初二数学秋季尖子班讲义
初二数学人教版秋季班(教师版)第12讲 因式分解二--尖子班
第12讲 因式分解（二）⎧⎪⎨⎪⎩十字相乘法因式分解法（二）分组分解法因式分解的综合应用 知识点1 十字相乘法对于像2ax bx c ++这样的二次三项式来说， 如果可以把二次项系数a 分解成两个因数12a a ，的积，把常数项c 分解成两个因数12c c ，的积，并使1221a c a c +正好等于一次项的系数b ．那么可以直接写成结果：1122((²ax bx c a x c a x c ++=++））． 【典例】1.因式分解：x 2﹣x ﹣12= ． 【答案】（x ﹣4）（x+3）【解析】解：观察式子，x 2﹣x ﹣12中二次项系数为1，一次项系数-1，常数项为-12，∵14-13即-4×3=-12，1×1=1且-4×1+3×1=-1 ∴x 2﹣x ﹣12=（x ﹣4）（x+3）．【方法总结】用十字相乘法对一个形如2ax bx c ++的二次三项式进行因式分解，关键是找出二次项系数，一次项系数和常数项之间的数量关系，此题中，-12可以分为多个有理数相乘的形式，但是满足其他条件的只能选取-4×3的形式，以后做题时，需要多试一下，找到满足题意的那一组.2.因式分解：4a 2+4a ﹣15= ． 【答案】（2a ﹣3）（2a+5）【解析】解：观察式子，4a 2+4a ﹣15中二次项系数为4，一次项系数4，常数项为-15∵23-25即,2×2=4，5×（-3）=-15且2×5+（-3）×2=4 ∴4a 2+4a ﹣15=（2a ﹣3）（2a+5）．故答案为：（2a﹣3）（2a+5）．【方法总结】这类题和上类题相比，最主要的区别是二次项的系数不是1，而是其他整数，所以在做这类题时，我们不仅要对常数项进行拆分因数，还需要对二次项系数拆分因数（上类题都拆分成1×1），然后在寻找符合条件的因数. 方法与上类题类似，只是需要分析更多的可能性.3.分解因式：3x3﹣12x2﹣15x= ．【答案】3x（x+1）（x﹣5）【解析】解：先观察式子，发现是一个三次三项式，不满足十字相乘对式子的要求，但是式子中每项含有公因式3x，通过上讲的学习，我们知道可以先把公因式提取出来，变形成原式=3x（x2﹣4x+5），括号里的x2﹣4x+5正好可以利用十字相乘因式分解,，然后再进行下面的计算.∴原式=3x（x2﹣4x+5）=3x（x+1）（x﹣5）．故答案为：3x（x+1）（x﹣5）．【方法总结】利用十字相乘进行因式分解，该式子必须满足十字相乘的相关条件，对于这种高次（大于二次）三项式，我们得先降次，对于有公因式的，通常做法是先提取公因式，再利用十字相乘因式分解；除此之外，有的虽然是二次三项式，但每项都含有公因式，我们第一步也得先提取公因式，然后再进行下面的计算.4.因式分解：（x+y）2+5（x+y）﹣6= ．【答案】（x+y﹣1）（x+y+6）【解析】解：设（x+y）=m，则原式（x+y）2+5（x+y）﹣6=m2+5m﹣6∵m2+5m﹣6可因式分解为m2+5m﹣6=（m-1）（m+6）∴原式=（x+y﹣1）（x+y+6）．故答案为：（x+y﹣1）（x+y+6）【方法总结】如果式子2++可以利用十字相乘因式分解，那么式子中的x既可以是一个字母，也ax bx c可以是一个式子. 该题中x就是一个式子，我们可以先把这个式子用一个字母代替，，然后进行因式分解，当分解到最后时，再把式子的值带回最后的结果中即可.【随堂练习】1．（2019春•汨罗市期中）已知二次三项式2x px q ++的常数项与(1)(9)x x --的常数项相同，而它的一次项与(2)(4)x x --的一次项相同，试将此多项式因式分解． 【解答】解：2(1)(9)109x x x x --=-+，由于二次三项式2x px q ++的常数项与(1)(9)x x --的常数项相同， 9q ∴=，2(2)(4)68x x x x --=-+，由于二次三项式2x px q ++的一次项与(2)(4)x x --的一次项相同， 6p ∴=-．∴原二次三项式是269x x -+．2269(3)x x x ∴-+=-．知识点2 分组分解法分组分解法：将一个多项式分成二或三组，各组分别分解后，彼此又有公因式或者可以用公式，这就是分组分解法.【典例】1.多项式ab ﹣bc+a 2﹣c 2分解因式的结果是（ ） 【答案】（a ﹣c ）（a+b+c ）【解析】解：ab ﹣bc+a 2﹣c 2是一个四项式，有a 2和c 2平方差，所以可以利用平方差公式；ab 和bc 有公因式b ，所以可以提取公因式，综上，式子可以分成两组，即 原式=（ab ﹣bc ）+a 2﹣c 2 =b （a ﹣c ）+（a+c ）（a ﹣c ） =（a ﹣c ）（a+b+c ）【方法总结】对于多项式（大于三项）分组时，尽量：有公因式的分在一组，可以利用公式法的分在一组（有平方和的一般用完全平方公式，有平方差的一般用平方差公式），然后根据实际情况选取其他的因式分解的方法进行计算.2.把多项式x 2+y 2﹣2xy ﹣1因式分解的结果是（ ）【答案】（x﹣y+1）（x﹣y﹣1）【解析】解：观察式子发现，前三项x2+y2﹣2xy可以利用完全平方公式因式分解，可以分在一组，则原式= （x2+y2﹣2xy）﹣1=（x﹣y）2﹣1=（x﹣y+1）（x﹣y﹣1）【方法总结】对式子进行分组时，有平方和的一般利用完全平方公式，这时需要再找到两个底数乘积的2倍（负2倍也行）即可. 利用完全平方公式因式分解之后，再根据题意继续因式分解.3.分解因：x2﹣4xy﹣2y+x+4y2= ．【答案】（x﹣2y）（x﹣2y﹣1）【解析】解：观察式子，发现有两个平方和，x2和4y2（可以变成（2y）2），而且式子中含有x2和（2y）2）底数的负2倍项﹣4xy，所以三者可以分到一组，因此原式=（x2﹣4xy+4y2）﹣（x﹣2y）=（x﹣2y）2﹣（x﹣2y）=（x﹣2y）（x﹣2y﹣1）．故答案为：（x﹣2y）（x﹣2y﹣1）．【方法总结】在进行分组时，有平方和的，如果还能找到两个平方底数的（负）2倍的项，那么这三项就可以分到一组，利用完全平方公式进行因式分解.4.分解因式：a2+4a﹣b2﹣2b+3= ．【答案】（a+b+3）（a﹣b+1）【解析】解：观察式子，有平方差a2﹣b2，但它俩分在一组后，剩下的4a﹣2b+3无法进行因式分解，所以a2﹣b2不应该分到一组. 式子中含有a2+4a，如果补充4，即a2+4a+4就可以利用完全平方公式因式分解，同理﹣b2﹣2b补充-1，即﹣b2﹣2b-1也可以利用完全平方公式因式分解，而补充的4和-1，正好等于3，因此a2+4a﹣b2﹣2b+3可变形为原式=a2+4a+4﹣（b2+2b+1）=（a+2）2﹣（b+1）2=（a+b+3）（a﹣b+1）．故答案为：（a+b+3）（a﹣b+1）．【方法总结】在利用分组法因式分解时，有时需要对式子中的一些数或者式子进行简单的拆分，拼凑出可以因式分解的式子（如果式子中含有平方项且无法直接使用公式法因式分解的，一般都需要进行拆分其他的式子或数字进行拼凑）.【随堂练习】1．（2019•黔东南州一模）分解因式2221x xy y -+-= (1)(1)x y x y -+-- ． 【解答】解：2221x xy y -+-，22(2)1x xy y =-+-， 2()1x y =--， (1)(1)x y x y =-+--．2．（2018春•郯城县期中）分解因式：2224a ab b ++-= (2)(2)a b a b +++- ． 【解答】解：原式22()2a b =+- (2)(2)a b a b =+++-，故答案为：(2)(2)a b a b +++-． 二．解答题（共1小题）3．（2018秋•闵行区期末）因式分解：3223x x y xy y +--．【解答】解：原式3223222()()()()()()x x y xy y x x y y x y x y x y =+-+=+-+=+-．知识点3 因式分解的综合应用 【典例】1.已知a ，b ，c 是三角形的三边，那么代数式（a ﹣b ）2﹣c 2的值______ 【答案】小于零【解析】解：∵（a ﹣b ）2﹣c 2=（a ﹣b+c ）（a ﹣b ﹣c ），a ，b ，c 是三角形的三边， 根据三角形的三边关系，可得 ∴a+c ﹣b ＞0，a ﹣b ﹣c ＜0， ∴（a ﹣b ）2﹣c 2的值是负数．【方法总结】这类题主要考察因式分解和三角形的三边关系，首先先要对式子因式分解，分解完之后，再根据三角形三边关系来判断式子中各项的正负. 有时也会考察判断三角形的形状，同样，先因式分解题干中的式子，在利用三角形的边关系来判断.2阅读材料：方程x2﹣x﹣2=0中，只含有一个未知数且未知数的次数为2．像这样的方程叫做一元二次方程．把方程的左边分解因式得到（x﹣2）（x+1）=0．我们知道两个因式乘积为0，其中有一个因式为0即可，因此方程可以转化为：x﹣2=0或x+1=0．解这两个一次方程得：x=2或x=﹣1．所以原方程的解为：x=2或x=﹣1．上述将方程x2﹣x﹣2=0转化为x﹣2=0或x+1=0的过程，是将二次降为一次的“降次”过程，从而使得问题得到解决．仿照上面降次的方法，解决下列问题：（1）解方程x2﹣3x=0；（2）2a2﹣a﹣3=0；【解析】解：（1）方程变形得：x（x﹣3）=0，可得x=0或x﹣3=0，解得：x=0或x=3；（2）方程变形得：（2a﹣3）（a+1）=0，可得2a﹣3=0或a+1=0，解得：a=1.5或a=﹣1；【方法总结】此类题属于“新定义题型”，首先要读懂题意，明白题干中告知的对于新题型的解题思路是什么，然后根据已经学习过的知识，进行分析解答，此类题认真审题读懂题意是关键.3.阅读理解以下文字：我们知道，多项式的因式分解就是将一个多项式化成几个整式的积的形式．通过因式分解，我们常常将一个次数比较高的多项式转化成几个次数较低的整式的积，来达到降次化简的目的．这个思想可以引领我们解决很多相对复杂的代数问题．例如：方程2x2+3x=0就可以这样来解：解：原方程可化为x（2x+3）=0，所以x=0或者2x+3=0． 解方程2x+3=0，得x=﹣． 所以解为x 1=0，x 2=﹣．根据你的理解，结合所学知识，方程x 2﹣5x=6的解是________ 【答案】﹣1或6【解析】解：由原方程x 2﹣5x=6，得 （x+1）（x ﹣6）=0， ∴x+1=0，或x ﹣6=0， 解得，x 1=﹣1，x 2=6． 【随堂练习】1．（2018秋•高阳县期末）对于算式220182018-，下列说法不正确的是( ) A ．能被2017整除 B ．能被2018整除 C ．能被2019整除D ．不能被2016整除【解答】解：2201820182018(20181)20182017-=-=⨯，所以原式能被2017整除，也能被2018整除，不能被2016和2019整除 故选：C ．二．解答题（共4小题）2．（2019春•乐亭县期末）观察下列各式．①24121(12)⨯⨯+=+；②24231(23)⨯⨯+=+；③24341(34)⨯⨯+=+⋯（1）根据你观察、归纳，发现的规律，写出4201620171⨯⨯+可以是哪个数的平方？（2）试猜想第n 个等式，并通过计算验证它是否成立．（3）利用前面的规律，将22114()(1)122x x x x ++++因式分解．【解答】解：（1）根据观察、归纳、发现的规律，得到224201620171(20162017)4033⨯⨯+=+=；（2）猜想第n 个等式为24(1)1(21)n n n ++=+，理由如下：左边24(1)1441n n n n =++=++，右边22(21)441n n n =+=++，∴左边=右边，24(1)1(21)n n n ∴++=+；（3）利用前面的规律，可知2222222411114()(1)1(1)(21)(1)2222x x x x x x x x x x x ++++=++++=++=+． 3．（2018秋•渝中区校级期末）一个多位自然数分解为末三位与末三位以前的数，让末三位数减去末三位以前的数，所得的差能被7整除，则原多位数一定能被7整除．（1）判断864192 能 （能/不能）被7整除，证明任意一个三位以上的自然数都满足上述规律；（2）一个自然数t 可以表示为22t p q =-的形式，（其中p q >且为正整数），这样的数叫做“平方差数”，在t 的所有表示结果中，当||p q -最小时，称22p q -是t 的“平方差分解”，并规定2()p q F t p q +=-，例如，2222326297=-=-，|97||62|-<-，则92723(32)972F +⨯==-．已知一个五位自然数，末三位数5001052m y =++，末三位以前的数为10(1)n x y =++（其中18x ，19y 且为整数），n 为“平方差数”，交换这个五位自然数的十位和百位上的数字后所得的新数能被7整除，求()F n 的最大值．【解答】解：（1）864192的末三位数为192，末三位以前的数为864 192864672∴-=- 672796-÷=- 864192∴能被7整除故答案为：能证明：设这个多位数的末三位数为a ，末三位以前的数为b 则这个多位数可表示为1000b a + 根据题意得，7(a b n n -=为整数） 7a n b ∴=+则10001000710017b a b n b b n +=++=+ 10017b n +可以被7整除 1000b a ∴+可以被7整除。
初二数学人教版秋季班(学生版版)第12讲 因式分解二--尖子班
第12讲 因式分解（二）知识点1 十字相乘法对于像2ax bx c ++这样的二次三项式来说， 如果可以把二次项系数a 分解成两个因数12a a ，的积，把常数项c 分解成两个因数12c c ，的积，并使1221a c a c +正好等于一次项的系数b ．那么可以直接写成结果：1122((²ax bx c a x c a x c ++=++））．【典例】1.因式分解：x 2﹣x ﹣12= ． 【答案】（x ﹣4）（x+3）【解析】解：观察式子，x 2﹣x ﹣12中二次项系数为1，一次项系数-1，常数项为-12，∵14-13即-4×3=-12，1×1=1且-4×1+3×1=-1 ∴x 2﹣x ﹣12=（x ﹣4）（x+3）．【方法总结】用十字相乘法对一个形如2ax bx c ++的二次三项式进行因式分解，关键是找出二次项系数，一次项系数和常数项之间的数量关系，此题中，-12可以分为多个有理数相乘的形式，但是满足其他条件的只能选取-4×3的形式，以后做题时，需要多试一下，找到满足题意的那一组.2.因式分解：4a2+4a﹣15= ．【答案】（2a﹣3）（2a+5）【解析】解：观察式子，4a2+4a﹣15中二次项系数为4，一次项系数4，常数项为-1523∵25即,2×2=4，5×（-3）=-15且2×5+（-3）×2=4∴4a2+4a﹣15=（2a﹣3）（2a+5）．故答案为：（2a﹣3）（2a+5）．【方法总结】这类题和上类题相比，最主要的区别是二次项的系数不是1，而是其他整数，所以在做这类题时，我们不仅要对常数项进行拆分因数，还需要对二次项系数拆分因数（上类题都拆分成1×1），然后在寻找符合条件的因数. 方法与上类题类似，只是需要分析更多的可能性.3.分解因式：3x3﹣12x2﹣15x= ．【答案】3x（x+1）（x﹣5）【解析】解：先观察式子，发现是一个三次三项式，不满足十字相乘对式子的要求，但是式子中每项含有公因式3x，通过上讲的学习，我们知道可以先把公因式提取出来，变形成原式=3x（x2﹣4x+5），括号里的x2﹣4x+5正好可以利用十字相乘因式分解,，然后再进行下面的计算.∴原式=3x（x2﹣4x+5）=3x（x+1）（x﹣5）．故答案为：3x（x+1）（x﹣5）．【方法总结】利用十字相乘进行因式分解，该式子必须满足十字相乘的相关条件，对于这种高次（大于二次）三项式，我们得先降次，对于有公因式的，通常做法是先提取公因式，再利用十字相乘因式分解；除此之外，有的虽然是二次三项式，但每项都含有公因式，我们第一步也得先提取公因式，然后再进行下面的计算.4.因式分解：（x+y）2+5（x+y）﹣6= ．【答案】（x+y﹣1）（x+y+6）【解析】解：设（x+y）=m，则原式（x+y）2+5（x+y）﹣6=m2+5m﹣6∵m2+5m﹣6可因式分解为m2+5m﹣6=（m-1）（m+6）∴原式=（x+y﹣1）（x+y+6）．故答案为：（x+y﹣1）（x+y+6）【方法总结】如果式子2ax bx c++可以利用十字相乘因式分解，那么式子中的x既可以是一个字母，也可以是一个式子. 该题中x就是一个式子，我们可以先把这个式子用一个字母代替，，然后进行因式分解，当分解到最后时，再把式子的值带回最后的结果中即可.【随堂练习】1．（2018春•安丘市期末）阅读下面的材料，解答提出的问题：已知：二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式及m的值．解：设另一个因式为（x+n），由题意，得：x2﹣4x+m=（x+3）（x+n）则x2﹣4x+m=x2+（n+3）x+3n∴．解得：m=﹣21，n=﹣7∴另一个因式为（x﹣7），m的值为﹣21．提出问题：（1）已知：二次三项式x2+5x﹣p有一个因式是（x﹣1），求p的值．（2）已知：二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是（x﹣5），求另一个因式及k的值．【解答】解：（1）设另一个因式为（x+n），由题意，得：x2+5x﹣p=（x﹣1）（x+n）则x2+5x﹣p=x2+（n﹣1）x﹣n∴．解得：，∴另一个因式为（x﹣6），p的值为6；（2）设另一个因式为（2x+m），由题意，得：2x2+3x﹣k=（x﹣5）（2x+m）则2x2+3x﹣k=2x2+（m﹣10）x﹣5m∴．解得：，∴另一个因式为（2x+13），k的值为65．2．（2018春•邗江区期中）阅读与思考：整式乘法与因式分解是方向相反的变形．由（x+p）（x+q）=x2+（p+q）x+pq得，x2+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q）；利用这个式子可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式，例如：将式子x2+3x+2分解因式．分析：这个式子的常数项2=1×2，一次项系数3=1+2，所以x2+3x+2=x2+（1+2）x+1×2．解：x2+3x+2=（x+1）（x+2）请仿照上面的方法，解答下列问题：（1）分解因式：x2+7x+12=____；（2）分解因式：（x2﹣3）2+（x2﹣3）﹣2；（3）填空：若x2+px﹣8可分解为两个一次因式的积，则整数p的所有可能的值是_____．【解答】解：（1）x2+7x+12=（x+3）（x+4），故答案为：（x+3）（x+4）；（2）原式=（x2﹣3﹣1）（x2﹣3+2）=（x2﹣4）（x2﹣1）=（x+2）（x﹣2）（x+1）（x﹣1）；（3）若x2+px﹣8可分解为两个一次因式的积，则整数p的所有可能值是﹣8+1=﹣7；﹣1+8=7；﹣2+4=2；﹣4+2=﹣2，故答案为：±7，±2．3．（2017春•吴兴区校级期中）题目：“分解因式：x2﹣120x+3456．”分析：由于常数项数值较大，则常采用将x2﹣120x变形为差的平方的形式进行分解，这样简便易行．解：x2﹣120x+3456=x2﹣2×60x+602﹣602+3456=（x﹣60）2﹣144=（x﹣60）2﹣122=（x﹣60+12）（x﹣60﹣12）=（x﹣48）（x﹣72）通过阅读上述题目，请你按照上面的方法分解因式：（1）x2﹣140x+4875（2）4x2﹣4x﹣575．【解答】解：（1）x2﹣140x+4875=x2﹣2×70x+702﹣702+4875=（x﹣70）2﹣25=（x﹣70）2﹣52=（x﹣70+5）（x﹣70﹣5）=（x﹣65）（x﹣75）；（2）4x2﹣4x﹣575=（2x）2﹣2×2x×1+12﹣12﹣575=（2x﹣1）2﹣576=（2x﹣1）2﹣242=（2x﹣1+24）（2x﹣1﹣24）=（2x+23）（2x﹣25）．4．（2017秋•射洪县校级期中）因式分解：（1）x2﹣6x﹣27（2）4a3﹣16a2b+16ab2．【解答】解：（1）x2﹣6x﹣27=（x﹣9）（x+3）；（2）4a3﹣16a2b+16ab2=4a（a2﹣4ab+4b2）=4a（a﹣2b）2．知识点2 分组分解法分组分解法：将一个多项式分成二或三组，各组分别分解后，彼此又有公因式或者可以用公式，这就是分组分解法.【典例】1.多项式ab﹣bc+a2﹣c2分解因式的结果是（）【答案】（a﹣c）（a+b+c）【解析】解：ab﹣bc+a2﹣c2是一个四项式，有a2和c2平方差，所以可以利用平方差公式；ab和bc有公因式b，所以可以提取公因式，综上，式子可以分成两组，即原式=（ab﹣bc）+a2﹣c2=b（a﹣c）+（a+c）（a﹣c）=（a﹣c）（a+b+c）【方法总结】对于多项式（大于三项）分组时，尽量：有公因式的分在一组，可以利用公式法的分在一组（有平方和的一般用完全平方公式，有平方差的一般用平方差公式），然后根据实际情况选取其他的因式分解的方法进行计算.2.把多项式x2+y2﹣2xy﹣1因式分解的结果是（）【答案】（x﹣y+1）（x﹣y﹣1）【解析】解：观察式子发现，前三项x2+y2﹣2xy可以利用完全平方公式因式分解，可以分在一组，则原式= （x2+y2﹣2xy）﹣1=（x﹣y）2﹣1=（x﹣y+1）（x﹣y﹣1）【方法总结】对式子进行分组时，有平方和的一般利用完全平方公式，这时需要再找到两个底数乘积的2倍（负2倍也行）即可. 利用完全平方公式因式分解之后，再根据题意继续因式分解.3.分解因：x2﹣4xy﹣2y+x+4y2= ．【答案】（x﹣2y）（x﹣2y﹣1）【解析】解：观察式子，发现有两个平方和，x2和4y2（可以变成（2y）2），而且式子中含有x2和（2y）2）底数的负2倍项﹣4xy，所以三者可以分到一组，因此原式=（x2﹣4xy+4y2）﹣（x﹣2y）=（x﹣2y）2﹣（x﹣2y）=（x﹣2y）（x﹣2y﹣1）．故答案为：（x﹣2y）（x﹣2y﹣1）．【方法总结】在进行分组时，有平方和的，如果还能找到两个平方底数的（负）2倍的项，那么这三项就可以分到一组，利用完全平方公式进行因式分解.。
北师大版初二数学秋季班(学生版) 第9讲 一次函数的应用--尖子班
北师大初二数学8年级上册秋季版（学生版）最新讲义第9讲 一次函数的应用一次函数的解析式一次函数的图形变换一次函数的应用简单的实际应用方案、决策问题⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩知识点1 一次函数的解析式用待定系数法求一次函数解析式的步骤如下：①设一次函数解析y=kx+b(k≠0)；②代入两个已知点的坐标，得到关于k 、b 的方程组；③解方程组得到k 、b 的值；④写出一次函数的解析式.若一次函数为正比例函数，则b=0，只需代入一个点的坐标，求出系数k 即可.【典例】1.已知一次函数y=kx+b 经过点（1，1），（2，﹣4），则一次函数的解析式为__________.2.下列表格列出了一项实验的统计数据，它表示皮球从一定高度落下时，下落高度y 与弹跳高度x 的关系，求y 与x 之间的函数解析式.3.八个边长为1的正方形如图摆放在平面直角坐标系中，经过原点的一条直线l 将这八个正方形分成面积相等的两部分，求该直线l 的解析式.【方法总结】典例1直接将两点坐标代入解析式，联立组成方程组，解方程组即可；典例2需要先设出解析式，再代入两点坐标；典例3中的l 过原点，为正比例函数，先由图形的面积关系求出直线l 上一点的坐标，再代入即可求出解析式.待定系数法是求一次函数解析式的主要方法，解题关键是找到或求出直线上的两点（正比例函数为一个点）的坐标.【随堂练习】1．（2018秋•奉化区期末）如图，一次函数223y x =-+的图象分别与x 轴、y 轴交于点A 、B ，以线段AB 为边在第一象限内作等腰Rt ABC ∆，90BAC ∠=︒．（1）求点A 、B 的坐标；（2）求过B 、C 两点的直线的解析式．2．（2018秋•淮安区期末）已知y 是x 的一次函数，表中给出了部分对应值．（1）求该一次函数的表达式；（2）求m 、n 的值．3．（2019春•滦州市期末）直线AB 与x 轴交于点(1,0)A ，与y 轴交于点(0,2)B -．（1）求直线AB 的表达式．（2）若直线AB 上有一动点C ，且2BOC S ∆=，求点C 的坐标．4．（2019春•莆田期末）已知3y -与x 成正比例，且2x =时，7y =．（1）求y 与x 的函数关系式；（2）当12x =-时，求y 的值； （3）将所得函数图象平移，使它过点(2,1)-．求平移后直线的解析式．5．（2019春•凉州区期末）如图，点A 的坐标为3(2-，0)，点B 的坐标为(0,3)． （1）求过A ，B 两点直线的函数表达式；（2）过B 点作直线BP 与x 轴交于点P ，且使2OP OA =，求ABP ∆的面积．6．（2019春•新蔡县期末）如图，直线a 经过点(1,6)A ，和点(3,2)B --．（1）求直线a 的解析式；（2）求直线与坐标轴的交点坐标；（3）求AOB S ∆．7．（2019春•莘县期末）已知1y -与23x +成正比例．（1）y 是关于x 的一次函数吗？请说明理由；（2）如果当53x =-时，0y =，求y 关于x 的函数表达式．8．（2019春•寿县期末）如图，一次函数y kx b =+的图象经过(2,4)、(0,2)两点，与x 轴相交于点C ．求：（1）此一次函数的解析式；（2）AOC ∆的面积．知识点2 一次函数的图形变换图形变换的三种方式：平移、对称、旋转.一次函数平移的方法：左加右减，上加下减.一次函数图象的常见对称变换：对于直线y=kx+b（k≠0，且k，b为常数），①关于x轴对称，就是x不变，y变成﹣y：﹣y=kx+b，即y=﹣kx﹣b（关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标是原来的相反数）；②关于y轴对称，就是y不变，x变成﹣x：y=k（﹣x）+b，即y=﹣kx+b（关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标是原来的相反数）；③关于原点对称，就是x和y都变成相反数：﹣y=k（﹣x）+b，即y=kx﹣b（关于原点对称，横、纵坐标都变为原来的相反数）．【典例】1.将一次函数y=﹣2x﹣2的图象先向左平移3个单位，再向下平移2个单位，得到的函数图象的表达式为________________.2.在平面直角坐标系中，将直线y=5x+6先关于x轴作轴对称变换，再将所得直线关于y轴作轴对称变换，则经两次变换后所得直线的表达式是_______________.3.把一次函数y=x+1的图象绕点（1，0）旋转180°，求所得直线的函数解析式.【方法总结】求平移和特殊对称后一次函数的解析式比较简单，按照法则将解析式做变换即可.求关于某点旋转后的一次函数的解析式，一般需要找到原来函数图像上的两点，求出这两点关于某点。
学而思初二数学秋季班第4讲.全等三角形的经典模型(二).尖子班.学生版
39初二秋季·第4讲·尖子班·学生版等等…腰漫画释义满分晋级阶梯4全等三角形的 经典模型（二）三角形11级特殊三角形之直角三角形 三角形10级 勾股定理与逆定理 三角形9级全等三角形的经典模型（二）40 初二秋季·第4讲·尖子班·学生版OFEC B A A F COBEDHABCDO EOGFE CBA“手拉手”数学模型：⑴ ⑵ ⑶【引例】 如图，等边三角形ABE 与等边三角形AFC 共点于A ，连接BF 、CE ，求证：BF =CE 并求出 EOB 的度数. 知识互联网思路导航例题精讲题型一：“手拉手”模型41初二秋季·第4讲·尖子班·学生版【解析】 ∵△ABE 、△AFC 是等边三角形∴AE =AB ，AC =AF ，60∠=∠=︒EAB FAC ∴∠+∠=∠+∠EAB BAC FAC BAC 即∠=∠EAC BAF ∴AEC ABF △≌△∴BF =EC ∠=∠AEC ABF 又∵AGE BGO ∠=∠ ∴60∠=∠=︒BOE EAB ∴60∠=︒EOB【例1】 如图，正方形BAFE 与正方形ACGD 共点于A ，连接BD 、CF ，求证：BD =CF 并求出∠DOH 的度数.典题精练OHGDFECBA42 初二秋季·第4讲·尖子班·学生版NMCBABNC【例2】 如图，已知点C 为线段AB 上一点，ACM △、BCN △是等边三角形．⑴ 求证：AN BM =.⑵ 将ACM △绕点C 按逆时针方向旋转180°，使点A 落在CB 上，请你对照原题图在图中画出符合要求的图形；⑶ 在⑵得到的图形中，结论“AN BM =”是否还成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由；⑷ 在⑵所得的图形中，设MA 的延长线交BN 于D ，试判断ABD △的形状，并证明你的结论．【例3】 在ABC △中，90∠=BAC °，⊥AD BC 于D ，BF 平分∠ABC 交AD 于E ，交AC 于F .求证：AE=AF .54321A BCDE F【例4】 如图，已知ABC △中，90ACB ∠=°，CD AB ⊥于D ，ABC ∠的角平分线BE 交CD 于G ，交AC 于E ，GF AB ∥交AC 于F ． 典题精练题型二：双垂+角平分线模型43初二秋季·第4讲·尖子班·学生版NMDCBA求证：AF CG =．【例5】 已知：正方形ABCD 中，45MAN ∠=︒，MAN ∠绕点A 顺时针旋转，它的两边分别交线段CB DC 、于点M N 、.求证BM DN MN +=.典题精练题型三：半角模型54321G FEDC BA44 初二秋季·第4讲·尖子班·学生版【例6】 如图，在四边形ABCD 中，180∠+∠=︒=B D AB AD ，，E 、F 分别是线段BC 、CD 上的点，且BE +FD =EF . 求证：12∠=∠EAF BAD .ABCDEF【例7】 在等边三角形ABC 的两边AB 、AC 所在直线上分别有两点M 、N ，D 为三角形ABC 外一点，且︒=∠60MDN ,︒=∠120BDC ,BD=DC . 探究：当M 、N 分别在直线AB 、AC 上移动时，BM 、NC 、MN 之间的数量关系．AM N BCDCBN M A图1 图2⑴如图1，当点M 、N 在边AB 、AC 上，且DM=DN 时，BM 、NC 、MN 之间的数量关系是 ； ⑵如图2，点M 、N 在边AB 、AC 上，且当DM ≠DN 时，猜想⑴问的结论还成立吗？写 出你的猜想并加以证明.45初二秋季·第4讲·尖子班·学生版PNMH GFEDCBAFE D CBA题型一 手拉手模型 巩固练习【练习1】 如图，正五边形ABDEF 与正五边形ACMHG 共点于A ，连接BG 、CF ，则线段BG 、CF 具有什么样的数量关系并求出∠GNC 的度数．题型二 双垂+角平分线模型 巩固练习【练习2】 已知AD 平分∠BAC ，⊥DE AB ，垂足为E ，⊥DF AC , 垂足为F ，且DB =DC ，则EB 与FC 的关系（ ）A. 相等B. EB <FCC. EB >FCD.以上都不对【练习3】 已知等腰直角三角形ABC 中，CD 是斜边AB 上的高，AE 平分∠CAB 交CD 于E ，在DB 上取点F ，使DF =DE .求证：CF 平分∠DCB ．题型三 半角模型 巩固练习 复习巩固F EDCBAFEDC BA46 初二秋季·第4讲·尖子班·学生版【练习4】 如图，在四边形ABCD 中，180∠+∠=︒B ADC ， AB AD =，E 、F 分别是边BC 、CD 延长线上的点，且12EAF BAD =∠∠，求证：EF BE FD =-【练习5】 在正方形ABCD 中，3BE =，5EF =，4DF =，求BAE DCF ∠+∠为多少度.FEDCBA训练1. C 为线段AE 上一动点（点C 不与点A 、E 重合），在AE 同侧分别作正三角形ABC 和思维拓展训练(选讲)47初二秋季·第4讲·尖子班·学生版正三角形CDE ，AD 与BE 交于点O ，AD 与BC 交于点P ，BE 与CD 交于点Q ，连接PQ以下九个结论：①AD =BE ②PQ //AE ③AP =BQ ④DE =DP ⑤60∠=︒AOB ⑥PCQ △为等边三角形 ⑦OC 平分AOE ∠⑧OA OB OC =+⑨OE OC OD =+ 恒成立的有 (把你认为正确的序号都填上)训练2. 正方形ABCD 中，45∠=︒EAF ，连接对角线BD 交AE 于M ，交AF 于N ，求证：以DN 、BM 、MN 为三边的三角形为直角三角形.NMAB C D EF训练3. 条件：正方形ABCD ，M 在CB 延长线上，N 在DC 延长线上，45MAN ∠=︒．结论：⑴ MN DN BM =-；⑵ AH AB =.O Q P ED C BA48 初二秋季·第4讲·尖子班·学生版B C D A EE A D C B A B C D EDEC B A A BMCHND训练4. 如图，等腰三角形ABC 与等腰三角形DEC 共点于C ，且BCA ECD ∠=∠．连接BE 、AD ．若 BC AC =，EC DC =．求证：BE AD =．若将等腰DEC △绕点C 旋转至图2、3、4情况时，其余条件不变，BE 与AD 还相等吗？为什么？⑴ ⑵ ⑶ ⑷49 初二秋季·第4讲·尖子班·学生版第十五种品格：创新学会变通，变则通一天早上，一位贫困的牧师，为了转移哭闹不止的儿子的注意力，将一幅色彩缤纷的世界地图，撕成许多细小的碎片，丢在地上，许诺说：“小约翰，你如果能拼起这些碎片，我就给你二角五分钱。
初二数学秋季尖子班讲义第2章 全等模型综合别册
第二章全等模型综合第一部分：补救练习第一关：证全等模型关卡1-1 证明手拉手模型中的全等1. 已知：如图，点C为线段BD上一点，以BC，CD分别为边作等边△ABC和等边△CDE，连接BE与AC交于点M，连接AD与BE交于点O，与CE交于点N．求证：（1）CM=CN；（2）MN∥BD．2. 已知：如图，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，且∠BAC=∠DAE，点E在BC 上．过点D作DF∥BC，连接DB．求证：（1）△ABD≌△ACE；（2）DF=CE．关卡1-2 证明垂直模型中的全等1. 把等腰直角三角形ABC按如图所示的方式立在桌子上，顶点A顶着桌面，若另外两个顶点分别距离桌面5cm和3cm，则过另外两个顶点向桌面作垂线，求垂足之间的距离DE 的长．2. 已知：如图，在△ABC中，∠C=90°，点E在AC上，且AE=BC，ED⊥AB于点D，过点A作AC的垂线，交ED的延长线于点F．求证：AB=FE．3. 如图，在△ABC中，∠ABC=∠BAC=45°，点P在AB上，AD⊥CP于点D，BE垂直于CP的延长线于点E．求证：CD=BE．1. 如图，已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，连接BE并延长交AC 于点F，AF＝EF，求证：AC＝BE．2．如图，在△ABC中，AD交BC于点D，点E是BC的中点，EF∥AD交CA的延长线于点F，交EF与于点G．若BG＝CF，求证：AD为△ABC的角平分线．1. 在正方形ABCD中，点E是BC上的一动点（不与点B、C重合），点F是CD上的一动点（不与点B、C重合）．（1）如图1，若AE=AF，求证：CE=CF．（2）如图2，若∠BAE=30°，∠DAF=15°，试猜想EF、BE、DF之间的数量关系，并给出证明．第二部分超级挑战1．（1）如图1，已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D，E．证明：DE=BD+CE；（2）如图2，将第（1）题中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D，A，E三点都在直线m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE=BD+CE 是否依然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（3）拓展与应用：如图3，D，E是D，A，E三点所在的直线m上的两个动点（D，A，E三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD，CE，若∠BDA=∠AEC=∠BAC，试判断△DEF的形状.。
北师大版初二数学秋季班(学生版) 第14讲不等式与不等式组--尖子班
北师大初二数学8年级上册秋季版（学生版）最新讲义第14讲 不等式及不等式组⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩一元一次不等式的定义不等式的性质一元一次不等式不等式的解和解集解一元一次不等式解一元一次不等式组知识点1 一元一次不等式的概念1.下列各式：（1）5x -≥；（2）30y x -＜；（3）50πx +<；（4）23x x +≠；（5）333x x+≤；（6）20x +<是一元一次不等式的有_____个【方法总结】一元一次不等式必须满足的条件：（1）只含有一个未知数（2）未知数最高次数是1（3）用不等号连接的式子.2.已知（m+4）x |m|﹣3+6＞0是关于x 的一元一次不等式，则m=_____．【方法总结】已知一个不等式是一元一次不等式，求解字母参数的值，只需令未知数的次数等于1，且未知项的系数不等于0，求出字母参数的值.当不等式中未知数的次数高于1次时，只需令高次数项的系数等于0进行求解.【随堂练习】1．（2018春•郓城县期末）在数轴上与原点的距离小于8的点对应的x 满足（ ）A ．﹣8＜x ＜8B ．x ＜﹣8或x ＞8C ．x ＜8D ．x ＞82．（2018春•万州区期末）下列各式中，不是不等式的是（ ）A ．2x≠1B ．3x 2﹣2x+1C ．﹣3＜0D ．3x ﹣2≥1知识点2 不等式的性质不等式的基本性质1 不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变.不等式的基本性质2 不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变. 【典例】1.设a ＞b ＞0，c 为常数，给出下列不等式①a ﹣b ＞0；②ac ＞bc ；③＜；④b 2＞ab ，其中正确的不等式有_____个【方法总结】在利用不等式的基本性质2进行变形时，当不等式的两边都乘以（或除以）同一个字母，需要确定所乘（或除以）字母是正还是负，再确定不等号是否需要改变.【随堂练习】1．（2019春•厦门期末）已知a b <，下列不等式成立的是( )A ．21a b +<+B ．32a b ->-C ．m a m b ->-D ．22am bm <2．（2019春•崇川区校级月考）已知实数x 、y 满足234x y -=，且1x >-，2y ，设k x y =-，则k 的取值范围是 ．3．（2019春•海淀区校级期末）已知a b >，则45a -+ 45b -+．（填>、=或)<4．（2019春•泉港区期中）已知3x y -=．①若1y <，则x 的取值范围是 ；②若x y m +=，且21x y >⎧⎨<⎩，则m 的取值范围是 ．5．（2019春•金乡县期末）若点(1,)P m m -在第一象限，则(1)1m x m ->-的解集为 ．6．（2018•锡山区校级四模）某数学兴趣小组在研究下列运算流程图时发现，取某个实数范围内的x 作为输入值，则永远不会有输出值，这个数学兴趣小组所发现的实数x 的取值范围是 ．知识点3 不等式的解和解集1.能使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解.2.一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集.【典例】1下列各数中，不是不等式2（x ﹣5）＜x ﹣8的解的是______A.-4B.-5C.-3D.5【方法总结】1.判断一个数是否是一个不等式的解，只需把这个数代入这个不等式中，判断不等式是否依然成立.2.正确区分不等式的解和解集的区别，它的解是使不等式成立的未知数的值，所有的解构成了它的解集.3. 不等式的解集在数轴上的表示方法：2.在数轴上表示下列不等式的解集：（1）5x -≤；（2）0x ≥；（3）<4x ；（4）1>12x -.2．（2019•浉河区校级模拟）若不等式组11x x m <⎧⎨>-⎩没有解，则m 的取值范围是 ．3．（2019•内乡县一模）已知32x a =-是不等式2(3)1x x -<-的一个解，那么a 的取值范围是 ．4．（2019春•铜陵期末）已知不等式组153x a x a <<⎧⎨<<+⎩的解集为5a x <<． 则a 的范围是 ．5．（2019春•和田地区期末）不等式组32x x >-⎧⎨>-⎩的解集是 ．6．（2019•城步县模拟）若关于x 的不等式的解集在数轴上表示为如图，则其解集为 ．7．（2019春•北京期末）若不等式组10x x a -<⎧⎨>⎩无解，则a 的取值范围是 ． x <a x >a x ≤ax ≥a。
初二数学人教版秋季班(教师版)第6讲等腰三角形--尖子班
第6讲等腰三角形知识点1 等腰三角形的相关概念---分类讨论求边角的值1.等腰三角形的两个腰相等，两个底角也相等.2.直角三角形30°的角所对的直角边等于斜边的一半.【典例】1.若等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，求此三角形的底角.【解析】解：①如下图，当高在三角形内部时，12BD AB=，∴∠A=30°，∴∠ABC=∠ACB=75°，②如下图，当高在三角形外部时，12BD AB=，则∠BAD=30°，∴∠BAC=150°，∴∠ABC=∠ACB=15°，所以此三角形的底角等于75°或15°．【方法总结】本题考查了等腰三角形的性质，以及含特殊角的直角三角形，熟记三角形的高相对于三角形的三种位置关系（三角形内部，三角形的外部，三角形的边上），解题时注意需要分类讨论．2.如果一等腰三角形的周长为27，且两边的差为12，求这个等腰三角形的腰长.【解析】解：设等腰三角形的腰长为x，则底边长为x﹣12或x+12，当底边长为x﹣12时，根据题意，得2x+x﹣12=27，解得x=13，∴腰长为13，此时底边长为13-12=1，满足三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，当底边长为x+12时，根据题意，得2x+x+12=27，解得x=5，此时底边长为5+12=17，因为5+5＜17，所以构不成三角形，故这个等腰三角形的腰的长为13.【方法总结】已知等腰三角形的周长和两边之差来求等腰三角形的底或腰时，我们需要分类讨论，分为两种情况：一种是“腰-底=某个值”，第二种是“底-腰=某个值”，可将底或腰设为未知数，再根据等腰三角形的周长列出方程，求出三边以后根据三角形的三边关系进行验证，选择合理的数值.【随堂练习】1．（2017秋•北京期末）已知等腰三角形一腰的垂直平分线与另一腰所在直线的夹角为40°，求此等腰三角形的顶角为______．【解答】解：当为锐角时，如图∵∠ADE=40°，∠AED=90°，∴∠A=50°，当为钝角时，如图∠ADE=40°，∠DAE=50°，∴顶角∠BAC=180°﹣50°=130°．故答案为：50°或130°．2．（2017秋•吴中区期末）已知等腰三角形周长为12，一边长为5，则它另外两边差的绝对值是______．【解答】解：∵等腰三角形的一边长为5，周长为12，∴当5为底时，其它两边都为3.5、3.5；当5为腰时，其它两边为5和2；∴另外两边差的绝对值是0或3．故答案为：0或3．3．（2017秋•浉河区期末）如图，在△ABC中，AB=AC=24厘米，BC=16厘米，点D为AB的中点，点P在线段BC上以4厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．当点Q的运动速度为_____厘米/秒时，能够在某一时刻使△BPD与△CQP全等．【解答】解：设经过x秒后，使△BPD与△CQP全等，∵AB=AC=24厘米，点D为AB的中点，∴BD=12厘米，∵∠ABC=∠ACB，∴要使△BPD与△CQP全等，必须BD=CP或BP=CP，即12=16﹣4x或4x=16﹣4x，解得：x=1或x=2，x=1时，BP=CQ=4，4÷1=4；x=2时，BD=CQ=12，12÷2=6；即点Q的运动速度是4或6，故答案为：4或64．（2018春•鼓楼区期末）已知一个等腰三角形的两边长分别是2和5，那么这个等腰三角形的周长为____．【解答】解：分情况讨论：①当三边是2，2，5时，2+2＜5，不符合三角形的三边关系，应舍去；②当三角形的三边是2，5，5时，符合三角形的三边关系，此时周长是12．故填12．5．（2017秋•杭州期末）等腰三角形的一腰上的高与另一腰所在直线的夹角为40°，则这个三角形的底角为______．【解答】解：解：有两种情况；（1）如图，当△ABC是锐角三角形时，BD⊥AC于D，则∠ADB=90°，已知∠ABD=40°，∴∠A=90°﹣40°=50°，∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=×（180°﹣50°）=65°；（2）如图，当△EFG是钝角三角形时，FH⊥EG于H，则∠FHE=90°，已知∠HFE=40°，∴∠HEF=90°﹣40°=50°，∴∠FEG=180°﹣50°=130°，∵EF=EG，∴∠EFG=∠G=×（180°﹣130°）=25°，故答案为65°或25°；知识点2 等腰三角形的性质---边角关系等腰三角形的两底角相等（简称“等边对等角”），即在△ABC，AB=AC，可得∠B=∠C.【典例】1.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AD=AC，BE=BC，求∠DCE的大小.【解析】解：设∠ACE=x，∠ECD=y，∠DCB=z，∵BC=BE，+，∴∠CED=∠ECB=y z∵AC=AD，+，∴∠ADC=∠ACD=x y+-，在△CDB中，∠B=x y z+-，在△ACE中，∠A=y z x在△ABC中，∠ACB=90°，+-++-=90°，∴∠A+∠B=90°，即x y z y z x∴2y=90°，解得y=45°．于是∠DCE=45°．【方法总结】本题考查了等腰三角形的性质，解答此题的关键是建立起各角之间的关系，结合图形列出方程进行解答．2.如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交边AB于D点，交边AC于E点，若△ABC 与△EBC的周长分别是40，24，求AB的长.【解析】解：∵DE是AB的垂直平分线，∴AE=BE，∵△ABC的周长=AB+AC+BC，△EBC的周长=BE+EC+BC=AE+EC+BC=AC+BC，∴△ABC的周长﹣△EBC的周长=（AB+AC+BC）-（AC+BC）=AB，∴AB=40﹣24=16．【方法总结】本题考查了等腰三角形的性质和垂直平分线上的性质，根据垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，得出相等的线段，把三角形的周长表示出来，再利用相等的线段进行转化求解. 【随堂练习】一．填空题（共1小题）1．（2017秋•西乡塘区校级月考）如图，△ABC中，AB=AC=CD，BD=AD，求△ABC 中各角的度数．【解答】解：∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵BD=AD，∴∠B=∠DAB，∵AC=DC，∴∠DAC=∠ADC=2∠B，∴∠BAC=∠BAD+∠DAC=∠B+2∠B=3∠B，又∠B+∠C+∠BAC=180°，∴5∠B=180°，∴∠B=36°，∠C=36°，∠BAC=108°．2．（2017•长安区校级模拟）如图，在△ABC中，AC=DC=DB，∠ACD=100°，求∠B的度数．【解答】解：∵AC=DC=DB，∠ACD=100°，∴∠CAD=（180°﹣100°）÷2=40°，∵∠CDB是△ACD的外角，∴∠CDB=∠A+∠ACD=100°=40°+100°=140°，∵DC=DB，∴∠B=（180°﹣140°）÷2=20°．3．（2016秋•岳池县期末）如图所示，在△ABC中，D为AB边上一点，且AD=CD=BC，∠ACB=75°，求∠DCB的度数．【解答】解：∵AD=CD=BC，∴∠DCA=∠A，∠B=∠CDB，设∠DCA=∠A=x，则∠B=∠CDB=∠A+∠DCA=2x，∵∠A+∠B+∠ACB=180°，∴x+2x+75°=180°，∴x=35°，∴∠DCB=∠ACB﹣∠DCB=40°．知识点3 等腰三角形的性质---三线合一等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合.例：已知△ABC是等腰三角形，AB=AC，①AD⊥BC ②BD=CD ③AD平分∠BAC,上述三个条件，任意满足一个，可得到另外两个.即①⇒②，③；②⇒①，③；③⇒①，②.。
初二数学人教版秋季班(学生版版)第7讲等边三角形--尖子班
第7讲等边三角形知识点1 等边三角形的性质1.定义：三边相等的三角形叫做等边三角形或正三角形；2.性质：等边三角形的三条边相等，三个角都等于60°；3.等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形所具有的一切性质.【典例】1.如图，已知等边△ABC中，点D、E分别在边AB、BC上，把△BDE沿直线DE翻折，使点B落在点B′处，DB′、EB′分别交边AC于点F、G，若∠ADF=80°，则∠GEC的度数为_________．【答案】40°【解析】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°，∵∠ADF=80°，∴∠BD B′=180°-80°=100°，由翻折可得∠B′DE=∠BDE ，∴∠B′DE=∠BDE=12∠BD B′=12×100°=50° ∴∠BED=180°-∠B -∠BDE=180°-60°-50°=70°，根据翻折可知，∠BE B′=2∠BED=140°，∴∠GEC=180°﹣∠BE B′=180°﹣140°=40°．故答案为：40°【方法总结】本题主要考查了等边三角形的性质，即它的每个内角都等于60°，结合翻折变换后的对应边相等，对应角相等，得到所求角与所给角度数之间的关系．2.如图，△ABC 是等边三角形，∠ABC 和∠ACD 的平分线交于点A 1，∠A 1BC 的平分线与∠A 1CD 的平分线交于点A 2，…，∠A 2015BC 的平分线与∠A 2015CD 的平分线交于点A 2016，则∠A 2016的度数是（ ）A.2013152︒ B.2014152︒ C.2015152︒ D.2016152︒ 【答案】B.【解析】解：由三角形的外角性质得，∠ACD=∠A+∠ABC ，∠A 1CD=∠A 1+∠A 1BC ， ∵∠ABC 的平分线与∠ACD 的平分线交于点A 1，∴∠A 1BC=12∠ABC ，∠A 1CD=12∠ACD ， ∵∠A 1CD=∠A 1+∠A 1BC ，∠ACD=∠A+∠ABC,∴∠A 1+∠A 1BC=12∠ACD =12（∠A+∠ABC ）=12∠A+∠A 1BC ， ∴∠A 1=12∠A=602︒， 同理可得∠A 2=12∠A 1=2602︒， …，∠A n =602n ︒． 所以∠A 2016=20162014601522︒︒=． 故选：B ．【方法总结】本题考查了等边三角形的内角等于60°，三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义，熟记性质并准确识图然后求出后一个角是前一个角的12是解题的关键． 【随堂练习】1．如图，已知∠MON=30°，点A 1，A 2，A 3，…在射线ON 上，点B 1，B 2，B 3，…在射线OM 上．△A 1B 1A 2，△A 2B 2A 3，△A 3B 3A 4，…均为等边三角形，若OA 1=4，则△A 6B 6A 7的边长为（ ）A ．16B ．32C ．64D ．128【解答】解：∵△A 1B 1A 2是等边三角形，∴A 1B 1=A 2B 1，∠3=∠4=∠12=60°，∴∠2=120°，∵∠MON=30°，∴∠1=180°﹣120°﹣30°=30°，又∵∠3=60°，∴∠5=180°﹣60°﹣30°=90°，∵∠MON=∠1=30°，∴OA1=A1B1=1，∴A2B1=1，∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形，∴∠11=∠10=60°，∠13=60°，∵∠4=∠12=60°，∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3，∴∠1=∠6=∠7=30°，∠5=∠8=90°，∴A2B2=2B1A2，B3A3=2B2A3，∴A3B3=4B1A2=4，A4B4=8B1A2=8，A5B5=16B1A2=16，以此类推：△A n B n A n+1的边长为2n+1，∴△A6B6A7的边长为：26+1=128．故选：D．1．如图，已知∠MON=30°，点A1，A2，A3，…在射线ON上，点B1，B2，B3，…在射线OM上．△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…均为等边三角形，若OA1=4，则△A6B6A7的边长为（）A．16B．32C．64D．128【解答】解：∵△A1B1A2是等边三角形，∴A1B1=A2B1，∠3=∠4=∠12=60°，∴∠2=120°，∵∠MON=30°，∴∠1=180°﹣120°﹣30°=30°，又∵∠3=60°，∴∠5=180°﹣60°﹣30°=90°，∵∠MON=∠1=30°，∴OA1=A1B1=1，∴A2B1=1，∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形，∴∠11=∠10=60°，∠13=60°，∵∠4=∠12=60°，∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3，∴∠1=∠6=∠7=30°，∠5=∠8=90°，∴A2B2=2B1A2，B3A3=2B2A3，∴A3B3=4B1A2=4，A4B4=8B1A2=8，A5B5=16B1A2=16，以此类推：△A n B n A n+1的边长为2n+1，∴△A6B6A7的边长为：26+1=128．故选：D．知识点2 等边三角形的性质与判定判定方法：1.三个边都相等的三角形是等边三角形；2.三个角都相等的三角形是等边三角形；3.有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.【典例】1.已知：在△ABC中，∠A=60°，如要判定△ABC是等边三角形，还需添加一个条件．现有下面三种说法：①如果添加条件“AB=AC”，那么△ABC是等边三角形；②如果添加条件“∠B=∠C”，那么△ABC是等边三角形；③如果添加条件“边AB、BC上的高相等”，那么△ABC是等边三角形．上述说法中，正确的有（）A.3个B.2个C.1个D.0个【答案】A.【解析】解：①若添加的条件为AB=AC ，由∠A=60°，利用有一个角为60°的等腰三角形为等边三角形可得出△ABC 为等边三角形；②若添加条件为∠B=∠C ，又∵∠A=60°，∴∠B=∠C=60°，∴∠A=∠B=∠C ，则△ABC 为等边三角形；③若添加的条件为边AB 、BC 上的高相等，如图所示：已知：∠BAC=60°，AE ⊥BC ，CD ⊥AB ，且AE=CD ，求证：△ABC 为等边三角形．证明：∵AE ⊥BC ，CD ⊥AB ，∴∠ADC=∠AEC=90°，在Rt △ADC 和Rt △CEA 中，AC CADC EA =⎧⎨=⎩，∴Rt △ADC ≌Rt △CEA （HL ），∴∠ACE=∠BAC=60°，∴∠BAC=∠B=∠ACB=60°，∴AB=AC=BC ，即△ABC为等边三角形，综上，正确的说法有3个．故选：A．【方法总结】本题考查的是等边三角形的判定，熟练掌握以下能使等边三角形成立的条件：1.三个角都是60°或三个边都相等；2.一个角是60°的等腰三角形.其余叙述方式，均需要向这两条转化，然后进行判断.2.如图，在△ABC中，∠B=60°，延长BC到D，延长BA到E，使AE=BD，连接CE、DE，使EC=DE，求证：△ABC是等边三角形．【解析】证明：如图，延长BD至F，使DF=BC，连接EF，∵EC=ED，∴∠ECD=∠EDC，∴∠ECB=∠EDF，。
学而思初二数学秋季班第10讲.特殊三角形之直角三角形.尖子班.学生版
23初二秋季·第11讲·尖子班·学生版满分晋级漫画释义三角形12级 成比例线段三角形11级特殊三角形之直角三角形三角形10级 勾股定理与逆定理 11特殊三角形之 直角三角形24 初二秋季·第11讲·尖子班·学生版有一个角是直角的三角形叫做直角三角形，这是初中阶段研究的一个特殊三角形，它的性质和判定是常考内容，也是解决初中几何问题的常用手段．一、直角三角形1. 直角三角形的性质：⑴ 两锐角互余；⑵ 三边满足勾股定理；⑶ 斜边上的中线等于斜边的一半；⑷ 30︒角所对的直角边等于斜边的一半．另外，直角三角形中还有一个重要的结论：两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积，即ab ch =．2. 直角三角形的判定：⑴ 有一个角是直角；⑵ 两锐角互余；⑶ 勾股定理的逆定理；⑷ 一条边上的中线等于这条边的一半．二、等腰直角三角形等腰直角三角形是集等腰三角形和直角三角形为一体的特殊图形，除具备等腰三角形和直角三角形的所有性质以外，它的底边中线也同时具备了“三线合一”和“斜边中线”的共同特点，可谓“集大成者”．另外，等腰直角三角形还可以看成是正方形的“半成品”，因此“还原正方形”也是等腰直角三角形常用的辅助线做法之一．思路导航知识互联网题型一：直角三角形的性质及判定25初二秋季·第11讲·尖子班·学生版【引例】 如图，正方形ABCD 的边长为4，E F 、分别在BC CD 、上，且3BE CF ==，AE BF 、相交于M ，求BM 的长． 【解析】 ∵ABCD 是正方形，∴4AB BC ==，90ABC C ∠=∠=︒，∵3BE CF ==，∴ABE BCF △≌△， ∴BAE CBF ∠=∠，∴90BME ∠=︒ 又由勾股定理可知5AE =， 在Rt ABE △中，BM AE ⊥， ∴AB BE AE BM ⋅=⋅，∴125AB BE BM AE ⋅==．【例1】 1. 在ABC △中，若35A ∠=︒，55B ∠=︒，则这个三角形是__________三角形．2. 如图，在ABC △中，90ACB ∠=︒，CD AB ⊥，若28A ∠=︒，则B ∠=_______，ACD ∠=________，BCD ∠=________．3. 如图，已知图中每个小正方形的边长为1， 则点C 到AB 所在直线的距离等于 ．（十三中分校期中）4. 如图，在四边形ABCD 中，∠A ＝60°，∠B ＝∠D ＝90°，BC ＝2，CD ＝3，则AB ＝ ．EABCDDCBA5. 已知Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB 边上的中线长为2，且AC ＋BC ＝6， 则S △ABC ＝ ．【例2】 若直角三角形的两条直角边长为a b 、，斜边为c ，斜边上的高为h ， 典题精练例题精讲图2图1AMFDE FMDCBADCBAABC26 初二秋季·第11讲·尖子班·学生版求证：⑴ 222111a b h +=；⑵ a b c h +<+．特殊的直角三角形是指()306090︒︒︒，，和()454590︒︒︒，，的直角三角形，它们的三条边之间有特殊的比例关系，分别是1:3:2和1:1:2，熟练运用这种特殊的比例关系，能够在解题过程中大幅提高解题的速度与正确率．【引例】 已知，Rt ABC △中，90C ∠=︒，30A ∠=︒，6AC =，求BC AB 、的长．【解析】 解法一：∵90C ∠=︒，30A ∠=︒，∴12BC AB =，设BC x =，则2AB x =，那么()()22262x x +=，解得2x =（舍负）∴2BC =，22AB =．解法二：∵90C ∠=︒，30A ∠=︒，∴::1:3:2BC AC AB =， ∴6233AC BC ===，∴222AB BC ==． 例题精讲思路导航题型二：特殊直角三角形的边角关系27初二秋季·第11讲·尖子班·学生版【例3】 ⑴ 在ABC △中，a b c 、、分别是A B C ∠∠∠、、的对边，且::1:2:3A B C ∠∠∠=，则a 与c 的关系是____________．⑵ 如图，把两块相同的含30︒角的三角尺如图放置， 若66AD =cm ，则三角尺的最长边长为 ．⑶ 如图，以等腰直角三角形AOB 的斜边为直角边向外作第2个等腰直角三角形1ABA ，再以等腰直角三角形1ABA 的斜边为直角边向外作第3个等腰直角三角形11A BB ，…，如此作下去，若1OA OB ==，则第8个等腰直角三角形的面积是 ．【例4】 如图，点D 、E 是等边△ABC 的BC 、AC 上的点，且CD ＝AE ，AD 、BE 相交于P 点，BQ ⊥AD 。
八年级尖子班第六讲
教学目标
01
02
03
04
掌握一元一次不等式的 概念、性质和解法。
掌握一元一次不等式组 的解法。
能够运用所学知识解决 一些实际问题。
中遇到的问题 或疑惑，培养其发现问题和解决问题的能力。
答疑解惑
针对学生的提问，教师给予耐心细致的解答和指 导，帮助学生解决困惑，加深对知识点的理解。
3
记录与反馈
对学生的问题进行记录和整理，以便于后续的教 学反思和改进。同时，将常见问题和解答整理成 册，供学生查阅和学习。
03 尖子班特色内容
数学竞赛知识
代数基础
学习代数基本概念，如变量、代数式、 方程等，为数学竞赛打下基础。
几何初步
数学分析
学习数学分析方法，如极限、连续、 可微等，培养数学逻辑思维和推理能 力。
掌握几何基础知识，如点、线、面、 角等，培养空间思维和推理能力。
高阶思维能力培养
问题解决能力
通过解决复杂问题，培养分析问 题、提出解决方案和评估结果的
培养学生的数学思维能 力和解决问题的能力。
02 数学基础回顾
代数基础
01
02
03
代数表达式
掌握代数表达式的基本概 念，包括变量、常数、代 数式的加减乘除等基本运 算。
方程与不等式
理解方程和不等式的解法， 包括一元一次方程、一元 二次方程、线性方程组等。
函数与图像
了解函数的基本概念，掌 握函数的图像表示方法， 理解函数的增减性、极值 等基本性质。
学而思初二数学秋季班第5讲.因式分解的常用方法及应用.尖子班.学生版
1初二秋季·第5讲·尖子班·学生版小人物与大人物满分晋级漫画释义5因式分解的 常用方法及应用代数式11级因式分解的高端方法及恒等变形代数式10级因式分解的常用方法及应用 代数式7级 因式分解的 概念和基本方法2初二秋季·第5讲·尖子班·学生版暑期因式分解知识回顾： 1、定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种式子变形叫做因式分解，又叫分解因式．2、提公因式法：公因式：多项式各项公共的因式．用提公因式法进行因式分解要注意下面几点： ⑴ 公因式要提尽；⑵ 将公因式提到括号外时，留在括号内的多项式的首项为正. 3、公式法把乘法公式反过来，就可以利用公式将某些多项式写成因式的积的形式，即进行因式分解． 平方差公式：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积．完全平方公式：两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方．例如：对下列各式因式分解：⑴22129abc a b -= .⑵2(3)(3)x x +-+= .⑶32x xy -=___________． ⑷227183x x ++= .在因式分解的时候，不能采用提公因式法和公式法的时候，可以思考一下是否可以采用分组分解法.基础知识示例剖析思路导航知识互联网题型一：因式分解——分组分解法3初二秋季·第5讲·尖子班·学生版如果整式没有公因式可以提取，也无法直接用公式分解，则需要分组分解. 分组分解法：将一个多项式分成二或三组，各组分别分解后，彼此又有公因式或者可以用公式，这就是分组分解法.分组分解法的基本步骤： 1、将原式适当分组；2、讲分组后的式子分解因式，或“提”或“代”；3、将经过处理过的式子在分解因式，或“提”或“代”.例如：()()()()ax by bx ayax bx ay by x a b y a b a b x y --+=-+-=-+-=-+重新分组提取公因式再提取公因式注意事项：降幂排序 首项为正拆开重组 瞄准方法【引例】 分解因式⑴22114x xy y -+- ⑵22a a b b +--【解析】 ⑴原式=22211111=1114222x xy y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+---=-+-- ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()122224x y x y =-+-- ⑵原式=()()()()()()()22=1a b a b a b a b a b a b a b -+-+-+-=-++【例1】 ⑴下列多项式已经进行了分组，能接下去分解因式的有（ ）①()321m m m +--； ②()222496b a ac c -+-+；例题精讲典题精练4初二秋季·第5讲·尖子班·学生版③()()256152x y x xy +++； ④()()22x y mx my -++； A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 ⑵因式分解：221448x y xy --+，正确的分组是（ ）A. ()()22148x xy y -+-B. ()22144x y xy --+ C. ()()221844xy x y +-+ D. ()221448x y xy -+- ⑶将多项式222221x xy y x y ++--+分解因式，正确的是（ ）A. ()2x y + B. ()21x y +- C. ()21x y ++ D. ()21x y -- ⑷将多项式3222a a b ab a ++-分解因式，正确的是（ ）A. ()()21a ab a a b ++++ B. ()()11a a b a b +++- C. ()2221a a ab b ++- D. ()()22a ab a a ab a +++-【例2】 分解下列因式⑴1xy x y --+ ⑵22221a b a b --+⑶251539a m am abm bm -+- ⑷2221a b ab +--⑸222221a ab b c c -+--- ⑹3254222x x x x x --++-5初二秋季·第5讲·尖子班·学生版【例3】 分解因式⑴()()x x z y y z +-+ ⑵3322()()ax y b by bx a y +++⑶2222()()ab c d a d cd ---十字相乘法是二次三项式因式分解的重要方法．一个二次三项式2ax bx c ++，若可以分解，则一定可以写成1122()()a x c a x c ++的形式，它的系数可以写成12a a 12c c ，十字相乘法就是用试验的方法找出十字线两端的数，其实就是分解系数a ，b ，c ，使得：12a a a =，12c c c =，1221a c a c b +=，2()()()x a b x ab x a x b +++=++.若24b ac -不是一个平方数，那么二次三项式2ax bx c ++就不能在有理数范围内分解.建议：十字相乘法只适用于二次三项式的因式分解，有些多项式为了能用十字相乘法分解，一般需经过下面两个步骤：⑴将多项式按某一个字母降幂排列，将这个多项式看成是关于这个字母的二次三项式； ⑵若系数为分数，设法提出一个为分数的公因数，使括号内的多项式成为整系数，再利用十思路导航题型二：因式分解——十字相乘法6初二秋季·第5讲·尖子班·学生版字相乘法分解．这个方法的要领可以概括成16个字“头尾分解，交叉相乘，求和凑中，试验筛选”．【引例】 分解下列因式⑴256x x ++ ⑵256x x -+ ⑶256x x +- ⑷256x x --【解析】 ⑴(2)(3)x x ++ ⑵(2)(3)x x --；⑶(6)(1)x x +-； ⑷(6)(1)x x -+【例4】 分解因式：⑴2710x x ++ ⑵221024x xy y --⑶421336x x -+ ⑷221x x -- 例题精讲典题精练x 2x 3x -2 x -3 x 6x -1x -6x 17初二秋季·第5讲·尖子班·学生版⑸22232x xy y -- ⑹22121115x xy y --选主元法：在对含有多个未知数的代数式进行因式分解时，可以选其中的某一个未知数为主元，把其他未知数看成是字母系数进行因式分解．【例5】 请用十字相乘的方法将下列各式因式分解：⑴()21x b x b -++ ⑵()2233kx k x k +-+-⑶22344883x xy y x y +-+-- ⑷(6114)(31)2a a b b b +++-- 典题精练思路导航8初二秋季·第5讲·尖子班·学生版【例6】 在日常生活中如取款、上网都需要密码，有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆，原理是：如对于多项式44x y -因式分解的结果是()()()22x y x y x y -++，若取9x =，9y =，则各个因式的值是：0x y -=，18x y +=，22162x y +=，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码．对于多项式324x xy -，取2x =，2y =时，用上述方法产生的密码是：_______________（写出一种情况即可）．【例7】 如图，试用图中的三张正方形纸片和三张矩形纸片拼成一个较大的矩形，请你画出拼后的大矩形（注明边长），并将这个拼图表示为一个因式分解的式子.aa b b bb b a b a ba典题精练题型三：因式分解的应用【例8】如图，正方体的每一个面上都有一个正整数，已知相对的两个面上两数之和都相等，13，9，3的对面的数分别为a，b，c，求222a b c ab bc ac++---的值.13 939 初二秋季·第5讲·尖子班·学生版10 初二秋季·第5讲·尖子班·学生版训练1. 分解因式：⑴ ()()112x x y y xy -++-；⑵ ()22331x x x x +++-．⑶22222()()abx a b x a b -+--； ⑷222(1)mx m m x m m -++++．训练2. 分解因式：⑴2228146x xy y x y -----．⑵222382214x y z xy xz yz --+++训练3. 已知三个连续奇数的平方和为251，求这三个奇数．训练4. 已知ABC △三边a 、b 、c ，满足条件2222220a c a b ab b c c b ac -+-+-=，试判断ABC △的形状，并说明理由．思维拓展训练(选讲)11初二秋季·第5讲·尖子班·学生版题型一 因式分解——分组分解法 巩固练习【练习1】 分解因式：()()2222ab c d cd a b +++.题型二 因式分解——十字相乘 巩固练习【练习2】 分解因式：⑴2216312m mn n --； ⑵1126724n n n x x y x y +---．【练习3】 多项式212x px ++可分解为两个一次因式的积，整数p 的值是 （写出所有情况）.【练习4】 若多项式2x x m -+在整数范围内能分解因式，把你发现字母m 的取值规律用含字母n（n 为正整数）的式子表示为 ．题型三 因式分解的应用 巩固练习【练习5】 一个矩形的面积为32a ab a -+，宽为a ，则矩形的长为_________. 复习巩固初二秋季·第5讲·尖子班·学生版第十五种品格：创新创造力的价值前几年，有人卖一块铜，喊价竟然高达28万美元。
北师大版初二数学秋季班(教师版) 第6讲 函数--尖子班
北师大初二数学8年级上册秋季版（教师版）最新讲义第6讲 函数常量与变量函数的概念函数自变量的取值范围和函数值函数的图象⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩知识点1 常量与变量1.变量与常量：在某一变化过程中，数值保持不变的量叫做常量，可以取不同数值的量叫做变量. 注：变量中，自己会变的量叫做自变量，因为自变量而随之改变的量叫做因变量.【典例】1.某品牌豆浆机成本为70元，销售商对其销量定价的关系进行了调查，结果如下：则下列说法中正确的是（ ） A. 定价是常量，销量是变量 B. 定价是变量，销量是不变量C. 定价与销售量都是变量，定价是自变量，销量是因变量D. 定价与销量都是变量，销量是自变量，定价是因变量 【答案】C.【解析】解：定价与销售量都是变量，而随着定价的改变，销量也在随之改变，所以定价是自变量，销量是因变量，故C 正确. 故选：C ．【方法总结】本题主要考查了常量和变量的概念，解题的关键能根据题干叙述，准确判断出不变的量和变化的量，并能够从变量中确认出谁是引起变化的量，进而正确区分自变量和因变量.【随堂练习】1．（2018春•郑州期末）某科研小组在网上获取了声音在空气中传播的速度与空气温度关系的一些数据（如下表）：温度/℃﹣20﹣100102030声速/m/s318324330336342348下列说法错误的是（）A．在这个变化中，自变量是温度，因变量是声速B．温度越高，声速越快C．当空气温度为20℃时，声音5s可以传播1740mD．当温度每升高10℃，声速增加6m/s【解答】解：∵在这个变化中，自变量是温度，因变量是声速，∴选项A正确；∵根据数据表，可得温度越高，声速越快，∴选项B正确；∵342×5=1710（m），∴当空气温度为20℃时，声音5s可以传播1710m，∴选项C错误；∵324﹣318=6（m/s），330﹣324=6（m/s），336﹣330=6（m/s），342﹣336=6（m/s），348﹣342=6（m/s），∴当温度每升高10℃，声速增加6m/s，∴选项D正确．故选：C．2．（2018春•确山县期中）在一次实验中，小强把一根弹簧的上端固定，在其下端悬挂物体．下面是他测得的弹簧的长度y与所挂物体的质量x的一组对应值：所挂物体的质量x/kg012345弹簧的长度y/cm202224262830（1）上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？（2）填空：①当所挂的物体为3kg时，弹簧长是____．不挂重物时，弹簧长是_____．②当所挂物体的质量为8kg（在弹簧的弹性限度范围内）时，弹簧长度是_____．【解答】解：（1）反映了弹簧长度y与所挂物体质量x之间的关系，所挂物体的质量是自变量，弹簧的长度是因变量；（2）①根据表格可知：当所挂物体重量为3千克时，弹簧长度为26cm；不挂重物时，弹簧长度为10cm；故答案为：26cm 20cm．②根据表格可知：所挂重物每增加1千克，弹簧增长2cm，根据弹簧的长度=弹簧原来的长度+弹簧伸长的长度可知当所挂物体的重量为x千克时，弹簧长度y=2x+20，将x=8代入得y=2×8+20=36．故答案为：36cm．知识点2 函数的概念1.一般地，在一个变化过程中的两个变量x和y，如果对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量.2.函数的图像:在平面直角坐标系中，以函数的自变量的值为横坐标、相应的函数值为纵坐标的点所组成的图形叫做这个函数的图像.【典例】1.下列说法正确的是（）A. 在球的体积公式V=43πr2中，V不是r的函数B. 若变量x、y满足y2=x，则y是x的函数C. 在圆锥的体积公式V=13πR2h中，当h=4厘米，R=2厘米时，V是π的函数D. 若变量x、y满足y=13x+13，则y是x的函数【答案】D.【解析】解：A、在球的体积公V=43πr2中，变量是V和r，给定一个r值，都有唯一的V值与它对应，则V是r的函数，故A错误；B、变量x、y满足y2=x，给定一个x=4，则有两个y值（±2）与之对应，则y不是x的函数，故B错误；C、在圆锥的体积公式V=13πR2h中，π是常量，所以当h=4厘米，R=2厘米时，V是π的函数是错误的，故C错误；D、变量x、y满足y=13x+13，给定一个x值，都有唯一的y值与之对应，则y是x的函数，故D正确；故选：D．2.弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度y （cm）与所挂的物体的质量x（kg）之间有下面的关系：下列说法正确的是______________．①x与y都是变量；②弹簧不挂重物时的长度为0cm；③物体质量每增加1kg，弹簧长度增加0.5cm；④所挂物体质量为7kg时，弹簧长度为13.5cm．【答案】①③④【解析】解：①x与y都是变量，且x是自变量，y是因变量，正确；②弹簧不挂重物时的长度为10cm，错误；③物体质量每增加1kg，弹簧长度增加0.5cm，正确；④所挂物体质量为7kg时，弹簧长度为10+7×0.5=13.5cm，正确故答案为：①③④3.下列图形中的图象不表示y是x的函数的是（）A.。
人教版八年级下数学尖端班特色讲义
第1讲二次根式与勾股进阶模块一二次根式计算巩固1．二次根式的三大性质0且a≥02＝a(a≥0)(0)||(0)a aaa a≥⎧=⎨-<⎩2．二次根式的运算法则3．最简二次根式a≥0）中的a称为被开方数，满足下面条件的二次根式我们称为最简二次根式，(1)被开方数不含分母：）(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．()在二次根式的运算中，一般要把最后结果化为最简二次根式，井且分母中不含二次根式．4．分母有理化如果计算结果的分母中含有二次根式，需要把分母中的根号去掉，这个过程叫做分目有理化．例如=211===-．5．同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式就叫做同类二次根式．同类次根式可以合并，例如:(a b =+ 例1(1)已知实数a 满足|2006－a |a ，求a －20062的值．(2)已知实数m ，n ，p p 的值．练习(x ＋y )2，求x －y 的值． 例2(1)化简下列式子:(2)计算②③-④- 练习(1(2)2(其中a ＞0，b ＞0)(3)若a ＋b ＝3，ab ＝1(4)若a ＋b ＝2，ab ＝12模块二 二次根式的进阶 知识导航21)＝2＋21＋12＝3＋那么反过来，已知3＋，我们也可以把它转化成21)的形式，从而就可以进一步化简；＋1．同样的，类比a2＋6ab＋9b2＝(a＋3b)2，当m≥0且n≥0时，有时我们也会根据解题需求进行这样的配方构造；m＋＋9n＝2＋22＝2．题型一配方例3例4(1)已知a－b－5＝0，求a、b的值．(2)已知a－b－2＝0，求a、b的值．【真题演练】(2016武昌区八下期中)已知4＝x＋y＋z＋9【归纳总结】形如m－n－3＋＋5＝0的等式，除了可以用上述方法直接配方构造外，也可以将根式换元升次；x＝y，则m＝x2，n＝y2＋3，代入得x2－4x＋y2＋2y＋5＝0，配方即可．模块三网格问题例6（2016江岸区八下期中）如图，正方形网格中的每一个小正方形边长都为1，每个小正方形的顶点叫格点，在现有的网格中，分别按下列要求画以格点为顶点的三角形．（1）在图1中，画一个等腰直角三角形，使它的面积为5．（2）在图2中，画一个三角形，使它的边长分别为，3、．（3）在图3中，画一个三角形，使它三个边长都为有理数．（4）在图4中，画一个直角三角形，使它的三边长都为无理数．图1 图2 图3 图4练习（2017二中八下期中）正方形网格中，小格的顶点叫做格点，三角形三个顶点都在格点上的三角形叫做格点三角形．如图，在边长为1单位长度的小正方形组成的4×4网格中，请按下列要求答题．（1）在图1中画出一个格点菱形，使其面积为4；（2）在图2中画出一个格点三角形，使其三边长分别为4；（3）在4×4正方形网格中，所有的格点三角形的斜边长共有_______种不同值．图1 图2例7 问题背景：在△ABC中，AB、BC、AC积．小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形形网格（每个小正方形的面积为1）．再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示，这样不用求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积．（1）请你将△ABC的面积直接填写在横线上________．思维拓展：（2）我们把上述求△ABC面积的犯法叫做构图法．若△ABC、、（a>0），请利用图2的正方形网格（每个小正方形的边长为a）画出相应的△ABC，并求出它的面积．探索创新：（3）若△ABC m>0，n>0，且m≠n），试运用构图法直接写出这个三角形的面积_______（结果用m、n表示）图1 图2练习（2016粮道街中学八下期中）如图，是由36个边长为1的小正方形组成的6×6的正方形网格，设顶点在这些小正方形顶点的三角形为格点三角形．（1）请你在所给的网格中画出边长为5的格点三角形△ABC．（2）△ABC的面积为_________．模块四二次格式与最值例8（2017二中八下期中）如图，铁路上A、B两点相距25km，C、D为两村庄，DA⊥AB于B，已知DA=15km，CB=10km．现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得（1）①若C、D两村到E站的距离相等，则E站应建在离A站多少km处？②若E站到C、D站的距离之和最短，则E站应建在离A站多少km处？（2）受（1）小题第②问启发，你能否解决以下问题？正数a、b满足条件a＋b=5，且s s的最小值=_______练习（2017东湖高新区八下期中）若y x 的取值范围内，y 的最小值为________ 课后作业 A 基础巩固1（2017七一中八下期中）如图所示，观察图形：12S S 、、分别是直角三角形的面积．求2221210S S S +++的值为（ ）A ．40B ．554C ．50D ．3342（2017外校八下期中）任何实数a ，可用[a ]表示不大于a 的最大整数，例如[a ]=4，=1．现对72进行如下操作：72第一次=8第二次=2第三次=1．这样对72只需要进行3次操作后变成1．只需要进行3次操作后变成1的所有正整数中，最大的是（ ）A ．256B ．255C ．80D ．813．（2017江汉区八下期中）若y <0，则-4________．4．计算：（1 （2-+（3） + （40,0)a b >>5．（2016二中八下期中）已知1,1x y ==，求下列各式的值 ① 222;x xy y ++ ②22;x y - 6．当a =，求24321996a a a --的值7．当a ，求代数式2963a a a -+-的值．8．已知152a b c +--，求a ＋b ＋c 的值．9（2016青山区八下期中）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都为1，每个小正方形的顶点叫格点． （1）在图1中以格点为顶点画一个面积为10的正方形．（2）①在图25 ②求此三角形最长边上的高图1 图2 图310．如图，在4×4的小正方形网格中，小正方形的边长为1，点O 在格点（网格线的交点）上．（1）试在格点上找点A ．使得OA =A 的坐标；（2）在格点上找出点B 和C ，使得BC =BC ）（3）点M （5，0），点P （x ，0）是线段OM的最小值．第2讲 勾股定理综合知识目标模块一 勾股定理与三边关系 知识导航勾股定理：如果直角三角形的两条直角边分别为a 、b ,斜边长为c ，那么a 2＋b 2＝c 2． 勾股定理逆定理：如果三角形三边长a 、b 、c 满足a 2＋b 2＝c 2,那么这个三角形是直角三角形． 例1判断下列说法的正误．（1）在Rt △ABC 中，己知两边长为6和8,则第三边长一定是10． （2）△ABC 的三边为a ，b ,c ，若a 2＝（b ＋c ）（b －c ），那么这个三角形是直角三角形． （3）△ABC 的三边为a ，b ,c ，若∠A ＝∠B ＝∠C ,那么这个三角形是直角三角形．（4）Rt △ABC 的三边为a ，b ,c ，且c 为斜边，h 为斜边的高，则a 2,b 2,c 2能组成三角形． （5）Rt △ABC 的三边为a ，b ,c ，且c 为斜边，h 为斜边的高，则c ＋h ,a ＋b ,h 能组成三角形．（6）Rt △ABC 的三边为a ，b ,c ，且c 为斜边，h 为斜边的高，则21a ,21b ,21h 能组成三角形．（7）Rt △ABC 的三边为a ，b ,c ，且c 为斜边，h练习（2017二中八下期中第10题）已知a ，b ，c 是直角三角形的三边，且c 为斜边，h 为斜边上的高，下列说法:a 2，b 2，c 2能组成一个三角形；②c ＋h ，a ＋b ，h 能组成直角三角形；④21a ，21b ，21h能组成直角三角形．其中错误结论的个数是（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4模块二 勾股定理与实际应用例2如图所示，一根长2.5米的木棍（AB ），斜靠在与地面（OM ）垂直的墙（ON ）上，此时OB 的距离为0.7米，设木棍的中点为P ．若木棍A 端沿墙下滑，且B 端沿地面向右滑行． （1）如果木棍的顶端A 沿墙下滑0．4米，那么木棍的底端B 向外移动多少距离？ （2）请判断木棍滑动的过程中，点P 到点O 的距离是否变化，并简述理由．（3）在木棍滑动的过程中，当滑动到什么位置时，△AOB 的面积最大？简述理由，并求出面积的最大值．练习（2017武昌C 组联盟八下期中）如图，一根长25m 的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯足距离底端7m ．如果梯子的顶端下滑4m ，那么梯足将滑动（ ）A ．5mB ．8mC ．9mD ．15m 例3如图，有两条公路OM 、ON 相交成30°角，沿公路OM 方向离O 点80米处有一所学校A ．当重型运输卡车P 沿道路ON 方向行驶时，在以P 为圆心50米长为半径的圆形区域内都会受到卡车噪声的影响，且卡车P 与学校A 的距离越近噪声影响越大．若已知重型运输卡车P 沿道路ON 方向行驶的速度为18千米/时．（1）求对学校A 的噪声影响最大时卡车P 与学校A 的距离；（2）求卡车P沿道路ON方向行驶一次给学校A带来噪声影响的时间．练习如图，一艘渔船正以30海里/时的速度由西向东追赶鱼群，在A处看见小岛C在船的北偏东60°，40分钟后，渔船行至B处，此时看见小岛C在船的北偏东30°．（1）求小岛C到航线AB的距离；（2）已知以小岛C为中心周围18海里以内为我军导弹部队军事演习的着弹危险区，问这艘渔船继续向东追赶鱼群，是否有进入危险区域的可能，若进入危险区，求出在危险区航行多长时间？（结果保留根号）模块三勾股计算综合例4（2017武昌区八下期中第16题）如图，□ABCD中，BF⊥CD交CD于点F，BE⊥AD交AD于点E，∠EBF＝60°，EFDF＝2，则BC＝_________．CA E练习（2017洪山区八下期中第21题）（2017硚口区八下期中第16题）在四边形ABCD中，AB＝3，BC＝4，AD＝CD＝5，∠ABC＝90°，求对角线BD的长．例5如图，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠BAC ＝30°，AB ＝4，分别以AB 、BC 、AC 为边作正方形ABED 、BCFK 、ACGH ，再作Rt △PQR ，使∠R ＝90°，点H 在边QR 上，点D 、E 在边PR 上，点G 、F 在边PQ 上，则PQ 的长为 ．练习如图，正方形ABCD 的边长为10，AG ＝CH ＝8，BG ＝DH ＝6，连接GH ，则线段GH 的长为（ ）A B ． C ．145 D ．10－例6如图，矩形ABCD 中，AB ＝8，点E 是AD 上的一点，有AE ＝4，BE 的垂直平分线交BC 的延长线于点F ，连结EF 交CD 于点G ．若G 是CD 的中点，则BC 的长是 ．练习 如图，在直角坐标系中，矩形ABCO 的边OA 在x 轴上，边OC 在y 轴上，点B 的坐标为（1，3），将矩形沿对角线AC 翻折，B 点落在D 点的位置，且AD 交y 轴于点E ．那么点E 的坐标 ．模块四勾股定理与旋转综合例7如图1，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，CA＝CB，CE＝CD，ACB的顶点A在△ECD 的斜边DE上（1）求证：AE2＋AD2＝2AC2；（2）如图2，若AE＝2，AC＝，点F是AD的中点，直接写出CF的长是．练习定义，如图1，点M，N把线段AB分割成AM，MN和BN，若以AM，MN，BN为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N为线段AB的勾股分割点．（1）已知点M，N是线段AB的勾股分割点，若AM＝3，MN＝5，求BN的长（2）如图2，在Rt△ABC中，AC＝BC，点M，N在斜边AB上，∠MCN＝45°，求证：点M，N是线段AB的勾股分割点；例8 （1）(2017外校八下期中)如图，四边形ABCD中，AD＝3，CD＝2，∠ABC＝∠ACB ＝∠ADC＝45°，则BD的长为_________．（2）如图，四边形ABCD中，∠ABC＝30°，∠ADC＝60°，AD＝CD，求证：BD2＝AB2＋BC2．练习如图，在四边形ABCD 中，AB ＝AC ，∠ABC ＝∠ADC ＝45°，试探究DA 、DB 、DC 之间的数量关系，并证明．BCD课后作业 A 基础巩固1，斜边上的高为2，则这个直角的斜边长为（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D2．（2017武珞路八下期中）如图，Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠ABC ＝30o ,AB ＝2，分别以△ABC 的三条边为直径作半圆，则图中阴影部分的而积S 1，S 2，S 3之间关系成立的是（ ） A ．S 1＋S 2＋S 3＝0 B ．S 1＋S 2＝S 3 C ．S 1＋S 2＞S 3 D ．S 1＋S 2＜S33．如图，铁路MN 和公路PQ 在点O 处交汇，∠QON ＝30°．公路PQ 上A 处距O 点240米．如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响．那么火车在铁路MN 上沿ON 方向以72千米/时的速度行驶时，A 处受噪音影响的时间为__________．4．(2017黄陂区八下期中第16题)如图，在四边形ABCD 中，∠ABC ＝90°，若AB ＝1，BC ＝ 2, CD，ADBD 的长为__________．5．(2017江汉区八下期中)如图，△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，P 是△ABC 的外角平分线AP 、BP 的交点，则AP 的长为____________．6．(2017武昌区八下期中)如图，在四边形ABCD 中，∠DAB ＝30°，点E 为AB 的中点，DE ⊥AB 交AB 于点E ，DEBC ＝1，CDCE 的长DABCE7．如图，数学兴趣小组要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到地面并多出一段（如图1），聪明的小红发现：先测出垂到地面的绳子长m ，再将绳子拉直（如图2），测出绳子末端C 到旗杆底部B 的距离n ，利用所学知识就能求出旗杆的长，若m ＝2，n ＝6，求旗杆AB 的长．B 综合训练8．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，D 是BC 上的一点，求证BD 2＋CD 2＝2AD 2．ABCD9．如图，在四边形ABCD 中，∠ABC ＝∠ACB ＝∠ADC ＝45°，BD ＝6，CD ＝4，求AD 的长．DCB10．如图，在四边形ABCD 中，AB ＝AC ＝BC ，∠ADC ＝30o ,试探究DA 、DB 、DC 之间的数量关系，并证明．ABD2 矩形、菱形性质、判定知识目标目标一掌握矩形的性质和判定目标二掌握菱形的性质和判定目标三综合应用矩形和菱形的性质和判定解题模块一矩形的性质和判定例1 如图，矩形ABCD中，AE⊥BD于点E,AC、BD交于点O,BE:ED=1:3(1)求证：BE= OE；(2)求∠AOB的度数．ADOECB练如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点0，AE⊥BD于点E，若∠DAE:∠BAE=3:1，求∠EAC的度数？ADOECB例2如图，矩形ABCD中，点E为BC的中点，点M为DA延长线上一点，MB、DE的延长线交于点N，且∠MNC＝90°．(1)求证：AD=2EN：(2)求证：DM=DN．ENMDCBA 练 如图，矩形ABCD 中，点E 在线段CB 的延长线上 ，连结DE 交AB 于点F ，∠AED=2∠CED ， 点G 是DF 的中点，若BE=1，AG=4，求AB 的值。
初二数学人教版秋季班(学生版版)第14讲 解分式方程--尖子班
第14讲 解分式方程知识点1 分式方程的解法解分式方程的一般步骤：（1）在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程 （2）解这个整式方程（3）验根：把整式方程的根代入最简公分母：如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原方程的解；如果最简公分母的值为0，则整式方程的解是原方程的增根，即不是原方程的解.【典例】1.解分式方程223124x x x --=+- 【解析】解：223124x x x --=+- ()()231222x x x x --=+-+ 方程两边同乘()()22x x +-，得：()22243x x +=--，整理得：224443x x x ++=--，解得：54x =，检验：当54x =时，()()22x x +-≠0，所以原方程的解为54x =.【方法总结】1、分式方程分母是多项式的要先进行因式分解，再确定最简公分母；不含分母的项也要乘以最简公分母；2、求出整式方程的根后，要注意验根，将整式方程的根代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的根是原分式方程的根；如果最简公分母的值为0，则整式方程的根是原分式方程的增根.2.解分式方程：21421242x x xx x x +-=---+ 【解析】解：方程两边乘以()()22x x +-得：()()()()()2142222x x x x x x x ++=+----去括号：222214244x x x x x x +=+----， 解得：185x =检验：当185x =时，最简公分母()()181********x x ⎛⎫⎛⎫+=+-≠⎪⎪⎝⎭⎝⎭-， 所以，185x =是原方程的解. 【方法总结】1、去分母时，每一项都要乘以()()22x x +-，“-1”项不要漏乘。
2、求出的整式方程的解，不一定是原分式方程的解，所以最后需要验根【随堂练习】1．（2018春•市中区期末）探索发现：=1﹣；=﹣；=﹣…根据你发现的规律，回答下列问题：（1）=﹣，=﹣；（2）利用你发现的规律计算：+++…+（3）灵活利用规律解方程：++…+=．【解答】解：（1）=﹣，=﹣；（2）原式=1﹣+﹣+﹣+…+﹣=1﹣=；（3）（﹣+﹣+…+﹣）=，（﹣）=﹣=，=，解得x=50，经检验，x=50为原方程的根．故答案为﹣，﹣．2．（2018春•砀山县期末）化简与解方程：（1）﹣+．（2）+1=【解答】解：（1）原式=﹣+===；（2）两边都乘以x ﹣2，得：x ﹣3+x ﹣2=﹣3， 解得：x=1，检验：当x=1时，x ﹣2=﹣1≠0， 所以分式方程的解为x=1．知识点2 分式方程的解1、类型：给出分式方程的解的限制条件，求分式方程的字母系数，例如：“关于x 的分式方程()()51212x kx x x -=-+-+的解为非负数，求k 的取值范围．” 2、此类问题的步骤（1）解方程：用含字母系数的式子表示分式方程的解；（2）根据“解的限制条件”和“最简公分母不为0”，来列所求系数的关系式； （3）解（2）中的关系式，取公共部分，即为系数的取值范围.【典例】1.关于x 的分式方程()()51212x kx x x -=-+-+的解为非负数，求k 的取值范围． 【解析】解：方程两边同时乘以()()12x x +-得：()()()()5112x x k x x =-+---，去括号，得：22652x x k x x =+----， 移项，得：22625x x x x k +++=+-+，合并同类项，得：7x=7+k ，系数化为1，得：77kx +=， 根据题意得：707k +≥且727k +≠-，717k+≠解得k≥-7且k≠-21，k≠0所以k的取值范围是k≥-7且k≠0.【方法总结】1、“非负数”是大于等于0的数.2、不要漏掉727k+≠-，717k+≠这两个限制条件.【随堂练习】1．（2018•重庆）若数a使关于x的不等式组，有且仅有三个整数解，且使关于y的分式方程+=1有整数解，则满足条件的所有a的值之和是（）A．﹣10B．﹣12C．﹣16D．﹣18【解答】解：，解①得x≥﹣3，解②得x≤，不等式组的解集是﹣3≤x≤．∵仅有三个整数解，∴﹣1≤＜0∴﹣8≤a＜﹣3，+=13y﹣a﹣12=y﹣2．∴y=∵y≠2，∴a≠﹣6，又y=有整数解，∴a=﹣8或﹣4，所有满足条件的整数a的值之和是（﹣8）+（﹣4）=﹣12，故选：B．2．（2018•北碚区校级模拟）若关于x的不等式组至少有一个整数解，且关于x的方程=的解为整数，则符合条件的整数a的个数为（）A．2个B．3个C．4个D．5个【解答】解：解不等式2x﹣（x﹣1）＞﹣1，得：x＞﹣1，解不等式（x﹣a）≤0，得：x≤a，∵不等式组至少有一个整数解，∴a≥0，解方程=得：x=，又∵x是整数，且x≠2，∴a=0，2，5，故选：B．知识点3 分式方程的增根概念：使最简公分母为0的根叫做分式方程的增根【典例】1.若关于x 的方程2151111k k x x x --+=-+-有增根，则k =________. 【答案】3或113 【解析】解：2151111k k x x x --+=-+-方程两边都乘()()11x x +-，得()()1511x k x k ++=---， ∵分式方程有增根，∴最简公分母()()11x x +-=0，所以增根是1x =或1x =- 把1x =代入()()1511x k x k ++=---，整理得3k = 把1x =-代入()()1511x k x k ++=---，整理得113k = 所以k 的值为3或113故答案为：3或113． 【方法总结】本题考查了分式方程的增根，解决增根问题的步骤： ① 去分母，化分式方程为整式方程； ② 让最简公分母为0，从而确定增根；③ 把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．2.若方程()()6=1111mx x x -+--有增根，则它的增根是（ ） A. x=0 B. x=1 C. x=﹣1 D. x=1和﹣1【答案】B. 【解析】解：()()6=1111m x x x -+--方程两边都乘()()11x x +-，得()()()6111m x x x +=+--，由最简公分母()()110x x +=-，可知增根可能是1x =或﹣1． 把1x =带入()()()6111m x x x +=+--，整理得m=3，把1x =-带入()()()6111m x x x +=+--，整理得6=0，整式方程无解， 所以原方程的增根只能是x=1． 故选：B【方法总结】此题考查了分式方程的增根的知识，增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根，可按如下步骤进行：① 化分式方程为整式方程；② 让最简公分母为0确定可能的增根；③ 把可能的增根代入整式方程，使整式方程成立的根，是原方程的增根；整式方程不成立，则不是原方程的增根.注意：使最简公分母为0的x 值，不一定是分式方程的增根.【随堂练习】1．（2018春•唐河县期中）关于x 的分式方程有增根，则m 的值为___．【解答】解：去分母得：7x+5x ﹣5=2m ﹣1， 由分式方程有增根，得到x ﹣1=0，即x=1， 把x=1代入整式方程得：12﹣5=2m ﹣1， 解得：m=4，。
初二数学秋季尖子班讲义第7章 因式分解别册
第七章 因式分解第一部分：补救练习第一关：提公因式法1. 多项式（x +2）（2x ﹣1）﹣（x +2）可以因式分解成（x +m ）（2x +n ），则m ﹣n 的值是（ ）A ． 2B ． ﹣2C ． 4D ． ﹣4 2．下列因式分解正确的是（ ） A ．2a 2﹣3ab +a =a （2a ﹣3b ）B ． 2πR ﹣2πr =π（2R ﹣2r ）C ． ﹣x 2﹣2x =﹣x （x ﹣2D ．5x 4+25x 2=5x 2（x 2+5） 3．将﹣22013+（﹣2）2014因式分解后的结果是（ ）A ． 22013B ． ﹣2C ． -D ． ﹣14．将3x （a ﹣b ）﹣9y （b ﹣a ）因式分解，应提的公因式是（ ）A ． 3x ﹣9yB ． 3x +9yC ． a ﹣bD ． 3（a ﹣b ）5．设M =a （a +1）（a +2），N =13a （a ﹣1）（a +2），那么M ﹣N 等于（ ） A ． 13（a +1）（a +2） B ． 13a 2 +12a C ． （a +1）（a +2） D ． 23a 2+43a 6．把3a n +2+15a n +1﹣45a n 分解因式是（ ） A ． 3a n （a 2+5a ﹣15）B ． 3a n （a 2+5a ﹣1﹣15）C ． 12D ．3a n +1（a +5﹣15a ） 7．若多项式（a +b ﹣c ）（a +c ﹣b ）+（b ﹣a +c ）（b ﹣a ﹣c ）=M •（a ﹣b +c ），则M =（ ） A ． 2（b ﹣c ） B ． 2a C ． 2b D ．2（a ﹣c ）8．甲、乙、丙、丁四位同学把x 4+x 3+x 2因式分解，分别是这样做的：甲：x 4+x 3+x 2=x 2（x 2+x ）；乙：x 4+x 3+x 2=x （x 3+x +x ）；丙：x 4+x 3+x 2=x 4（1+211x x+）；丁：x 4+x 3+x 2=x 3（x +1）+x 2．其中做法正确的个数有（ ）A ． 0个B ． 1个C ． 2个D ． 3个 9．已知（2x ﹣21）（3x ﹣7）﹣（3x ﹣7）（x ﹣13）可分解因式为（3x +a ）（x +b ），其中a 、b 均为整数，则a +3b = ．10. 计算2.89×29﹣2.89×17+2.89×88的结果是 ．11. （1）﹣12x 12y 3和8x 10y 6的公因式是 ．（2）多项式18x n +1﹣24x n 的公因式是 ．第二关：公式法1. 下列因式分解中，正确的个数为（）①x3+2xy+x=x（x2+2y）；②x2+4x+4=（x+2）2；③﹣x2+y2=（x+y）（x﹣y）A．3个B．2个C． 1个D． 0个2．下列多项式能用完全平方公式分解的有（）（1）a2+ab+b2（2）a2﹣a+14（3）9a2﹣24ab+4b2（4）﹣a2+8a﹣16A．1个B．2个C． 3个D． 4个3．若P=（x﹣2）（x﹣4），Q=（x﹣3）2，则P与Q的关系为（）A．P=Q B．P＞QC．P＜Q D．P与Q的大小无法确定4．无论x取何有理数，代数式x2﹣2x+2的值一定是（）A．正数B．负数C．非正数D．非负数5．若4x2﹣12xy+9y2=0，则x yx y-+的值是（）A．﹣15B．﹣1 C．15D．15y6．使得多项式a2+b2﹣2ab﹣1的值为零的条件可写成（）A．a﹣b=±1 B．a±b=1 C．a+b=±1 D．a±b=﹣17．已知a2+b2+4a﹣b+414=0，则a﹣b的值是（）A．112B．212C．﹣212D．﹣1128．已知x2+4x+y2+2y+5=0，则x y=．9．若一个正方形的面积为21 4a a++，则此正方形的周长为．10．若a2+b2+2c2+2ac﹣2bc=0，则a+b=．1．2x2﹣9xy﹣5y2因式分解为（）A．（2x﹣y）（x﹣5y）B．（x+y）（2x﹣5y）C．（2x+y）（x+5y）D．（2x+y）（x﹣5y）2．若x2﹣x﹣n=（x﹣m）（x﹣3），则mn=（）A．6 B．4 C． 12 D．﹣123．若x2+kx+16能分解成两个一次因式的积，且k为整数，那么k不可能是（）A．10 B．17 C． 15 D． 84．若多项式33x2﹣17x﹣26可因式分解成（ax+b）（cx+d），其中a、b、c、d均为整数，则|a+b+c+d|之值为何？（）A．3 B．10 C． 25 D． 295．若x2+5x+n能分解成两个整式的积，则正整数n可取值有（）A．1种B．2种C． 3种D．无数种6．若4x2+3x﹣16除以一多项式，得商式为x+2，余式为﹣6，则此多项式是（）A．4x﹣5 B．4x﹣11C．4x3+11x2﹣10x﹣26 D． 4x3+11x2﹣10x﹣387．将x5+x4+1因式分解得（）A．（x2+x+1）（x3+x+1）B．（x2﹣x+1）（x3+x+1）C．（x2﹣x+1）（x3﹣x+1）D．（x2+x+1）（x3﹣x+1）8．要使二次三项式x2+mx﹣6能在整数范围内分解因式，则m可取的整数为．9．分解因式：x2+ax+b，甲看错了a的值，分解的结果是（x+6）（x﹣1）；乙看错了b的值，分解的结果是（x﹣2）（x+1），那么x2+ax+b是．10．为使x2﹣7x+b在整数范围内可以分解因式，则b可能取的值为．11．如果把多项式x2﹣8x+m分解因式得（x﹣10）（x+n），那么m n=．12．十字相乘法分解因式：2x2﹣5x﹣3=．13．分解因式a4+a2﹣90=．14．（x﹣y）2+5（x﹣y）﹣50．1. 若m＞﹣1，则多项式m3﹣m2﹣m+1的值为（）A．正数B．负数C．非负数D．非正数2．把x2﹣y2+2y﹣1分解因式结果正确的是（）A．（x+y+1）（x﹣y﹣1）B．（x+y﹣1）（x﹣y+1）C．（x+y﹣1）（x+y+1）D．（x﹣y+1）（x+y+1）3．把多项式x2﹣y2﹣2x﹣4y﹣3因式分解之后，正确的结果是（）A．（x+y+3）（x﹣y﹣1）B．（x+y﹣1）（x﹣y+3）C．（x+y﹣3）（x﹣y+1）D．（x+y+1）（x﹣y﹣3）4．以下是一名学生做的5道因式分解题①3x2﹣5xy+x=x（3x﹣5y）；②﹣4x3+16x2﹣26x=﹣2x（2x2+8x﹣13）；③6（x﹣2）+x（2﹣x）=（x﹣2）（6+x）；④1﹣25x2=（1+5x）（1﹣5x）；⑤x2﹣xy+xz﹣yz=（x﹣y）（x+z）请问他做对了几道题？（）A．5题B．4题C． 3题D． 2题5．把多项式4x2﹣2x﹣y2﹣y用分组分解法分解因式，正确的分组方法应该是（）A．（4x2﹣y）﹣（2x+y2）B．（4x2﹣y2）﹣（2x+y）C．4x2﹣（2x+y2+y）D．（4x2﹣2x）﹣（y2+y）6．因式分解：x2﹣y2+6y﹣9=．7．多项式6x3﹣11x2+x+4可分解为．8．若m﹣n=﹣1，则m2﹣n2+m+n=．9．分解因式：x4+2x3+3x2+2x+1=．10．分解因式：x2﹣y2+ax﹣ay=．11．因式分解：（1）25x4+10x2+1；（2）a2﹣b2﹣a﹣b．12. 常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法及十字相乘法，但有更多的多项式只用上述方法就无法分解，如x2﹣4y2﹣2x+4y，我们细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了．过程为：x2﹣4y2﹣2x+4y=（x+2y）（x﹣2y）﹣2（x﹣2y）=（x﹣2y）（x+2y﹣2）．这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种方法解决下列问题：（1）分解因式x2﹣2xy+y2﹣16；（2）△ABC三边a，b，c满足a2﹣ab﹣ac+bc=0，判断△ABC的形状．第二部分超级挑战1．若x是实数，已知M=3x2﹣5x+2，N=2x2﹣3x+1，则M，N的大小关系是（）A．M＞N B．M＜N C．M=N D．M≥N2. 求1+x+x（1+x）2+x（1+x）3…+x（1+x）2015的值3. 仔细阅读下面例题，解答问题：例题：已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值．解：设另一个因式为（x+n），得x2﹣4x+m=（x+3）（x+n）则x2﹣4x+m=x2+（n+3）x+3n∴343nm n+=-⎧⎨=⎩．解得：n=﹣7，m=﹣21∴另一个因式为（x﹣7），m的值为﹣21问题：仿照以上方法解答下面问题：已知二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是（2x﹣5），求另一个因式以及k的值．。
初二数学人教版秋季班(教师版)第3讲 全等辅助线(一)-尖子班
DCEDCBA 第3讲 全等辅助线（一）知识点1 截长补短截长：即在一条较长的线段上截取一段较短的线段.如图，在线段AB 上截取AD AC =.补短：即在较短的线段上补一段线段使其和较长的线段相等.如图，延长AC到点D ，使得AD AB =.【典例】1. 如图，在ABC △中，，的平分线交于点． 在ABD △和AED △中，，∴ABD AED △≌△（SAS ） ∴，又∵ ∴， ∴DCB AAB C D2B C ∠=∠BAC ∠AD BC D AB AE =BAD EAD ∠=∠AD AD =BD ED =B AED ∠=∠2AED EDC C B C ∠=∠+∠=∠=∠EDC C ∠=∠ED EC =DCEBA∵AE+EC=AC∴．方法二：（补短）延长到点使得，连接． 在AED △和ACD △中，，， ∴AED ACD △≌△(SAS)， ∴又∵ ∴∴， ∵AB +BE=AE∴．方法三：（补短）延长到点使得，连接 则有， 又∵， ∴C E ∠=∠ ∴∴，∴ ∴AB+BD=AC【方法总结】若题目条件或求证结论中含有“a b c =+”，需要添加辅助线时多考虑“截长补短”.截长补短法是几何证明题中十分重要的方法，通常来证明几条线段的数量关系.【随堂练习】1．（2017秋•邵阳期末）如图①，在△ABC 中，∠ACB=2∠B ，AD 为∠BAC 的角平分线，求证：AB=AC+CD小明同学经过思考，得到如下解题思路：在AB 上截取AE=AC ，连接DE ，得到△ADE ≌△ADC ，从而易证AB=AC+CDAB BD AC +=AB E AC AE =DE AE AC =EAD CAD ∠=∠AD AD =C E ∠=∠22ABC E BDE C BDE ∠=∠+∠=∠=∠E BDE ∠=∠BE BD =AB BD AC +=DB E AB BE =AE EAB E ∠=∠2ABC E EAB E ∠=∠+∠=∠2ABC C ∠=∠AE AC =EAD EAB BAD E DAC∠=∠+∠=∠+∠C DAC ADE =∠+∠=∠AE DE =AB BD EB BD ED AE AC +=+===（1）请你根据以上解思路写出证明过程；（2）如图②，若AD为△ABC的外角∠CAE平分线，交BC的延长线于点D，∠D=25°，其他条件不变，求∠B的度数．【解答】证明：（1）在AB上截取AE=AC，连接DE，∵AD为∠ABC的角平分线，∴∠EAD=∠CAD，在△AED和△ACD中，，∴△AED≌△ACD（SAS），∴ED=CD，∠C=∠AED，∵∠ACB=2∠B，∴∠AED=2∠B，∵∠B+∠BDE=∠AED，∴∠B=∠BDE，∴BE=ED=CD，∴AB=AE+BE=AC+CD；（2）在射线BA上截取AE=AC，连接DE，∵AD为∠EAC的角平分线，∴∠EAD=∠CAD，在△AED和△ACD中，，∴△AED≌△ACD（SAS），∴ED=CD，∠ACD=∠AED，∵∠ACB=2∠B，∴设∠B=x，则∠ACB=2x，∴∠EAC=3x，∴∠EAD=∠CAD=1.5x，∵∠ADC+∠CAD=∠ACB=2x，∴∠ADC=0.5x=25°，解得：x=50°∴∠EDC=x，∴∠B=∠EDC=50°，∴BE=ED=CD，∴AB+AE=BE=AC+AB=CD．2．（2017秋•延庆县期末）如图1，△ABC中，AD是∠BAC的平分线，若AB=AC+CD，那么∠ACB与∠ABC有怎样的数量关系呢？（1）通过观察、实验提出猜想：∠ACB与∠ABC的数量关系，用等式表示为：______．（2）小明把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：想法1：如图2，延长AC到F，使CF=CD，连接DF．通过三角形全等、三角形的性质等知识进行推理，就可以得到∠ACB与∠ABC的数量关系．想法2：在AB上取一点E，使AE=AC，连接ED，通过三角形全等、三角形的性质等知识进行推理，就可以得到∠ACB与∠ABC的数量关系．请你参考上面的想法，帮助小明证明猜想中∠ACB与∠ABC的数量关系（一种方法即可）．【解答】解：（1）∠ACB=2∠ABC，故答案为：∠ACB=2∠ABC，（2）想法1∵AD是∠BAC的平分线，∴∠BAC=∠CAB，∵AF=AC+CF，且CD=CF，∴AF=AC+CD，又∵AB=AC+CD，∴AB=AF，又∵AD=AD，∴△ABD≌△AFD，∴∠B=∠F，∵CD=CF，∴∠F=∠CDF，又∵∠ACB=∠F+∠CDF，∴∠ACB=2∠F，∴∠ACB=2∠B，想法2∵AD是∠BAC的平分线，∴∠BAC=∠CAB，又∵AC=AE，AD=AD，∴△AED≌△ACD，∴ED=CD，∠C=∠AED，又∵AB=AC+CD，AB=AE+BE，AE=AC，∴CD=BE ， ∴DE=BE ， ∴∠B=∠EDB ，又∵∠AED=∠B+∠EDB ， ∴∠AED=2∠B ， 又∵∠C=∠AED ， ∴∠C=2∠B ．知识点2 倍长中线倍长中线：即延长三角形的中线，使得延长后的线段是原中线的两倍． 其目的是构造一对对顶角相等的全等三角形；其本质是转移边和角． 例如：其中BD CD =，延长AD 使得DE AD =，则BDE CDA △≌△．【典例】1. 如图，已知ABC △中，AB AC =，CE 是AB 边上的中线，延长AB 到D ，使BD AB =．给出下列结论：①AD=2AC ；②CD=2CE ；③∠ACE=∠BCD ；④CB 平分∠DCE ，则以上结论正确的是____． 【答案】①、②、④【解析】①正确．∵AB AC =，BD AB =，∴AD=2AC ． ②、④正确．延长CE 到F ，使EF CE =，连接BF ． ∵CE 是AB 边上的中线，∴AE EB =． 在EBF △和EAC △中EDABCEDCBAAE BE AEC BEF CE FE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴EBF EAC ≌△△（SAS ）∴BF AC AB BD ===，EBF EAC ∠=∠∴FBC FBE EBC A ACB DBC ∠=∠+∠=∠+∠=∠ 在FBC △和DBC △中 FB DB FBC DBC BC BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴FBC DBC ≌△△(SAS)∴2CD CF CE ==，∠FCB=∠DCB 即CD=2CE ，CB 平分∠DCE ．③错误．∵∠FCB=∠DCB ，而CE 是AB 边上中线而不是∠ACB 的角平分线故∠ACE 和∠BCD 不一定相等．【方法总结】本题综合性强，主要考察全等三角形的倍长中线知识点，在做全等三角形相关题目时，一旦给出“中线”、“中点”等条件时，我们应考虑到是否可以使用倍长中线法.【随堂练习】1．（2015秋•长宁区期末）如图，在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AC 上的一点，BE 交AD 于点F ，已知AE=EF ．求证：AC=BF ．【解答】证明：延长AD 到G ，使得DG=AD ． 在△ADC 和△GDB 中，，∴△ADC ≌△GDB ，FCAEBD。
初二尖子数学秋季班(雅礼班)65P ZX031
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【变式 10】已知 ab2 3 ，求 ab(a2b5 ab3 b) 的值.
【例 11】先化简下列各式，再求值.
（1）10a(5a2 b) 2a(5b 25a2 ) 3ab ，其中 a 2 ， b 1 ； 23
【练 11】已知 (x my)(x ny) x2 2xy 8y2 ，试求 m 2n mn 2 的值.
【单项式与多项式的乘除】
【例 8】已知 (x a)(x2 2x b) x3 4x ，求 a 、 b 的值．
【练 8】在多项式 ax5 bx3 cx 3 中,当 x 3 时,多项式的值为 5,求当 x 3
时,求多项式的值.
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【例 9】已知 (x a)(x2 x c) 的积中不含 x 2 项和 x 项，则 (x a)(x2 x c)
【例 2】若 x2 xy y2 (x y)2 k ，则 k 为（ ）
Ａ.0
Ｂ. xy
Ｃ. 2xy
Ｄ. 3xy
【练习 2】如果 (x a)2 x2 8x b ,则 a,b 的值分别为（ ）
A. a 4,b 16
B. a 4,b 16
C. a 4,b 16
D. a 4,b 16
7
【拓展*1】观察下列各式：
(x 1)(x 1) x2 1 (x 1)(x2 x 1) x3 1 (x 1)(x3 x2 x 1) x4 1
根据前面各式的规律，你能不能得出下面式子的结果：
(x 1)(xn xn1 xn2 x 1)
.(其中 n 为正整数)
【拓展*2】（2007 山东）根据以下十个乘积，回答问题：
)
A. P Q
B. P Q
C. P Q
D.无法确定
3
【例题 7】已知有理数 a, b, c, d 满足
初二数学秋季尖子班讲义第13章 勾股定理
第十三章勾股定理第一部分：补救练习第1关：勾股定理关卡1-1 探索勾股定理1. 如图摆放的三个正方形，S表示面积，则S=（）A．10 B．500 C．300 D．302. 如图，所有三角形都是直角三角形，所有四边形都是正方形，已知S1=4，S2=9，S3=8，S4=10，则S=（）A．25 B．31 C．32 D．403. 如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4．分别以AB、AC、BC为边在AB的同侧作正方形ABEF、ACPQ、BCMN，四块阴影部分的面积分别为S1、S2、S3、S4．则S1+S2+S3+S4等于（）A．14 B．16 C．18 D．20题1 题2 题34. 设三角形ABC为一等腰直角三角形，角ABC为直角，D为AC中点．以B为圆心，AB为半径作一圆弧AFC，以D为中心，AD为半径，作一半圆AGC，作正方形BDCE．月牙形AGCFA的面积与正方形BDCE的面积大小关系（）A．S月牙=S正方形B．S月牙=S正方形C．S月牙=S正方形D．S月牙=2S正方形5. 如图，OP=1，过P作PP1⊥OP且PP1=1，得OP1=；再过P1作P1P2⊥OP1且P1P2=1，得OP2=；又过P2作P2P3⊥OP2且P2P3⊥OP2且P2P3=1，得OP3=2，；…依次法继续作下去，则OP2015长为（）A．2015 B．2016 C．D．题4 题5关卡1-2用勾股定理进行计算1. 在一个直角三角形中，若其中两边长分别为5cm，3cm，则第三边长为（）A．4cm B．4cm或cm C．cm D．不存在2. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，DE是BC的垂直平分线，点E是垂足．已知DC=5，AD=2，则图中长为的线段有（）A．4条B．3条C．2条D．1条3. 如图，长方形纸片ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形纸片折叠，使点D与点B重合，点C落在点H的位置，折痕为EF，则△ABE的面积为（）A．6cm2B．8cm2C．10cm2D．12cm24. 如图，在等腰三角形ABC中，AC=BC=5cm，AB=6cm，则等腰△ABC的面积为（）cm2．A．12 B．11 C．10 D．13题2 题3 题45. 如图，四边形ABCD中，AB=15，BC=12，CD=16，AD=25，且∠C=90°，则四边形ABCD的面积是（）A．246 B．296 C．592 D．以上都不对6. 如图，AD，CE为锐角△ABC的两条高，若AB=15，BC=14，CE=11.2，则BD的长为（）A．8 B．9 C．11 D．127. 如图，在△ABC中，若AB=10，AC=16，AC边上的中线BD=6，则BC等于（）A．8 B．10 C．11 D．12第二部分：超级挑战1. 如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1、S2，则S1+S2的值为（）A．16 B．17 C．18 D．192. 如图所示为一种“羊头”形图案，其作法是：从正方形①开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作正方形②和②，…，依此类推，若正方形①的面积为64，则正方形⑤的面积为（）A．2 B．4 C．8 D．163. 如图，把直角△ABC的斜边AC放在定直线l上，按顺时针的方向在直线l上转动两次，使它转到△A2B2C2的位置，设AB=，BC=1，则顶点A运动到点A2的位置时，点A所经过的路线为（）A．（+）πB．（+）πC．2πD．π。
北师大版初二数学秋季班(学生版) 第7讲 正比例函数--尖子班
1.画出下列函数图象，并写出函数性质：
（1） ；（2） ．
2.已知函数 ， ， ， ．
（1）在同一坐标系内画出函数的图象．
（2）探索发现：
观察这些函数的图象可以发现，随|k|的增大直线与 轴的位置关系有何变化？
（3）灵活运用
已知正比例函数 ， 在同一坐标系中的图象如图所示，则 与 的大小关系为____________．
B.圆的面积y（平方厘米）与半径x（厘米）的关系
C.如果直角三角形中一个锐角的度数为x，那么另一个锐角的度数y与x间的关系
D.一棵树的高度为60厘米，每个月长高3厘米，x月后这棵的树高度为y厘米
2.已知 ，如果y是x的正比例函数，求m的值.
【方法总结】
1.判断某两个变量 之间的关系是否是正比例函数，只需要根据已知条件列出等量关系，用一个变量表示另一个变量，看它们是否y= x，下列结论正确的是（ ）
【方法总结】
1.掌握正比例函数的性质，能根据k的值确定图象经过的象限，也能够根据图象经过的象限来判断k的值；
2.掌握正比例函数的增减性和k值之间的关系，即当 时，图象过一、三象限， 随 的增大而增大；当 时，图象过二、四象限， 随 的增大而减小.
3.比较同一直角坐标系中不同直线对应的 值的大小时，只需比较每条直线与 轴所夹锐角的大小，锐角越大， 越大，分别确定一、三象限中 的大小和二、四象限中 的大小，再按照“一、三象限的 值>二、四象限的 值”将 值的大小进行最终排序.
（1）求该正比例函数的解析式；
（2）在 轴上是否存在一点 ，使 的面积为6？若存在，求点 的坐标；若不存在，请说明理由．
4．（2018秋•东营区校级期末）已知 ， 与 成正比例， 与 成正比例，当 时， ；当 时， ．
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初二数学秋季尖子班第9讲概率综合 (3)第10讲图形旋转（上） (14)第11讲图形旋转（下） (19)第12讲一元一次方程初步 (24)第13讲一元一次方程进阶 (31)第14讲一元一次方程综合 (38)第15讲期末考试冲刺复习第9讲概率综合第9讲概率综合考点一、确定事件和随机事件1、确定事件必然发生的事件：在一定的条件下重复进行试验时，在每次试验中必然会发生的事件。
不可能发生的事件：有的事件在每次试验中都不会发生，这样的事件叫做不可能的事件。
2、随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件。
【高能100例题1】下列事件中是必然事件的是（）A. 打开电视机，正在播广告.B. 从一个只装有白球的缸里摸出一个球，摸出的球是白球.C. 从一定高度落下的图钉，落地后钉尖朝上.D. 今年10月1日，厦门市的天气一定是晴天.【高能100例题2】如图的转盘被划分成六个相同大小的扇形，并分别标上1，2，3，4，5，6这六个数字，指针停在每个扇形的可能性相等，四位同学各自发表了下述见解：甲：如果指针前三次都停在了3号扇形，下次就一定不会停在3号扇形了乙：只要指针连续转六次，一定会有一次停在6号扇形丙：指针停在奇数号扇形的概率和停在偶数号扇形的概率相等丁：运气好的时候，只要在转动前默默想好让指针停在6号扇形，指针停在6号扇形的可能性就会加大。
其中你认为正确的见解有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【高能100练习1】下列事件是必然发生事件的是A、打开电视机，正在转播足球比赛；B、小麦的亩产量一定为1000公斤；C、在只装有5个红球的袋中摸出1球，是红球；D、农历十五的晚上一定能看到圆月．【高能100练习2】下列说法正确的是( )A、可能性很小的事件在一次实验中一定不会发生；B、可能性很小的事件在一次实验中一定发生；C、可能性很小的事件在一次实验中有可能发生；D、不可能事件在一次实验中也可能发生【高能100练习3】同时掷两枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，下列事件中是不可能事件的是（）A. 点数之和为12B. 点数之和小于3C. 点数之和大于4且小于8D. 点数之和为13考点二、随机事件发生的可能性一般地，随机事件发生的可能性是有大小的，不同的随机事件发生的可能性的大小有可能不同。
对随机事件发生的可能性的大小，我们利用反复试验所获取一定的经验数据可以预测它们发生机会的大小。
要评判一些游戏规则对参与游戏者是否公平，就是看它们发生的可能性是否一样。
所谓判断事件可能性是否相同，就是要看各事件发生的可能性的大小是否一样，用数据来说明问题。
【高能100例题3】如图所示，准备了三张大小相同的纸片，其中两张纸片上各画一个半径相等的半圆，另一张纸片上画一个正方形。
将这三张纸片放在一个盒子里摇匀，随机地抽取两张纸片，若可以拼成一个圆形(取出的两张纸片都画有半圆形)则甲方赢；若可以拼成一个蘑菇形(取出的一张纸片画有半圆、一张画有正方形)则乙方赢。
你认为这个游戏对双方是公平的吗？若不是，有利于谁？_____________________.【高能100练习4】李红和张明正在玩掷骰子游戏，两人各掷一枚骰子。
⑴当两枚骰子点数之积为奇数时，李红得3分，否则，张明得1分，这个游戏公平吗？为什么？⑵当两枚骰子的点数之和大于7时，李红得1分，否则张明得1分，这个游戏公平吗？为什么？如果不公平，请你提出一个对双方公平的意见。
考点三、概率的意义与表示方法1、概率的定义一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率mn会稳定在某个常数p附近，那么这个常数p就叫做事件A的概率。
2、事件和概率的表示方法一般地，事件用英文大写字母A，B，C，…，表示事件A的概率p，可记为P（A）=P考点四、确定事件和随机事件的概率之间的关系1、确定事件概率（1）当A是必然发生的事件时，P（A）=1（2）当A是不可能发生的事件时，P（A）=02、确定事件和随机事件的概率之间的关系事件发生的可能性越来越小0 1概率的值不可能发生必然发生事件发生的可能性越来越大考点五、古典概型1、古典概型的定义某个试验若具有：①在一次试验中，可能出现的结构有有限多个；②在一次试验中，各种结果发生的可能性相等。
我们把具有这两个特点的试验称为古典概型。
2、古典概型的概率的求法一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m中结果，那么事件A发生的概率为P（A）=nm【高能100例题4】某班有49位学生，其中有23位女生. 在一次活动中，班上每一位学生的名字都各自写在一张小纸条上，放入一盒中搅匀. 如果老师闭上眼睛从盒中随机抽出一张纸条，那么抽到写有女生名字纸条的概率是 .【高能100练习5】冰柜里有四种饮料：5瓶特种可乐、12瓶普通可乐、9瓶桔子水、6瓶啤酒，其中特种可乐和普通可乐是含有咖啡因的饮料，那么从冰柜里随机取一瓶饮料，该饮料含有咖啡因的概率是( )。
A、532B、38C、1532D、1732【高能100练习6】若1000张奖券中有200张可以中奖，则从中任抽1张能中奖的概率为 .【高能100练习7】一个口袋中装有4个白球，2个红球，6个黄球，摇匀后随机从中摸出一个球是白球的概率是 。
考点六、几何概率有些可能的结果没法一一统计，例如雨点落在地砖上的位置、转盘上指针最后停下的位置等，这时我们可以借助几何图形的面积和线段的长度来计算。
此时，事件的概率可以用部分线段的长度（部分区域的面积）和整条线段的长度（整个区域的面积）的比来表示，在数学上，这些问题的概率又称为几何概率。
【高能100例题5】如图，数轴上两点AB ，在线段AB 上任取一点C ，则点C 到表示1的点的距离不大于2的概率是 。
考点七、列举法在一次试验中，如果可能出现的结果只有有限个，且各种结果出现的可能性大小相等，我们可通过列举试验结果的方法，分析出随机事件发生的概率。
这种方法称为列举法。
用列举法求概率的基本步骤：①列举出一次试验的所有可能结果，共n 种；②求出满足要求的结果数m ；③概率()m P A n= 【高能100例题6】从一个装有2个红球，2个白球（红球、白球除颜色不同之外，其余都相同）的盒子里先摸出一个球，再放回盒子里搅匀，再摸出一个球，求两次摸到的都是白球的概率。
【高能100练习8】随机掷一枚均匀的硬币两次，两次正面都朝上的概率是（ ）A 、41B 、21C 、43D 、1考点六、列表法求概率1、列表法用列出表格的方法来分析和求解某些事件的概率的方法叫做列表法。
2、列表法的应用场合当一次试验要设计两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法。
【高能100例题7】如图所示的两个圆盘中,指针落在每一个数上的机会均等,则两个指针同时落在偶数上的概率是（）A．525B．625C．1025D．1925考点七、树状图法求概率1、树状图法就是通过列树状图列出某事件的所有可能的结果，求出其概率的方法叫做树状图法。
2、运用树状图法求概率的条件当一次试验要设计三个或更多的因素时，用列表法就不方便了，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树状图法求概率。
【高能100例题8】如图，小明，小华用四张扑克牌玩游戏，他俩将扑克牌洗均匀后，背面朝上放置在桌面上，小明先抽，小华后抽，抽出的牌不放回。
（1）若小明恰好抽到的黑桃4。
①请在右边绘制这种情况的树状图；②求小华抽出的牌的牌面数字比4大的概率。
（2）小明、小华约定：若小明抽到的牌的牌面数字比小华的大，则小明胜；反之，则小明负，你认为这个游戏是否公平？说明你的理由。
【高能100练习9】一布袋中有红、黄、白三种颜色的球各一个，它们除颜色外其它都一样。
小亮从布袋中摸出一个球后放回去摇匀，再摸出一个球。
请你利用列举法（列表或画树状图）分析并求出小亮两次都能摸到白球的概率。
【高能100练习10】某校八年级将举行班级乒乓球对抗赛，每个班必须选派出一对男女混合双打选手参赛．八年级一班准备在小娟、小敏、小华三名女选手和小明、小强两名男选手中，选男、女选手各一名组成一对参赛，一共能够组成哪几对？如果小敏和小强的组合是最强组合，那么采用随机抽签的办法，恰好选出小敏和小强参赛的概率是多少？考点八、利用频率估计概率1、利用频率估计概率在同样条件下，做大量的重复试验，利用一个随机事件发生的频率逐渐稳定到某个常数，可以估计这个事件发生的概率。
2、在统计学中，常用较为简单的试验方法代替实际操作中复杂的试验来完成概率估计，这样的试验称为模拟实验。
3、随机数在随机事件中，需要用大量重复试验产生一串随机的数据来开展统计工作。
把这些随机产生的数据称为随机数。
课后作业【高能100作业1】下列事件中，属于必然事件的是（）A、明天我市下雨B、我走出校门，看到的第一辆汽车的牌照的末位数字是偶数C、抛一枚硬币，正面朝上D、一口袋中装有2个红球和1个白球，从中摸出2个球，其中有红球【高能100作业2】从一副扑克牌中抽出5张红桃，4张梅花，3张黑桃放在一起洗匀后，从中一次随机抽出10张，恰好红桃、梅花、黑桃3种牌都抽到，这件事情（）A、可能发生B、不可能发生C、很有可能发生D、必然发生【高能100作业3】如果甲邀请乙玩一个同时抛掷两枚硬币的游戏，游戏的规则如下：同时抛出两个正面，乙得1分；抛出其他结果，甲得1分. 谁先累积到10分，谁就获胜.你认为（填“甲”或“乙”）获胜的可能性更大. 【高能100作业4】中央电视台“幸运52”栏目中的“百宝箱”互动环节，是一种竞猜游戏，游戏规则如下：在20个商标牌中，有5个商标牌的背面注明一定的奖金额，其余商标牌的背面是一张哭脸，若翻到哭脸，就不得奖，参与这个游戏的观众有三次翻牌机会（翻过的牌不能再翻）.某观众前两次翻牌均获得若干奖金，那么他第三次翻牌获奖的概率是（）A、14B、15C、16D、320【高能100作业5】口袋中放有3只红球和11只黄球，这两种球除颜色外没有任何区别.随机从口袋中任取一只球，取到黄球的概率是 .【高能100作业6】五张标有1、2、3、4、5的卡片，除数字外其它没有任何区别。
现将它们背面朝上，从中任取一张得到卡片的数字为偶数的概率是。
【高能100作业7】以下说法合理的是（）A、小明在10次抛图钉的试验中发现3次钉尖朝上，由此他说钉尖朝上的概率是30%的意思是每6次就有1次B、抛掷一枚普通的正六面体骰子，出现6的概率是16掷得6。
C、某彩票的中奖机会是2%，那么如果买100张彩票一定会有2张中奖。
D、在一次课堂进行的试验中，甲、乙两组同学估计硬币落地后，正面朝上的概率分别为0.48和0.51。
【高能100作业8】小红、小明、小芳在一起做游戏时，需要确定游戏的先后顺序.他们约定用“剪子、包袱、锤子”的方式确定.问在一个回合中三个人都出包袱的概率是____________.【高能100作业9】在“读书月”活动中，小华在书城买了一套科普读物，有上、中、下三册，要整齐的摆放在书架上，有哪几种摆法？其中恰好摆成“上、中、下”顺序的概率是多少？【高能100作业10】四张大小、质地均相同的卡片上分别标有数字1，2，3，4，现将标有数字的一面朝下扣在桌子上，从中随机抽取一张（不放回），再从桌子上剩下的3张中随机抽取第二张.（1）用画树状图的方法，列出前后两次抽得的卡片上所标数字的所有可能情况；（2）计算抽得的两张卡片上的数字之积为奇数的概率是多少？【高能100作业11】一对骰子，如果掷两骰子正面点数和为2、11、12，那么甲赢；如果两骰子正面的点数和为7，那么乙赢；如果两骰子正面的点数和为其它数，那么甲乙都不赢。