华师大二次根式小结与复习
二次根式复习小结
二次根式复习小结知识框架：（1）二次根式有关概念：a ≥0）的式子 最简二次根式：（a ）被开方数不含分母； （b ）被开方数中不含能开尽方的因数或因式。
（2）二次根式性质：2(0)(0,0)0,0)a a a a a b a b =≥==≥≥=≥>为实数） （3）二次根式运算法则：加减法：先化成最简二次根式，再把同类二次根式合并．a ≥0，b ≥0）a ≥0，b>0） 练习：1、下列代数式中，属于二次根式的为（ ）A 、B 、C 、 (a ≥1)D 、— 2、在二次根式， 中，x 的取值范围是（ ）A 、x ≥1B 、x ＞1C 、x ≤1D 、x ＜1 3、已知（x －1）2＋ =0，则（x ＋y ）2的算术平方根是（ ）A 、1B 、±1C 、－1D 、0 4、下列计算中正确的是（ ）A 、B 、C 、D 、5、化简 =（ ）A 、B 、C 、D 、 6、下列二次根式： ， ， ， ， ， ，其中是最简二次根式的有（ ）A 、2个B 、3个C 、1个D 、4个7、若等式 成立，则m 的取值范围是（ ）A 、m ≥B 、m ＞3C 、 ≤m ＜3D 、m ≥3 8、已知直角三角形有两条边的长分别是3cm ，4cm ，那么第三条边的长是（ ） A 、5cm B 、 cmC 、5cm 或 cmD 、 cm 9、把二次根式 化简，得（ ）A 、x 2＋xy B 、 C 、 D 、 10、下列各组二次根式中，属于同类二次根式的为（ ）A 、 和B 、 和C 、 和D 、 和 11、如果a ≤1，那么化简 =（ ）A 、B 、C 、D 、4-3x -1-a 2-11--x 2+y 532=+y x y x -=-2)(aa11=3243=3121+561306156306a 5.03a b a 221-a 411222y x +n m 2312312--=--m m m m 2121775224y x x +y x x +xy x +1222y x x +2b a 222ab 1+a 1-a 12213)1(a -1)1(--a a a a --1)1(1)1(--a a a a --1)1(12、下列各组二次根式中，x 的取值范围相同的是（ ）A 、与 B 、（ ）2与 C 、 与 D 、 与 13、化简 －（）2，得（ ） A 、2 B 、4－ 4x C 、4x －4 D 、－2 14．下列计算正确的是（ ）（A ）228=- （B ）31227-=49-=1 （C ）1)52)(52(=+- （D ）23226=- 15．下列计算正确的是（ ）（A =（B 4= （C =（D ）(11=16．下列二次根式中与2是同类二次根式的是（ ）（A ）12 （B ）23 （C ）32 （D ）18 17．化简122154＋⨯的结果是（ ）． （A ） （B ） （C （D ） 18．下列各组二次根式中，是同类二次根式的共有（ ）组．①122与27 ②50与83 ③72与18 ④3与75 （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 二、填空题：（每小题3分，共36分）14、用“＞”或“＜”符号连接（1） ；（2） ； （3） 15、 的相反数是 ，绝对值是 ， （）2= 16、如果最简二次根式 与 是同类二次根式，那么a 的值是 17、计算： = ； （ ）2= ； = 18、当x 时，二次根式 有意义；当x 时，代数式有意义 19、若1＜x ＜2，则化简 = x 1+x x 2x 12+x 22+x 1-x x11442+-x x 32-x 537233-62-37-53-53-53-33-a a 27-248∙312)5(-13+x xx 1+22 ) 1 ( ) 2 ( x x - - -20、化简下列二次根式：（1） = ；（2） =21、如果等式 成立，那么x 的取值范围是22、若有意义，则x 的值是 23、化简： = ； = ； = 24、计算： = ； =25、如果x ＋y=5,xy=1,那么 = 26．如图，将一根25cm 长的细木棒放入长、宽、高分别为8cm 、6cm 和103cm 的长方体无盖盒子中，则细木棒露在盒外面的最短长度是 cm . 27．当x 时，23-x 有意义. 28．计算=+-21313352 . 29．计算=÷⨯7523 . 30．计算()()=+-2525 .三、解答题：（26～30题各4分，31～33题各6分，共38分）26、计算： 27、计算：28、计算： 29、计算：30、计算：31．化简求值：221323322+-++÷+++a a a a a a a ，其中，3=a ．1112-+=-∙x x x x x -+-33224211+yx yx --2385÷a b a 22183÷yx y x 22xy+)323125.0()48(81----aab a b a ab 3132722323+-21418122-+-)65()154(5333y x x y xy --÷∙2)23()25)(25(---+2318y x mx 4232．计算：()91118302+-+--+-π33、是否存在实数m ，使最简二次根式 与 是同类二次根式？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由。
二次根式的小结与复习
第十二章小结与思考
本课时是让学生对本章知识进行梳理，对全章的知识有个全面的认识，能站在更高的角度看待全章.学生经过一阶段的学习，学到了很多的数学知识，而这些知识内容在学生头脑中是零散的，应该重视基础，但不能片面理解为面面俱到的基础知识简单堆积和基本技能重复操练.复习教学就是要完善学生头脑中的这一认知结构.要优化学生头脑中的认知结构，必须引导学生自主活动，对知识进行主动建构.因此，教师和学生双方都应在此基础上建构数学知识框架，并用知识树等方式表示出来，同时要建立这一章的知识与其他知识的联系，例
a的化简与a的化简的关系，二次根式有意义与函数自变量取值的关系等等.同时，如：2
还要能举一反三、触类旁通，在学生已有的知识领域的基础上进一步提高、迁移，拓宽学生的知识面，更新知识结构．
本节的教学目标：
1.梳理全章概念，了解二次根式的定义，掌握二次根式有意义的条件和性质.
2.熟练进行二次根式的乘除法运算，会用它们进行有关实数的四则运算.
3.理解同类二次根式的定义，熟练进行二次根式的加减法运算.
4.了解最简二次根式的定义，能运用相关性质进行化简二次根式.
学习重、难点：对本章基础知识的整理归纳，二次根式的运算．
教学过程：。
(全册系列精选)华东师大初中数学九年级上册二次根式全章复习与巩固(基础)知识讲解 2
《二次根式》全章复习与巩固--知识讲解（基础）【学习目标】1、理解并掌握二次根式、最简二次根式、同类二次根式的定义和性质.2、熟练掌握二次根式的加、减、乘、除运算，会用它们进行有关实数的四则运算.3、了解代数式的概念，进一步体会代数式在表示数量关系方面的作用. 【知识网络】【要点梳理】要点一、二次根式的相关概念和性质 1. 二次根式0)a ≥的式子叫做二次根式，都叫做二次根式.要点诠释：有意义的条件是0a ≥，即只有被开方数0a ≥才. 2.二次根式的性质 （1）； （2）；（3）.要点诠释：（1） 一个非负数a 可以写成它的算术平方根的平方的形式，即a 2=（0a ≥），如22212;;3x ===（0x ≥）.（2）a 的取值范围可以是任意实数，即不论a .（3a ，再根据绝对值的意义来进行化简.（42的异同a 可以取任何实数，而2中的a 必须取非负数；a ，2=a （0a ≥）.相同点：被开方数都是非负数，当a 2.3. 最简二次根式（1）被开方数是整数或整式；（2)被开方数中不含能开方的因数或因式.满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.简二次根式.要点诠释：最简二次根式有两个要求：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中每个因式的指数都小于根指数2. 4.同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式.要点诠释：判断是否是同类二次根式，一定要化简到最简二次根式后，看被开方数是否相同，再判断.=. 要点二、二次根式的运算 1. 乘除法（1）乘除法法则：类型 法则逆用法则二次根式的乘法0,0)a b =≥≥积的算术平方根化简公式：0,0)a b =≥≥二次根式的除法0,0)a b≥>商的算术平方根化简公式：0,0)a b =≥>要点诠释：（1）当二次根式的前面有系数时，可类比单项式与单项式相乘（或相除）的法则，如=.（2）被开方数a 、b 一定是非负数（在分母上时只能为正数）.如.2.加减法将二次根式化为最简二次根式后，将同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数不变，即合并同类二次根式. 要点诠释：二次根式相加减时，要先将各个二次根式化成最简二次根式，再找出同类二次根式，最后合并同类二次根式.(13=+-=【典型例题】类型一、二次根式的概念与性质1． 当________在实数范围内有意义. 【答案】x ≥3.【解析】根据二次根式的性质，必须3x -≥0才有意义.【总结升华】本例考查了二次根式成立的条件，要牢记，只有0a ≥. 举一反三【高清课堂：二次根式 高清ID 号：388065 关联的位置名称：填空题5】2x =-成立的条件是 .=成立的条件是 . 【答案】① x ≤0；(2422x x x x ==-∴≤0.)② 2≤3x <.(20,30,x x -->∴≥2≤3x <)2．当0≤x <11x -的结果是__________.【答案】 1.【解析】因为x ≥0，x ；又因为x <1,即x -1<0,所以1(1)1x x x -=--=-，1x -=x +1-x =1.【总结升华】a ，同时联系绝对值的意义正确解答. 举一反三【变式】（2015春•大冶市期末）已知﹣=2，则+的值为_____________． 【答案】5. 解：∵﹣=2， ∴=+2，两边平方得，25﹣x 2=4+15﹣x 2+4，∴2=3，两边平方得4（15﹣x2）=9，化简，得x2=，∴+=+=5．故答案为：5．3.下列二次根式中属于最简二次根式的是（）.【答案】A.【解析】选项B=C：有分母；选项D=，所以选A.【总结升华】本题考查了最简二次根式的定义.最简二次根式要满足：（1）被开方数是整数或是整式；（2）被开方数中不含能开方的因式或因数.类型二、二次根式的运算4．（2016•来宾）下列计算正确的是（）A．﹣=B．3×2=6C．（2）2=16 D．=1【答案】B.【解析】解：A、不能化简，所以此选项错误；B、3×=6，所以此选项正确；C、（2）2=4×2=8，所以此选项错误；D、==，所以此选项错误；故选B．【总结升华】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的计算法则是关键，要注意：①二次根式的运算结果要化为最简二次根式；②与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的；③灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径．举一反三【变式】计算：-【答案】5.化简20102011⋅. 【答案与解析】2010201020101⋅⋅⎡⎤=⋅⋅⎣⎦=⋅=原式【总结升华】本题的求解用到了积的乘方的性质，乘法运算律，平方差公式及根式的性质，是一道综合运算题型.6.已知1,x =.【答案与解析】31,0,1313x x xx x =+∴->∴=-+==原式当时，原式【总结升华】 化简求值时要注意x 的取值范围，如果未确定要注意分类讨论. 举一反三【高清课堂:二次根式 高清ID 号：388065关联的位置名称：计算技巧6-7】 【变式】已知a b +=-3,ab =1,求ab b a +的值. 【答案】∵a b +=-3,ab =1，∴<0a ,<0b11+=+)=-=3--a b b a b a ab∴+原式.。
华师大版-数学-九年级上册-第二十二章 二次根式 复习与小结
第22章二次根式复习与小结复习内容本节课主要是对二次根式进行系统复习，巩固所学知识，提升应用方法．复习目标1．知识与技能．会理解二次根式的意义，会化简二次根式，会进行二次根式的乘除、加减混合运算． 2．过程与方法．经历探究二次根式概念及运算的过程，体会二次根式的解题方法．3．情感、态度与价值观．培养学生良好的运算习惯和不懈的探索精神．重难点、关键1．重点：二次根式的化简以及运算．2．难点：二次根式性质、法则的正确使用．3．关键：充分理解二次根式的概念，运用知识迁移的手法，•体会二次根式的混合运算的算法．复习准备1．教师准备：投影仪、收集有关资料．2．学生准备：写一份本单元知识结构图．复习过程一、创设情境，回顾交流1．教学方略：将学生分成四人小组，•交流各自书写的“单元知识结构图”进行概括总结．师生共识：（1a≥0a│；2=a（a≥0）（2）运算法则．加减法首先要化简二次根式，但二次根式的被开方数不含分母，不含能开得尽的因数，然后合并被开方数相同的二次根式．（a≥0，b≥0）a≥0，b>0）2．二次根式的运算主要研究二次根式的乘除和加减．对于二次根式的加减，•关键是合并同类二次根式，通常是先化成最简二次根式，再把同类二次根式合并．注意：二次根式运算结果应尽可能化简．二、范例学习，加深理解1．例1：下列各式中，正确的是（）=-A±4 B=-5 C3D答案：C教师评析：A错，等号左边表示的是算术平方根，右边却是正负两个值；B错，•等号左边表示的是算术平方根，右边应是5；C对，-27的立方根只有一个实数-3；D错，•任何一个-27）2的算术平方根，结果应是27，此类利用平方根、算术平方根、立方根的定义及符号含义来判断题目，常常用到．2．例2-2．解：原式=（）（- 2=12×-8×3-（）-5教师评析：进行根式运算时，要正确运用运算法则和乘法公式，分析题目特点，掌握方= ，•2=）2-2，此类常犯的错误．另外，根式的分数必须写成假分数或真分数，不能写成带分数．例如172不能写成812．三、习题精练，应用知识课堂演练．1．当x_______2．化简2______,(==_____．3．已知a<0<b =_________． 4=．5．比较大小：________-34 6=_______． 7．下列根式中，属于最简二次根式的是（ ）A B C8．下列各组的两个式子中，x的取值范围相同的是（）2|1|11x BC xD x+--与9-1011．已知x=3，y=48，化简并求值：（x+y(x y-12．x、y都是实数，且│2x-y+1│0,=等于多少呢？四、布置作业，专题突破1．课本P14复习题第1（1）（3）（5）（7）（9）、2、3、4、5题．2．选用课时作业设计．五、课后反思（略）课时作业设计1有意义的x的取值范围是（）A．1≤x≤3 B．1<x≤3 C．x≥1 D．x<32．若x<0│等于（）A．0 B．-2x C．2x D．0或2x3．若a<0，b>0）A ．...BCD -421,y my +=则的结果为（ ）A ．m 2+2B ．m 2-2 C +2 D5．若2x+1=_______．6．x______时，式子||4x -有意义．7．若xy ≠0成立的条件是______．8．若0<x<1_______．9．计算．（135÷13（2）133a10．已知x 、y 是实数，且，求5x+6y 的值．答案:1．B 2．B 3．A 4．A 5．7 6．x ≥-35且x ≠4 7．x>0且y<0 8．2x9．（1）（2）（a+8 10．13。
二次根式的复习PPT课件(华师大版)
例2、计算
(1)3 5 2 15
(2) 40 45
(3)3 m6n5 5 m4n2 (m、、 为正数）
(4) 1 48 1
2
8
三、二次根式的乘除 1、积的算术平方根的性质
ab a b(a 0,b 0)
2、二次根式的乘法法则
a b ab(a 0,b 0)
3、商的算术平方根的性质
而 2a b2 0
2a0 ， b20
a 2， b 2
原式 (a 2)2 b2 ( 2 2)2 22
4
练一练 :
1.如果最简根式 ba 3b 和 2b a 2
是同类二次根式，那么a、b的值分别是（ ） A．a=0，b=2 B．a=2，b=0 C．a=-1，b=1 D．a=1，b=-2
3 的整数部分 1 ，小数部分 3 1 。 15 的整数部分 3 ，小数部分 15 3。
2、化简： ( 15 3)2 ( 15 4)2
3、若a、b分别是 6 13 的整数部分和 小数部分2a-b的值是 13 。
拓展2
细心视察图形,认真分析,思考下列问题.
（1）你能求出哪些线段的长？
OA2=___S1=___ OA3=___S2=___
2.实数a在数轴上的位置如图所示,化简
a
a 1 (a 2)2 =
-1 0 1 2
.
3.若代数式 (2 a)2 (a 4)2 的值是常数2,
则a的取值范围是( )
A. a 2
C. 2 a 4
B. a 2
D. a 2或a 4
4、把 a 1 根号外的因式移到根号内得 a
（） 5、若化简 1 x x24
S4
…… …… A6
S5
OAn=___
九年级数学 第22章 二次根式复习 华东师大版 知识精讲
九年级数学 第22章 二次根式复习 华东师大版【本讲教育信息】一. 教学内容：第22章 二次根式复习二. 重点、难点：本章的重点是二次根式的运算，二次根式的有关概念和性质是进行二次根式运算的基础，正确理解和运用二次根式的有关概念和性质是二次根式运算的关键，深刻理解和运用公式a a a a a a 200==≥-<⎧⎨⎩||()()是本章的难点。
三. 知识梳理：1. 本章知识提练整理2. 学习本章的几个注意点 （1）抓对比，明确概念本章概念多，容易混淆。
学习时要抓住它们各自的特点进行对比，搞清概念间的联系和区别，如画出网络图建立二次根式与同类二次根式的联系和区别；这是获得知识、训练能力的有效方法。
（2）抓类比，发展联想美国数学教育学家波利亚说：“类比就是一种相似，相似的对象在某个方面彼此一致，类比的对象则其相应部分在某些关系上相似。
”学习二次根式时可以同算术平方根的符号、性质类比，这样学习数学就能逐步提高思维能力。
（3）抓审题，提高素质由于前面分析过的难点，就使得学习时容易出现错误，特别在解题时，如不仔细审题，就容易用错概念，或挖掘不出隐含在题意或符号、算式中的关系和条件，所以在审题时要细心观察，善于联想，去伪存真，巧妙转化；再有，二次根式运算的题目往往比较繁杂，计算时要学会调控自己的情绪，沉着冷静，切忌浮躁，养成“审题、检查、反思”的学习习惯，培养良好的心理素质，提高自身综合素质。
（4）抓“化简”，落实双基本章学习要抓住二次根式的运算这条主线，而二次根式的化简又是运算的表现形式，因此，要通过“化简”把算术平方根和二次根式的概念、性质，以至多项式的运算、多项式的因式分解等等知识有机地结合起来，并通过“化简”做到“明白算理，运算熟练，结果正确。
”【典型例题】例1. 如果2y =，则2x y +=_______.分析： a 必须是非负数，即a ≥0，可以是单项式，也可以是多项式.所以由已知条件，得23x -≥0且32x -≥0.解：由题意得23x -≥0且32x -≥0，∴32x =，y =2，∴2x y +=5.例2. 已知数a ，b －a ，则 ( ) A. a>bB. a<bC. a≥bD. a≤b解析：此题是二次根式|a －b|=b －a ，根据绝对值的意义，可得a －b ≤0，所以有a≤b ，故选D.例3. =a 的取值范围是___________.分析：=a ≥0，b ＞0，不能与二次根式有意义的条件混淆.解：由a ≥0和2－a ＞0得0≤a ＜2.例4. 若|1|a b -+互为相反数，则=+2004)b a (_______。
华东师大版二次根式知识点及板块
华东师大版二次根式【知识回顾】1.二次根式：式子_____________ ( a ______ )叫做二次根式2.最简二次根式：必须同时满足下列条件：⑵被开方数中......................... ; ⑶分母中..................... 。
3.同类二次根式：二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。
4.二次根式的性质：(1)(4^ ) = ________ ( a》0) ；(2) (a2=|a = j _5.二次根式的运算：---------(1)因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术平方根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先分解因式，变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面.(2)_______________________________________________ 二次根式的加减法：先把二次根式化成 ____________________________________ 合并同类二次根式.(3)二次根式的乘除法：二次根式相乘(除)，将被开方数相乘(除),所得的积(商)仍作积(商)的被开方数并将运算结果化为Vab= (a>0 b>0; g = ¥ (b>Q a>0).(4)有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算.专题一二次根式知识点一：二次根式的概念(_丄)2 (6)TT^a(7) Ja2-2a + 1 3 F列各式((1 -.X22(4)其中是二次根式的是(填序号).例2使,x + J x"2有意义的x的取值范围是( )A. x > 0 科B . XM 2C . x>2D . x>0 且XM 2.[来源：学* 网Z*X*X*K]例3 若y= J x _5 + J5 - x +2009,则x+y= ________________________练习1使代数式土3有意义的x的取值范围是___________________x —4练习2 若.x -1 - 1 - x = (x y)2，则x —y 的值为___________________例4 若a-2+7^ = 0,贝U a2-b= _____________________________ 。
3二次根式小结与复习
二次根式小结与复习【主要内容】本单元是在学习了平方根和算术平方根的意义的基础上，引入一个符号“”．主要内容有：（1）二次根式的有关概念，如：二次根式定义、最简二次根式、•同类二次根式等；（2）二次根式的性质；（3）二次根式的运算，如：二次根式的乘除法、二次根式的加减法等．【要点归纳】1.二次根式的定义：形如的式子叫二次根式，其中叫被开方数，只有当是一个非负数时，才有意义．EX:10．若代数式有意义，则的取值范围是（）A．且B．C．且D．且2. 二次根式的性质：①②③④Ex：1．化简：______；_________．2．当______时，．3．等式成立的条件是______．4．当，化简_______．5．比较与的大小：_______．6．分母有理化：（1）__________；（2）__________；（3）__________．9．如果，那么的值为___________．10．若有意义，则的取值范围是___________．选择题：1．下式中不是二次根式的为（）A．；B．；C．；D．9．的值为（）A．B．C．D．3. 二次根式的运算二次根式的运算主要是研究二次根式的乘除和加减．（1）二次根式的加减：需要先把二次根式化简，然后把被开方数相同的二次根式（即同类二次根式）的系数相加减，被开方数不变。
注意：对于二次根式的加减，关键是合并同类二次根式，通常是先化成最简二次根式，再把同类二次根式合并．但在化简二次根式时，二次根式的被开方数应不含分母，不含能开得尽的因数．（2）二次根式的乘法：（3）二次根式的除法：注意：乘、除法的运算法则要灵活运用，在实际运算中经常从等式的右边变形至等式的左边，同时还要考虑字母的取值范围，最后把运算结果化成最简二次根式．EX:7．已知，，，那么________．8．计算_________．（4）二次根式的混合运算：先乘方（或开方），再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的；能利用运算律或乘法公式进行运算的，可适当改变运算顺序进行简便运算．注意：进行根式运算时，要正确运用运算法则和乘法公式，分析题目特点，掌握方法与技巧，以便使运算过程简便．二次根式运算结果应尽可能化简．另外，根式的分数必须写成假分数或真分数，不能写成带分数．例如不能写成．EX: 2．计算得（）A．；B．C．D．173．若，则化简等于（）A．B．C．D．14．化简的结果是（）A．B．C． D．5．计算的结果是（）A．B．C． D．6．化简的结果是（）A．2 B．C．D．以上答案都不对（5）有理化因式：一般常见的互为有理化因式有如下几类：①与；②与；③与；④与．说明：利用有理化因式的特点可以将分母有理化．【难点指导】1、如果是二次根式，则一定有；当时，必有；2、当时，表示的算术平方根，因此有；反过来，也可以将一个非负数写成的形式；3、表示的算术平方根，因此有，可以是任意实数；4、区别和的不同：中的可以取任意实数，中的只能是一个非负数，否则无意义．5、简化二次根式的被开方数，主要有两个途径：（1）因式的内移：因式内移时，若，则将负号留在根号外．即：．（2）因式外移时，若被开数中字母取值范围未指明时，则要进行讨论．即：EX: 7．把式子中根号外的移到根号内，得（）A．B．C．D．8．等式成立的条件是（）A．B．C．D．6、二次根式的比较：（1）若，则有；（2）若，则有．说明：一般情况下，可将根号外的因式都移到根号里面去以后再比较大小．强化训练【时间60分钟满分100分】计算与化简：（每小题2分，共16分）（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）求值题：（每小题4分，共16分）1．已知：，求的值．2．已知，求的值。
二次根式小结与复习
二次根式小结与复习基础盘点 1.二次根式的定义：一般地，我们把形如a （a ___0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根式.定义诠释：（1）二次根式的定义是以形式界定的，如4是二次根式；（2）形如a b （a ≥0）的式子也叫做二次根式；（3）二次根式a 中的被开方数a ，可以是数，也可以是单项式、多项式、分式，但必须满足a ≥0.2.二次根式的基本性质（1）a _____0（a ___0）；（2）()2a ＝_____（a ___0）；（3）a a =2＝()()⎩⎨⎧0_____0_____a a ；（4=____（a ___0，b ___0）；（5=_______（a ___0，b ___0）.3.最简二次根式必须满足的条件为：（1）被开方数中不含_______；（2）被开方数中所有因式的幂的指数都______.4.二次根式的乘、除法则：（1=_____（a ___0，b ___0）；（2=_________（a ___0，b ___0）. 复习提示：（1）进行乘法运算时，若结果是一个完全平方数，则应利用==a a 2()()⎩⎨⎧<-≥00a a a a 进行化简，即将根号内能够开的尽方的数移到根号外； （2）进行除法运算时，若除得的商的被开方数中含有完全平方数因数，应运用积的算术平方根的性质将其进行化简.5.同类二次根式：几个二次根式化成_________后，如果_______相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式.6.二次根式的加减法则：二次根式加减时，可以先将二次根式化成_______，然后把___ ______进行合并.复习提示：（1）二次根式的加减分为两个步骤：第一步是_____，第二步是____，在合并时，只需将根号外的因式进行加减，被开方数和根指数不变；（2）不是同类二次根式的不能合并，如：53+≠8；（3）在求含二次根式的代数式的值时，常用整体思想来计算.7.二次根式的混合运算（1）二次根式的混合运算顺序与实数中的运算顺序一致，也是先____，再____，最后 ____，有括号的先_____内的.复习提示：（1）在运算过程中，有理数（式）中的运算律，在二次根式中仍然适用，有理数（式）中的乘法公式在二次根式中仍然适用；（2）二次根式的运算结果可能是有理式，也可能是二次根式，若是二次根式，一定要化成最简二次根式.8.二次根式的实际应用利用二次根式的运算解决实际问题，主要从实际问题中列出算式，然后根据运算的性质进行计算，注意最后的结果有时需要取近似值.考点呈现考点1 二次根式有意义的条件例1 若式子43-x 在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（ ）A.x ≥34B.x ＞34C.x ≥43D.x ＞43 方法总结：判断含有字母的二次根式是否有意义，就是看根号内的被开方数是不是非负数，如果是，就有意义，否则就没有意义，当二次根式含有分母时，分母不能为0.考点2 二次根式的性质 例2 下列各式中，正确的是（ ） A.()332-=- B.332-=- C.()332±=± D.332±=方法总结：()a a =2成立的条件是a ≥0，而在化简()2a 时，先要判断a 的正负情况.考点3 二次根式的非负性 例3 已知32552--+-=x x y ，则xy 2的值为（ ） A.—15 B.15 C.215- D.215 方法总结：二次根式a （a ≥0）具有双重非负性，即a ≥0、a ≥0.考点4 最简二次根式例4 下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A.51 B.5.0 C.5 D.50 方法总结：在进行二次根式化简时，一些同学不知道化到什么程度为止，切记，一定要化到最简二次根式为止.考点5 二次根式的运算例5 计算1824-×31＝____. 方法总结：二次根式的加减运算，一定要先化简才能得知算式中哪些二次根式可以合并，除法运算先化为乘法再运算，混合运算时要正确使用运算法则.考点6 二次根式的化简求值例6 若120142013-=m ，则34520132m m m --的值是_____. 方法总结：解决此类问题应注意代数式的变形和整体思想的运用.误区点拨一、考虑问题不全面例1 代数式21-x 中，x 的取值范围是______. 错解：根据题意，得2-x ≥0，解得x ≥2，故填x ≥2.剖析：整体观察式子的特点，存在分母，应满足分母不为0的条件；又存在二次根式，应满足被开方数为非负数. 错解只注意被开方数的非负性，而忽略了分式中分母不为0的条件.正解：根据题意，得2-x ＞0，解得x ＞2，故填x ＞2.二、理解性质出错例2 求()23-的值.错解：()23-＝—3.剖析：()23-表示()23-的算术平方根，应为正数. 错解由于对二次根式的性质理解不透而犯错.正解：()23-＝9＝3. 三、忽略运算顺序例3 计算3312⨯÷.错解：原式＝212=÷.剖析：由于乘除是同一级运算，应按照从左到右的顺序进行.正解：原式＝23332=⨯⨯.四、对最简二次根式判断不准例4 下列各式中是最简二次根式的是（ ）A.23 B.36 C.2.1 D.49 错解：选C.剖析：最简二次根式的被开方数中既不含开的尽方的因式或因数，也不含分母，满足条件的只有B. 错解只看表面形式，不求甚解，C 中被开方数是小数形式，化为分数后，可继续化简.正解：选B.专题二 利用二次根式的性质将代数式化简4. 把(a b -化成最简二次根式正确的结果是（ ）5.实数、________=.跟踪训练1.根式3-x 中x 的取值范围是（ ）A.x ≥3B.x ≤3C.x ＜3D.x ＞32.下列各式是最简二次根式的是（ ） A.20 B.1.2 C.72 D.51 3.下列各式中，与3是同类二次根式的是（ ） A.18 B.24 C.12 D.94.化简122154+⨯的结果是（ ）A.25 B.36 C.3 D.35 5.下列运算正确的是（ ）A.25＝±5 B.12734=- C.9218=÷ D.62324=∙ 6.已知：132-=-b a ，3=ab ，则()()11-+b a 的值为（ ）A.3-B.33C.223-D.13-7.已知三角形三边的长分别为18cm 、12cm 、18cm ，则它的周长为_____cm.8.当m ＜0时，化简mm 2＝____. 9.计算：()2850÷-的结果是_____. 10.实数在数轴上的位置如下图所示，化简()221-+-a a ＝_____.11.已知011=-++b a ，则20132013b a +＝____.12.如果最简二次根式a m a --7与m 2是同类二次根式，则a ＝____，m ＝____.13.先化简，再求值：()()()633--+-a a a a ，其中215+=a . 14.先化简，再求值：221a a a +-+，其中1007=a . 下图是小亮和小芳的解答过（1）_____的解法是错误的；（2）错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质：___________.（3）先化简，再求值：9622+-+a a a ，其中2007-=a .专题一 乘法公式与二次根式的混合运算1. 计算：65)23()23(-+.。
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二次根式小结与复习
【主要内容】
本单元是在学习了平方根和算术平方根的意义的基础上，引入一个符号“”．主要内容有：（1）二次根式的有关概念，如：二次根式定义、最简二次根式、•同类二次根式等；（2）二次根式的性质；（3）二次根式的运算，如：二次根式的乘除法、二次根式的加减法等．【要点归纳】
1. 二次根式的定义：形如的式子叫二次根式，其中叫被开方数，只有当是一个非负数时，才有意义．
2. 二次根式的性质：
①
②
③
④
3. 二次根式的运算
二次根式的运算主要是研究二次根式的乘除和加减．
（1）二次根式的加减：
需要先把二次根式化简，然后把被开方数相同的二次根式（即同类二次根式）的系数相加减，被开方数不变。
注意：对于二次根式的加减，关键是合并同类二次根式，通常是先化成最简二次根式，再把同类二次根式合并．但在化简二次根式时，二次根式的被开方数应不含分母，不含能开得尽的因数．
（2）二次根式的乘法：
（3）二次根式的除法：
注意：乘、除法的运算法则要灵活运用，在实际运算中经常从等式的右边变形至等式的左边，同时还要考虑字母的取值范围，最后把运算结果化成最简二次根式．
（4）二次根式的混合运算：
先乘方（或开方），再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的；能利用运算律或乘法公式进行运算的，可适当改变运算顺序进行简便运算．
注意：进行根式运算时，要正确运用运算法则和乘法公式，分析题目特点，掌握方法与技巧，以便使运算过程简便．二次根式运算结果
应尽可能化简．另外，根式的分数必须写成假分数或真分数，不能写成带分数．例如不能写成．（5）有理化因式：
一般常见的互为有理化因式有如下几类：
①与；②与；
③与；④与．
说明：利用有理化因式的特点可以将分母有理化．
【难点指导】
1、如果是二次根式，则一定有；当时，必有；
2、当时，表示的算术平方根，因此有；反过来，也可以将一个非负数写成的形式；
3、表示的算术平方根，因此有，可以是任意实数；
4、区别和的不同：
中的可以取任意实数，中的只能是一个非负数，否则无意义．
5、简化二次根式的被开方数，主要有两个途径：
（1）因式的内移：因式内移时，若，则将负号留在根号外．即：．
（2）因式外移时，若被开数中字母取值范围未指明时，则要进行讨论．即：
6、二次根式的比较：
（1）若，则有；（2）若，则有．
说明：一般情况下，可将根号外的因式都移到根号里面去以后再比较大小．
二次根式强化训练与复习巩固自测试题
【时间60分钟满分100分】
一、填空题：（每小题2分，共20分）
1．化简：______；_________．
2．当______时，．
3．等式成立的条件是______．
4．当，化简_______．
5．比较与的大小：_______．
6．分母有理化：
（1）__________；（2）__________；（3）__________．7．已知，，，那么________．
8．计算_________．
9．如果，那么的值为___________．
10．若有意义，则的取值范围是___________．
二、选择题：（每小题2分，共20分）
1．下式中不是二次根式的为（）
A．；B．；C．；D．
2．计算得（）
A．；B．C．D．17
3．若，则化简等于（）
A．B．C．D．1
4．化简的结果是（）
A．B．C． D．
5．计算的结果是（）
A．B．C． D．
6．化简的结果是（）
A．2 B．C．D．以上答案都不对
7．把式子中根号外的移到根号内，得（）
A．B．C．D．
8．等式成立的条件是（）
A．B．C．D．
9．的值为（）
A．B．C．D．
10．若代数式有意义，则的取值范围是（）
A．且B．C．且D．且
三、计算与化简：（每小题2分，共16分）
（1）（2）（3）（4）
（5）（6）（7）（8）
（9）（10）
四、求值题：（每小题4分，共16分）
1．已知：，求的值．
2．已知，求的值。
3．已知：，求的值．
4．求的值．
5．已知、是实数，且，求的值．
五、解答题：（每小题4分，共16分）
1．解方程：
2．在△ABC中，三边分别为，且满足，，试探求△ABC的形状．
3．有一种房梁的截面积是一个矩形，•且矩形的长与宽之比为：1，现用直径为3cm的一种圆木做原料加工这种房梁，那么加工后的房梁的最大截面积是多少？
答案与提示：
一、填空题：
1．8；2．；3．，；4．；5．；6．（1）（2）（3）
7．；8．；9．4；10．；
二、选择题：
1．B；2．B；3．C；4．A；5．A；6．C；7．C；8．A；9．B；10．C；
三、计算与化简：
（1）96 （2）（3）（4）（5）（6）
（7）（8）（9）
（10）思路点拨：由于，因此对代数式的化简，可先将分母有理化，•再通过解含有字母系数的一元一次方程得到的值，代入化简得结果即可．
解：原式
．
四、求值题：
1．由于，所以；
2．解：∵，∴
∴，∴，∴
∴原式．
3．提示：由，得：，即：，所以，；再化简
，即：．
4．提示：由于
，而，所以．
5．提示：由，可知的取值范围：，则；则．
五、解答题：
1．原方程可化为：，
∴∴
2．∵，∴，
又∵，∴，∴，
∴；
∵，，，∴，，，
∴，∴△ABC是等边三角形．
3．设：矩形房梁的宽为，则长为，依题意，
得：，，，
所以．
答：加工后的房梁的最大截面积是．。