指数函数讲义与练习(含答案)

　指数函数

突破思路

本节主要学习分数指数幂与指数函数．

1．理解有理数幂的含义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算性质．

在初中我们学习了正整数指数幂的意义：一个数a的n次幂表示n个a 相乘的积．正整数指数幂有五条运算性质：

（1）aman＝am＋n；（2）am÷an＝am－n（a≠0，m＞n）；（3）（am）n＝amn；

（4）（ab）n＝anbn；（5）（）n＝若（b≠0）．

另外规定了a0＝1（a≠0）、a－n＝（n为正整数，a≠0），这样一来，原来的5条运算律可以归纳为（1）（3）（4）三条，同时将指数幂的概念扩大到了整数．

2．分数指数幂的引进是受根式的性质的启发．

从根式的基本性质＝（a≥0，m、n、pN*），

我们知道a≥0时，＝a3＝，＝a4＝．于是我们规定：

（1）＝（a≥0，m、nN*）；

（2）＝（a＞0，m、nN*，n＞1）；

（3）零的正分数次幂是零，零的负分数次幂没有意义．

这样一来，我们就将指数幂的概念扩大到有理数指数幂了，有理数幂的运算性质归纳为：

（1）aras＝ar＋s；（2）（ar）s＝ars；

（3）（ab）r＝arbr，式中a＞0，b＞0，r、s为有理数．

3．理解指数函数的概念和意义．在指数函数的定义中限定了底数a ＞0且a≠1，这主要是使函数的定义域为实数集，且具有单调性．

（1）若a＝0，当x＞0时，ax＝0；当x≤0时，ax没有意义；

（2）若a＜0，如y＝（－2）x对于x＝、等都是没有意义的；

（3）若a＝1，则函数为y＝1x＝1是一个常数函数，它的性质没有研究的必要，且不具有单调性．

4．能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点，体会指数函数是一类重要的函数模型．

5．在方法上，要体现“形”与“数”的结合，要重视指数函数的实际背景，会利用指数函数的有界性解题．

合作讨论

【问题1】下列各式中正确的是（ ）

A．＝a（nN*） B．（）n＝a（nN*）

C．＝（n，m，pN*）D．＝（m，nN*，a＞0）

我的思路：我们知道，如果xn＝a，则称x是a的n次方根．若a＝0时，则x＝0，即＝0，若a≠0时，当n为正奇数时，x＝，其符号与x的符号一致；当n为正偶数时，则a一定大于零，x＝士，即正数的偶次方根有两个，它们互为相反数．A、C中的根指数与被开方式的指数能否约分，取决于实数a的符号．如：≠－2和≠，应该先将被开放式底数－2化成2，然后再进行化简．故A，C不一定成立．一般地，根式有如下性质：

（1）＝（nN*）；（2）（）n＝a（nN*）．

对于分数指数幂不能理解为有个a相乘，我们规定＝（a＞0，m，nN*）．

应该注意，分数指数的分子和分母与根式的根指数和被开方式的指数之间的对应关系，不可颠倒．故D不成立．因此选B．

思考：对于根式在什么条件下有意义？

【问题2】在同一个坐标系中画出下列各函数的图象：

①y＝2x；②y＝5x；③y＝（）x；④y＝（）x．

观察四个函数图象，看它们有何特点？你能从中总结出一般性结论吗？

我的思路：指数函数y＝ax（a＞0且a≠1）恒过两个点（0，1）和（1，a）．这四个函数都经过（0，1），又分别经过（1，2）、（1，5）、（1，）、（1，）．再由函数的单调性就可以画出四个函数的大致图象（如下图）．根据图象可知函数①与④，②与③分别关于y轴对称．

结论：（1）一般地，指数函数y＝ax（a＞0且a≠1）与y＝a－x（a＞0且a≠1）的图象关于y轴对称．

（2）在y轴的右侧，由下向上函数图象相应的底数由小变大（可简记为“右侧底大图高”）；在y轴的左侧，由上向下图象相应的底数由小变大（简记为“左侧底大图低”）．

（3）（有界性）若a＞1，当x＞0时，y＞1当x＜0时，0＜y＜1．若0＜a＜1，当x＞0时，0＜y＜1；当x＜0时，y＞1．

思维过程

在本小节的学习过程中，我们应该从下面几个方面去掌握知识，提高能力．

1．理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算．分数指数幂的运算性质与整数指数幂的运算性质完全相同．正整数指数幂的五条运算性质可以归结为以下三条：

①ar·as＝ar＋s；②（ar）s＝ars；③（ab）r＝arbr，其中a＞0，b ＞0，r，sQ．

这三条运算性质对于r，sR也成立，我们要记准公式，不仅会直接使用，更要会准确地逆用、活用．

2．对根式的学习，要注意与所学过的平方根、立方根的概念以及二次根式、三次根式的性质进行类比，有利于我们正确地理解n次方根的概念以及n次根式的性质；要能够灵活地将分数指数幂与根式相互转化．

3．在指数函数的概念中，对底数a＞0且a≠1的规定是为了使函数的定义域为实数集且具有单调性．运用指数函数性质解题时要注意对底数a的分类讨论，注意函数有界性的运用．

4．在本节的学习过程中，要学会正确处理由指数函数与其他函数构成的复合函数的定义域、值域、单调性、奇偶性等问题，注意分类讨论、换元法、数形结合等数学思想方法的运用．

5．在解决简单的实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型．

【例1】化简下列各式：

（1）－［3×（）0］－1·［81－0.25＋］－10×；

（2）÷（1－2）×．

思路：此类问题的化简需要先将小数化为分数，根式化为分数指数幂，结果要化为最简形式．在最简结果中，不能既有根式又有分数指数幂的形式，同时，也不能既有指数幂又有分母的形式．如，都不是最简形式．我们经常要用到下列公式：

①a－b＝（－）（＋）；

②a±2＋b＝（±）2；

③a±b＝（±）（＋＋）．

答案：（1）原式＝0.3－1－3－1·（3－1＋）－10×0.3＝－－3＝0；　

（2）原式＝××＝××＝a．

【例2】设yl＝a3x－1，y2＝（a＞0，a≠1），确定x为何值时有（1）y1＝y2；（2）y1＞y2．

思路：显然需对a进行分类讨论，分别解指数方程和指数不等式． 答案：（1）由题意得a3x－1＝，则3x－1＝x2＋x－4，解得x＝3或x