1 又因为 E ( X h ) = , n
2
E( X h ) =
2

n
0

n
x
n 1
n dx = 2, n2
D( X h ) = E ( X h ) - [ E ( X h )]2
§6.2
点估计的评价标准
对于同一个未知参数, 不同的方法得 到的估计量可能不同,于是提出问题 应该选用哪一种估计量?
用什么标准来评价一个估计量的好坏? (1) 相合性
常用 标准 (2) 无偏性 (3) 有效性
相合性
定义
设ˆ = ˆ( X 1 , X 2 , L , X n ) 是总体参数 的 估计量。若对于任意的 ,当n 时,
ˆ ( X , X ,L, X ) = 1 2 n
ˆ) 存在, 且对于任意 E (

Θ 都有
ˆ) = E (
则称 ˆ 是 的无偏估计量,否则称为有偏估计。
例1
k = E ( X ) 存在 设总体X 的 k 阶矩 k
( X 1 , X 2 ,L, X n ) 是总体X 的样本,
为 X 的一个样本。
证明
X 与 n min{X 1 , X 2 ,L, X n }都是 的无偏
估计量,
1 证 X ~ E
E( X ) =
E( X ) = E( X ) =

X 是 的无偏估计量。
令 Z = min{X 1 , X 2 , L, X n }
FZ ( z) = 1 - P( X1 z, X 2 z,L, X n z)
2
n 2 = , 2 ( n 1) ( n 2) ˆ2 ) = 故 D( 1 2, n( n 2)
ˆ2 ) D( ˆ1 ), ˆ2 较 ˆ1 有效. 又n 2, 所以 D(
均方误差
对于两个无偏估计,我们可以通过比较它们的 方差来比较哪个更好,但对有偏估计来讲,比较 方差意义不大,我们关心的是估计值围绕真值波
由大数定律知,
1 n 2 A2 = X i 依概率收敛于E ( X 2 ), n i =1 1 n X = X i 依概率收敛于E ( X ), n i =1
故 B2 = A2 - X 2 依概率收敛于E ( X 2 ) - [ E ( X )]2 = 2 , 所以 B2 是 2 的相合估计量 .
在一定条件下, 极大似然估计具有相合性
定理 1
n = n ( X , X ,..., X ) 为 设 1 2 n
的一个估计量。 如果
ˆ ) = , lim var( ˆ ) = 0, lim E ( n n
n n
n = n ( X , X ,..., X ) 为 的相合估计。 则 1 2 n
2
E( X i ) = E( X ) = , D( X i ) = D( X ) =
E ( X ) = E ( X ) = , D( X ) =
2

2
n
因而
n n 1 1 2 2 2 E ( X i - X ) = E ( X i ) - E ( X ) n i =1 n i =1 2 2 2 2 = ( ) - ( ) n
例5 设一个试验有三种可能结果,其发生概率
分别是 p1 = 2 , p2 = 2 (1 - ), p3 = (1 - )2, 现做了
n次试验,观测到三种结果发生的次数分别为n1, n2,n3,可以采用频率替换方法估计θ。由于可 以有三个不同的θ的表达式:
= p1 , = 1 - p3 , = p1 p2 / 2
n 1 (1) S n2 = ( X i - X ) 2不是 D( X ) 的无偏估计量; n i =1
1 n 2 (2) S = 是 D( X ) 的无偏估计量。 ( X X ) i n - 1 i =1 n 1 n 1 2 2 2 ( X X ) = X X 证 前已证 i i n i =1 n i =1
结论
算术均值比加权均值更有效.
例如 X ~ N( , 2 ) , ( X 1 ,X 2 ) 是一样本。
2 1 X1 X 2 3 3 1 3 ˆ2 = X1 X 2 4 4 1 1 ˆ3 = X1 X 2 2 2 ˆ1 =
都是 的无偏估计量
ˆ 3 最有效。 由例2 (2) 知
1 n 所以 X = X i 是 的相合估计量. n i =1
n 1 1 n 2 2 2 又 B2 = ( X i - X ) = ( X i - 2 X i X X ) n i =1 n i =1
1 n 2 = X i - X 2 = A2 - X 2 , n i =1
( A2是样本二阶原点矩 )
ˆ 依概率收敛于 , 即 0,
ˆ - ) ) = 0 lim P (
n
则称
ˆ 是总体参数 的相合估计量。
相合估计量仅在样本容量n 足够大,才显 示其优越性。
关于相合性的常用结论
样本 k 阶矩是总体 k 阶矩的相合估计。 由大数定律证明
矩法得到的估计量一般为相合估计量
E (Z ) =

n
E (nZ ) =
故nZ 是 的无偏估计量。
例4
设总体 X 在 [0, ]上服从均匀分布 , 参数 0,
X 1 , X 2 ,L, X n 是来自总体X 的样本,试证明 2X 和 n 1 max(X 1 , X 2 ,L, X n ) 都是 的无偏估计 . n
从而可以给出θ的三种不同的频率替换估计,分 别是
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