高中数学导数知识点归纳

导数及其应用

一．导数概念的引入

1. 导数的物理意义：瞬时速率。一般的，函数()y f x =在0x x =处的瞬时变化率是

000

()()

lim

x f x x f x x

∆→+∆-∆，

我们称它为函数()y f x =在0x x =处的导数，记作0()f x '或0|x x y ='， 即0()f x '=000

()()

lim

x f x x f x x

∆→+∆-∆

2. 导数的几何意义：曲线的切线.通过图像,我们可以看出当点n P 趋近于P 时，直线PT 与曲线相切。容易

知道，割线n PP 的斜率是00

()()

n n n f x f x k x x -=

-，当点n P 趋近于P 时，函数()y f x =在0x x =处的导

数就是切线PT 的斜率k ，即000

()()

lim

()n x n f x f x k f x x x ∆→-'==-

3. 导函数：当x 变化时，()f x '便是x 的一个函数，我们称它为()f x 的导函数. ()y f x =的导函数有

时也记作y ',即0

()()

()lim

x f x x f x f x x

∆→+∆-'=∆

例一：

若2012)1(/=f ，则x f x f x ∆-∆+→∆)1()1(lim

= ，x

f x f x ∆--∆+→∆)

1()1(lim 0= ，

x x f f x ∆∆+-→∆4)1()1(lim

0= ， x

f x f x ∆-∆+→∆)

1()21(lim 0= 。 二.导数的计算

1）基本初等函数的导数公式:

2 若()f x x α

=,则1()f x x αα-'=;

3 若()sin f x x =,则()cos f x x '=

4 若()cos f x x =,则()sin f x x '=-;

5 若()x

f x a =,则()ln x

f x a a '=

6 若()x

f x e =,则()x

f x e '=

7 若()log x

a f x =,则1()ln f x x a '=

8 若()ln f x x =,则1

()f x x

'=

2）导数的运算法则

1．[f(x)±g(x)]′＝f ′(x)±g ′(x)；

2. [()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''•=•+•

3. 2

()()()()()

[

]()[()]

f x f x

g x f x g x g x g x ''•-•'= 3）复合函数求导

()y f u =和()u g x =,称则y 可以表示成为x 的函数,即(())y f g x =为一个复合函数 (())()y f g x g x '''=•

一、知识自测：

1、几个常用函数的导数：

（1）f(x)=C ，则f ’(x)=_______ （2）f(x)=x ，则f ’(x)=_______ （3）f(x)=2x ，则f ’(x)=_______ （4）f(x)=x

1，则f’(x)=_______ （5）f(x)=

x ，则f ’(x)=_______

2、基本初等函数的导数公式：

（1）f(x)=C （C 为常数），则f ’(x)=_______ （2）f(x)=)(Q a x a

∈，则f ’(x)=_______

（3）f(x)=sinx ，则f ’(x)=_______ （4）f(x)=cosx ，则f ’(x)=_______ （5）f(x)=x a ，则f ’(x)=_______ （6）f(x)=x

e ，则

f ’(x)=_______ （7）f(x)=x a lo

g ，则f ’(x)=_______ （8）f(x)=x ln ，则f ’(x)=_______ 3、导数的运算法则：

已知)(),(x g x f 的导数存在，则：（1）_______________])()([='±x g x f （2）__________________])()([='⋅x g x f （3）='])

()

([

x g x f ____________________

二、典型例题

x

y x y x

y x

y y x y cos )6(log )

5(ln )4(1

)3(5)2()1(125====

==、求下列函数的导数例 5

5

5

)4(5)3(1

)2()1(1e y y x

y x y x ====、求下列函数的导数：

例3、根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求下列函数的导数．

（1）3

23y x x =-+ （2

）y =

；

（3）sin ln y x x x =⋅⋅；

（4）4x

x y =

； （5）1ln 1ln x

y x

-=+．

（6）2

(251)x

y x x e =-+⋅； （7）sin cos cos sin x x x

y x x x

-=

+

解：（1）'

3

'

3'

'

'

2

(23)()(2)(3)32y x x x x x =-+=-+=-，

'232y x =-。

（2

）'

''y =-

=

=

=