第二章 水静力学
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2013-5-19 10
过A点作平行于x轴的直线，该直线与左右两面分别 相交于M和N两点。设A点的压强为 p( x, y, z )，压强 在x轴上的梯度为 p x ，它的几何意义是压强在x轴 上变化率，其物理意义为：在x轴上，每增加1个单 位的距离，其压强的改变量。从A点到M点的距离 为 1 2 dx，从A点到M点压强的改变量为： p 1 1 p dx dx x 2 2 x 令压强沿x轴的正向是增加的，则M点的压强为： 1 p 1 p pM p dx dx N点的压强为：p N p 2 x 2 x 左右两面所受到的表面力为：
于是：
Xdx Ydy Zdz 0
这就是液体等压面的平衡微分方程。
2013-5-19
15
由于X、Y、Z是单位质量力 f 在三个轴上分量， 而 dx、dy、dz 也可把看成是在等压面上的微小位 移 ds 在三个坐标轴上的投影，则
Xdx Ydy Zdz f s 0
但 f 和 s 都不为0，于是这两个矢量必正交，表 明质量力与等压面垂直。由于质量力只有重力， 故等压面必然为水平面。 在自由水面上，各点均与大气接触，各点受到 的大气压强都相等 ，因此，自 由水 面 也是 等压 面。
Px Pn cosn, x Fx 0; Py Pn cosn, y Fy 0
式中
Pz Pn cosn, z Fz 0
1 Pn cosn, x spn cosn, x pn s cosn, x pn yz 2 1 1 1 p x yz pn yz xyz X 0 于是 2 2 6
第二 章 水静力学
2013-5-19
1
水的静力学是研究液体在静止或相对静止状态 下的力学平衡规律及其在工程实际中的应用。所谓 “静止”是指液体不仅在质点之间没有相对运动， 液体与地球之间也没有相对运动，如湖中的水，没 有泄流的管流等。所谓“相对静止”是指液体质点 之间没有相对运动，但液体整体相对于地球有运动， 如车厢中放置的水，等速旋转的容器中的液体等。
2013-5-19
9
§2 液体的平衡微分方程
一、静止液体的受力分析
在静止液体中，取一微小六面体（图2-4），其中 心点为 A( x, y, z ) 。六面体的边长分别为dx、dy、 dz。 (一) 表面力 因静止液体没有内摩 擦力，作用在六面体 上的表面力只有周围 液体给它们的压力。 先分析一下x轴上的 力。
如果静止压强不是指向受压面之内，而是指向外， 则Ⅱ部分就要受到拉力。但事实上，液体是不能承 受拉力的，一旦有拉力，液体的静止就要受到破 坏，故静水压强的方向只能指向受压面的内部。证 毕。
2013-5-19 5
2. 静止液体中任一点的静水压强在各个方向上大 小相等。证明如下（图2-3）： 在静止液体内取一微小正四面体ABCD，且它的三 个棱边与坐标轴平行，这三个棱边的长度分别为 Δx 、 Δy 、 Δz。这个四面体的四个表面都受到周围 液体给它们的压力，但由于这四个面的方向各不 相同，各自受到的静水压力的方向亦不相同，它 们分别用Px、Py、Pz和Pn表示，其对应的平均压强 分别为px、py、pz和pn。 不难看出： 1 Px p x yz 2 1 1 Py p y xz Pz p z xy 2 2
2013-5-19
gdz dz
17
积分后得：
p z c
c 可由边界条件确定。设作用在液体自由表面上的
压强为 p0，自由表面所处的高度为 z0，于是：
p0 z0 c
z0 z 为水深 h ，故 p p0 h
c p0 z0
代入上式得： p z p0 z 0 p0 ( z 0 z )
2013-5-19 6
Pn s pn （Δx为斜面的面积），且Pn在三个
坐标轴上的分力可表示为：
Pnx Pn cos( n, x); Pny Pn cos( n, y); Pnz Pn cos(n, z )
由几何学可知，这样的四面体的体积为由Δx 、 Δy 、Δz 为边长的长方体的体积的1/6，故四面体的质 量为： 1 M xyz 6 四面体受到的质量力的分力为：
1 同 yz 除得： 2
2013-5-19
1 p x pn xX 0 3
8
当令四面体缩小至一点A时， lim 于是 px pn 。类推得：
1 xX 0 x 0 3
p x p y p z pn
表明四面体各面受到的压强都相等，与受压面无关。 证毕。 应当指出，同一点各个方向的压强都相等，但不同 点的压强不一定相等（例如A点的压强不等于B点 的压强）。
2013-5-19 16
§3 重力作用下液体的平衡
在实际工程中，作用于大部分静止液体的质量力只 有重力。
一、水的静力学方程 图2-5为一封闭容器中的静止液体。在质量力只有重 力的情况下：
X 0 Y 0
Z g
将它们代入平衡微分方程得：
dp ( Xdx Ydy Zdz )
上式即为水的静力学基本方程。事实上，它是计算 某一深度静水压强的基本公式。 2013-5-19 18
上式的物理意义为：静止液体内部任一点的静水压 强由两部分组成，一部分是在自由表面上由大气施 加的压强，根据巴斯加原理，它等值地传递到液体 内部的各点（当然也包括本点）。另一部分是该点 以上的液体给该点的压强，因
pv p p pa pa p
2013-5-19 21
(四) 压强高度 在静力学基本方程中，p为绝对压强。若将 p 改为表 p p0 h pa 示相对压强，则 如果 p0 就是由大气施加到自由表面的压强，则 p0 pa ； p h ， 因γ为常数，所以液柱高度就反 映压强的大小，只是单位不同而已。所以在工程 中，常用 h 来表示压强的大小， h 称为压强高度。 大家知道，一个标准大气压为 101.325kN / m 2 ，但在工 2 程中为计算方便，一个大气压常取 98kN / m，这个数 据称作工程大气压。于是，一个工程大气压相当于 水柱高度
三、液体平衡微分方程的理论意义 (一) 静水压强的分布规律 将上三式分别乘以dx 、 dy、 dz，并将三式等号两边 相加得：
1 p p p dx dy dz Xdx Ydy Zdz x y z
上式左边括号内为压强 p 的全微分，故可写成：
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p p pa
20
(三) 真空 由于绝对压强的起点最低，故总是正的，但相对压 强要视具体情况而定。如果液体中某处的绝对压强 大于大气压的话，相对压强为正（图2-6的A点源自文库， 若液体中某处的绝对压强小于大气压强，则该处相 对压强为负（如图中的B点），常常把相对压强为负 的情况称为负压，把负压的绝对值称为真空或真空 值，常用符号 pv 表示，因此真空总是正值：
方程左边的第一项为单位质量力，左边第二项为 单位质量的表面力。 1 p 1 p (p dx)dydz ( p dx)dydz 2 x 2 x p p dxdydz 1 p dxdydz M x x x 由此得出，对于单位质量的液体而言，各坐标轴 上质量力与表面力相等。上式是由瑞士学者是欧 2013-5-19 13 拉（Euler）推导的，故又称欧拉平衡微分方程。
P dP p lim A0 A dA
二、静水压强的特性
1. 静止压强垂直于受压面，并指向受压面的内部。 该特性可用反证法证明（图2-2）。 取一液体块M，将其切成两块，只研究Ⅱ部分。在 其上取一点A，如果作用在点A上的压强p不是垂直 于N-N面，那么，它就应分成水平方向的压强px和垂 直方向的压强py，并有p=px+py。由于静止的液体没 有相对运动，内摩擦力不存在，px=0，故p=py，这 就证明了静止压强必垂直于受压面。 2013-5-19 4
dp ( Xdx Ydy Zdz )
对上式求积分得：p
( Xdx Ydy Zdz )
14
不难看出，静水压强的大小是由单位质量力决定的。
2013-5-19
(二) 液体的等压面 液体的等压面是指液体中压强相等的点所组成的 面，它可以是平面，也可以是曲面。既然在等压面 上各点的压强相等，即 p C ，由上式得 dp 0
2013-5-19
98kN / m 2 h 10m 3 9.8kN / m p
22
(五) 真空高度（真空度） 真空压强也可用水柱高度来表示：
hv pv
pa p
hv 称为真空高度或真空度。
当完全真空时， p 0 ，最大真空度为10m。 但事实上，这样的真空度是不可能实现的，因为当 绝对压强降低到水的汽化压强时，就要汽化，产生 蒸气，气体膨胀而产生的压强与液体压强相抗衡， 使液体压强不能继续下降，这时的绝对压强 p 就等 于汽化压强 E。因此，最大真空值为：
1 p 1 p (p dx)dydz ( p dx)dydz dxdydz X 0 2 x 2 x
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化简并除以质量 dxdydz ，得单位质量的液体表 1 p 达式：X 1 p 0 或 X x x
同理
1 p 1 p Y 0 ; Z 0 y z
pv pa E
2013-5-19 23
三、位置水头、压强水头、测压管水头 由静止液体的平衡方程 dp dz 得：
dz
dp
0 ; z
p
c
这里的 z 和 p 都没有下标，表明对任一点都成 立，即：
G mg Vg gAh Ah
G h A
因此，p 相当于大气压强和其上水的压强之和。
由上式可以看出，只有在均质液体（ c ）且连通 的静止液体中，位于同一深度（h）的各点压强才相 等，这也是水平面就是等压面的充要条件。
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二、绝对压强、相对压强和真空 压强的大小必须有一个基准，不同的基准可得出 不同的压强值来。 (一) 绝对压强 在水力学中，如果以没有气体的完全真空作为0算起 的话，则这种压强值称为绝对压强，常用符号 p 表 示（见图2-6）。 (二)相对压强 在许多水力学问题上，大都受 到大气压强的影响，以当地大 气压强为0算起的压强称作相 对压强，以符号 p 表示。因 此，
1 1 Fx M X xyz X ; Fy M Y xyz Y 6 6 1 2013-5-19 Fz M Z xyz Z 6
7
由于这个四面体是处于静止的，表明作用于它的所 有外力（表面力和质量力）之和在三个坐标轴上的 投影之和等于0：
1 p 1 p dx)dydz ; P右 ( p dx)dydz 11 2013-5-19P 左 (p 2 x 2 x
(二) 质量力 由于液体为静止的，质量力只有重力。x 轴上的分 力为：
Fx dV X dxdydz X
二、静止液体的平衡微分方程
根据液体平衡条件，施加到六面体上的所有外力的 代数和等于0，且各力的三个轴上的分力也为0。于 是：
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2
§1
静水压强及其特性
一、静水压强及其特性
1. 静水压力与压强 静水压力是指静止的液体作用在与液体接触的表面 上的压力，一般用 P 表示。在下图的平板闸门上， 取一面积ΔA，作用在 其上的压力为ΔP，则 该面上的平均压强 （静水压强）为：
P p A
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当ΔA→0 时，即趋于点 K 时，点 K 的静水压强：
过A点作平行于x轴的直线，该直线与左右两面分别 相交于M和N两点。设A点的压强为 p( x, y, z )，压强 在x轴上的梯度为 p x ，它的几何意义是压强在x轴 上变化率，其物理意义为：在x轴上，每增加1个单 位的距离，其压强的改变量。从A点到M点的距离 为 1 2 dx，从A点到M点压强的改变量为： p 1 1 p dx dx x 2 2 x 令压强沿x轴的正向是增加的，则M点的压强为： 1 p 1 p pM p dx dx N点的压强为：p N p 2 x 2 x 左右两面所受到的表面力为：
于是：
Xdx Ydy Zdz 0
这就是液体等压面的平衡微分方程。
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15
由于X、Y、Z是单位质量力 f 在三个轴上分量， 而 dx、dy、dz 也可把看成是在等压面上的微小位 移 ds 在三个坐标轴上的投影，则
Xdx Ydy Zdz f s 0
但 f 和 s 都不为0，于是这两个矢量必正交，表 明质量力与等压面垂直。由于质量力只有重力， 故等压面必然为水平面。 在自由水面上，各点均与大气接触，各点受到 的大气压强都相等 ，因此，自 由水 面 也是 等压 面。
Px Pn cosn, x Fx 0; Py Pn cosn, y Fy 0
式中
Pz Pn cosn, z Fz 0
1 Pn cosn, x spn cosn, x pn s cosn, x pn yz 2 1 1 1 p x yz pn yz xyz X 0 于是 2 2 6
第二 章 水静力学
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1
水的静力学是研究液体在静止或相对静止状态 下的力学平衡规律及其在工程实际中的应用。所谓 “静止”是指液体不仅在质点之间没有相对运动， 液体与地球之间也没有相对运动，如湖中的水，没 有泄流的管流等。所谓“相对静止”是指液体质点 之间没有相对运动，但液体整体相对于地球有运动， 如车厢中放置的水，等速旋转的容器中的液体等。
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§2 液体的平衡微分方程
一、静止液体的受力分析
在静止液体中，取一微小六面体（图2-4），其中 心点为 A( x, y, z ) 。六面体的边长分别为dx、dy、 dz。 (一) 表面力 因静止液体没有内摩 擦力，作用在六面体 上的表面力只有周围 液体给它们的压力。 先分析一下x轴上的 力。
如果静止压强不是指向受压面之内，而是指向外， 则Ⅱ部分就要受到拉力。但事实上，液体是不能承 受拉力的，一旦有拉力，液体的静止就要受到破 坏，故静水压强的方向只能指向受压面的内部。证 毕。
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2. 静止液体中任一点的静水压强在各个方向上大 小相等。证明如下（图2-3）： 在静止液体内取一微小正四面体ABCD，且它的三 个棱边与坐标轴平行，这三个棱边的长度分别为 Δx 、 Δy 、 Δz。这个四面体的四个表面都受到周围 液体给它们的压力，但由于这四个面的方向各不 相同，各自受到的静水压力的方向亦不相同，它 们分别用Px、Py、Pz和Pn表示，其对应的平均压强 分别为px、py、pz和pn。 不难看出： 1 Px p x yz 2 1 1 Py p y xz Pz p z xy 2 2
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gdz dz
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积分后得：
p z c
c 可由边界条件确定。设作用在液体自由表面上的
压强为 p0，自由表面所处的高度为 z0，于是：
p0 z0 c
z0 z 为水深 h ，故 p p0 h
c p0 z0
代入上式得： p z p0 z 0 p0 ( z 0 z )
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Pn s pn （Δx为斜面的面积），且Pn在三个
坐标轴上的分力可表示为：
Pnx Pn cos( n, x); Pny Pn cos( n, y); Pnz Pn cos(n, z )
由几何学可知，这样的四面体的体积为由Δx 、 Δy 、Δz 为边长的长方体的体积的1/6，故四面体的质 量为： 1 M xyz 6 四面体受到的质量力的分力为：
1 同 yz 除得： 2
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1 p x pn xX 0 3
8
当令四面体缩小至一点A时， lim 于是 px pn 。类推得：
1 xX 0 x 0 3
p x p y p z pn
表明四面体各面受到的压强都相等，与受压面无关。 证毕。 应当指出，同一点各个方向的压强都相等，但不同 点的压强不一定相等（例如A点的压强不等于B点 的压强）。
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§3 重力作用下液体的平衡
在实际工程中，作用于大部分静止液体的质量力只 有重力。
一、水的静力学方程 图2-5为一封闭容器中的静止液体。在质量力只有重 力的情况下：
X 0 Y 0
Z g
将它们代入平衡微分方程得：
dp ( Xdx Ydy Zdz )
上式即为水的静力学基本方程。事实上，它是计算 某一深度静水压强的基本公式。 2013-5-19 18
上式的物理意义为：静止液体内部任一点的静水压 强由两部分组成，一部分是在自由表面上由大气施 加的压强，根据巴斯加原理，它等值地传递到液体 内部的各点（当然也包括本点）。另一部分是该点 以上的液体给该点的压强，因
pv p p pa pa p
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(四) 压强高度 在静力学基本方程中，p为绝对压强。若将 p 改为表 p p0 h pa 示相对压强，则 如果 p0 就是由大气施加到自由表面的压强，则 p0 pa ； p h ， 因γ为常数，所以液柱高度就反 映压强的大小，只是单位不同而已。所以在工程 中，常用 h 来表示压强的大小， h 称为压强高度。 大家知道，一个标准大气压为 101.325kN / m 2 ，但在工 2 程中为计算方便，一个大气压常取 98kN / m，这个数 据称作工程大气压。于是，一个工程大气压相当于 水柱高度
三、液体平衡微分方程的理论意义 (一) 静水压强的分布规律 将上三式分别乘以dx 、 dy、 dz，并将三式等号两边 相加得：
1 p p p dx dy dz Xdx Ydy Zdz x y z
上式左边括号内为压强 p 的全微分，故可写成：
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p p pa
20
(三) 真空 由于绝对压强的起点最低，故总是正的，但相对压 强要视具体情况而定。如果液体中某处的绝对压强 大于大气压的话，相对压强为正（图2-6的A点源自文库， 若液体中某处的绝对压强小于大气压强，则该处相 对压强为负（如图中的B点），常常把相对压强为负 的情况称为负压，把负压的绝对值称为真空或真空 值，常用符号 pv 表示，因此真空总是正值：
方程左边的第一项为单位质量力，左边第二项为 单位质量的表面力。 1 p 1 p (p dx)dydz ( p dx)dydz 2 x 2 x p p dxdydz 1 p dxdydz M x x x 由此得出，对于单位质量的液体而言，各坐标轴 上质量力与表面力相等。上式是由瑞士学者是欧 2013-5-19 13 拉（Euler）推导的，故又称欧拉平衡微分方程。
P dP p lim A0 A dA
二、静水压强的特性
1. 静止压强垂直于受压面，并指向受压面的内部。 该特性可用反证法证明（图2-2）。 取一液体块M，将其切成两块，只研究Ⅱ部分。在 其上取一点A，如果作用在点A上的压强p不是垂直 于N-N面，那么，它就应分成水平方向的压强px和垂 直方向的压强py，并有p=px+py。由于静止的液体没 有相对运动，内摩擦力不存在，px=0，故p=py，这 就证明了静止压强必垂直于受压面。 2013-5-19 4
dp ( Xdx Ydy Zdz )
对上式求积分得：p
( Xdx Ydy Zdz )
14
不难看出，静水压强的大小是由单位质量力决定的。
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(二) 液体的等压面 液体的等压面是指液体中压强相等的点所组成的 面，它可以是平面，也可以是曲面。既然在等压面 上各点的压强相等，即 p C ，由上式得 dp 0
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98kN / m 2 h 10m 3 9.8kN / m p
22
(五) 真空高度（真空度） 真空压强也可用水柱高度来表示：
hv pv
pa p
hv 称为真空高度或真空度。
当完全真空时， p 0 ，最大真空度为10m。 但事实上，这样的真空度是不可能实现的，因为当 绝对压强降低到水的汽化压强时，就要汽化，产生 蒸气，气体膨胀而产生的压强与液体压强相抗衡， 使液体压强不能继续下降，这时的绝对压强 p 就等 于汽化压强 E。因此，最大真空值为：
1 p 1 p (p dx)dydz ( p dx)dydz dxdydz X 0 2 x 2 x
2013-5-19 12
化简并除以质量 dxdydz ，得单位质量的液体表 1 p 达式：X 1 p 0 或 X x x
同理
1 p 1 p Y 0 ; Z 0 y z
pv pa E
2013-5-19 23
三、位置水头、压强水头、测压管水头 由静止液体的平衡方程 dp dz 得：
dz
dp
0 ; z
p
c
这里的 z 和 p 都没有下标，表明对任一点都成 立，即：
G mg Vg gAh Ah
G h A
因此，p 相当于大气压强和其上水的压强之和。
由上式可以看出，只有在均质液体（ c ）且连通 的静止液体中，位于同一深度（h）的各点压强才相 等，这也是水平面就是等压面的充要条件。
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二、绝对压强、相对压强和真空 压强的大小必须有一个基准，不同的基准可得出 不同的压强值来。 (一) 绝对压强 在水力学中，如果以没有气体的完全真空作为0算起 的话，则这种压强值称为绝对压强，常用符号 p 表 示（见图2-6）。 (二)相对压强 在许多水力学问题上，大都受 到大气压强的影响，以当地大 气压强为0算起的压强称作相 对压强，以符号 p 表示。因 此，
1 1 Fx M X xyz X ; Fy M Y xyz Y 6 6 1 2013-5-19 Fz M Z xyz Z 6
7
由于这个四面体是处于静止的，表明作用于它的所 有外力（表面力和质量力）之和在三个坐标轴上的 投影之和等于0：
1 p 1 p dx)dydz ; P右 ( p dx)dydz 11 2013-5-19P 左 (p 2 x 2 x
(二) 质量力 由于液体为静止的，质量力只有重力。x 轴上的分 力为：
Fx dV X dxdydz X
二、静止液体的平衡微分方程
根据液体平衡条件，施加到六面体上的所有外力的 代数和等于0，且各力的三个轴上的分力也为0。于 是：
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§1
静水压强及其特性
一、静水压强及其特性
1. 静水压力与压强 静水压力是指静止的液体作用在与液体接触的表面 上的压力，一般用 P 表示。在下图的平板闸门上， 取一面积ΔA，作用在 其上的压力为ΔP，则 该面上的平均压强 （静水压强）为：
P p A
2013-5-19 3
当ΔA→0 时，即趋于点 K 时，点 K 的静水压强：