立体图形的涂色问题(课堂参照)
高中立体图形染色问题教案
高中立体图形染色问题教案
教学目标
- 让学生掌握立体图形的基本性质和相关公式。
- 培养学生的空间想象能力和逻辑推理能力。
- 教会学生如何通过染色方法解决立体图形的问题。
教学内容与过程
引入阶段
教师可以展示一些常见的立体图形模型，如立方体、长方体、球体等，并引导学生观察它们的特点。
提出染色问题：如果我们要对这些立体图形进行染色，最少需要多少种颜色才能确保相邻面不重色？
探索阶段
将学生分组，让每组选择一个立体图形，使用彩纸或者绘画工具来进行染色尝试。
在此过程中，教师需巡视指导，鼓励学生发现规律，比如立方体的六个面染两种颜色即可满足条件。
讨论阶段
各小组分享他们的染色方案，并解释其背后的逻辑。
教师点评各种方案的优劣，并总结出染色问题的一般性原则，即“欧拉公式”在立体图形中的应用。
应用阶段
给学生提供更复杂的立体组合图形，如多面体的组合，要求他们运用所学知识进行染色。
这一步骤旨在巩固学生的理解和应用能力。
总结阶段
教师应总结立体图形染色问题的关键点，包括：
- 立体图形的性质和面的相邻关系。
- 染色问题的解题策略和欧拉公式的应用。
- 逻辑推理在解决问题中的重要性。
课后作业与反思
布置相关的习题，让学生在家中继续练习，加深对立体图形染色问题的理解。
同时，教师应根据学生的反馈和作业表现，反思教学方法和内容，以便不断优化教学效果。
第五讲 立体图形染色问题
第五讲立体图形染色问题
姓名成绩
【例1】一个正方体棱长7cm，表面涂成红色，切成棱长1cm的小正方体，三面涂红色的、两面涂红色的、1面涂红色的各有多少个？没有涂成红色的有多少个？
【例2】一个长方体长9cm，宽4cm，高8 cm，表面涂成红色，切成棱长1cm的小正方体，三面涂红色的、两面涂红色的、1面涂红色的各有多少个？没有涂成红色的有多少个？
〖练习1〗一个正方体，表面涂成红色，切成棱长1cm的小正方体，期中一面涂色的有216个小正方体，这个正方体的体积是多少？
〖练习2〗一个长方体，六个面均涂有红色，沿着长边等距离切5刀，沿着宽边等距离切4刀，沿着高边等距离切n次后，要使各面上均没有红色的小方块为24块，则n的取值是________。
综合试题
1、某学生语文和数学平均分为90分，语文和英语的平均分为94分，英语和数学平均分为91分。
这位学生语文考（）分，数学考（）分。
2、甲仓库有大米95.8吨，乙仓库有大米54.5吨。
要从甲仓库中运（）吨到乙仓库后，乙仓库中的大米吨数是甲仓库中的2倍。
3、有一组数据如下图排列：
一二三四五
1 2 3 4 5
9 8 7 6
10 11 12 13
17 16 15 14
······如此规律，1991排在第（）列。
4、一个长方体，如果长减少2厘米，宽、高不变，它的体积减少48立方厘米，如果宽增加3厘米，长、高都不变，它的体积增加99立方厘米，如果高增加4厘米，长、宽都不变，它的体积增加352立方厘米，求原长方体的表面积是多少平方厘米？。
五年级奥数几何长方体与正方体涂色与三视图(A级)教师版
一、表面涂色问题：对于棱长大于2的长方体和正方体，表面涂色后切成小正方体：三面涂红色的在顶点处 两面涂红色的在棱长处 一面涂红的表面中间部分 每面都没涂色的只有正方体体内。
重点：熟练掌握表面涂色问题的基本类型． 难点：复杂三视图问题．【例 1】右图是333⨯⨯正方体，如果将其表面涂成红色，那么其中二面、三面被涂成红色的小正方体各有多少块？例题精讲知识框架重难点表面涂色与三视图【考点】长方体与正方体【难度】☆☆【题型】解答【解析】三面涂红色的只有8个顶点处的8个立方体；两面涂红色的在棱长处，共(32)4(32)4(32)412-⨯+-⨯+-⨯=块；【答案】8,12【巩固】右图是456⨯⨯正方体，如果将其表面涂成红色，那么其中二面、三面被涂成红色的小正方体各有多少块？【考点】长方体与正方体【难度】☆☆【题型】解答【解析】三面涂红色的只有8个顶点处的8个立方体；两面涂红色的在棱长处，共(42)4(52)4(62)436-⨯+-⨯+-⨯=块；【答案】8,36【例2】将一个表面积涂有红色的长方体分割成若干个棱长为1厘米的小正方体，其中一面都没有红色的小正方形只有3个，求原来长方体的表面积是多少平方厘米？【考点】长方体与正方体【难度】☆☆【题型】解答【解析】长：3+1+1=5厘米；宽：1+1+1=3厘米；高：1+1+1=3厘米；所以原长方体的表面积是：（3⨯5+3⨯5+3⨯3）3⨯2=78平方厘米．【答案】78【巩固】一个长方体，六个面均涂有红色，沿着长边等距离切5刀，沿着宽边等距离切4刀，沿着高边等距离切_______次后，要使各面上均没有红色的小方块为24块．【考点】长方体与正方体【难度】☆☆【题型】填空【解析】沿着长边等距离切5刀，可切为516+=块；沿着宽边等距离切4刀，可切为415+=块；沿着高边等距离切n刀，可切为1n+块．由题意可知，长方体每一个面的外层是涂有1面(或2面、或3面)的小方块，所以，各面均没有红色的小方块共(62)(52)(12)12(1)-⨯-⨯+-=-个，因各面n n 均没有红色的小方块为24块，所以，12(1)24n=．n-=，解得3【答案】3【例3】右图是115⨯⨯长方体，如果将其表面涂成红色，再切成5个小正方体，那么各个正方体有几面被涂成红色？【考点】长方体与正方体【难度】☆☆【题型】解答【解析】两端的正方体有5面，中间的正方体有4面；【答案】两端的正方体有5面，中间的正方体有4面；【巩固】右图是225⨯⨯长方体，如果将其表面涂成红色，再切成20个小正方体，共有几种不同的涂色情况？【考点】长方体与正方体【难度】☆☆【题型】解答【解析】共有两种不同的染色情况：顶角上的8个正方体有3面，棱上的12个正方体有2面；【解析】共有两种不同的染色情况：顶角上的8个正方体有3面，棱上的12个正方体有2面【例4】小华用相同的若干个小正方体摆成一个立体（如图2）。
五年级下册数学教案《探索图形——正方体的涂色问题》人教版
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“正方体涂色在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
五年级下册数学教案《探索图形——正方体的涂色问题》人教版
一、教学内容
本节课选自五年级下册数学教材《探索图形——正方体的涂色问题》（人教版），涉及以下内容：正方体的特征及其展开图，正方体表面涂色的方法及其应用。具体包括：1.理解正方体的面、棱、顶点概念；2.掌握正方体展开图的画法；3.学习正方体表面涂色的基本方法，探讨如何用最少的颜色完成正方体表面的涂色，并解决相关问题。通过本节课的学习，使学生能够运用所学的正方体知识解决实际问题，提高空间想象能力和逻辑思维能力。
-举例：讲解正方体表面涂色的方法，如相邻面不同色、相对面同色等，并通过实际操作让学生理解如何用最少的颜色进行涂色。
（3）解决实际涂色问题：运用正方体知识解决生活中的涂色问题，提高数学应用能力。
-举例：给出具体的涂色问题，如“用3种颜色给正方体表面涂色，有多少种不同的涂色方法？”，引导学生运用所学知识解决问题。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解正方体的基本概念。正方体是一个具有6个相同正方形面的立体图形。它是研究立体几何的基础，也在生活中有广泛的应用。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例展示了如何用最少的颜色完成正方体表面的涂色，以及这个方法如何帮助我们解决实际问题。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调正方体的结构特征和表面涂色的方法这两个重点。对于难点部分，比如正方体展开图的画法和涂色原理，我会通过实物操作和图示来帮助大家理解。
数学———正方体涂色问题
数学———正⽅体涂⾊问题 将⼀个正⽅体的表⾯涂上颜⾊.把正⽅体的棱等分,然后沿等分线把正⽅体切开,能够得到个⼩正⽅体,通过观察我们可以发现个⼩正⽅体全是个⾯涂有颜⾊的. 如果把正⽅体的棱三等分,然后沿等分线把正⽅体切开,能够得到27个⼩正⽅体,我们可以发现这些⼩正⽅体中有8个是三⾯涂有颜⾊的,有12个是两⾯涂有颜⾊的,有6个是⼀⾯涂有颜⾊的,还有1个⾯没有涂⾊. 如果把正⽅体的棱四等分,然后沿等分线把正⽅体切开,能够得到64个⼩正⽅体,我们可以发现这些⼩正⽅体中有8个是三⾯涂有颜⾊的,有24个是两⾯涂有颜⾊，有24个⾯是⼀⾯涂有颜⾊的，还有8个⾯没有涂⾊。
如果把正⽅体的棱五等分,然后沿等分线把正⽅体切开,能够得到125个⼩正⽅体,我们可以发现这些⼩正⽅体中有8个是三⾯涂有颜⾊的,有36个是两⾯涂有颜⾊，有54个⾯是⼀⾯涂有颜⾊的，还有27个⾯没有涂⾊。
如果把正⽅体的棱n等分,然后沿等分线把正⽅体切开,能够得到n3个⼩正⽅体,我们可以发现这些⼩正⽅体中有 8个是三⾯涂有颜⾊的,有12(n-2)个是两⾯涂有颜⾊，有6(n-2)(n-2)个是⼀⾯涂有颜⾊的，还有(n-2)3个⾯没有涂⾊。
例：将棱长4厘⽶的正⽅体表⾯涂成蓝⾊，再将它锯成棱长1厘⽶的⼩正⽅体，则三⾯涂蓝，两⾯涂蓝，⼀⾯涂蓝和没有颜⾊的⾯各⼏个？ 解： 1、以原来⼤正⽅体的顶点为顶点的⼩正⽅体才有可能三⾯涂⾊，共8个。
2、两个⾯相交成⼀条棱，所以只有以原来⼤正⽅体的棱为⼀条棱【此时不包括顶点】的⼩正⽅体才有可能两⾯涂⾊，⼀条棱上两⾯涂⾊的⼩正⽅体2个，12条棱共有12*2=24个。
3、⼀⾯涂⾊的正⽅体是被三⾯涂⾊和两⾯涂⾊的正⽅体包围在中间，且在⼤正⽅体表⾯的，原⼤正⽅体⼀⾯有（4-2）*（4-2）=4个，6个⾯有6*4=24个。
4、没有涂⾊的⼩正⽅体有：4*4*4-8-24-24=8个或（4-2）*（4-2）*（4-2）=8个。
第三单元《探索图形——正方体表面的涂色问题》教案
（举例：介绍不同的涂色方法，并让学生动手实践，理解各种涂色方法在实际操作中的应用。）
（3）计算涂色所需的颜料数量：根据不同涂色方法，计算所需颜料的数量。
（举例：引导学生运用数学计算方法，根据正方体的特征和涂色方法，求解涂色所需的颜料数量。）
2.教学难点
4.在实践活动和小组讨论中，学生们的表现让我深感他们在合作学习中的潜力。今后，我将继续采用这种教学方式，培养学生的团队协作能力和沟通能力。
5.本次教学中，我尝试将正方体表面涂色问题与学生的日常生活相结合，让他们感受到数学知识在实际生活中的应用。从学生的反馈来看，这种教学方式取得了较好的效果。今后，我会继续探索更多贴近生活的教学案例，提高学生的学习兴趣和积极性。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“正方体表面涂色问题在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
（1）空间观念的培养：学生对三维图形的认知能力较弱，难以把握正方体的空间结构。
（举例：通过观察、操作正方体模型，引导学生从不同角度观察正方体，提高空间观念。）
（2）逻辑推理能力的运用：学生在解决正方体表面涂色问题时，可能难以运用逻辑推理方法进行分析。
（举例：在教学过程中，教师应引导学生通过逻辑推理，分析不同涂色方法的规律，从而解决问题。）
（二）新课讲授Leabharlann 用时10分钟）1.理论介绍：首先，我们要了解正方体表面涂色问题的基本概念。正方体表面涂色是指对正方体的六个面进行不同颜色或同颜色的涂抹。它可以帮助我们了解正方体的特征，提高空间观念和逻辑推理能力。
数学人教版五年级下册正方体的涂色问题
《正方体的涂色问题》课堂教学实录船营区第十七小学校王帅教学内容：人教版义务教育教科书小学五年级下册教材44页内容教学目标：1、加深对正方体特征的认识和理解。
2、通过动手操作、观察、列表、想象等方式探索、发现图形分类计数问题的规律，体会化繁为简的解决问题的策略，培养学生的空间想象力。
3、让学生体会分类、数形结合、归纳、推理、模型等数学思想。
4、在互相交流中学会倾听他人意见，及时自我修正，自我反思，增强学好数学的信心。
教学重点：学会从简单的情况找规律解决复杂问题的话繁为简的思想方法。
教学难点：探索规律的归纳方法。
教学准备：小正方体学具和课件。
思想提炼：《正方体的涂色问题》是人教版义务教育教科书小学五年级下册教材44页内容，教者借助对正方体的每条棱2等分所得到的小正方体的涂色的特殊性制造矛盾，探索将正方体的每条棱3等分所得到的小正方体的涂色情况有几种，通过第一次操作得出涂色情况的种类及每种涂色的块数，借机将小正方体还原成原来的大正方体，通过二次操作探索出每种涂色小正方体在大正方体的位置情况，从而将位置与每种特色小正方体的块数联系在一起。
4等分借助立体图去得到每种涂色小正方体块数，5等分时引导同学抽象立体图形，完成建模，从而得出正方体的涂色规律。
实施缘由吉林省吉林市船营区数学学科“回归学习起点提高探究实效”课例研讨活动中，选择了人教版义务教育教科书小学五年级下册教材44页新增加的内容——探索图形中《正方体的涂色问题》一课进行案例的研讨。
为了更好地让学生回归学习的起点，我们选择动手操作中逐步完成探究，培养空间想象力，发展空间观念和推理能力。
在解决问题过程中，学生从借助直观操作，观察立体图形，课件演示，等多种形式建立表象，完成建模，进而找到规律，循序渐进地促进学生空间观念的发展。
课堂上借助2次操作，循序渐进完成探究任务，使学生在课堂中提高了探究的实效。
教学过程：1课件出示。
漂亮吗？这节课我们就来研究——正方体的涂色问题。
(正方体涂色问题的教案及反思)
正方体涂色问题【课堂实录】一、复习导入1、正方体有什么特征？2、提问：把一个表面涂上红色的正方体每条棱平均分成2份，切开！能够切成多少个小正方体？你能用算式表示吗？（生：23=8）想象一下如果给这个正方体的表面涂上颜色，小正方体会有什么变化？（生：8个小正方体都是3面涂色的）师：为什么8个小正方体都是三面涂色？生：因为这8个小正方体都在顶点处。
二、探索新知（一）发现规律1、理解三阶正方体师出示三阶正方体：把这个表面涂上红色的正方体的每条棱平均分成3份，切开一共能够切成多少个小正方体？猜想小正方体涂色的面有什么不同？生：小正方体除了有三面涂色的，还可能有两面涂色、一面涂色和没有涂色的。
2、观察验证师：请你利用手中的正方体学具观察验证找出每种小正方体的涂色情况和数量，跟组内同学交流一下并填写学习单。
（学生观察分类：三面涂色的块数、两面涂色的块数、一面涂色的块数、没有涂色的块数）指名多个小组汇报，师根据生汇报数据板书。
3、规律初探师：要想准确地知道三面涂色、两面涂色、一面涂色和没有涂色的各有几个，还得知道它们所处的位置。
说给你的小组同学听一听。
小组汇报4、深化理解师：发现了涂色正方体分布的规律，下面我们使用这个规律挑战一下——把学具袋里涂色面不同的小正方体快速还原成一个大正方体，比一比看谁拼的最快。
（1）合作前小组讨论分工及复原策略。
（2）速拼比赛（3）指名速度较快的小组介绍方法，教师指出有效分工有序合作的重要性。
（二）验证规律师：（课件出示4阶正方体）这个小正方体的涂色情况又是怎样的呢？请你们在小组里研究，并填写学习单。
1、小组交流，并指名汇报。
生1：三面涂色的在正方体的顶点位置，所以有8个。
生2：两面涂色的有24个，每条棱上有2个，一共12条棱。
生3：一面涂色的有24个，因为每个面有4个，有6个面。
生4：没有涂色的有8个，在这个正方体的最里面。
2、师：这些数据是怎么得到的呢？生1：学生是用2×12算出来的，说一说“为什么用2×12”？从而引导学生发现两面涂色的小正方体都在原来大正方体的棱的位置，体会能够从一条棱上有2个两面涂色的，推算出12条棱上就有24个两面涂色的。
正方体涂色问题
（1）三面涂色：大正方体每个顶点处的
小正方体有三面涂色，正方体共有8个顶
点，所以是8个
（2）两面涂色：大正方体每条棱上除去
顶点处的1个小正方体，其余每个小正方
体各有两面被涂色，共有12条棱，所以是
12个
（3）一面涂色：大正方体每个面上除上、
下两排和左、右两列外，剩下的小正方体有
一面被涂色，大正方体共有6个面，所以
是6个
（4）分析法解决数正方体的问题，我们知道正中间的那个小整体被余下了，所以没涂色的就剩1个。
或者用减法：27-8-12-6=1（个）
正方体涂色专项练习
【练习1】
如图是用27个小正方体拼成的一个大正方体，把它的
表面都涂成红色
请你数一数，算一算：每条棱上3个小正方体，a=3
（1）三面涂成红色的小正方体有（8）块；
（2）两面涂成红色的小正方体有（12）块；
（3）一面涂成红色的小正方体有（6）块；
（4）没有涂成红色的小正方体有（1）块。
【方法总结】
用若干个小正方体拼成一个大正方体，并将拼成的大正方体的表面涂色。
如果大正方体的每条棱上有a个小正方体，则
三面涂色的小正方体在顶点处，共有8 个；
两面涂色的小正方体在棱上，共有[(a-2)×12] 个；
一面涂色的小正方体在面上，共有[(a-2)×(a-2)×6] 个。
《探索图形——正方体表面涂色的问题》课外(作业设计方案)
作业设计将围绕以上内容，结合学生所在年级的知识深度，培养他们的空间想象能力和问题解决能力。
二、核心素养目标
《探索图形——正方体表面涂色的问题》课外作业设计方案的核心素养目标如下：
1.培养学生的空间观念和几何直观，能通过观察、操作、推理等方式认识正方体的特征，理解其展开图与实际立体图形之间的转换关系。
首先，我发现同学们在理解正方体的基本特征和表面涂色方法上，普遍掌握得较好。通过实物模型和展开图的展示，他们能够直观地理解正方体的空间结构，这为后续的涂色问题解决打下了基础。但在教学中，我也注意到个别同学在空间想象能力方面还有待提高，今后我需要针对这部分同学进行更有针对性的辅导。
其次，实践活动环节，同学们分组讨论和实验操作的过程非常积极，大家都投入到解决问题的过程中。但在小组讨论时，有些小组的讨论效率不高，部分同学参与度不够。为了提高讨论效果，我考虑在下次课中增加一些互动环节，鼓励更多的同学发表自己的观点，提高他们的参与度。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考，如“如何将所学的涂色方法应用到其他立体图形上？”
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
此外，学生在解决正方体表面涂色问题时，对于对称性的应用还不够熟练。在今后的教学中，我需要强调对称性在简化问题中的作用，并通过更多实例来帮助同学们掌握这一方法。
在讲授过程中，我也注意到了教学难点部分，如空间想象能力和对称性的应用，虽然通过实物模型和图解进行了讲解，但可能仍有部分同学觉得难以理解。因此，我打算在下一节课中增加一些辅助教学手段，如动画演示，让同学们更直观地感受正方体表面涂色过程，从而加深对难点知识的理解。
几何图形的涂色问题课堂PPT
【例 4】现用 4 种颜色给三棱柱的 6 个顶点涂色， 要求同一条棱的两端点的颜色不同，4 种颜色全 部用上，问有多少种不同的涂色方案？ 解析 将左侧图形拉伸为右侧图形，则中间三点不 同色，不妨为三颜色1、2、3，又4种颜色全用上， 故外围三点中一定有一点涂第4种颜色，在此情况 下从其余三色中任挑两色，另外两点都只有一种涂 法． 故共有C34A33C13C23＝216种涂法．
【例 2】将一个四棱锥的每个顶点 染上一种颜色，并使同一条棱上的 两端异色，如果只有 5 种颜色可供 使用，求不同的涂色方法总数． 解析 本题如果将棱锥的顶点往下作投影，或者是将 四棱锥看成是可以拉伸的薄膜状表面进行拉伸，变成 平面图形(图1)，则空间图形的涂色就能变成平面图 形的涂色，继而将点扩展为平面区域，则又可变为平 面内圆形区域的涂色问题(图2)．
【例 1】某城市在中心广场建造一个
扇环形花圃，花圃分为 6 个部分，如
右图，现要栽种 4 种不同颜色的花，
每一部分栽种一种且相邻部分不能栽
图1
种同样颜色的花，问有多少种不同的栽种方法？ 解析 利用欧拉思想进行拉伸变形，
可使图1变形为图2，这两种图形的涂
色其实质是一样的．我们不妨用1、2、
3、4代表四种颜色，在右侧图形中，先
在1、2、3区域涂上1、2、3三种颜色，
图2
然后依次涂第4、5、6三个区域，涂区域
4可用2、4颜色．
1
①若区域4涂颜色2，则整个花圃有123243、123234 两种涂法． ②若区域4涂颜色4，则整个花圃有123434、 123424、123423三种涂法． 即区域1、2、3颜色确定以后，区域4、5、6有5种 涂法，所以共有不同的栽种方法为A34×5＝120种．
人教版数学五年级下册正方体的涂色问题
1、教材分析本节课教学内容属于“综合与实践”领域。
将棱长为2、3、4、5的大正方体分别涂色分割成棱长为1的小正方体,让学生综合运用正方体的特征等相关知识,借助已有的学习经验,在观察、想象、推理、交流等活动中,把握问题的共性,从而发现三面涂色、两面涂色、一面涂色的小正方体的个数与大正方体顶点、棱、面之间的关系,使学生在探究规律的过程中,积累数学活动经验,发展空间观念。
2教学目标1.借助正方体涂色问题,通过实际操作、演示、想象、联想等形式发现小正方体涂色和位置的规律。
2.在探索规律的过程中,经历从特殊到一般的归纳过程,获得一些研究数学问题的方法和经验。
3.在解决问题的过程中,感受数学的有趣,激发主动探索、勇于实践的精神,和实事求是的科学态度。
3学情分析小学生五年级的学生虽然积累了一定的抽象思维及空间想象能力,但仍以形象思维为主,因此本课的探究规律过程对学生来说还是有一定的难度,因此在教学时应从直观入手,引导学生逐步深入问题的本质。
4重点难点重点:找出涂色小正方体以及它所在的位置,让学生经历探究规律的过程。
难点:寻找没有颜色小正方体个数的规律,以及积累由特殊到一般寻找规律的经验,培养学生的空间想象能力。
5教学过程5.1 第一学时5.1.1教学活动活动1【导入】复习导入评论1、本学期我们学习了长方体正方体的有关知识,请看这个图形,你们认识吗?2、那他是有多少个棱长为1厘米的小正方体组成呢?3、如果把这个大正方体的表面积涂上色,想想,涂色的小正方体会有哪几种情况?(板书)4、在这个大正方体中,一面涂色的小正方体会有都少快?活动2【活动】初步感知每种情况位置变化评论小同桌交流预习成果1、要求:(1)利用手中的魔方给同桌说清楚三面、两面、一面涂色以及没有涂色的小正方体分别在魔方的什么位置?(2)各种情况各有多少块?2、汇报交流,补充、质疑强调:为什么三面涂色的只能在大正方体的8个顶点?为什么两个面涂色色的小正方体只能在棱上?活动3【活动】合作探索规律评论同学们发现的这些秘密,是不是所有的正方形都具有这些特征呢?接下来,我们继续探究1、用棱长1cm的小正方体拼成如下的大正方体后,把它们的表面分别涂上颜色。
立方体涂色问题
涂有蓝色的小立方体共有多少个?
棱长=9
棱长=7
棱长=1
棱长=3
棱长=5
一个长方体由10×6×4个同样大小的小 立方体组成。在表面先涂蓝色，然后去掉所 有涂有蓝色的小立方体，在所得的新长方体 表面涂红色……，如此不断重复。
1、这个长方体由外到内共有几层？
2、第2层的长、宽、高分别是多少？
3、涂有蓝色的小立方体共有多少个？
立方体涂色问题
猜一猜：里面会有几个？
观察这些套娃，从外到里，有什么变化？
有多少个小立方体？
5×5×5立方体
想一想：从外到内会有几层？ 算一算：每层分别有多少个
小立方体？
棱长=5
棱长=3
棱长=1
思考：为什么每往里一层棱长会减少2？
பைடு நூலகம்
7×7×7立方体
(1)在这个立方体的表面 先涂蓝色; (2)然后去掉所有涂有蓝 色的小立方体，在所得 的新立方体表面涂红色; (3)再去掉所有涂有红色 的小立方体，在所得的 新立方体表面再涂蓝 色…… (4)如此不断重复，直到 所有的小立方体都涂上 颜色为止。
一个长方体由 1a0×b67×c45 个同样大小
的小立方体组成。在表面先涂蓝色，然后去 掉所有涂有蓝色的小立方体，在所得的新长 方体表面涂红色……，如此不断重复。
1、这个长方体由外到内共有几层？
2、第2层的长、宽、高分别是多少？
3思、考涂：有最蓝外色的层小有立多方少体个共小有立多方少个体？？
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初一数学——立体图形涂色问题解析
初一必做每日一练——立体图形涂色问题答案
【典型例题】
（金陵汇文2016年第二次月考）
21.如图，下列几何体是由棱长为1的小立方体按一定规律在地面上摆成的，若将露出的表面都涂上颜色（底面不涂色），则棱长为n （n ≥2）的几何体中是有两个面涂色的小立方体共有______个，只有一个面涂色的小立方体共有_______个，没有涂色的小立方体共_______个．
【分析】
根据图形中特殊的例子求出特殊的具体棱长为几的答案，再根据特殊到一般进行归纳整理，求出最后的答案。
【解析】
解：图①中，棱长为2，两面涂色的小立方体共有4个，只有一个面涂色的和没有涂色的都是0个。
图②中，棱长为3，两面涂色的小立方体共有12个，一个面涂色的9个，没有涂色的2个。
图③中，棱长为4，两面涂色的小立方体共有20个，一个面涂色的28个，没有涂色的12个。
依此类推，找规律可得：棱长为n 时，两面涂色的小立方体共有4(23)812n n -=-个，一个面涂色的25(2)4(2)n n -+-个，没有涂色的()()212n n --个。
【变式延伸】
底面涂色的情况下：以原来大正方体的顶点为顶点的小正方体三面涂色；以原来大正方体的棱为一条棱（不包括顶点）的小正方体两面涂色；一面涂色的是被三面涂色和两面涂色的正方体包围在中间，且在大正方体表面的，剩下的是没有涂色的小正方体，即立体图形的内部小正方体。
底面不涂色的情况下：则去掉底面进行考虑即可。
理解这些情况是解题的关键。
……
③图②图①
图。
《表面涂色的正方体》教案
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与正方体表面涂色相关的实际问题，如“如何用最少的颜色涂满整个正方体”。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。学生动手给正方体模型涂色，观察并验证表面涂色规律。
举例：给出具体的涂色要求，如“每个面都要涂上不同的颜色”，让学生设计涂色方案。
2.教学难点
（1）空间观念的培养：帮助学生建立空间观念，理解正方体的三维结构；
突破方法：通过实物模型、动态图示等手段，让学生从不同角度观察正方体，培养空间想象力；
（2）正方体表面涂色规律的发现：引导学生从实际操作中发现正方体表面涂色规律；
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了正方体的基本概念、表面涂色规律及其在实际生活中的应用。通过实践活动和小组讨论，我们加深了对正方体表面涂色的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
4.实践操作：学生动手操作，验证正方体表面涂色规律；
5.应用拓展：解决与正方体表面涂色相关的实际问题，提高学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
二、核心素养目标
《表面涂色的正方体》核心素养目标：
1.培养学生的空间观念和几何直观，通过观察、操作正方体，理解正方体的特征，提高对立体图形的认知能力；
2.培养学生的逻辑思维和问题解决能力，通过探索正方体表面涂色规律，学会运用所学知识解决实际问题；
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立体图形的涂色问题
例1．一个表面都涂满红色的立方体，在它的每个面上等距离地切两刀，可得到27个小立方体，而且切面都是白色，这27个小立方体中，一面是红色的有多少个？二面是红色的有多少个？三面是红色的有多少个？各面都没有红色的有多少个？
解析：仔细观察
（1）一面涂有红色的小方块位于每个面的中心。
有6个
（2）二面涂有红色的小方块位于每条棱的中间。
有12个
（3）三面涂有红色的小方块位于每个角上，永远都是8个。
（4）各面没有红色的小方块位于立方体的内部，用总的小方块的数量减去一面、二面、三面涂红的块数，就可以了。
有1个
进一步归纳：对于一个n×n×n的正方体，其涂色情况如下：（1）三面涂色的：8个
（2）二面涂色的：（n-2）×12个
（3）一面涂色的：（n-2）×（n-2）×6个
（4）各面没涂色的：总的个数减去上面三类的总个数
或（n-2）×（n-2）×（n-2）个
例2．有个长方体，长、宽、高分别是3、5、7（单位：厘米），分别将其表面涂上红色，然后将它们分割成棱长为1厘米的小立方体，一面是红色的有多少个？二面是红色的有多少个？三面是红色的有多少个？各面都没有红色的有多少个？
解析：（1）三面涂色的在角上，有8个
（2）二面涂色的在每条棱中间，长上面有1×4=4个，宽上面有
3×4=12个，高上面有5×4=20个，总共36个
（3）一面涂色的在每个面的中间，上、下面上有1×3×2=6个，左、右面上有3×5×2=30个，前、后面上有1×5×2=10个，总共46个
（4）各面都没涂色的有3×5×7-8-36-46=15个
进一步归纳：对于一个a×b×c的长方体（a、b、c表示长、宽、高），其涂色情况如下：
（1）三面涂色的：8个
（2）二面涂色的：[（a-2）+（b-2）+（c-2）]×4个即（a+b+c-6）×4个
（3）一面涂色的：[（a-2）×（b-2）+（a-2）×（c-2）+（b-2）×（c-2）]×2个
（4）各面没涂色的：总的个数减去上面三类的总个数
或（a-2）×（b-2）×（c-2）个
练习：
1．一个棱长为3厘米，在其表面涂满红漆，然后切成棱长都是1分米的小正方体，问三面、二面、一面涂有红漆各有多少个？六面都没红色有多少个？（答案：8、12、6、1）
2．一个长方体木块，长、宽、高分别是5、3、4分米，在它六个面上漆满油漆，然后踞成棱长都是1分米的正方体木块。
问这些小正方体木块中，三面、二面、一面有油漆的各多少个？各面都没有油漆的有多少个？（答案：8、24、22、6个）
3．把若干个相同的小正方体堆成一个大的正方体，然后在大正方体的表面涂上颜色，已知两面被涂上颜色的有36个，那么这些小正方体一共有多少个？（答案：125个）
4．把一长方体表面涂红，分成若干相同的小长方体，其中两面为红的小长方体恰好12块，至少要把这长方体分成多少个小长方体？（答案：20个）
5．有三个长、宽、高分别为7、9、11；5、7、9；3、5、7（单位：厘米）的长方体，分别将其表面涂上红色，然后将它们分割成棱长为1厘米的小立方体，其中至少一面涂有红色的小立方体有多少个？（答案：678个）
6．三个完全一样的长方体，棱长总和是288厘米，每个长方体相交于一个顶点的三条棱长恰好是三个连续自然数。
给这三个长方体表面涂色：一个涂一面，一个涂两面，一个涂三面。
涂色后把三个长方体都切成棱长为1厘米的小正方体，只有一个面涂色的小正方体，最少有多少个？（答案：307个)。