函数值比大小(含答案)

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反比例函数与一次函数综合(面积问题、线段和差,函数值比较大小)—2024年二轮热点题型(全国通用)

反比例函数与一次函数综合目录热点题型归纳 (1)题型01 面积问题 (1)题型02 两线段和差最值问题 (3)题型03 两函数值比较大小问题 (15)中考练场 (31)题型01 面积问题【解题策略】【典例分析】例．（2023·辽宁鞍山·中考真题）如图，直线AB 与反比例函数()0k y x x=<的图象交于点()2,A m −，(),2B n ，过点A 作AC y 轴交x 轴于点C ，在x 轴正半轴上取一点D ，使2OC OD =，连接BC ，AD ．若ACD 的面积是6．(1)求反比例函数的解析式．(2)点P 为第一象限内直线AB 上一点，且PAC △的面积等于BAC 面积的2倍，求点P 的坐标．【答案】(1)8y x =−；(2)()2,8P【分析】（1）根据2OC OD =，可得三角形面积之比，计算出AOC 的面积，面积乘2即为8k =，解析式可得；（2）根据点的坐标求出直线AB 的解析式为6y x =+，设符合条件的点(),6P m m +，利用面积的倍数关系建立方程解出即可．【详解】（1）解：∵2OC OD =，ACD 的面积是6，∴4AOC S =V ， ∴8k =，∵图象在第二象限，∴8k =−，∴反比例函数解析式为：8y x =−；（2）∵点()2,A m −，(),2B n ，在8y x =−的图象上， ∴4m =，n =−4，∴()2,4A −，()4,2B −，设直线AB 的解析式为y kx b =+，2442k b k b −+=⎧⎨−+=⎩，解得：16k b =⎧⎨=⎩，∴直线AB 的解析式为6y x =+，∵AC y 轴交x 轴于点C ，∴()2,0C −， ∴14242ABC S =⨯⨯=，设直线AB 上在第一象限的点(),6P m m +， ∴()142282PAC ABC S m S =⨯⨯+==，∴248m +=，∴2m =，∴()2,8P ．【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，交点坐标满足两个函数关系式．【变式演练】1．（2023·山东泰安·三模）如图，一次函数1112y x =+的图象与反比例函数2(0)k y x x =>的图象交于点(),3A a ，与y 轴交于点B ．(1)求a ，k 的值；(2)请直接写出在第一象限124y y <<时，x 的取值范围．(3)直线CD 过点A ，与反比例函数图象交于点C ，与x 轴交于点D ，AC AD =，连接.CB 求ABC 的面积．【答案】(1)412a k ==，(2)34x <<(3)8【分析】本题主要考查了求反比例函数的解析式，结合一次函数的解析式求点的坐标，解决问题的关键是画出图形．（1）用待定系数法即可求解；（2）根据图象直接得出答案；（3）求出()2,6C ，由1144822ABC A S CE x =⋅=⨯⨯=△，即可求解．【详解】（1）将点A 的坐标代入一次函数表达式得：1312a =+，解得：4a =，则点()4,3A ，将点A 的坐标代入反比例函数表达式得：34k=，解得：12k =；（2）把4y =代入12y x =，得3x =，由图可知24y <时，3x >，由图可知12y y <时，4x <， 124y y ∴<<时，34x <<；（3）点()4,3A ，D 点的纵坐标是0，AD AC =， ∴点C 的纵坐标是3206⨯−=，把6y =代入12y x =，得2x =， ()2,6C ∴，如图1，作CD x ⊥轴于D ，交AB 于E ，当2x =时，12122y =⨯+=，()2,2E ∴， ()2,6C ，624CE ∴=−=，∴由1144822ABC A S CE x =⋅=⨯⨯=△．2．（2023·山东泰安·一模）如图，一次函数1y k x b =+的图象与反比例函数2k y x=的图象相交于()1,2A ，()2,B n −两点．(1)求一次函数和反比例函数的表达式．(2)根据图象，直接写出满足21k k x b x+<的x 的取值范围． (3)若点P 在线段AB 上，且1:3AOP BOP S S =△△：，求点P 的坐标．【答案】(1)2y x =，1y x =+(2)01x <<或<2x − (3)15,44⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】（1）把()1,2A 坐标代入2k y x =可得解析式，继而求出n ，用待定系数法求出一次函数解析式；（2）根据图象直接写出21k k x b x +<的x 的取值范围即可；（3）利用1:3AOP BOP S S =△△：得出3PB PA =，设P 坐标(),1x x +利用勾股定理建立方程求出x 即可．本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了待定系数法求函数解析式．【详解】（1）解：反比例函数2k y x =经过()1,2A ， 2122k ∴=⨯=，∴反比例函数解析式为2y x =，()2B n −，在反比例函数2y x =的图象上， 212n ∴==−−，()21B ∴−−，，直线1y k x b =+经过()1,2A ，()2,1B −−，11221k b k b +=⎧∴⎨−+=−⎩，解得111k b =⎧⎨=⎩，∴一次函数的解析式为1y x =+；（2）解：观察函数图象可知21k k x b x +<的x 的取值范围是01x <<或<2x −；（3）解：设()1P x x +，，∵1:3AOP BOP S S =△△：:1:3AP BP ∴=，即3PB PA =，()()()()22222119112x x x x ⎡⎤∴++++=−++−⎣⎦，解得15(4x =舍去)，214x =， P ∴点坐标为1544⎛⎫ ⎪⎝⎭，3．（2023·广东潮州·二模）如图，反比例函数2y x=的图象与一次函数y kx b =+的图象交于点A 、B ，点A 、B 的横坐标分别为1，2−，一次函数图象与y 轴的交于点C ，与x 轴交于点D ．(1)求一次函数的解析式；(2)对于反比例函数2y x=，当1y <−时，写出x 的取值范围； (3)点P 是第三象限内反比例图象上的一点，若点P 满足S △BDP ＝12S △ODA ，请求出点P 的坐标．【答案】(1)1y x =+(2)20x −<<(3)(或(1−【分析】本题主要考查二次函数性质，一次函数性质，图形的面积等，解题的关键在于利用反比例函数得出交点坐标，从而求出一次函数解析式，以及懂得观察图象，获取图象信息，从而得到自变量的取值范围，以及利用割补法求面积．（1）利用反比例函数求出交点A 、点B 的坐标分别为()1,2，()2−,-1，再利用待定系数法即可求出一次函数的解析式．（2）当1y <−时，即为B 点右侧图象，观察图象，从而得出此段图象对应的自变量的取值范围为20x −<<．（3）先求出ODP 的面积为1，从而确定BDP △的面积为12，再通过点P 的不同的位置，设点P 的坐标为2,x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，根据图形面积列出方程，即可求出点P 的坐标．【详解】（1）解：∵反比例函数2y x =的图象与一次函数y kx b =+的图象交于点A 、B ，点A 、B 的横坐标分别为1，﹣2；∴A ()1,2，B()2,1−−；把A 、B 的坐标代入y kx b =+得221k b k b +=⎧⎨−+=−⎩，解得11k b =⎧⎨=⎩；∴一次函数的解析式为1y x =+．（2）∵()2,1B −−；由图象可知，当20x −<<时，1y <−．（3）∵一次函数为1y x =+；∴D ()1,0−；∵A ()1,2， ∴1212ODA S =⨯⨯V ； ∴1122BDP ODA S S ==V V ，设点P 的坐标为： 2,x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，0x <；∴ON x =−，2PN x =−；当P 在直线下方时，如图1，则；()()()121211=1212112222BDP BDM PDNBMNP S S S S x x x x =+−⎛⎫⎛⎫−++−−−−−⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭梯形；解得x =∴点P (．当P 在直线AB 的上方时，如图2，则；()()()1211112211122222BDF BDM PDN BMNP SS S S x x x x =+−⎛⎫⎛⎫=−−−+−⨯−−−−= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭梯形；解得1x =−∴点P (1−；综上可得：点P的坐标为：( 或(1− ．4．（2023·广东云浮·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y kx b =+图象与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，与反比例函数m y x=在第一象限内的图象交于点C ，CD x ⊥轴， 1tan BAO 2∠=，42OA OD ==，．(1)求一次函数与反比例函数的解析式；(2)若点E 是反比例函数在第三象限内图象上的点，过点E 作EF ⊥y 轴，垂足为点F ，连接OE AF 、，如果4BAF EFO SS =，求点E 的坐标．【答案】(1)一次函数解析式为122y x =+，反比例函数解析式为6y x =(2)342E ⎛⎫−− ⎪⎝⎭，【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，解直角三角形，待定系数法求函数解析式，正确求出对应的函数解析式是解题的关键．（1）先求出A 、D 坐标，以及AD 的长，解直角三角形求出CD 的长，进而得到点C 的坐标，然后利用待定系数法求出对应的函数解析式即可；（2）设出点E 坐标，求出OEF 的面积为3，进而得到ABF △的面积为12，再求出点B 的坐标，得到OB 的长，利用面积法求出BF 的长进而求出点E 的坐标即可．【详解】（1）解：∵42OA OD ==，，∴()()4020A D −，，，，426AD OA OD =+=+=，∵BAO CAD ∠=∠， ∴1tan tan 2BAO CAD ∠=∠=， ∵CD x ⊥轴， ∴1tan 2CD CAD AD ∠== ， ∴132CD AD ==，∴点C 的坐标为()23，，∴把()()4023A C −，，，代入y kx b =+中得4023k b k b −+=⎧⎨+=⎩，解得122k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴一次函数的解析式为122y x =+，∵点C 在反比例函数my x =的图象上，∴将()23C ，代入m y x =中得32m=，解得：6m =，∴反比例函数解析式为6y x =；（2）解：设6E m m ⎛⎫−− ⎪⎝⎭，， ∴6EF m OF m ==，∴132EFOSOF EF =⋅=，∴142BAFEFOSS==，∵一次函数解析式为122y x =+，∴()02B ，，∴2OB =，又∵4OA =，12ABF S BF OA =⋅=△，∴()2212OF +=，∴626m +=，∴32m =， ∴342E ⎛⎫−− ⎪⎝⎭，．题型02 两线段和差最值问题【解题策略】例．（2023·四川宜宾·中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy 中，等腰直角三角形ABC 的直角顶点()30C ，，顶点A 、()6B m ，恰好落在反比例函数ky x=第一象限的图象上．(1)分别求反比例函数的表达式和直线AB 所对应的一次函数的表达式；(2)在x 轴上是否存在一点P ，使ABP 周长的值最小．若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)6y x =，142y x =−+(2)在x 轴上存在一点()5,0P ，使ABP 周长的值最小,最小值是【分析】（1）过点A 作AE x ⊥轴于点E ，过点B 作BD x ⊥轴于点D ，证明()AAS ACE CBD ≌，则3,CD AE BD EC m ====，由3OE m =−得到点A 的坐标是()3,3m −，由A 、()6B m ，恰好落在反比例函数ky x =第一象限的图象上得到()336m m−=，解得1m =，得到点A 的坐标是()2,3，点B 的坐标是()6,1，进一步用待定系数法即可得到答案；（2）延长AE 至点A '，使得EA AE '=，连接A B '交x 轴于点P ，连接AP ，利用轴对称的性质得到AP A P '=，()2,3A '−，则AP PB A B '+=，由AB =AB 是定值，此时ABP 的周长为AP PB AB AB A B '++=+最小，利用待定系数法求出直线A B '的解析式，求出点P 的坐标，再求出周长最小值即可．【详解】（1）解：过点A 作AE x ⊥轴于点E ，过点B 作BD x ⊥轴于点D ，则90AEC CDB ∠=∠=︒，∵点()30C ，，()6B m ，，∴3,6,OC OD ==BD m =， ∴3CD OD OC =−=， ∵ABC 是等腰直角三角形， ∴90,ACB AC BC ∠=︒=，∵90ACE BCD CBD BCD ∠+∠=∠+∠=︒， ∴ACE CBD ∠=∠， ∴()AAS ACE CBD ≌，∴3,CD AE BD EC m ====， ∴3OE OC EC m =−=−， ∴点A 的坐标是()3,3m −，∵A 、()6B m ，恰好落在反比例函数ky x =第一象限的图象上．∴()336m m−=，解得1m =，∴点A 的坐标是()2,3，点B 的坐标是()6,1，∴66k m ==，∴反比例函数的解析式是6y x =，设直线AB 所对应的一次函数的表达式为y px q =+，把点A 和点B 的坐标代入得，2361p q p q +=⎧⎨+=⎩，解得124p q ⎧=−⎪⎨⎪=⎩,∴直线AB 所对应的一次函数的表达式为142y x =−+，（2）延长AE 至点A '，使得EA AE '=，连接A B '交x 轴于点P ，连接AP ，∴点A 与点A '关于x 轴对称， ∴AP A P '=，()2,3A '−，∵AP PB A P PB A B ''+=+=， ∴AP PB +的最小值是A B '的长度，∵AB =AB 是定值，∴此时ABP 的周长为AP PB AB AB A B '++=+最小，设直线A B '的解析式是y nx t =+，则2361n t n t +=−⎧⎨+=⎩，解得15n t =⎧⎨=−⎩， ∴直线A B '的解析式是5y x =−，当0y =时，05x =−，解得5x =，即点P 的坐标是()5,0，此时AP PB AB AB A B '++=+=综上可知，在x 轴上存在一点()5,0P，使ABP周长的值最小，最小值是【点睛】此题考查了反比例函数和一次函数的图象和性质、用到了待定系数法求函数解析式、勾股定理求两点间距离、轴对称最短路径问题、全等三角形的判定和性质等知识，数形结合和准确计算是解题的关键．【变式演练】1．（2023·河南濮阳·三模）如图，一次函数6y x =−+与反比例函数()0ky x x=>交于A 、B 两点，交x 轴于点C ，已知点A 的坐标为()2,a ．(1)求反比例函数解析式； (2)直接写出不等式()60kx x x−+>>的解集______． (3)在x 轴是否存在点P ，使得PA PB −有最大值，若存在，请求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】(1)反比例函数解析式为：y ＝8x ．(2)24x <<．(3)在x 轴上存在点P ，使PA PB −有最大值为AB 此时P 点坐标是()6,0．【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合、三角形的三边关系的应用等知识点，熟练掌握待定系数法和数形结合法是解题关键．（1）先求解A 的坐标，再利用待定系数法求解反比例函数的解析式即可；（2）先求解函数的交点坐标，再结合图象可得答案；（3）先求解一次函数与x 轴的交点坐标，再结合三角形的三边关系确定P 的位置即可．【详解】（1）解：∵点A 的坐标为()2,a 在一次函数6y x =−+上，∴264a =−+=，∴()2,4A ，∵()2,4A 在反比例函数()0ky x x =>上，∴248k =⨯=，∴反比例函数解析式为：8y x =．（2）联立一次函数和反比例函数得析式为：86y x y x ⎧=⎪⎨⎪=−+⎩，解得24x y =⎧⎨=⎩或42x y =⎧⎨=⎩，∴()2,4A ，()4,2B ，由图示可知：不等式()60kx x x −+>>的解集是24x <<．（3）∵直线AB 的解析式是6y x =−+，令0y =，则06x =−+，则6x =，∴()6,0C ，∴当P 点坐标是()6,0，PA PB −有最大值理由如下：在PAB 中，根据三边关系，PA PB AB −<，当P 在点C 处时，PA PB AB −=．即最大值为AB ．故在x 轴上存在点P ，使PA PB −有最大值为AB 此时P 点坐标是()6,0．2．（2023·辽宁盘锦·二模）如图，一次函数4y x =+的图象与反比例函数ky x=（k 为常数且0k ≠）的图象交于()1,A a −，B 两点．(1)求此反比例函数的表达式及点B 的坐标；(2)当反比例函数值大于一次函数值时，直接写出x 的取值范围；(3)在y 轴上存在点P ，使得APB △的周长最小，求点P 的坐标并直接写出APB △的周长．【答案】(1)3y x =−，()3,1B −(2)10x −<<或3x <−(3)点P 的坐标为50,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，轴对称最短路径问题，灵活运用所学知识是解题的关键．（1）先把点A 坐标代入一次函数解析式求出点A 的坐标，再把点A 的坐标代入反比例函数解析式求出反比例函数解析式，再联立一次函数与反比例函数解析式即可求出点B 的坐标；（2）利用图象法求解即可；（3）如图所示，作点A 关于y 轴的对称点A '，连接BA '交y 轴于点P ，此时PA PB +的值最小，则APB △的周长最小，再求出直线BA '的解析式即可求出点P 的坐标，由()1,3A −，()3,1B −，()1,3A '，可求出AB 、A B '的值，最后根据APB△的周长为PA PB AB A B AB '++=+．【详解】（1）解：点()1,A a −在一次函数4y x =+的图象上，∴143a =−+=， ∴点()1,3A −，点()1,3A −在反比例函数ky x =的图象上，∴133k =−⨯=−，∴反比例函数的表达式为3y x =−，联立34y x y x ⎧=−⎪⎨⎪=+⎩，解得： 13x y =−⎧⎨=⎩或31x y =−⎧⎨=⎩， ∴()3,1B −；（2）观察函数图象可知：当10x −<<或3x <−时，一次函数4y x =+的图象在3y x =−的图象的下方，∴当反比例函数值大于一次函数值时，x 的取值范围为：10x −<<或3x <−；（3）作点A 关于y 轴的对称点A '，连接BA '交y 轴于点P ，此时PA PB +的值最小，则APB △的周长最小，如图所示．点()1,3A −，∴点()1,3A '，设直线BA '的表达式为()0y mx n m =+≠，则331m n m n +=⎧⎨−+=⎩，得：1252m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴直线BA '的表达式为1522y x =+，在1522y x =+中，令0x =，则52y =，∴点50,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()1,3A −，()3,1B −，()1,3A '，∴AB =A B =='∴APB △的周长为PA PB AB A B AB '++=+=3．（2023·广东云浮·二模）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的两边OC 、OA 分别在坐标轴上，且2OA =，4OC =，连接OB ．反比例函数1(0)k y x x=>的图象经过线段OB 的中点D ，并与AB 、BC 分别交于点B 、F ．一次函数2y k x b =+的图象经过E 、F 两点．(1)分别求出一次函数和反比例函数的表达式．(2)点P 是x 轴上一动点，当PE PF +的值最小时，求点P 的坐标．【答案】(1)一次函数的解析式为1522y x =−+，反比例函数表达式为2y x =；(2)17,05⎛⎫ ⎪⎝⎭ 【分析】（1）由矩形的性质及中点坐标公式可得(2,1)D ，从而可得反比例函数表达式；再求出点E 、F 坐标可用待定系数法解得一次函数的解析式；（2）作点E 关于x 轴的对称点E '，连接E F '交x 轴于点P ，则此时PE PF +最小．求出直线E F '的解析式后令0y =，即可得到点P 坐标．【详解】（1）解：四边形OABC 为矩形，2OA BC ==，4OC =，(4,2)B ∴．由中点坐标公式可得点D 坐标为(2,1)，反比例函数1(0)k y x x =>的图象经过线段OB 的中点D ，1212k xy ∴==⨯=，故反比例函数表达式为2y x =．令2y =，则1x =；令4x =，则12y =．故点E 坐标为(1,2)，1(4,)2F ．设直线EF 的解析式为2y k x b =+，代入E 、F 坐标得：222142k b k b =+⎧⎪⎨=+⎪⎩，解得：21252k b ⎧=−⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故一次函数的解析式为1522y x =−+．（2）作点E 关于x 轴的对称点E '，连接E F '交x 轴于点P ，则此时PE PF +最小．如图．由E 坐标可得对称点(1,2)E '−，设直线E F '的解析式为y mx n =+，代入点E '、F 坐标，得：2142m n m n −=+⎧⎪⎨=+⎪⎩，解得：56176m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=−⎪⎩．则直线E F '的解析式为51766y x =−，令0y =，则751x =．∴点P 坐标为17(5，0)．故答案为：17(5，0)．【点睛】本题考查了反比例函数的图象性质，反比例函数图象与一次函数图象的交点，中点坐标公式，矩形的性质，待定系数法求函数解析式，最短路径问题（将军饮马）．解题关键在于牢固掌握待定系数法求函数解析式、将军饮马解题模型．题型03 两函数值比较大小问题【解题策略】例．（2023·山东淄博·中考真题）如图，直线y kx b =+与双曲线m y x=相交于点()2,3A ，(),1B n ．(1)求双曲线及直线对应的函数表达式；(2)将直线AB 向下平移至CD 处，其中点()2,0C −，点D 在y 轴上．连接AD ，BD ，求ABD △的面积；(3)请直接写出关于x 的不等式m kx b x +>的解集．【答案】(1)6y x =，142y x =−+ (2)10 (3)26x <<或0x <【分析】()1将()2,3A 代入双曲线m y x =，求出m 的值，从而确定双曲线的解析式，再将点(),1B n 代入6y x =，确定B 点坐标，最后用待定系数法求直线的解析式即可；()2由平行求出直线CD 的解析式为11,2y x =−−过点D 作DG AB ⊥交于G ，设直线AB 与y 轴的交点为H ，与x 轴的交点为F , 可推导出HDG HFO ∠=∠, 再由cos HFO ∠=，求出DG ==则ABD 的面积110;2=⨯ ()3数形结合求出x 的范围即可.【详解】（1）将()2,3A 代入双曲线m y x =，∴6m =, ∴双曲线的解析式为6y x =，将点(),1B n 代入6y x =，∴6n =,∴()6,1B ,将()()2,3,6,1A B 代入y kx b =+, 2361k b k b +=⎧∴⎨+=⎩，解得124k b ⎧=−⎪⎨⎪=⎩，∴直线解析式为142y x =−+；（2）∵直线AB 向下平移至CD ,∴AB CD ,设直线CD 的解析式为12y x n =−+，将点()2,0C −代入1,2y x n =−+∴10n +=，解得1n =−∴直线CD 的解析式为112y x =−−∴()0,1D −过点D 作DG AB ⊥交于G ,设直线AB 与y 轴的交点为H ，与x 轴的交点为 F ,∴()()0,4,8,0H F ,∵90,90HFO OHF OHG HDG ∠+∠=︒∠+∠=︒,∴HDG HFO ∠=∠,∵4,8OH OF ==,HF ∴=cosHFO ∴∠=∵5DH =，DG DH ∴==， 2AB =∴ABD 的面积1102=⨯= （3）由图可知26x <<或0x <时,161.2x x −−> 【点睛】本题考查反比例函数的图象及性质，熟练掌握反比例函数的图象及性质，直线平移是性质，数形结合是解题的关键.【变式演练】1．（2023·山东青岛·一模）如图，一次函数y ax b =+与反比例函数k y x=的图象交于A 、B 两点，点A 坐标为(,2)m ，点B 坐标为(4,)n −，OA 与x 轴正半轴夹角的正切值为13，直线AB 交y 轴于点C ，过C 作y 轴的垂线，交反比例函数图象于点D ，连接OD 、BD ．(1)求一次函数与反比例函数的解析式；(2)求四边形OCBD 的面积；(3)请你根据图象直接写出不等式k ax b x+>的解集．【答案】(1)一次函数表达式为112y x =−，反比例函数表达式为12y x =； (2)18；(3)6x >或40x −<<．【分析】本题考查了反比例函数的综合题，涉及解直角三角形，待定系法求函数解析式，三角形面积等，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键．（1）先求出点A 坐标，再利用待定系数法求出反比例函数解析，再根据点B 在反比例函数图象上，可得点B 的坐标，进一步利用待定系数法求一次函数解析式即可；（2）先求出点C 和点D 坐标，再根据OCD BCD OCBD S S S ∆∆=+四边形求解即可；（3）根据图象即可确定不等式的解集．【详解】（1）解：OA 与x 轴正半轴夹角的正切值为13，∴13AE OE =，点(,2)A m ，2AE ∴=，6OE m ==，∴点A 坐标为(6,2)，6212k ∴=⨯=，点B 在反比例函数图象上，412n ∴−=，解得3n =−，∴点B 坐标为(4,3)−−，将点(6,2)A ，点(4,3)B −−代入一次函数y ax b =+，得6243a b a b +=⎧⎨−+=−⎩，解得121a b ⎧=⎪⎨⎪=−⎩，∴一次函数表达式为112y x =−，反比例函数表达式为12y x =；（2）解：当0x =时，1112y x =−=−， ∴点C 坐标为(0,1)−，CD y ⊥轴， ∴点D 纵坐标为1−，点D 在反比例函数12y x =上，∴点D 横坐标为12−，12CD ∴=，∴111211221822OCD BCD OCBD S S S ∆∆=+=⨯⨯+⨯⨯=四边形；（3）解：由图象可知，不等式kax b x +>的解集是6x >或40x −<<．．2．（2023·广西桂林·一模）如图，直线1y kx b =+与双曲线2a y x=相交于A 、B 两点，直线AB 与x 轴相交于点C ，点B 的坐标是()3m m ，，5OA =，E 为x 轴正半轴上一点，且3os 5c AOE ∠=．(1)双曲线2y 的解析式是，直线1y 的解析式是．(2)求证：3AOB COB S S =△△．(3)当12y y >时，x 的取值范围是．【答案】(1)122,23y y x x ==+ (2)见解析(3)60x −<<或3x >【分析】（1）根据三角函数的定义求出点A 的坐标，代入反比例函数解析式求出结果即可；求出点B 的坐标，用待定系数法求出一次函数解析式即可；（2）根据A 、B 两点的坐标分别表示出AOB 和BOC 的面积即可得出答案；（3）根据函数图象得出x 的取值范围即可．【详解】（1）解：过点A 作AD x ⊥轴于点D ，如图所示：∵3cos 55OD AOE ∠==， ∴3OD =，∴4AD ，∴()34A ，，将点A 的坐标代入反比例函数2y x =12a =， ∴双曲线2y 的解析式为12y x =，∵点()3B m m ，在反比例函数12y x =图象上， ∴123m m =，解得2m =±，∴()6,2B −−，把()34A ，，()6,2B −−代入1y kx b =+得3462k b k b +=⎧⎨−+=−⎩，解得232k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴直线1y 的解析式是223y x =+；（2）解：∵()34A ，，()6,2B −−，∴AOC 的面积1422OC OC =⨯⨯=，BOC 的面积122OC OC =⨯⨯=，∴AOB 的面积3OC =，∴3AOB BOC S S =△△；（3）解：根据函数图象可知，当60x −<<或3x >时，一次函数在反比例函数图象的上面，∴当12y y >时，x 的取值范围为60x −<<或3x >．【点睛】本题主要考查了一次函数和反比例函数的综合应用，求一次函数和反比例函数的解析式，三角函数的应用，解题的关键是数形结合，根据三角函数求出点A 的坐标．3.（2023·四川泸州·一模）如图，一次函数y ax b =+的图象与反比例函数(0)ky x x=>的图象交于第一象限()1,4C ，()4D m ，两点，与坐标轴交于A 、B 两点，连接OC ，OD ．（O 是坐标原点）(1)求一次函数与反比例函数的表达式；(2)直接写出当一次函数值小于反比例函数值时x 的取值范围；(3)将直线AB 向下平移多少个单位长度，直线与反比例函数(0)k y x x =>图象只有一个交点？【答案】(1)4y x =，5y x =−+； (2)01x <<或>4x ；(3)1．【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的综合，熟练掌握函数的图象与性质是解题的关键．（1）根据待定系数法求解即可；（2）结合图象找出反比例函数图象高于直线部分对应的x 的范围即可；（3）设出平移后直线的解析式结合一元二次方程的根的判别式解答即可；【详解】（1）解：∵反比例函数ky x =过点()1,4C ，()4,D m ， ∴144k m =⨯=，解得：4k =，1m = 反比例函数解析式为：4y x =，点()4,1D ， ∵一次函数解析式y ax b =+过点C ，D ，∴441a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得：15a b =−⎧⎨=⎩∴一次函数解析式为：5y x =−+；（2）解：根据图象，不等式kax x +<的解集为：01x <<或>4x ；（3）解：设直线AB 向下平移n 个单位长度时，直线与反比例函数图象只有一个交点，则平移后的解析式为5y x n =−+−，联立两个函数得：45x n x =−+−，整理得：2(5n)40x x −−+=，2(5)4140n ∆=−−⨯⨯=，∴54n −=±，9n =或1，∵点(0,5)B ，∴9n =不符合题意舍去．∴直线AB 向下平移1个单位长度时，直线与反比例函数图象只有一个交点．4．（2024·新疆·一模）如图，一次函数()110y k x b k =+≠与反比例函数()220k y k x=≠的图象交于点()()2,3,,1A B n −．(1)求反比例函数和一次函数的解析式；(2)判断点()2,1P −是否在一次函数1y k x b =+的图象上，并说明理由；(3)直接写出不等式21k k x b x+≥的解集．【答案】(1)反比例函数解析式为6y x =，一次函数的解析式为122y x =+ (2)点()2,1P −在一次函数122y x =+的图象上，理由见解析(3)60x −≤<或2x ≥【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合：（1）先利用点A 求出反比例函数的解析式，由此求出点B 的坐标，再利用点A 及点B 的坐标求出一次函数的解析式；（2）在一次函数中求出2x =−时的函数值即可得到结论；（3）根据函数图象找到一次函数图象在反比例函数图象上方或二者交点处时自变量的取值范围即可得到答案．【详解】（1）解：将点()2,3A 代入反比例函数()220k y k x =≠中，得2236k =⨯=， ∴反比例函数解析式为6y x =；将点(),1B n −代入6y x =中，得6n −=，∴6n =−，∴()6,1B −−，将点()2,3A 、()6,1B −−代入一次函数()110y k x b k =+≠中，得112361k b k b +=⎧⎨−+=−⎩，∴1122k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴一次函数的解析式为122y x =+；（2）解：点()2,1P −在一次函数122y x =+的图象上，理由如下：在122y x =+中，当2x =−时，()12212y =⨯−+=，∴点()2,1P −在一次函数122y x =+的图象上；（3）解：由图象可知：当60x −≤<或2x ≥时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方或二者的交点处，即21k k x b x +≥，∴当60x −≤<或2x ≥时，21k k x b x +≥．1．（2023·贵州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是矩形，反比例函数()0ky x x=>的图象分别与,AB BC 交于点()4,1D 和点E ，且点D 为AB 的中点．(1)求反比例函数的表达式和点E 的坐标；(2)若一次函数y x m =+与反比例函数()0k y x x=>的图象相交于点M ，当点M 在反比例函数图象上,D E 之间的部分时（点M 可与点,D E 重合），直接写出m 的取值范围．【答案】(1)反比例函数解析式为4y x =，()22E ，(2)30m −≤≤【分析】（1）根据矩形的性质得到BC OAAB OA ∥，⊥，再由()4,1D 是AB 的中点得到()42B ，，从而得到点E 的纵坐标为2，利用待定系数法求出反比例函数解析式，进而求出点E 的坐标即可；（2）求出直线y x m =+恰好经过D 和恰好经过E 时m 的值，即可得到答案．【详解】（1）解：∵四边形OABC 是矩形，∴BC OAAB OA ∥，⊥， ∵()4,1D 是AB 的中点，∴()42B ，，∴点E 的纵坐标为2，∵反比例函数()0k y x x =>的图象分别与,AB BC 交于点()4,1D 和点E ，∴14k =，∴4k =，∴反比例函数解析式为4y x =，在4y x =中，当42y x ==时，2x =，∴()22E ，；（2）解：当直线 y x m =+经过点()22E ，时，则22m +=，解得0m =；当直线 y x m =+经过点()41D ，时，则41m +=，解得3m =−；∵一次函数y x m =+与反比例函数()0ky x x =>的图象相交于点M ，当点M 在反比例函数图象上,D E 之间的部分时（点M 可与点,D E 重合），∴30m −≤≤．【点睛】本题主要考查了求一次函数解析式，一次函数与反比例函数综合，矩形的性质等等，灵活运用所学知识是解题的关键．2．（2023·山东聊城·中考真题）如图，一次函数y kx b =+的图像与反比例函数my x=的图像相交于()1,4A −，(),1B a −两点．(1)求反比例函数和一次函数的表达式；(2)点(),0P n 在x 轴负半轴上，连接AP ，过点B 作BQ AP ∥，交my x=的图像于点Q ，连接PQ ．当BQ AP =时，若四边形APQB 的面积为36，求n 的值．【答案】(1)4y x =−，3y x =−+(2)215n =−【分析】（1）根据反比例函数过点()1,4A −，(),1B a −两点，确定()4,1B −，待定系数法计算即可．（2）根据平移思想，设解析式求解即可．【详解】（1）解：∵一次函数y kx b =+的图像与反比例函数my x =的图像相交于()1,4A −，(),1B a −两点，∴144m =−⨯=−，故反比例函数的解析式为4y x =−，∴441a =−=−，故()4,1B −，∴414k b k b +=−⎧⎨−+=⎩，解得13k b =−⎧⎨=⎩， ∴直线的解析式为3y x =−+．（2）∵()1,4A −，()4,1B −，(),0P n ，BQ AP ∥，BQ AP =，∴四边形APQB 是平行四边形，∴点A 到点P 的平移规律是向左平移1n −−个单位，向下平移4个单位，∴点()4,1B −到点Q 的平移规律也是向左平移1n −−个单位，向下平移4个单位，故()5,5Q n +−， ∵()5,5Q n +−在4y x =−上，∴44555n +=−=−，解得：215n =−，∴点P 的坐标为210,5⎛⎫− ⎪⎝⎭，设AB 与x 轴交于点C ，连接PB ，如图所示：把0y =代入3y x =−+，解得：3x =，∴()3,0C ，∴2136355PC ⎛⎫=−−=⎪⎝⎭， ∴()136411825APBS=⨯⨯−−=⎡⎤⎣⎦，∵四边形APQB 为平行四边形， ∴236APBAPQB S S==四边形，∴当215n =−时，符合题意．【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点，平移规律计算，熟练掌握规律是解题的关键． 3．（2023·四川乐山·中考真题）如图，一次函数y kx b =+的图象与反比例函数4y x=的图象交于点(),4A m ，与x 轴交于点B ，与y 轴交于点()0,3C ．(1)求m 的值和一次函数的表达式； (2)已知P 为反比例函数4y x=图象上的一点，2OBP OAC S S =△△，求点P 的坐标．【答案】(1)3y x =+ (2)()2,2P 或()2,2−−【分析】（1）先把点A 坐标代入反比例函数解析式求出m 的值，进而求出点A 的坐标，再把点A 和点C 的坐标代入一次函数解析式中求出一次函数解析式即可；（2）先求出3OB =，3OC =，过点A 作AH y ⊥轴于点H ，过点P 作PD x ⊥轴于点D ，如图所示，根据2OBPOACS S =△△可得11222OB PD OC AH⋅=⨯⋅，求出2PD =，则点P 的纵坐标为2或2−，由此即可得到答案．【详解】（1）解：点(),4A m 在反比例函数4y x =的图象上，44m ∴=，1m ∴=，()1,4A ∴，又点()1,4A ，()0,3C 都在一次函数y kx b =+的图象上，43k bb =+⎧∴⎨=⎩，解得13k b =⎧⎨=⎩， ∴一次函数的解析式为3y x =+．（2）解：对于3y x =+，当0y =时，3x =−，∴()30B −，，3OB ∴=，∵()0,3C ，3OC ∴=过点A 作AH y ⊥轴于点H ，过点P 作PD x ⊥轴于点D ，如图所示．2OBP AOC S S =△△，11222OB PD OC AH ∴⋅=⨯⋅． 11323122PD ∴⨯⨯=⨯⨯⨯，解得2PD =． ∴点P 的纵坐标为2或2−．将2y =代入4y x =得2x =，将=2y −代入4y x =得2x =−，∴点()2,2P 或()2,2−−．【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，利用数形结合的思想求解是解题的关键．4．（2022·江苏徐州·中考真题）如图，一次函数(0)y kx b k =+>的图像与反比例函数8(0)y x x=>的图像交于点A ，与x 轴交于点B ，与y 轴交于点C ，AD x ⊥轴于点D ，CB CD =，点C 关于直线AD 的对称点为点E ． (1)点E 是否在这个反比例函数的图像上？请说明理由； (2)连接AE 、DE ，若四边形ACDE 为正方形． ①求k 、b 的值；②若点P 在y 轴上，当PE PB −最大时，求点P 的坐标．【答案】(1)点E 在这个反比例函数的图像上，理由见解析 (2)①1k =，2b =；②点P 的坐标为(0,2)−【分析】（1）设点A 的坐标为8(,)m m ，根据轴对称的性质得到AD CE ⊥，AD 平分CE ，如图，连接CE 交AD 于H ，得到CH EH =，再结合等腰三角形三线合一得到CH 为ACD ∆边AD 上的中线，即AH HD =，求出4,H m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，进而求得4(2,)E m m ，于是得到点E 在这个反比例函数的图像上；（2）①根据正方形的性质得到AD CE =，AD 垂直平分CE ，求得12CH AD=，设点A 的坐标为8(,)m m ，得到2m =（负值舍去），求得(2,4)A ，(0,2)C ，把(2,4)A ，(0,2)C 代入y kx b =+得，解方程组即可得到结论；②延长ED 交y 轴于P ，根据已知条件得到点B 与点D 关于y 轴对称，求得PE PD PE PB−=−，则点P 即为符合条件的点，求得直线DE 的解析式为2y x =−，于是得到结论．【详解】（1）解：点E 在这个反比例函数的图像上．理由如下：一次函数(0)y kx b k =+>的图像与反比例函数8(0)y x x =>的图像交于点A ，∴设点A 的坐标为8(,)m m ，点C 关于直线AD 的对称点为点E ，AD CE ∴⊥，AD 平分CE ，连接CE 交AD 于H ，如图所示：CH EH ∴=， AD x ⊥轴于D ，CE x ∴∥轴，90ADB ∠=︒， 90CDO ADC ∴∠+∠=︒， CB CD =， CBO CDO ∴∠=∠，在Rt ABD ∆中，90ABD BAD ∠+∠=︒，CAD CDA ∴∠=∠，CH ∴为ACD ∆边AD 上的中线，即AH HD =，4,H m m ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，4(2,)E m m ∴，428m m ⨯=，∴点E 在这个反比例函数的图像上；（2）解：①四边形ACDE 为正方形，AD CE ∴=，AD 垂直平分CE ，12CH AD ∴=，设点A 的坐标为8(,)m m ，CH m ∴=，8AD m =，182m m ∴=⨯，2m ∴=（负值舍去），(2,4)A ∴，(0,2)C ，把(2,4)A ，(0,2)C 代入y kx b =+得242k b b +==⎧⎨⎩，解得12k b =⎧⎨=⎩； ②延长ED 交y 轴于P ，如图所示：CB CD =，OC BD ⊥，∴点B 与点D 关于y 轴对称，PE PD PE PB∴−=−，则点P 即为符合条件的点，由①知，(2,4)A ，(0,2)C ，(2,0)D ∴，(4,2)E ，设直线DE 的解析式为y ax n=+，∴2042a n a n +=+=⎧⎨⎩，解得12a n ==−⎧⎨⎩，∴直线DE 的解析式为2y x =−，当0x =时，=2y −，即()0,2−，故当PE PB −最大时，点P 的坐标为(0,2)−．【点睛】本题考查了反比例函数的综合题，正方形的性质，轴对称的性质，待定系数法求一次函数的解析式，正确地作出辅助线是解题的关键．。

函数值的大小比较

函数值的大小比较二次函数、反比例函数比较大小一、二次函数的大小比较方法： 1、特殊值代入法：直接根据题目要求，分别代入具体的数值，再比较大小。

2、利用函数的增减性：当各点都在对称轴的一侧时，利用函数的增减性进行比较。

3、计算各点到对称轴的距离，结合抛物线的开口方向比较大小：（本法适用于各点在对称轴同侧和异侧的大小比较，尤其是异侧。

）（1）当抛物线开口向上时（即a>0时），离对称轴距离越远，函数值越大，反之越小。

当抛物线开口向上与x 轴有两个交点，两点在对称轴的两侧时，若221x x +＞a b 2-（x 1＜a b 2-＜x 2）时，y 1＜y 2;若221x x +＜a b 2-（x 1＜a b 2-＜x 2）时，y 1＞y 2【推理：由x 2-(a b 2-)＞a b 2--x 1得x 2+x 1＞ab -得221x x +＞a b 2-；即x 2离对称轴距离较远；由x 2-(a b 2-)＜a b 2--x 1，得x 2+x 1＜ab -，得221x x+＜a b 2-，即x 1离对3、特殊值代入法：直接根据题目要求，分别代入具体的数值，再比较大小。

三、试题：1、（若二次函数cx x y +-=62的图像过),23(),,2(),,1(321y C y B y A +-三点，则321y y y 、、大小关系正确的是（） A ．321y y y >> B ．231y y y>> C ．312y y y>>D ．213y y y >>2、点A （2，Y 1）、B （3，Y 2）是二次函数Y =X 2﹣2X +1的图象上两点，则Y 1与Y 2的大小关系为Y 1 Y 2（填“＞”、“＜”、“=”）．3、已知点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）是反比例函数y=的图象上的两点，若x 1＜0＜x 2，则有（）A 、y 1＜0＜y 2B 、y 2＜0＜y 1C 、y 1＜y 2＜0 D 、y 2＜y 1＜04、若点（﹣3，y1）、（﹣2，y2）、（1，y3）在反比例函数的图象上，则下列结论正确的是（）A、y1＞y2＞y3 B、y2＞y1＞y3 C、y3＞y1＞y2 D、y3＞y2＞y15、若A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）是反比例函数y=图象上的点，且x 1＜x2＜0＜x3，则y1、y2、y3的大小关系正确的是（）A、y 3＞y1＞y2B、y1＞y2＞y3C、y2＞y1＞y3 D、y3＞y2＞y16、反比例函数y=（k≠0）的图象如图所示，若点A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3）是这个函数图象上的三点，且x1＞x2＞0＞x3，则y1、y2、y3的大小关系（）A、y3＜y1＜y2B、y2＜y1＜y3C、y3＜y2＜y1D、y1＜y2＜y37、若点A（x1，y1），B（x2，y2）在反比例函数y=﹣的图象上，且x 1＜0＜x2，则y1，y2和0的大小关系是（） A、y1＞y2＞0 B、y1＜y2＜0 C、y1＞0＞y2 D、y1＜0＜y28、反比例函数y=图象上有三个点（x 1，y1），（x2，y2），（x3，y3），其中x1＜x2＜0＜x3，则y1，y2，y3的大小关系是（）A、y1＜y2＜y3B、y2＜y1＜y3C、y3＜y1＜y2D、y3＜y2＜y19、已知P1（x1，y1），P2（x2，y2），P3（x3，y3）是反比例函数y=的图象上的三点，且x 1＜x2＜0＜x3，则y1、y2、y3的大小关系是（）A、y3＜y2＜y1B、y1＜y2＜y3C、y2＜y1＜y3D、y2＜y3＜y110、已知反比例函数图象上三个点的坐标分别是A（﹣2，y1）、B（﹣1，y2）、C（2，y3），能正确反映y1、y2、y3的大小关系的是（）A、y1＞y2＞y3B、y1＞y3＞y2C、y2＞y1＞y3D、y2＞y3＞y111、已知点（﹣1，y1），（2，y2），（3，y3）在反比例函数y=的图象上．下列结论中正确的是（） A、y1＞y2＞y3 B、y1＞y3＞y2 C、y 3＞y 1＞y 2D 、y 2＞y 3＞y 112、已知：点A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）、C （x 3，y 3）是函数y=﹣图象上的三点，且x 1＜0＜x 2＜x 3则y 1、y 2、y 3的大小关系是（）A 、y 1＜y 2＜y 3B 、y 2＜y 3＜y1C 、y 3＜y 2＜y 1D 、无法确定13、设A 1(2)y -，，B 2(1)y ，，C 3(2)y ，是抛物线2(1)y x a=-++上的三点，则1y ，2y ，3y 的大小关系为（）A ．213yy y >> B ．312yy y >> C ．321yy y >>D ．312y y y >>14、已知二次函数y=﹣x 2﹣7x+，若自变量x分别取x 1，x 2，x 3，且0＜x 1＜x 2＜x 3，则对应的函数值y 1，y 2，y 3的大小关系正确的是（） A ．y 1＞y 2＞y 3 B ．y 1＜y 2＜y 3 C ．y 2＞y 3＞y 1 D ．y 2＜y 3＜y 115、已知点A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）在二次函数y=（x ﹣1）2+1的图象上，若x 1＞x 2＞1，则y 1 y 2（填“＞”、“＜”或“=”）．16、反比例函数图象上的两上点为（x 1,y 1）,(x 2,y 2)，且x 1<x 2,则下列关系成立的是（） A.y 1>y 2 B.y 1<y 2 C.y 1=y 2 D.不能确定17、已知二次函数中，其函数与自变量之间的部分对应值如下表所示：… 0 1 2 3 …… 5 2 1 2 …点A （，）、B （，）在函数的图象上，则当，时，与的大小关系正确的是（） A ．≥ B ． C ． D ．≤18、设A 1(2)y -，，B 2(1)y ，，C 3(2)y ，是抛物线2(1)y x a=-++上的三点，则1y ，2y ，3y 的大小关系为（）A ．213y y y >> B ．312yy y >> C ．321yy y >>D ．312y y y >>2y x=2y axbx c=++y x x y1x 1y 2x 2y 101x <<223x<<1y 2y 1y 2y 12y y >12y y <1y 2y19、已知二次函数y=﹣x2﹣7x+，若自变量x 分别取x1，x2，x3，且0＜x1＜x2＜x3，则对应的函数值y1，y2，y3的大小关系正确的是（）A．y1＞y2＞y3B．y1＜y2＜y3C．y2＞y3＞y1D．y2＜y3＜y120、若二次函数y=x2﹣6x+c的图象过A（﹣1，y 1），B（2，y2），C（，y3），则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＞y2＞y3B．y1＞y3＞y2 C．y2＞y1＞y3D．y3＞y1＞y221、已知一元二次方程x2+bx﹣3=0的一根为﹣3，在二次函数y=x2+bx﹣3的图象上有三点、、，y 1、y2、y3的大小关系是（）A．y1＜y2＜y3B．y2＜y1＜y3C．y3＜y1＜y2D．y1＜y3＜y222、已知点A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）在二次函数y=（x ﹣1）2+1的图象上，若x 1＞x 2＞1，则y 1 y 2（填“＞”、“＜”或“=”）．23、点A （2，y 1）、B （3，y 2）是二次函数y=x 2﹣2x+1的图象上两点，则y 1与y 2的大小关系为y 1 y 2（填“＞”、“＜”、“=”）．24、在函数的图象上有三个点的坐标分别为（1，）、（，）、（，），函数值y 1、y 2、y 3的大小关系是（）A ．y 1＜y 2＜y 3B ．y 3＜y 2＜y 1C ．y 2＜y 1＜y 3D ．y 3＜y 1＜y 225、若()A a b ，，(2)B a c -，两点均在函数1y x =的图象上，且0a <，则b 与c 的大小关系为（） A ．b c > B ．b c < C ．b c = D ．无法判断 26、如图,一次函数y 1=x －1与反比例函数y 2=x2的图像交于点A (2,1),B (－1,－2),则使1y x =1y 122y 3-3y11y 1>y 2的x 的取值范围是（） A. x>2 B. x>2或－1<x<0C.－1<x<2D. x>2或x<－127、若A (1x ，1y )、B (2x ，2y )在函数12y x =的图象上，则当1x 、2x 满足______时，1y >2y .（答案不唯一，x 1<x 2<0，或 0<x 1<x 2，或210xx <<或122,3x x ==-等均可） 28、在反比例函数12m y x -=的图象上有两点1122()()A x y B x y ，，，，当120x x <<时，有12y y <，则m 的取值范围是（）A ．0m C ．12m < D ．12m >。

高一数学不等式试题答案及解析

高一数学不等式试题答案及解析1.定义，设实数满足约束条件则的取值范围是（）A．［－5，8］B．［－5，6］C．［－3，6］D．［－8，8］【答案】A【解析】分析：由题意可得约束条件所满足的可行域如图所示的正方形ABCD，由Z=当x+2y＜0时的可行域即为图中的四边形MCDN，Z=2x-y在N（-2，1）处取得最小值-5，在B （2，-2）处取得最大值6；当x+2y≥0时的可行域为图中的四边形ABMN，Z=3x+y在C（2，2）处取得最小值8，从而可求Z的取值范围解答：解：由题意可得约束条件所满足的可行域如图所示的正方形ABCD由Z=当x+2y＜0时的可行域即为图中的四边形MCDN，Z=2x-y在N（-2，1）处取得最小值-5，在B （2，-2）处取得最大值6当x+2y≥0时的可行域为图中的四边形ABMN，Z=3x+y在C（2，2）处取得最小值8∴-5≤Z≤8故选：A点评：本题主要考查了简单的线性规划，解题的关键是要根据题目中的定义确定目标函数及可行域的条件以及，属于知识的综合应用题．2.下列命题不正确的是A．B．C．D．【答案】D【解析】略3.目标函数，变量满足，则有（）A．B．C．无最大值D．既无最大值，也无最小值K^S*5U.C#O【答案】A【解析】略4. 2010年4月14日清晨我国青海省玉树县发生里氏7．1级强震。

国家抗震救灾指挥部迅速成立并调拨一批救灾物资从距离玉树县400千米的某地A运往玉树县，这批救灾物资随17辆车以千米/小时的速度匀速直达灾区，为了安全起见，每两辆车之间的间距不得小于千米。

设这批救灾物资全部运送到灾区（不考虑车辆的长度）所需要的时间为小时。

求这批救灾物资全部运送到灾区所需要的最短时间，并指出此时车辆行驶的速度。

【答案】（千米/小时）时，取得最小值为8（小时）【解析】由题可得关系式为从而当且仅当，即（千米/小时）时，取得最小值为8（小时）5.（1）已知x<，求函数y＝4x－2＋的最大值；（2）已知x>0，y>0且＝1，求x＋y的最小值．【答案】（1）1；（2）16【解析】本题主要考察函数万能公式的运用，在第一小问中函数化简须与分式分母相对应，在运用万能公式时，要注意不要将符号弄反，解不等式即可求出最大值。

数学人教版九年级下册比较函数值的大小

盘点“比较函数值大小的方法”杨光冬湖北省孝感市肖港初级中学邮编432023初中数学第二十八章《锐角三角函数》学完后，整个第三学段的函数就结束了. 每年中考前的系统复习中，我们经常遇到比较两函数值（或多个函数值）大小的考题，学生遇到这类题型得分率虽然较高，但笔者在课堂教学中发现，学生对这类题型的掌握并不系统，针对这种现象，笔者在此对比较函数值大小的比较方法作一个总的盘点，希望对大家的教学有所帮助.一、同一函数中比较函数值的大小解法1：运用增减性比大小例1：点A （-3，y 1）、B （-5，y 2）均在双曲线xy 3=上，试比较y 1和y 2的大小. 解析：因为反比例函数xy 3=的图象是双曲线，在每个象限内，y 随x 的减小而增大且点A （-3，y 1）、B （-5，y 2）在第三象限的同一支曲线上，所以12y y >.例2：点A （-3，y 1）、B （-5，y 2）均在抛物线322++=x x y 上，试比较y 1和y 2的大小.解析：因为抛物线322++=x x y 的对称轴是直线1-=x ，其开口向上，所以在对称轴左侧的抛物线上y 随x 的减小而增大，因此12y y >.解法2：运用正负性比较反比例函数值的大小例3：点A （-3，y 1）、B （1，y 2）均在双曲线xy 3-=上，试比较y 1和y 2的大小.解析：因为反比例函数xy 3-=的图象是双曲线，在每个象限内，y 随x 的减小而减小，但是点A （-3，y 1）、B （1，y 2）不在同一支曲线上，所以不能用增减性比较1y 和2y 的大小. 又因为A （-3，y 1）、B （1，y 2）分别位于第二、第四象限的图象上，所以0>y ，0<y ，因此21y y >.解法3：运用距离比较二次函数值的大小例4：点A (-2，y 1)、B (3.5，y 2)、C (5，y 3)均在抛物线y =x 2-2x -3上，试比较y 1、y 2和y 3的大小.解析：因为点A (-2，y 1)、B (3.5，y 2)、C (5，y 3) 不在对称轴（直线1=x ）同侧的抛物线上，所以不能直接用增减性比较y 1和y 2、y 3的大小，此时我们可以用抛物线的对称性将A (-2，y 1)先转化到对称轴右侧的抛物线上，使A 、B 、C 三点在对称轴的同侧，再用抛物线的增减性比较y 1、y 2和y 3的大小；也可以先求出-2、3.5、5和1的距离：3)2(1=--、5.215.3=-、415=-. 因为抛物线开口向上，所以距离越大，说明相对应的点越高，其纵坐标越大（反之，若抛物线开口向下，所以距离越大，说明相对应的点越低，其纵坐标越小）. 因此点C (5，y 3)最高，点B (3.5，y 2)解法4：运用动态的图形分析三角函数值的大小例5：当O900<<<βα时，试比较αcos 和βcos 的大小解析：如图(2)，Rt △ABC 中，∠C =90O，当∠B 逐渐增大时，其邻边BC 不变，斜边逐渐增大BA />BA ，所以/BA BCBA BC >. 这说明当锐角逐渐增大时，其余弦值逐渐减小，所以当O 900<<<βα时，αcos >βcos我们还可以用图(3)，类比探究锐角的正弦和正切值的增减性.二、比较不同函数值的大小（一）预备知识：1、比较不同函数值大小的前提条件：当自变量x 相等时，才能比较不同函数值的大小. 例6：如图（4），直线)0(1≠+=k b kx y 与直线)0(2≠+=m n mx y 相交于A （3，5），试比较1y 与2y 的大小.解析：如图，经过A 点作直线l ⊥x 轴 ①当x =3时，1y =2y②当x >3时，由图象可看出1y >2y ③当x <3时，由图象可看出1y <2y 2、经验归纳：从例6中可直观的看出，当x 等于交点横坐标时，两函数值相等；分别在x >3和 x <3的两个区域内，若图象在上面，其函数值就大；若图象在下面，其函数值就小.在以上两个预备知识的基础上，我们可用三线六域比较不同函数值的大小.（二）运用三线六域比较不同函数值的大小例7：如图，直线f x y +-=1和双曲线xey =2相交于A (-2,m )、B (3,n )，问：当x 分别取何值时，1y =2y 、1y >2y 、1y <2y ？解析：分别经过A 、B 两点作x 轴的垂线. 以这两条垂线和y 轴为分界线，将自变量x 的取值范围分为六个区域，每个区域x 的取值范围如图（5）所示：在第⑤、⑥区域内，两函数值分别相等；CA / 图（2）/C 图（3）)0(≠k b)0(≠+m n因为在①、③区域内，直线在曲线的上面，所以1y >2y因为在②、④区域内，直线在曲线的下面, 所以1y <2y因此，当x=-2或x=3时，1y =2y 当x <-2或0<x<3时，1y >2y 当-2<x <0或x>3时，1y <2y由以上分析过程，我们可得到三线六域中的三个结论：结论一：在六个区域中，当x 的值分别等于两交点横坐标时，两函数值相等；结论二：在①、②、③、④区中，①、③ 区结果相同，②、④区结果相同，结论三：②、④区的结果与①、③区的结果相反.有了以上归纳的三个结论，今后，我们只需分析一个区域的结果，就能推导出其余区域的结果了.（三）三线六域的类比应用当直线和抛物线相交时，我们可以类比三线六域得到两线五域. 而且两线五域的结论和三线六域的结论是一致的.例8：如图，抛物线)0(21≠++=a c bx ax y 和直线f x y +=2相交于A (3,m )，B (-1,n )，当x 分别取何值时，y 1= y 2、y 1< y 2、y 1> y 2？解析：分别经过A 、B 两点作x 轴的垂线. 因为抛物线是一条连续的图象，所以只能以两条垂线作为分界线把自变量x 的取值范围分为五个区域，类比例7，观察每个区域，同理可得：当x =-1或x =3时，即在第④、⑤区域内，1y =y 当x <-1或x >3时，即在第①、③区域内，1y >y 当-1<x <3时，即在第②区域内，1y <2y 此结果和例7所得结论是一致的.④⑤。

2023年高考数学(全国甲卷)文科数学(含答案及详细解析)

2023年高考数学真题试卷(全国甲卷)文科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设全集，集合，则（）A．B．C．D．2．（）A．B．1C．D．3．已知向量，则（）A．B．C．D．4．某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（）A．B．C．D．5．记为等差数列的前项和．若，则（）A．25B．22C．20D．156．执行下边的程序框图，则输出的（）A．21B．34C．55D．897．设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则（）A．1B．2C．4D．58．曲线在点处的切线方程为（）A．B．C．D．9．已知双曲线的离心率为，其中一条渐近线与圆交于A，B两点，则（）A．B．C．D．10．在三棱锥中，是边长为2的等边三角形，，则该棱锥的体积为（）A．1B．C．2D．311．已知函数．记，则（）A．B．C．D．12．函数的图象由的图象向左平移个单位长度得到，则的图象与直线的交点个数为（）A．1B．2C．3D．4二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．记为等比数列的前项和．若，则的公比为．14．若为偶函数，则．15．若x，y满足约束条件，则的最大值为．16．在正方体中，为的中点，若该正方体的棱与球的球面有公共点，则球的半径的取值范围是．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17．记的内角的对边分别为，已知．（1）求；（2）若，求面积．18．如图，在三棱柱中，平面．（1）证明：平面平面；（2）设，求四棱锥的高．19．一项试验旨在研究臭氧效应，试验方案如下：选40只小白鼠，随机地将其中20只分配到试验组，另外20只分配到对照组，试验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组的小白鼠饲养在正常环境，一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量（单位：g）．试验结果如下：对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为15.218.820.221.322.523.225.826.527.530.132.634.334.835.635.635.836.237.340.543.2试验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为7.89.211.412.413.215.516.518.018.819.219.820.221.622.823.623.925.128.232.336.5（1）计算试验组的样本平均数；（2）（ⅰ）求40只小白鼠体重的增加量的中位数m，再分别统计两样本中小于m与不小于m的数据的个数，完成如下列联表对照组试验组（ⅱ）根据（i）中的列联表，能否有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异？附：，0.1000.0500.0102.7063.841 6.63520．已知函数．（1）当时，讨论的单调性；（2）若，求的取值范围．21．已知直线与抛物线交于两点，．（1）求；（2）设为的焦点，为上两点，且，求面积的最小值．22．已知点，直线（为参数），为的倾斜角，与轴正半轴、轴正半轴分别交于，且．（1）求；（2）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，求的极坐标方程．23．已知．（1）求不等式的解集；（2）若曲线与轴所围成的图形的面积为2，求．答案解析部分1．【答案】A【解析】【解答】，故选：A【分析】先计算补集，再求并集即得答案.2．【答案】C【解析】【解答】，故选：C【分析】利用复数乘法运算计算由得出答案。

函数值大小比较泰勒

函数值大小比较泰勒在数学领域中，函数值的大小比较是一项常见的工作。

而泰勒级数则是一种用多项式逼近函数的方法。

本文将探讨函数值大小比较和泰勒级数的关系，并介绍一些相关的概念和应用。

函数值的大小比较是数学中的一项基本操作。

对于给定的两个函数f(x)和g(x)，我们常常需要比较它们在某个特定点x=a处的函数值的大小。

为了比较两个函数在某点处的大小关系，我们通常可以通过求解它们的差值来得到答案。

具体来说，如果f(a)-g(a)>0，则表示f(x)在x=a处的函数值大于g(x)在x=a处的函数值；如果f(a)-g(a)<0，则表示f(x)在x=a处的函数值小于g(x)在x=a处的函数值；如果f(a)-g(a)=0，则表示f(x)在x=a处的函数值等于g(x)在x=a处的函数值。

然而，对于一些复杂的函数，直接比较它们的函数值可能并不容易。

这时，我们可以考虑使用泰勒级数来逼近函数，从而简化比较的过程。

泰勒级数是一种将函数表示为无穷级数的方法，可以用来近似求解函数在某点的函数值。

具体来说，给定一个函数f(x)，我们可以将其在某点x=a处展开为泰勒级数：f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)^2/2! + f'''(a)(x-a)^3/3! + ...其中，f'(a)表示f(x)在x=a处的导数，f''(a)表示f(x)在x=a处的二阶导数，以此类推。

通过截取泰勒级数的前n项，我们可以得到一个多项式P(x)，将其作为函数f(x)在x=a处的逼近。

然后，我们可以通过比较P(a)和g(a)的大小来推断f(x)和g(x)在x=a处的大小关系。

值得注意的是，使用泰勒级数逼近函数的过程并不是绝对准确的，而是在一定程度上的近似。

逼近的准确程度取决于截取的级数项数，以及函数在给定点的导数值。

因此，在实际应用中，我们需要根据具体情况选择适当的级数项数，来平衡计算的准确性和效率。

对数函数及其性质(比较大小)经典练习及答案

[基础巩固]1．(多选)若log 2a ＜0，⎝⎛⎭⎫12b ＞1，则( )A ．0＜a ＜1B ．a ＞1C ．b ＞0D ．b ＜0解析由log 2a ＜0得0＜a ＜1，由⎝⎛⎭⎫12b ＞1得b ＜0，所以选A 、D 项．答案 AD2．函数f (x )＝| log 12x |的单调递增区间是( )A ．⎝⎛⎦⎤0，12 B ．(0,1] C ．(0，＋∞) D ．[1，＋∞)解析 f (x )的图象如图所示，由图象可知单调递增区间为[1，＋∞)．答案 D3．(2021·新高考全国卷Ⅱ)已知a ＝log 52，b ＝log 83，c ＝12，则下列判断正确的是( ) A ．c log 2(5x －6)的解集为________．解析原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋3>0，5x －6>0，2x ＋3>5x －6，解得65<x <3，所以原不等式的解集为⎝⎛⎭⎫65，3. 答案 ⎝⎛⎭⎫65，35．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(x －1)，x ≥2，2x ，x ＜2，则f (log 23)＝________；不等式f (x )＞4的解集为________．解析 ∵log 23＜log 24＝2，∴f (log 23)＝＝3，不等式f (x )＞4可化为：⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥2，log 2(x －1)＞4，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＜2，2x ＞4. 解得x ＞17或无解．所以原不等式的解集为(17，＋∞)．答案 3 (17，＋∞)6．已知函数f (x )＝log a x (a >0，a ≠1)，且f (3)－f (2)＝1.(1)若f (3m －2)<f (2m ＋5)，求实数m 的取值范围；(2)求使f ⎝⎛⎭⎫x －2x ＝log 3272成立的x 的值．解析因为f (3)－f (2)＝1，所以a ＝32，所以f (x )＝log 32x . (1)因为32>1，所以由f (3m －2)<f (2m ＋5)得⎩⎪⎨⎪⎧ 3m －2>0，2m ＋5>0，3m －2<2m ＋5，所以23<m <7. (2)由f ⎝⎛⎭⎫x －2x ＝log 32 72，即log 32⎝⎛⎭⎫x －2x ＝log 3272，所以x －2x ＝72.所以x ＝－12或x ＝4. [能力提升]7．已知f (x )＝|ln x |，若a ＝f ⎝⎛⎭⎫15，b ＝f ⎝⎛⎭⎫14，c ＝f (3)，则( ) A ．a ＜b ＜cB ．b ＜c ＜aC ．c ＜a ＜bD ．c ＜b ＜a 解析因为f (x )＝|ln x |，所以a ＝f ⎝⎛⎭⎫15＝⎪⎪⎪⎪ln 15＝ln 5，b ＝f ⎝⎛⎭⎫14＝⎪⎪⎪⎪ln 14＝ln 4，c ＝f (3)＝|ln 3|＝ln 3，因为y ＝ln x 是单调递增函数，所以ln 5＞ln 4＞ln 3，即a ＞b ＞c ，故选D.答案 D8．设a ＝log 132，b ＝log 23，c ＝⎝⎛⎭⎫12 0.3 ，则a ，b ，c 从小到大的顺序是________．解析因为a ＝log 13 2＜log 131＝0，b ＝log 23＞log 22＝1，0＜c ＝⎝⎛⎭⎫12 0.3 ＜⎝⎛⎭⎫12 0 ＝1，所以a ＜c ＜b .答案 a ＜c ＜b9．定义：区间[x 1，x 2](x 1＜x 2)的长度为x 2－x 1.已知函数y ＝|log 0.5x |的定义域为[a ，b ]，值域为[0,2]，则区间[a ，b ]的长度的最大值为________．解析函数y ＝|log 0.5x |的值域为[0,2]，则由0≤|log 0.5x |≤2，得14≤x ≤4，所以[a ，b ]长度的最大值为4－14＝154. 答案 15410．已知函数f (x )＝log a (1－x )＋log a (x ＋3)(0＜a ＜1)．(1)求函数f (x )的定义域；(2)若函数f (x )的最小值为－2，求a 的值．解析 (1)要使函数有意义，则有⎩⎪⎨⎪⎧1－x ＞0，x ＋3＞0，解得－3＜x ＜1，所以定义域为(－3,1)．(2)函数可化为f (x )＝log a [(1－x )(x ＋3)]＝log a (－x 2－2x ＋3)＝log a [－(x ＋1)2＋4]，因为－3＜x ＜1，所以0＜－(x ＋1)2＋4≤4，又0＜a ＜1，所以log a [－(x ＋1)2＋4]≥log a 4，即f (x )的最小值为log a 4.由log a 4＝－2，得a －2＝4，所以a ＝4－12＝12. [探索创新]11．已知函数f (x )＝a x －1(a ＞0且a ≠1)．(1)若函数y ＝f (x )的图象经过点P (3,4)，求a 的值；(2)若f (lg a )＝100，求a 的值；(3)比较f ⎝⎛⎭⎫lg 1100与f (－2.1)的大小，并写出比较过程．解析 (1)因为函数y ＝f (x )的图象经过P (3,4)，所以a 3－1＝4，即a 2＝4.又a ＞0，所以a ＝2.(2)由f (lg a )＝100知，a lg a －1＝100.∴lg a lg a －1＝2(或lg a －1＝log a 100)．∴(lg a －1)·lg a ＝2.∴(lg a )2－lg a －2＝0，∴lg a ＝－1或lg a ＝2，∴a ＝110或a ＝100. (3)∵f ⎝⎛⎭⎫lg 1100＝f (－2)＝a －3，f (－2.1)＝a －3.1，当a ＞1时，y ＝a x 在(－∞，＋∞)上为增函数， ∵－3＞－3.1，∴a －3＞a－3.1，即f ⎝⎛⎭⎫lg 1100＞f (－2.1)；当0＜a ＜1时，y ＝a x 在(－∞，＋∞)上为减函数， ∵－3＞－3.1，∴a －3＜a－3.1，即f ⎝⎛⎭⎫lg 1100＜f (－2.1)．。

点击近几年中考中比较函数值大小问题

例６若点Ａ（，．，，）Ｙ）（垃眨比例函数一图象ＬＩＪ，＜．卜较ｉ￣点Ｈ，匕分析！的火小
２（）如网１．）观察ＩＩＩ知，一 ≤ 冬象＿１当５ ≤１时，１Ａ线Ｙ：
＋Ｉ处于直线ｙ＝一ｘ＋！２４下方，Ｙ ≤ｙ，时ｍ＝Ｉ即ｌ２此Ｙ．
罔象，ＬＶ两点，Ｆ列判断正确的是（Ｊ则
Ａ．＞儿Ｂ．Ｙｊ＜，２
）．
分析当１０＜２时，ｌＪ＜００所以Ｊ＜－土．！＞。＜ｎ，选Ａ０＜故．
例５已知（，）（）ｆ１．．，，．ｒ
巾考试题为例加以说明．
两点，且１２＞０则，一＞，１
“ ＜ ”、．
分析
所以Ｙ＜ｙ．ｊ２
为当，＞＞０时，Ｙ随
增
减，，ｊ、
例４已知点Ａ，；，（，：怂反比例数（Ｙ）１）
Ｙ，：的大小关系是（．，，
Ａ．３＜Ｙ｛＜＿Ｙｖ２Ｂ．！＜ｙｌ＜，
＜时，Ｉ故选ｃ２Ｙ＞．
例２已知整数满足一 ≤ ５ ≤５，＝，Ｊ＋ｌ＝～，，２２４对任意一个，＋ｍ都取Ｙ，中的较小值，ｍ的，ｙ则
＝
（Ｏ图象上的两点，＞）若，０＜！Ｉ４（＜，ｌ－ｌＪ
Ａ．ＹＩ＜０＜ｖ２Ｃ．Ｙｌ＜Ｙ！＜０Ｂ．２＜０＜Ｄ．（＜０
）．

高考数学复习专题比大小全套练习题及答案解析

8．【2018届福建省龙岩市4月检查】已知定义在上的偶函数对于上任意两个不相等实数和，都满足，若，则的大小关系为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】分析：根据条件判断出函数的单调性，结合函数的奇偶性和单调性的关系进行转化求解即可.
详解：因为定义在上的偶函数对于上任意两个不相等实数和，
详解：，在上为减函数，
且时，时，，
且，，
且，
且，，
在上单调递减，
，
即，故选D.
点睛：本题主要考查对数函数的性质、指数函数的单调性及比较大小问题，属于难题.解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用
B．（log3 ）＞（）＞（）
C．（）＞（）＞（log3 ）
D．（）＞（）＞（l的偶函数，．
，
又在(0，+∞)上单调递减，
∴ ，
即 .
故选C．
例4.【2017天津，文理】已知奇函数在R上是增函数， .若，，，则a，b，c的大小关系为（）
11.【2018届天津市9校联考】定义在上的奇函数满足，当时，，设，，，则（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】∵f（x+2）=﹣f（x），
∴f（x+4）=f[（x+2）+2]=﹣f（x+2）=f（x），
∴函数f（x）是周期为4的周期函数，
，
，
，
又，且在上单调递增，
∴ ，即
详解：因为时， , , ,

专题3-5 压轴小题导数技巧：比大小-(解析版)

专题3-5 导数技巧：比大小目录【题型一】对数函数基础构造1：xlnx 型............................................................................................... 1 【题型二】对数函数基础构造2：lnx/x 型 ............................................................................................. 3 【题型三】指数函数基础构造 .................................................................................................................. 4 【题型四】“取对数”法 ............................................................................................................................ 6 【题型五】指数切线构造：()e 1xx -+ (7)【题型六】对数切线构造 (9)【题型七】反比例构造:2(1)ln 1x x x -<+型 (12)【题型八】“零点”构造法 ...................................................................................................................... 13 【题型九】“跨界”构造：切、弦、指、对构造 ................................................................................... 14 【题型十】“同构”构造：差、商、积同构 ........................................................................................... 17 【题型十一】泰勒逼近 ............................................................................................................................ 19 【题型十二】帕德逼近 ............................................................................................................................ 20 【题型十三】综合 .................................................................................................................................... 22 二、真题再现 ............................................................................................................................................ 24 三、模拟检测 .. (26)【题型一】对数函数基础构造1：xlnx 型【典例分析】（2022·全国·高三专题练习）已知1,,,e a b c ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，且ln55ln a a =-，ln33ln b b =-，ln 22ln c c =-，则（） A ．b c a < ⎪⎝⎭，此时()f x 单调递增，当10,,()0e x f x ⎛⎫'∈< ⎪⎝⎭，此时()f x 单调递减，由题ln55ln a a =-，ln33ln b b =-，ln 22ln c c =-，得11111111ln ln ,ln ln ,ln ln ln 55332244a a b b c c ====，因为1111543e <<<，所以111111ln ln ln 554433>>，则ln ln ln a a c c b b >>，且1,,,e a b c ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，所以a c b >>.故选：A.【变式演练】1.（2022·全国·高三专题练习）已知108a =，99b =，810c =，则a ，b ，c 的大小关系为（） A ．b c a >> B ．b a c >> C ．a c b >> D ．a b c >> 【答案】D【分析】构造函数()()18ln f x x x =-，8x ≥，求其单调性，从而判断a ，b ，c 的大小关系. 【详解】构造()()18ln f x x x =-，8x ≥，()18ln 1f x x x +'=--，()18ln 1f x x x +'=--在[)8,+∞时为减函数，且()295558ln81ln8ln e 204444f =-+-=-<-=-<'，所以()18ln 10f x x x=-+-<'在[)8,+∞恒成立，故()()18ln f x x x =-在[)8,+∞上单调递减，所以()()()8910f f f >>，即10ln89ln98ln10>>，所以10988910>>，即a b c >>. 故选：D2.（2022·四川宜宾·二模（文））已知1011910911a b c ===，，，则,,a b c 的大小关系为（） A ．c a b << B ．b a c << C ．a b c << D ．c b a << 【答案】A【分析】先构造函数()()()20ln 9f x x x x =-≥，求导确定函数单调性，即可判断,,a b c 的大小.【详解】令()()()20ln 9f x x x x =-≥，则()120()ln 20ln 1f x x x x x x'=-+-⋅=-+-，显然当9x ≥时，()'f x 是减函数且20(9)ln 9109f '=-+-<，故()f x 是减函数，(9)(10)(11)f f f >>，即1110911ln 910ln109ln11,ln 9ln10ln11>>>>，可得1110991011>>，即c a b <<. 故选：A.3.（2022·安徽·淮南第一中学一模（理））设15ln13a =，14ln14b =，13ln15c =，则（） A ．a c b >> B ．c b a >> C ．b a c >> D ．a b c >> 【答案】D【分析】构造函数()()()14ln 14f x x x =+-，利用函数()f x 的导数讨论函数()f x 的单调性.【详解】令()()()14ln 14f x x x =+- ，[]11x ∈-，，则()()1413=ln 14ln1501415x f x x x +'--<-<-，所以()()()14ln 14f x x x =+-在[]11-，上单调递增，所以()()()101f f f -<<，即13ln1514ln1415ln13<<，所以，a b c >> 故选：D【题型二】对数函数基础构造2：lnx/x 型【典例分析】(2022·全国·模拟预测）已知1e a b <<<，有以下结论：①b aa b <；①ee ab ab >；①ee ab aa <；①ee b ba a <，则其中正确的个数是（） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个【答案】C【分析】构造()ln xf x x =，()1,e x ∈，利用导函数得到其单调性，从而比较出①，①，在①的基础上得到①的正误，根据()xg x a =的单调性及①得到①的正误..【详解】设()ln x f x x =，()1,e x ∈，则()21ln 0x f x x -'=>在()1,e x ∈上恒成立，所以()ln xf x x=在()1,e x ∈上单调递增，因为1e a b <<<，所以ln ln a ba b<，即ln ln b a a b <，因为ln y x =单调递增，所以b a a b <，①正确； ln ln e 1e e b b <=，即ln eaba b <，因为ln y x =单调递增，所以e <e ab a b ，①错误；因为b a a b <，所以e <e ab b a ，①正确；因为()xg x a =单调递增，1e a b <<< 所以a b a a <，所以e <e aba a ，①正确. 故选：C【变式演练】1.（2022·全国·高三专题练习）23(2ln 3)1ln 3,,3a b c e e -===，则a ，b ，c 的大小顺序为（） A ．a c b <+，利用导数确定()0>g x ，进而得到212121ln ln 2x x x x x x ->-+，即可判断a 、c 的大小，即可知正确选项.【详解】令ln ()x f x x =，则222ln 3()33e e af e ==，ln ()e b f e e ==，ln 3(3)3c f ==，而21ln ()x f x x -'=且0x >，即0x e <<时()f x 单调增，x e >时()f x 单调减，又2133ee <<<，①b c >，b a >. 若ln x t x =有两个解12,x x ，则121x e x <<<，1(0,)t e ∈，即2121ln ln x x t x x -=-，1212ln x x x x t+=，令2(1)()ln (1)1x g x x x x -=->+，则22(1)()0(1)x g x x x -'=>+，即()g x 在(1,)+∞上递增， ①()(1)0g x g >=，即在(1,)+∞上，2(1)ln 1x x x ->+，若21x x x =即212121ln ln 2x x x x x x ->-+，故122ln t t x x >，有212x x e >①当23x =时，213e e x >>，故21()()(3)3e f f x f <=，综上：b c a >>.故选：A2.（2022·湖北·宜都二中高三开学考试）已知44ln5,5ln4,5ln a b c πππ===，则,,a b c 的大小关系是（） A ．c a b << B ．a b c << C ．a c b << D ．c b a << 【答案】B【分析】令()()ln e xf x x x=≥，利用导数判断()f x 在()e,+∞上的单调性，即可得,,a b c 的大小关系.【详解】令()()ln e xf x x x=≥，可得()1ln 1ln x x x x f x x x ⋅--'==，当x e ≥时，()0f x '≤恒成立，所以()ln xf x x=在()e,+∞上单调递减，所以()()()π45f f f >>，即ln πln 4ln 5π45>>，可得4ln ln 4ππ>，5ln44ln5>，所以4ln ln 4，5ln 44ln5，所以4π5ln π5ln 4>，ππ5ln 44ln5>，即c b >，b a >.所以a b c <<.故选：B.3.（2022·全国·高三专题练习（理））设20222020a =，20212021b =，20202022c =，则（） A ．a b c >> B ．b a c >> C ．c a b >> D ．c b a >> 【答案】A【分析】由于ln2020ln 2021ln2021ln 2022a b =，所以构造函数()()2ln 1xf x x e x =≥+，利用导数判断其为减函数，从而可比较出()()202020210f f >>，进而可比较出,a b 的大小，同理可比较出,b c 的大小，即可得答案【详解】①ln2020ln 2022ln20202021ln2021ln 2021ln20212022a b ==，构造函数()()2ln 1x f x x e x =≥+，()()21ln 1x x x f x x x +-'=+，令()1ln g x x x x =+-，则()ln 0g x x '=-<，①()g x 在)2,e ⎡+∞⎣上单减，①()()2210g x g e e ≤=-<，故()0f x '<， ①()f x 在)2,e ⎡+∞⎣上单减，①()()202020210f f >>，①()()2020ln 1ln 2021f a b f =>①ln ln a b >.①a b >，同理可得ln ln b c >，b c >，故a b c >>，故选：A【题型三】指数函数基础构造【典例分析】设正实数a ，b ，c ，满足2ln 2a c e b b ce ===，则a ，b ，c 的大小关系为（） A ．a b c <，利用导数判断函数的单调性，并判断c 的范围，通过变形得c b e =，得,b c 的大小关系，再直接解方程求a 的范围，最后三个数比较大小. 【详解】设()(0)x f x xe x =>，0x >时，()()10xf x x e '=+>恒成立，()f x 在(0,)+∞单调递增，1,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()f x e ⎫∈⎪⎝⎭2<，所以1,12c ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，ln ln ln b c b b b e ce =⋅=，故ln b c =，即)c b e e =∈，而ln 2122a =<，所以a c b <<．故选：B【变式演练】1.已知,,a b c ∈R .满足3220ln ln ln b a cb a c==-<.则a ，b ，c 的大小关系为（）.A ．c a b >>B ．a c b >>C ．c b a >>D ．b a c >> 2020届湖北省高三下学期5月高考模拟调研考试理科数学试题【答案】A 【分析】根据指数函数值域可确定1c >，(),0,1a b ∈；构造函数()()201ln xf x x x=<<，利用导数可知()f x 在()0,1上单调递减，利用232ln ln ln a b ba b b=<可知b a <，由此可得结果. 【详解】30b >，20a >，20c >，ln 0b ∴<，ln 0a <，ln 0c >， 01b ∴<<，01a <<，1c >；320b b>>，ln 0b <，232ln ln ln a b b a b b∴=<，令()()201ln xf x x x=<<，则()()()22122ln 2ln 2ln 2ln ln ln x x x x x x x f x x x ⎛⎫⋅-⋅- ⎪⎝⎭'==，当01x <<时，ln 0x <，10x-<，()0f x '∴<，()f x ∴在()0,1上单调递减， 22ln ln a ba b<，即()()f a f b <，b a ∴<，c a b ∴>>.故选：A . 2.已知22,32a b a b +=+=，则lg b a 与lg a b 的大小关系是（） A ．lg lg b a a b D ．不确定【答案】C 【分析】令()()2,3x xf x xg x x =+=+，结合题意可知01b a <<<，进而有b b a a b b >>，再利用对数函数的单调性和运算性质即可求解【详解】令()()2,3x xf x xg x x =+=+，则当0x >时，()()g x f x >，当0x <时，()()g x f x <；由22,32a b a b +=+=，得()()2,2f a g b ==考虑到()()2f a g b ==得01b a <<<，b b a a b b ∴>>由b a a b >，得()()lg lg b aa b >，即lg lg b a a b >故选：C3.已知实数1232a e =，2343b e =，6787c e =，(e 为自然对数的底数)则a ，b ，c 的大小关系为（） A ．a b c << B ．b c a << C ．c b a << D ．b a c << 【答案】A 【分析】由已知实数的形式构造函数11()x xx f x e x-+=，即有(2),(3),(7)a f b f c f ===，利用导数研究()f x 的单调性，再比较对应函数值的大小即可. 【详解】由题意，令11()x xx f x e x-+=，则(2),(3),(7)a f b f c f ===，而13()x xe f x x -'=，所以0x >时()0f x '>，即()f x 在(0,)+∞上单调递增，①(2)(3)(7)f f f <<，即a b c <<，故选：A【题型四】“取对数”法【典例分析】（2023·全国·高三专题练习）已知ln72a =，ln 63b =，ln54c =，则（）A ．b c a <<B ．a b c <<C ．b a c <<D ．a c b << 【答案】B【分析】对a ，b ，c 取对数，探求它们的结构特征，构造函数()()ln ln 9f x x x =⋅-(24x ≤≤)，借助导数判断单调性即可作答.【详解】对a ，b ，c 取对数得：ln ln2ln7a =⋅，ln ln3ln6b =⋅，ln ln4ln5c =⋅，令()()ln ln 9f x x x =⋅-(24x ≤≤)，()()ln 9x f x x-'=-()()()9ln 9ln ln 99x x x xx x x x ---=--，令()ln ,1g x x x x =>，()ln 10g x x '=+>，即()ln g x x x =在(1,)+∞上单调递增，由24x ≤≤得，951x x -≥>>，于是得()()9ln 9ln x x x x -->，又()90x x ->，因此，()0f x '>，即()f x 在[]2,4上单调递增，从而得()()()234f f f <<，即ln2ln7ln3ln6ln4ln5<<，ln ln ln a b c <<，所以a b c <<. 故选：B【变式演练】1.（2021·全国·高三专题练习）已知实数(),,0,a b c e ∈，且33a a =，44b b =，55c c =，则（） A ．c b a << B ．b c a << C ．a c b << D ．a b c << 【答案】A【分析】将已知的等式两边取对数可得ln 3ln 3a a =，ln 4ln 4b b =，ln 5ln 5c c =.设函数()ln xf x x=，求导，分析导函数的正负，得出所令函数的单调性，由此可得选项．【详解】由33a a =，44b b =，55c c =得ln33ln a a =，ln44ln b b =，ln55ln c c =，因此ln 3ln 3a a =，ln 4ln 4bb=，ln 5ln 5cc=. 设函数()ln xf x x=，则()()3f f a =，()()4f f b =，()()5f f c =，()21ln xf x x-'=，令()0f x '=，得x e =，所以()f x 在()0,e 上单调递增，在(),e +∞上单调递减，所以()()()345f f f >>，即()()()f a f b f c >>，又(),,0,a b c e ∈，所以a b c >>，故选：A.2.（2022·全国·高三专题练习）已知3.9 3.8 3.9 3.83.9, 3.9, 3.8, 3.8a b c d ====，则a b c d ,,,的大小关系为（） A ．d c b a <<< B ．d b c a <<< C ．b d c a <<< D ．b c d a <<< 【答案】B【分析】构造函数()ln xf x x=，利用导数判断函数的单调性，可得()3.9(3.8)f f <，从而可得 3.8 3.93.9 3.8<，再由 3.8y x =在()0,∞+上单调递增，即可得出选项.【详解】构造函数()ln x f x x =，则()21ln xf x x -'=，当(),x e ∈+∞时，()0f x '<，故()ln xf x x=在(),x e ∈+∞上单调递减，所以()3.9(3.8)f f <，所以ln 3.9ln 3.83.9 3.8<，3.8ln3.9 3.9ln3.8<所以 3.8 3.9ln 3.9ln 3.8<， 3.8 3.93.9 3.8<，因为 3.8y x =在()0,∞+上单调递增，所以 3.8 3.83.8 3.9<，同理 3.9 3.93.8 3.9<，所以 3.8 3.8 3.9 3.93.8 3.9 3.8 3.9<<<，故选：B3.已知5458<，45138<，设5log 3a =，8log 5b =，13log 8c =，找出这三个数大小关系_________ 【答案】a b c << 【分析】把,,a b c 用换底公式变形，已知不等关系及3453>，3485<也取对数后，可把,,a b c 与中间值比较大小，从而得出结论．【详解】由已知lg 3lg 5a =，lg 5lg8b =，lg8lg13c =，又5458<，则5lg54lg8<，①lg 54lg85b =<， 45138<，则4lg135lg8<，lg84lg135c =>，又345125813=>=，①3lg54lg3>，lg 33lg 54a =<，而3485126255=<=，①3lg84lg5<，lg 53lg84b =>，综上有a b c <<．故答案为：a b c <<．【题型五】指数切线构造：()e 1x x -+【典例分析】（2022·江西·南昌市八一中学三模（理））设a ＝1101，b ＝ln1.01，c ＝0.01e 1-，则（） A ．a ，则()e 10xf x '=->，所以()f x 在（1，+∞）单调递增，所以()()()21e 20e 10e 1x xf x f x x >=->⇒-+>⇒>+…①，所以1e x x ->…①，由①，()1111ln 11ln 1ln 1ln ln 1x x x x x x x x x x->+⇒->⇒->⇒->-⇒>-…①，由①，1ln x x ->…①，由①①，1e 11ln x x x -->->，则c >b ，由①，b >a ，所以c >b>a . 故选：A.【变式演练】1.（2022·河南·模拟预测（理））已知0.2111.2,,9a b c e ===，则（） A ．a b c <，()(1)(1)(01)x xg x x e x e x -<--<=+，利用导数研究函数的单调性，得出()f x ，()g x 的单调性，得出1(0)x e x x >+>，令0.2x =，可得出a c <，再由得出的21(01)1xx e x x+<<<-，令0.1x =，得出c b <，从而得出结果．【详解】解：先证1(0)x e x x >+>，令()()10x f x e x x =-->，则()10x f x e '=->，可知()f x 在()0,∞+上单调递增，所以()()00f x f >=，即1(0)x e x x >+>，令0.2x =，则0.2 1.2e >，所以a c <；再证21(01)1xx e x x+<<<-即证(1)(1)x x x e x e -+>-，令()(1)(1)(01)x x g x x e x e x -<--<=+，则()()0x xg x x e e -'=->，所以()g x 在()0,1上单调递增，所以()()00g x g >=，即21(01)1xxe x x+<<<-，令0.1x =，则0.2119e <，所以c b <，从而a c b <<．故选：C.2.（2022·广东·深圳外国语学校高三阶段练习）已知0.05a e =，ln1.112b =+，c = ） A ．a b c >> B ．c b a >> C ．b a c >> D ．a c b >> 【答案】D【分析】利用导数可求得1x e x >+，ln 1≤-x x ；分别代入0.1x =和 1.1x =，整理可得,,a b c 的大小关系.【详解】令()()10x f x e x x =-->，则()10xf e x ='->，()f x ∴在()0,∞+上单调递增，()()00f x f ∴>=，即1x e x >+，0.1 1.1e ∴>，0.05e ∴>a c >；令()ln 1g x x x =-+，则()111xg x x x-'=-=， ∴当()0,1x ∈时，()0g x '>；当()1,x ∈+∞时，()0g x '<；()g x ∴在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，()()10g x g ∴≤=，ln 1x x ∴≤-（当且仅当1x =时取等号），1∴，即ln 12x +≤1x =时取等号），ln1.112∴+>.故选：D.3.（2022·全国·高三专题练习）已知991001101,,ln101100-===a b e c ，则a ，b ，c 的大小关系为（） A ．a b c <+≠，从而得到9910099111100100101b e a -=>-+=>=，设()ln 1g x x x =-+，利用导数得到()ln 11x x x <-≠，从而得到b c >和c a >，即可得到答案.【详解】设()1x f x e x =--，()1xf x e '=-，令()0f x '=，解得0x =.(),0x ∈-∞，()0f x '<，()f x 为减函数，()0,x ∈+∞，()0f x '>，()f x 为增函数.所以()()00f x f ≥=，即10x e x --≥，当且仅当0x =时取等号.所以()10xe x x >+≠.故9910099111100100101b ea -=>-+=>=，即b a >.设()ln 1g x x x =-+，()111x g x x x -'=-=，令()0g x '=，解得1x =.()0,1x ∈，()0g x '>，()g x 为增函数，()1,x ∈+∞，()0g x '<，()g x 为减函数.所以()()10g x g ≤=，即ln 10x x -+≤，当且仅当1x =时取等号.所以()ln 11x x x <-≠.所以1011011ln 1100100100c =<-=，又因为1100b >，所以bc >. 又因为()ln 11x x x ->-+≠，所以1011001001ln ln 1100101101101c a ==->-+==，即c a >，综上b c a >>.故选：B【题型六】对数切线构造【典例分析】（2022·江苏·阜宁县东沟中学模拟预测）已知12a >且122e a a -=，13b >且133e b b -=，14c >且144e c c -=，则（）A ．ln ln ln a b c bc ac ab <<B ．ln ln ln a c bbc ab ac << C ．ln ln ln c b a ab ac bc << D ．ln ln ln b a cac bc ab << 【答案】A【分析】对已知的等式进行变形，转化成结构一致，从而构造函数，确定构造的函数的性质，得到a 、b 、c 的大小，再根据选项构造函数，借助函数的单调性比较大小即可.【详解】由已知条件，对于122e a a -=，两边同取对数，则有1ln 2ln 2a a +=-，即111ln ln 2ln 222a a -=+=-，同理：11ln ln 33b b -=-；11ln ln 44c c -=-构造函数()ln f x x x =-，则()12f a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()13f b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()14f c f ⎛⎫= ⎪⎝⎭.对其求导得：()()10x f x x x -'=> ∴当01x <<时，()0f x '<，()f x 单调递减；当1x >时，()0f x '>，()f x 单调递增；又12a >，13b >，14c >1a b c ∴<<<再构造函数()ln g x x x =，对其求导得：()()ln 10g x x x '=+>∴当10x e <<时，()0g x '<，()g x 单调递减；当1x e>时，()0g x '>，()g x 单调递增；()()()g a g b g c ∴<<即：ln ln ln a a b b c c << 又0abc >ln ln ln a b cbc ac ab<<∴.故选：A. 【提分秘籍】基本规律指数和对数放缩法基础图【变式演练】1..（2022·山西运城·高三期末（理））已知(),,0,a b c ∈+∞，且121e e2aa --=+，131e e 3b b --=+，151e e 5cc --=+，则（）A ．a b c <，即得.【详解】由题可得121e e 2a a --=+，131e e 3b b --=+，151e e 5c c --=+.令()e x f x x =-，则()e 1xf x '=-，令()0f x '=，得0x =，①()0,x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 在()0,∞+上单调递增，(),0x ∈-∞时，()0f x '<，()f x 在(),0∞-上单调递减，又()12f a f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()13f b f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()15f c f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，,,0a b c >，由111235-<-<-，可知111235f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫->->- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭即()()()f a f b f c >>，①c b a <<. 故选：C.2.（2021·四川·双流中学高三阶段练习（理））已知4ln 0,5ln 0,6ln 0456a b ca b c -=≠-=≠-=≠，则（）A ．c b a <，探讨函数的单调性，借助单调性进行推理即可得解.【详解】令函数()ln (0)f x x x x =->，则11()1x f x x x'-=-=，则有()f x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，且x 趋近于0和趋近于正无穷大时，()f x 值都趋近于正无穷大，由4ln 04aa -=≠得，ln 4ln4a a -=-，即()(4)f a f =，且4a ≠，显然01a <<，若1a ≥，而()f x 在(1,)+∞上单调递增，由()(4)f a f =必有4a =与4a ≠矛盾，因此得01a <<，同理，由5ln 05bb -=≠得()(5)f b f =，且5b ≠，并且有01b <<，由6ln 06cc -=≠得()(6)f c f =，且6c ≠，并且有01c <<，显然有(4)(5)(6)f f f <<，于是得()()()f a f b f c <<，又()f x 在(0,1)上单调递减，所以c b a <<.故选：A3.（2022·全国·高三专题练习）已知e 2.71828≈是自然对数的底数，设132,,ln 2e ea b c ==-，则（）A ．a b c <，再比较,b c 的大小，即可得到结果.【详解】设()xf xe=，()1f x e '=，当204e x ≤<时，()0f x '>，函数单调递增，当24ex >时，()0f x '<，函数单调递减，()()3,2a f b f ==，2234e <<时，()()32f f <，即a b <，设1x y e x =--，1x y e '=-，(),0-∞时，0y '<，函数单调递减，()0,∞+时，0y '>，函数单调递增，所以当0x =时，函数取得最小值，()00f =，即1x e x ≥+恒成立，即1> 令()ln x g x x e =-，()11g x e x'=-，()0,x e ∈时，()0g x '<，()g x 单调递减，(),x e ∈+∞时，()0g x '>，()g x 单调递增，x e =时，函数取得最小值()0g e =，即()20g >，得：2ln 2e >2ln 2e<，即12ln 2ln 2e->，即b c <，综上可知a b c <<故选：A【题型七】反比例构造:2(1)ln 1x x x -<+型【典例分析】（2022·江苏·金陵中学二模）设 1.1e a =-1b =，2ln1.1c =，则（）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b a c <<D ．c a b << 【答案】A【分析】利用幂函数和指数函数的性质判断的范围，a 利用基本不等式判断b 的范围，构造新函数并利用导数讨论函数的单调性求出c 的范围，进而得出结果.【详解】由3e 28<32e <31.1 1.52e <e e =，所以 1.1e1.1e 0-，即0a <1.41.21.21110.1842+<-<，即0.184b <；设2(1)()ln (0)1x f x x x x -=->+，则22214(1)()0(1)(1)x f x x x x x -=-=+'≥+，所以()f x 在(0,)+∞上单调递增，且(1)0f =，所以当(1,)x ∈+∞时()0f x >，即2(1)ln 1x x x ->+，当(0,1)x ∈时()0f x <，即2(1)ln 1x x x -<+，又1.11>，则()21.11ln1.10.0951.11->≈+，所以2ln1.10.19c =>，即0.19c >，综上，a b c <<.故选：A【变式演练】1.（2022·全国·高三专题练习）若0.2e a =，b =ln3.2c =，则a ，b ，c 的大小关系为（） A ．a b c >> B ．a c b >> C ．b a c >> D ．c b a >> 【答案】B【分析】构造函数()()e 10xf x x x =-->，利用导数可得0.2e 1.2b a >>=，进而可得 1.2e 3.2>，可得a c >，再利用函数()()21ln 1x g x x x -=-+，可得ln3.2 1.1>，即得.【详解】令()()e 10x f x x x =-->，则()e 10xf x '=->， ①()f x 在()0,∞+上单调递增，①0.20.21 1.2e a b >+===， 0.2 1.21.e ln 2e a >==，ln3.2c =，①()()()6551.262.7387.4,3.2335.5e e >≈≈=，① 1.2e 3.2>，故a c >，设()()21ln 1x g x x x -=-+，则()()()()()22221211011x x x g x x x x x +--=-=≥++'，所以函数在()0,∞+上单调递增，由()10g =，所以1x >时，()0g x >，即()21ln 1x x x ->+， ①()()22121.6155ln 3.2ln 2ln1.611 1.11 1.613950--=+>+=>=+，又1 1.2 1.21,1 1.1b <<<=<，① 1.1c b >>，故a c b >>. 故选：B.2.（2022·江西·模拟预测（理））设24(2ln 4)e a -=，1e b =，ln 44c =，则a ，b ，c 的大小顺序为（） A ．a c b << B ．c a b << C ．a b c << D ．b a c << 【答案】A【分析】根据a 、b 、c 的结构，构造函数()ln xf x x=，利用导数判断单调性，即可比较出a 、b 、c 的大小，得到正确答案.【详解】因为222ln4(2ln 4)4e 4e a e -==，1ln e b e e ==，ln 44c =构造函数()ln x f x x =，则()21ln xf x x -'=，24e a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()b f e =，()4c f =，()f x 在(0,)e 上递增，在(,)e +∞上递减.则有()b f e =最大，即a b <，c b <.若ln x t x =有两个解，则1211,0,x e x t e ⎛⎫<<<∈ ⎪⎝⎭，所以1122ln ,ln ,x tx x tx ==所以1212ln ln ,x x tx tx -=-1212ln ln ,x x tx tx +=+即2121ln ln x x t x x -=-,()()1212ln ,x x t x x =+令()()()21ln 11x g x x x x -=->+，则()()()2101x x x x g -'=>+，故()g x 在()1,+∞上单增,所以()()10g x g >=，即在()1,+∞上，()21ln 1x x x ->+.若21x x x =，则有21221121ln 1x x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭>+，即212121ln ln 2x x x x x x ->-+. 故()122ln t t x x >，所以212x x e >.当24x =时，有214e x e <<，故()()2144e f f x f ⎛⎫<= ⎪⎝⎭所以a c <.综上所述：a c b <<. 故选：A【题型八】“零点”构造法【典例分析】（2022·广东广州·高三开学考试）设ln1.1a =，0.1e 1b =-，tan0.1c =，0.4d π=，则（）A ．a b c d <<<B ．a c b d <<<C ．a b d c <<<D ．a c d b <<<【答案】B【分析】观察4个数易得均与0.1有关，故考虑()()ln 1a x x =+，()e 1xb x =-，()tanc x x =，()4d x x π=在0.1x =时的大小关系，故利用作差法，分别构造相减的函数判断单调性以及与0的大小关系即可.【详解】设()()ln 1a x x =+，()e 1xb x =-，()tanc x x =，()4d x x π=，易得()()()()0000a b c d ===.设()()4e 1xy d x b x x π=--+=，则令0e 4x y π'=-=有4ln x π=，故()()y d x b x =-在4,ln π⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递增.①因为10101055544525243e 3.2416162π⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫>==>=> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即104e π⎛⎫> ⎪⎝⎭，故410ln 1π>，即4ln 0.1π>，故()()()()0.10.1000d b d b ->-=，即d b >.①设()()e 1tan xy b x c x x --=-=，则222e 1cos 1c e os cos x xy x x x'=--=，设()2cos e 1x f x x =-，则()()()22cos 2si e e n sin 2sin 1x x x x f x x x '==---+.设()sin g x x x =-，则()1cos 0g x x '=-≥，故()sin g x x x =-为增函数，故()()00g x g ≥=，即sin x x ≥.故()()()2221e e 12x xx x x f x ⎡⎤≥--+=-++⎣'⎦，当[]0,0.1x ∈时()0f x '>， ()2cos e 1x f x x =-为增函数，故()02cos 01e 0f x ≥-=，故当[]0,0.1x ∈时()()y b x c x =-为增函数，故()()()()0.10.1000b c b c ->-=，故b c >.①设()()()tan ln 1y c x a x x x -==+-，()2221sin cos co 111s x xy x x x x +-++'==，易得当()0,0.1x ∈时0y '>，故()()()()0.10.1000c a c a ->-=，即c a >. 综上d b c a >>>故选：B【变式演练】1.．（2020·北海市北海中学高三）已知1x ＝1ln 2，2x ＝12e -，3x 满足33ln xe x -=，则下列各选项正确的是 A ．132x x x << B ．123x x x <<C ．213x x x <<D ．312x x x <<【答案】B【详解】因为函数ln y x =在()0,∞+上单调递增，所以11lnln102x =<=；12212101x ee-<====<；因为3x 满足33ln x e x -=，即3x 是方程1ln 0xx e ⎛⎫-= ⎪⎝⎭的实数根，所以3x 是函数()1ln xf x x e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的零点，函数f (x )在定义域内是减函数，因为()11f e =，()110ef e e ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，所以函数有唯一零点，即()31,x e ∈.所以123x x x <<.【题型九】“跨界”构造：切、弦、指、对构造【典例分析】（2022·湖北·宜城市第二高级中学高三开学考试）已知0.21,ln1.2,tan 0.2e a b c =-==，其中e 2.71828=为自然对数的底数，则（） A ．c a b >> B ．a c b >> C ．b a c >> D ．a b c >> 【答案】B【分析】观察0.21,ln1.2,tan 0.2e a b c =-==，发现都含有0.2，把0.2换成x ，自变量在(0,1)或其子集范围内构造函数，利用导数证明其单调性，比较,,a b c 的大小.【详解】令cos cos sin ()1tan cos e e x xx x x f x x x--=--=，04x π<<，令()cos cos sin e x g x x x x =--，()(sin cos )sin cos (1)(cos sin )e e xx g x x x x x x x '=-++-=-⋅-，当04x π<<时，()0g x '>，()g x 单调递增，又(0)110g =-=，所以()0>g x ，又cos 0x >，所以()0f x >，在(0,)4π成立，所以(0.2)0f >即a c >，令()ln(1)h x x x =+-，1()111x h x x x -=-=++'，()h x 在(0,)2x π∈为减函数，所以()(0)0h x h <=，即ln(1)x x +<，令()tan m x x x =-，21()1cos m x x '=-，()m x 在(0,)2x π∈为减函数，所以()(0)0m x m <=，即tan x x <，所以ln(1)tan x x x +<<，(0,)2x π∈成立，令0.2x =，则上式变为ln(0.21)0.2tan 0.2+<<，所以0.2b c << 所以b c <，所以b c a <<. 故答案为：B.【变式演练】1.（2022·全国·高三专题练习）设0.02e 1a =-，()0.012e 1b =-，sin0.01tan0.01c =+，则（） A ．a b c >> B ．a c b >> C ．c a b >> D ．b c a >> 【答案】A【详解】因为()20.020.010.01e 2e 1e 10a b -=-+=->，所以a b >．设()()2e 1sin tan x f x x x =---，则()f x '=212e cos cos xx x --，令()()g x f x '=，则32sin ()2e sin cos xx g x x x'=+-．当π0,6x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，2e 2x >，sin 0x >，33π2sin2sin 62πcos cos 6x x <<，所以()0g x '>，所以当π0,6x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()(0)0f x f ''>=，所以()f x 在π0,6x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上单调递 2.（2022·四川·广安二中模拟预测（理））已知0πx y <<<，且e sin e sin y x x y =，其中e 为自然对数的底数，则下列选项中一定成立的是（） A ．co co s 0s x y +C ．cos sin x y >D ．sin sin x y >【答案】B【分析】构造()sin e xxf x =，0πx <<，求导研究其单调性，判断出D 选项，利用同角三角函数关系得到AB 选项，构造差函数，得到π2x y >-，从而判断出C 选项.【详解】构造()sin e x x f x =，0πx <<，则()sin 0e x x f x =>恒成立，则()cos sin e xx xf x -'=，当π04x <<时，cos sin x x >，()cos sin 0e xx x f x -'=>，当ππ4x <<时，cos sin x x <，()cos sin 0e xx xf x -'=< 所以()sin e x x f x =在π0,4⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，在π,π4⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，因为0πx y <<<，所以π0π4x y <<<<，0e e x y <<，又sin sin 0e ex y x y=>，所以0sin sin x y <<，D 错误，因为π0π4x y <<<<，所以cos 0x，cos y所以cos cos x y >，所以cos cos 0x y +>，A 错误，B 正确.令()()π2g x f x f x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，则π04g ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()()()π2ππ22sin cos e e πcos sin sin cos 2e e e x xxx x x x x x x g x f x f x --⎛⎫-- ⎪--⎛⎫⎝⎭=+-=+= ⎪⎝'⎭'' 当0πx <<时，()0g x '>恒成立，所以()()π2g x f x f x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭在()0,π上单调递增，当π0,4x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()π02g x f x f x ⎛⎫=--< ⎪⎝⎭，即()π2f x f x ⎛⎫<- ⎪⎝⎭，因为()()f x f y =，所以()π2f y f x ⎛⎫<- ⎪⎝⎭。

2024高考数学常考题型导数中构造函数比大小问题题型总结(解析版)

第4讲导数中构造函数比大小问题题型总结【典型例题】题型一：构造()xxx f ln =比较大小此函数定义域为()+∞,0，求导()2ln 1x xx f -='，当()e x ,0∈时，()0>'x f ，故()x f 为增函数，当()+∞∈,e x 时，()0<'x f ，故()x f 为减函数，当e x =时，()x f 取得极大值为()ee f 1=，且()()222ln 42ln 244ln 4f f ====，此结论经常用来把函数转化到同一边进行比较【例1】（2022·广东·佛山市南海区九江中学高二阶段练习）若1ln 2ln 3,,e 23a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（）A ．a c b >>B ．b c a>>C ．c b a>>D ．a b c>>【答案】A 【解析】【分析】通过对三个数的变形及观察，可以构造出函数()ln xf x x=，通过求导分析其单调性即可得到答案【详解】解：1ln e ln 2ln 4ln 3,,e e 243a b c =====，设()()2ln 1ln ,x x f x f x x x -'==，则e x >时，()0f x '<，故()f x 在()e,∞+上单调递减，则()()()3e 4f f f >>，即ln e ln 3ln 4e34>>，所以a c b >>．故选：A.【例2】（2023·全国·高三专题练习）设24ln 4a e -=，ln 22b =，1c e =，则（）A ．a c b <时,()0f x '<,函数单调递减,当0e x <<时,()0f x '>,函数单调递增,故当e x =时,函数取得最大值()1e ef =,因为()2222e ln 22ln22e e e 22a f -⎛⎫=== ⎪⎝⎭,()()4ln2l e n 4e 1,24b f c f =====,2e 42e << ,当e x >时,()0f x '<,函数单调递减,可得()()2e 4e 2f f f ⎛⎫<< ⎪⎝⎭,即b a c <<.故选:C【例3】（2022·吉林·高二期末）下列命题为真命题的个数是（）①ln 32<；②ln π<；③15<；④3e ln 2>．A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B 【解析】【分析】本题首先可以构造函数()ln x f x x =，然后通过导数计算出函数()ln xf x x=的单调性以及最值，然后通过对①②③④四组数字进行适当的变形，通过函数()ln xf x x=的单调性即可比较出大小．【详解】解：构造函数()ln x f x x =，则()21ln xf x x -'=，当0e x <<时，()0f x '>，e x >时，()0f x '<，所以函数()ln xf x x=在()0,e 上递增，在()e,+∞上递减，所以当e x =时()f x 取得最大值1e，ln 322ln 2ln 22<⇔⇔，2e <<可得()2ff <，故①正确；lnπ<⇔e <<，可得f f <，故②错误；ln 2ln 4152ln1524<⇔<⇔<<，因为函数()ln xf x x=在()e,+∞上递减，所以()4f f<，故③正确；因为e >，所以(()e f f <，ln ee <1e <，则3e <即3e ln 2<④错误，综上所述，有2个正确.故选：B ．【点睛】本题考查如何比较数的大小，当两个数无法直接通过运算进行大小比较时，如果两个数都可以转化为某个函数上的两个函数值，那么可以构造函数，然后通过函数的单调性来判断两个数的大小，考查函数思想，是难题．【例4】（2021·陕西汉中·高二期末（理））已知a ，b ，c 均为区间()0,e 内的实数，且ln 55ln a a =，ln 66ln b b =，ln 77ln c c =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a c b >>B ．a b c>>C ．c a b>>D ．c b a>>【答案】B 【解析】【分析】构造函数()ln xf x x=，由导数判断函数单调性，进而利用单调性即可求解.【详解】解：令()ln x f x x =，则()21ln xf x x -'=，当0e x <<时，()0f x '>，函数()F x 在()0,e 上单调递增，当e x >时，()0f x '<，函数()f x 在()e,+∞上单调递减，因为765e >>>，所以()()()765f f f <<，因为a ，b ，c 均为区间()0,e 内的实数，且ln 5ln 5a a =，ln 6ln 6b b =，ln 7ln 7c c=，所以()()()f a f b f c >>，所以a b c >>，故选：B.【例5】（2022·江西·高三阶段练习（理））设ln 28a =，21e b =，ln 612c =，则（）A ．a c b <<B ．a b c <<C ．b a c <<D ．c a b<<【答案】B 【解析】【分析】根据a 、b 、c 算式特征构建函数()2ln xf x x =，通过求导确定函数单调性即可比较a 、b 、c 的大小关系.【详解】令()2ln x f x x =，则()42ln 0x x xx x f x '-==⇒=因此()2ln xf x x =在)∞+上单调递减，又因为ln 2ln 4(4)816a f ===，22ln e1=(e)e e b f ==，ln 612c f ===，因为4e >>>a b c <<．故选：B ．【题型专练】1.（2022·四川省资阳中学高二期末（理））若ln212ln3,,29e a b c ===，则（）A ．b a c>>B ．b c a>>C ．a b c >>D ．a c b>>【答案】A 【解析】【分析】令()ln xf x x=，利用导数说明函数的单调性，即可得到函数的最大值，再利用作差法判断a 、c ，即可得解；【详解】解：令()ln x f x x =，则()21ln xf x x-'=，所以当0e x <<时()0f x '>，当e x >时()0f x '<，所以()f x 在()0,e 上单调递增，在()e,+∞上单调递减，所以()()max ln e 1e e e f x f ===，所以1e ln22>又94ln22ln39ln 24ln 3ln 2ln 3ln 512ln 91029181818----===>所以ln22ln329>，即b a c >>.故选：A2.（2022·浙江台州·高二期末）设24ln 4e a -=，ln 22b =，c =，则（）A ．a b c <，可得21ln ()x f x x -'=，所以()0f x '>有0e x <<，则(0,e)上()f x 递增；()0f x '<有e x >，则(e,)+∞上()f x 递减；又2e 43e 2>>>，故c a b >>.故选：B3.（2022·四川广安·模拟预测（理））在给出的（1ln 32）43ln 34<e （3）ee ππ>.三个不等式中，正确的个数为（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【答案】C 【解析】【分析】根据题目特点，构造函数()ln x f x x =，则可根据函数()ln xf x x=的单调性解决问题.【详解】首先，我们来考察一下函数()ln xf x x=，则()21ln xf x x -'=，令()0,f x '>解得0e x <<，令()0,f x '<解得e x >，故()ln xf x x=在区间()0,e 上单调递增，在区间()e,+∞单调递减，所以，（1）ff <ln 3>，则正确；（2）()43e 3f f ⎛⎫< ⎪⎝⎭，即4343lne ln33e <，即43e ln 34⋅>，则错误；（3）()()πf e f >，即e e e e e e ππππππln ln ln ln ln ln >⇒>⇒>，所以，e e ππ>，则正确故选：C.4.（2022·四川资阳·高二期末（文））若ln 33a =，1eb =，3ln 28c =，则（）A ．b a c >>B ．b c a >>C ．c b a >>D ．c a b>>【答案】A 【解析】【分析】设函数ln (),(0)xf x x x=>，求出其导数，判断函数的单调性，由此可判断出答案.【详解】设ln (),(0)x f x x x =>，则21ln ()xf x x -'=，当0e x <<时，()0f x '>，()f x 递增，当e x >时，()0f x '<，()f x 递减，当e x =时，函数取得最小值，由于e 38<<，故lne ln 3ln 8e 38>>，即b a c >>，故选：A5.（2022·山东日照·高二期末）π是圆周率，e 是自然对数的底数，在e 3，3e ，33，e e ，πe ，3π，π3，e π八个数中，最小的数是___________，最大的数是___________.【答案】e e π3【解析】【分析】分别利用指数函数的单调性，判断出底数同为3,e 以及π的数的大小关系，再由幂函数的单调性，找出最小的数，最后利用函数()ln xf x x=的单调性，判断出最大的数．【详解】显然八个数中最小的数是e e .函数3x y =是增函数，且e 3π<<，∴e 3π333<<；函数e x y =是增函数，且e 3π<<，e 3πe e e <<；函数πx y =是增函数，且e 3π<<，e 3ππ<；函数e y x =在()0,∞+是增函数，且e 3π<<，e e e e 3π<<，则八个数中最小的数是e e 函数πy x =在()0,∞+是增函数，且e 3<，ππe 3<，八个数中最大的数为3π或π3，构造函数()ln xf x x=，求导得()21ln xf x x -'=，当()e,x ∈+∞时()0f x '<，函数()f x 在()e,+∞是减函数，()()3πf f >，即ln 3ln π3π>，即πln 33ln π>，即π3ln 3ln π>，π33π∴>，则八个数中最大的数是π3.故答案为：e e ；π3．6.（2022·安徽省宣城中学高二期末）设24ln41,,e ea b c -===,,a b c 的大小关系为（）A ．a b c <，利用导数求得()f x 的单调性和最值，化简可得2e 2a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，(e)b f =，(2)c f =，根据函数解析式，可得ln 4(4)(2)4f f ==且2e e 42<<，根据函数的单调性，分析比较，即可得答案.【详解】设ln ()(0)xf x x x=>，则221ln 1ln ()x xx x f x x x ⋅--'==，当(0,e)x ∈时，()0f x '>，则()f x 为单调递增函数，当(e,)x ∈+∞时，()0f x '<，则()f x 为单调递减函数，所以max 1()(e)ef x f ==，又222222e ln 4ln42(ln e e 2e e e 22ln 2)a f ⎛⎫-==-== ⎪⎝⎭，1(e)e b f ==，1ln 2(2)2c f ===，又2ln 4ln 2ln 2(4)(2)442f f ====，2e e 42<<，且()f x 在(e,)+∞上单调递减，所以2e (2)(4)2f f f ⎛⎫=< ⎪⎝⎭，所以b a c >>.故选：D7.（2022·黑龙江·大庆实验中学高二期末）已知实数a ，b ，c 满足ln ln ln 0e a a b cb c==-<，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．b c a <，构造函数ln (),(0)xf x x x=>，判断01x <<时的单调性，利用其单调性即可比较出a,b 的大小，即可得答案.【详解】由ln ln ln 0e a a b cb c==-<，得01,01,1a b c <<<<>，设ln (),(0)x f x x x =>，则21ln ()xf x x -'=，当01x <<时，()0f x '>，()f x 单调递增，因为01a <<，所以e 1>>a a ，所以ln ln e a aa a>，故()()ln ln ln e =>∴>a a b a f b f a b a ，则b a >，即有01a b c <<<<，故a b c <<.故选：C.题型二：利用常见不等式关系比较大小1、常见的指数放缩：)1();0(1=≥=+≥x ex e x x e xx证明：设()1--=x e x f x，所以()1-='xe xf ，所以当()0,∞-∈x 时，()0<'x f ，所以()x f 为减函数，当当()+∞∈,0x 时，()0>'x f ，所以()x f 为增函数，所以当0=x 时，()x f 取得最小值为()00=f ，所以()0≥x f ，即1+≥x e x2.常见的对数放缩：)(ln );1(1ln 11e x exx x x x x =≤=-≤≤-3.常见三角函数的放缩：x x x x tan sin ,2,0<<⎪⎭⎫⎝⎛∈π【例1】（2022·湖北武汉·高二期末）设4104a =，ln1.04b =，0.04e 1c =-，则下列关系正确的是（）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．c b a>>【答案】D 【解析】【分析】分别令()()e 10xf x x x =-->、()()()ln 10g x x x x =+->、()()()ln 101xh x x x x=+->+，利用导数可求得()0f x >，()0g x <，()0h x >，由此可得大小关系.【详解】令()()e 10xf x x x =-->，则()e 10x f x '=->，()f x ∴在()0,∞+上单调递增，()()00f x f ∴>=，即1x e x ->，则0.04e 10.04->；令()()()ln 10g x x x x =+->，则()11011x g x x x'=-=-<++，()g x ∴在()0,∞+上单调递减，()()00g x g ∴<=，即()ln 1x x +<，则ln1.040.04<；0.04e 1ln1.04∴->，即c b >；令()()()ln 101x h x x x x=+->+，则()()()22110111x h x x x x '=-=>+++，()h x ∴在()0,∞+上的单调递增，()()00h x h ∴>=，即()ln 11xx x+>+，则0.044ln1.04 1.04104>=，即b a >；综上所述：c b a >>.故选：D.【点睛】关键点点睛：本题解题关键是能够通过构造函数的方式，将问题转化为函数值的大小关系的比较问题，通过导数求得函数的单调性后，即可得到函数值的大小.【例2】（2022·山东菏泽·高二期末）已知910a =，19eb -=，101ln 11c =+，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a b c <+≠，从而得到11b a>，设()ln 1g x x x =-+，利用导数得到()ln 11x x x <-≠，从而得到111ln 1010<和c a >，即可得到答案.【详解】解：设()e 1x f x x =--，()e 1xf x '=-，令()0f x ¢=，解得0x =.(),0x ∈-∞，()0f x ¢<，()f x 单调递减，()0,x ∞∈+，()0f x ¢>，()f x 单调递增.所以()()00f x f ≥=，即e 10x x --≥，当且仅当0x =时取等号.所以()e 10xx x >+≠.又1911101e 199b a=>+==，0,0a b >>，故11b a >，所以b a <；设()ln 1g x x x =-+，()111xg x x x-'=-=，令()0g x ¢=，解得1x =.()0,1∈x ，()0g x ¢>，()g x 单调递增，()1,x ∈+∞，()0g x ¢<，()g x 单调递减.所以()()10g x g ≤=，即ln 10x x -+≤，当且仅当1x =时取等号.所以()ln 11x x x <-≠，故11111ln 1101010<-=，又1011011lnln ln ln1011101110c a -=+>+==，所以c a >，故b a c <<.故选：B.【例3】（2022·四川凉山·高二期末（文））已知0.01e a =， 1.01b =，1001ln 101c =-，则（）．A ．c a b >>B ．a c b>>C ．a b c>>D ．b a c>>【答案】C 【解析】【分析】构造函数()e 1x f x x =--，由导数确定单调性，进而即得．【详解】设()e 1x f x x =--，则e ()10x f x '=->，在0x >时恒成立，所以()f x 在(0,)+∞上是增函数，所以e 1(0)0x x f -->=，即e 1x x >+，0x >，∴0.01e 1.01>，又ln1.010>，∴ln1.01e 1ln1.01>+，即1001.011ln 101>-，所以a b c >>．故选：C ．【例4】（2022·四川绵阳·高二期末（理））若8ln 7a =，18=b ,7ln 6c =，则（）A ．a c b <，利用导数分析函数()f x 的单调性，可比较得出a 、b 的大小关系，利用对数函数的单调性可得出c 、a 的大小关系，即可得出结论.【详解】构造函数()1ln 1f x x x=+-，其中1x >，则()221110x f x x x x -'=-=>，所以，函数()f x 在()1,+∞上为增函数，故()()10f x f >=，则88781ln 1ln 077878f ⎛⎫=+-=-> ⎪⎝⎭，即a b >，78lnln 67> ，因此，b a c <<.故选：D.【例5】（2022·全国·高考真题（理））已知3111,cos ,4sin 3244a b c ===，则（）A ．c b a >>B ．b a c>>C ．a b c >>D ．a c b>>【答案】A 【解析】【分析】由14tan 4c b =结合三角函数的性质可得c b >；构造函数21()cos 1,(0,)2f x x x x =+-∈+∞，利用导数可得b a >，即可得解.【详解】因为14tan 4c b =,因为当π0,,sin tan 2x x x x ⎛⎫∈<< ⎪⎝⎭所以11tan44>,即1cb >,所以c b >；设21()cos 1,(0,)2f x x x x =+-∈+∞，()sin 0f x x x '=-+>，所以()f x 在(0,)+∞单调递增，则1(0)=04f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭,所以131cos 0432->，所以b a >,所以c b a >>，故选：A 【题型专练】1.（2022·福建·莆田一中高二期末）设ln1.01a =， 1.0130e b =，1101c =，则（）A ．a b c <），证明ln 1≤-x x ，令 1.01x =，排除选项A,B,再比较,a b 大小，即得解.【详解】解：构造函数()ln 1f x x x =-+（0x >），()10f =，()111xf x x x-'=-=，所以()f x 在()0,1上()0f x '>，()f x 单调递增，()f x 在()1,+∞上()0f x '<，()f x 单调递减，所以max ()(1)0,ln 10,ln 1f x f x x x x ==∴-+≤∴≤-，令 1.01x =，则 ln a x =，30e x b =，11c x=-，考虑到ln 1≤-x x ，可得11ln 1x x ≤-，1ln 1x x -≥-等号当且仅当 1x =时取到，故 1.01x =时a c >，排除选项A ，B.下面比较,a b 大小，由ln 1≤-x x 得 1.01ln1.01 1.0130e<<，故b a >，所以c a b <<.故选：D.2.（2022·吉林·长春市第二中学高二期末）已知1cos 5a =，4950b =，15sin 5=c ，则（）A ．b a c >>B ．c b a >>C ．b c a >>D ．c a b>>【答案】D 【解析】【分析】构造函数21()cos 12f x x x =+-，利用导数求解函数()f x 的单调性，利用单调性进行求解.【详解】解：设21()cos 1,(01)2f x x x x =+-<<，则()sin f x x x '=-，设()sin ,(01)g x x x x =-<<，则()1cos 0g x x '=->，故()g x 在区间(0,1)上单调递增，即()(0)0g x g >=，即()0f x '>，故()f x 在区间(0,1)上单调递增，所以1(0)05f f ⎛⎫>= ⎪⎝⎭，可得149cos 550>，故a b >，利用三角函数线可得0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，tan x x >，所以11tan 55>，即1sin1515cos 5>，所以115sincos 55>，故c a >综上，c a b >>故选：D.3（2022·湖北武汉·高二期末）设4104a =，ln1.04b =，0.04e 1c =-，则下列关系正确的是（）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．c b a>>【答案】D 【解析】【分析】分别令()()e 10xf x x x =-->、()()()ln 10g x x x x =+->、()()()ln 101xh x x x x=+->+，利用导数可求得()0f x >，()0g x <，()0h x >，由此可得大小关系.【详解】令()()e 10xf x x x =-->，则()e 10x f x '=->，()f x ∴在()0,∞+上单调递增，()()00f x f ∴>=，即1x e x ->，则0.04e 10.04->；令()()()ln 10g x x x x =+->，则()11011x g x x x'=-=-<++，()g x ∴在()0,∞+上单调递减，()()00g x g ∴<=，即()ln 1x x +<，则ln1.040.04<；0.04e 1ln1.04∴->，即c b >；令()()()ln 101x h x x x x =+->+，则()()()22110111x h x x x x '=-=>+++，()h x ∴在()0,∞+上的单调递增，()()00h x h ∴>=，即()ln 11xx x+>+，则0.044ln1.04 1.04104>=，即b a >；综上所述：c b a >>.故选：D.题型三：构造其它函数比大小（研究给出数据结构，合理构造函数）【例1】（2022·河南河南·高二期末（理））已知1ln 22a a -=，1ln 33b b -=，e ln e cc -=，其中12a ≠，13b ≠，e c ≠，则a ，b ，c 的大小关系为（）．A ．c a b <，并求()f x '，利用函数()f x 的图象去比较a b c 、、三者之间的大小顺序即可解决.【详解】将题目中等式整理，得11ln ln 22a a -=-，11ln ln 33b b -=-，ln e ln e c c -=-，构造函数()()ln 0f x x x x =->，()111x f x x x-'=-=，令()0f x '=，得1x =，所以()f x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，函数()f x 的大致图象如图所示．因为()12f a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()13f b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()()e f c f =，且12a ≠，13b ≠，e c ≠，则由图可知1b a >>，01c <<，所以c a b <<．故选：A ．【例2】（2022·重庆市万州第二高级中学高二阶段练习）设 1.01e a =，3eb =，ln 3c =，其中e 为自然对数的底数，则a ，b ，c 的大小关系是（）A ．b a c >>B ．c a b>>C ．a c b>>D ．a b c>>【答案】D 【解析】【分析】可判断 1.012e a =>，e32b =<，ln 32c =<，再令()ln exf x x =-，[e x ∈，)∞+，求导判断函数的单调性，从而比较大小．【详解】解： 1.012e a =>，e 32b =<，ln 32c =<，令()ln exf x x =-，[e x ∈，)∞+，11()0e e e x f x x x-'=-=<，故()f x 在[e ，)∞+上是减函数，故()()e 3f f <，即3ln 30e-<，故 1.013l e e n 3<<，即c b a <<，故选：D ．【例3】（2022·全国·高三专题练习）已知ln 32a =，1e 1b =-，ln 43c =，则a ，b ，c 的大小关系是（）A ．b a c >>B ．b c a >>C ．c a b >>D ．c b a>>【答案】A 【解析】【分析】根据给定条件构造函数ln ()e)1xf x x x =≥-，再探讨其单调性并借助单调性判断作答.【详解】令函数ln ()(e)1x f x x x =≥-，求导得()211ln ()1x x f x x --'=-，令()11ln g x x x =--，则()210,(e)xg x x x -'=<≥，故()11ln g x x x =--，(e)x ≥单调递减，又()111ln101g =--=，故()0,(e)g x x <≥，即()0,(e)f x x '<≥，而e 34<<，则(e)(3)(4)f f f >>，即1ln 3ln 4e 123>>-，所以b a c >>，故选：A【例4】（山东省淄博市2021-2022学年高二下学期期末数学试题）设110a =，ln1.1b =，910ec -=，则（）A ．a b c <<B ．c a b <<C ．b c a <<D ．b a c<<【答案】D 【解析】【分析】利用指数函数的性质可比较,a c 的大小，再构造函数()ln(1)f x x x =-+，利用导数判断函数的单调性，再利用其单调性可比较出,a b ，从而可比较出三个数的大小【详解】因为e x y =在R 上为增函数，且9110-<-，所以9110e e --<，因为11e 10-<，所以9101e 10-<，即a c <，令()ln(1)f x x x =-+（0x >），得1()1011xf x x x'=-=>++，所以()f x 在(0,)+∞上递增，所以()(0)0f x f >=，所以ln(1)x x >+，令0.1x =，则0.1ln1.1>，即1ln1.110>，即a b >，所以b a c <<，故选：D【例5】（2022·四川南充·高二期末（理））设0.010.01e a =，199b =，ln 0.99c =-，则（）A ．c a b <>，则ln ln ln [ln ln(1)]ln(1)y t x x x x x x -=+---=+-，令()ln(1)f x x x =+-，1)x ∈-，求导得1()1011x f x x x '=+=<--，即()f x 在1)-上单调递减，1)x ∀∈，()(0)0f x f <=，即ln ln y t y t <⇔<，因此当1)x ∈时，e 1xx x x<-，取0.01x =，则有0.010.0110.01e10.0199a b =<==-，令()e ln(1)xg x y u x x =-=+-，1)x ∈-，21(1)e 1()(1)e 11x xx g x x x x -+'=++=--，令2()(1)e 1x h x x =-+，1)x ∈，2()(21)e 0x h x x x '=+-<，()h x在1)-上单调递减，1)x ∀∈，()(0)0h x h <=，有()0g x '>，则()g x 在1)上单调递增，1)x ∀∈，()(0)0g x g >=，因此当1)x ∈时，e ln(1)x x x >--，取0.01x =，则有0.010.01e ln(10.01)ln 0.99a c =>--=-=，所以c a b <<.故选：A 【点睛】思路点睛：涉及某些数或式大小比较，探求它们的共同特性，构造符合条件的函数，利用函数的单调性求解即可.【例6】（2022·全国·高三专题练习）已知0.3πa =，20.9πb =，sin 0.1c =，则a ，b ，c 的大小关系正确的是（）A ．a b c >>B ．c a b>>C ．a c b>>D ．b a c>>【答案】B 【解析】【分析】作差法比较出a b >，构造函数，利用函数单调性比较出c a >，从而得出c a b >>.【详解】2220.30.90.3π0.90.330.90ππππa b -⨯--=-=>=，所以0a b ->，故a b >，又()πsin 3f x x x =-，则()πcos 3f x x '=-在π0,6x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上单调递减，又()0π30f '=->，π306f ⎛⎫'=-< ⎪⎝⎭，所以存在0π0,6x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00f x '=，且在()00,x x ∈时，()0f x '>，在0π,6x x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，即()πsin 3f x x x =-在()00,x x ∈上单调递增，在0π,6x x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭单调递减，且ππ30124f ⎛⎫'=-> ⎪⎝⎭，所以0π12x >，又因为()00f =，所以当()00,x x ∈时，()πsin 30f x x x =->，其中因为1π1012<，所以()010,10x ∈，所以1πsin 0.10.3010f ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，故sin 0.10.3π>，即c a b >>.故选：B【例7】（2022·河南洛阳·三模（理））已知108a =，99b =，810c =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．b c a >>B ．b a c >>C ．a c b >>D ．a b c>>【答案】D 【解析】【分析】构造函数()()18ln f x x x =-，8x ≥，求其单调性，从而判断a ，b ，c 的大小关系.【详解】构造()()18ln f x x x =-，8x ≥，()18ln 1f x x x+'=--，()18ln 1f x x x+'=--在[)8,+∞时为减函数，且()295558ln 81ln 8ln e 204444f =-+-=-<-=-<'，所以()18ln 10f x x x=-+-<'在[)8,+∞恒成立，故()()18ln f x x x =-在[)8,+∞上单调递减，所以()()()8910f f f >>，即10ln89ln 98ln10>>，所以10988910>>，即a b c >>.故选：D 【点睛】对于指数式，对数式比较大小问题，通常方法是结合函数单调性及中间值比较大小，稍复杂的可能需要构造函数进行比较大小，要结合题目特征，构造合适的函数，通过导函数研究其单调性，比较出大小.【例8】（2022·河南·模拟预测（理））若0.2e a =，b =ln 3.2c =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．c b a>>【答案】B 【解析】构造函数()()e 10xf x x x =-->，利用导数可得0.2e 1.2b a >>=，进而可得 1.2e 3.2>，可得a c >，再利用函数()()21ln 1x g x x x -=-+，可得ln 3.2 1.1>，即得.【详解】令()()e 10xf x x x =-->，则()e 10x f x '=->，∴()f x 在()0,∞+上单调递增，∴0.20.21 1.2e a b >+=>=，0.2 1.21.e ln 2e a >==，ln 3.2c =，∵()()()6551.262.7387.4,3.2335.5e e >≈≈=，∴ 1.2e 3.2>，故a c >，设()()21ln 1x g x x x -=-+，则()()()()()22221211011x xx g x x x x x +--=-=≥++'，所以函数在()0,∞+上单调递增，由()10g =，所以1x >时，()0g x >，即()21ln 1x x x ->+，∴()()22121.6155ln 3.2ln 2ln1.611 1.1211.613950--=+>+=>=++，又1 1.2 1.21,1 1.1b <<<<，∴ 1.1c b >>，故a c b >>.故选：B.【点睛】本题解题关键是构造了两个不等式()e 10xx x >+>与()21ln (1)1x x x x ->>+进行放缩，需要学生对一些重要不等式的积累.【题型专练】1（2022·山东烟台·高二期末）设a =0.9，b =9ln e10c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．b c a >>B ．b a c >>C ．c b a >>D ．c a b>>【答案】B【分析】构造函数()ln 1f x x x =--，()g x x =-.【详解】令()ln 1f x x x =--，因为11()1x f x x x'-=-=所以，当01x <<时，()0f x '<，()f x 单调递减，所以(0.9)0.9ln 0.91(1)0f f =-->=，即90.9ln 0.91ln(e)10>+=，a c >；令()g x x =()1g x '=-所以，当114x <<时，()0g x '>，()g x 单调递增，所以(0.9)(1)g g <，即0.90<，0.9a b <.综上，c a b <<.故选：B2.（2022·山东青岛·高二期末）已知ln 3a π=，2b =，1sin 0.042c ⎫=-⎪⎪⎭，则a ，b ，c 的大小关系是（）A ．c b a >>B ．a b c>>C ．b a c>>D ．a c b>>【答案】C 【解析】【分析】构造函数得出,a b 大小，又0c <即得出结论.【详解】构造函数()()()2ln 212ln 1f x x x x x =--=-+，则a b f -=，()1210f x x ⎛⎫'=-< ⎪⎝⎭在()1,+∞上恒成立，则()y f x =在()1,+∞上单调递减，故()10a b f f -=<=，则0b a >>，()π103x x =+>，则()π30121100433.x .-+-=>=，由对于函数()πsin 02g x x x x ⎛⎫=<< ⎪⎝⎭-，()πcos 1002g x x ,x ⎛⎫'=<<< ⎪⎝⎭-恒成立，所以，()()sin 00g x x x g =<=-即sin x x <在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上恒成立.所以，1sin0.04sin sin 02x x x ⎫<=<-<⎪⎭（注：004009020305.x .,...<<<<）所以，b a c >>故选：C3.（2022·湖北襄阳·高二期末）设253e 4a =，342e 5b =，35c =，则（）A ．b c a < ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即可判断出a b >.记()()e 2,01xg x x x =-<<，推理判断出b c >.【详解】24452533e23e 542e e 534a b ==.记()()e ,01x f x x x =<<，则()()2e 10x xf x x -'=<，所以()e xf x x =在()0,1上单调递减.所以2354f f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以a b >.433422e e 5325354b c ⎛⎫-= ⎪⨯⎝--⎭=.记()()e 2,01x g x x x =-<<，则()e 2xg x '=-.所以在()0,ln 2x ∈上，()0g x '<，则()g x 单调递减；在()ln 2,1x ∈上，()0g x '>，则()g x 单调递增；所以()()()ln 2min ln 2e 2ln 221ln 20g x g ==-⨯=->，所以()min 304g g x ⎛⎫>> ⎪⎝⎭，即3422e 0534b c ⨯⎛⎫-> ⎪⎝⎭=-.所以b c >.综上所述：c b a <<.故选：C4.（2022·福建宁德·高二期末）已知a ，R b ∈，且221a b >>，则（）A ．ln ln a b a b -<-e eB ．ln ln b a a b <C ．e a b ba->D ．sin sin 1a ba b-<-【答案】D 【解析】【分析】由题设有0a b >>，分别构造e ln x y x =-、ln xy x=、e x y x =、sin y x x =-，利用导数研究在,()0x ∈+∞上的单调性，进而判断各项的正误.【详解】由221a b >>，即0a b >>，A ：若e ln x y x =-且,()0x ∈+∞，则1e xy x'=-，故12|20x y ='=-<，1|e 10x y ='=->，即y '在1(,1)2上存在零点且y '在(0,)+∞上递增，所以y 在(0,)+∞上不单调，则e ln e ln a b a b -<-不一定成立，排除；B ：若ln x y x =且,()0x ∈+∞，则21ln xy x -'=，所以(0,e)上0y '>，y 递增；(e,)+∞上0y '<，y 递减；故y 在(0,)+∞上不单调，则ln ln a ba b<不一定成立，排除；C ：若e x y x =且,()0x ∈+∞，则e (1)0x y x '=+>，即y 在(0,)+∞上递增，所以e e a b a b >，即e a b ba-<，排除；D ：若sin y x x =-且,()0x ∈+∞，则1cos 0y x '=-≥，即y 在(0,)+∞上递增，所以sin sin a a b b ->-，即sin sin 1a ba b-<-，正确.故选：D5.（2022·贵州贵阳·高二期末（理））设 1.01e a =，3eb =，ln3c =，则a ，b ，c 的大小关系是（）A ．b a c >>B ．c a b>>C ．a c b >>D ．a b c>>【答案】D 【解析】【分析】分析可得2a >，(1,2)b ∈，(1,2)c ∈，令()ln ,[e,)e xf x x x =-∈+∞，利用导数可得()f x 的单调性，根据函数单调性，可比较ln 3和3e的大小，即可得答案.【详解】由题意得 1.011e e 2a =>>，3(2e 1,)b =∈，ln 3(1,2)c =∈，令()ln ,[e,)exf x x x =-∈+∞，则11e ()0e ex f x x x -'=-=≤，所以()f x 在[e,)+∞为减函数，所以(3)(e)f f <，即3eln 3ln e 0e e-<-=，所以3ln 3e<，则 1.013e ln 3e >>，即a b c >>.故选：D6.（2022·重庆南开中学高二期末）已知6ln1.25a =，0.20.2e b =，13c =，则（）A ．a b c <<B ．c b a <<C ．c a b <<D ．a c b<<【答案】A 【解析】【分析】0.20.20.20.2e e ln e b ==，令()ln f x x x =，利用导数求出函数()f x 的单调区间，令()e 1xg x x =--，利用导数求出函数()g x 的单调区间，从而可得出0.2e 和1.2的大小，从而可得出,a b 的大小关系，将,b c 两边同时取对数，然后作差，从而可得出,b c 的大小关系，即可得出结论.【详解】解：0.20.20.20.2e e ln e b ==，6ln1.2 1.2ln1.25a ==，令()ln f x x x =，则()ln 1f x x '=+，当10ex <<时，()0f x '<，当1e x >时，()0f x '>，所以函数()f x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上递减，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上递增，令()e 1xg x x =--，则()e 1x g x '=-，当0x <时，()0g x '<，当0x >时，()0g x '>，所以函数()g x 在(),0∞-上递减，在()0,∞+上递增，所以()()0.200g g >=，即0.21e10.2 1.2e>+=>，所以()()0.2e 1.2f f >，即0.20.2e e 1.22ln ln1.>，所以b a >，由0.20.2e b =，得()0.211ln ln 0.2e ln 55b ==+，由13c =，得1ln ln 3c =，11151ln ln ln ln ln 35535c b -=--=-，因为55625510e 3243⨯⎛⎫=>> ⎪⎝⎭，所以155e 3>，所以51ln 35>，所以ln ln 0c b ->，即ln ln c b >，所以c b >，综上所述a b c <<.故选：A.【点睛】本题考查了比较大小的问题，考查了同构的思想，考查了利用导数求函数的单调区间，解决本题的关键在于构造函数，有一定的难度.7.（2022·湖北恩施·高二期末多选）已知212ln 204a a -=>，22122ln 0eb b --=>，221ln 303c c -=>，则（）A ．c b >>，对三个式子变形可得2211ln ln 44a a -=-，222211ln ln e eb b -=-，2211ln ln 33c c -=-，设函数()ln f x x x =-，则()111x f x x x-'=-=.由()0f x ¢>，得1x >；由()0f x <，得01x <<,则()f x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，因为211101e 43<<<<，所以222b a c >>,所以c a b <<.故选：AC.8.（2022·安徽·歙县教研室高二期末）已知01x y z ∈、、（，），且满足2e 2e x x =，3e 3e y y =，4e 4e z z =，则（）A ．x y z <<B ．x z y<<C ．z y x<<D ．z x y<<【答案】C 【解析】【分析】先对已知条件取对数后得到ln ln22x x -=-，ln ln33y y -=-，ln ln44z z -=-.根据式子结构，构造函数()ln m x x x =-，利用导数判断单调性，比较大小.【详解】由2e 2e x x =得2ln ln2,x x +=+即ln ln22x x -=-.同理得：ln ln33y y -=-，ln ln44z z -=-.令()ln ,m x x x =-则()111xm x x x-=-='.故()m x 在()0,1上单调递增，1∞+（，）上单调递减.所以z y x <<.故选：C.。

专题12 指、对数函数比较大小-2021年高考数学(理)母题题源解密(解析版)

专题12 指、对数函数比较大小【母题原题1】【2020年高考全国Ⅲ卷，理数】已知55<84，134<85．设a =log 53，b =log 85，c =log 138，则（） A. a ，综合可得出a 、b 、c 的大小关系.【详解】由题意可知a 、b 、()0,1c ∈，()222528log 3lg 3lg81lg 3lg8lg 3lg8lg 241log 5lg 5lg 522lg 5lg 25lg 5a b ⎛⎫⎛⎫++⎛⎫==⋅<⋅==< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，a b ∴<；由8log 5b =，得85b =，由5458<，得5488b <，54b ∴<，可得45b <；由13log 8c =，得138c =，由45138<，得451313c <，54c ∴>，可得45c >. 综上所述，a b c <<. 故选：A.【点睛】本题考查对数式的大小比较，涉及基本不等式、对数式与指数式的互化以及指数函数单调性的应用，考查推理能力，属于中等题.【母题原题2】【2019年高考全国Ⅲ卷理数】设()f x 是定义域为R 的偶函数，且在()0,+∞单调递减，则A ．f （log 314）＞f （322-）＞f （232-）B ．f （log 314）＞f （232-）＞f （322-）C ．f （322-）＞f （232-）＞f （log 314）D ．f （232-）＞f （322-）＞f （log 314）【答案】C 【解析】()f x 是定义域为R 的偶函数，331(log )(log 4)4f f ∴=．223303322333log 4log 31,1222,log 422---->==>>∴>>，又()f x 在(0，+∞)上单调递减，∴23323(log 4)22f f f --⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即23323122log 4f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选C ．【名师点睛】本题主要考查函数的奇偶性、单调性，先利用函数的奇偶性化为同一区间，再利用中间量比较自变量的大小，最后根据单调性得到答案．【母题原题3】【2018年高考全国Ⅲ卷理数】设0.2log 0.3a =，2log 0.3b =，则A ．0a b ab +<<，0ab ∴<，∴0ab a b <+<．故选B ．【名师点睛】本题主要考查对数的运算和不等式，属于中档题.【命题意图】主要考查数形结合思想、分类讨论思想的运用和考生的逻辑推理能力、数学运算能力．【命题规律】在高考中的考查热点有：（1）比较指、对数式的大小；（2）指、对数函数的图象与性质的应用；（3）以指、对数函数为载体，与其他函数、方程、不等式等知识的综合应用．以选择题和填空题为主，难度中等．【答题模板】1．比较指数幂大小的常用方法一是单调性法，不同底的指数函数化同底后就可以应用指数函数的单调性比较大小，所以能够化同底的尽可能化同底；二是取中间值法，不同底、不同指数的指数函数比较大小时，先与中间值（特别是0，1）比较大小，进而得出大小关系；三是图解法，根据指数函数的特征，在同一平面直角坐标系中作出它们相应的函数图象，借助图象比较大小．2．比较对数值大小的类型及相应方法【方法总结】1．指数函数图象的特点（1）任意两个指数函数的图象都是相交的，过定点（0，1），底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y轴对称．（2）当a>1时，指数函数的图象呈上升趋势；当0<a<1时，指数函数的图象呈下降趋势．（3）指数函数在同一坐标系中的图象的相对位置与底数大小关系如图所示，其中0<c<d<1<a<b，在y 轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小，在y轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小，即无论在y轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大．2．对数函数图象的特点（1）当a >1时，对数函数的图象呈上升趋势；当0<a <1时，对数函数的图象呈下降趋势．（2）对数函数y =log a x （a >0，且a ≠1）的图象过定点（1，0），且过点（a ，1），（1a ，-1），函数图象只在第一、四象限．（3）在直线x =1的右侧：当a >1时，底数越大，图象越靠近x 轴；当0<a <1时，底数越小，图象越靠近x 轴，即“底大图低”．3．解决对数型复合函数的单调性问题的步骤（1）求出函数的定义域；（2）判断对数函数的底数与1的大小关系，当底数是含字母的代数式（包含单独一个字母）时，要考查其单调性，就必须对底数进行分类讨论；（3）判断内层函数和外层函数的单调性，运用复合函数“同增异减”原则判断函数的单调性．研究对数型复合函数的单调性，一定要坚持“定义域优先”原则，否则所得范围易出错．1．（2020·广西壮族自治区高三月考（文））已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≤时，()f x 单调递增，则（）.A ．()()93log 4(1)log 4f f f >>B ．()()93log 4(1)log 4f f f <<C ．()()93(1)log 4log 4f f f >>D ．()()93(1)log 4log 4f f f <<【答案】B 【解析】【分析】根据函数()f x 的单调性和奇偶性可知()f x 是R 上的单调增函数，只需根据对数函数的单调性比较9log 4，1，3log 4的大小即可得到答案.【详解】因为函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≤时，()f x 单调递增，所以()f x 在R 上单调递增，因为99log 4log 91<=，331log 3log 4=<，所以93log 41log 4<<，所以()()93log 4(1)log 4f f f <<. 故选B.【点睛】本题考查函数的性质，对数函数的单调性的应用，考查数学抽象与逻辑推理的核心素养. 2．（2020·广西壮族自治区高三其他（文））已知0.2log 2a =，20.2b =，0.23c =，则（） A ．a b c <，所以a b c <<，故选A .【点睛】利用指数函数对数函数及幂函数的性质比较实数或式子的大小，一方面要比较两个实数或式子形式的异同，底数相同，考虑指数函数增减性，指数相同考虑幂函数的增减性，当都不相同时，考虑分析数或式子的大致范围，来进行比较大小，另一方面注意特殊值0,1的应用，有时候要借助其“桥梁”作用，来比较大小．3．（2020·广西壮族自治区田阳高中高二月考（理））已知0.64a =， 1.12b =，4log 12c =，则（） A ．c b a <>，即可得出a 、b 、c 三个数的大小关系.【详解】指数函数2xy =为增函数，则 1.2 1.1222a b =>=>，对数函数4log y x =是()0,∞+上的增函数，则44log 12log 162c =<=，因此，c b a <<. 故选A.【点睛】本题考查指数与对数的大小比较，一般利用指数函数与对数函数的单调性，结合中间值法来得出各数的大小关系，考查推理能力，属于中等题.4．（2020·广西壮族自治区田阳高中高二月考（文））已知20.8a =，0.82b =，2log 0.8c =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a b c >>B ． a c b >>C ． b a c >>D ． c a b >>【答案】C 【解析】【分析】把各数与中间值0，1比较即得．【详解】200.81<<，0.821>，2log 0.80<，∴c a b <<．故选C ．【点睛】本题考查幂和对数的比较大小，掌握指数函数和对数函数的性质是解题关键．不同底的幂或对数解题时可借助于中间值0，1等比较大小．5．（2020·广西壮族自治区桂平市第五中学高三月考（文））已知()12log ,02,0x x x f x x >⎧⎪=⎨⎪≤⎩，()()2a f f =-，ln π2b =，lncos5c =，则a ，b ，c 的大小关系是（）A ．a b c >>B ．b c a >>C ．b a c >>D ．c a b >>【答案】C 【解析】【分析】根据对数运算和指数运算比较大小即可.【详解】解：由题设知，()()12112log 244a f f f ⎛⎫=-=== ⎪⎝⎭，ln π1>，∴ln π22b =>，又0cos51<<， ∴lncos50c =<，则b a c >>.故选C.【点睛】本题考查对数运算和指数运算，结合对数函数，指数函数及余弦函数的性质，属于基础题. 6．（2020·广西壮族自治区南宁三中高三期末（文））已知ln 2a =，ln b π=，125ln 24c =，则a ，b ，c 的大小关系为（） A ．b c a << B ．c a b << C ．a b c << D ．a c b <<【答案】D 【解析】【分析】化简c ,利用对数函数的单调性，即可得出结论. 【详解】因为12125255ln ln ln 2442c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，又因为ln y x =在(0,)+∞上单调递增，且522π<<，所以a c b <<. 故选:D.【点睛】本题考查对数的简单运算，考查利用函数的单调性比较函数值的大小，属于基础题. 7．（2020·湖南省高三一模（理））已知函数()y f x =在区间(),0-∞内单调递增，且()()f x f x -=，若12log 3a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()1.22b f -=，12c f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a 、b 、c 的大小关系为（）A ．a c b >>B ．b c a >>C ．b a c >>D ．a b c >>【答案】B 【解析】【分析】由偶函数的性质可得出函数()y f x =在区间()0,∞+上为减函数，由对数的性质可得出12log 30<，由偶函数的性质得出()2log 3a f =，比较出2log 3、 1.22-、12的大小关系，再利用函数()y f x =在区间()0,∞+上的单调性可得出a 、b 、c 的大小关系.【详解】()()f x f x -=，则函数()y f x =为偶函数，函数()y f x =在区间(),0-∞内单调递增，在该函数在区间()0,∞+上为减函数，1122log 3log 10<=，由换底公式得122log 3log 3=-，由函数的性质可得()2log 3a f =，对数函数2log y x =在()0,∞+上为增函数，则22log 3log 21>=，指数函数2xy =为增函数，则 1.2100222--<<<，即 1.210212-<<<， 1.22102log 32-∴<<<，因此，b c a >>. 【点睛】本题考查利用函数的奇偶性与单调性比较函数值的大小关系，同时也考查了利用中间值法比较指数式和代数式的大小关系，涉及指数函数与对数函数的单调性，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.8．（2020·广西壮族自治区高三三模（文））已知函数()1112xf x e =-+，若()1.32a f =，()0.74b f =，()3log 8c f =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．c a b <<B ．a c b <<C ．b a c <<D ．a b c <<【答案】C 【解析】【分析】由指数函数的性质，求得函数()f x 是减函数，再利用指数函数与对数函数的性质，得到1.30.73log 824<<，即可求解.【详解】由指数函数的性质，可得函数e 1xy =+为单调递增函数，可得函数()1112xf x e =-+是定义域R 上的单调递减函数，又因为 1.31.40.73log 82224<<<=，所以()()()0.7 1.3342log 8f f f <<，所以b a c <<. 故选C .【点睛】本题主要考查了函数的单调性的应用，以及指数式与对数式的比较大小，其中解答中根据指数函数与对数函数的性质，得到自变量的大小关系是解答的关键，着重考查了推理与计算能力. 9．（2020·广西壮族自治区南宁三中高三月考（理））已知13(ln 2)a =，13(ln 3)b =，21log 3c =，则a ，b ，c 的大小关系是（）.A ．a b c <，∴1b >， ∵221log log 313=-<-，∴0c <， ∴c a b <<，故选B ．【点睛】本题考查三个数的大小的求法，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数的性质的合理运用，属于基础题.10．（2020·四川省金堂中学校高三一模（文））若a ，b ，c 满足23a =，2log 5b =，32c =.则（）A ．c a b <，∴2b >，32c =，01323<<，∴01c <<，∴c a b <<，故选A.【点睛】本题考查了指数函数和对数函数的单调性，考查了计算能力和推理能力，属于基础题. 11．（2020·四川省绵阳南山中学高三一模（理））已知0.50.70.70.7,0.5,log 0.5a b c ===，则a ，b ，c 的大小关系为（） A ．a b c <，所以0.500.00.771<<=，即01a <<，同理可得01b <<，因为0.50.500.7.50.5,0.700..55<>，所以0.50.710.70.50>>>，即10a b >>>，因为0.7log y x =在(0,)+∞上为减函数，且0.70.50>>，所以0.70.7log 0.5log 0.71>=，即1c >，所以b a c <<，故选B【点睛】此题考查指数和对数大小的比较，采取了中间量法，利用了转化与化归的思想，属于基础题.12．（2020·四川省成都外国语学校高二期中（理））已知实数ln22a =，22ln2b =+，2(ln2)c =，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．c a b << B ．c b a << C ．b a c << D ．a c b <<【答案】A 【解析】【分析】先判断ln2的大小范围，然后判断三个数的大小关系．【详解】解：因为0ln21<<所以1＜ln 22＜2，2+2ln2＞2，0＜2(ln2)＜1，∴c ＜a ＜b ．故选A ．【点睛】本题考查了有关对数式的大小比较．13．（2020·四川省绵阳南山中学高三一模（文））已知5log 312a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，5log 314b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，5log 0.12c =，则（）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c b a >>D ．a c b >>【答案】A 【解析】【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可求解.【详解】5log 312a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，555log 32log 3log 9111422b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，5555101log log log 0.1lo 10g 122212c -⎛⎫=== ⎪⎝⎭=，由5log y x =在定义域内单调递增，则555log 10log 9log 3>>，又12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭单调递减，所以555log 10log 9log 3111222⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以a b c >>. 故选A【点睛】本题考查了指数函数、对数函数的单调性比较指数式、对数式的大小，需掌握指数函数、对数函数的图像与性质，属于基础题.14．（2020·四川省南充市第一中学高二期中（理））设0.40.831.2, 1.2,log 2a b c ===，则,,a b c 的大小关系是（） A ．b c a >> B ．b a c >> C ．c b a >> D ．a b c >>【答案】B 【解析】【分析】由函数的单调性及与中间值“1”的大小关系，即可得到本题答案.【详解】由 1.2xy =在区间(,)-∞+∞是单调增函数，得0.80.401.2 1.2 1.21>>=，又因为33log 2log 31c =<=，所以b a c >>. 故选B.【点睛】本题主要考查指数、对数比较大小的问题，利用函数的单调性及中间值“1”是解决此题的关键. 15．（2020·四川省高三三模（文））已知a =log 20.2,b =20.2,c =0.20.3，则A ．a 20=1, 0<0.20.3<0.20=1,则0<c <1,a <c >B ．b a c >>C ．a b c >>D ．a c b >>【答案】C【解析】由于020181a >=，000.21b <<=，2018log 10c <=，故a b c >>.故选C . 17．（2020·西昌市第二中学高三二模（理））已知2log 3a =，ln3b =，123c -=，则（）A ．a b c <>，又102331c -=<=，所以1c b a <<<. 故选D.【点睛】本题考查了指数函数、对数函数单调性的应用，考查了指数式、对数式的大小比较与推理能力，属于基础题.18．（2020·四川省棠湖中学高三一模（文））已知0.250.5log 2,1og 0.2,0.5a b c ===，则（）A ．a ＜b ＜cB ．a ＜c ＜bC ．b ＜a ＜cD ．c ＜a ＜b【答案】B 【解析】【分析】利用对数函数和指数函数的性质求解.【详解】555log 1log 2log <<∴102a <<，2221og 1og 54>=，∴2b >， 10.200.50.50.5<<，∴112c <<， ∴a c b <<，故选B.【点睛】本题考查指数式和对数式的大小比较，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意中间变量的引入.19．（2020·四川省阆中中学高三二模（理））已知5log 2a =，0.5log 0.2b =，0.20.5c =，则,,a b c 的大小关系为（） A ．a c b <=， 10.200.50.50.5<<，故112c <<，所以a c b <<．故选A ．【点睛】本题考查大小比较问题，关键选择中间量和函数的单调性进行比较．20．（2020·四川省高三三模（理））已知函数(1)=-y f x 的图象关于直线1x =对称，且当(0,)x ∈+∞时，ln ()x f x x =.若2e a f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，(2)b f =，23c f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系是( ) A ．b a c >> B ．a b c >>C ．a c b >>D ．c b a >>【答案】D 【解析】【分析】根据函数图象平移的性质判断出函数()y f x =的对称性，结合导数判断出函数()y f x =在(1,)x e ∈时的单调性，最后利用单调性，结合对数的运算性质和对数函数的单调性进行大小比较即可.【详解】因为函数(1)=-y f x 的图象向左平移1个单位长度，得到()y f x =的图象，而函数(1)=-y f x 的图象关于直线1x =对称，所以()y f x =的图象关于0x =对称，即关于纵轴对称，因此()y f x =是偶函数.因此22e e a f f ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当(1,)x e ∈时，'2ln ln 1ln ()()x x xf x f x x x x -==⇒=，因为(1,)x e ∈，所以ln 1x <，即'()0f x >，所以()y f x =在(1,)x e ∈时，单调递增，因为122e e <<<，所以()(2)2ef f <，即b a > 32ln232121273ln ln()ln 232323283c f -⎛⎫===-== ⎪⎝⎭，ln 21(2)ln 222b f ===，因为2728>，所以c b >，即c b a >>. 故选D【点睛】本题考查了利用函数单调性比较函数值大小问题，考查了导数的应用，考查了对数函数的性质，考查了数学运算能力.21．（2020·贵州省高三其他（文））已知2log 0.7a =，0.12b =，ln 2c =，则( )A ．b c a <=，ln1ln 2ln 1c e <=<=，所以a c b <<. 故选B.【点睛】本题考查了利用指数函数和对数函数的单调性比较大小，找中间量0和1进行比较是关键，属于基础题.22．（2020·贵州省高三其他（文））若0.32=a ，2log 0.3b =，3log 2c =，则实数a ，b ，c 之间的大小关系为( ) A ．a b c >> B ．a c b >>C ．c a b >>D ．b a c >>【答案】B【解析】【分析】由已知，将a ，b ，c 与0和1比较得出结果.【详解】解：由题意可知0.30221a =>=，122log 0.3log 21b -=<=-，330log 2log 31c <=<=，∴a c b >>.故选B.【点睛】本题考查对数比较大小，属于基础题.23．（2020·嘉祥县第一中学高三三模）若x ∈（0，1），a ＝lnx ，b ＝ln 12x⎛⎫ ⎪⎝⎭，c ＝e lnx ，则a ，b ，c 的大小关系为（） A ．b ＞c ＞a B ．c ＞b ＞aC ．a ＞b ＞cD ．b ＞a ＞c【答案】A 【解析】【分析】利用指数函数、对数函数的单调性直接求解．【详解】∵x ∈（0，1）， ∴a ＝lnx ＜0， b ＝（12）lnx ＞（12）0＝1， 0＜c ＝e lnx ＜e 0＝1，∴a ，b ，c 的大小关系为b ＞c ＞a ．故选A ．【点睛】本题考查三个数的大小的判断，考查指数函数、对数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．24．（2020·贵州省凯里一中高三月考（理））已知,,a b c 均为正实数，若122log aa -=，122log bb -=，21log 2cc ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（） A ．c a b << B ．c b a << C ．a b c << D ．b a c <<【答案】C 【解析】【分析】画出函数2xy =，12log xy =，12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭，2log y x =的图像，根据图像得到答案.【详解】122log aa =，121log 2b b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，21log 2cc ⎛⎫= ⎪⎝⎭，利用函数2xy =，12log xy =，12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭，2log y x =，如图所示：由图象可得：a b c <<，故选C.【点睛】本题考查了比较方程的解的大小关系，画出函数图像是解题的关键. 25．（2020·贵州省高三月考（理））已知132a -=， 21log 3b =， 131log 4c =，则（）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c b a >>D ．c a b >>【答案】D 【解析】131218a -==<， 21log 03b =<， 1331log log 414c ==>，所以c a b >>. 故选D.26．（2020·云南省云南师大附中高三月考（理））设2log 0.2a =，0.5log 3b =，154c=，则a ，b ，c 的大小关系是（） A ．c a b >> B ．c b a >>C ．b a c >>D ．a b c >>【答案】B 【解析】【分析】根据对数的性质，把2log 0.2a =和0.5log 3b =缩小范围，和中间值0、1、2、3比较，把154c=两边取以5为底的对数表示出c ，缩小c 的范围，最后比较大小. 【详解】解：∵2221log 0.2log log 55a ===-，22log 53<<，∴32a -<<-， ∵0.5122log 3log 3log 3b ===-，21log 32<<，∴21b -<<-； ∵154c=，∴551log log 44c ==-，50log 41<<，∴10c -<<. ∴c b a >>，故选B ．【点睛】考查对数值、幂值的大小比较，借助于中间值0、1、2、3以及一些特殊值是解决这类题的关键，基础题.27．（2020·云南省高三其他（文））已知352a =，253b =，135c -=，则（） A ．b a c <即得解. 【详解】由题得1305222,12a <∴<<<.120533,1b 33<∴<<<.352b a b a ===∴< 30151,15c -<=∴<.所以c a b <<. 故选D【点睛】本题主要考查指数函数幂函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 28．（2020·云南省下关第一中学高一期末）已知a =log 20.3，b =20.1，c =0.21.3，则a ，b ，c 的大小关系是（）A ．a b c <=<=<=∴<<，，，故选D ．【点睛】本题考查对数的性质，考查指数的性质，考查比较大小，在比较大小时，若所给的数字不具有相同的底数，需要找一个中间量，把要比较大小的数字用不等号连接起来．29．（2020·四川省泸县五中高三月考（文））0.70.60.7log 6,6,0.7a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（）A ．a b c >>B ．c a b >>C ．b a c >>D ．b c a >>【答案】D 【解析】【分析】利用指数函数和对数函数的单调性，分别比较三个数与0或1的大小，进而可得结果. 【详解】由对数函数与指数函数的单调性可得，0.700.70.7log 6log 10,661,0a b ====<0.60.7c =00.71<=，b c a ∴>>，故选D.【点睛】本题主要考查对数函数的性质、指数函数的单调性及比较大小问题，属于难题.解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间()()(),0,0,1,1,-∞+∞ ）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用.30．（2020·会泽县茚旺高级中学高一开学考试）三个数60.7，0.76，0.7log 6的大小关系为（）A ．60.70.70.7log 66<=<=，所以60.70.7log 60.76<<.故选:B【点睛】本题考查比较数的大小，注意函数单调性的应用，属于基础题.31．（2020·云南省云南师大附中高三月考（理））已知函数()2sin f x x x x =-，若()0.2log 3a f =，()3log 0.2b f =，()30.2c f =，则（）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c b a >>D ．c a b >>【答案】B 【解析】【分析】判断函数()f x 为偶函数，然后利用导数求出()f x 在()0,x ∈+∞上单调递增，利用函数的单调性即可比较出大小.【详解】()()()()()22sin sin f x x x x x x x f x -=----=-=，故()f x 为偶函数，故只需考虑()0,x ∈+∞的单调性即可.()()'2sin cos sin 1cos f x x x x x x x x x =--=-+-，当()0,x ∈+∞时，设()sin h x x x =-，则()1cos 0h x x '=-> 所以()h x 在()0,∞+上单调递增，即()()00h x h >=，故sin x x >，而()1cos 0x x -≥显然成立，故()'0fx >，故()f x 在()0,x ∈+∞上单调递增.()()0.25log 3log 3a f f ==，()()33log 0.2log 5b f f ==，35530.20.2log log 31log 5<<<<<，由函数单调性可知()()()3530.2log 3log 5f f f <<，即c a b <<，故选B .【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性、利用函数的单调性比较函数值的大小，属于中档题.32．（2020·云南省高三月考（文））若13log 2a =，1312b ⎛⎫=⎪⎝⎭，2log 3c =，则a b c ，，的大小关系是（）A ．b a c <=，所以a b c <<. 故选C【点睛】本题考查了指数函数、对数函数的单调性比较指数式、对数式的大小，属于基础题. 33．（2020·西藏自治区拉萨中学高三月考（文））已知123a =，131log 2b =，21log 3c =，则（） A ．a b c >> B ．b c a >> C ．c b a >> D ．b a c >>【答案】 A【解析】试题分析：由指数函数，对数函数的性质，可知1231a =>，113311log ,0log 122b =<< 21log 03c =<，即a b c >>，选A 34．（2020·西藏自治区拉萨那曲第二高级中学高三月考（文））已知1(,1)x e -∈，ln a x =，ln 1()2xb =，ln x c e =，则,,a b c 的大小关系为（）A ．c b a >>B ．b c a >>C ．a b c >>D ．b a c >>【答案】B【解析】试题分析：∵1(,1)x e -∈，∴ln (1,0)x ∈-∴(1,0)a ∈-，(1,2)b ∈，1(,1)c e -∈∴b c a >>.选B.。

高三数学专项训练函数值的大小比较含答案

高三数学专项训练：函数值的大小比较一、选择题1．设112450.5,0.9,log 0.3a b c，则c b a ,,的大小关系是（）. A. bca B. bacC. c b aD. ca b2．设则()A ．B ．C ．D ．3．设a b c ，，分别是方程11222112=log ,()log ,()log ,22xxxx x x 的实数根, 则有（）A.a b c B.c b a C.b a c D.ca b4．若13(1)ln 2ln ln xe ax bx c x ，，，，，则（）A ．a <b <c B ．c <a <b C ．b <a <cD ．b <c <a5．设a=54log ，b= (53log )2，c=45log ，则( )A. a<c<bB. b<c<aC. a<b<cD. b<a<c6．设0.220.20.2log 2,log 3,2,0.2ab cd，则这四个数的大小关系是（）A.a b cd B.dca b C.ba cd D.ba d c7．下列大小关系正确的是()A. 3log 34.044.03B. 4.03434.03log C.4.04333log 4.0 D.34.044.033log 8．设0.33log 3,2,log sin 6a b c，则（）A 、a bcB 、cabC 、ba c D 、bc a9．若)1,0(x，则下列结论正确的是（）A ．xx x2lg 21B ．21lg 2x xxC ．xxxlg 221D ．xx xlg 22110．若0mn ，则下列结论正确的是（）A ．22mnB ．1122mnC ．22log log m nD ．1122log log mn2lg ,(lg ),lg ,ae be ce a bcacbca b c b a11．a b ，满足01a b，下列不等式中正确的是（）A ．abaaB ．abbbC ．aaab D ．bbba12．三个数231.0a ，31.0log 2b，31.02c 之间的大小关系为（）A ．a cb B ．a bcC ．ba cD ．bc a13．已知实数4log 5a,01(),2b0.3log 0.4c ，则,,a b c 的大小关系为()A ．b c aB ．b a cC ．cab D ．cba14．实数0.2220.2,log 0.2,2a bc 的大小关系正确的是A.a c bB.a b cC.b acD.bca15．设，则的大小关系为（）A ．B ．C ．D ．16．三个数，，的大小顺序是（）A. B.C ．D ．17．已知10.20.7321.5, 1.3,()3a b c ,则,,a b c 的大小为( )A.c a bB.c b aC.abcD.acb18．设 1.50.90.4812314,8,2y y y ，则（）A 、312y y y B 、213y y y C 、123y y y D 、132y y y 19．已知0ba ，则3,3,4aba的大小关系是（）A ．334abaB ．343baaC ．334baaD ．343aab20．已知，，，则，，的大小关系为3.0log ,3.0,2223.0cbac b a ,,c b a c a b bacabc7.0667.06log 7.07.07.0666log 7.06log 67.07.07.0667.07.07.066log 7.067.067.06log 30.3a 0.33b0.3log 3ca b cA ．B ．C ．D ．21．当0<a<b<1时，下列不等式中正确的是（）A ．bba a )1()1(1B ．bab a )1()1(C ．2)1()1(bba a D ．bab a )1()1(22．设1,01,x y a 则下列关系正确的是：（）A.aayxB. ayax C. yxaaD.yx a a log log 23．设，那么（）A ．B ．C ．D ．24．已知0.30.2a ，0.2log 3b，0.2log 4c ，则（）A. a>b>cB. a>c>bC. b>c>aD. c>b>a 25．设0.53a ，3log 2b，2cos c ，则（）A.c b a B.c ab C ．ab cD.bc a26．已知函数f （x ）（x ∈R ）满足()f x ＞f （x ），则（）A ．f （2）＜2e f （0）B ．f （2）≤2e f （0）C ．f （2）＝2e f （0）D ．f （2）＞2e f （0）27．设函数定义在实数集上，它的图像关于直线对称，且当时，，则有A . B. C. D. 28．若函数(),()f x g x 分别是R 上的奇函数、偶函数，且满足()()xf xg x e ，则有()A ．(2)(3)(0)f f gB ．(0)(3)(2)g f fC ．(2)(0)(3)f g f D ．(0)(2)(3)g f f abc cab bac cba111()()1555baabab a a aabb aa baa abaaababax f 1x 1x 13xxf 322331fff312332f ff233132f f f 313223ff f29．设9log ,6log ,3log 842cba ，则cb a ,,的大小关系是.30．设，则的大小关系为52535252,52,53cbacb a ,,高三数学专项训练：函数值的大小比较参考答案1．D 【解析】试题分析：11110.3244450.50.25,0.90.250,log0a bc ，故选 D.考点：指数函数和对数函数的性质.2．B 【解析】试题分析：由21lg 0e可知e eelg lg 21lg 2，即.考点：本小题主要考查对数的基本运算.3．A 【解析】试题分析：由指数函数2xy，12xy与对数函数2log yx ，12log yx 的图象可得，故选A ．考点：指数函数、对数函数的图像和方程4．C 【解析】试题分析：因为1(1)x e ，，所以1ln 0a x ，而l n 0b a x ，故ba ，又2l n (l n 1)c a x x ，而2ln 1x，故2ln (ln 1)0,c ax x c a ，综上，b ac ，选 C.考点：对数函数. 5．D 【解析】试题分析：由对数函数的性质可知，当底数1a时，函数log 0a yx x 是单调增函数,∴550log 3log 41且451log ，∴2554log 3log 4log 5，即bac .考点：对数函数的单调性及应用.6．Ｄ．【解析】试题分析：0.2log yx 是0,上的减函数，0b a ，又0.22221,00.21,c d b a d c ．acb abc考点：指数函数、对数函数及幂函数单调性的应用．7．C. 【解析】试题分析：因为0.4331，310.40.0642,4441log 2log 3log 412,所以0.4343log 30.4，选C.考点：对数式与指数式比较大小.8．C 【解析】试题分析：0.330log 31,21,log sin06ab c,所以ba c .考点：比较数的大小.9．D 【解析】试题分析：当(0,1)x时：122(1,2),(0,1),lg (,0)xxx ，所以x x xlg 221.考点：指数函数、对数函数、幂函数图象及其性质（单调性）.10．D 【解析】试题分析：指数函数、对数函数的底数大于0 时，函数为增函数，反之，为减函数，而0mn ，所以1122log log mn ，选 D.考点：本题主要考查指数函数、对数函数、幂函数的性质。

函数值的大小比较(解析版)

专题01函数值的大小比较函数值的大小比较在近年的高考中经常出现，并且呈现出试题越来越难的趋势，基本在选择题最后3道中出现。

前些年通常考查利用幂函数、指数函数、对数函数的单调性或图象比较大小，近两三年考查趋势转移到构造复杂函数，利用导函数研究所构造的函数的单调性，再利用赋值比较大小。

特别是去年高考题中该类题型越来越刁钻，常规解法已无法满足解题所需。

函数值的大小比较所需知识主要考查学生函数部分知识的掌握情况，解题同时需要的技巧多，试题灵活，突出对函数单调性的运用，考查学生的数形结合与方程思想，及构造、放缩等相关知识。

一、热点题型归纳题型1、利用单调性（或图象）比较大小题型2、利用0，1比较大小题型3、取介质比较大小题型4、利用换底公式比较大小题型5、分离常数再比较大小题型6、作差法与作商法比较大小题型7、利用均值不等式比较大小题型8、构造函数法比较大小（lnx x型函数）题型9、构造函数比较大小（综合型）题型10、放缩法比较大小题型11、函数奇偶性和单调性等综合题型12、三角函数值比较大小二、最新模考题组练三、十年高考真题练【题型1】利用单调性（或图象）比较大小【解题技巧】当底数相同，或指数（真数）相同时，一般函数单调性（图象）进行大小比较即可。

若底数、指数（真数）可转化相同，也可以采用上述方法。

一般在转化时还会用到指数或对数的运算性质。

【典例分析】例1.（2022·河南·开封高三阶段练习）122a =，133b =，166c =，则a ，b ，c 的大小关系正确的是（）A ．a b c >>B ．c b a>>C ．b a c>>D ．a c b>>【答案】C【分析】由幂的运算法则把幂的幂指数化为相同，然后由幂函数的单调性比较大小．【详解】116228a ==，113639b ==，16y x =是增函数，689<<，∴c<ab>cB ．a>c>bC ．b>a>cD ．c>a>b【答案】B【详解】试题分析：利用换底公式可得a =log 23.6=log 43.62，然后根据对数函数y=log 4x 在（0，+∞）的单调性可进行比较即可．解：∵a =log 23.6=log 43.62∵y=log 4x 在（0，+∞）单调递增，又∵3.62＞3.6＞3.2∴log 43.62＞log 43.6＞log 43.2即a ＞c ＞b 故选B点评：本题考查利用对数函数的单调性比较对数值大小，考查了换底公式的应用，是基础题．【变式演练】1.（2023·重庆·高三专题练习）已知0.50.60.3,0.3a b ==，122()5c =，则a 、b 、c 的大小关系为（）A ．a ＜b ＜cB ．c ＜a ＜bC ．b ＜a ＜cD ．c ＜b ＜a【答案】C【分析】根据给定条件，利用指数函数、幂函数单调性即可比较大小作答.【详解】函数0.3x y =是定义域R 上的单调减函数，且0.50.6<，则0.50.60.30.3>，即a b >，又函数0.5y x=在(0,)+∞上单调递增，且20.35<，于是得10.5220.3()5<，即c a >，所以a 、b 、c 的大小关系为b a c <<．故选：C 2．（2022·河南·高三模拟）若a ＞b ＞0，0＜c ＜1，则A ．log a c ＜log b c B ．log c a ＜log c b C ．a c ＜b c D ．c a ＞c b【题型2】利用0，1比较大小【解题技巧】当底数和指数（真数）都不同时，一般采用特殊介质0，1进行大小比较，同时注意结合图像及特殊值。

指数函数比较大小

同底比较大小
3

1 4
0.8
与

1 2
1.8
;
4

8 7
3
7
与

7 8
5
12
不同底但可化同底
5 0.3 0.3 与0.20.3
不同底但同指数
不同底数幂比大小，利用指数函数图像与底的关系比较
6 1.70.3与0.93.1
u＝g(x) 增增减减
y＝f(u) 增减增减
y＝f [g(x)] 增减减增
3．求复合函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成y＝f(u)，u＝φ(x)，通过考查f (u)和φ(x)的单调性，求出y＝f[φ(x)]的单调性．
已知函数 y＝(12)x2－6x＋17， (1)求函数的定义域及值域； (2)确定函数的单调区间．
（4）在R上是减函数（4）在R上是增函数
例1：比较下列各题中两值的大小：
1 1.72.5与1.73; 2 0.80.1与0.80.2
3

1 4
0.8
与

1 2
1.8
;
4

8 7
3
7
与

7 8
5
12
5 0.3 0.3 与0.20.3
3.5
3
fx
=
1.7x 2.5
2
1.5
1.72.5< 1.73
1
0.5
-2
-1
-0.5
1
2
3
4
5
6
根据指数函数的单调性，当底数大于1时，在实数R范围内是增函数当底数大于0小于1时，在实数R范围内是减函数任何数的0次幂都等于1

中考数学《比较一次函数值的大小》专项练习题及答案

中考数学《比较一次函数值的大小》专项练习题及答案一、单选题1．已知点(−1，a)和(12，b)都在直线y =2x −3的图象上，则a ，b 的大小关系是（）A ．a >bB ．a <bC ．a =bD ．a ，b 的大小不能确定2．已知函数 y 1=x −2 和 y 2=2x +1 ,当时 y 1>y 2 , x 的取值范围是( )A ．x <−5B ．x <−3C ．x ﹥−5D ．x ﹥−33．一次函数y 1＝kx+b 与y 2＝x+a 的图象如图，则kx+b≥x+a 的解集是（）A ．x ＞﹣2B ．x≥﹣2C ．x≤﹣2D ．无法确定4．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 经过二、三、四象限，且还经过点(0，m)，(2，n)，（P ，1）和（3，-2），则下列判断正确的是（） A ．m <nB ．m <−3C ．n <−2D ．p <−1.55．若直线y ＝2x ﹣1经过点A （﹣2，m ），B （1，n ），则m ，n 的大小关系正确的是（）A ．m<nB ．m>nC ．m ＝nD ．无法确定6．一次函数 y 1=mx +n 与 y 2=−x +a 的图象如图所示，则 mx +n <−x +a 的解集为（）A ．x >3B ．x <1C ．x <3D ．0<x <37．已知 P 1(−3，y 1) 、 P 2(2，y 2) 是一次函数 y =−2x +b 图象上的两个点，则 y 1 与 y 2 的大小关系为（）A．y1<y2B．y1≤y2C．y1>y2D．不能确定y1与y2的大小8．如图，一次函数y1=x+b与一次函数y2=kx+4的图象交于点P(1,3)，则关于x的不等式x+b>kx+4的解集是(）A．B．C．D．9．一次函数y=−2x+1上有两点(−2，y1)和(1，y2)，则y1与y2的大小关系是（）A．y1>y2B．y1<y2C．y1=y2D．无法比较10．已知M(2,a),N(−5,b)是一次函数y=3x+1图象上的两点，则a与b的大小关系是（）A．a>b B．a=b C．ay2>y1B．y1>y2>y3C．y1>y3>y2D．y3>y1>y2二、填空题13．如果点A(1，m)与点B(3，n)都在直线y=−2x+1上，那么m与n的大小关系式.14．直线y=−2x+b经过点则y1y2（填“<”或“>”）.15．在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx和y=−x+3的图象如图所示，则关于x的一元一次不等式kx<−x+3的解集是16．已知函数y 1=k 1x+b 1与函数y 2=k 2x+b 2的图象如图所示，则不等式k 1x+b 1＜k 2x+b 2的解集是．17．已知一次函数 y =−3x +m 的图形经过了A （x 1，1），B （x 2，-2），C （x 3，3），则x 1，x 2，x 3的大小关系为 .18．如图，直线y=x+b 与y=kx 的图象交于点M(-5，5)，则不等式x+b>kx 的解集为。

专题2-1 比大小(幂指对及三角函数值)(解析版)2023年高考数学二轮专题全套热点题型

例题 2．（2022·江西·高三阶段练习（理））设 a
2 ,b 33
0.80.3,c
log 0.90.8
，则（
）
A． c a b
B． a ห้องสมุดไป่ตู้c b
C． a b c
D． c b a
【答案】A
【详解】因为 3 3 1且 3 3 3 8 2 ，所以1 a 2,b 0.80.3 1, c log0.9 0.8 log0.9 0.81 2 ，所以 c a b .
b
b
b
【变式演练】
1．（2022·全国·高一课时练习）若 a lg3 0.7 ， b lg 0.72 ， c lg 0.7 ，则（）
c 的大小关系为（
）
A． a b c
B． b a c
C． c b a
D． a c b
【答案】A
ln 3
【详解】依题意，
a b
log2 log4
3 5
ln ln
2 5
ln 3 2 ln 2 ln 2 ln 5
2 ln 3 ln 9 1, a ln 5 ln 5
b ，
ln 4
b log4 5 log4 4 1, c 20.1 20 1，
综上， b<c<a .
故选：D.
2．（2022·湖南·长沙市雅礼洋湖实验中学高二开学考试）已知 a log3 2 ， b 70.01 ， c log9 5 log5 3 ，则（）
A． c b a
B． c<a<b
C． b<c<a
D． a c b
【答案】B
【详解】因为
b
70.01
1，
c

导数中构造函数比大小问题题型总结(学生版+解析版)

导数中构造函数比大小问题题型总结【典型例题】题型一：构造f x =ln xx比较大小此函数定义域为0,+∞，求导f x =1−ln xx2，当x∈0,e时，f x >0，故f x 为增函数，当x∈e,+∞时，f x <0，故f x 为减函数，当x=e时，f x 取得极大值为f e =1e，且f4 =ln44=2ln2 4=ln22=f2 ，此结论经常用来把函数转化到同一边进行比较【例1】(2022·广东·佛山市南海区九江中学高二阶段练习)若a=1e,b=ln22,c=ln33，则a,b,c的大小关系为( )A.a>c>bB.b>c>aC.c>b>aD.a>b>c【例2】(2023·全国·高三专题练习)设a=4-ln4e2，b=ln22，c=1e，则( )A.a<c<bB.a<b<cC.b<a<cD.b<c<a 【例3】(2022·吉林·高二期末)下列命题为真命题的个数是( )①ln3<3ln2；②lnπ<πe；③215<15；④3e ln2>42．A.1B.2C.3D.4【例4】(2021·陕西汉中·高二期末(理))已知a，b，c均为区间0,e内的实数，且a ln5=5ln a，b ln6= 6ln b，c ln7=7ln c，则a，b，c的大小关系为( )A.a>c>bB.a>b>cC.c>a>bD.c>b>a【例5】(2022·江西·高三阶段练习(理))设a=ln28，b=1e2，c=ln612，则( )A.a<c<bB.a<b<cC.b<a<cD.c<aa>cB.b>c>aC.a>b>cD.a>c>b2.(2022·浙江台州·高二期末)设a=4-ln4e2，b=ln22，c=ln33，则( )A.a<b<cB.b<a<cC.a<c<bD.b<c<a3.(2022·四川广安·模拟预测(理))在给出的(1)e⋅ln3>3(2)e43ln3<4(3)eπ>πe.三个不等式中，正确的个数为( )A.0个B.1个C.2个D.3个4.(2022·四川资阳·高二期末(文))若a=ln33，b=1e，c=3ln28，则( )A.b>a>cB.b>c>aC.c>b>aD.c>a>b5.(2022·山东日照·高二期末)π是圆周率，e是自然对数的底数，在3e，e3，33，e e，eπ，π3，3π，πe八个数中，最小的数是___________，最大的数是___________.6.(2022·安徽省宣城中学高二期末)设a=4-ln4e2,b=1e,c=ln2，则a,b,c的大小关系为( )A.a<b<cB.b<a<cC.a<c<bD.c<a<b7.(2022·黑龙江·大庆实验中学高二期末)已知实数a，b，c满足ln ae a=ln b b=-ln c c<0，则a，b，c的大小关系为( )A.b<c<aB.c<b<aC.a<b<cD.b<a<c题型二：利用常见不等式关系比较大小1.常见的指数放缩：e x≥x+1(x=0);e x≥ex(x=1)证明：设f x =e x−x−1，所以f x =e x−1，所以当x∈−∞,0时，f x <0，所以f x 为减函数，当当x∈0,+∞时，f x >0，所以f x 为增函数，所以当x=0时，f x 取得最小值为f0 = 0，所以f x ≥0，即e x≥x+12.常见的对数放缩：1−1x≤ln x≤x−1(x=1);ln x≤x e(x=e)3.常见三角函数的放缩：x∈0,π2,sin x<x<tan x【例1】(2022·湖北武汉·高二期末)设a=4104，b=ln1.04，c=e0.04-1，则下列关系正确的是( )A.a>b>cB.b>a>cC.c>a>bD.c>b>a【例2】(2022·山东菏泽·高二期末)已知a=910，b=e-19，c=1+ln1011，则a，b，c的大小关系为( )A.a<b<cB.b<a<cC.c<b<aD.c<a<b【例3】(2022·四川凉山·高二期末(文))已知a=e0.01，b=1.01，c=1-ln 100101，则( )．A.c>a>bB.a>c>bC.a>b>cD.b>a>c【例4】(2022·四川绵阳·高二期末(理))若a=ln 87，b=18,c=ln76，则( )A.a<c<bB.c<a<bC.c<b<aD.b<a<c【例5】(2022·全国·高考真题(理))已知a=3132,b=cos14,c=4sin14，则( )A.c>b>aB.b>a>cC.a>b>cD.a>c>b 【题型专练】1.(2022·福建·莆田一中高二期末)设a=ln1.01，b=1.0130e，c=1101，则( )A.a<b<cB.a<c<bC.c<b<aD.c<a<b2.(2022·吉林·长春市第二中学高二期末)已知a=cos15，b=4950，c=5sin15，则( )A.b>a>cB.c>b>aC.b>c>aD.c>a>b3.(2022·湖北武汉·高二期末)设a=4104，b=ln1.04，c=e0.04-1，则下列关系正确的是( )A.a>b>cB.b>a>cC.c>a>bD.c>b>a题型三：构造其它函数比大小(研究给出数据结构，合理构造函数)【例1】(2022·河南河南·高二期末(理))已知a-12=ln2a，b-13=ln3b，c-e=lnce，其中a≠12，b≠13，c≠e，则a，b，c的大小关系为( )．A.c<a<bB.c<b<aC.a<b<cD.a<c<b【例2】(2022·重庆市万州第二高级中学高二阶段练习)设a=e1.01，b=3e，c=ln3，其中e为自然对数的底数，则a，b，c的大小关系是( )A.b>a>cB.c>a>bC.a>c>bD.a>b>c【例3】(2022·全国·高三专题练习)已知a=ln32，b=1e-1，c=ln43，则a，b，c的大小关系是( )A.b>a>cB.b>c>aC.c>a>bD.c>b>a【例4】(山东省淄博市2021-2022学年高二下学期期末数学试题)设a=110，b=ln1.1，c=e-910，则( )A.a<b<cB.c<a<bC.b<c<aD.b<a<c【例5】(2022·四川南充·高二期末(理))设a=0.01e0.01，b=199，c=-ln0.99，则( )A.c<a<bB.c<b<aC.a<b<cD.a<c<b【例6】(2022·全国·高三专题练习)已知a=0.3π，b=0.9π2，c=sin0.1，则a，b，c的大小关系正确的是( )A.a>b>cB.c>a>bC.a>c>bD.b>a>c【例7】(2022·河南洛阳·三模(理))已知a=810，b=99，c=108，则a，b，c的大小关系为( )A.b>c>aB.b>a>cC.a>c>bD.a>b>c【例8】(2022·河南·模拟预测(理))若a=e0.2，b= 1.2，c=ln3.2，则a，b，c的大小关系为( )A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.c>b>a【题型专练】1.(2022·山东烟台·高二期末)设a=0.9，b=0.9，c=ln910e，则a，b，c的大小关系为( )A.b>c>aB.b>a>cC.c>b>aD.c>a>b2.(2022·山东青岛·高二期末)已知a=lnπ3，b=2π3-2，c=sin0.04-12π3-1，则a，b，c的大小关系是( )A.c>b>aB.a>b>cC.b>a>cD.a>c>b3.(2022·湖北襄阳·高二期末)设a=34e25，b=25e34，c=35，则( )A.b<c<aB.a<b<cC.c<b<aD.c<a<b4.(2022·福建宁德·高二期末)已知a，b∈R，且2a>2b>1，则( )A.e a-e b<ln a-ln bB.b ln a<a ln bC.b a>e a-bD.sin a-sin ba-b<15.(2022·贵州贵阳·高二期末(理))设a=e1.01，b=3e，c=ln3，则a，b，c的大小关系是( )A.b>a>cB.c>a>bC.a>c>bD.a>b>c6.(2022·重庆南开中学高二期末)已知a=65ln1.2，b=0.2e0.2，c=13，则( )A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b-2=2ln b>0，c2-13=ln3c2> 7.(2022·湖北恩施·高二期末多选)已知a2-14=2ln2a>0，b2-1e20，则( )A.c<bB.b<aC.c<aD.b<c8.(2022·安徽·歙县教研室高二期末)已知x、y、z∈(0，1)，且满足e2x=2e x，e3y=3e y，e4z=4e z，则( )A.x<y<zB.x<z<yC.z<y<xD.z<x<y导数中构造函数比大小问题题型总结【典型例题】题型一：构造f x =ln xx比较大小此函数定义域为0,+∞，求导f x =1−ln xx2，当x∈0,e时，f x >0，故f x 为增函数，当x∈e,+∞时，f x <0，故f x 为减函数，当x=e时，f x 取得极大值为f e =1e，且f4 =ln44=2ln2 4=ln22=f2 ，此结论经常用来把函数转化到同一边进行比较【例1】(2022·广东·佛山市南海区九江中学高二阶段练习)若a=1e,b=ln22,c=ln33，则a,b,c的大小关系为( )A.a>c>bB.b>c>aC.c>b>aD.a>b>c 【答案】A【解析】通过对三个数的变形及观察，可以构造出函数f x =ln xx，通过求导分析其单调性即可得到答案【详解】解：a=1e=ln ee,b=ln22=ln44,c=ln33，设f x =ln xx,f x =1-ln xx2，则x>e时，fx <0，故f x 在e,+∞上单调递减，则f e >f3 >f4 ，即ln ee>ln33>ln44，所以a>c>b．故选：A.【例2】(2023·全国·高三专题练习)设a=4-ln4e2，b=ln22，c=1e，则( )A.a<c<bB.a<b<cC.b<a<cD.b<c<a 【答案】C【解析】结合已知要比较函数值的结构特点,可考虑构造函数f x =ln xx,然后结合导数与单调性关系分析出x=e时,函数取得最大值f e =1e,可得c最大,然后结合函数单调性即可比较大小.【详解】设f x =ln xx,则f x =1-ln xx2,当x>e时,f x <0,函数单调递减,当0<x<e时,f x >0,函数单调递增,故当x=e时,函数取得最大值f e =1 e,因为a=22-ln2e2=ln e22e22=f e22,b=ln22=ln44=f4 ,c=1e=f e ,∵e<e22<4,当x>e时,f x <0,函数单调递减,可得f4 <fe22<f e ,即b<a<c.故选:C【例3】(2022·吉林·高二期末)下列命题为真命题的个数是( )①ln3<3ln2；②lnπ<πe；③215<15；④3e ln2>42．A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】本题首先可以构造函数f x =ln xx，然后通过导数计算出函数f x =ln xx的单调性以及最值，然后通过对①②③④四组数字进行适当的变形，通过函数f x =ln xx的单调性即可比较出大小．【详解】解：构造函数f x =ln xx，则f x =1-ln xx2，当0<x<e时，f x >0，x>e时，f x <0，所以函数f x =ln xx在0,e上递增，在e,+∞上递减，所以当x=e时f x 取得最大值1 e，ln3<3ln2⇔2ln3<3ln2⇔ln33<ln22，由3<2<e可得f3<f2 ，故①正确；lnπ<πe⇔lnππ<ln ee，由e<π<e，可得f e<fπ，故②错误；215<15⇔15ln2<ln15⇔ln22<ln1515⇔ln44<ln1515，因为函数f x =ln xx在e,+∞上递减，所以f4 <f15，故③正确；因为22>e，所以f22<f e ，即ln2222<ln e e，即3ln222<1e，则3e ln2<22，即3e ln2<42，故④错误，综上所述，有2个正确.故选：B．【点睛】本题考查如何比较数的大小，当两个数无法直接通过运算进行大小比较时，如果两个数都可以转化为某个函数上的两个函数值，那么可以构造函数，然后通过函数的单调性来判断两个数的大小，考查函数思想，是难题．【例4】(2021·陕西汉中·高二期末(理))已知a，b，c均为区间0,e内的实数，且a ln5=5ln a，b ln6= 6ln b，c ln7=7ln c，则a，b，c的大小关系为( )A.a>c>bB.a>b>cC.c>a>bD.c>b>a【答案】B【解析】构造函数f x =ln xx，由导数判断函数单调性，进而利用单调性即可求解.【详解】解：令f x =ln xx，则f x =1-ln xx2，当0<x<e时，f x >0，函数F(x)在0,e上单调递增，当x>e时，f x <0，函数f x 在e,+∞上单调递减，因为7>6>5>e，所以f7 <f6 <f5 ，因为a，b，c均为区间0,e内的实数，且ln55=ln aa，ln66=ln bb，ln77=ln cc，所以f a >f b >f c ，所以a>b>c，故选：B.【例5】(2022·江西·高三阶段练习(理))设a=ln28，b=1e2，c=ln612，则( )A.a<c<bB.a<b<cC.b<a<cD.c<ae>6>e，所以a<b<c．故选：B．【题型专练】1.(2022·四川省资阳中学高二期末(理))若a=ln22,b=1e,c=2ln39，则( )A.b>a>cB.b>c>aC.a>b>cD.a>c>b【答案】A【解析】令f x =ln xx，利用导数说明函数的单调性，即可得到函数的最大值，再利用作差法判断a、c，即可得解；【详解】解：令f x =ln xx，则f x =1-ln xx2，所以当0<x<e时fx >0，当x>e时f x <0，所以f x 在0,e上单调递增，在e,+∞上单调递减，所以f x max=f e =ln ee=1e，所以1e>ln22又ln22-2ln39=9ln2-4ln318=ln29-ln3418=ln512-ln9118>0所以ln22>2ln39，即b>a>c.故选：A2.(2022·浙江台州·高二期末)设a=4-ln4e2，b=ln22，c=ln33，则( )A.a<b<cB.b<a<cC.a<c<bD.b<c<a 【答案】B【解析】由题设a=ln e22e22，b=ln44，c=ln33，构造f(x)=ln xx并利用导数研究单调性，进而比较它们的大小.【详解】由题设，a =4-ln4e 2=ln e22e22，b =ln22=ln44，c =ln 33=ln33，令f (x )=ln x x 且x >0，可得f (x )=1-ln xx 2，所以f (x )>0有0<x <e ，则(0,e )上f (x )递增；f (x )<0有x >e ，则(e ,+∞)上f (x )递减；又4>e 22>3>e ，故c >a >b .故选：B3.(2022·四川广安·模拟预测(理))在给出的(1)e ⋅ln3>3(2)e 43ln3<4(3)e π>πe .三个不等式中，正确的个数为( )A.0个 B.1个C.2个D.3个【答案】C 【解析】根据题目特点，构造函数f x =ln x x ，则可根据函数f x =ln xx的单调性解决问题.【详解】首先，我们来考察一下函数f x =ln xx，则f x =1-ln xx 2，令f x >0,解得0<x <e ，令f x <0,解得x >e ，故f x =ln xx在区间0,e 上单调递增，在区间e ,+∞ 单调递减，所以，(1)f e <f 3 ，即ln e e <ln 33，即e ⋅ln3>3，则正确；(2)f e 43<f 3 ，即ln e43e 43<ln33，即e 43⋅ln3>4，则错误；(3)f e >f π ，即ln e e >lnππ⇒πln e >e lnπ⇒ln e π>lnπe ，所以，e π>πe ，则正确故选：C .4.(2022·四川资阳·高二期末(文))若a =ln33，b =1e ，c =3ln28，则( )A.b >a >cB.b >c >aC.c >b >aD.c >a >b【解析】设函数f(x)=ln xx,(x>0)，求出其导数，判断函数的单调性，由此可判断出答案.【详解】设f(x)=ln xx,(x>0)，则f (x)=1-ln xx2，当0<x<e时，f (x)>0，f(x)递增，当x>e时，f (x)<0，f(x)递减，当x=e时，函数取得最小值，由于e<3<8 ，故ln ee>ln33>ln88，即b>a>c，故选：A5.(2022·山东日照·高二期末)π是圆周率，e是自然对数的底数，在3e，e3，33，e e，eπ，π3，3π，πe八个数中，最小的数是___________，最大的数是___________.【答案】 e e 3π【解析】分别利用指数函数的单调性，判断出底数同为3,e以及π的数的大小关系，再由幂函数的单调性，找出最小的数，最后利用函数f x =ln xx的单调性，判断出最大的数．【详解】显然八个数中最小的数是e e.∵函数y=3x是增函数，且e<3<π，∴3e<33<3π；函数y=e x是增函数，且e<3<π，e e<e3<eπ；函数y=πx是增函数，且e<3<π，πe<π3；函数y=x e在0,+∞是增函数，且e<3<π，e e<3e<πe，则八个数中最小的数是e e 函数y=xπ在0,+∞是增函数，且e<3，eπ<3π，八个数中最大的数为π3或3π，构造函数f x =ln x x，求导得f x =1-ln xx2，当x∈e,+∞时f x <0，函数f x 在e,+∞是减函数，f3 >fπ ，即ln33>lnππ，即πln3>3lnπ，即ln3π>lnπ3，∴3π>π3，则八个数中最大的数是3π.故答案为：e e；3π．6.(2022·安徽省宣城中学高二期末)设a=4-ln4e2,b=1e,c=ln2，则a,b,c的大小关系为( )A.a<b<cB.b<a<cC.a<c<bD.c<a<b【答案】D设f(x)=ln xx(x>0)，利用导数求得f(x)的单调性和最值，化简可得a=fe22，b=f(e)，c=f(2)，根据函数解析式，可得f(4)=ln44=f(2)且e<e22<4，根据函数的单调性，分析比较，即可得答案.【详解】设f(x)=ln xx(x>0)，则f (x)=1x⋅x-ln xx2=1-ln xx2，当x∈(0,e)时，f (x)>0，则f(x)为单调递增函数，当x∈(e,+∞)时，f (x)<0，则f(x)为单调递减函数，所以f(x)max=f(e)=1 e，又a=4-ln4e2=2(ln e2-ln2)e2=ln e22e22=f e22，b=1e=f(e)，c=ln2=12ln2=f(2)，又f(4)=ln44=ln224=ln22=f(2)，e<e22<4，且f(x)在(e,+∞)上单调递减，所以f(2)=f(4)<fe22 ，所以b>a>c.故选：D7.(2022·黑龙江·大庆实验中学高二期末)已知实数a，b，c满足ln ae a=ln b b=-ln c c<0，则a，b，c的大小关系为( )A.b<c<aB.c<b<aC.a<b<cD.b<a<c【答案】C【解析】判断出0<a<1,0<b<1,c>1，构造函数f(x)=ln xx,(x>0)，判断0<x<1时的单调性，利用其单调性即可比较出a,b的大小，即可得答案.【详解】由ln ae a=ln b b=-ln c c<0，得0<a<1,0<b<1,c>1 ，设f(x)=ln xx,(x>0) ，则f (x)=1-ln xx2，当0<x<1时，f (x)>0，f(x)单调递增，因为0<a<1，所以e a>1>a，所以ln a e a >ln a a ，故ln a ea =lnb b >ln aa ，∴fb >f a ，则b >a ，即有0<a 0，所以f x 为增函数，所以当x =0时，f x 取得最小值为f 0 =0，所以f x ≥0，即e x ≥x +1 2.常见的对数放缩：1−1x ≤ln x ≤x −1(x =1);ln x ≤xe(x =e )3.常见三角函数的放缩：x ∈0,π2,sin x <x <tan x 【例1】(2022·湖北武汉·高二期末)设a =4104，b =ln1.04，c =e 0.04-1，则下列关系正确的是( )A.a >b >c B.b >a >cC.c >a >bD.c >b >a【答案】D 【解析】分别令f x =e x -1-x x >0 、g x =ln 1+x -x x >0 、h x =ln 1+x -x1+xx >0 ，利用导数可求得f x >0，g x <0，h x >0，由此可得大小关系.【详解】令f x =e x -1-x x >0 ，则f x =e x -1>0，∴f x 在0,+∞ 上单调递增，∴f x >f 0 =0，即e x -1>x ，则e 0.04-1>0.04；令g x =ln 1+x -x x >0 ，则g x =11+x -1=-x1+x<0，∴g x 在0,+∞ 上单调递减，∴g x <g 0 =0，即ln 1+x <x ，则ln1.04<0.04；∴e 0.04-1>ln1.04，即c >b ；令h x =ln 1+x -x 1+x x >0 ，则h x =11+x -11+x 2=x 1+x2>0，∴h x 在0,+∞ 上的单调递增，∴h x >h 0 =0，即ln 1+x >x1+x，则ln1.04>0.041.04=4104，即b >a ；综上所述：c >b >a .故选：D .【点睛】关键点点睛：本题解题关键是能够通过构造函数的方式，将问题转化为函数值的大小关系的比较问题，通过导数求得函数的单调性后，即可得到函数值的大小.【例2】(2022·山东菏泽·高二期末)已知a=910，b=e-19，c=1+ln1011，则a，b，c的大小关系为( )A.a<b<cB.b<a<cC.c<b<aD.c<ax+1x≠0，从而得到1b>1a，设g x =ln x-x+1，利用导数得到ln x<x-1x≠1，从而得到ln 1110<110和c>a，即可得到答案.【详解】解：设f x =e x-x-1，f x =e x-1，令f x =0，解得x=0. x∈-∞,0，f x <0，f x 单调递减，x∈0,+∞，f x >0，f x 单调递增.所以f x ≥f0 =0，即e x-x-1≥0，当且仅当x=0时取等号.所以e x>x+1x≠0.又1b=e19>19+1=109=1a，a>0,b>0，故1b>1a，所以b<a；设g x =ln x-x+1，g x =1x-1=1-xx，令g x =0，解得x=1.x∈0,1，g x >0，g x 单调递增，x∈1,+∞，g x <0，g x 单调递减.所以g x ≤g1 =0，即ln x-x+1≤0，当且仅当x=1时取等号.所以ln x<x-1x≠1，故ln 1110<1110-1=110，又c-a=ln 1011+110>ln1011+ln1110=ln1=0，所以c>a，故b<a<c.故选：B.【例3】(2022·四川凉山·高二期末(文))已知a=e0.01，b=1.01，c=1-ln 100101，则( )．A.c>a>bB.a>c>bC.a>b>cD.b>a>c 【答案】C【解析】构造函数f(x)=e x-1-x，由导数确定单调性，进而即得．【详解】设f(x)=e x-1-x，则f (x)=e x-1>0，在x>0时恒成立，所以f(x)在(0,+∞)上是增函数，所以e x-1-x>f(0)=0，即e x>1+x，x>0，∴e0.01>1.01，又ln1.01>0，∴e ln1.01>1+ln1.01，即1.01>1-ln100101，所以a>b>c．故选：C．【例4】(2022·四川绵阳·高二期末(理))若a=ln 87，b=18,c=ln76，则( )A.a<c<bB.c<a<bC.c<b<aD.b<a<c 【答案】D【解析】构造函数f x =ln x+1x-1，其中x>1，利用导数分析函数f x 的单调性，可比较得出a、b的大小关系，利用对数函数的单调性可得出c、a的大小关系，即可得出结论.【详解】构造函数f x =ln x+1x-1，其中x>1，则f x =1x-1x2=x-1x2>0，所以，函数f x 在1,+∞上为增函数，故f x >f1 =0，则f 87 =ln87+78-1=ln87-18>0，即a>b，∵ln76>ln87，因此，b<a<c.故选：D.【例5】(2022·全国·高考真题(理))已知a=3132,b=cos14,c=4sin14，则( )A.c>b>aB.b>a>cC.a>b>cD.a>c>b 【答案】A【解析】由cb=4tan14结合三角函数的性质可得c>b；构造函数f(x)=cos x+12x2-1,x∈(0,+∞)，利用导数可得b>a，即可得解.【详解】因为cb=4tan14,因为当x∈0,π2,sin x<x<tan x所以tan 14>14,即cb>1,所以c>b；设f(x)=cos x+12x2-1,x∈(0,+∞)，f (x)=-sin x+x>0，所以f(x)在(0,+∞)单调递增，则f 14 >f(0)=0,所以cos14-3132>0，所以b>a,所以c>b>a，故选：A【题型专练】1.(2022·福建·莆田一中高二期末)设a=ln1.01，b=1.0130e，c=1101，则( )A.a<b<cB.a<c<bC.c<b<aD.c<a<b【答案】D【解析】构造函数f x =ln x-x+1(x>0)，证明ln x≤x-1，令x=1.01，排除选项A,B,再比较a,b大小，即得解.【详解】解：构造函数f x =ln x-x+1(x>0)，f1 =0，f x =1x-1=1-xx，所以f x 在0,1上f x >0，f x 单调递增，f x 在1,+∞上f x <0，f x 单调递减，所以f (x)max=f(1)=0,∴ln x-x+1≤0,∴ln x≤x-1，令x=1.01，则 a=ln x，b=x30e，c=1-1x，考虑到ln x≤x-1，可得ln1x≤1x-1，-ln x≥1-1x等号当且仅当 x=1时取到，故x=1.01时a>c，排除选项A，B.下面比较a,b大小，由ln x≤x-1得ln1.01<1.01<1.0130e，故b>a，所以c<a<b.故选：D.2.(2022·吉林·长春市第二中学高二期末)已知a=cos15，b=4950，c=5sin15，则( )A.b>a>cB.c>b>aC.b>c>aD.c>a>b 【答案】D【解析】构造函数f(x)=cos x+12x2-1，利用导数求解函数f(x)的单调性，利用单调性进行求解.【详解】解：设f(x)=cos x+12x2-1,(0<x<1)，则f (x)=x-sin x，设g(x)=x-sin x,(0<x<1)，则g (x)=1-cos x>0，故g(x)在区间(0,1)上单调递增，即g(x)>g(0)=0，即f (x)>0，故f(x)在区间(0,1)上单调递增，所以f 15 >f(0)=0，可得cos15>4950，故a>b，利用三角函数线可得x∈0,π2时，tan x>x，所以tan 15>15，即sin15cos15>15，所以5sin 15>cos15，故c>a综上，c>a>b故选：D.3.(2022·湖北武汉·高二期末)设a=4104，b=ln1.04，c=e0.04-1，则下列关系正确的是( )A.a>b>cB.b>a>cC.c>a>bD.c>b>a【答案】D【解析】分别令f x =e x-1-x x>0、g x =ln1+x-x x>0、h x =ln1+x-x1+x x>0，利用导数可求得f x >0，g x <0，h x >0，由此可得大小关系.【详解】令f x =e x-1-x x>0，则f x =e x-1>0，∴f x 在0,+∞上单调递增，∴f x >f0 =0，即e x-1>x，则e0.04-1>0.04；令g x =ln1+x-x x>0，则g x =11+x-1=-x1+x<0，∴g x 在0,+∞上单调递减，∴g x <g0 =0，即ln1+x<x，则ln1.04<0.04；∴e0.04-1>ln1.04，即c>b；令h x =ln1+x-x1+x x>0，则h x =11+x-11+x2=x1+x2>0，∴h x 在0,+∞上的单调递增，∴h x >h0 =0，即ln1+x>x1+x，则ln1.04>0.041.04=4104，即b>a；综上所述：c>b>a.故选：D.题型三：构造其它函数比大小(研究给出数据结构，合理构造函数)【例1】(2022·河南河南·高二期末(理))已知a-12=ln2a，b-13=ln3b，c-e=lnce，其中a≠12，b≠13，c≠e，则a，b，c的大小关系为( )．A.c<a<bB.c<b<aC.a<b<cD.a<c<b【答案】A 【解析】构造函数f x =x -ln x x >0 ，并求f x ，利用函数f x 的图象去比较a 、b 、c 三者之间的大小顺序即可解决.【详解】将题目中等式整理，得a -ln a =12-ln 12，b -ln b =13-ln 13，c -ln c =e -ln e ，构造函数f x =x -ln x x >0 ，f x =1-1x =x -1x，令f x =0，得x =1，所以f x 在0,1 上单调递减，在1,+∞ 上单调递增，函数f x 的大致图象如图所示．因为f a =f 12，f b =f 13 ，f c =f e ，且a ≠12，b ≠13，c ≠e ，则由图可知b >a >1，0<c <1，所以c <a a >c B.c >a >bC.a >c >bD.a >b >c【答案】D 【解析】可判断a =e 1.01>2，b =3e <2，c =ln3<2，再令f (x )=ln x -x e ，x ∈[e ，+∞)，求导判断函数的单调性，从而比较大小．【详解】解：a =e 1.01>2，b =3e<2，c =ln3<2，令f (x )=ln x -x e，x ∈[e ，+∞)，f (x )=1x -1e =e -xex <0，故f (x )在[e ，+∞)上是减函数，故f 3 <f e ，即ln3-3e <0，故ln3<3e <e 1.01，即c a>cB.b>c>aC.c>a>bD.c>b>a 【答案】A【解析】根据给定条件构造函数f(x)=ln xx-1(x≥e)，再探讨其单调性并借助单调性判断作答.【详解】令函数f(x)=ln xx-1(x≥e)，求导得f (x)=1-ln x-1xx-12，令g x =1-ln x-1x，则g x =1-xx2<0,(x≥e)，故g x =1-ln x-1x，(x≥e)单调递减，又g1 =1-ln1-11=0，故g x <0,(x≥e)，即f (x)<0,(x≥e)，而e<3<4，则f(e)>f(3)>f(4)，即1e-1>ln32>ln43，所以b>a>c，故选：A【例4】(山东省淄博市2021-2022学年高二下学期期末数学试题)设a=110，b=ln1.1，c=e-910，则( )A.a<b<cB.c<a<bC.b<c<aD.b<a<c【答案】D【解析】利用指数函数的性质可比较a,c的大小，再构造函数f(x)=x-ln(1+x)，利用导数判断函数的单调性，再利用其单调性可比较出a,b，从而可比较出三个数的大小【详解】因为y=e x在R上为增函数，且-1<-9 10，所以e-1<e-910，因为110<e-1，所以110<e-910，即a<c，令f(x)=x-ln(1+x)(x>0)，得f (x)=1-11+x=x1+x>0，所以f(x)在(0,+∞)上递增，所以f(x)>f(0)=0，所以x>ln(1+x)，令x=0.1，则0.1>ln1.1，即110>ln1.1，即a>b，所以b<a<c，故选：D【例5】(2022·四川南充·高二期末(理))设a=0.01e0.01，b=199，c=-ln0.99，则( )A.c<a<bB.c<b<aC.a<b<cD.a<c0,t>0，则ln y-ln t=ln x+x-[ln x-ln(1-x)]=x+ln(1-x)，令f(x)=x+ln(1-x)，x∈(0,2-1)，求导得f (x)=1+1x-1=xx-1<0，即f(x)在(0,2-1)上单调递减，∀x∈(0,2-1)，f(x)<f(0)=0，即ln y<ln t⇔y<t，因此当x∈(0,2-1)时，xe x<x1-x，取x=0.01，则有a=0.01e0.01<0.011-0.01=199=b，令g(x)=y-u=xe x+ln(1-x)，x∈(0,2-1)，g (x)=(x+1)e x+1x-1=(x2-1)e x+1x-1，令h(x)=(x2-1)e x+1，x∈(0,2-1)，h (x)=(x2+2x-1)e x<0，h(x)在(0,2-1)上单调递减，∀x∈(0,2-1)，h(x)<h(0)=0，有g (x)>0，则g(x)在(0,2-1)上单调递增，∀x∈(0,2-1)，g(x)>g(0)=0，因此当x∈(0,2-1)时，xe x>-ln(1-x)，取x=0.01，则有a=0.01e0.01>-ln(1-0.01)=-ln0.99=c，所以c<a<b.故选：A【点睛】思路点睛：涉及某些数或式大小比较，探求它们的共同特性，构造符合条件的函数，利用函数的单调性求解即可.【例6】(2022·全国·高三专题练习)已知a=0.3π，b=0.9π2，c=sin0.1，则a，b，c的大小关系正确的是( )A.a>b>cB.c>a>bC.a>c>bD.b>a>c 【答案】B【解析】作差法比较出a>b，构造函数，利用函数单调性比较出c>a，从而得出c>a>b.【详解】a-b=0.3π-0.9π2=0.3π-0.9π2>0.3×3-0.9π2=0，所以a-b>0，故a>b，又f x =πsin x-3x，则f x =πcos x-3在x∈0,π6上单调递减，又f 0 =π-3>0，f π6 =3π2-3<0，所以存在x0∈0,π6，使得f x0 =0，且在x∈0,x0时，f x >0，在x∈x0,π6时，f x <0，即f x =πsin x-3x在x∈0,x0上单调递增，在x∈x0,π6单调递减，且f π12 =6+24π-3>0，所以x0>π12，又因为f0 =0，所以当x∈0,x0时，f x =πsin x-3x>0，其中因为110<π12，所以110∈0,x0，所以f110=πsin0.1-0.3>0，故sin0.1>0.3π，即c>a>b.故选：B【例7】(2022·河南洛阳·三模(理))已知a=810，b=99，c=108，则a，b，c的大小关系为( )A.b>c>aB.b>a>cC.a>c>bD.a>b>c【答案】D【解析】构造函数f x =18-xln x，x≥8，求其单调性，从而判断a，b，c的大小关系.【详解】构造f x =18-xln x，x≥8，f x =-ln x+18x-1，f x =-ln x+18x-1在8,+∞时为减函数，且f 8 =-ln8+94-1=54-ln8<54-ln e2=54-2<0，所以f x =-ln x+18x-1<0在8,+∞恒成立，故f x =18-xln x在8,+∞上单调递减，所以f8 >f9 >f10，即10ln8>9ln9>8ln10，所以810>99>108，即a>b>c.故选：D【点睛】对于指数式，对数式比较大小问题，通常方法是结合函数单调性及中间值比较大小，稍复杂的可能需要构造函数进行比较大小，要结合题目特征，构造合适的函数，通过导函数研究其单调性，比较出大小.【例8】(2022·河南·模拟预测(理))若a=e0.2，b= 1.2，c=ln3.2，则a，b，c的大小关系为( )A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.c>b>a【答案】B【解析】构造函数f x =e x-x-1x>0，利用导数可得a=e0.2>1.2>b，进而可得e1.2>3.2，可得a>c，再利用函数g x =ln x-2x-1x+1，可得ln3.2>1.1，即得.【详解】令f x =e x-x-1x>0，则f x =e x-1>0，∴f x 在0,+∞上单调递增，∴a=e0.2>0.2+1=1.2> 1.2=b，a=e0.2>1.2=ln e1.2，c=ln3.2，∵e1.25=e6> 2.76≈387.4,3.25≈335.5，∴e1.2>3.2，故a>c，设g x =ln x-2x-1x+1，则g x =1x-2x+1-2xx+12=x-12x x+12≥0，所以函数在0,+∞上单调递增，由g1 =0，所以x>1时，g x >0，即ln x>2x-1x+1，∴ln3.2=ln2+ln1.6>22-12+1+21.6-11.6+1=1539>1550=1.1，又1<1.2<1.21,1<b= 1.2<1.1，∴c>1.1>b，故a>c>b.故选：B.【点睛】本题解题关键是构造了两个不等式e x>x+1x>0与ln x>2x-1x+1(x>1)进行放缩，需要学生对一些重要不等式的积累.【题型专练】1.(2022·山东烟台·高二期末)设a=0.9，b=0.9，c=ln910e，则a，b，c的大小关系为( )A.b>c>aB.b>a>cC.c>b>aD.c>a>b【答案】B【解析】构造函数f(x)=x-ln x-1，g(x)=x-x，利用导数研究其单调性，再由单调性可比较大小.【详解】令f(x)=x-ln x-1，因为f (x)=1-1x=x-1x所以，当0<x<1时，f (x)<0，f(x)单调递减，所以f (0.9)=0.9-ln0.9-1>f (1)=0，即0.9>ln0.9+1=ln 910e，a >c ；令g (x )=x -x ，因为g (x )=1-12x=2x -12x所以，当14<x <1时，g (x )>0，g (x )单调递增，所以g (0.9)<g (1)，即0.9-0.9<0，0.9<0.9，即a b >a B.a >b >cC.b >a >cD.a >c >b【答案】C 【解析】构造函数得出a ,b 大小，又c <0即得出结论.【详解】构造函数f x =2ln x -2x -1 =2ln x -x +1 ，则a -b =f π3，f x =21x-1<0在1,+∞ 上恒成立，则y =f x 在1,+∞ 上单调递减，故a -b =f π3<f 1 =0，则b >a >0，π3=1+x x >0 ，则1+x -1=π-33>0.123=0.04，由对于函数g x =sin x -x 0<x <π2 ，g x =cos x -1<0,0<x <π2恒成立，所以， g x =sin x -x <g 0 =0即sin x <x 在0,π2上恒成立.所以，sin0.04-121+x -1<sin x -121+x -1=sin x -12x <x -12x =x x -12 <0(注：0.04<x <0.09,0.2<x <0.3<0.5)所以，b >a >c 故选：C3.(2022·湖北襄阳·高二期末)设a =34e 25，b =25e 34，c =35，则( )A.b <c <a B.a f 34，即可判断出a>b.记g x =e x-2x,0<x<1，推理判断出b>c.【详解】a b=34e2525e34=e2525e3434.记f x =e xx,0<x<1，则f x =e x x-1x2<0，所以f x =e x x在0,1上单调递减.所以f 25 >f34 ，所以a>b.b-c=25e34-35=25e34-2×34.记g x =e x-2x,0<x<1，则g x =e x-2.所以在x∈0,ln2上，g x <0，则g x 单调递减；在x∈ln2,1上，g x >0，则g x 单调递增；所以g x min=g ln2=e ln2-2×ln2=21-ln2>0，所以g 34 >g x min>0，即b-c=25e34-2×34>0.所以b>c.综上所述：c<b<a.故选：C4.(2022·福建宁德·高二期末)已知a，b∈R，且2a>2b>1，则( )A.e a-e b<ln a-ln bB.b ln a<a ln bC.b a>e a-bD.sin a-sin ba-b<1【答案】D【解析】由题设有a>b>0，分别构造y=e x-ln x、y=ln xx、y=xe x、y=x-sin x，利用导数研究在x∈(0,+∞)上的单调性，进而判断各项的正误.【详解】由2a>2b>1，即a>b>0，A：若y=e x-ln x且x∈(0,+∞)，则y =e x-1x，故yx=12=e-2<0，yx=1=e-1>0，即y 在12,1上存在零点且y 在(0,+∞)上递增，所以y在(0,+∞)上不单调，则e a-ln a<e b-ln b不一定成立，排除；B：若y=ln x x且x∈(0,+∞)，则y =1-ln xx2，所以(0,e)上y >0，y递增；(e,+∞)上y <0，y递减；故y在(0,+∞)上不单调，则ln aa<ln bb不一定成立，排除；C：若y=xe x且x∈(0,+∞)，则y =e x(x+1)>0，即y在(0,+∞)上递增，所以ae a>be b，即ba<e a-b，排除；D：若y=x-sin x且x∈(0,+∞)，则y =1-cos x≥0，即y在(0,+∞)上递增，所以a-sin a>b-sin b，即sin a-sin ba-b<1，正确.故选：D5.(2022·贵州贵阳·高二期末(理))设a=e1.01，b=3e，c=ln3，则a，b，c的大小关系是( )A.b>a>cB.c>a>bC.a>c>bD.a>b>c【答案】D【解析】分析可得a>2，b∈(1,2)，c∈(1,2)，令f(x)=ln x-xe,x∈[e,+∞)，利用导数可得f(x)的单调性，根据函数单调性，可比较ln3和3e的大小，即可得答案.【详解】由题意得a=e1.01>e1>2，b=3e∈(1,2)，c=ln3∈(1,2)，令f(x)=ln x-xe,x∈[e,+∞)，则f (x)=1x-1e=e-xxe≤0，所以f(x)在[e,+∞)为减函数，所以f(3)<f(e)，即ln3-3e<ln e-ee=0，所以ln3<3e，则e1.01>3e>ln3，即a>b>c.故选：D6.(2022·重庆南开中学高二期末)已知a=65ln1.2，b=0.2e0.2，c=13，则( )A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b【答案】A【解析】b=0.2e0.2=e0.2ln e0.2，令f x =x ln x，利用导数求出函数f x 的单调区间，令g x =e x-x-1，利用导数求出函数g x 的单调区间，从而可得出e0.2和1.2的大小，从而可得出a,b的大小关系，将b,c两边同时取对数，然后作差，从而可得出b,c的大小关系，即可得出结论.【详解】。

零点比大小方法的推广及相切问题的处理

零点比大小方法的推广及相切问题的处理湖南常德陈永清例1.已知函数f (x )=(e −a )e x −ma +x(m,a ∈R)，若存在实数a ，使得f (x )≤0对任意x ∈R 恒成立，则实数m 的取值范围是（）A.[−1e ,+∞) B.[−e,+∞) C.[1e ,e] D.[−e,−1e ] 答案：A 。

解析：（法1，两边零点比大小）f (x )≤0⟺e x+1+x ≤a(m +e x )，令e x =t ，则x =ln t ，所以问题等价于et +ln t ≤a(t +m)对t >0恒成立，直线y =a(t +m)交x 轴于点(−m,0)，曲线y =et +ln t 交x 轴于点(1e ,0)要满足题设，则−m ≤1e（两边零点比大小），即m ≥−1e.【此解法在本人主编的《轻松快捷巧记高中数学知识与解题方法》（2019版）P184例5中可见】（法2，在切点处函数值比大小）f (x )≤0⟺x −ma ≤(a −e )e x （*），显然a >e .【斜率为1的直线与曲线的不等关系】设g (x )=(a −e )e x ，令g ′(x )=(a −e )e x =1，得x =−ln(a −e)，把x =−ln(a −e)代入（*）中，得ma +1≥−ln(a −e)。

【在x =−ln(a −e)处的函数值比大小】则只需存在a >e ，使得ma +1≥−ln(a −e)成立，即m ≥−1−ln(a−e)a。

可求得m ≥−1e .（法3，补集思想）若∀a ∈R ，∃x ∈R ，使得f (x )=−(e x +m )a +e x+1+x >0，【视作关于a 的一次函数】则只需{e x +m =0e x+1+x >0，即m =−e x 在(−1,+∞)成立，则m <−1e .从而存在实数a ，使得f (x )≤0对任意x ∈R 恒成立的实数m 的取值范围是m ≥−1e.【提升】上述问题可以归纳为：若f (x )≥ax +b （或f (x )≤ax +b)）恒成立，求参数a 或b 或ba 或a +b 等代数式的取值范围.（含两个参数的问题）（1）两边有零点时，利用零点比大小，得出最值；如果是求在取得最值的条件下的某代数式的值，则利用最值状态是相切状态，分别求出参数的值；如图1，图2；说明：零点比大小的方法，在《轻松快捷巧记高中数学知识与解题方法》中专题32作了阐述。