第3章 随机信号分析

S( f ) f f
£ fc
O
(a) S( f ) 缓慢变化的包络[a(t)]
fc
f
O
t
频率近似为 fc (b)
窄带随机过程的频谱和波形示意
定义(续)
表示法2：
(t ) c (t ) cos ct s (t )sin ct
c (t ) a (t ) cos (t ) —同相分量
z2
dz
erfc( x) 1 erf ( x)
2


x
e
z2
dz 2Q( 2 x)
高斯白噪声—时域特性 (续)

随机过程ξ(t)，在任一时刻的取值（随机变量） 都符合高斯分布，则称ξ(t)服从高斯分布。其 n维概率密度函数为：
f n ( x1 , x 2 ,..., x n；t1 , t 2 ,..., t n ) x j a j xk ak 1 1 n n exp B jk ( )( ) 1/ 2 n/2 2 B j 1 k 1 j k (2 ) 1 2 ... n B

各种起伏噪声，在任一时刻，噪声的振 幅都符合均值a=0的高斯分布，故称为 高斯噪声。
高斯白噪声—频域特性

频域特性——近似白噪声
白噪声：功率谱密度在整个频域内都均匀分布 双边功率谱密度函数 单边功率谱密度函数为： 为：Pn(ω)=n0/2(W/Hz) Pn(ω)=n0(W/Hz)
Pn（f） n0/2 P n （f ） n0 0
R(τ)=R(-τ) | R(τ)|≤R(0)
平稳随机过程的功率谱密度

功率谱特性
ξ(t)的功率谱： 即： ξ(t)的平均功率：
P () R( )e j d

P ( ) R( )
1 S 2



P ( )d
Po() n0 2 K 2 0
即：平均功率=功率 谱曲线下的面积
第三章 随机信号分析


随机过程 平稳随机过程 噪声 随机过程通过系统
3.1 随机过程

通信过程就是信号和噪声通过系统的过程。 通信中信号特点：具有不可预知性——随机信号。 通信中噪声特点：具有不确定性——随机噪声。 统计学上：随机过程。
一、基本概念 二、统计特性
一、基本概念
定义（续）
a (t)a; σ2(t) σ2; R(t1,t2)R(τ)


一维分布与t无关： 二维分布只与τ有关 统计特性与时间起点无关 依据数字特征定义

广义平稳过程
二、各态历经性
设x (t)是ξ(t)的任一实现，ξ(t)的统计平均= x (t)的时 1 T2 间平均 aa x(t )dt
-fH O
fH
f
例题

求随机相位正弦波ξ(t)=Asin(w0t+θ)的自相关函 数和功率谱密度,在(0, 2π)内均匀分布。

解：


证明(t)是广义平稳过程 2 A 求自相关函数 R( ) cos c
2

功率谱密度 P ( )
平均功率
A 2
2
[ ( c ) ( c )]
f x 2π e
2
高斯白噪声—时域特性 (续)
3.几个函数的定义
z2 exp( )dz 概率积分函数： ( x) 22 2 1 z Q( x ) exp( )dz Q函数： x 2 2 1
x
误差函数： 互补误差函数：
erf ( x)
2


x
0
e
3. 方差
D( (t )] E{ (t ) E[ (t )]}2 2 (t )
物理意义：表示随机过程在某时刻t的取 值（随机变量）相对于该时刻的期望a(t) 的偏离程度
4. 自相关函数
R(t1 , t2 ) E[ (t1 ) (t2 )]



x1 x2 f 2 ( x1 , x2 ; t1, t2 )dx1dx2
高斯白噪声—时域特性

高斯过程重要性质



广义平稳 高斯过程中不同瞬间得到的随机变量之间， 互不相关和相互独立等价 高斯过程通过线性系统，其输出仍是一个高 斯过程 平稳高斯过程，数学期望和方差都是常数
高斯白噪声—时域特性 (续)
1. 一维高斯分布
随机变量ξ，若概率密度函数为
( x a) 2 f ( x) exp[ ] 2 ， 2 2 1
n Fn ( x1 , x2 xn ; t1 , t 2 t n ) f n ( x1 , x2 xn ; t1 , t 2 t n ) x1x2 xn
2.数学期望
E[ (t )] xf1 ( x, t )dx a(t )

物理意义：表示随机过程的n个样本函 数曲线的摆动中心（平均值）


随机变量
定义 分布函数 概率密度函数 二维随机变量 随机变量的数字特征



数学期望 方差 协方差 矩
基本概念（续）

随机过程 设E是随机试验，S={e}是其样本空间，如果对于 每一个e∈S，有一个时间t的实函数 ξ(e,t) t ∈T 与之对应，于是对于所有的e∈S，得到时间t的函 数族。该族时间t的函数称为随机过程，族中每个 函数称为这个随机过程的样本函数。 ξ(t)={x1(t),x2(t),……,xn(t),……} x1(t),x2(t),……为样本函数
平稳随机过程的自相关函数

以相关函数表示随机过程的物理特性
Rτ E t t τ
ξ(t)的平均功率：S = E[ξ 2(t)] = R(0) ξ(t)的直流功率：a2 = E2 [ξ(t)] = R(∞) ξ(t)的交流功率：σ2 = R(0) - R(∞) 相关函数其他性质
随机过程通过线性系统(续)

性质：若ξi(t)是平稳随机过程，则
1.期望：E[ξo(t)] = E[ξi(t)] H (0)与t无关
2.自相关函数：Ro(t, t+τ) = Ro(τ) 与t无关 3.功率谱密度函数：
P ( ) R ( )e d P ( ) H ( )
j
物理意义：表示随机过程在两个时刻的 取值的关联程度， ξ(t)变化越平缓，两 个时刻取值的相关性越大，R值越大
5.自协方差函数
B(t1 , t2 ) E{[ (t1 ) a(t1 )][ (t2 ) a(t2 )]}



x1 a t1 x2 a t2 f 2 x1 , x2 ; t1 , t2 dx1dx2
基本概念（续）


随机过程的一个实现 每一个实现都是一个确定的时间函数， 即样本。随机过程其随机性体现在出现 哪一个样本是不确定的。 随机过程没有确定的时间函数，只能从 统计角度，用概率分布和数字特征来描 述。
基本概念（续）
样本空间
S1 S2 Sn x2 (t) t x1 (t) t
(t)
3.2 平稳随机过程


定义 各态历经性 自相关函数 功率谱密度
一、定义


若随机过程的n维概率分布函数Fn ()和n维概 率密度函数fn ()与时间起点无关，则为平稳随 机过程 严平稳过程，狭义平稳过程
f n x1 , x2 ,..., xn ; t1 , t2 ,..., tn f n x1 , x2 ,..., xn ; t1 , t2 ,..., tn
三、随机过程通过系统
1、随机过程通过线性系统 2、随机过程通过乘法器
1、随机过程通过线性系统
随机过程ξi(t)通过线性系统h (t)，其输
o(t ) i (t ) h(t ) 出也是随机过程，
输入信号 ξi(t) Pi(ω) 系统 h(t) H(ω) 输出信号 ξo (t) Po(ω)
则称ξ服从高斯分布（正态分布） ξ的分布函数：
F ( x)
x
1 2
f (x)
f ( z )dz
xa


O a x
高斯白噪声—时域特性 (续)
2. 性质 f x 对称为x=a f x 在 , a 单调升，在 a, 单调下降 a 2 f x dx 2 f x dx f x dx 1 面积 a 不变，不同的a值，表现为图形平移 a不变，不同的 值，表现为随 减小，图形 变高变窄，随 增大，变低变宽 -x 2 归一化 a=0, 1 1
s t
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时域分析(续)
窄带噪声可由高斯白噪声经过窄带滤波器 得到。
t 、 t 都是均值a=0的 窄带噪声的 t 、 t 、 s t 的平均功 平稳高斯白噪声； t 、 2 率（方差）相同，为
s (t ) a (t )sin (t )
—正交分量
时域分析


c t
的实现 关于 c t , s t c t 和 s t 的均值都为0 c t 和 s t 的自相关只与时间 有关 s t 的方差= t 的方差 c t 、 同一时刻得到的c t 和 s t 不相关
f
通信系统中的起伏噪声，在相当宽的频域内具 有平坦的功率谱，故近似认为是白噪声。
高斯白噪声—频域特性 (续)

n0 白噪声的自相关函数为： R( ) ( ) ， 2
n0 2 P() R n0 2 0 f 0
仅在τ=0时，R(τ) ≠0，说明白噪声在任意两个 时刻上的取值都是不相关的。

物理意义：表示随机过程在两个时刻间 的线性依从关系
6.互协方差及互相关函数
B (t1 , t2 ) E{[ (t1 ) a(t1 )][ (t2 ) a(t2 )]}
R (t1 , t2 ) E[ (t1 ) (t2 )]




x1y2 f 2 ( x1, y2 ; t1, t2 )dx1dy2
lim T
T
T
2

2 2
lim
T
1 T
T
2 2
T
[ x(t ) a ]2 dt
2 T 2 T
1 R( ) R( ) lim T T

x(t ) x(t )dt
意义 ： 随机过程中的任一实现都经历了随机过程的所有可能 状态。因此， 只需从任意一个随机过程的样本函数中就可获 得它的所有的数字特征， 从而使“统计平均”化为“时间平 均”，使实际测量和计算的问题大为简化。
概率分布(续)
随机过程ξ(t)的一维概率密度函数：
F1 ( x1 , t1 ) f1 ( x1 , t1 ) x1
随机过程ξ(t)的n维概率分布函数和n维概 率密度函数分别是：
Fn ( x1 , x2 xn ; t1 , t2 tn ) P{ (t1 ) x1, (t2 ) x2 (tn ) xn }
xn (t) t tk
二、统计特性


概率分布 数学期望 方差 协方差函数 相关函数
1. 概率分布

随机过程ξ(t) 在任一时刻t1的取值是随机 变量，则随机变量ξ(t1)的取值小于等于某 一数值x1的概率为随机过程ξ(t)的一维概 率分布函数：
F1 ( x1 , t1 ) P{ (t1 ) x1}

1 S R(0) 2
A2 P ( )d 2

3.3 噪声


噪声种类 高斯白噪声 随机过程通过线性系统 窄带噪声 正弦波加窄带噪声
一、噪声种类
单频噪声 脉冲噪声 热噪声 起伏噪声 散弹噪声 宇宙噪声
二、高斯随机过程-高斯白噪声

高斯随机过程

时域特性 频域特性
o
2

o
i
4.概率分布：若ξi(t)是高斯型的，经过线性系统 后的ξo(t)也是高斯型的。
四、窄带随机过程-窄带噪声

定义
表示法1：
(t ) a (t ) cos[ct (t )]
a ξ (t) 对应信号的包络，φξ(t)对应信号 的相位，ωc=2πfc 窄带信号的中心频率 （载频）