第六章电容元件与电感元件
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时间常数为：
RC （4 6） 103 10106 0.1s
所以电容电压为：
t
u（ 60e C t）
60e10tV
二、 RL电路的零输入响应
如图所示，根据KVL可得：
uL RiL 0
而电感元件的电压、电流关系为： di L 代入上式，可得： uL L dt
作业： P204
6-10
6-11
小 结
1.换路定理
在电路理论中， 通常把电路状态的改变（如通电、断电、短 路、电信号突变、电路参数的变化等）, 统称为换路。换路前后瞬 间，电感电流、电容电压不能突变，称为换路定律。即：
iL (0 ) iL (0 ) uC (0 ) uC (0 )
利用换路定律和0+等效电路，可求得电路中各电流、电压的初始值。
1mH 10 H , 1H 10 H
3 6
2. 电感元件的u—i关系
L Li d L
d ( Li ) u dt dt di uL dt
3. 电感元件的储能
在电压和电流关联参考方向下, 电感元 件吸收的功率为 di p ui iL dt
从t0到t时间内, 电感元件吸收的电能为
一、RC电路的零输入响应
当K与“2”接通后，电路方程为：
iCR +uC = 0
由于
du C iC dt
可得：
du C RC uC 0 dt
这是一个一阶微分方程。由高等数学知识可得该方程 的解，也就是该电路的零输入响应为：
uC (t ) U o e
式中： 秒 电路的电流为：
t
源自文库
RC
(暂态响应)
(稳态响应)
5.一阶电路的三要素法
一阶电路的响应f(t),由初始值f(0+)、稳态值f(∞)和时间常数τ三 要素所确定，利用三要素公式可以简便地求解一阶电路在直流电 源作用下的电路响应。全响应表达式为：
f (t ) f () [ f（0） f ()]e
t
计算响应变量的初始值f(0+)和稳态值f(∞)，分别用t=0+时的电路 和t=∞时的电路解出。作t=0+时的电路，将uC(0+)和iL(0+)分别视为电 压源和电流源。作t=∞时的电路，电容相当于开路、电感相当于短 路。时间常数τ中的电阻R，是动态元件两端电路的戴维南等效电路 电阻。
电容元件吸收的电能为：
du p ui uC dt
碳膜电阻
贴片电阻
水泥电阻
压敏电阻 热敏电阻
滑线电阻
电 位 器
电解电容
钽电容
钽电容
二、 电 感 元 1。 电感元件的基本概念
L N L
L
自感磁链
L
iL
称为电感元件的自 感系数, 或电感系数, 简称电感。
电感SI单位为［亨利］, 符号为H; 1 H=1 Wb／A。通 常还用毫亨（mH）和微亨（μH）作为其单位, 它们与亨
全响应可按下式求出：
f (t ) f () [ f (0 ) f ()]e
t
三要素的计算： 1.初始值f(0+)。 （1）求出电容电压uC（0-）或电感电流iL(0-)
（2）根据换路定律，求出响应电流或电压的初始值 i(0+)或u(0+), 即f(0+)。
2.稳态值 f(∞)。作t=∞电路时,电容相当于开路;电感相 当于短路。 3.时间常数τ。τ=RC或L/R，其中R值是换路后断开储能 元件C或L, 由储能元件两端看进去, 用戴维南等效电路 求得的等效内阻。
为电路的放电时间常数，单位为：
电压uC(t)、uR(t)和电流i(t)随时间变化的曲线如图所示， 它们都是同样按指数规律衰减的。
时间常数τ的大小反映了电路过渡过程的快慢
现以电容电压uC(t)为例来说明时间常数τ的意义。将t=τ、2τ、 3τ、…等不同时间的响应uC值列于下表中。
t UC（t） 0 U0 τ 0.368 U0 2τ 0.135U0 3τ 0.05U0 4τ 0.018U0 5τ 0.007U0 … … ∞ 0
duC U i(t ) C e dt R u R (t ) Ri Ue
t
t
电压uC(t)、uR(t)和电流i(t)随时间变化的曲线如图所示。
§ 6.4 一阶电路的全响应
全响应：当一个非零初始状态的一阶电路受到激励时, 电路中所产生的响应。
二、一阶电路的三要素法
稳态值，初始值和时间常数称为一阶电路的三要素。
§ 6.2 换路定律和初始条件的计算
一、过渡过程的概念：
S
+
R
R
+
_
E
uC
C
E _
uC
开关S闭合后，电路 处于另一种稳态 过渡过程：当电路含有储能元件（如电感、电容）， 且电路的结构或元件参数发生变化时，可能使电路从一 种稳态变到另一种稳态，这种转变需要一个过程，这个 过程称为电路的过渡过程，也称暂态过程，简称暂态。 直流：稳态时电容相当于开路，电感相当于短路。
t=0 时开关S合上，电路方程为：
S
+ _
R
iCR + uC = U
由于
U
C
uC
du C iC dt
可得：
du C RC uC U dt
这是一个常系数一阶线性非齐次微分方程。由高等数 学知识可得该方程的解，也就是该电路的零状态响应为：
式中：
RC
为电路的时间常数，单位为：秒
充电电流 i(t)和电阻电压uR(t)为
三、初始值的计算：
方法： 1. 作出t=0-时的等效电路，求出uC(0—)和 iL(0—)； 2. 根据换路定律确定出uC(0+)及 iL(0+)；
3. 用电压为uC(0+)的电压源和电流为 iL(0+)的电流源取代
原电路中C和L的位置，可得0+
4. 以0+时的等效电路求出相关初始值。
例1：如图（a）所示电路中，已知Us=12V，R1=4kΩ， R2=8kΩ， C=1μF，开关S原来处于断开状态，电容上电压 uC(0-)=0。求开关S闭合后，各电流及电容电压的初始值。
认识电容：两块平行的金属极板就构成一个电 容元件。在外电源的作用下，两个极板上能分别存贮 等量的异性电荷形成电场，贮存电能。
因此，电容元件是一种能 聚集电荷，贮存电能的二 端元件。
电容器
一、 电容元件 1. 电容元件的基本概念
电容元件是一个理想的二端元件, 它的图形符号如图所示。
i ＋ ＋q －q C u －
电路处于一种稳态
二、换路定理： 在电路理论中，通常把电路状态的改变（如通电、断电、 短路、电信号突变、电路参数的变化等）, 统称为换路。 换路定理：在换路瞬间，电容上的电压、电感中的电流 不能突变。即：
uC (0 ) uC (0 ) iL (0 ) iL (0 )
式中：0－表示换路前瞬间 0＋表示换路后瞬间
(a )
解：假设有关参考方向如图所示。 （1） 由换路定律可知： uC(0+)=uC(0-)=0
（2）画出t=0+时的等效电路，如图（b）所示。电容相当 于短路。故有：
练习P159 例6－3 例6－4
作业P203 6-4
只求初始值
§6.2 一阶电路的零输入响应
一阶电路：可用一阶微分方程描述的电路称为一阶电路 （一阶电路中一般仅含一个储能元件。） 零输入响应：在无外加电源输入的条件下，由非零初始 态（储能元件的储能）引起的响应，称为零输入响应。
q C u
电容的SI单位为［法拉］, 符号为F; 1 F=1 C／V。常采用微 法（μF）和皮法（pF）作为其单位。
1F 10 6 F 1 pF 10 12 F
2.电容元件的u—i关系
dq du i C dt dt
3。电容元件的储能
在电压和电流关联的参考方向下, 电容元件吸收的功率为：
2.一阶电路的零输入响应
零输入响应就是无电源一阶线性电路，在初始储能作用下产 生的响应。其形式为：
f (t ) f (0 )e
t
式中，f(0+)是响应的初始值，τ是电路的时间常数。
3. 一阶电路的零状态响应
零状态响应就是电路初始状态为零时由输入激励产生的响应。 其形式为 ： t
f (t ) f ()(1 e )
uC Uo
1＜2＜3
0.368Uo 0
1 2 3
t
当 t=5 时，过渡过程基本结束，uC为0。
例1：如图所示电路原已稳定，试求开关S断开后 的电容电压uC。
解：换路前电容相当于开路，则有：
u（ 90 C 0 ） 6 60V 63
根据换路定理有：
u（ u（ 60V C 0） C 0）
di L L Ri L 0 dt
这也是一个常系数一阶线性齐次微分方程，同样可求 得。电感电流的零输入响应为：
iL (t ) i（ L 0）e
R t L
i（ L 0 ）e
t
电阻和电感上的电压分别为：
u R (t ) RiL Ri （ L 0 ）e
t
t
diL u L (t ) L Ri （ L 0 ）e dt
L 式中： 为电路 R 的时间常数，单位为：秒
RL电路零输入响应 曲线如图所示。
练习 P166 例6－8 P168 例6－9
作业 P203 6-4 零输入响应 P203 6-5
§ 6.3 一阶电路的零状态响应
零状态响应：在所有储能元件的储能为零的情况下，仅 由外加电源输入引起的响应。
一、RC电路的零状态响应
式中， f(∞)是响应的稳态值。
4.一阶电路的全响应
全响应就是初始状态不为零的电路在输入恒定直流激励下产生 的响应。其两种分解为：
t
t
f (t ) f (0 )e
f ()(1 e )
(零状态响应)
t
(零输入响应)
f (t ) f (0 ) f () e f ()
第6章 动态电路的时域分析
6.1 电容元件与电感元件 6.2 换路定律及计算 6.3 一阶电路的响应 6.4 三要素法
引言
动态电路分析与电阻电路分析的比较 电阻电路 组成 动态电路
独立源,受控源,电阻 电感,电容,电阻,独立源
特性
电压、电流、 耗能
电压、电压随时间 的变化的规律
6.1 电容元件与电感元件
（2）求稳态值： 画t=∞时的等效电路, 如图 (d)所示。
R1 R2
R3
2A （ c） R1 R2 R3
uL
（3）求时间常数：
R1 R2 R3 2 R1 R2 时间常数为： L 1 0.5s R 2
等效电阻为： R
所以，全响应为：
uL
（d）
练习 P186 例 6-21
注意：三要素法仅适用于一阶线性电路，对于二阶或高
阶电路是不适用的。
例1：如图所示电路原已稳定，t=0时开关S闭合， 试求电感电压uL。
2
R1 IS R2 t=0 2
（a）
1
R3 L 1H
2
1
S
uL
3A
2
（b）
L
iL
3A
解（1）求初始值：作t=0–等效电路如图（b）所示。则有：
作t≥0时的电路如图（c）所示，
RC （4 6） 103 10106 0.1s
所以电容电压为：
t
u（ 60e C t）
60e10tV
二、 RL电路的零输入响应
如图所示，根据KVL可得：
uL RiL 0
而电感元件的电压、电流关系为： di L 代入上式，可得： uL L dt
作业： P204
6-10
6-11
小 结
1.换路定理
在电路理论中， 通常把电路状态的改变（如通电、断电、短 路、电信号突变、电路参数的变化等）, 统称为换路。换路前后瞬 间，电感电流、电容电压不能突变，称为换路定律。即：
iL (0 ) iL (0 ) uC (0 ) uC (0 )
利用换路定律和0+等效电路，可求得电路中各电流、电压的初始值。
1mH 10 H , 1H 10 H
3 6
2. 电感元件的u—i关系
L Li d L
d ( Li ) u dt dt di uL dt
3. 电感元件的储能
在电压和电流关联参考方向下, 电感元 件吸收的功率为 di p ui iL dt
从t0到t时间内, 电感元件吸收的电能为
一、RC电路的零输入响应
当K与“2”接通后，电路方程为：
iCR +uC = 0
由于
du C iC dt
可得：
du C RC uC 0 dt
这是一个一阶微分方程。由高等数学知识可得该方程 的解，也就是该电路的零输入响应为：
uC (t ) U o e
式中： 秒 电路的电流为：
t
源自文库
RC
(暂态响应)
(稳态响应)
5.一阶电路的三要素法
一阶电路的响应f(t),由初始值f(0+)、稳态值f(∞)和时间常数τ三 要素所确定，利用三要素公式可以简便地求解一阶电路在直流电 源作用下的电路响应。全响应表达式为：
f (t ) f () [ f（0） f ()]e
t
计算响应变量的初始值f(0+)和稳态值f(∞)，分别用t=0+时的电路 和t=∞时的电路解出。作t=0+时的电路，将uC(0+)和iL(0+)分别视为电 压源和电流源。作t=∞时的电路，电容相当于开路、电感相当于短 路。时间常数τ中的电阻R，是动态元件两端电路的戴维南等效电路 电阻。
电容元件吸收的电能为：
du p ui uC dt
碳膜电阻
贴片电阻
水泥电阻
压敏电阻 热敏电阻
滑线电阻
电 位 器
电解电容
钽电容
钽电容
二、 电 感 元 1。 电感元件的基本概念
L N L
L
自感磁链
L
iL
称为电感元件的自 感系数, 或电感系数, 简称电感。
电感SI单位为［亨利］, 符号为H; 1 H=1 Wb／A。通 常还用毫亨（mH）和微亨（μH）作为其单位, 它们与亨
全响应可按下式求出：
f (t ) f () [ f (0 ) f ()]e
t
三要素的计算： 1.初始值f(0+)。 （1）求出电容电压uC（0-）或电感电流iL(0-)
（2）根据换路定律，求出响应电流或电压的初始值 i(0+)或u(0+), 即f(0+)。
2.稳态值 f(∞)。作t=∞电路时,电容相当于开路;电感相 当于短路。 3.时间常数τ。τ=RC或L/R，其中R值是换路后断开储能 元件C或L, 由储能元件两端看进去, 用戴维南等效电路 求得的等效内阻。
为电路的放电时间常数，单位为：
电压uC(t)、uR(t)和电流i(t)随时间变化的曲线如图所示， 它们都是同样按指数规律衰减的。
时间常数τ的大小反映了电路过渡过程的快慢
现以电容电压uC(t)为例来说明时间常数τ的意义。将t=τ、2τ、 3τ、…等不同时间的响应uC值列于下表中。
t UC（t） 0 U0 τ 0.368 U0 2τ 0.135U0 3τ 0.05U0 4τ 0.018U0 5τ 0.007U0 … … ∞ 0
duC U i(t ) C e dt R u R (t ) Ri Ue
t
t
电压uC(t)、uR(t)和电流i(t)随时间变化的曲线如图所示。
§ 6.4 一阶电路的全响应
全响应：当一个非零初始状态的一阶电路受到激励时, 电路中所产生的响应。
二、一阶电路的三要素法
稳态值，初始值和时间常数称为一阶电路的三要素。
§ 6.2 换路定律和初始条件的计算
一、过渡过程的概念：
S
+
R
R
+
_
E
uC
C
E _
uC
开关S闭合后，电路 处于另一种稳态 过渡过程：当电路含有储能元件（如电感、电容）， 且电路的结构或元件参数发生变化时，可能使电路从一 种稳态变到另一种稳态，这种转变需要一个过程，这个 过程称为电路的过渡过程，也称暂态过程，简称暂态。 直流：稳态时电容相当于开路，电感相当于短路。
t=0 时开关S合上，电路方程为：
S
+ _
R
iCR + uC = U
由于
U
C
uC
du C iC dt
可得：
du C RC uC U dt
这是一个常系数一阶线性非齐次微分方程。由高等数 学知识可得该方程的解，也就是该电路的零状态响应为：
式中：
RC
为电路的时间常数，单位为：秒
充电电流 i(t)和电阻电压uR(t)为
三、初始值的计算：
方法： 1. 作出t=0-时的等效电路，求出uC(0—)和 iL(0—)； 2. 根据换路定律确定出uC(0+)及 iL(0+)；
3. 用电压为uC(0+)的电压源和电流为 iL(0+)的电流源取代
原电路中C和L的位置，可得0+
4. 以0+时的等效电路求出相关初始值。
例1：如图（a）所示电路中，已知Us=12V，R1=4kΩ， R2=8kΩ， C=1μF，开关S原来处于断开状态，电容上电压 uC(0-)=0。求开关S闭合后，各电流及电容电压的初始值。
认识电容：两块平行的金属极板就构成一个电 容元件。在外电源的作用下，两个极板上能分别存贮 等量的异性电荷形成电场，贮存电能。
因此，电容元件是一种能 聚集电荷，贮存电能的二 端元件。
电容器
一、 电容元件 1. 电容元件的基本概念
电容元件是一个理想的二端元件, 它的图形符号如图所示。
i ＋ ＋q －q C u －
电路处于一种稳态
二、换路定理： 在电路理论中，通常把电路状态的改变（如通电、断电、 短路、电信号突变、电路参数的变化等）, 统称为换路。 换路定理：在换路瞬间，电容上的电压、电感中的电流 不能突变。即：
uC (0 ) uC (0 ) iL (0 ) iL (0 )
式中：0－表示换路前瞬间 0＋表示换路后瞬间
(a )
解：假设有关参考方向如图所示。 （1） 由换路定律可知： uC(0+)=uC(0-)=0
（2）画出t=0+时的等效电路，如图（b）所示。电容相当 于短路。故有：
练习P159 例6－3 例6－4
作业P203 6-4
只求初始值
§6.2 一阶电路的零输入响应
一阶电路：可用一阶微分方程描述的电路称为一阶电路 （一阶电路中一般仅含一个储能元件。） 零输入响应：在无外加电源输入的条件下，由非零初始 态（储能元件的储能）引起的响应，称为零输入响应。
q C u
电容的SI单位为［法拉］, 符号为F; 1 F=1 C／V。常采用微 法（μF）和皮法（pF）作为其单位。
1F 10 6 F 1 pF 10 12 F
2.电容元件的u—i关系
dq du i C dt dt
3。电容元件的储能
在电压和电流关联的参考方向下, 电容元件吸收的功率为：
2.一阶电路的零输入响应
零输入响应就是无电源一阶线性电路，在初始储能作用下产 生的响应。其形式为：
f (t ) f (0 )e
t
式中，f(0+)是响应的初始值，τ是电路的时间常数。
3. 一阶电路的零状态响应
零状态响应就是电路初始状态为零时由输入激励产生的响应。 其形式为 ： t
f (t ) f ()(1 e )
uC Uo
1＜2＜3
0.368Uo 0
1 2 3
t
当 t=5 时，过渡过程基本结束，uC为0。
例1：如图所示电路原已稳定，试求开关S断开后 的电容电压uC。
解：换路前电容相当于开路，则有：
u（ 90 C 0 ） 6 60V 63
根据换路定理有：
u（ u（ 60V C 0） C 0）
di L L Ri L 0 dt
这也是一个常系数一阶线性齐次微分方程，同样可求 得。电感电流的零输入响应为：
iL (t ) i（ L 0）e
R t L
i（ L 0 ）e
t
电阻和电感上的电压分别为：
u R (t ) RiL Ri （ L 0 ）e
t
t
diL u L (t ) L Ri （ L 0 ）e dt
L 式中： 为电路 R 的时间常数，单位为：秒
RL电路零输入响应 曲线如图所示。
练习 P166 例6－8 P168 例6－9
作业 P203 6-4 零输入响应 P203 6-5
§ 6.3 一阶电路的零状态响应
零状态响应：在所有储能元件的储能为零的情况下，仅 由外加电源输入引起的响应。
一、RC电路的零状态响应
式中， f(∞)是响应的稳态值。
4.一阶电路的全响应
全响应就是初始状态不为零的电路在输入恒定直流激励下产生 的响应。其两种分解为：
t
t
f (t ) f (0 )e
f ()(1 e )
(零状态响应)
t
(零输入响应)
f (t ) f (0 ) f () e f ()
第6章 动态电路的时域分析
6.1 电容元件与电感元件 6.2 换路定律及计算 6.3 一阶电路的响应 6.4 三要素法
引言
动态电路分析与电阻电路分析的比较 电阻电路 组成 动态电路
独立源,受控源,电阻 电感,电容,电阻,独立源
特性
电压、电流、 耗能
电压、电压随时间 的变化的规律
6.1 电容元件与电感元件
（2）求稳态值： 画t=∞时的等效电路, 如图 (d)所示。
R1 R2
R3
2A （ c） R1 R2 R3
uL
（3）求时间常数：
R1 R2 R3 2 R1 R2 时间常数为： L 1 0.5s R 2
等效电阻为： R
所以，全响应为：
uL
（d）
练习 P186 例 6-21
注意：三要素法仅适用于一阶线性电路，对于二阶或高
阶电路是不适用的。
例1：如图所示电路原已稳定，t=0时开关S闭合， 试求电感电压uL。
2
R1 IS R2 t=0 2
（a）
1
R3 L 1H
2
1
S
uL
3A
2
（b）
L
iL
3A
解（1）求初始值：作t=0–等效电路如图（b）所示。则有：
作t≥0时的电路如图（c）所示，