第二章第十一节导数的概念及其运算

第二章第导数的概念及其运算

课下练兵场

1. 一质点沿直线运动，如果由始点起经过t秒后的位移为s= 3『一那么速度为零

的时刻是

A.0秒

B.1秒末

C.2秒末

D.1秒末和2秒末

解析：•/ s= 3t3—*2 + 2t,

••• v= s't(= t2—3t+ 2,

令v= 0 得，t2—3t+ 2= 0, t i= 1 或 &= 2.

答案：D

1

2.［理］已知y= 2sin2x + sinx，则y是

A.仅有最小值的奇函数

B.既有最大值又有最小值的偶函数

C.仅有最大值的偶函数

D.非奇非偶函数

, 1

解析：••• y'= 2cos2x 2+ cos<= cos2x+ cosx

=2曲X—1+ cosx

=2(cosx+1)2—8.

19

又当x € R时，cosx C [ —1,1]，函数y'= 2（cosx + ^）2—§是既有最大值又有最小值的偶函

答案：B

2

［文］y= x cosx的导数是

2

B.y'= 2xcosx—x

A.y'= 2xcosx + x'sinx

C.y = 2xcosx

D.y'= — x 2

sinx

2

解析：y '= 2xcosx — x sinx. 答案：B

3.(20佃 福州模拟)函数y = f(x)的图象在点X = 5处的切线方程是 y =— x +8,贝U f(5)+ f ' (5)

等于

解析：因 f(5) =— 5+ 8 = 3, f ’(5) — 1, 故 f(5) + f (5)2. 答案:

y = x n 1

(n € N )在点(1,1)处的切线与X 轴的交点的横坐标为

X n 则X 1 X 2…X n 等于

解析：由 f ' x)= g ' x)，得 f ' x)— g ' x) = 0,

即[f(x) — g(x)] '= 0,所以 f(x) — g(x) = C(C 为常数). 答案：C

6若点P 是曲线y = x 2

— Inx 上任意一点，则点P 到直线y = x — 2的最小距离为 C 罷

C. 2

解析：过点P 作y = x — 2的平行直线，且与曲线 y = x 2

— Inx 相切.

设 P(X 0, x 0—Inx 。)则有

k = y ' x = X 0=

2x

—

丄. X 0

二 2X 0— X 0= 1，二 X 0= 1 或 X 0=— *舍去),

••• p(1,1) ,••• d

=寿=心

答案：B 二、填空题

A.1

B.2

C.0

D -2

4.设曲线

1 A-n

1 B

.n + 1

D.1

解析: y'= (n + 1)x n

，曲线在点 (1,1)处的切线方程为 y — 1 = (n + 1)(x — 1)，令y = 0,得X n

=_n

小

1 2

n + 1.则 X 1 X 2 …X n = 2 •… n = 1 n + 1 = n +

答案：B

5.f(x)与g(x)是定义在R 上的两个可导函数，若 f(x), g(x)满足f 'X) = g'X),贝U f(x)与 g(x)

满足

A.f(x)= g(x)

B f(x)= g(x)= 0 C.f(x)— g(x)为常数函数

D.f(x) + g(x)为常数函数

A.1

3

7.设点P是曲线y= x—x2—3x—3上的一个动点，则以P为切点的切线中，斜率取得最小

3

值时的切线方程是

解析：设切线的斜率为k,则k = f'x) = x2—2x—3 = (x —1)2—4.当x= 1时，k有最小值

—

4.又f(i) = —20所以切线方程为y+ 20=—4(x —i),

即12X + 3y+ 8= 0.

答案：12X +3y+ 8= 0

8.(20佃湖北高考)已知函数f(x) = f'n cosc + sinx,贝U 的值为

解析：f(x) = f'n)cos< + sinx,

••• f' x)=—f' 4)sinx + cosx,

•f'》==羽—i. 故f(n = 22—1)普+¥= 1.

答案：1

9.已知f i(x) = sinx +cosx,记f2(x) = f i’x), f3(x)= f2'x),…，f n(x) = f n-i'x)(n € N , n> 2),

则f i( n+f2(n)+…+ f2oi9(n)=

解析：f2(x)= f i'x)= cosx —sinx,

f3(x)= (cosx—sinx) =—sinx—cosx,

f4(x)=—cos( + sinx, f5(x)= sinx + cosx,

以此类推，可得出f n(x)= f n+ 4(x)

又••• f l(x) + f2(x)+ f3(x)+ f4(x)= 0,

■ n n n n

•- f1(2)+ f2(2)+…+ f2019(2)= f1(2)= 1.

答案：1 三、解答题

10.求下列函数的导数:

(1)y= 5x5—fx3+ 3x2+迄；

3

(2)y= (3x —4x)(2x + i);