2020考研 线性代数_常用公式

考研数学线性代数常用公式

数学考研考前必背常考公式集锦。希望对考生在暑期的复习中有所帮助。本文内容为线性代数的常考公式汇总。

1、行列式的展开定理

行列式的值等于其任何一行（或列）所有元素与其对应的代数余子式乘积之

和，即

C 的

3、设A 为n 阶方阵，*A 为它的伴随矩阵则有**==AA A A A E .

设A 为n 阶方阵，那么当AB =E 或BA =E 时，有1-B =A

4、

对单位矩阵实施一次初等变换得到的矩阵称之为初等矩阵.由于初等变换有三种，初等矩阵也就有三种：

第一种：交换单位矩阵的第i 行和第j 行得到的初等矩阵记作ij E ，该矩阵也

可以看做交换单位矩阵的第i 列和第j 列得到的.如1,3001010100⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝

⎭E .

第二种：将一个非零数k 乘到单位矩阵的第i 行得到的初等矩阵记作()i k E ；该矩阵也可以看做将单位矩阵第i 列乘以非零数k 得到的.如

2100(5)050001⎛⎫ ⎪-=- ⎪ ⎪⎝

⎭E .

第三种：将单位矩阵的第i 行的k 倍加到第j 行上得到的初等矩阵记作()ij k E ；该矩阵也可以看做将单位矩阵的第j 列的k 倍加到第i 列上得到的.如

3,2100(2)012001⎛⎫ ⎪-=- ⎪ ⎪⎝⎭

E .

注：

1）初等矩阵都只能是单位矩阵一次初等变换之后得到的.

2）对每个初等矩阵，都要从行和列的两个角度来理解它，这在上面的定义中已经说明了.尤其需要注意初等矩阵()ij k E 看做列变换是将单位矩阵第j 列的k 倍加到第i 列，这一点考生比较容易犯错.

5、矩阵A 最高阶非零子式的阶数称之为矩阵A 的秩，记为()r A .

1）()()(),0r r r k k ==≠T A A A ；

2）()1r ≠⇔≥A O A ；

3）()1r =⇔≠A A O 且A 各行元素成比例；

4）设A 为n 阶矩阵，则()0r n =⇔≠A A .

6、线性表出

设12,,...,m ααα是m 个n 维向量，12,,...m k k k 是m 个常数，则称1122...m m k k k ααα+++为向量组12,,...,m ααα的一个线性组合.

设12,,...,m ααα是m 个n 维向量，β是一个n 维向量，如果β为向量组

12,,...,m ααα的一个线性组合，则称向量β可以由向量组12,,...,m ααα线性表出.

线性相关

设12,,...,m ααα是m 个n 维向量，如果存在不全为零的实数12,,...,m k k k ，使得1122...0m m k k k ααα+++=，则称向量组12,,...,m ααα线性相关.

如果向量组12,,...,m ααα不是线性相关的，则称该向量组线性无关.

与线性表出与线性相关性有关的基本定理

定理1：向量组12,,...m ααα线性相关当且仅当12,,...m ααα中至少有一个是其余1m -个向量的线性组合.

定理2：若向量组12,,...m ααα线性相关，则向量组121,,...,,m m αααα+也线性相关.

注：

本定理也可以概括为“部分相关⇒整体相关”或等价地“整体无关⇒部分无关”.

定理3：若向量组12,,...m ααα线性无关，则向量组12,,...m ααα的延伸组

1212,,...,m m αααβββ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭

也线性无关.

定理4：已知向量组12,,...m ααα线性无关，则向量组12,,...,m αααβ线性相关当且仅当β可以由向量组12,,...m ααα线性表出.

定理5：阶梯型向量组线性无关.

定理6：若向量组12,,...,s ααα可以由向量组12,,...,t βββ线性表出，且12,,...,s ααα线性无关，则有s t ≤.

注：本定理在理论上有很重要的意义，是讨论秩和极大线性无关组的基础.定理内容也可以等价的描述为：若向量组12,,...,s ααα可以由向量组12,,...,t βββ线性表出，且s t >，则12,,...,s ααα线性相关.

对于这种描述方式，我们可以把定理内容简单地记为：“多数被少数线性表出，则必相关.”

定理7：1n +个n 维向量必然线性相关.

7、线性方程组解的存在性

设()12,,...,n A ααα=，

其中12,,...,n ααα为A 的列向量，则线性方程组Ax b =有解

⇔向量b 能由向量组12,,...,n ααα线性表出；

⇔()()1212,,...,,,...,,n n r r b αααααα=；

⇔()()

,r A r A b =线性方程组解的唯一性

当线性方程组Ax b =有解时，Ax b =的解不唯一（有无穷多解）

⇔线性方程组的导出组0Ax =有非零解；

⇔向量组12,,...,n ααα线性相关；

⇔()12,,...,n r n ααα<；

⇔()r A n <.

注：

1）注意该定理成立的前提条件是线性方程组有解；也就是说，仅告知()r A n <是不能得到Ax b =有无穷多解的，也有可能无解.

2）定理2是按照Ax b =有无穷多解的等价条件来总结的，请考生据此自行写出Ax b =有唯一解的条件.

8、特征值和特征向量：设A 为n 阶矩阵，λ是一个数，若存在一个n 维的非零列向量α使得关系式A αλα=成立.则称λ是矩阵A 的特征值，α是属于特征值λ的特征向量.

设E 为n 阶单位矩阵，则行列式E A λ-称为矩阵A 的特征多项式.

注：

1）要注意：特征向量必须是非零向量；

2）等式A αλα=也可以写成()0A E λα-=，因此α是齐次线性方程组()0A E x λ-=的解，由于0α≠，可知()0A E x λ-=是有非零解的，故