矩阵A能对角化
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则有 [1 , 3 ] [ 2 , 3 ] 0
即
[[21,,33
] ]
x1 x1
x2 x3 0 2x2 x3 0
解之得 x1 x3 , x2 0.
若令 x3 1,则有
x1 1
3 x2 0
同理可得2 r 0. 故1,2 ,,r线性无关.
例1 已知三维向量空间中两个向量
1
1 1,
1
1
2 2
1
正交，试求一个非零向量 3 ，使
1
,
2
,
两两正交。
3
解 设3 x1, x2 , x3 T 0,且分别与1,2正交.
例如
1 2 1 2 0 0
e1
1
0 0
2
,
e2
1 0 0
2 ,e3
1 1
0
2 ,e4 2
1
0 2
.
1 2
（5）标准正交基的求解
设1,2 ,,r是向量空间V的一个基,要求V
（2）单位化，取
e1 =
b1 b1
,
e2 =
b2 b2
,L , er =
br br
,
那么 e1, e2,, er为V的一个标准正交基 。
上述由线性无关向量组a1,, ar导出正交向量 组b1,,br的过程, 称为施密特（Schmidt）正交化。
例２ 用施密特正交化方法，将向量组
a1 (1,1,1,1),a2 (1,1,0,4),a3 (3,5,1,1)
定义2 令
[ ] x = x, x = x12 + x22 +L + xn2 称 x 为n维向量 x的长度 或范数 .
向量的长度具有下述性质： （1）非负性 当 x 0时, x 0;当 x 0时, x 0;
（2）齐次性 x x ;
当 x 1时, 称 x为单位向量。 若a 0,取x a ,则x是一个单位向量。由向量a得到x
(1)x, y y, x;
(2)x, y x, y;
(3)x y, z x, z y, z;
(4)当x 0时，[x, x] 0；当x 0时，[x, x] 0.
(5)[ x, y]2 £ [ x, x] [ y, y]
2.向量的长度及性质
r 称为向量空间V 的维数，并称V 为 r 维向量空间。
x 1a1 2a2 ... r ar
数组 , ,..., 称为向量x在基 a , a ,..., a 中的坐标.
12
r
12
r
（4） 标准正交基
定义3 设n维向量 e1, e2,, er是向量空间 V (V
Rn )的一个基,如果e1, e2 ,, er两两正交且都是单位 向量,则称e1, e2 ,, er是V的一个标准正交基.
标准正交化.
解 先正交化，取
b1 a1 1,1,1,1
b2
a2
b1 , a2 b1 , b1
b1
1,1,0,4 1 1 4 1,1,1,1 0,2,1,3
1111
b3
a3
[b1 [b1
,a3 , b1
] ]
b1
[b2 [b2
（2）正交向量组的定义
一组两两正交的非零向量，称为正交向量组．
（3） 正交向量组的性质
定理1
若n维
向量
1 ,
2
,,
是一组
r
两两正交的
非零向量,则 1, 2 ,, r 线性无关.
证明 设有 1,2 ,,r 使 11 22 r 0
以a1T 左乘上式两端,得 11T1 0 由 1 0 1T1 1 2 0, 从而有1 0 .
b1
,
b3
=
a3
-
[b1, [b1,
a3 ] b1 ]
b1
-
[b2 [b2
, ,
a3 b2
] ]
b2
LLLL
br
= ar
-
[b1, [b1,
ar b1
] ]
b1Hale Waihona Puke Baidu
-
[b2 [b2
, ,
ar b2
] ]
b2
-L
-
[br [br -
-1, ar ] 1, br- 1]
br
-
1
那么b1,, br两两正交，且 b1,, br与a1,ar等价.
x3 1
由上可知1 ,2 ,3两两正交.
定义 设V为向量空间，如果r个向量1,2 ,...,r V ,
且满足
（1） 1 ,2 , ...,r 线性无关；
（2）V 中任一向量都可由 1,2 ,...,r 线性表示， 那么，向量组 1 ,2 , ...,r 就称为向量空间V 的一个基，
a 的过程称为把向量a单位化。 由施瓦茨不等式，x y ¹ 0，
-1 ＃[ x, y] 1 xy
当x 0, y 0时, arccos x, y 称为n维向量
xy x与y的夹角。
3.正交向量组的定义及求解
（1）正交的定义
x, y 0时,称向量x与y正交。
零向量与任何向量都正交。
,a3 , b2
] ]
b2
3,5,1,1 8 1,1,1,1 140,2,1,3 1,1,2,0
4
14
再单位化，得标准正交向量组如下
的一个标准正交基, 就是要找一组两两正交的单
位向量e1, e2 ,, er , 使e1, e2 ,, er与1,2 ,,r等 价, 这样一个问题, 称为把基1,2 ,,r标准正
交化.
若a1 ,a2 ,,ar为向量空间V的一个基,
（1）正交化，取 b1 a1 ，
b2
a2
b1 , a2 b1 , b1
1.内积的定义及性质
定义1 设有n 维向量
x1
x
x2
,
M
xn
y1
y
y2
,
M
yn
[ ] 令 x, y = x1y1 + x2 y2 +L + xn yn
称x, y为向量 x与 y的内积 .
内积的性质 其中 x, y, z为n维向量,为实数 :
即
[[21,,33
] ]
x1 x1
x2 x3 0 2x2 x3 0
解之得 x1 x3 , x2 0.
若令 x3 1,则有
x1 1
3 x2 0
同理可得2 r 0. 故1,2 ,,r线性无关.
例1 已知三维向量空间中两个向量
1
1 1,
1
1
2 2
1
正交，试求一个非零向量 3 ，使
1
,
2
,
两两正交。
3
解 设3 x1, x2 , x3 T 0,且分别与1,2正交.
例如
1 2 1 2 0 0
e1
1
0 0
2
,
e2
1 0 0
2 ,e3
1 1
0
2 ,e4 2
1
0 2
.
1 2
（5）标准正交基的求解
设1,2 ,,r是向量空间V的一个基,要求V
（2）单位化，取
e1 =
b1 b1
,
e2 =
b2 b2
,L , er =
br br
,
那么 e1, e2,, er为V的一个标准正交基 。
上述由线性无关向量组a1,, ar导出正交向量 组b1,,br的过程, 称为施密特（Schmidt）正交化。
例２ 用施密特正交化方法，将向量组
a1 (1,1,1,1),a2 (1,1,0,4),a3 (3,5,1,1)
定义2 令
[ ] x = x, x = x12 + x22 +L + xn2 称 x 为n维向量 x的长度 或范数 .
向量的长度具有下述性质： （1）非负性 当 x 0时, x 0;当 x 0时, x 0;
（2）齐次性 x x ;
当 x 1时, 称 x为单位向量。 若a 0,取x a ,则x是一个单位向量。由向量a得到x
(1)x, y y, x;
(2)x, y x, y;
(3)x y, z x, z y, z;
(4)当x 0时，[x, x] 0；当x 0时，[x, x] 0.
(5)[ x, y]2 £ [ x, x] [ y, y]
2.向量的长度及性质
r 称为向量空间V 的维数，并称V 为 r 维向量空间。
x 1a1 2a2 ... r ar
数组 , ,..., 称为向量x在基 a , a ,..., a 中的坐标.
12
r
12
r
（4） 标准正交基
定义3 设n维向量 e1, e2,, er是向量空间 V (V
Rn )的一个基,如果e1, e2 ,, er两两正交且都是单位 向量,则称e1, e2 ,, er是V的一个标准正交基.
标准正交化.
解 先正交化，取
b1 a1 1,1,1,1
b2
a2
b1 , a2 b1 , b1
b1
1,1,0,4 1 1 4 1,1,1,1 0,2,1,3
1111
b3
a3
[b1 [b1
,a3 , b1
] ]
b1
[b2 [b2
（2）正交向量组的定义
一组两两正交的非零向量，称为正交向量组．
（3） 正交向量组的性质
定理1
若n维
向量
1 ,
2
,,
是一组
r
两两正交的
非零向量,则 1, 2 ,, r 线性无关.
证明 设有 1,2 ,,r 使 11 22 r 0
以a1T 左乘上式两端,得 11T1 0 由 1 0 1T1 1 2 0, 从而有1 0 .
b1
,
b3
=
a3
-
[b1, [b1,
a3 ] b1 ]
b1
-
[b2 [b2
, ,
a3 b2
] ]
b2
LLLL
br
= ar
-
[b1, [b1,
ar b1
] ]
b1Hale Waihona Puke Baidu
-
[b2 [b2
, ,
ar b2
] ]
b2
-L
-
[br [br -
-1, ar ] 1, br- 1]
br
-
1
那么b1,, br两两正交，且 b1,, br与a1,ar等价.
x3 1
由上可知1 ,2 ,3两两正交.
定义 设V为向量空间，如果r个向量1,2 ,...,r V ,
且满足
（1） 1 ,2 , ...,r 线性无关；
（2）V 中任一向量都可由 1,2 ,...,r 线性表示， 那么，向量组 1 ,2 , ...,r 就称为向量空间V 的一个基，
a 的过程称为把向量a单位化。 由施瓦茨不等式，x y ¹ 0，
-1 ＃[ x, y] 1 xy
当x 0, y 0时, arccos x, y 称为n维向量
xy x与y的夹角。
3.正交向量组的定义及求解
（1）正交的定义
x, y 0时,称向量x与y正交。
零向量与任何向量都正交。
,a3 , b2
] ]
b2
3,5,1,1 8 1,1,1,1 140,2,1,3 1,1,2,0
4
14
再单位化，得标准正交向量组如下
的一个标准正交基, 就是要找一组两两正交的单
位向量e1, e2 ,, er , 使e1, e2 ,, er与1,2 ,,r等 价, 这样一个问题, 称为把基1,2 ,,r标准正
交化.
若a1 ,a2 ,,ar为向量空间V的一个基,
（1）正交化，取 b1 a1 ，
b2
a2
b1 , a2 b1 , b1
1.内积的定义及性质
定义1 设有n 维向量
x1
x
x2
,
M
xn
y1
y
y2
,
M
yn
[ ] 令 x, y = x1y1 + x2 y2 +L + xn yn
称x, y为向量 x与 y的内积 .
内积的性质 其中 x, y, z为n维向量,为实数 :