第3章 随机信号分析
随机信号分析 第三章平稳随机过程(2)
- -
f(t1 ) X (t2 t1 ) f (t2 )dt1dt2 0 R
3.2.2平稳随机过程互相关函数的性质
性质1:R XY (0)=R YX (0),R XY (0)表随机过程在同一时刻的相关性
性质2：一般情况下，互相关 函数是非奇非偶的函数 RXY ( ) RYX ( ).
如果两个复随机过程各 自平稳且联合平稳，则 RZ1Z 2 (t , t ) RZ1Z 2 ( ) CZ1Z 2 (t , t ) CZ1Z 2 ( )
如果CZ1Z 2 (t , t ) 0, 则称Z1 (t )与Z 2 (t )为不相关过程。 如果RZ1Z 2 (t , t ) 0，则称Z1 (t )与Z 2 (t )为正交过程。
R XY ( )=E[X(t)Y(t+ )]=E[Y(t+ )X(t)]=R YX (- )
性质3 : 互相关函数幅度平方满 | RXY ( ) |2 RX (0) RY (0) 足： 互协方差函数满足： XY ( ) |2 C X (0)CY (0) 2 X 2Y |C
(2)相关时间 | X ( 0 )|=0.05,的时间为相关时间 0。
（3）互相关系数 定义X(t)和Y(t) 的互相关系数为 PXY ( ) R XY ( ) XY ( )= = 1 R X (0)R Y (0) X Y
3.6复随机过程
3.6.1复随机变量 如果X和Y分别是实随机变量，定义Z＝X＋jY 为复随机变量。 复随机变量的数学期望在一般情况下是复数： mZ=E[Z]=E[X]+j E[Y]=mX+jmY
方差则为
2 Z＝E[| ( X mX ) j (Y mY ) |2 ] D[ X ] D[Y ]
随机信号分析第3章-平稳性与功率谱密度
8
a) 一般在实际应用中，只要产生随机信号 的主要物理条件，在时间进程中不发生变化。 则此信号就可以认为是平稳的。例如：在电子 管中由器件的“颗粒效应”引起的散弹噪声， 由于产生此噪声的主要物理条件不变，所以此 噪声可以认为是平稳的。
b)另一方面，对于有些非平稳随机信号， 可以根据需要，如果它在观测时间段内是平稳 的，就可以在该时间段内把信号视作平稳的随 机信号来处理。
（5）若自相关函数 R( ) 关于 在原点连续， 则它是关于 处处连续。
看书上图3.3，P71
22
例 如图所示，随机信号X(t)与A(t)相加。 X(t) 与A(t)相互独立，且其中之一均值为零。试求 它们之和Y(t)的自相关函数与X(t)，A(t)的自相 关函数之间的关系。
解：Y (t) X (t) A(t)
13
联合广义平稳
定义：随机信号X (t),t T与Y(t),t T，如果
单个是广义平稳的，且其互相关函数存在，并
与两时刻 t1,t2 的绝对值无关，只与相对差
t1 t2有关，即 RXY (t1, t2 ) RXY (t , t) RXY ( )
则称X(t)与Y(t)具有联合广义平稳性。
cos(2t
2)
1 2
RX
(
)
cos(
)
所以，Y(t)广义平稳。
16
§3.3 广义平稳随机信号的相关函数
一、自相关函数与协方差函数
R( ) E X (t )X (t)
x1x2 f (x1, x2;t , t)dx1dx2
C( ) E X (t ) m X (t) m
R(t1,t2 ) R(t1 t,t2 t) 自相关函数平稳
随机信号分析与处理(第2版)
随机信号分析与处理（第2版）概述本文档介绍了随机信号分析与处理（第2版）的主要内容。
随机信号是一种在时间上或空间上具有随机性质的信号，在诸多领域中都有广泛的应用，如通信、图像处理、控制系统等。
随机信号的分析和处理对于了解其性质、提取有用信息以及设计有效的处理算法都是必不可少的。
主要内容第一章：随机信号的基本概念本章介绍了随机信号的基本概念和特性，包括随机信号的定义、概率密度函数、均值、方差等。
通过对随机信号的特性分析，可以为后续的分析和处理提供基础。
第二章：随机过程本章讨论了随机过程的定义和性质。
随机过程是一类具有随机性质的信号集合，其在时间上的取值不确定，但具有统计规律性。
通过对随机过程的分析，可以了解其演化规律和统计性质。
本章介绍了随机信号的表示与分解方法。
随机信号可以通过不同的数学模型进行表示，如傅里叶级数、傅里叶变换、小波变换等。
通过将随机信号进行分解，可以提取出其中的有用信息。
第四章：随机信号的功率谱密度本章研究了随机信号的功率谱密度。
功率谱密度描述了随机信号在频率域上的分布，通过分析功率谱密度可以获得随机信号的频率特性和频谱信息。
第五章：随机信号的相关与协方差本章讨论了随机信号的相关与协方差。
相关是用来描述随机信号之间的依赖关系，协方差是用来描述随机信号之间的线性关系。
通过分析随机信号的相关与协方差，可以研究信号之间的相关性和相关结构。
本章介绍了随机信号的滤波和平均处理方法。
滤波是用来抑制或增强随机信号中的某些频率分量，平均则是通过对多次采样的随机信号进行求平均来减小随机性。
第七章：随机信号的参数估计本章研究了随机信号的参数估计方法。
参数估计是通过对随机信号进行采样和分析，通过估计参数来了解信号的统计性质和特征。
第八章：随机信号的检测和估计本章讨论了随机信号的检测和估计方法。
检测是用来判断随机信号的存在或不存在，估计是通过对随机信号的采样和分析来估计信号的参数。
第九章：随机信号的最优滤波本章研究了随机信号的最优滤波方法，最优滤波是通过优化设计滤波器来最小化系统误差或最大化输出信噪比。
随机信号分析第三章new
因而，我们根据定义式，求得过程X (t) 的均值，自相关函数和均 方值分别为
mX (t ) E[ X (t )] E[ cos(0t )]
2 0
1 cos(0t ) d 0 2
过程X( t )的均值为“0”（常数），
R X (t1 , t 2 ) R X (t , t ) E[ X (t ) X (t )] E[ cos( 0 t ) cos( 0 (t ) )]
1 x(t ) x(t ) Rx ( ) lim T 2T
T
T
x(t ) x(t ) dt f ( )
其结果 f ( ) 是个确定的时间函数。
若对随机过程 X ( , t ) 求时间自相关，则
X (t ) X (t ) X (t ) X (t ) RX ( ) 1 T 1 lim T X (t ) X (t )dt Tlim 2T T 2T f ( , )
例3.1 设随机过程 X (t ) cos(0t )
式中， , 0 皆为常数， 是在 (0,2 )上均匀分布的随机变量。
试问： X( t )是否是平稳随机过程？为什么？ 解：由题意可知，随机变量 的概率密度为
1 / 2 , f ( ) 0,
0 2 其他
1
说明
要按上述严平稳过程的定义来判断一个过程是否平稳? 是很困难的 一般在实用中，只要产生随机过程的主要物理条件，在 时间进程中不变化。则此过程就可以认为是平稳的。 另一方面，对有些非平稳过程，可以根据需要，如果它 在所观测的时间段内是平稳的，就可以视作这一时间段 上的平稳过程来处理。即在观测的有限时间段内，认为 是平稳过程。 一般在工程中，通常只在相关理论的范围内讨论过程的 平稳问题。即：讨论与过程的一、二阶矩有关的问题
随机信号分析(第3版)第三章 习题答案
⎧8δ (ω ) + 20(1 − ω /10), （2） S (ω ) = ⎨ 0, ⎩ 求它们的自相关函数和均方值。 解：(1)
(4) 否， R Y (0) = −1 在原点不是非负 (5)是 3.15 3.16 已 知 随 机 过 程 X (t ) 和 Y (t ) 独 立 且 各 自 平 稳 ， 自 相 关 函 数 为 RX (τ ) = 2e − τ cos ω0τ 与 RY (τ ) = 9 + exp(−3τ 2 ) 。令随机过程 Z (t ) = AX (t )Y (t ) ，其中 A 是均值为 2，方差为 9 的随机变量，且与 X (t ) 和 Y (t ) 相互独立。求过程 Z (t ) 的 均值、方差和自相关函数。 解： (6) 是 (7) 是 (8) 是
2 2 3.14 对于两个零均值广义平稳随机过程 X ( t ) 和 Y ( t ) ， 已知 σ X = 5 ，σY = 10 ，
问下述函数可否作为自相关函数，为什么？ （1） RX (τ ) = 5u (τ ) exp ( −3τ ) ； （3） RY (τ ) = 9 (1 + 2τ 2 ) ； ⎡ sin ( 3τ ) ⎤ （5） RX (τ ) = 5 ⎢ ⎥ ； ⎣ 3τ ⎦ （6） RX (τ ) = 5 exp(− τ ) ； 解：根据平稳随机信号相关函数的性质， (1)否，非偶函数 (2)否，非偶函数 (3) 否， R Y (0) = 9 ≠ σ 2Y
3.6 给定随机过程 X ( t ) = A cos (ω 0t ) + B sin (ω 0t ) ，其中 ω 0 是常数， A 和 B 是 两个任意的不相关随机变量，它们均值为零，方差同为 σ 2 。证明 X ( t ) 是广义平 稳而不是严格平稳的。 3.6 证明：Q m X (t ) = E[X(t )] = E[ A cos(ω 0 t ) + B sin(ω 0 t) ] = 0
随机信号分析(第3版)第三章 习题答案
Z (t )的均值: E[ Z (t )] = E[ A ⋅ X (t ) ⋅ Y (t )] = E[ A] ⋅ E[ X (t )] ⋅ E[Y (t )] = 2 E[ X (t )] ⋅ E[Y (t )]
2 mX = RX (∞) = lim
2 cos ω0τ = 0 → mX = 0 τ →∞ eτ
⎡ 2 1.3 0.4 __ ⎤ ⎢ __ 2 1.2 0.8⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 0.4 1.2 __ 1.1 ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ 0.9 __ __ 2 ⎦ 3.12 解：根据广义平稳随机信号过程的自相关函数矩阵的对称性，得到： ⎛ 2 1.3 0.4 0.9 ⎞ ⎜ 1.3 2 1.2 0.8 ⎟ ⎟ C= ⎜ ⎜ 0.4 1.2 2 1.1 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 0.9 0.8 1.1 2 ⎠ 3.13
= E[100 sin 2 (ω 0 t + θ ) ×100 sin 2 (ω 0 t + ω 0τ + θ ) ] = 2500 E[1 − cos(2ω 0τ ) − cos(4ω 0 t + 2ω 0τ + 4θ )] = 2500 E[1 − cos(2ω 0τ ) ] ∴ R Z (τ ) 仅与 τ 有关，且均值为常数，故 Y(t ) 是平稳过程。
3.6 给定随机过程 X ( t ) = A cos (ω 0t ) + B sin (ω 0t ) ，其中 ω 0 是常数， A 和 B 是 两个任意的不相关随机变量，它们均值为零，方差同为 σ 2 。证明 X ( t ) 是广义平 稳而不是严格平稳的。 3.6 证明：Q m X (t ) = E[X(t )] = E[ A cos(ω 0 t ) + B sin(ω 0 t) ] = 0
随机信号分析基础第三章课后答案
第三章，平稳随机过程的n 维概率密度不随时间平移而变化的特性，反映在统计特征上就是其均值不随时间的变化而变化，mx 不是t 的函数。
同样均方值也应是常数。
（2）二维概率密度只与t1,t2的时间间隔有关，而与时间起点t1无关。
因此平稳过程的自相关函数仅是单变量tao 的函数。
则称他们是联合宽平稳的。
第三章Chapter 3 ==========================================3.2 随机过程()t X 为()()ΦωX +=t cos A t 0式中，A 具有瑞利分布，其概率密度为()02222>=-a eaa P a A ，σσ，()πΦ20，在上均匀分布，A Φ与是两个相互独立的随机变量，0ω为常数，试问X(t)是否为平稳过程。
解：由题意可得:()[]()()002121020222220002222=⇒+=*+=⎰⎰⎰⎰∞--∞φφωπσφπσφωX E πσσπd t cos da e a a dad eat cos a t a a ()()()[]()()()()()()[]()()()()()120212021202021202022212020220210120220222020100222222002010212121221122102122121212212122222222222222t t cos t t cos t t cos det t cos da e e a t t cos dea d t t cos t t cos a d ea d t cos t cos da eaadad e at cos a t cos a t t t t R a a a a a a a -=-⨯=-⨯-=-⨯⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎪⎬⎫-∞+-=-⨯-=⎩⎨⎧⎭⎬⎫+++---=++=++==-∞∞---∞∞-∞--∞⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ωσωσωσωωφφωωπσφπφωφωσφσπφωφωX X E σσσσπσπσσπXX ）（，可见()[]t X E 与t 无关，()21t t R ，XX 与t 无关，只与()12t t -有关。
随机信号分析(常建平 李海林版)课后习题答案
由于百度文库格式转换的原因，不能整理在一个word 文档里面，下面是三四章的答案。
给大家造成的不便，敬请谅解随机信号分析 第三章习题答案、随机过程 X(t)=A+cos(t+B)，其中A 是均值为2，方差为1的高斯变量，B 是（0，2π）上均匀分布的随机变量，且A 和B 独立。
求（1）证明X(t)是平稳过程。
（2）X(t)是各态历经过程吗？给出理由。
（3）画出该随机过程的一个样本函数。
（1）（2）3-1 已知平稳过程()X t 的功率谱密度为232()(16)X G ωω=+，求：①该过程的平均功率？②ω取值在(4,4)-范围内的平均功率？解[][]()[]2()cos 211,cos 5cos 22X E X t E A E t B A B R t t EA τττ=++=⎡⎤⎣⎦+=+=+与相互独立()()()21521()lim2TT T E X t X t X t X t dt AT-→∞⎡⎤=<∞⇒⎣⎦==⎰是平稳过程()()[]()()4112211222222242'4(1)24()()444(0)41132(1)224414414(2)121tan 13224X X XE X t G d RFG F e R G d d d arc x x ττωωωωωππωωπωωπωπωω∞----∞∞-∞-∞∞--∞∞⎡⎤⨯⎡⎤==⋅=⋅⎢⎥+⎣⎦====+==⎛⎫+ ⎪==⎣⎦=++⎝⎭=⎰⎰⎰⎰⎰P P P P 方法一()方：时域法取值范围为法二-4,4内(频域的平均率法功)2d ω=3-7如图3.10所示，系统的输入()X t 为平稳过程，系统的输出为()()()Y t X t X t T =--。
证明：输出()Y t 的功率谱密度为()2()(1cos )Y X G G T ωωω=-[][]:()[()()]{()()}{()(}2()()()()()()()()2(()[)()(()()]()())Y X X X Y X X Y Y Y X X X Y Y j T j T R E Y t Y t E X t X t T X t X t T R R R R E Y t Y t G F R T T e e G R G R G G G G ωωτττττωτωττωττττωωωω-⇒⇒=+=--+-+-=--=+=-⇔⇔∴=-+-=已知平稳过程的表达式利用定义求利用傅解系统输入输出立叶平变稳换的延时特性2()2()22()(1cos )j T j T X X X e e G G G T ωωωωωω-⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦=-3-9 已知平稳过程()X t 和()Y t 相互独立，它们的均值至少有一个为零，功率谱密度分别为216()16X G ωω=+22()16Y G ωωω=+令新的随机过程()()()()()()Z t X t Y t V t X t Y t =+⎧⎨=-⎩ ①证明()X t 和()Y t 联合平稳； ②求()Z t 的功率谱密度()Z G ω ③求()X t 和()Y t 的互谱密度()XY G ω ④求()X t 和()Z t 的互相关函数()XZ R τ ⑤求()V t 和()Z t 的互相关函数()VZ R τ 解:()()4124(1)()()()2[()]()0[()]0()2[()]0()()(,)[()][()]0()()(2)()()()()[()()][()()][()X X X Y XY Z X t Y t R F G e E X t R E X t R eE Y t X t Y t R t t E X t E Y t X t Y t Z t X t Y t R E Z t Z t E X t Y t X t τττωτδττττττ---==∞=⇒=⎡⎤⎣⎦=-⇒=∴+=⋅+=⇒=+=+=++、都平稳＝与与联合独平立稳[][]{}2214||()]()()()()()0()()()16()()()116(3)()0()0(4)()[()()]()()()()()()[()]2(5)(X YX XY Y XY Z X Y Z X Y XY XY XZ X XY X X VZ Y t R R R R R R R R G G G R G R E X t Z t E X t X t Y t R R R F G e R ττττττττττωωωωωτωτττττττωτ--++=+++=∴=++∴=+==+=→==+=+++=+==={}4||)[()()][()()][()()]()()()4X Y E V t Z t E X t Y t X t Y t R R e ττττττδτ-=+=-+++=-=+-3-11 已知可微平稳过程()X t 的自相关函数为2()2exp[]X R ττ=-，其导数为()()Y t X t '=。
随机信号分析第三章
E{ X (t + Δt )} → E{ X (t )}
或
m X (t + Δt ) → m X (t )
(3.2.10)
由此可以得出结论: 如果 X (t ) 均方连续，则其均值函数亦连续。(3.2.10)式也可以表示为
Δt →0
lim E{ X (t + Δt )} = E{ X (t )} = E{l ⋅ i ⋅ m X (t + Δt )}
(3.1.11)
假定系统是线性时不变的，由线性时不变的基本特性和两个基本定理可以看出，如果 X (t ) 是 严平稳的，则 Y (t ) 也是严平稳的。如果 X (t ) 是广义平稳的，则 Y (t ) 也是广义平稳的。
108
3.2 随机过程的导数与积分
与确定性过程一样，导数和积分是随机过程的两种重要的运算，而导数和积分又是以极限为基 础的。因此，本节首先介绍随机变量极限的概念，进而引入导数和积分的概念。随机变量的极限有 几种，我们只讨论其中最常用的一种，即均方极限，因此，我们讨论的导数和积分都是均方意义下 的导数和积分。
3.2.3 随机过程的导数
有了随机过程极限与连续性的定义后，我们就可以引入导数的概念。 1 导数的定义 定义：设随机过程 X (t ) ，如果下列极限存在，
l ⋅i ⋅m
Δt →∞
X (t + Δt ) − X (t ) Δt dX (t ) , 即 dt
(3.2.12)
则称此极限为随机过程 X (t ) 的导数，记为 X ′(t ) 或
以上两个定理是线性变换的两个基本定理，它给出了随机过程经过线性变换后，输出的均值和 相关函数的计算方法。 从两个定理可知，对于线性变换，输出的均值和相关函数可以分别由输入的均值和相关函数确 定。推广而言，对于线性变换，输出的 k 阶矩可以由输入的相应阶矩来确定。如
随机信号分析_第三章_平稳随机过程的谱分析
A RX (t , t ) e j d
说明如果A<RX(t,t+τ)>绝对可积，那自 相关函数的时间平均与功率谱密度是傅 里叶变换对。
对于平稳随机过程，由于： A<RX(t,t+τ)>＝ A<RX(τ)>＝ RX(τ) 所以: j S X ( ) RX ( )e d
S X ( ) R X ( )e
0
j
d
0
Ae e
j
d Ae
e
j
d
1 1 A[ ] j j 2 A 2 2
例3.4 P203 设随机相位信号X(t)＝Acos(ω0t+θ)， 其中A, ω0为常数； θ为随机相位，在（0， 2π）均匀分布。可以计算初其自相关函 数RX(τ)=[A2cos (ω0τ)]/2, 求X(t)的功率谱 密度。 解：引入δ函数。 1 1 j ()e d 2 2
3.2.1 功率谱密度的性质
1. 功率谱密度的非负性。即： SX(ω)>=0 2. 功率谱密度是ω的实函数。即： SX(ω)= SX(ω)
3. 对于实随机过程来讲，功率谱密度是ω 的偶函数。即： SX(ω)＝ SX(－ω) 4. 功率谱密度可积。即：
S X ( )d
3.2.2 谱分解定理
满足上述条件的x(t)的傅利叶变换为：
Fx ( ) x(t )e
jt
dt
称为x(t)的频谱。为一复数，有 Fx(ω)= Fx(-ω)
Fx(ω)的傅利叶反变换为：
1 x(t ) 2
第三章 随机信号分析
随机信号是一类变化规律不确定的、随时间变化的 信号。知道当前的值，不能精确地预计未来某个时刻 的值。 一般来说，由人工产生的信号大都是确知信号，如 周期正弦波、雷达的发射信号等 自然界产生的许多信号都是随机信号，如海浪、地 物杂波、图象信号、语音信号、地震信号和医学上的 生理信号等。 在实际中遇到的信号，大部分都是随机信号。即使 由人工产生的信号是确知的，但信号经信道传输以后 也会受到噪声污染而变成了随机信号。
p1 x 1 , t 1 p1 x 1 , p 2 x 1 , x 2 , t 1 , t 1
p 2 x 1 , x 2 ,
24
2、严平稳随机过程的数字特征
（1） 数学期望（均值函数）:与时间无关
E X t
x p1 x , t d x
第三章 随机信号
1
学习目标
随机过程的基本概念; 随机过程的数字特征（均值函数、方差函数、相关函 数）; 随机过程的平稳性、各态历经性、自相关函数的性质、 维纳－辛钦定理; 高斯随机过程的定义、性质，其一维概率密度函数和正 态分布函数，高斯白噪声; 平稳随机过程通过线性系统，其输出过程的均值函数、 自相关函数和功率谱密度、带限白噪声; 窄带随机过程的表达式，其包络、相位的统计特性，其 同相分量、正交分量的统计特性； 余弦波加窄带高斯过程的合成包络的统计特性(选学） 匹配滤波器 2 循环平稳随机过程
13
如果对于X(t)任意时刻和任意n都给定了分布函数
或概率密度，即n越大，对随机过程统计特性的描述
就越充分，但问题的复杂性也随之增加。
14
2、随机过程的数字特征
第3章随机信号分析
➢ 随机信号：信号的某个或某几个参数不 能预知或不能完全预知。 ➢ 随机噪声：不能预测的噪声。（简称噪声）
➢ 随机过程：随机信号与随机噪声的统称。
1
主要内容
3.1 随机过程的一般表述 3.2 平稳随机过程 3.3 平稳随机过程的相关函数和功率谱密度 3.4 高斯过程 3.5 白噪声 3.6 随机过程通过线性系统
12
3.1 随机过程的一般表述 3.2 平稳随机过程 3.3 平稳随机过程的相关函数和功率谱密度 3.4 高斯过程 3.5 白噪声 3.6 随机过程通过线性系统
13
定义一：若随机过程的任何n维分布函数或概率 密度函数与时间起点无关，则称之为平稳随机过 程。（狭义）
即： fn (x 1 ,x 2 , x n ;t1 ,t2 , ,tn ) f n ( x 1 ,x 2 , x n ; t 1 ,t 2 , ,t n )
15
假设x(t)是平稳随机过程的任一实现，其数字特征为：
a
lim T
2
lim T
T 1 T 1 T 2 T 2 T 2T 2 [x x((tt)) dat]2dt
lim R ()T T 1 T 2 T 2x(t)x(t)dt
则由“各态历经性”可得随机过程的数字特征为：
a a
2 2
R ()R ()
平稳随机过程的数字特征： ① 数学期望和方差与t无关，分别为a和σ2 ② 自相关函数仅与时间间隔有关，即 R (t1,t1)R ()
14
定义二：数字特征满足上述特性的随机过程 称为平衡随机过程。（广义）
通信系统中的信号与噪声大部分都是平稳随 机过程。
平稳随机过程的各态历经性：平稳随机过 程的数字特征可由随机过程中的任一实现 的数字特征来决定，即随机过程的数字特 征可用“时间平均”代替“统计平均”。
随机信号分析课件
谱密度函数
谱密度函数描述了随机信号的频率成分。
通过谱密度函数，可以了解信号在不同频率下的强度分布。
04
随机信号的频域分析
傅里叶变换
傅里叶变换的定义
傅里叶变换是一种将时间域信号转换为频域信号的方法， 通过将信号分解为不同频率的正弦波和余弦波的线性组合， 可以更好地理解信号的频率成分。
功率谱密度的计算
功率谱密度可以通过傅里叶变换的模平方得到， 也可以通过相关函数得到。
功率谱密度的应用
功率谱密度在信号处理中用于频域滤波、噪声抑 制、频率估计等方面。
滤波器设计
滤波器的分类
滤波器可以分为低通滤波器、高通滤波器、带通滤波器和带阻滤波 器等类型，不同类型的滤波器具有不同的频率响应特性。
滤波器的设计方法
傅里叶变换的性质
傅里叶变换具有线性性、时移性、频移性、共轭性、对称 性等性质，这些性质有助于简化信号处理和分析的过程。
傅里叶变换的应用
傅里叶变换在信号处理、通信、图像处理等领域有着广泛 的应用，例如频谱分析、滤波器设计、调制解调等。
功率谱密度
功率谱密度的定义
功率谱密度是描述随机信号频域特性的重要参数， 它表示信号功率随频率的分布情况。
04
通信
在通信领域中，随机信号分析 用于信道容量评估、信噪比估
计、误码率分析等方面。
雷达
在雷达领域中，随机信号分析 用于目标检测、跟踪和成像等
方面。
地球物理学
在地球物理学领域中，随机信 号分析用于地震勘探、矿产资
源评估等方面。
金融
在金融领域中，随机信号分析 用于股票价格波动分析、风险
评估等方面。
02
随机信号分析课件第三章全解
1
2
S
X
(
)e
j
d
RX (t,t ) RX ( )
A RX (t,t ) A RX ( ) RX ( )
那么
SX ()
RX
(
)e
j
d
RX
(
)
1
2
S
X
(
)e
j
d
维纳－辛钦定理
平稳随机过程的相关函数和功率谱密度皆为偶函数
SX () 2 0 RX ( ) cosd
T 2T
T
T RXY (t, t)dt
lim 1
E[
X
* X
(T
,
)
X
Y
(T
,
)]d
T 2
2T
互功率谱密度定义为
SX（Y ）＝lim T
1 2T
E
X
* X
(T ,) XY
(T ,)
那么有QXY
=
1
2
-
S XY
d
类似地互功率谱密度定义为
SYX
lim
T
1 2T
E
X
* Y
(T
,
)
X
沿实轴的变化相一致。二者只是符号的一致，各自 的函数形式并不一样。
【例题】
S
X
(
)
10(2 4 10 2
5) 24
用复频率表示功率谱。
解：
SX (s)
SX
(
js)
10(s2 5) s4 10s2 24
jω
10(s 5)(s 5)
(s 2)(s 2)(s 6)(s 6)
第三章随机过程的线性变换NEW随机信号分析与处理
k0 j0
k 0
2rm r2k
k 0
2rm
1 r2
例3：设一个平稳随机序列X(n)的自相关函数为 2 (m) ，线性
系统的单位冲激响应是
h(n) rn n 0,| r |1
求输出Y(n)的自相关函数及功率谱密度。
[解]
H(z)
h(k ) z k
k 0
rk zk
k 0
1 1 rz1 ,|
H (0 )
0
0
H () 2 d
e
0
H ()
2
max
等效原则：理想系统 与实际系统在同一白 噪声激励下的输出平 均功率相等，且理想 系统的增益为实际系 统的最大增益。
性质：
✓ 噪声等效通带只能由线性系统特性确定；
H () 2 d
fe
0
2
H ()
2
max
✓ 对于带通系统，输出平均功率
RY (0) feN0 H (0 ) 2
时域法
变换域方法
微分方程法 冲击响应法 频谱法
系统特 性描述
适用 范围
特点
微分方程和初 始值
h(t)
平稳和非平稳 平稳和非平稳
运算繁琐
h(t)较简单时， 较方便
H( )
平稳 方法简单
时域（冲击响应法）
频域（频谱法）
RXY ( ) h( ) RX ( )
RYX ( ) h( ) RX ( )
h(t1) h(t2 ) RX (t1,t2 )
1. 冲击响应法
X(t)
h(t)
Y(t)
m (t )
X
h(t )
mY (t )
RX (t1, t2 ) RX (t1, t2 )
第三章电子讲义：随机信号分析
第三章随机信号分析知识结构-随机过程的基本概念和统计特征-平稳随机过程与各态历经性-平稳随机过程的自相关函数和功率谱密度-高斯过程及其应用-随机过程通过线形系统教学目的-了解随机信号的概念和基本分析方法；-掌握随机过程数字特征、平稳随机过程的相关函数与功率谱密度的关系及其计算-掌握平稳随机过程通过线性系统的性质和相应计算。
教学重点-随机过程的基本概念和数字特征-自相关函数与功率谱密度的关系（即维纳-辛钦定理）-平稳随机过程通过线形系统教学难点-各态历经性的理解-随机过程的自相关函数的性质-维纳-辛钦定理教学方法及课时-多媒体授课（4学时）（2个单元）备注（在上课之前最好让学生复习一下“概率论”）单元四（2学时）§3.1 引言（随机信号的范畴和基本分析方法）本节知识要点：研究随机信号的意义和基本方法随机过程是信号和噪声通过通信系统的过程，因此，分析与研究通信系统，总离不开对信号和噪声的分析。
通信系统中遇到的信号，通常总带有某种随机性，即它们的某个或几个参数不能预知或不可能完全预知（如能预知，通信就失去意义）。
我们把这种具有随机性的信号称为随机信号。
通信系统中还必然遇到噪声，例如自然界中的各种电磁波噪声和设备本身产生的热噪声、散粒噪声等，它们更不能预知。
凡是不能预知的噪声就统称为随机噪声，或简称为噪声。
从统计数学的观点看，随机信号和噪声统称为随机过程。
因而，统计数学中有关随机过程的理论可以运用到随机信号和噪声分析中来。
其基本分析方法主要是通过分析其基本的数字特征，如均值、方差、相关函数等来实现的。
§3.2 随机过程的基本概念本节知识要点：随机过程概念及其基本数字特征1、随机过程的一般概念通信过程中的随机信号和噪声均可归纳为依赖于时间参数t的随机过程。
这种过程的基本特征是，它是时间t的函数，但在任一时刻观察到的值却是不确定的，是一个随机变量。
或者，它可看成是一个由全部可能实现构成的总体，每个实现都是一个确定的时间函数，而随机性就体现在出现那一个实现是不确定的。
《随机信号分析基础》课件第3章
RXY t,t E X t Y t E Acost B sin tAcos 2t B sin 2t
E A2 cost cos 2t AB cost sin 2t ABsin t cos 2t B2 sin t sin 2t
令Δt=－t1， 且τ=t2－t1， 则式（3-2）变为
fX(x1, x2; t1, t2)=fX(x1, x2; t1+Δt, t2+Δt) =fX(x1, x2; 0, t2－t1)=fX(x1, x2; τ)
(3-7)
严平稳随机信号X(t)的二维数字特征如下： 自相关函数（见图3-4）
RX t1,t2 E X t1 X t2
tn+Δt, t1′+Δt, t2′+Δt, …, tm′+Δt) (3-14)
联合严格平稳性的性质为： X(t)与Y(t)的二维联合概率 分布或密度函数只与选取两个时刻的差值有关。
FXY(x, y; t1, t2)=FXY(x, y; t1+Δt, t2+Δt)=FXY(x, y; τ), τ=|t1－t2| (3-15)
证明 由题意知：
E A=E B=0 D A=DB= 2 E AB=E A E B=0
E X t =E Acos0t+B sin 0t = cos0t E A+ sin 0t E B=0=mX
RX t,t+ =E X t X t+
=E Acos0t+B sin 0t Acos0 t+ +B sin 0 t+
3.1.3
1. 若随机信号X(t)与Y(t)的任意n+m维联合概率分布函数具 有下述的时移不变性： FXY(x1, x2, …, xn, y1, y2, …, ym; t1, t2, …, tn, t1′, t2′, …, tm′) =FXY(x1, x2, …, xn, y1, y2, …, ym; t1+Δt, t2+Δt, …,tn+Δt,
3随机信号的分析
第三章 随析1. 试求下列均匀概率密度函数的数学期望和方差:⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=xa x a ax f 其它021)(A 3a,022. 试求下列瑞利概率密度函数0 2)(2≥=-x ebx x f bx的数学期望和方差：A)41(, 4ππ-b3. 具有上题所示的瑞利概率密度函数，已知方差是7，那么均值是多少？并求随机变量大于均值，而又小于10的概率是多少？A 41.0, 06.54. 设（X,Y ）的二维概率密度函数为：0,0 )exp(4),(22≥≥--=y x y x xy y x f求22YXZ +=的概率密度函数。
A 232zez -5. 两个高三斯随机变量X 和Y ，设它们的均值都是0，方差都是2σ。
它们的联合概率密度函数为：])1(22exp[121),(222222ρσρρπσ-+---=y xy x y x f（1）.X 和Y 之间的相关系数。
A. ρ（2）.当0=ρ时，A .X 和Y 是统计独立的。
6. 设随机变量X ，Y 和随机变量θ之间的关系为：,sin ,cos θθ==Y X 并设θ在0至2π范围内均匀分布，则X 和YA .统计不独立，不相关。
7. 如图P3.1给出了随机过程X(t),Y(t)的样本函数。
假设样本函数出现的概率相等。
（1） 试求{})()(t x E t m x =和),(τ+t t R X 。
A 32, 0（2） 过程X (t)是广义平稳的吗？A 是（3） 试求{})()(t Y E t m y =和),(τ+=t t R y 。
A )](1[52, 0τ++⨯t t（4） 过程Y(t)是广义平稳的吗？A 不是8. 设有两个随机过程：⎩⎨⎧+==)cos()()(cos )()(0201θωωt t X t S tt X t S X(t)是广义平稳过程。
θ是对x(t)独立的。
均匀分布于),(ππ-上的随机变量， (1) )(),(21t S t S 的自相关函数。
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3.2 平稳随机过程
定义 各态历经性 自相关函数 功率谱密度
一、定义
若随机过程的n维概率分布函数Fn ()和n维概 率密度函数fn ()与时间起点无关，则为平稳随 机过程 严平稳过程，狭义平稳过程
f n x1 , x2 ,..., xn ; t1 , t2 ,..., tn f n x1 , x2 ,..., xn ; t1 , t2 ,..., tn
n Fn ( x1 , x2 xn ; t1 , t 2 t n ) f n ( x1 , x2 xn ; t1 , t 2 t n ) x1x2 xn
2.数学期望
E[ (t )] xf1 ( x, t )dx a(t )
物理意义：表示随机过程的n个样本函 数曲线的摆动中心（平均值）
随机变量
定义 分布函数 概率密度函数 二维随机变量 随机变量的数字特征
数学期望 方差 协方差 矩
基本概念（续）
随机过程 设E是随机试验，S={e}是其样本空间，如果对于 每一个e∈S，有一个时间t的实函数 ξ(e,t) t ∈T 与之对应，于是对于所有的e∈S，得到时间t的函 数族。该族时间t的函数称为随机过程，族中每个 函数称为这个随机过程的样本函数。 ξ(t)={x1(t),x2(t),……,xn(t),……} x1(t),x2(t),……为样本函数
物理意义：表示随机过程在两个时刻的 取值的关联程度， ξ(t)变化越平缓，两 个时刻取值的相关性越大，R值越大
5.自协方差函数
B(t1 , t2 ) E{[ (t1 ) a(t1 )][ (t2 ) a(t2 )]}
x1 a t1 x2 a t2 f 2 x1 , x2 ; t1 , t2 dx1dx2
s t
时域分析(续)
窄带噪声可由高斯白噪声经过窄带滤波器 得到。
t 、 t 都是均值a=0的 窄带噪声的 t 、 t 、 s t 的平均功 平稳高斯白噪声； t 、 2 率（方差）相同，为
z2
dz
erfc( x) 1 erf ( x)
2
x
e
z2
dz 2Q( 2 x)
高斯白噪声—时域特性 (续)
随机过程ξ(t)，在任一时刻的取值（随机变量） 都符合高斯分布，则称ξ(t)服从高斯分布。其 n维概率密度函数为：
f n ( x1 , x 2 ,..., x n；t1 , t 2 ,..., t n ) x j a j xk ak 1 1 n n exp B jk ( )( ) 1/ 2 n/2 2 B j 1 k 1 j k (2 ) 1 2 ... n B
高斯白噪声—时域特性
高斯过程重要性质
广义平稳 高斯过程中不同瞬间得到的随机变量之间， 互不相关和相互独立等价 高斯过程通过线性系统，其输出仍是一个高 斯过程 平稳高斯过程，数学期望和方差都是常数
高斯白噪声—时域特性 (续)
1. 一维高斯分布
随机变量ξ，若概率密度函数为
( x a) 2 f ( x) exp[ ] 2 ， 2 2 1
R(τ)=R(-τ) | R(τ)|≤R(0)
平稳随机过程的功率谱密度
功率谱特性
ξ(t)的功率谱： 即： ξ(t)的平均功率：
P () R( )e j d
P ( ) R( )
1 S 2
P ( )d
Po() n0 2 K 2 0
即：平均功率=功率 谱曲线下的面积
1 S R(0) 2
A2 P ( )d 2
3.3 噪声
噪声种类 高斯白噪声 随机过程通过线性系统 窄带噪声 正弦波加窄带噪声
一、噪声种类
单频噪声 脉冲噪声 热噪声 起伏噪声 散弹噪声 宇宙噪声
二、高斯随机过程-高斯白噪声
高斯随机过程
时域特性 频域特性
xn (t) t tk
二、统计特性
概率分布 数学期望 方差 协方差函数 相关函数
1. 概率分布
随机过程ξ(t) 在任一时刻t1的取值是随机 变量，则随机变量ξ(t1)的取值小于等于某 一数值x1的概率为随机过程ξ(t)的一维概 率分布函数：
F1 ( x1 , t1 ) P{ (t1 ) x1}
基本概念（续）
随机过程的一个实现 每一个实现都是一个确定的时间函数， 即样本。随机过程其随机性体现在出现 哪一个样本是不确定的。 随机过程没有确定的时间函数，只能从 统计角度，用概率分布和数字特征来描 述。
基本概念（续）
样本空间
S1 S2 Sn x2 (t) t x1 (t) t
(t)
o
2
o
i
4.概率分布：若ξi(t)是高斯型的，经过线性系统 后的ξo(t)也是高斯型的。
四、窄带随机过程-窄带噪声
定义
表示法1：
(t ) a (t ) cos[ct (t )]
a ξ (t) 对应信号的包络，φξ(t)对应信号 的相位，ωc=2πfc 窄带信号的中心频率 （载频）
第三章 随机信号分析
随机过程 平稳随机过程 噪声 随机过程通过系统
3.1 随机过程
通信过程就是信号和噪声通过系统的过程。 通信中信号特点：具有不可预知性——随机信号。 通信中噪声特点：具有不确定性——随机噪声。 统计学上：随机过程。
一、基本概念 二、统计特性
一、基本概念
三、随机过程通过系统
1、随机过程通过线性系统 2、随机过程通过乘法器
1、随机过程通过线性系统
随机过程ξi(t)通过线性系统h (t)，其输
o(t ) i (t ) h(t ) 出也是随机过程，
输入信号 ξi(t) Pi(ω) 系统 h(t) H(ω) 输出信号 ξo (t) Po(ω)
3. 方差
D( (t )] E{ (t ) E[ (t )]}2 2 (t )
物理意义：表示随机过程在某时刻t的取 值（随机变量）相对于该时刻的期望a(t) 的偏离程度
4. 自相关函数
R(t1 , t2 ) E[ (t1 ) (t2 )]
x1 x2 f 2 ( x1 , x2 ; t1, t2 )dx1dx2
s (t ) a (t )sin (t )
—正交分量
时域分析
c t
的实现 关于 c t , s t c t 和 s t 的均值都为0 c t 和 s t 的自相关只与时间 有关 s t 的方差= t 的方差 c t 、 同一时刻得到的c t 和 s t 不相关
平稳随机过程的自相关函数
以相关函数表示随机过程的物理特性
Rτ E t t τ
ξ(t)的平均功率：S = E[ξ 2(t)] = R(0) ξ(t)的直流功率：a2 = E2 [ξ(t)] = R(∞) ξ(t)的交流功率：σ2 = R(0) - R(∞) 相关函数其他性质
概率分布(续)
随机过程ξ(t)的一维概率密度函数：
F1 ( x1 , t1 ) f1 ( x1 , t1 ) x1
随机过程ξ(t)的n维概率分布函数和n维概 率密度函数分别是：
Fn ( x1 , x2 xn ; t1 , t2 tn ) P{ (t1 ) x1, (t2 ) x2 (tn ) xn }
物理意义：表示随机过程在两个时刻间 的线性依从关系
6.互协方差及互相关函数
B (t1 , t2 ) E{[ (t1 ) a(t1 )][ (t2 ) a(t2 )]}
R (t1 , t2 ) E[ (t1 ) (t2 )]
x1y2 f 2 ( x1, y2 ; t1, t2 )dx1dy2
随机过程通过线性系统(续)
性质：若ξi(t)是平稳随机过程，则
1.期望：E[ξo(t)] = E[ξi(t)] H (0)与t无关
2.自相关函数：Ro(t, t+τ) = Ro(τ) 与t无关 3.功率谱密度函数：
P ( ) R ( )e d P ( ) H ( )
j
f
通信系统中的起伏噪声，在相当宽的频域内具 有平坦的功率谱，故近似认为是白噪声。
高斯白噪声—频域特性 (续)
n0 白噪声的自相关函数为： R( ) ( ) ， 2
n0 2 P() R n0 2 0 f 0
仅在τ=0时，R(τ) ≠0，说明白噪声在任意两个 时刻上的取值都是不相关的。
-f(t)=Asin(w0t+θ)的自相关函 数和功率谱密度,在(0, 2π)内均匀分布。
解：
证明(t)是广义平稳过程 2 A 求自相关函数 R( ) cos c
2
功率谱密度 P ( )
平均功率
A 2
2
[ ( c ) ( c )]
S( f ) f f
£ fc
O
(a) S( f ) 缓慢变化的包络[a(t)]
fc
f
O
t
频率近似为 fc (b)
窄带随机过程的频谱和波形示意
定义(续)