第2章 线性规划的对偶问题1

问该企业因安排生产两种产品各多少件，使总的 利润收入为最大？
数学模型 max Z=2x1+3x2 s.t. 2x1+2x2 12 4x1 16
5x2 15 x1,x2 0
现某机械厂为扩大生产租借常山机器厂 拥有的设备资源，问常山厂分别以每小时 什么样的价格才愿意出租自己的设备？
设常山厂将设备A、B、C每h的出租 价格为y1,y2,y3; • 它的对偶问题为 min w=12y1+16y2+15y3 2y1+4y2 ≥2 2y1 +5y3≥3 y1,y2,y3≥0
2、线性规划问题的对偶问题
例2．1
2.1 对偶问题
胜利家具厂生产桌子和椅子两种家具。 桌子售价50元/个，椅子销售价格30元/ 个，生产桌子和椅子要求需要木工和油 漆工两种工种。生产一个桌子需要木工4 小时，油漆工2小时。生产一个椅子需要 木工3小时，油漆工1小时。该厂每个月 可用木工工时为120小时，油漆工工时为 50小时。问该厂如何组织生产才能使每 月的销售收入最大？
解：用（-1）乘以第二个约束方程 两边 min S=x1+2x2 +3x3 2x1+3x2 + 5x3 2 y1 -3x1- x2 - 7x3 -3 y2 x1 ，x2 ， x3 0
s.t.
该问题的对偶问题：
max z = 2 y1 - 3y2 s.t. 2y1- 3y2 1 3y1- y2 2 5y1- 7y2 3 y 1，y 2 0
假设 y1, y2 分别表示每个木工 和油漆工工时的租金，则所付租金 最小的目标函数可表示为： min s = 120 y1 + 50 y2 目标函数中的系数 120，50 分别表 示可供出租的木工和油漆工工时数。
该企业家所付的租金不能太低， 否则家具厂的管理者觉得无利可图 而不肯出租给他。因此他付的租金 应不低于家具厂利用这些资源所能 得到的利益：
s.t. -4y1-3y2
≥7
2y1-6y2+5y3=4 -6y1-4y2+3y3≤-3
y1≤0,y2≥0,y3无约束
例2-8：写出下列线性规划问题的对 偶问题 s.t. min w = 3x1 - 2x2 + x3 x1+2x2 =1 y1 2x2 - x3 -2 y2 2x1 +x3 3 y3 x1- 2x2 + 3x3 4 y4 x1，x2 0 ， x3 无非负限制
把例2.2用矩阵表示：
对偶问题
y1 min 12 16 15 y 2 y3
原问题:
Max z=(2,3)
2 2 12 4 0 x1 16 x 2 0 5 15 பைடு நூலகம் x1 x 0 2
约束条件右端项 目标函数变量的系数
目标函数变量的系数 约束条件右端项
• 例2-7：写出下列线性规划的对偶问题
min z=7x1+4x2-3x3 s.t. -4x1+2x2-6x3≤24 -3x1-6x2-4x3≥15 5x2+3x3=30 x1≤0,x2取值无约束,x3≥0
Max w=24y1+15y2+30y3
如果模型(2.1)称为原问题，
则模型(2.2)称为对偶问题。
任何线性规划问题都有对偶问题，
而且都有相应的意义。
例2.2 ：常山机器厂生产Ⅰ、Ⅱ两种产品，按工艺 资料获得如下资料：
Ⅰ 2h 4h 0h 2 Ⅱ 2h 0h 5h 3 设备能力 12h 16h 15h
设备A 设备B 设备C 单位利润（元）
x1 x 2
2 2
4 0
y1 0 y 2 5 y3
2 3
y1 y 0 2 y3
线性规划的对偶关系：
（ I） Max z = C x s.t. Ax b x0 (II) Min w = b’ y s.t. A’y C’ y0 （2.4） （2.3）
4 y1 + 2y2 50
3 y1 + y2 30
y 1, y 2 0
得到另外一个数学模型：
min s = 120 y1 + 50 y2
s.t. 4 y1 + 2y2 50 3 y1+ y2 30 (2.2)
y 1, y 2 0
模型(2.1)和模型(2.2) 既有区别又有 联系。联系在于它们都是关于家具 厂的模型并且使用相同的数据，区 别在于模型反映的实质内容是不同 的。模型(2.1)是站在家具厂经营者 立场追求销售收入最大，模型(2.2) 是则站在家具厂对手的立场追求所 付的租金最少。
（2.3)(2.4)称作互为对偶问题。其中一个 称为原问题，另一个称为它的对偶问题。
例2-3：写出下列线性规划问题的 对偶问题
min w=12x1+8x2 +16x3+12x4 s.t. 2x1+ x2 +4x3 2 2x1+2x2 + 4x4 3 x 1， x 2 ， x 3 ， x 4 0
此类问题称为非对称型对偶问题。 前面的问题称为对称型对偶问题。
综上所述其变换形式如下：
原问题（或对偶问题） 目标函数 max 约 束 条 件 变 量 m个 ≤ ≥ = n个 ≥0 ≤0 无约束 对偶问题（或原问题） 目标函数 min m个 ≥0 ≤0 无约束 n个 ≥ ≤ = 变 量 约 束 条 件
例2-6：写出下列线性规划问题的 对偶问题 s.t. min S = 2x1 + 3x2 - 5x3 x 1 + x 2 - x3 5 2x1 + x3 = 4 x1 ，x2 ， x3 0
解：将原问题的约束方程写成不等式 约束形式： min S = 2x1 + 3x2 - 5x3 x1 + x 2 - x3 5 y1 2x1 + x3 4 y 2’ -2x1 - x3 -4 y 2” x1 ，x2 ， x3 0
y1 y2
解：该问题的对偶问题：
min g = 10 y1 + 20 y2 s.t. y1 + 4y2 10 y1 + 2y2 1 2 y1 - y2 2 y 1，y 2 0
例2-5：写出下列线性规划问题的 对偶问题
min S = x1 + 2x2 + 3x3 s.t. 2x1+3x2 + 5x3 2 3x1+ x2 + 7x3 3 x1 ，x2 ， x3 0
解：该问题的对偶问题：
max z = 2y1 + 3y2 s.t. 2y1 + 2y2 12 y1 + 2y2 8 4 y1 16 4y2 12 y 1， y 2 0
例2-4：写出下列线性规划问题的 对偶问题 max S = 10x1 + x2 + 2x3 s.t. X1 + x2 + 2x3 10 4x1 +2x2 - x3 20 x1 ，x2 ， x3 0
解: 综合运用对偶原则得到 max g = y1-2y2 +3y3 +4y4 s.t. y1+ 2y3 + y4 3 2y1 +2y2 - 2y4 -2 -y2+ y3 +3y4 = 1 y2≤0, y3, y4 0 ，y1 无非负约束
引入变量 y1 , y2’，y2” 写出对偶问题
max g = 5 y1+ 4y2’- 4y2” s.t. y1 +2y2’- 2y2” 2 y1 3 -y1 + y2’- y2” -5 y 1 ， y 2 ’， y 2 ” 0
令y2 = y2’- y2” 得到 max g = 5 y1 + 4y2 s.t. y1 + 2y2 2 y1 3 -y1+ y2 -5 y1 0 ，y2 无非负约束
数学模型
max g= 50x1 + 30x2 s.t. 4x1 + 3x2 120 2x1 + x2 50 x1,x2 0
(2.1)
假如有一个企业家有一批等待加 工的订单，有意利用该家具厂的木工 和油漆工资源来加工他的产品。因此， 他要同家具厂谈判付给该厂每个工时 的价格。可以构造一个数学模型来研 究如何既使家具厂觉得有利可图肯把 资源出租给他，又使自己付的租金最 少？