2014年高考四川文科数学试题及答案(word解析版)

2014年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）数学（文科）第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）【2014年四川卷，文1，5分】已知集合{|(1)(2)0}A x x x =+-≤，集合B 为整数集，则A B =（ ）（A ）{1,0}- （B ）{0,1} （C ）{2,1,0,1}-- （D ）{1,0,1,2}- 【答案】D【解析】由已知得{}12A x x =-，又集合B 为整数集，所以{}1,0,1,2A B =-，故选D ．（2）【2014年四川卷，文2，5分】在“世界读书日”前夕，为了了解某地5000名居民某天的阅读时间，从中抽取了200名居民的阅读时间进行统计分析．在这个问题中，5000名居民的阅读时间的全体是（ ） （A ）总体 （B ）个体 （C ）样本的容 （D ）从总体中抽取的一个样本 【答案】A【解析】由题目条件知，5000名居民的阅读时间的全体是总体；其中1名居民的阅读时间是个体；从5000名居民某天的阅读时间中抽取的200名居民的阅读时间是从总体中抽取的一个样本，样本容量是200，故选A ．（3）【2014年四川卷，文3，5分】为了得到函数sin(1)y x =+的图象，只需把函数sin y x =的图象上所有的点（ ）（A ）向左平行移动1个单位长度 （B ）向右平行移动1个单位长度（C ）向左平行移动π个单位长度（D ）向右平行移动π个单位长度 【答案】A【解析】根据平移法则“左加右减”可知，将函数sin y x =的图像上所有的点向左平移移动1个单位长度即可得到函数()sin 1y x =+的图像，故选A ．（4）【2014年四川卷，文4，5分】某三棱锥的侧视图、俯视图如图所示，则该三棱锥的体积是（ ）（锥体体积公式：13V Sh =，其中S 为底面面积，h 为高）（A ）3（B ）2 （C ）3 （D ）1【答案】D 【解析】由俯视图可知，三棱锥底面是边长为2的等边三角形．由侧视图可知，三棱锥的高为3．故该三棱锥的体积11233132V =⨯⨯⨯⨯=，故选D ．（5）【2014年四川卷，文5，5分】若0a b >>，0c d <<，则一定有（ ）（A ）a b d c > （B ）a b d c < （C ）a b c d > （D ）a bc d<【答案】B【解析】因为0c d <<，所以110c d >>，两边同乘1-，得110d c ->->，又0a b >>，故由不等式的性质可知0a b d c ->->，两边同乘1-，得a bd c<，故选B ．（6）【2014年四川卷，文6，5分】执行如图的程序框图，如果输入的,x y R ∈，那么输出的S 的最大值为（ ） （A ）0（B ）1 （C ）2 （D ）3【答案】C 【解析】由程序框图可知，若输入的x ，y 满足约束条件001x y x y ⎧⎪⎨⎪+⎩，则输出目标函数2S x y =+的值，否则，输出1S =．如图，作出满足条件的可行域．当1x =，0y =时，目标 侧视图俯视图112222111y函数2S x y =+取得最大值2，21>，故输出的S 的最大值为2，故选C ．（7）【2014年四川卷，文7，5分】已知0b >，5log b a =，lg b c =，510d =，则下列等式一定成立的是（ ）（A ）d ac = （B ）a cd = （C ）c ad = （D ）d a c =+ 【答案】B【解析】5log b a =，0b >，故由换底公式得lg lg5ba =，所以lg lg5b a =．因为lg bc =，所以lg5a c =，因为510d =， 所以5log 10d =，即1lg5d =，将其代入lg5a c =中得ac d=，即a cd =，故选B ．（8）【2014年四川卷，文8，5分】如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为75，30，此时气球的高是60cm ，则河流的宽度BC 等于（ ）（A ）240(31)m - （B ）180(21)m - （C ）120(31)m - （D ）30(31)m +【答案】C【解析】如图，30ACD ∠=，75ABD ∠=，60AD =m ，在Rt ACD △中，60603tan tan30AD CD=ACD ==∠m ，在Rt ABD △中，()60606023tan tan 7523AD BD =ABD ===-∠+m ，所以()()603602312031BC CD BD =-=--=-m ，故选C ．（9）【2014年四川卷，文9，5分】设m R ∈，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点(,)P x y ，则||||PA PB +的取值范围是（ ） （A ）[5,25] （B ）[10,25] （C ）[10,45] （D ）[25,45] 【答案】B 【解析】直线0x my +=过定点()0,0A ，直线30mx y m --+=过定点()1,3B ． ①当0m =时，过定点A 的直线方程为0x =，过定点B 的直线方程为3y =，两条 直线互相垂直，此时()0,3P ，所以4PA PB +=．②当0m ≠时，直线0x my +=的斜率为1m -，直线30mx y m --+=的斜率为m ，因为11m m -⨯=-，所以两条直线互相垂直，即点P 可视为以AB 为直径的圆上 的点．当点P 与点A 或点B 重合时，PA PB +有最小值10．当点P 不与点A ，点B 重合时，PAB△为直角三角形，且22210PA PB AB +==．由不等式性质知222252PA PBPA PB++=，所以10,25PA PB ⎡⎤+∈⎣⎦．综合①②得10,25PA PB ⎡⎤+∈⎣⎦，故选B ．（10）【2014年四川卷，文10，5分】已知F 为抛物线2y x =的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，2OA OB ⋅=（其中O 为坐标原点），则ABO ∆与AFO ∆面积之和的最小值是（ ）（A ）2 （B ）3 （C ）1728（D ）10【答案】B【解析】如图所示，设()11,A x y ，()22,B x y ，则12122x x y y +=（*）．不妨设A 点在第一象限，则10y >，20y <．设直线AB ：x my n =+，代入2y x =中，得20y my n --=，则12y y n =-，代入（*）式，有220n n --=，解得2n =或1n =-（舍），故直线AB 过定点()2,0，所以ABO AFO S S +=△△1211112224y y y ⨯⨯-+⨯⨯1298y y =-()12923382ny y -==≥，故选B ． 30°75°60mCBA D CBA 75°30°60 mmx-y-m+3=0x+my=0yx 213-1-2-1321PBA第II 卷（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分（11）【2014年四川卷，文11，5分】双曲线2214x y -=的离心率等于 ．【解析】由双曲线方程2214x y -=知24a =，21b =，2225c a b =+=，所以c e a == （12）【2014年四川卷，文12，5分】复数22i1i-=+ ．【答案】2i -【解析】()()()()()2222i 1i 22i 1i 12i i 2i 1i 1i 1i ---==-=-+=-++-．（13）【2014年四川卷，文13，5分】设()f x 是定义在R 上的周期为2的函数，当[1,1)x ∈-时，242,10,(),01,x x f x x x ⎧-+-≤<=⎨≤<⎩，则3()2f =________．【答案】1【解析】()f x 是定义域在R 上的圆周期为2的函数，且()2421001x x f x x x ⎧-+-<=⎨<⎩，所以231142121222f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-⨯-+=-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．（14）【2014年四川卷，文14，5分】平面向量(1,2)a =，(4,2)b =，c ma b =+（m R ∈），且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m =_______．【答案】2【解析】()1,2=a ，()4,2=b ，则()4,22m m m +=++c =a b，a =，b =，58m ⋅=+a c ，820m ⋅=+b c ．因为c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，所以⋅⋅=⋅⋅a c b c a c b c，解得2m =． （15）【2014年四川卷，文15，5分】以A 表示值域为R 的函数组成的集合，B 表示具有如下性质的函数()x ϕ组成的集合：对于函数()x ϕ，存在一个正数M ，使得函数()x ϕ的值域包含于区间[,]M M -．例如，当31()x x ϕ=，2()sin x x ϕ=时，1()x A ϕ∈，2()x B ϕ∈．现有如下命题：①设函数()f x 的定义域为D ，则“()f x A ∈”的充要条件是“b R ∀∈，x R ∃∈，()f a b =”； ②若函数()f x B ∈，则()f x 有最大值和最小值；③若函数()f x ，()g x 的定义域相同，且()f x A ∈，()g x B ∈，则()()f x g x B +∉；④若函数2()ln(2)1xf x a x x =+++（2x >-，a R ∈）有最大值，则()f x B ∈．其中的真命题有____________．（写出所有真命题的序号）． 【答案】①③④【解析】对于①，()f x A ∈⇔()f x 的值域为R ⇔b ∀∈R ，a D ∃∈，()f a b =，故①正确；对于②，当()1f x x=，1x >时，()1f x <，即()()[]1,00,11,1-⊆-，但()f x 无最值，故②不正确； 对于③，因为x D ∀∈，()g x M ≤，所以总存在0x D ∈，使得()()00f x g x +趋近于无穷大，即()()f x g x B +∉，故③正确；对于④，令2()1x g x x =+，则()()()2222222121'11x x x g x x x +--==++()()()22111x x x +-=+，令()'0g x >，解得11x -<<，故()g x 在()1,1-上单调递增，且()112g =，()112g -=-，又()g x 在()1,+∞上单调递减，1x >时，()0g x >， 又()g x 为奇函数，故()12g x ≤．而()ln(2)h x a x =+，当2x >-时，若0a ≠，则()h x A ∈由③知，()()h x g x B +∉，即()f x 无最大值， 所以0a =时，()f x 有最大值，此时()2()1xf xg x B x ==∈+，故④正确．综上：真命题的有①③④．三、解答题：本大题共6题，共75分． （16）【2014年四川卷，文16，12分】一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1，2，3，这三张卡片除标记的数字外完全相同．随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a ，b ，c ． （1）求“抽取的卡片上的数字满足a b c +=”的概率；（2）求“抽取的卡片上的数字a ，b ，c 不完全相同”的概率． 解：（1）由题意知，(),,a b c 所有可能的结果为()1,1,1，()1,1,2，()1,1,3，()1,2,1，()1,2,2，()1,2,3，()1,3,1，()1,3,2，()1,3,3，()2,1,1，()2,1,2，()2,1,3，()2,2,1，()2,2,2，()2,2,3，()2,3,1，()2,3,2，()2,3,3，()3,1,1，()3,1,2，()3,1,3，()3,2,1，()3,2,2，()3,2,3，()3,3,1，()3,3,2，()3,3,3，共27种．设“抽取的卡片上的数字满足a b c +=”为事件A ，则事件A 包括()1,1,2，()1,2,3，()2,1,3，共3种．所以()31279P A ==．因此，“抽取的卡片上的数字满足a b c +=”的概率为19．（2）设“抽取的卡片上的数字a ，b ，c 不完全相同”为事件B ，则事件B 包括()1,1,1，()2,2,2，()3,3,3，共3种．所以()()3811279P B P B =-=-=．因此“抽取的卡片上的数字a ，b ，c 不完全相同”的概率为89．（17）【2014年四川卷，文17，12分】已知函数()sin(3)4f x x π=+．（1）求()f x 的单调递增区间；（2）若α是第二象限角，4()cos()cos2354f απαα=+，求cos sin αα-的值．解：（1）因为函数sin y x =的单调递增区间为ππ2π,2π22k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ．由πππ2π32π242k x k -+++，k ∈Z ， 得π2ππ2π43123k k x -++，k ∈Z ．所以函数()f x 的单调递增区间为π2ππ2π,43123k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ． （2）由已知，有()22π4πsin cos cos sin 454αααα⎛⎫⎛⎫+=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()22ππ4ππsin cos cos sin cos cos sin sin cos sin 44544αααααα⎛⎫+=-- ⎪⎝⎭，即()()2ππ4sin cos cos sin cos sin sin cos 445αααααα+=-+．当sin cos 0αα+=时，由α是第二象限角，知3π2π4k α=+，k ∈Z ．此时cos sin αα-= 当sin cos 0αα+≠时，有()25cos sin 4αα-=．由α是第二象限角，知cos sin 0αα-<，此时cos sin αα-=．综上所述，cos sin αα-=（18）【2014年四川卷，文18，12分】在如图所示的多面体中，四边形11ABB A 和11ACC A 都为矩形．（1）若AC BC ⊥，证明：直线BC ⊥平面11ACC A ；（2）设D ，E 分别是线段BC ，1CC 的中点，在线段AB 上是否存在一点M ，使直线//DE1A平面1A MC ？请证明你的结论．解：（1）因为四边形11ABB A 和11ACC A 都是矩形，所以1AA AB ⊥，1AA AC ⊥．因为AB ，AC 为平面ABC 内两条相交直线，所以1AA ⊥平面ABC ．因为直线BC ⊂平面ABC ，所以1AA BC ⊥．又AC BC ⊥，1AA ，AC 为平面11ACC A 内两条相交直线，所以BC ⊥平面11ACC A ．（2）取线段AB 的中点M ，连接1A M ，MC ，1A C ，1AC ，设O 为1A C ，1AC 的交点．由已知可知O 为1AC 的中点．连接MD ，OE ，则MD ，OE 分别为ABC ∆，1ACC ∆的中位线，所以=1//2MD AC ，=1//2OE AC ，因此=//MD OE ．连接OM ，从而四边形MDEO 为平行四边形，则//DE MO ．因为直线DE ⊄平面1A MC ，所以直线//DE 平面1A MC ， 即线段AB 上存在一点M （线段AB 的中点），使直线//DE 平面1A MC ．（19）【2014年四川卷，文19，12分】设等差数列{}n a 的公差为d ，点(,)n n a b 在函数()2x f x =的图象上（n N *∈）．（1）证明：数列{}n b 为等差数列；（2）若11a =，函数()f x 的图象在点22(,)a b 处的切线在x 轴上的截距为12ln 2-，求数列2{}n na b 的前n 项和 n S ．解：（1）证明：由已知可知，20na nb =>，当1n 时，1122n na a d n nb b +-+==，所以数列{}n b 是首项为12a ，公比为2d等比数列．（2）函数()2x f x =在()22,a b 处的切线方程为()()22222ln 2a a y x a -=-，它在x 轴上的截距为21ln 2a -． 由题意知，2112ln 2ln 2a -=-，解得22a =．所以211d a a =-=，n a n =，2n n b =，24n n n a b n =⋅． 于是，()231142434144n n n T n n -=⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯，()23141424144n n n T n n +=⨯+⨯++-⨯+⨯，因此()1121113444444444439n n nn n n n n T T n n ++++-+--=+++-⨯=-⨯=．所以()113449n n n T +-+=． （20）【2014年四川卷，文20，13分】已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的左焦点为(2,0)F -，离心率为63．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设O 为坐标原点，T 为直线3x =-上一点，过F 作TF 的垂线交椭圆于P ，Q ．当四边形OPTQ 是平行四边形时，求四边形OPTQ 的面积．解：（1）因为(2,0)F -，所以2c =，又63e =，所以6a =，2222b a c =-=，即椭圆C 的方程为22162x y +=．（2）如图所示，由题意可设直线PQ 的方程为2x my =-．当0m =时，2x =-，此时()3,0T -，P ，Q 关于点F 对称，但DF TF ≠，故四边形OPTQ 不是平行四 边 形，与题意不符，故0m ≠．直线TF ：()2y m x =-+，令3x =-，得y m =， 即()3,T m -，连接OT ，设OTPQ E =，则3,22m E ⎛⎫- ⎪⎝⎭，联立方程222162x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 整理得()22236my y -+=，即()223420m y my +--=，显然()2216830m m ∆=++>， 令()11,P x y ，()22,Q x y ．则12243m y y m +=+，12223y y m -=+，则1222232E y y m my m +===+，解得21m =． 此时()()221212PQ x x y y =-+-()22121214m y y y y =++-2126=+=，112TF =+=．所以四边形OPTQ 的面积1262232S PQ TF =⨯⨯⨯=⨯=．（21）【2014年四川卷，文21，14分】已知函数2()1x f x e ax bx =---，其中,a b R ∈， 2.71828e =⋅⋅⋅ 为自然对ME OC 1A 1B 1DCBA数的底数．（1）设()g x 是函数()f x 的导函数，求函数()g x 在区间[0,1]上的最小值； （2）若(1)0f =，函数()f x 在区间(0,1)内有零点，证明：21e a -<<．解：（1）()2e 1x f x ax bx =---，()()e 2x g x f x ax b '==--．()e 2xg x a '=-．当[]0,1x ∈时，()[]12,e 2g x a a '∈--．当12a 时，()0g x '，所以()g x 在[]0,1上单调递增．因此()g x 在[]0,1上的最小值是()01g b =-；当e 2a 时，()0g x '，所以()g x 在[]0,1上单调递减．因此()g x 在[]0,1上的最小值是()1e 2g a b =--；当1e22a <<时，令()0g x '=，得()()ln 20,1x a =∈．所以函数()g x 在区间()0,ln 2a ⎡⎤⎣⎦上单调递减， 在区间()(ln 2,1a ⎤⎦上单调递增．于是，()g x 在[]0,1上的最小值是()()()ln 222ln 2g a a a ab =--．综上所述，当12a时，()g x 在[]0,1上的最小值是()01g b =-；当1e22a <<时，()g x 在[]0,1上的最小值是()()()ln 222ln 2g a a a a b =--；当e2a 时，()g x 在[]0,1上的最小值是()1e 2g ab =--．（2）设0x 为()f x 在区间()0,1内的一个零点，则由()()000f f x ==可知，()f x 在区间()00,x 上不可能单调递增，也不可能单调递减．则()g x 不可能恒为正，也不可能恒为负．故()g x 在区间()00,x 内存在零点1x ．同理()g x 在()0,1x 区间内存在零点2x ．所以()g x 在区间()0,1内至少有两个零点．由（1）知，当12a时，()g x 在[]0,1上单调递增，故()g x 在()0,1内至多有一个零点． 当e 2a 时，()g x 在[]0,1上单调递减，故()g x 在()0,1内至多有一个零点．所以1e 22a <<．此时()g x 在区间()0,ln 2a ⎡⎤⎣⎦上单调递减，在区间()(ln 2,1a ⎤⎦上单调递增．因此()(10,ln 2x a ∈⎤⎦，()()2ln 2,1x a ∈，必有()010g b =->，()1e 20g a b =-->．由()10f =，有e 12a b +=-<，有()01e 20g b a =-=-+>，()1e 210g a b a =--=->，得e 21a -<<． 所以函数()f x 在区间()0,1内有零点时，e 21a -<<．。