ch8 应力应变状态分析(3rd)
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第八章 应力、应变状态分析
8-2 已知应力状态如图所示（应力单位为MPa ），试用解析法计算图中指定截面的正
应力与切应力。
题8-2图
(a)解：由题图所示应力状态可知，
45MPa 20MPa 10MPa 30=-===αηζζx y x ，，，
将上列数据代入平面应力状态斜截面应力公式，得
MPa
0.10)MPa 90sin 2
1030( MPa 0.40)MPa 90sin 202
10
30(
=-==++=
ααηζ
(b)解：由题图所示应力状态可知，
5.22MPa 20MPa 10MPa 30===-=αηζζx y x ，，，
由此可得指定斜截面上的正应力和切应力分别为
)MPa cos4520sin452
1030( MPa 3.38)MPa sin4520cos452
10
3021030(
=+--=-=---++-=
ααηζ
(c)解：由题图所示应力状态可知，
60MPa 15MPa 20MPa 10-==-==αηζζx y x ，，，
由此可得指定斜截面上的正应力和切应力分别为
MPa
5.20)]MPa 120cos(15)120sin(2
2010[ MPa 490.0)]MPa 120sin(15)120cos(2
20
1022010[
-=-+-+==---++-=
ααηζ
8-3 试用图解法（应力圆）解题8-1。
解：题8-1图所示应力状态的应力圆如图8-3所示。
图8-3
由图a 可以量得指定截面上的正应力和切应力分别为
MPa 0.15MPa 0.104545=== ηηζζαα，＝
由图b 可以量得指定截面上的正应力和切应力分别为
MPa 3.7MPa 3.473030-===-- ηηζζαα，＝
8-6 图示双向拉伸应力状态，应力σσσ
==y x
。试证明任意斜截面上的正应力均等
于σ，而切应力则为零。
题8-6图
证明：由题设条件可知，
0===x y x ηζζζ，
将上述数据代入平面应力状态斜截面应力公式，则有
02sin 2
02cos 2
2=+-==--++=
αζ
ζηζαζ
ζζζζαα
由于式中α为任意值，故原命题得证。
8-7 已知某点A 处截面AB 与AC 的应力如图所示（应力单位为MPa ），试用图解法
求主应力的大小及所在截面的方位。
题8-7图
解：根据题图所给应力，画应力圆如图8-7所示。
图8-7
从所画的应力圆上可以量得两个主应力，它们是：
MPa 9.9 MPa 7.6921==ζζ，
由于是平面应力状态，故知
03=ζ
从该应力圆上还可以量得1ζ的方位角为
7.230-=α
式中负号表示从AB 面的外法线沿顺时针方向旋转。
8-9 图示悬臂梁，承受载荷F = 20kN 作用，试绘微体A ，B 与C 的应力图，并确定
主应力的大小及方位。
题8-9图
解：由题图可知，指定截面的剪力与弯矩分别为
m 20kN m kN 120|| kN 20s ⋅=⋅⨯====Fa M F F ，
微体A ，B 和C 的应力状态依次如图8-9 a,b 和c 所示。
图8-9
对于图a 所示应力状态，其正应力为
MPa 0.60Pa 1000.6m
200.0050.0N 10206||72
23=⨯=⨯⨯⨯==z A W M ζ 由此可知，主应力各为
0 MPa,0.60321===ζζζ
1ζ的方位角为
00=α
对于图b 所示应力状态，其正应力和切应力分别为
MPa
25.2Pa 1025.20.050m 200.0050.0N 075.0050.0050.0102012)(MPa 0.30Pa 1000.3m 200.0050.0N
050.0102012|||| 6
2
33S 72
33=⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯===⨯=⨯⨯⨯⨯==b I ωS F ηI y M ζz z B z B B
极值应力为
MPa 1678.02.30MPa ]25.20.150.15[)2(22
222min max ⎩
⎨
⎧-=+±=+±=⎭⎬⎫B B B ηζζζζ 由此可知，主应力为
MPa 167800 MPa 2.30321.ζζζ-===，，
由
07458.01678
.00.3025
.2tan min 0-=+-=--
=ζζηαx x
得1ζ的方位角为
27.40-=α
对于图c 应力状态，其切应力为
MPa 00.3Pa 1000.3m
200.0050.02N 102032362
3S =⨯=⨯⨯⨯⨯==A F ηC 由此得各主应力依次为
MPa 00.30MPa 00.3321-===ζζζ，，
1ζ的方位角为
450-=α
8-12(c) 试画图a 所示应力状态的三向应力圆，并求主应力、最大正应力与最大