椭圆定点定值专题习题

1．已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，短轴长为4．

（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；

（Ⅱ）P（2，n），Q（2，﹣n）是椭圆C上两个定点，A、B是椭圆C上位于直线PQ两侧的动点．

①若直线AB的斜率为，求四边形APBQ面积的最大值；

②当A、B两点在椭圆上运动，且满足∠APQ=∠BPQ时，直线AB的斜率是否为定值，说明理由．

2．已知椭圆的离心率为，且经过点．

（1）求椭圆C的方程；

（2）已知A为椭圆C的左顶点，直线l过右焦点F与椭圆C交于M，N两点，若AM、AN 的斜率k1，k2满足k1+k2=m（定值m≠0），求直线l的斜率．

3．如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆的焦距为2，且过点．

（1）求椭圆E的方程；

（2）若点A，B分别是椭圆E的左、右顶点，直线l经过点B且垂直于x轴，点P是椭圆上异于A，B的任意一点，直线AP交l于点M．

（ⅰ）设直线OM的斜率为k1，直线BP的斜率为k2，求证：k1k2为定值；

（ⅱ）设过点M垂直于PB的直线为m．求证：直线m过定点，并求出定点的坐标．

4．已知F1，F2分别是椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点，半焦距为c，直线x=﹣与x轴的交点为N，满足，设A、B是上半椭圆上满足的两点，其中．

（1）求椭圆的方程及直线AB的斜率k的取值范围；

（2）过A、B两点分别作椭圆的切线，两切线相交于一点P，试问：点P是否恒在某定直线上运动，请说明理由．

5．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，其焦点在

圆x2+y2=1上．

（1）求椭圆的方程；

（2）设A，B，M是椭圆上的三点（异于椭圆顶点），且存在锐角θ，使

．

（i）求证：直线OA与OB的斜率之积为定值；

（ii）求OA2+OB2．

6．已知椭圆的左焦点为F（﹣，0），离心率e=，M、N是

椭圆上的动点．

（Ⅰ）求椭圆标准方程；

（Ⅱ）设动点P满足：，直线OM与ON的斜率之积为﹣，问：是否存在定

点F1，F2，使得|PF1|+|PF2|为定值？，若存在，求出F1，F2的坐标，若不存在，说明理由．（Ⅲ）若M在第一象限，且点M，N关于原点对称，点M在x轴上的射影为A，连接NA 并延长交椭圆于点B，证明：MN⊥MB．

7．一束光线从点F1（﹣1，0）出发，经直线l：2x﹣y+3=0上一点P反射后，恰好穿过点F2（1，0）．

（1）求P点的坐标；

（2）求以F1、F2为焦点且过点P的椭圆C的方程；

（3）设点Q是椭圆C上除长轴两端点外的任意一点，试问在x轴上是否存在两定点A、B，使得直线QA、QB的斜率之积为定值？若存在，请求出定值，并求出所有满足条件的定点A、B的坐标；若不存在，请说明理由．

8．已知椭圆的离心率为，且经过点．

（1）求椭圆C的方程；

（2）设直线l：y=kx+t（k≠0）交椭圆C于A、B两点，D为AB的中点，k OD为直线OD的斜率，求证：k•k OD为定值；

（3）在（2）条件下，当t=1时，若的夹角为锐角，试求k的取值范围．

9．如图所示，椭圆C：的焦点为F1（0，c），F2（0，

﹣c）（c＞0），抛物线x2=2py（p＞0）的焦点与F1重合，过F2的直线l与抛物线P相切，切点在第一象限，且与椭圆C相交于A，B两点，且．

（1）求证：切线l的斜率为定值；

（2）当λ∈[2，4]时，求椭圆的离心率e的取值范围．

10．已知椭圆（a＞b＞0）的右焦点为F1（2，0），离心率为e．

（1）若e=，求椭圆的方程；

（2）设A，B为椭圆上关于原点对称的两点，AF1的中点为M，BF1的中点为N，若原点O 在以线段MN为直径的圆上．

①证明点A在定圆上；

②设直线AB的斜率为k，若k，求e的取值范围．

11．在平面直角坐标系xOy中，椭圆=1（a＞b＞0）的焦点为 F1（﹣1，0），F2（1，0），左、右顶点分别为A，B，离心率为，动点P到F1，F2的距离的平方和为6．

（1）求动点P的轨迹方程；

（2）若，，Q为椭圆上位于x轴上方的动点，直

线DM•CN，BQ分别交直线m于点M，N．

（i）当直线AQ的斜率为时，求△AMN的面积；

（ii）求证：对任意的动点Q，DM•CN为定值．

12．（1）如图，设圆O：x2+y2=a2的两条互相垂直的直径为AB、CD，E在弧BD上，AE交CD于K，CE交AB于L，求证：为定值

（2）将椭圆（a＞b＞0）与x2+y2=a2相类比，请写出与（1）类似的命题，并证明你的结论．

（3）如图，若AB、CD是过椭圆（a＞b＞0）中心的两条直线，且直线AB、CD 的斜率积，点E是椭圆上异于A、C的任意一点，AE交直线CD于K，CE 交直线AB于L，求证：为定值．

13．作斜率为的直线l与椭圆C：交于A，B两点（如图所示），且

在直线l的左上方．

（1）证明：△PAB的内切圆的圆心在一条定直线上；

（2）若∠APB=60°，求△PAB的面积．

14．设椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左．右焦点分别为F1F2，上顶点为A，过点A与AF2垂直的直线交x轴负半轴于点Q，且2+=．

（1）若过A．Q．F2三点的圆恰好与直线l：x﹣y﹣3=0相切，求椭圆C的方程；（2）在（1）的条件下，过右焦点F2作斜率为k的直线l与椭圆C交于M．N两点．试证明：+为定值；②在x轴上是否存在点P（m，0）使得以PM，PN为邻边的

平行四边形是菱形，如果存在，求出m的取值范围，如果不存在，说明理由．

15．已知A，B分别是椭圆C1：=1的左、右顶点，P是椭圆上异与A，B的任意一点，Q是双曲线C2：=1上异与A，B的任意一点，a＞b＞0．

（I）若P（），Q（，1），求椭圆C l的方程；

（Ⅱ）记直线AP，BP，AQ，BQ的斜率分别是k1，k2，k3，k4，求证：k1•k2+k3•k4为定值；