圆的标准方程教案

《圆的标准方程》教学设计

一、教材分析

学习了“曲线与方程”之后，作为一般曲线典型例子，安排了本节的“圆的方程”。圆是学生比较熟悉的曲线，在初中曾经学习过圆的有关知识，本节容是在初中所学知识及前几节容的基础上，进一步运用解析法研究它的方程，它与其他图形的位置关系及其应用-同时，由于圆也是特殊的圆锥曲线，因此，学习了圆的方程，就为后面学习其它圆锥曲线的方程奠定了基础-也就是说，本节容在教材体系中起到承上启下的作用，具有重要的地位，在许多实际问题中也有着广泛的应用。

二、学情分析

学生在初中的学习中已初步了解了圆的有关知识，本节将在上章学习了曲线与方程的基础上，学习在平面直角坐标系中建立圆的代数方程，运用代数方法研究直线与圆，圆与圆的位置关系，了解空间直角坐标系，在这个过程中进一步体会数形结合的思想，形成用代数方法解决几何问题的能力。

三、教学目标

(一) 知识与技能目标

(1) 会推导圆的标准方程

（2）能运用圆的标准方程正确地求出其圆心和半径。

（3）掌握圆的标准方程的特点，能根据所给有关圆心、半

径的具体条件准确地写出圆的标准方程。

（二）过程与方法目标

（1）体会数形结合思想，初步形成代数方法处理几何问题能力。

（2）能根据不同的条件，利用待定系数法求圆的标准方程。

（三）情感与态度目标

圆是基于初中的知识，同时又是初中的知识的加深，使学生懂得知识的连续性；圆在生活中很常见，通过圆的标准方程，说明理论既来源于实践，又服务于实践，可以适时进行辩证唯物主义思想教育.

四、重点、难点、疑点及解决办法

1、重点：圆的标准方程的推导过程和圆标准方程特征的理解与掌握。

2、难点：圆的标准方程的应用。

3、解决办法：充分利用课本提供的2个例题，通过例题的解决使学生初步熟悉圆的标准方程的用途和用法。

五、教学过程

首先通过课件展示生活中的圆，那么我们今天从另一个角度来研究圆。

(一)复习提问

在初中，大家学习了圆的概念，哪一位同学来回答？

问题1:具有什么性质的点的轨迹称为圆？

平面与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆(教师在课件上画圆)•

问题2:图哪个点是定点？哪个点是动点？动点具有什么性质？圆心和半径都反映了圆的什么特点？

圆心C是定点，圆周上的点M是动点，它们到圆心距离等于定长|MC|=r ，圆心和半径分别确定了圆的位置和大小.

问题3:求曲线的方程的一般步骤是什

么？其中哪几个步骤必不可少？

求曲线方程的一般步骤为：

(1) 建立适当的直角坐标系，用(X，

表示曲线上任意点M的坐标，简称建系设点；(如图)

(2) 写出适合条件P的点M的集合P={M|P(M)|}，简

称写点集；

(3) 用坐标表示条件P(M)，列出方程f(x，y)=0，简称列方程;

(4) 化方程f(x，y)=0为最简形式，简称化简方程；

(5) 证明化简后的方程就是所求曲线的方程，简称证明.

其中步骤⑴(3)⑷必不可少.

下面我们用求曲线方程的一般步骤来建立圆的标准方

程.

(二)建立圆的标准方程

1•建系设点

由学生在黑板上板演，并问有无不同建立坐标系的方法•教师指出：这两种建立坐标系的方法都对，原点在圆心这是特殊情况，现在仅就一般情况推导.因为C是定点，可设C(a，b)、半径r,且设圆上任一点M坐标为(x，y).

2 .写点集

根据定义，圆就是集合P={M||MC|=r}.

3 .列方程

由两点间的距离公式得：厂… —一;

4 .化简方程

将上式两边平方得：

(x-a) 2+(y-b) 2=r2. (1) 方程(1)就是圆心是C(a , b)、半径是r的圆的方程.我们把它叫做圆的标准方程.

这时，请大家思考下面一个问题.

问题4:圆的方程形式有什么特点？当圆心在原点时，圆的方程是什么？

这是二元二次方程，展开后没有xy项，括号变数x, y 的系数都是1•点(a , b)、r分别表示圆心的坐标和圆的半径•当圆心在原

点即C(0，0)时，方程为x2+y2=r2.

教师指出：圆心和半径分别确定了圆的位置和大小，从而确定了圆，所以，只要a , b , r三个量确定了且r> 0, 圆的方程就给定了•这就是说要确定圆的方程，必须具备三个独立的条件.注意，确定a、b、r,可以根据条件，利用待定系数法来解决.

(三)圆的标准方程的应用

学生练习一：

1说出下列圆的圆心和半径：(学生回答)

(1) (x-3) 2+(y-2) 2=5 ；

(2) (2x+4) 2+(2y - 4)2=8;

(3) (x+2) 2+ y2=m2(m 工0)

教师指出：已知圆的标准方程，要能够熟练地求出它的圆心和半径.

2、(1)圆心是(3，- 3)，半径是2的圆是

(2)以(3，4)为圆心，且过点(0，0)的圆的方程为( )

A x2+y2= 25

B x2+y2= 5

C (x+3) 2+(y+4) 2= 25

D (x-3) 2+(y-4) 2= 25

教师纠错，分别给出正确答案：2、 (1)(x-3)2+(y + 3)2=4 ;

(2) D.

指出：要求能够用圆心坐标、半径长熟练地写出圆的标 准方程.

例1求满足下列条件各圆的方程：

(1) 求以C(1,3)为圆心，并且和直线 3x 4y 7 0

相切的圆的方程

(2) 圆心在x 轴上，半径为5且过点 (2，3)

的圆。

解：(1)已知圆心坐标C(1,3)，故只要求出圆的半径， 就能写出圆的标准方程-因为圆C 和直线3x 4y 7 0相切，

所以半径r 就等于圆心C 到这条直线的距离 根据点到直 线的距离公式，得

|3 1 4 3 7| 16

r

<32 ( 4)2

5

因此，所求的圆的方程是

•••所求圆的方程为(x + 2)2+y 2=25 或(x-6)2+y 2=25

y

(

C(1,3)

/

r

/M

O

3x-4y-7=0

x

(x-a) 2+y 2=25

T 点A (

2, 3)在圆上• (2- a)2+32=25 • a=-2 或 6 2 2

(x 1) (y 3)

256 25

(2)设圆心在x 轴上半径为5的圆的方程为