ch8 应力应变状态分析(3rd)
材料力学课件-第八章-应力应变状态分析
（3）任意斜截面的应力 与三向应力圆对应关系
n 1 cos2 2 cos2 3 cos2
2
n
1
3
n
n
12
cos2
22
cos2
2 3
cos2
2 n
•A
结论：任意斜截面的应力值 位于三向应力圆的阴影区内
3
2
o
1
Page29
BUAA
MECHANICS OF MATERIALS
二. 最大与最小应力 最大与最小正应力
Page1
BUAA
MECHANICS OF MATERIALS
§8-1 引言
关于应力：
两个特点： • 同一横截面上，不同点处的应力一般不同 • 过同一点，不同方位截面上的应力一般不同
一个概念：应力状态
通过构件内部一点所作的任一平面在该点的应力状况 称为该点的一个应力状态。
一个问题：一个点的各应力状态之间存在怎样的联系？是否 可能由已知的若干个应力状态推知到其它所有应力状态？
Page2
BUAA
关于微体：
MECHANICS OF MATERIALS
围绕杆件内某点所截取的一个边长无限小的长方体；
每个面上的应力分布差异可忽略，认为其均匀分布；
微体相对的两个面上的应力视为过该点的、法向相反的两个 平面在该点的应力，等值、反向 ；
微体三个相邻表面上的应力分别代表了过该点的、互相垂 直的三个平面在该点的应力状况；
§8-3 应力圆
一、应力圆
应力转轴公式
x
2
y
x
2
y
cos2
xsin2
x
2
y
sin2
材料力学：第八章-应力应变状态分析
t
C OE
s 2 , 0
s 1 , 0
D
C
sO
E
s 2 , 0
s 1 , 0
D
s
结论：所画圆确为所求应力圆
应力圆的绘制与应用4
应力圆的绘制
已知 sx , tx , sy ,
画相应应力圆
先确定D, E两点位置, 过此二点画圆即为应力圆
Ds x ,t x , E s y ,t y
证： 1. 据纯剪切斜截面应变公式求e45。
2. 据广义胡克定律求 e45。
纯剪切时主应力在45度方向,
3. 比较
例 8-3 边长 a =10 mm 正方形钢块，置槽形刚体内， F = 8 kN，
m 0.3，求钢块的主应力
解：
因二者均为压应力, 故
§8 电测应力与应变花
应力分析电测方法 应变花
已知 sa , ta , sa+90 , ta +90 ,画应力圆
应力圆绘制 先确定D, E两点位置, 过此二点画圆即为应力圆
ta+90 sa+90
t
sa ,ta
D
t
sa ,ta
D
sa
ta
O
C
sO
E
sa+90 ,ta+90
C
s
E
sa+90 ,ta+90
应力圆的绘制方法(3): 由主应力画应力圆
适用范围： 各向同性材料，线弹性范围内
主应力与主应变的关系
主应变与主应力的方位重合 最大、最小主应变分别发生在最大、最小主应力方位
最大拉应变发生在最大拉应力方位 如果 s1 0，且因 m < 1/2，则
第九章应力应变状态分析
y
n
(c)
围绕C点，用横截面、径向截面和周向截面，截 取单元体如图c所示。图中，y 0,30o 。
63.7M Pa063.7M Pa0cos230
30
2
2
35.7M Pasin230＝ 16.9M Pa
6 3 . 7 M P a 0 s i n 2 3 0 3 5 . 7 M P a c o s 2 3 0 ＝ 4 5 . 4 M P a
（9-5）右端的负号放在分子上，是和 2 0 为负值一致的，因
为 x 0 ，x y 0 ，所以（8-5）右端的分子为负，分母为正。2 0 为第四象限角即为负锐角。在应用（8-5）式时，必须根据该式右
端分子和分母的正、负号，来确定 2 0 为第几象限角。
例9-3 求C偏左横截面上a、b两点的主应力大小及主平面方
。利用应力圆求解。
y
Me
y
F
dc
F
Me
(a)
x = 6 3 .7 M P a ， x = － 3 5 .7 M P a
x x
x x
30
30
x
30
y
n
解：1.选取比例尺如图,由x 63.7MPa
(c)
x 35.7MPa确定Dx点；由 y 0
Dy 0,35.7
y 35.7MPa 确定Dy点。连接Dx和Dy，
零，其对应的正应力为主应
力， 1O A 1,2O A 2,30。 (a)
2
x x x 0
1
A2
O 2
2 0
B2 C
Dy 1
(b)
Dx
A1
B1
A1 和 A2位于应力圆同一直径的两端，因而在单元体上这两个主应
第八章 应力应变状态分析
o
C
(σ x + σ y ) / 2
σ
半径为
Rσ = (
σ x −σ y
2
2 )2 + τ x
目录
应力圆（图解法） §8.3 应力圆（图解法）
二.应力圆的绘制与应用
σy σα τα σy τy
n
τ
σα τα
H(任意斜截面α) D（x截面对应）
τx
τx
t
-τ x
σx
α
2α
C
σx
τx=τy DF=EG
将第一式移项后两边平方与第二式两边平方相加
σ x +σ y
σ x −σ y
(σ α −
σ x +σ y
2
) =(
2
σ x −σ y
2
cos 2α − τ x sin 2α ) 2
τα = (
2
σ x −σ y
2
sin 2α + τ x cos 2α ) 2
目录
应力圆（图解法） §8.3 应力圆（图解法）
τ max σ x −σ y 2 2 = ±CK = ± ( ) +τ x τ min 2
所在截面互相垂直，并与正应力极值截面呈45 °夹角。
目录
§8.4 极值应力与主应力
二.主应力
由图可知，正应力极值所在截面的切应力为零。 ab，bc，cd，da 均为主平面。 微体的前、后 两面不受力， 切应力也为零。 主平面：切应力为零的截面。 主平面微体：三对互相垂直的主平面所构成的微体。
三.纯剪切状态的最大应力与圆轴扭转破坏分析
σ 3 = −τ
τ τ A(0，τ)
−45
材料力学(单辉祖)第八章应力应变状态分析
sin 2α )
= σ x + σ y + CAcos 2α − DAsin 2α
2
=
σx
+σy
2
+
σx
−σy
2
cos 2α
−τx
sin 2α
= σα
34
图解法
EF = CE sin( 2α + 2α0 )
= CD(cos 2α0 sin 2α + sin 2α0 cos 2α )
=
σ
x
−σ
2
y
sin
x
25
Example
y
x
σ x = σ = −70 MPa, σ y = 0, τ x = 50 MPa
¾ σmax σmin位置 大靠大： σmax 方向与σx ，σy中代数值
较大的一个靠得近些（夹角<450）
顺τ转： σx ，σy中代数值较大应力顺所 在截面剪应力方向转一些就是σmax 方向
26
+τ
2 x
21
解析法
z 切应力极值
dτ α dα
= (σ x − σ y ) cos 2α − 2τ x sin 2α
=0
得
tan
2α1
=
σ
x −σ 2τ x
y
由上式仍可确定两个相互垂直平面，在其
上面分别作用有最大和最小切应力
τ τ
max min
⎫ ⎬ ⎭
=
±
⎛⎜⎜⎝
σ
x
−σ
2
y
⎟⎟⎞⎠2
+τ
2 x
dAaf dAae dAef为单元侧面积和斜截面面积 注意到
应力和应变状态分析PPT课件
0.469MPa
第7页/共62页
C 1.04MPa(压) C 0.469MPa
⑶ 作出点的应力状态图
x 1.04MPa y 0 xy 0.469MPa
40o
x
y
2
x
2
y
cos 2
xy
sin 2
1.04 1.04 cos 80o 0.469 sin 80o
2
2
1.07MPa
0
tan 20
2 xy x
y
代入平面应力状态下任意斜截面上应力表达式
max min
x
y
2
(
x
2
y
)2
2 xy
第9页/共62页
x
2
y
sin
20
xy
cos 20
0
0 0
σmax 、σmin 作用面上τ = 0，即α0截面为主平面， σmax、σmin为主应力。
max min
x
y
2
(
x
2
CE sin20 cos 2 CE cos 20 sin2
(CDsin20)cos 2 (CDcos 20)sin2
x
2
y
sin 2
xy
cos 2
第23页/共62页
2. 确定主应力的大小及主平面的方位 A1、B1点对应的横坐标分别表示对应主平面上的主应力。
⑴ A1、B1点对应正应力的极值
x
y
2
x
y
2
cos 2
xy sin 2
63.7 63.7 cos 240o (76.4) sin 240o 22
50.3MPa
x
工程力学-材料力学之应力应变状态分析PPT(共 56张)
2
a2
1
3
a1
a3
V1=a1(1+·a2(1+2 ·a3(1+3
7
应力应变状态分析(Analysis of stress-state and strain-state)
体积应变（Volumetric strain）为
V1 V
V
a1(1 ε1 ) a2(1 ε2 ) a3(1 ε3 ) a1 a2 a3 a1 a2 a3
二、各向同性材料的体积应变（The volumetric strain for isotropic materials)
构件每单位体积的体积变化, 称为体积应变用θ表示.
各向同性材料在三向应力状态下的体应变
如图所示的单元体，三个边长为 a1 , a2 , a3 变形后的边长分别为
a1(1+，a2(1+2 ，a3(1+3
2、各向同性材料的广义胡克定律 (Generalized Hooke’s law for isotropic materials)
用叠加原理，分别计算出 x , y , z 分别单独存在时, x ，y， z方向的线应变 x , y， z，然后代数相加.
x 方向的线应变
σ x 单独存在时 σ y单独存在时
应力应变状态分析(Analysis of stress-state and strain-state)
§7-6 广义虎克定律
(Generalized Hooke’s law )
一、各向同性材料的广义胡克定律 (Generalized Hooke’s law for isotropic materials)
εx
ch8 应力应变状态分析(3rd).
第八章应力、应变状态分析8-2已知应力状态如图所示（应力单位为MPa），试用解析法计算图中指定截面的正应力与切应力。
题8-2图(a)解：由题图所示应力状态可知，45MPa20MPa10MPa30=-===ατσσxyx，，，将上列数据代入平面应力状态斜截面应力公式，得MPa0.10)MPa90sin21030(MPa0.40)MPa90sin2021030(=-==++=αατσ(b)解：由题图所示应力状态可知，5.22MPa20MPa10MPa30===-=ατσσxyx，，，由此可得指定斜截面上的正应力和切应力分别为)MPacos4520sin4521030(MPa3.38)MPasin4520cos452103021030(=+--=-=---++-=αατσ(c)解：由题图所示应力状态可知，60MPa15MPa20MPa10-==-==ατσσxyx，，，由此可得指定斜截面上的正应力和切应力分别为MPa5.20)]MPa120cos(15)120sin(22010[MPa490.0)]MPa120sin(15)120cos(2201022010[-=-+-+==---++-=αατσ8-3试用图解法（应力圆）解题8-1。
解：题8-1图所示应力状态的应力圆如图8-3所示。
图8-3由图a可以量得指定截面上的正应力和切应力分别为MPa0.15MPa0.104545===ττσσαα，＝由图b可以量得指定截面上的正应力和切应力分别为MPa3.7MPa3.473030-===--ττσσαα，＝8-6图示双向拉伸应力状态，应力σσσ==yx。
试证明任意斜截面上的正应力均等于σ，而切应力则为零。
题8-6图证明：由题设条件可知，===xyxτσσσ，将上述数据代入平面应力状态斜截面应力公式，则有2sin22cos22=+-==--++=ασστσασσσσσαα由于式中α为任意值，故原命题得证。
8-7已知某点A处截面AB与AC的应力如图所示（应力单位为MPa），试用图解法求主应力的大小及所在截面的方位。
ch10 组合变形(3rd)
第十章 组合变形10-2 图a 所示板件，b =20mm ，δ=5mm ，载荷F = 12 kN ，许用应力[σ] = 100 MPa ，试求板边切口的允许深度x 。
题10-2图解：在切口处切取左半段为研究对象（图b ），该处横截面上的轴力与弯矩分别为F F =N)(a b F M -= (a)显然，222xb x b a -=-=(b)将式(b)代入式(a)，得2FxM =切口段处于弯拉组合受力状态，该处横截面上的最大拉应力为22N max 432)(26 22a Fxa F a Fx a F W M A F δδδδσ+=+=+=根据强度要求，在极限情况下，][4322σδδ=+a Fx a F 将式(b)与相关数据代入上式，得01039.61277.042=⨯+--x x由此得切口的允许深度为m m 20.5=x10-3 图示矩形截面钢杆，用应变片测得上、下表面的纵向正应变分别为aε=1.0×10-3与b ε=0.4×10-3，材料的弹性模量E =210GPa 。
试绘横截面上的正应力分布图，并求拉力F 及其偏心距e 的数值。
题10-3图解：1.求a σ和b σ截面的上、下边缘处均处于单向受力状态，故有MPa84Pa 104.010210 MPa 210Pa 100.1102103939=⨯⨯⨯===⨯⨯⨯==--b b a a E εσE εσ偏心拉伸问题，正应力沿截面高度线性变化，据此即可绘出横截面上的正应力分布图，如图10-3所示。
图10-32．求F 和e将F 平移至杆轴线，得 Fe M F F ==，N于是有a za E εW Fe A F σ=+=b zb E εW FeA F σ=-=代入相关数据后，上述方程分别成为 26250240=+Fe F 10500240=-Fe F 经联立求解，于是得mm 786.1m 10786.1kN 38.18N 183753=⨯=≈=-e F ，10-6 图示直径为d 的圆截面铸铁杆，承受偏心距为e 的载荷F 作用。
第八章3应力应变状态分析ppt课件
t x -60MPa, = 30
x
+x 2
+ 2
y+y
+x
-
2
x
y-2cosy2co-st2x si-n
t2x
sin
2
11020M2MPaPa
tt
x
- xy
2
-sin2y
2
+stinx
c2os 2+
t
2x2c.0oMsP2a
22.0MPa
max min
max
min
x
x++
y
y
22
x -x
x - 2t x
y
1、 1 + 90, 它们确定两个互相垂直的
平面，分别作用着最大和最小剪应力
t max
t min
x
-
2
y
2
+
t
2 x
由：
tan 2 0
-
2t x x -
y
tan 2 1
x - 2t x
y
tan 2 1
-1
tan 2 0
-ctg 2 0
2 1 2 0 + 90 即 1 0 + 45
Ft 0
x
t
t xy A
t yx
y
法向的平衡
A
Fn 0
A cos
A sin
A
-
( A cos) cos
x
+t
x
xy(
A
cos) sin
+tyx ( A sin) cos
t xy
- ( A sin) sin 0
材料力学：ch8 应力应变状态分析
泊松比 = 0.33。试求板厚的改变量 与板件的体积改变量 V 。
题 8-16 图
6
解：此为平面应力状态问题。设板厚度方向的正应变为 εz ，则有
εz
μ E
(σ x
σ
y
)
板厚的改变量为
Δδ
z
E
(σ x
σy
0.33 0.010 70 109
(80
40) 106 m
1.886 106 m 0.001886mm
σ1 69.7MPa， σ2 9.9MPa 由于是平面应力状态，故知
σ3 0 从该应力圆上还可以量得 σ1 的方位角为
α0 23.7 式中负号表示从 AB 面的外法线沿顺时针方向旋转。
8-9 图示悬臂梁，承受载荷F = 20kN作用，试绘微体A，B与C的应力图，并确定主应
力的大小及方位。
题 8-9 图 解：由题图可知，指定截面的剪力与弯矩分别为
)
51.7
MPa
7
60
100 80 2
100 2
80
cos(120
)
50
sin(120
)(
MPa
)
128.3
MPa
根据广义胡克定律，得 30°的正应变为
30
1 E
( 30
60 )
200
1 109
Pa
(51.7
106
Pa
0.3128.3106
Pa
)
0.66
10
4
8-18 构件表层一点处的应力如图a所示，为了测量应力，在该点沿 0°，45°与 90°
根据平面应力状态的广义胡克定律，有
x
E 1 2
ch8应力应变ok-2012
a
D1 A2 C
A1 D2 O
D1
A2
2a0 C O
A1
D2
c
a0
D1
D1
2a0= –90°
–45°
C O D2
A2 O
D2 2a0 C A1 D1 D1 A1
a0
D2 A2 C O
e
m
m a
主应力迹线（Stress Trajectories)：
最大应力
例题
一、三向应力圆
2 1
3
一点处的应力状态有不同的表示方法，而用 主应力表示最为重要。
2
I
I
3
1
3
2
平行于1 的方向面－其上之应力与1无关 由2 、 3可作出应力圆 I
1
II I
II
2
3
3
2
1
O
平行于2的方向面－其上之应力与2无关. 由1 、 3可作出应力圆II
2
应力圆的绘制与应用
绘制应力圆
C
x y
2
－ 圆心横坐标
应力圆的绘制与应用
绘制应 力圆 步骤
x面应力 y面应力
D、E两点
C
应力圆直径DE
x y
2
－ 圆心横坐标
应力圆
图解法求斜截面应力
H
H a a
a
C o
a
x
D H
y y E
F
主应力方向线的包络线——曲线上
每一点的切线都指示 着该点的拉主应力方位（或压主应 力方位）。
资料：ch17 应力分析的实验方法(3rd)
第17章 应力分析的实验方法17-1 图示工字形截面悬臂梁，自由端承受载荷F 作用，为了测出图示截面A ，B 与C 三点处的应力，其中A 点位于翼缘端部，B 点位于中性层，C 点位于腹板与翼缘的交界处。
弹性常数E 和μ均为已知，试确定布片与接线方案，并建立相应的计算公式。
题17-1图解：首先画出三点的应力状态图（见图17-1a ）；然后确定布片方案（见图17-1b ）；进而确定接线方案（见图17-1c ）。
图17-1对于A 点，设图(c,1)所示半桥之测值为A ε，则A A εE σ=对于B 点，设图(c,2)所示半桥之测值为B ε ，由于 B B B B EE ετμμττε=+=+=-)1()(145 于是得B B εμEτ)1(+=对于C 点，如图(c,3)中的接线方案，设其半桥的测值为τεC ，由于C C C C C C ττEμσE μτE μσE μτE μεεε)1(2]2)1()1([]2)1()1([4545+=--+----+=-=- 于是得C τC εμEτ)1(2+=若改变上述接线方案，将 45片从第2桥臂换至第4桥臂，并设此种接线方案的测值为C σε，则由 C C C C C C σσEμσE μτE μσE μτE μεεε)1(]2)1()1([]2)1()1([4545--=--+-+--+=+=- 得C σC εμEσ)1(--= 17-2 图示圆截面轴，在载荷M 和M e作用下处于弯扭组合变形状态。
为了测出M与M e 值，在截面顶部和底部沿︒45方位共粘贴了四个应变片，试确定接线方案，并建立相应的计算公式。
轴的直径d 以及弹性常数E 和μ均为已知。
题17-2图解：两个待测点的应力状态分别如图17-2(a)和(b)所示。
图17-2各片应变与应力之间的关系依次为 )]2()2([1c c στμστE ε--+-=)]2()2[(1c c στμστE ε++-=)]2()2[(1t t τσμτσE ε--+=●)]2()2[(1t t τσμτσE ε+--=❍在上述分析的基础上，确定测e M M 和的全桥接线方案依次如图17-2(c)和(d)所示。
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第八章 应力、应变状态分析8-2 已知应力状态如图所示（应力单位为MPa ），试用解析法计算图中指定截面的正应力与切应力。
题8-2图(a)解：由题图所示应力状态可知，45MPa 20MPa 10MPa 30=-===αηζζx y x ，，，将上列数据代入平面应力状态斜截面应力公式，得MPa0.10)MPa 90sin 21030( MPa 0.40)MPa 90sin 2021030(=-==++=ααηζ(b)解：由题图所示应力状态可知，5.22MPa 20MPa 10MPa 30===-=αηζζx y x ，，，由此可得指定斜截面上的正应力和切应力分别为)MPa cos4520sin4521030( MPa 3.38)MPa sin4520cos452103021030(=+--=-=---++-=ααηζ(c)解：由题图所示应力状态可知，60MPa 15MPa 20MPa 10-==-==αηζζx y x ，，，由此可得指定斜截面上的正应力和切应力分别为MPa5.20)]MPa 120cos(15)120sin(22010[ MPa 490.0)]MPa 120sin(15)120cos(2201022010[-=-+-+==---++-=ααηζ8-3 试用图解法（应力圆）解题8-1。
解：题8-1图所示应力状态的应力圆如图8-3所示。
图8-3由图a 可以量得指定截面上的正应力和切应力分别为MPa 0.15MPa 0.104545=== ηηζζαα，＝由图b 可以量得指定截面上的正应力和切应力分别为MPa 3.7MPa 3.473030-===-- ηηζζαα，＝8-6 图示双向拉伸应力状态，应力σσσ==y x。
试证明任意斜截面上的正应力均等于σ，而切应力则为零。
题8-6图证明：由题设条件可知，0===x y x ηζζζ，将上述数据代入平面应力状态斜截面应力公式，则有02sin 202cos 22=+-==--++=αζζηζαζζζζζαα由于式中α为任意值，故原命题得证。
8-7 已知某点A 处截面AB 与AC 的应力如图所示（应力单位为MPa ），试用图解法求主应力的大小及所在截面的方位。
题8-7图解：根据题图所给应力，画应力圆如图8-7所示。
图8-7从所画的应力圆上可以量得两个主应力，它们是：MPa 9.9 MPa 7.6921==ζζ，由于是平面应力状态，故知03=ζ从该应力圆上还可以量得1ζ的方位角为7.230-=α式中负号表示从AB 面的外法线沿顺时针方向旋转。
8-9 图示悬臂梁，承受载荷F = 20kN 作用，试绘微体A ，B 与C 的应力图，并确定主应力的大小及方位。
题8-9图解：由题图可知，指定截面的剪力与弯矩分别为m 20kN m kN 120|| kN 20s ⋅=⋅⨯====Fa M F F ，微体A ，B 和C 的应力状态依次如图8-9 a,b 和c 所示。
图8-9对于图a 所示应力状态，其正应力为MPa 0.60Pa 1000.6m200.0050.0N 10206||7223=⨯=⨯⨯⨯==z A W M ζ 由此可知，主应力各为0 MPa,0.60321===ζζζ1ζ的方位角为00=α对于图b 所示应力状态，其正应力和切应力分别为MPa25.2Pa 1025.20.050m 200.0050.0N 075.0050.0050.0102012)(MPa 0.30Pa 1000.3m 200.0050.0N050.0102012|||| 6233S 7233=⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯===⨯=⨯⨯⨯⨯==b I ωS F ηI y M ζz z B z B B极值应力为MPa 1678.02.30MPa ]25.20.150.15[)2(22222min max ⎩⎨⎧-=+±=+±=⎭⎬⎫B B B ηζζζζ 由此可知，主应力为MPa 167800 MPa 2.30321.ζζζ-===，，由07458.01678.00.3025.2tan min 0-=+-=--=ζζηαx x得1ζ的方位角为27.40-=α对于图c 应力状态，其切应力为MPa 00.3Pa 1000.3m200.0050.02N 1020323623S =⨯=⨯⨯⨯⨯==A F ηC 由此得各主应力依次为MPa 00.30MPa 00.3321-===ζζζ，，1ζ的方位角为450-=α8-12(c) 试画图a 所示应力状态的三向应力圆，并求主应力、最大正应力与最大切应力。
题8-12图解：显然，MPa 20=z ζ为主应力，而其他两个主应力则可由x ζ，x η与y ζ确定（图b ）。
在τσ-平面内（图c ），由坐标（60，40）与（20，-40）分别确定A 与B 点，然后，以AB 为直径画圆，与σ轴相交于C 与E ，其横坐标分别为MPa7.4 MPa7.84-==E C σσ取D （20，0）对应于主平面z ，于是，分别以ED 与DC 为直径画圆，即得三向应力圆。
可以看出，主应力为MPa 7.841==C σσ MPa 0.202==D σσMPa 7.43-==E σσ而最大正应力与最大切应力则分别为 MPa 7.841max ==σσMPa 7.442MPa7.4MPa 4.78231max =+=-=σστ8-15 在构件表面某点O 处，沿0°，45°，90°与135°方位粘贴四个应变片，并测得相应正应变依次为 0ε= 450×10-6， 45ε= 350×10-6， 90ε= 100×10-6与 135ε= 100×10-6 ，试判断上述测试结果是否可靠。
题8-15图解：依据平面应变状态任意方位的正应变公式，有645690601035022 10100221045022---⨯=-+=⨯==--+=⨯==-++=xy y x y yx yx x y x y x γεεεεεεεεεεεεεεε(c)(b)(a) 将式(a)和(b)代入式(c)，得661015010)700550(--⨯-=⨯-=xy γ(d)将以上所得结果(a),(b)和(d)代入平面应变状态任意方位的正应变公式，计算 135ε应有的测量值为666613510200 )sin27010150(21270cos 10)100450(2110)100450(21----⨯=⨯-⨯-⨯-+⨯+=ε135ε的实际测量值比上述结果小了一半，这说明题中所给测试结果不可靠。
其实，由应变圆可知，无论α 为何值 常数=++ 90ααεε而13545900εεεε+≠+同样说明题中所给的这组测试结果不可靠。
8-16 图示矩形板，承受正应力yxσσ与作用。
已知板件厚度δ=10mm ，宽度b =800mm ，高度h = 600mm ，正应力x σ=80MPa ，y σ=40-MPa ，材料为铝，弹性模量E =70GPa ，泊松比μ= 0.33。
试求板厚的改变量δ∆与板件的体积改变量V ∆。
题8-16图解：此为平面应力状态问题。
设板厚度方向的正应变为z ε，则有)(y x z ζζEμε+-=板厚的改变量为mm001886.0m 10886.1 m 10)4080(1070010.033.0)(Δ669-=⨯-=⨯-⨯⨯⨯-=+-==-y x z ζζE δμδδε 体应变为)()21(z y x ζζζEμθ++-=由此可得该板件的体积改变量为337369mm 933m 1033.9 )m 010.0600.0800.0(10)4080(1070)33.02(1 ))(()21(Δ=⨯=⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯-=++-=-bh δζζζEμV z y x8-17 图a 所示微体处于平面应力状态，已知应力σx=100MPa ，σy=80MPa ，τx=50 MPa ，弹性模量E =200GPa ，泊松比μ =0.3，试求正应变εx ，εy 与切应变γxy ，以及α =30°方位的正应变ε30°。
题8-17图解：根据广义胡克定律，得4669108.3)Pa 10803.0Pa 10100(Pa 102001)(1-⨯=⨯⨯-⨯⨯=-=y x x E μσσε 4669105.2)Pa 101003.0Pa 1080(Pa102001)(1-⨯=⨯⨯-⨯⨯=-=x y y E μσσε 496105.6Pa10200)Pa 1050)(3.01(2)1(2-⨯=⨯⨯+=+==E G x x xy τμτγ 斜截面的应力如图b 所示，MPa 51.7MPa 60sin 5060cos 280100280100 302sin 302cos 2230=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--++=⨯-⨯-++=x yx y x τσσσσσMPa 3.281MPa )120sin(50)120cos(28010028010060=⎥⎦⎤⎢⎣⎡----++=- σ 根据广义胡克定律，得30°的正应变为46696030301066.0)Pa 103.1283.0Pa 107.51(Pa102001)(1--⨯=⨯⨯-⨯⨯=-=μσσεE8-18 构件表层一点处的应力如图a 所示，为了测量应力，在该点沿0°，45°与90°粘贴三个应变片，幷测得相应正应变依次为 90450εεε与,（图b ）。
已知材料的弹性模量为E ，泊松比为μ，试根据上述测试应变值，确定该点处的正应力σx ，σy 与切应力τx 。
题8-18图解：当α=45°与α=-45°时，相应截面的正应力为τσστσσσσσ-+=--++=4290sin 90cos 225yx y x y xτσστσσσσσ++=----++=4-2)90sin()90cos(225yx y x y x 根据广义胡克定律，45°方位的正应变则为 )(145455 -4-=μσσεE由此得[])1(2)1)((215μτμσσε+--+=4y x E(a)根据广义胡克定律还可知，沿0°与90°方位的正应变分别为 )(10y x E μσσε-=(b))(190x y Eμσσε-=(c)联立求解式（a ），（b ）与（c ），于是得29001)(μμεεσ-+=E x29001)(μεμεσ-+=E y)1(2]2[45900μεεετ+-+=E x将应变的测试值 90450,εεε，代入上述方程，即可确定相应正应力σx ，σy 与切应力τx 。
8-19 图a 所示板件，处于纯剪切状态。