2020年重庆八中高三3月月考 理科数学 试题卷+参考答案
2020届重庆市直属校高三3月月考理科数学试题Word版含答案
2020届重庆市直属校高三3月月考理科数学试题第Ⅰ卷(选择题,共60分)一、选择题:(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.设集合A={x|x 2<9},B={-3,-2,-1,0,1,2},则A∩B=A.{0,1,2}B.{-1,0,1,2}C.{-2,-1,0,1,2}D.{-2,–1,0}2.设(1+i)(a+bi)=2,其中a,b 是实数,i 为虚数单位,则|3a+bi|=A.2C.3.已知数列{a n }是各项均为正数的等比数列,a 1=2,a 3=2a 2+16,则log 2a 9=A.15B.16C.17D.184.若实数x,y 满足约束条件20,20,240x y x y x y -+⎧⎪⎪⎪-⎨⎪⎪+-⎪⎩…„?,则z=x+y 的最小值为A.-8B.-6C.1D.35.我国古代有着辉煌的数学研究成果，其中《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、《缉古算经》有着丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献。
这5部专著中有3部产生于汉、魏、晋、南北朝时期。
现拟从这5部专著中选择2部作为学生课外兴趣拓展参考书目，则所选2部专著中至少有一部不是汉、魏、晋、南北朝时期专著的概率为 A.35 B.710 C.45 D.9106.如图,四棱柱1111ABCD A B C D -中,ABCD 为平行四边形,E,F 分别在线段DB,DD 1上,且112DE DF EB FD ==,G 在CC 1上且平面AEF ∥平面BD 1G ,则1CG CC =A.12B.13C.23D.147.在直角坐标系xOy 中，半径为lm 的⊙C 在t= 0时圆心C 与原点O 重合，⊙C 沿x 轴以1m/s 的速度匀速向右移动，⊙C 被y 轴所截的左方圆弧长记为x ，令y=cosx ，则y 关于时间t （0≤t≤l, 单位：s ）的函数的图象大致为8.(()n mx n N +∈的展开式中,各二项式系数和为32,各项系数和为243,则展开式中x 3的系数为A.40B.30C.20D.10 9.设函数f(x)=cos(ωx+φ)(x∈R)(ω>0,-π<φ<0)的部分图象如图所示,如果127,(,)1212x x ππ∈，x 1≠x ,且f(x 1)=f(x 2),则f(x 1+x 2)=A.2-B.12-C.2 D ．1210.已知三棱锥P-ABC 的四个顶点在球O 的球面上,球O 的半径为4,ΔABC 是边长为6的等边三角形,记ΔABC 的外心为O 1.若三棱锥P-ABC的体积为PO 1=A.B.C.D.11.设双曲线2222:1(0,x y C a b a b-=>>)的左顶点为A,右焦点为F(c,0),若圆A:(x+a)2+y 2=a 2与直线bx-ay=0交于坐标原点O 及另一点E ﹐且存在以O 为圆心的圆与线段EF 相切,切点为EF 的中点,则双曲线的离心率为D.3212.函数1ln()(0)()(0)x x x f x xe x -'-<⎧⎪=⎨⎪⎩…，若关于x 的方程f 2(x)-af(x)+a-a 2=0有四个不等的实数根,则a的取值范围是 A. 4(,1]5B.(–∞,-1)∪[1,+∞)C.(-∞,-1)∪{1}D.(-1,0)∪{1}第Ⅱ卷(非选择题,共90分)二、填空题:(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.已知向量a r 与b r 的夹角为120°,且(1,3),||a b =-=r r 则a b ⋅=r r ____.14.已知函数f(x)=3|x-a|(a ∈R)满足f(x)=f(4-x),则实数a 的值为____.15.设各项均为正数的数列{a n }的前n 项和S n 满足222(2)2()0n n S n n S n n -+--+=,n ∈N *,则数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前2020项和T 2020=___.16.设抛物线y 2=2x 的焦点为F,准线为1,弦AB 过点F 且中点为M ﹐过点F,M 分别作AB 的垂线交l 于点P,Q,若|AF|=3|BF|,则|FP|·|MQ|=____.三、解答题:(共70分)17.(本小题满分12分)在ΔABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c,且满足(cos )c b A A =+(I)求角B 的大小;(II)若a=4,且BC求ΔABC 的周长.18.(本小题满分12分)如图,四边形ABCD 为平行四边形,点E 在AB 上,AE=2EB=2,且DE ⊥AB.以DE 为折痕把ΔADE 折起,使点A 到达点F 的位置,且∠FEB=60°.(I)求证:平面BFC ⊥平面BCDE ﹔(II)若直线DF 与平面BCDE,求二面角E-DF-C 的正弦值.19.(本小题满分12分)为了保障某治疗新冠肺炎药品的主要药理成分在国家药品监督管理局规定的值范围内,武汉某制药厂在该药品的生产过程中,检验员在一天中按照规定从该药品生产线上随机抽取20件产品进行检测,测量其主要药理成分含量(单位:mg).根据生产经验,可以认为这条药品生产线正常状态下生产的产品的主要药理成分含量服从正态分布N(μ,σ2).在一天内抽取的20件产品中,如果有一件出现了主要药理成分含量在(μ-3σ,μ+3σ)之外的药品,就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对本次的生产过程进行检查.(I)下面是检验员在2月24日抽取的20件药品的主要药理成分含量:其中x i为抽取的第i件药品的主要药理成分含量,i=1,2,…,20.用样本平均数x作为μ的估计值ˆμ,用样本标准差s作为σ的估计值ˆσ,利用估计值判断是否需对本次的生产过程进行检查?(I)假设生产状态正常,记X表示某天抽取的20件产品中其主要药理成分含量在(μ-3σ,μ+3σ)之外的药品件数,求P(X=1)及X的数学期望.附:若随机变量Z服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-3σ<Z<μ+3σ)≈0.9974,0.997419≈0.95.20.(本小题满分12分)已知椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>的左、右焦点分别为F1,F2,过点F1的直线与C交于A,B两点.ΔABF2的周长为,且椭圆的离心率为2.(Ⅰ)求椭圆C的标准方程:(I)设点P为椭圆C的下顶点,直线PA,PB与y=2分别交于点M,N,当|MN|最小时,求直线AB的方程.21.(本小题满分12分)已知函数f(x)=e ax-x-1,且f(x)≥0.(I)求a﹔(IⅡ)在函数f(x)的图象上取定两点A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))(x1<x2),记直线AB的斜率为k,问:是否存在x0∈(x1,x2),使f'(x)=k成立?若存在,求出x的值(用x1,x2表示);若不存在,请说明理由.请从下面所给的22、23两题中选定一题作答,并用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑,按所涂题号进行评分;不涂、多涂均按所答第一题评分;多答按所答第一题评分.22.(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程.在平面直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ2(cos2θ+3sin2θ)=12,直线l的参数方程为2x ty t=-+⎧⎪⎨⎪=⎩(t为参数),直线l与曲线C交于M,N两点.(I)若点P的极坐标为(2,π),求|PM|·|PN|的值; (Ⅱ)求曲线C的内接矩形周长的最大值.23.(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲.已知函数f(x)=x|x-a|,a∈R.(Ⅰ)当f(2)+f(-2)>4时,求a的取值范围;(Ⅱ)若a>0,∀x,y∈(-∞,a],不等式f(x)≤|y+3|+|y-a|恒成立,求a的取值范围.。
2020年重庆沙坪坝区重庆市第八中学高三三模理科数学试卷-学生用卷
2020年重庆沙坪坝区重庆市第八中学高三三模理科数学试卷-学生用卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1、【来源】 2020年重庆沙坪坝区重庆市第八中学高三三模理科第1题5分2+i1−2i=（）．A. −iB. iC. 1+iD. −1+i2、【来源】 2020年重庆沙坪坝区重庆市第八中学高三三模理科第2题5分2020~2021学年10月河南洛阳洛龙区洛阳市第一高级中学高一上学期月考第1题若集合A={x∈N|(x−3)(x−2)<6}，则A中的元素个数为（）．A. 3B. 4C. 5D. 63、【来源】 2020年重庆沙坪坝区重庆市第八中学高三三模理科第3题5分函数f(x)=e x−e−xx2−1的图象大致为（）．A.B.C.D.4、【来源】 2020年重庆沙坪坝区重庆市第八中学高三三模理科第4题5分已知向量a →=(1,2)，|b →|=√2，且a →⊥b →，则|a →+2b →|=（ ）．A. √13B. √17C. 13D. 175、【来源】 2020年重庆沙坪坝区重庆市第八中学高三三模理科第5题5分若直线x −y =0与圆x 2+y 2−4x −6y +9=0相交于A ，B 两点，则|AB|=（）．A. 2B. √7C. 3D. √146、【来源】 2020年重庆沙坪坝区重庆市第八中学高三三模理科第6题5分已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若acosB=3，bcosA=4，则c=（）．A. 4 B. 5 C. 6 D. 77、【来源】 2020年重庆沙坪坝区重庆市第八中学高三三模理科第7题5分一元线性同余方程组问题最早可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》，叫做“物不知数”问题，后由宋朝数学家秦九韶在《数书九章》中给出了完整系统的解答．此类问题在后续发展过程中形成了多种简便快捷的求解方法，右边的程序框图给出了某个“物不知数”问题最小整数解的求解方法——“逐步约束法”．其中，若正整数n除以正整数m的余数为r，则记为n=r(modm)，例如7=1(mod3)．执行该程序框图，则输出的n为（）．A. 20B. 38C. 47D. 538、【来源】 2020年重庆沙坪坝区重庆市第八中学高三三模理科第8题5分某高校数学学院安排4名研究生在开学日当天随机到三个不同的车站迎接新生，要求每个车站至少有一人，则其中小李和小明不在同一车站的概率为（）．A. 712B. 23C. 56D. 11129、【来源】 2020年重庆沙坪坝区重庆市第八中学高三三模理科第9题5分直角△ABC 中，AB =AC =√3，D 为BC 边上一点，沿AD 将△ACD 折起，使点C 在平面ABD 内的正投影H 恰好在AB 上，若AH =1，则二面角C −AD −B 的余弦值是（ ）．A. 13B. √23C. √33D. √2210、【来源】 2020年重庆沙坪坝区重庆市第八中学高三三模理科第10题5分若函数f(x)=cos(2x −π6)在(−a,a)上没有最小值，则a 的最大值为（ ）．A. π12B. π6C. 5π12D. 7π1211、【来源】 2020年重庆沙坪坝区重庆市第八中学高三三模理科第11题5分已知函数f(x)={1−|2x −3|,x ∈[1,2]−f (12x),x ∈(2,8]，则下列结论正确的是（ ）． A. f (2)=f (7)B. 函数f (x )有5个零点C. 函数f (x )在[3,6]上单调递增D. 函数f (x )的值域为[−2,4]12、【来源】 2020年重庆沙坪坝区重庆市第八中学高三三模理科第12题5分已知双曲线C：x 2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左焦点为F1，过F1的直线l与y轴相交于点M，与C的右支相交于点P，且M为线段PF1的中点，若C的渐近线上存在一点N，使得MN→=2NP→，则C的离心率为（）．A. √2B. 53C. 2D. √5二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13、【来源】 2020年重庆沙坪坝区重庆市第八中学高三三模理科第13题5分函数f(x)=cosx+13f′(π2)x，则f′(π2)=．14、【来源】 2020年重庆沙坪坝区重庆市第八中学高三三模理科第14题5分若x，y满足约束条件{x−2y⩽04x−y−4⩾05x+4y−20⩾0，则z=x+3y的最小值为．15、【来源】 2020年重庆沙坪坝区重庆市第八中学高三三模理科第15题5分若α∈(0,π2)，且sinα+2cosα=√102，则tan(α+π4)=．16、【来源】 2020年重庆沙坪坝区重庆市第八中学高三三模理科第16题5分三棱台ABC−A1B1C1中，A1A=B1B=C1C=A1B1=2，AB=4，侧面A1B1BA⊥底面ABC，M为AB的中点，线段MC的长为；该三棱台的所有顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为．三、解答题（本大题共5小题，每小题12分，共60分）17、【来源】 2020年重庆沙坪坝区重庆市第八中学高三三模理科第17题12分已知{a n}是公差不为零的等差数列，S n是其前n项和，若S3=9，且a5是a2与a14的等比中项．(1) 求{a n}的通项公式．(2) 记b n=a n−log2a n，n∈N+，证明：b n<b n+1．18、【来源】 2020年重庆沙坪坝区重庆市第八中学高三三模理科第18题12分近几年来，热饮越来越受到年轻人的欢迎．一个研究性学习小组为了研究气温对热饮销售的影响，统计了学校门口一个热饮店在2019年1月份某6天白天的平均气温和热饮销售量，得到以下数据．(1) 求销售量关于气温的回归直线方程，若某天白天的平均气温为16∘C ，估计当天的热饮销售量．(2) 根据表格中的数据计算R 2（精确到0.001），由此解释平均气温对销售量变化的影响． 参考公式：b ^=Σn i=1(x i −x)(y i −y)Σn i=1(x i −x)2，a ^=y −b ^x ，R 2=1−Σn i=1(y i −y ^i )2Σn i=1(y i −y)2．19、【来源】 2020年重庆沙坪坝区重庆市第八中学高三三模理科第19题12分已知抛物线C:y 2=2px(p >0)，直线l 经过点P (2p,0)，且与C 相交于A ，B 两点，O 为坐标原点．(1) 判断△AOB 的形状，并说明理由．(2) 若|OA →+OB →|⋅|OP →|=5√13，且△AOB 的面积为5，求l 的方程．20、【来源】 2020年重庆沙坪坝区重庆市第八中学高三三模理科第20题12分如图，四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 为菱形，PD =PB =2，H 为PC 的中点，过AH 的平面分别交线段PD ，PB 于点M ，N ．(1) 若BD//面AMHN ，求证：MN ⊥PC ．(2) 若PA =PC =3，AC =2√6，求AC 与面AMHN 所成角的正弦值的最大值．21、【来源】 2020年重庆沙坪坝区重庆市第八中学高三三模理科第21题12分已知函数f(x)=lnx−2(x−1)+12a(x−1)2，其中a⩾1．(1) 证明：函数f(x)有两个极值点x1，x2，并求x12+x22的取值范围．(2) 若曲线y=f(x)在点(1,0)处的切线与该曲线有且仅有一个公共点，求a的所有可能值．四、选做题（本大题共2小题，选做1题，共10分）选修4-4：坐标系与参数方程22、【来源】 2020年重庆沙坪坝区重庆市第八中学高三三模理科第22题10分在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为{x=4k1+k2y=1−k21+k2（k为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos(θ+π3)=2．(1) 求曲线C和直线l的普通方程．(2) 若P为曲线C上一点，求P到直线l距离的取值范围．选修4-5：不等式选讲23、【来源】 2020年重庆沙坪坝区重庆市第八中学高三三模理科第23题10分设函数f(x)=|x−1|+|2x+a|．(1) 若a=2，求f(x)⩽8的解集．(2) 若f(x)⩾3−|x−1|，x∈R，求a的取值范围．1 、【答案】 B;2 、【答案】 B;3 、【答案】 A;4 、【答案】 A;5 、【答案】 D;6 、【答案】 D;7 、【答案】 D;8 、【答案】 C;9 、【答案】 A;10 、【答案】 B;11 、【答案】 C;12 、【答案】 B;;13 、【答案】−3214 、【答案】50;715 、【答案】−2;16 、【答案】2;16π;17 、【答案】 (1) a n=2n−1．;(2) 证明见解析．;18 、【答案】 (1) y^=−3x+150，102．;(2) 96.7%，平均气温解释了96.7%的销售量变化（或销售量变化有96.7%是由平均气温引起的）．;19 、【答案】 (1) 直角三角形，证明见解析．;(2) 2x−3y−4=0或2x+3y−4=0．;20 、【答案】 (1) 证明见解析．;(2) √19．19;21 、【答案】 (1) 证明见解析，(1,7]．;(2) 1．;22 、【答案】 (1) x24+y2=1(y≠−1)，x−√3y−4=0．;(2) [4−√72,4+√72]．;23 、【答案】 (1) 当x⩾1时，1⩽x⩽73；当−1<x<1时，−1<x<1；当x⩽−1时，−3⩽x<−1．;(2) (−∞,−5]∪[1,+∞)．;。
重庆八中2020届高三下学期第二次月考数学试题(理科)含答案
19．（本小题满分 12 分） 为了保障某治疗新冠肺炎药品的主要药理成分在国家药品监督管理局规定的值范围内，武汉某制药厂
在该药品的生产过程中，检验员在一天中按照规定从该药品生产线上随机抽取 20 件产品进行检测，测量 其主要药理成分含量（单位： mg ）．根据生产经验，可以认为这条药品生产线正常状态下生产的产品的
之内的概率为09974从而主要药理成分含量在之外的概率为00026故19200997400026200950002600494的数学期望为20000260052显然直线ab与my则可知2020级高三下此时mn的最小值为综上当mn最小时直线2020级高三下恒成立从而的直角坐标为20为参数代入曲线pmpn为矩形上的一顶点则该矩形的周长为cos2sin16sin其周长有最大值16
xi2
20x
2)
0.19
．
其中 xi 为抽取的第 i 件药品的主要药理成分含量， i 1 ，2， ，20．用样本平均数 x 作为 的估计 值 ˆ ，用样本标准差 s 作为 的估计值 ˆ ，利用估计值判断是否需对本次的生产过程进行检查？
（Ⅱ）假设生产状态正常，记 X 表示某天抽取的 20 件产品中其主要药理成分含量在 ( 3 , 3 ) 之
A． 2 3
B． 2 5
C． 2 6
D． 2 7
11．设双曲线 C :
x2 a2
y2 b2
1 a
0,b
0 的左顶点为
A ，右焦点为 F c, 0 ，若圆
A: x a2
y2
a2
与直线 bx ay 0 交于坐标原点 O 及另一点 E ，且存在以 O 为圆心的圆与线段 EF 相切，切点为 EF
魏、晋、南北朝时期．现拟从这 5 部专著中选择 2 部作为学生课外兴趣拓展参考书目，则所选 2 部专著
重庆市直属校(重庆市第八中学等)2020届高三3月月考理科数学试题及参考答案
13
14
15
16
答案
5
2
505
16
2021
9
15．由 题 意 Sn n2 n Sn 2 0 ， 因 为 an 各 项 均 为 正 数 ， 所 以 Sn 0 ， 可 得
Sn
n2
n
，所以 an
2n
．
1 an an 1
1
4nn 1
1 4
1 n
1 ， n 1
所以
T2020
1 4
1
1 2
魏、晋、南北朝时期．现拟从这 5 部专著中选择 2 部作为学生课外兴趣拓展参考书目，则所选 2 部专著 中至少有一部不是汉、魏、晋、南北朝时期专著的概率为
A． 3 5
B． 7 10
C． 4 5
6．如图，四棱柱 ABCD A1B1C1D1 中， ABCD 为平行四边形，
E, F 分别在线段 DB, DD1上，且
02 a 0 a a2 12 a 1 a a2 0 ，解得 1 a 0 ．综上所述，
a 1,01．
高 2020 级高三（下）3 月月考数学（理科）参考答案第 1 页 共 6 页
第Ⅱ卷（非选择题，共 90 分）
二、填空题：（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
题号
三、解答题：（共 70 分） 17．（本小题满分 12 分）
在 ABC 中，角 A, B,C 的对边分别为 a,b, c ，且满足 c b(cos A （Ⅰ）求角 B 的大小； （Ⅱ）若 a 4 ，且 BC 边上的高为 3 ，求 ABC 的周长．
3 sin A).
理科数学试题 第 2 页 共 4 页
n
项和
S
n
重庆市第八中学2020届高三第2次月考理科数学试题(附答案解析)
重庆八中高2020级高三（下）第2次月考理科数学试题第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.设集合{}2|9A x x =<，{}3,2,1,0,1,2B =---，则A B =I （ ） A.{}0,1,2B.{}1,0,1,2-C.{}2,1,0,1,2--D.{}2,1,0--2.设(1)()2i a bi ++=，其中,a b 是实数，i 为虚数单位，则3a bi +=（ ） A.2C.3.已知数列{}n a 是各项均为正数的等比数列，12a =，32216a a =+，则29log a =（ ） A.15B.16C.17D.184.若实数,x y 满足约束条件20,20,240,x y x y x y -+≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，则z x y =+的最小值为（ ）A.8-B.6-C.1D.35.我国古代有着辉煌的数学研究成果，其中《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、《缉古算经》有着丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献.这5部专著中有3部产生于汉、魏、晋、南北朝时期.现拟从这5部专著中选择2部作为学生课外兴趣拓展参考书目，则所选2部专著中至少有一部不是汉、魏、晋、南北朝时期专著的概率为（ ） A.35B.710C.45D.9106.如图，四棱柱1111ABCD A B C D -中，ABCD 为平行四边形，,E F 分别在线段1,DB DD 上，且112DE DF EB FD ==，G 在1CC 上且平面//AEF 平面1BD G ，则1CGCC =（ ）A.12B.13C.23D.147.在直角坐标系xOy 中，半径为1m 的C e 在0t =时圆心C 与原点O 重合，C e 沿x 轴以1m/s 的速度匀速向右移动，C e 被y 轴所截的左方圆弧长记为x ，令cos y x =，则y 关于时间t （01t ≤≤，单位：s ）的函数的图象大致为（ ）A. B. C. D.8.(()nmx n N ++∈的展开式中，各二项式系数和为32，各项系数和为243，则展开式中3x 的系数为（ ） A.40B.30C.20D.109.设函数()cos()f x x ωϕ=+()(0,0)x R ωπϕ∈>-<<的部分图象如图所示，如果127,,1212x x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭，12x x ≠，且()()12f x f x =，则()12f x x +=（ ）A.2-B.12-C.2D.1210.已知三棱锥P ABC -的四个顶点在球O 的球面上，球O 的半径为4，ABC ∆是边长为6的等边三角形，记ABC ∆的外心为1O .若三棱锥P ABC -的体积为1PO =（ ）A. B. C.D.11.设双曲线2222:1x y C a b-=(0,0)a b >>的左顶点为A ，右焦点为(, 0)F c ，若圆222:()A x a y a ++=与直线0bx ay -=交于坐标原点O 及另一点E ，且存在以O 为圆心的圆与线段EF 相切，切点为EF 的中点，则双曲线的离心率为（ ）A.2D.312.函数()1ln()(0)(0)x f xe x x x x --<⎧=⎨≥⎩，若关于x 的方程()()220f x af x a a -+-=有四个不等的实数根，则a 的取值范围是（ ） A.4,15⎛⎤⎥⎝⎦B.(,1)[1,)-∞-+∞UC.(,1){1}-∞-UD.(1,0){1}-U第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知向量a r 与b r 的夹角为120°，且()1,3a =-r，b =r a b ⋅=r r ________.14.已知函数()()3x af x a R -=∈满足()()4f x f x =-，则实数a 的值为________.15.设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和n S 满足()()222220n n S n n S n n -+--+=，*n N ∈，则数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前2020项和2020T =________. 16.设抛物线22y x =的焦点为F ，准线为l ，弦AB 过点F 且中点为M ，过点,F M 分别作AB 的垂线交l 于点,P Q ，若3AF BF =，则FP MQ ⋅=________.三、解答题：（共70分）17.在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c，且满足(cos )c b A A =. （Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若4a =，且BC，求ABC ∆的周长.18.如图，四边形ABCD 为平行四边形，点E 在AB 上，22AE EB ==，且DE AB ⊥ .以DE 为折痕把ADE ∆折起，使点A 到达点F 的位置，且60FEB ∠=︒.（Ⅰ）求证：平面BFC ⊥平面BCDE ；（Ⅱ）若直线DF 与平面BCDE所成角的正切值为5，求二面角E DF C --的正弦值. 19.为了保障某治疗新冠肺炎药品的主要药理成分在国家药品监督管理局规定的值范围内，武汉某制药厂在该药品的生产过程中，检验员在一天中按照规定从该药品生产线上随机抽取20件产品进行检测，测量其主要药理成分含量（单位：mg ）.根据生产经验，可以认为这条药品生产线正常状态下生产的产品的主要药理成分含量服从正态分布()2,N μσ .在一天内抽取的20件产品中，如果有一件出现了主要药理成分含量在(3,3)μσμσ-+之外的药品，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对本次的生产过程进行检查.（Ⅰ）下面是检验员在2月24日抽取的20件药品的主要药理成分含量：经计算得20119.9620i i x x ===∑，0.19s ==≈.其中i x 为抽取的第i 件药品的主要药理成分含量，1,2,,20i =L .用样本平均数x 作为μ的估计值ˆμ，用样本标准差s 作为σ的估计值ˆσ，利用估计值判断是否需对本次的生产过程进行检查？（Ⅱ）假设生产状态正常，记X 表示某天抽取的20件产品中其主要药理成分含量在(3,3)μσμσ-+之外的药品件数，求(1)P X =及X 的数学期望.附：若随机变量Z 服从正态分布()2,N μσ，则(33)0.9974P Z μσμσ-<<+≈，190.99740.95≈.20.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过点1F 的直线与C 交于,A B 两点.2ABF ∆后的周长为2. （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）设点P 为椭圆C 的下顶点，直线,PA PB 与2y =分别交于点,M N ，当MN 最小时，求直线AB 的方程.21.已知函数()1axe xf x =--，且()0f x ≥.（Ⅰ）求a ；（Ⅱ）在函数()f x 的图象上取定两点()()11,A x f x ，()()()2212,B x f x x x <，记直线AB 的斜率为k ，问：是否存在()012,x x x ∈，使()0f x k '=成立？若存在，求出0x 的值（用12,x x 表示）；若不存在，请说明理由. 请从下面所给的22、23两题中选定一题作答，并用2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑，按所涂题号进行评分；不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分.22.选修4-4：坐标系与参数方程.在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为()222cos 3sin 12ρθθ+=，直线l 的参数方程为2x ty t=-+⎧⎨=⎩（t 为参数），直线l 与曲线C 交于,M N 两点. （Ⅰ）若点P 的极坐标为()2,π，求PM PN ⋅的值； （Ⅱ）求曲线C 的内接矩形周长的最大值. 23.选修4-5：不等式选讲.已知函数()f x x x a =-，a R ∈.（Ⅰ）当()()224f f +->时，求a 的取值范围；（Ⅱ）若0a >，,(,]x y a ∀∈-∞，不等式()|3|||f x y y a ≤++-恒成立，求a 的取值范围.高2020级高三（下）3月月考理科数学参考答案 第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）10.由题意ABC S ∆=，1O A =12OO =，设P 到平面ABC 的高为h ，则由V =4h =，所以点P 在小圆2O （如图所示，圆1O与圆2O 所在平面平行）上运动，22OO =，所以2O P =1PO ==.11.联立12221000()x bx ay y x a y a ⎧=-=⎧⎪⇒⎨⎨=++=⎪⎩⎩或32222222a x c a by c ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， 则322222,a a b E cc ⎛⎫-- ⎪⎝⎭.因为存在以O 为圆心的圆与线段EF 相切于其中点，所以OE OF =，c =，化简即得e =12.当0x ≥时，()()11xf x ex -'=-，所以当01x <<时，()0f x '>，()f x 单调递增；当1x >时，()0f x '<，()f x 单调递减，且()00f =，当x →+∞时，()0f x →.当0x <时，()f x 单调递减，所以()f x 的图象如图所示：令()t f x =，则由上图可知当0t =或1时，方程()t f x =有两个实数根；当(0,1)t ∈时，方程()t f x =有三个实数根；当(,0)(1,)t ∈-∞+∞U 时，方程()t f x =有一个实数根.所以关于x 的方程()()220f x af x a a -+-=有四个不等的实数根等价于关于t 的方程220t at a a -+-=有两个实数根10t =，21t =或者1(0,1)t ∈，2(,0)(1,)t ∈-∞+∞U .当10t =，21t =解得1a =；当1(0,1)t ∈，2(,0)(1,)t ∈-∞+∞U 时，()()222200110a a a a a a -⨯+--⨯+-<，解得10a -<<.综上所述，(1,0){1}a ∈-U .第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）15.由题意()()220n n S n n S ⎡⎤-++=⎣⎦，因为{}n a 各项均为正数，所以0n S >，可得2n S n n =+，所以11124(1)n n n a n a a n n +=⋅=+11141n n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭， 所以202011111150514223202020212021T ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦L . 16.由对称性，不妨设A 在一象限，设直线AB 的倾斜角为θ，由3AF BF =得31cos 1cos ppθθ=-+ 得1cos 2θ=，所以2AF =，23BF =，23MF = .记AB 与l 的交点为S ，x 轴与l 的交点为R ，则2cosRF SF θ==，tan SF FP θ==tan SM MQ θ==，所以169FP MQ ⋅=. 三、解答题：（共70分）17.解：（Ⅰ）由正弦定理可知：sin sin (cos )C B A A =又因为ABC ∆中A B C π++=，故sin sin()C A B =+.sin()sin (cos )A B B A A ∴+=sin cos cos sin sin cos sin A B A B B A B A ∴+=+sin cos sin A B B A ∴=又因为A 为ABC ∆的内角，故sin 0A ≠cos B B ∴=，(0,)B π∈Q ，6B π∴=（Ⅱ）如图，AD =6B π=，则sin ADc AB B===又4a =，在ABC ∆中，由余弦定理得：2222cos 4b a c ac B =+-⋅=2b ∴=故三角形的周长6a b c =++=+18.解：（Ⅰ）因为DE AB ⊥，所以DE EB ⊥，DE EF ⊥， 所以DE ⊥平面BEF ，所以DE BF ⊥①因为22AE EB ==，所以2EF =，1EB =，又60FEB ∠=︒，由余弦定理得：BF =所以222EF EB BF =+，所以FB EB ⊥②由①②得BF ⊥平面BCDE ，所以平面BFC ⊥平面BCDE . （Ⅱ）建系如图，设DE a =，则(1,,0)D a ，(1,0,0)E ，F ，(1,DF a =--因为直线DF 与平面BCDE所成角的正切值为5，所以直线DF 与平面BCDE所成角的正弦值为4，又(0,0,1)n =r为平面BCDE 的法向量，所以cos ,4n DF n DF n DF ⋅==r u u u rr u u u r r u u u r4=，解得2a =. 所以(1,2,0)D ，(2,2,0)C -，则(0,2,0)ED =u u u r，(1,DF =--，设平面EDF 的法向量(,,)m x y z =u r，则200200y ED m x y DF m ⎧=⎧⋅=⎪⎪⇒⎨⎨--+=⎪⋅=⎪⎩⎩u u u r u ru u u r ury x =⎧⎪⇒⎨=⎪⎩， 取1z =得m =u r，同理可取平面DFC的法向量2)p =u r，所以cos ,7m p m p m p ⋅===⋅u r u ru r u r u r u r所以sin ,7m p =u r u r，即得二面角E DF C --的正弦值为7. 19.解：（Ⅰ）由9.96x =，0.19s =，得μ的估计值为ˆ9.96μ=，σ的估计值为ˆ0.19σ=，由样本数据可以看出有一件药品的主要药理成分(9.22)含量在ˆˆˆˆ(3,3)(9.39,10.53)μσμσ-+=之外，因此需对本次的生产过程进行检查.（Ⅱ）抽取的一件药品的主要药理成分含量在(3,3)μσμσ-+之内的概率为0.9974， 从而主要药理成分含量在(3,3)μσμσ-+之外的概率为0.0026，故~(20,0.0026)X B .因此11920(1)(0.9974)0.0026P X C ==⨯200.950.00260.0494≈⨯⨯=，X 的数学期望为()200.00260.052E X =⨯=.20.解：（Ⅰ）由题意可得：4a =，ca a=⇒=11c b =⇒= 22:12x C y ⇒+=（Ⅱ）点(0,1)P -，1(1,0)F -，设()11,A x y ，()22,B x y ， 则显然直线AB 与x 轴不重合，设:1AB x my =-，则可知1m ≠-由22122x my x y =-⎧⎨+=⎩得()222210m y my +--=12222m y y m ⇒+=+，12212y y m =-+ 直线()111:10PA y x x y x +--=，令2y =，可得1131M x x y =+， 同理2231N x x y =+， 12123311x x MN y y =-=++()()()()()()1221121111311my y my y y y -+--+++121212131m y y y y y y +-=+++==，当0m =时，MN =当0m ≠时，MN ==， 由于1(,2)[2,)m m +∈-∞-⋃+∞，则11,1(1,)2211m m⎡⎫∈⋃+∞⎪⎢⎣⎭++， 此时MN 的最小值为6<1m =处取得. 综上，当MN 最小时，直线:1AB x y =-，即1y x =+.21.解：（Ⅰ）若0a ≤，则对一切0x >，()10axe f x x =--<，这与题设矛盾；若0a >，()1axf x ae '=-，令()0f x '=，得11ln x a a=. 当11ln x a a <时，()0f x '<，()f x 单调递减； 当11ln x a a>时，()0f x '>，()f x 单调递增，故当11ln x a a=时，()f x 取最小值11111ln ln 1f a a a a a⎛⎫=-- ⎪⎝⎭. 于是对一切x R ∈，()0f x ≥恒成立，当且仅当111ln 10a a a--≥.① 令()ln 1g t t t t =--，则()ln g t t '=-.当01t <<时，()0g t '>，()g t 单调递增；当1t >时，()0g t '<，()g t 单调递减.故当1t =时，()g t 取最大值()10g =. 因此，当且仅当11a=即1a =时，①式成立. 综上所述，1a =.（Ⅱ）由题意知，()()212121211x x f x f x e e k x x x x --==---. 令()()2121x x xe e xf x k e x x ϕ-'=-=--，()y x ϕ=在区间[]12,x x 上单调递增； 且()()()121121211x x x e x e x x x x ϕ-⎡⎤=----⎣⎦-，()()()212212211x x x e x e x x x x ϕ-⎡⎤=---⎣⎦-. 由（Ⅰ）得()10xx e f x =--≥恒成立， 从而()()212110x x e x x ---->，()()121210x x e x x ---->， 又1210x e x x >-，2210x e x x >-， 所以()10x ϕ<，()20x ϕ>.由零点存在性定理得，存在唯一()012,x x x ∈，使()00x ϕ=，且()21021ln x x e e x x x -=-. 综上所述，存在()012,x x x ∈使()0f x k '=成立，且()21021ln x x e e x x x -=-. 22.解：（Ⅰ）曲线C 的直角坐标方程为22312x y +=.因为点P 的直角坐标为(2,0)-， 所以点P 在直线l 上.将直线l的参数方程222x y t ⎧'=-+⎪⎪⎨⎪'=⎪⎩（t '为参数）代入曲线C的直角坐标方程中，得22231222⎛⎫⎛⎫''-++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭240t ''⇒-=， 则12||||4PM PN t t ''⋅=⋅=.（Ⅱ）不妨设,2sin )Q θθ0,2πθ⎛⎫⎡⎤∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭为矩形上的一顶点，则该矩形的周长为2sin )16sin 3πθθθ⎛⎫+=+⎪⎝⎭， 当且仅当6πθ=，其周长有最大值16.23.解：（Ⅰ）22224a a ⇔---->⇔2222(2)(2)2a a a a a ≤-⎧--+>⇒⎨--++>⎩ 或22(2)(2)2a a a -<≤⎧⎨---+>⎩或2(2)(2)2a a a >⎧⎨--+>⎩， 解得(,1)a ∈-∞-. （Ⅱ）max min ()(3)f x y y a ⇔≤++-，其中当,(,]x y a ∈-∞时3(3)()y y a y a y ++-≥++-33a a =+=+（当且仅当[3,]y a ∈-取等号）， （()()24a x x f x a =--≤当且仅当2a x =取等号） 所以234a a ≤+，解得(0,6]a ∈.。
重庆八中高2020级高三数学理科月考试卷 新课标 人教版
重庆八中高2020级高三数学理科月考试卷本试题分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题中给出四个选项，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合{}{}4|),(,2|),(=-==+=y x y x N y x y x M ，则=N M I （ ）A ．{}1,3-==y xB ．（3，－1）C ．｛3，－1｝D ．｛（3，－1）｝ 2．复数3215i +的共轭复数为（ ） A ．)21(5i +- B ．i 21+C ．i 21-D ．)21(5i --3．已知R b a ∈,，则“0,>>ab b a ”是“ba 11<”成立的 （ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．如图，非零向量b OB a OA ==,，且C OA BC ,⊥为垂足，设向量a OC λ=，则λ的值为（ ）A ．2||a ba ⋅ B ．||||b a ba ⋅⋅C ．2||b ba ⋅ D ．ba b a ⋅⋅|||| 5．在二项式nx )1(+的展开式中，存在着系数之比为5：7的相邻两项，则指数*)(N n n ∈的最小值为（ ）A ．13B ．12C ．11D ．106．已知函数),2,(),0(,sin 2cos 1)(πππY ∈+=x xxx f 则（ ）A ．函数图像关于直线π=x 对称B ．函数图象关于点)0,(π对称C ．函数在区间),2(ππ上递减 D ．函数在区间)23,(ππ上递减7．数列{}n a 中，n S a ,11=是前n 项和，当2≥n 时，n n S a 3=，则31lim 1-++∞→n n n S S 的值是（ ）A ．－2B ．31-C ．54-D ．18．已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 与双曲线)0,0(12222>>=-n m ny m x 有相同的焦点)0,(c -和)0,(c ，若c 是a 、m 的等比中项，n 2是2m 2与c 2的等差中项，则椭圆的离心率e=（ ）A ．33 B ．22 C ．41 D ．21 9．如图，在矩形ABCD 中，AB = 4，BC = 3，E 为DC 边的中点，沿AE 将△ADE 折起，使二面角D —AE —B 为60°则四棱锥D —ABCE 的体积为 （ ）A ．133927 B ．13399 C ．131327 D ．1313910．函数))((R x x f y ∈=满足：对一切)(7)1(,0)(,2x f x f x f R x -=+≥∈；当[)1,0∈x 时，⎪⎩⎪⎨⎧<≤--<≤+=125,5250,2)(x x x x f 则=-)32007(f（ ）A ．3322-B ．32-C ．2D ． 32+第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11．已知,1||,2||==与的夹角为3π，若向量m +2与+垂直，则m= 。
重庆八中2020届高三下第二次月考数学答案(理科)
当 x 1 ln 1 时，f (x) 0, f (x) 单调递减；当 x 1 ln 1 时，f (x) 0, f (x) 单调递增，
aa
aa
故当 x 1 ln 1 时， f (x) 取最小值 f ( 1 ln 1 ) 1 1 ln 1 1.
aa
a a aa a
于是对一切 x R, f (x) 0 恒成立，当且仅当 1 1 ln 1 1 0 .① aa a
所以 O2P 2 3 ，所以 PO1 O2P2 O1O22 2 7 ．
11．联立
bx ay 0
x a2 y2
a2
x1
y1
0 0
或
x2
y2
2a3 c2 2a2b c2
，
则
E
2a3 c2
,
2a2b c2
．
因为存在以 O 为圆心的圆与线段 EF 相切于其中点，所以 OE OF ，源自3z0y x
0
3z
，
取 z 1得 m 3,0,1 ，
······9 分
同理可取平面 DFC 的法向量 p 0, 3,2 ，
······10 分
所以 cos m, p m p 2 7 ， m p 2 7 7
······11 分
所以 sin m, p 42 ，即得二面角 E DF C 的正弦值为 42 ．
令 g(t) t t ln t 1, 则 g(t) ln t.
当 0 t 1时， g(t) 0, g(t) 单调递增；当 t 1时， g(t) 0, g(t) 单调递减.
故当 t 1时， g(t) 取最大值 g(1) 0 .因此，当且仅当 1 1 即 a 1时，①式成立. a
综上所述， a 1.
重庆市第八中学2020届高三下学期第四次月考数学(理)试题 Word版含解析
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
将向量 归一化可得 ，结合向量的线性运算可得 ，由等和线性质可知， ，从而可求出实数 的取值范围.
【详解】解：设 ，则 ，且 ，
所以 ，即 ，
【解析】
【分析】
由等边三角形的性质，求出 内切圆半径 ，其面积 ，从而可求四面体 的高 ，进而可求出体积的最大值.
【详解】解：设球的圆心为 ，半径为 ， 内切圆圆心为 ，由题意知 三边长为 ，
则 内切圆半径ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ，则 ，
所以四面体 的高 .因为 ，
所以四面体 体积的最大值 .
故选:D.
【点睛】本题考查了三棱锥体积的求解.本题的难点是求出球心到三角形所在平面的距离.
故选:C.
【点睛】本题考查了复数的除法运算，考查了复数模的求解.本题的易错点是化简时，误将 当作1进行计算.
2.已知集合 ， ，则 ( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
令 可求出 ；解对数不等式，可求出 ，进而可求出两个集合的交集.
详解】解：由题意知， ，解得 ，所以 ；
由 ，解得 ， 则 ，
故答案为:2.
【点睛】本题考查了抛物线的定义，考查了角平分线定理.本题的关键是求出直线 与 轴的夹角.本题的难点是将所求的值转化为 的比值.
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须做答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
17. 的内 的对边分别为 ，其中 ，已知 .
2020届重庆市第八中学高三下学期第五次月考数学(理)试题(解析版)
2020届重庆市第八中学高三下学期第五次月考数学（理）试题一、单选题 1．已知集合(){}22,2,,A x y xy x Z y Z =+<∈∈，则A 中元素的个数为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】C【解析】集合A 的元素代表圆内部的点，逐一写出满足条件的点的坐标，即可得到结论 【详解】(){}22,2,,A x y xy x Z y Z =+<∈∈22{(,)|2x y x y =+<，x ，}{y Z ∈=(1,0)-，(0,1)-，(0，0),(0，1)，}(1,0)， 共5个元素，是平面直角坐标系中5个点． 故选：C ． 【点睛】本题考查集合的表示以及点与圆的位置关系，解题时需注意集合A 的元素为两坐标均为整数的点，本题属于基础题．2．已知复数2(1)1i z i -=+，则z 的虚部为（ ）A ．1-B ．1C ．i -D ．i【答案】B【解析】先按复数代数形式的四则运算化简复数，再写其共轭复数，即得虚部. 【详解】22(1)221122i i i i z i i -----====--+，∴1z i =-+，故虚部为1. 故选：B. 【点睛】本题考查了复数代数形式的四则运算和共轭复数，属于基础题.3．若1m n >>，a ，()1lg lg 2b m n =+，lg 2m n c +⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（ ）A ．a b c << B ．c a b << C ．b a c << D ．a c b <<【解析】根据基本不等式即可判断三个式子的大小关系. 【详解】解：因为1m n >>，所以lg lg 0m n >>，则()1lg lg 2b m n =+≥因为lg lg m n >，所以等号不成立，即()1lg lg 2b m n a =+>=，因为2m n +>()1lg lg lg 22m n c m n b +⎛⎫=>=+= ⎪⎝⎭， 所以a b c <<， 故选:A. 【点睛】本题考查了基本不等式的应用，属于基础题.4．在ABC 中，已知a =b =60A =︒，则ABC 的面积为（ ）A ．B C D 【答案】A【解析】利用正弦定理，求出角B 、C 的值，再计算ABC 的面积． 【详解】ABC 中，a =b =60A =︒，∴sin sin a b A B=，=，解得sin B ， 又a b >，060B ∴<<︒，45B ∴=︒，75C ∴=︒，()2sin 75sin 3045+=+=ABC ∴的面积为1132244ABCSab +===． 故选：A ．本题考查了正弦定理的应用问题，也考查了三角形面积的计算问题，是基础题目． 5．下面几种推理中是演绎推理的为（ ）A ．高三年级有30个班，1班55人，2班56人，三班57人，由此推测各班都超过55人B ．猜想数列112⨯，123⨯，134⨯，…的通项公式为()()*11n a n n n =∈+N C ．半径为r 的圆的面积2S r π=，则单位圆的面积S π= D ．由等差数列的性质，推测等比数列的性质 【答案】C【解析】根据归纳推理，类比推理和演绎推理的定义分别进行判断即可． 【详解】对于A ，高三年级有30个班，1班55人，2班56人，三班57人，由此推测各班都超过55人，是归纳推理； 对于B ，猜想数列112⨯，123⨯，134⨯，…的通项公式为()()*11n a n n n =∈+N ，是归纳推理；对于C ，半径为r 的圆的面积2S r π=，则单位圆的面积S π=，是演绎推理； 对于D ，由等差数列的性质，推测等比数列的性质，为类比推理； 故选：C ． 【点睛】本题主要考查命题真假的判断，涉及归纳推理，类比推理和演绎推理的判断，理解相应的定义是解答本题的关键．比较基础．6．执行下面的程序框图，为使输出S 的值小于91，则输入的正整数N 的最小值为A ．5B ．4C ．3D ．2【答案】D【解析】阅读程序框图，程序运行如下：首先初始化数值：1,100,0t M S ===，然后进入循环体： 此时应满足t N ≤，执行循环语句：100,10,1210MS S M M t t =+==-=-=+=； 此时应满足t N ≤，执行循环语句：90,1,1310MS S M M t t =+==-==+=； 此时满足91S <，可以跳出循环，则输入的正整数N 的最小值为2. 故选D.【名师点睛】对算法与程序框图的考查，侧重于对程序框图中循环结构的考查.先明晰算法及程序框图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环的起始条件、循环次数、循环的终止条件，更要通过循环规律，明确程序框图研究的数学问题，是求和还是求项.7．某几何体的三视图如图所示，其中网格纸上的小正方形的边长为1，则该几何体的体积为（ ）A ．223B ．203C ．6D ．16【答案】B【解析】根据三视图还原几何体的直观图，再计算几何体的体积即可得答案. 【详解】解：根据三视图得该几何体是边长为2的正方体中截去两个三棱锥得到的.即：如图1的正方体1111ABCD A B C D - 截去111D AC E -和B ACF -得图2的图形.故该几何体的体积为：112082212323V =-⨯⨯⨯⨯⨯=. 故选：B. 【点睛】本题考查三视图求几何体的体积，考查空间想象能力，是基础题.8．已知()1nx -展开式中第4项与第10项的二项式系数相等，则奇数项的系数和为（ ） A ．112 B ．112- C ．132 D ．132-【答案】A【解析】由已知可求出14n =，即可求出奇数项的系数和. 【详解】解：由题意知，39n n C C =，所以12n =，则奇数项的系数和为021*********...2C C C +++=,故选: A . 【点睛】本题考查了由已知二项式系数求n 的值，考查了展开式的系数和，属于基础题. 9．已知α为锐角，()3sin 155α-︒=，则()cos 215α+︒=（ ） A ．31250-B ．31250 C ．250-D ．17250【答案】C【解析】利用二倍角公式求出()cos 230α-，()sin 230α-的值，再利用余弦函数的和角公式可得答案. 【详解】由α为锐角，()3sin 155α-︒=，知()4cos 155α-︒=， ()()27cos 23012sin 1525αα-=--=，()()()24sin 2302sin 15cos 1525ααα-=--=，()()cos 215cos 23045αα⎡⎤∴+=-+⎣⎦()()cos 230cos 45sin 230sin 45αα=---72425225250=⨯-⨯=-， 故选：C 【点睛】三角函数求值有三类，(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角．10．某市政府为加强数学科学研究，计划逐年加大研发资金投入已知市政府1979年全年投入研发资金100万元，2019年全年投入研发资金500万元，若每年投入的研发资金的增长率相同，则该市政府2020年全年投入的研发资金是（ ）万元. （本题中增长率当0.1x <，可用自然对数的近似公式：ln(1)x x +≈，参考数据：ln5 1.6≈）A ．510B ．520C ．530D ．540【答案】B【解析】设每年增长率为x ，则40100(1)500x +=，两边同时取对数求出x 的值代入即可得出结果. 【详解】设每年增长率为x ，则40100(1)500x +=，两边同时取对数得40ln(1) 1.6x +=， 所以40 1.6x =，0.04x =，所以2020年投入500(10.04)520⨯+=. 【点睛】本题主要考查了指对函数的应用.属于较易题. 11．已知实数x ，y 满足()2221x y +-=，则2232x y x y++的最大值为（ ）A ．12B ．3 C ．1 D ．277【答案】B【解析】设(),P x y 为圆()2221x y +-=上的任意一点，构造直线:30l x y +=，过点p 作PM l ⊥，将2232x y x y ++转化为点p 到直线30x y +=的距离和到原点的距离的比，即223sin 2x y PMPOM OPx y +==∠+，然后利用数形结合法求得POM ∠的范围求解. 【详解】如图所示：设(),P xy 为圆()2221x y +-=上的任意一点，则点P 到直线30x y +=的距离为3x y PM +=，点P 到原点的距离为22OP x y =+，所以223sin 2x y PMPOM OPx y +==∠+， 设圆()2221x y +-=与直线y kx =相切 则圆心到直线的距离：211k =+，解得3k =±，所以POM ∠的最小值为0，最大值为60，所以30sin 2POM ≤∠≤， 即2233022x y x y +≤≤+ 故223x y x y ++的最大值为3， 故选：B 【点睛】本题主要考查点到直线的距离，直线与圆的位置关系以及三角函数的性质的应用，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.12．如图，矩形ABCD 中，222AB AD ==，E 为边AB 的中点，将ADE 沿直线DE 翻折成1A DE △.在翻折过程中，直线1A C 与平面ABCD 所成角的正弦值最大为（ ）A ．102- B 6C 51- D 5 【答案】A【解析】分别取DE，DC 的中点O，F，点A的轨迹是以AF为直径的圆，以,OA OE为,x y轴，过O与平面AOE垂直的直线为z轴建立坐标系，利用向量法求出正弦值为21cossin4cos6αθα-=+，换元后利用基本不等式可得答案.【详解】分别取DE，DC的中点O，F，则点A的轨迹是以AF为直径的圆，以,OA OE为,x y轴，过O与平面AOE垂直的直线为z轴建立坐标系，则()2,1,0C-，平面ABCD的其中一个法向量为n= (0,0.1)，由11A O=，设()1cos,0,sinAαα，则()1cos2,1,sinCAαα=+-，记直线1A C与平面ABCD所成角为θ，则2111cossin4cos64cos6||CA nCA nαθαα⋅-===++⋅设3153535102 cos,,sin222416444tttαθ-⎡⎤⎛⎫=+∈=-+≤-=⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭所以直线1A C与平面ABCD102-，故选：A.【点睛】本题主要考查利用向量法求线面角，考查了三角函数的恒的变换以及基本不等式的应用，考查了空间想象能力与计算能力，属于综合题.二、填空题13．函数()46xf xx+=-______________.【答案】[)()4,66,-⋃+∞【解析】根据二次根式有意义以及分母不等于零列不等式组求解即可. 【详解】 要使函数()46x f x x +=-有意义， 则40460x x x +≥⎧⇒≥-⎨-≠⎩且6x ≠， 函数()46x f x x +=-的定义域为[)()4,66,-⋃+∞， 故答案为：[)()4,66,-⋃+∞ 【点睛】本题主要考查具体函数的定义域，属于基础题.14．如图，茎叶图表示甲、乙两名篮球运动员在五场比赛中的得分（均为整数），其中一个数字模糊不清，则甲的平均得分高于乙的平均得分的概率为______________.【答案】15【解析】由已知的茎叶图，求出甲乙两人的平均成绩，然后求出乙的平均成绩不小于甲的平均成绩的概率，得到答案． 【详解】由茎叶图可得甲的5次得分分别为18，19，20，21，22， 则甲的平均得分：15（18+19+20+21+22）＝20 设污损数字为x则乙的5次得分分别为15，16，18，28，（20+x ） 则乙的平均成绩：15（15+16+18+28+20+x ）＝19.45x +， ∵0≤x ≤9，x ∈Z ，当x ＝1,2时， 甲的平均得分高于乙的平均得分， ∴甲的平均得分高于乙的平均得分的概率为21105=； 故答案为：15． 【点睛】本题考查了平均数与茎叶图以及古典概型概率计算公式问题，是基础题．15．已知正ABC 的边长为2，PQ 为ABC 内切圆O 的一条直径，M 为ABC 边上的动点，则MP MQ ⋅的取值范围为______________. 【答案】[]0,1【解析】先由正ABC 的性质，求出其内切圆半径，再利用向量的三角形法则，得到=MP MO OP +，=MQ MO OQ +，再结合=OQ OP -，可得到22213MP MQ MO OP MO ⋅=-=-，再根据图像利用临界值法，求出MP MQ ⋅的取值范围. 【详解】如图所示，O 为正ABC 内切圆圆心，OD 为内切圆半径，在BDO △中，=1BD ，=30OBD ︒∠，可求得内切圆半径3OD 又PQ 为圆O 的直径, =OQ OP ∴-，利用向量的线性表示可得，=MP MO OP +，=MQ MO OQ MO OP +=-，2221()()3MP MQ MO OP MO OP MO OP MO ∴⋅=+-=-=-，又M 为ABC 边上的动点，由图可知，当M 为ABC 边的中点时，MO 3即min 0MP MQ ⋅=；当M 为ABC 的顶点时，MO 23即max 1MP MQ ⋅=. MP MQ ∴⋅的取值范围为[]0,1.故答案为：[]0,1. 【点睛】本题主要考查向量知识在几何中的应用，一般在求解此类问题时，常用三角形法则或平行四边形法则把问题转化，结合数形结合思想解决问题.16．已知点P 为椭圆2214x y +=上的任意一点，点1F ，2F 分别为该椭圆的左、右焦点，则1221sin sin PF F PF F ∠+∠的最大值为______________.【答案】3【解析】利用正弦定理表示出21124sin sin PF F PF F t∠+∠=，再求t ，再利用1212||sin F F t F PF =∠求12sin F PF ∠的最大值即可.【详解】在12PF F △中，由正弦定理得2112122112||||||sin sin sin PF PF F F t PF F PF F F PF ===∠∠∠，所以121||sin PF PF F t =∠，212||sin PF PF F t=∠， 即求21212112||||||||4sin sin PF PF PF PF PF F PF F t t t t+∠+∠=+==的最大值， 也就是求t 的最小值，而121212||sin F F t F PF ==∠，即12sin F PF ∠最大时，由椭圆的性质知当P 为椭圆上顶点时12F PF ∠最大，此时，2,1,a b c ===所以12120F PF ∠=，所以12sin F PF ∠的最大值是1，t ==21sin sin 3PF F PF F ∠+∠==，. 【点睛】本题考查椭圆焦点三角形的问题，考查正弦定理的应用.三、解答题17．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知11a =，121n n a S +=+，*n ∈N . （1）求通项公式n a ； （2）设()()()*111nn n n a b n a a +=∈++N ，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：14n T <.【答案】（1）13-=n n a ；（2）证明见解析.【解析】（1）根据n a 与n S 的关系得13n n a a +=， *n ∈N ，故数列{}n a 是等比数列，公比为3，首项为1，进而得通项公式；（2）结合（1）并列项得111123131n n n b -⎛⎫=- ⎪++⎝⎭，再根据裂项求和得()114231n n T =-+，由于()10231n >+， 故14nT <.【详解】解：（1）因为121n n a S +=+，*n ∈N ，121,3a a ==， 所以当2n ≥时，121n n a S -=+，以上两式做差得：12n n n a a a +=-，即13n n a a +=，2n ≥， 由于213a a =，所以13n n a a +=， *n ∈N ， 所以数列{}n a 是等比数列，公比为3，首项为1， 所以13-=n n a .（2）结合（1）得()()()()1111311111231313131n n n n nn n n n a b a a ---+⎛⎫===- ⎪++++++⎝⎭， 所以数列{}n b 的前n 项和为： ()1111111111111224410313122314231n n n n n T -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-=-⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 由于*n ∈N ，所以()10231n>+，所以()11144231n n T =-<+【点睛】本题考查利用n a 与n S 的关系证明数列是等比数列，裂项求和法，考查运算能力，是中档题.18．重庆八中为了普及环保知识，增强学生的环保意识在全校组织了一次有关环保知识的竞赛.经过初赛、复赛，高二年级代表队和高一年级代表队（每队3人）进入了决赛，规定每人回答一个问题，答对为本队赢得100分，答错得0分.假设高二年级代表队中每人答对的概率均为34，高一年级代表队中3人答对得概率分别为45，34，23，且各人回答正确与否相互之间没有影响，用X 表示高一年级代表队的总得分. （1）求X 的分布列和数学期望；（2）求两队总得分之和等于300分且高二年级获胜的概率. 【答案】(1)答案见解析，数学期望为6653;(2)9128.【解析】(1)由题意可得0,100,200,300X =，分别求出每种情况下的概率，即可求出分布列，进而可求出数学期望.(2) 设A 表示“高一得0分高二得300分”， B 表示“高一得100分高二得200分”，分别求出两事件的概率，求和即可求出所求概率. 【详解】(1)解：由题意知，0,100,200,300X =，则()4321011154360P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-⨯-⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()432432432310011111154354354320P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯-⨯-+-⨯⨯-+-⨯-⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()4324324321320011154354354330P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-+-⨯⨯+⨯-⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ()4322300P X ==⨯⨯=，所以X 的分布列为所以数学期望为()31326650100200300203053E X =+⨯+⨯+⨯= (2)解：设A 表示“高一得0分高二得300分”， B 表示“高一得100分高二得200分”，则()33194601280P A ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭，()2233138144201280P B C ⎛⎫=⨯⨯= ⎪⎝⎭，所以 ()()()9128P A B P A P B ⋃=+=. 【点睛】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用，确定随机变量，及其概率．解离散型随机变量的分布列的试题时一定要万分小心，特别是列举随机变量取值的概率时，要注意按顺序列举，做到不重不漏，尽量注意概率之和为1，防止出现错误．19．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，AP ⊥平面CDP ，已知2AP DP ==，Q 为线段DP 的中点.（1）求证：//BP 平面ACQ ；（2）求二面角C BQ P --的平面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析 （2）551【解析】（1）连结BD 交AC 于点O ，连结OQ ,可得//OQ BP ，从而可证.（2）先证明面ADP ⊥面ABCD ，过P 作PH AD ⊥交AD 于H 点，则PH ⊥面ABCD ，建立空间直角坐标系，利用向量法求解. 【详解】（1）连结BD 交AC 于点O ，连结OQABCD 为正方形,则O 为BD 的中点，又Q 为DP 中点. 所以//OQ BP ,BP ⊄面ACQ ,OQ ⊂面ACQ , 所以//BP 面ACQ（2）AP ⊥平面CDP ，CD ⊂面CDP ,则AP CD ⊥ 又ABCD 为正方形,所以AD CD ⊥,且ADAP A =所以CD ⊥面ADP , 由CD ⊂面ABCD .所以面ADP ⊥面ABCD . 过P 作PH AD ⊥交AD 于H 点，则PH ⊥面ABCD .2AP DP ==，则22AD =取BC 的中点为N ，以H 为原点， HA 为x 轴，HN 为轴y ，HP 为z 轴建立空间直角坐标系.则()()220,0,2,,0,,2,22,022P Q B ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭,()222,0C ，设面BPQ 的法向量为()1111,,n x y z =322,22,22BQ ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭,22,0,22QP ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ 所以1100n BQ n QP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ,即111113222202222022x y z x z ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩ ，取()11,1,1n =设面CBQ 的法向量为()2222,,n x y z =322,22,22BQ ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭,()22,0,0BC = 所以2200n BQ n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ,即222232222022220x y z x ⎧-+=⎪⎨⎪=⎩,取()20,1,4n =所以121212551cos ,51173n n n n n n ⋅===⨯⋅所以二面角C BQ P --的平面角的余弦值55151-【点睛】本题考查证明线面平行，考查求二面角的平面角的余弦值，属于中档题.20．设函数()1e xf x x-=，若()()12f x f x t ==（其中12x x <）.（1）求实数t 的取值范围；（2）证明：()21221x f x f x ⎛⎫> ⎪-⎝⎭.【答案】(1) 1t >;(2)证明见解析.【解析】(1)由导数求函数的单调性，从而可得函数取值趋势，进而由()()12f x f x t ==可得实数t 的取值范围.(2)通过分析将所证问题转化为证明()()222211ln 212221x x x -->--，用换元法令()2211m x m =->，结合导数即可证明不等式成立.【详解】（1）解：函数()f x 的定义域为()(),00,-∞⋃+∞，()()121x e x f x x--'=， 当0x <时，()0f x '<，则 ()f x 单调递减，当01x <<时，()0f x '<， ()f x 单调递减；当1x >时，()0f x '>，则 ()f x 单调递增.又0x <时，()0f x <； 0x >时，()0f x >，且()11f =；当0x >且0x →时， ()f x →+∞；当x →+∞时，()f x →+∞， 因为()()12f x f x t ==，所以1t >.（2）解：因为()()12f x f x =，所以欲证 ()21221x f x f x ⎛⎫> ⎪-⎝⎭，即证()22221x f x f x ⎛⎫> ⎪-⎝⎭，即证222112122221x x x e e x x x --->-，即证 ()()222211ln 212221x x x -->--，令()2211m x m =->，即证11ln 02m m m ⎛⎫--> ⎪⎝⎭，令 ()11ln ,12h m m m m m ⎛⎫=--> ⎪⎝⎭，因为()()2222211112102222m m m h m m m m m--+'=+-==>，所以 ()h m 在()1,+∞单调递增，所以()()10h m h >=，即11ln 02m m m ⎛⎫--> ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查了运用导数求函数的单调性，考查了利用导数证明不等式成立，属于较难题.本题第二问的关键是将问题转化为具体不等式成立问题.21．已知点F 为抛物线()2:20C y px p =>的焦点.点()()2,20A m m m >在C 上，点D 在x 轴上（位于点F 右侧），直线AF ，AD 分别交C 于另一点B ，E ，点G 在线段FD 上且0GA GB GE ++=. （1）求抛物线C 的方程；（2）设BFG ，ADG 的面积分别为BFG S △，ADG S ，求BFG ADGS S的表达式()f m 及()f m 的取值范围.【答案】（1） 24y x = （2）()()242211m f m m m m-=>+，()f m 的取值范围102⎛⎫ ⎪⎝⎭， 【解析】（1）将()2,2A m m 坐标代入抛物线，可求得答案.（2）设出直线AB 的方程，联立抛物线，得出点B 的坐标，根据条件求出点E 的坐标，写出直线AE 的方程，得到得21D x m =-，求出G x ，由()1BFG B D GG G AAD x y Sf m Sx x y -⋅==-⋅可得出胡答案. 【详解】(1)由()()2,20A m m m >在抛物线()2:20C y px p =>上.所以 ()2222m pm =，解得2p = 所以抛物线的方程为：24y x =（2）由（1）得()1,0F ，设直线AB 的方程为：2112m x y m-=+221124m x y m y x⎧-=+⎪⎨⎪=⎩，()222140m y y m ---=所以2B y m =-，由抛物线方程得21B x m =,即212,B mm ⎛⎫- ⎪⎝⎭0GA GB GE ++=，则()()()0A G B G E G x x x x x x -+-+-=,即3A B E G x x x x ++=()()()0A G B G E G y y y y y y -+-+-=，则3A B E G y y y y ++=点G 在线段FD 上，所以30A B E G y y y y ++==则12E A B y y y m m ⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭，所以21E y m m ⎛⎫=- ⎪⎝⎭设直线AE 的方程为：()()22221222211m m m y x m m m x m m m m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭=-+=-+⎛⎫-- ⎪⎝⎭令0y = ，得21D x m =-，根据条件点D 位于点F 右侧，则211m ->，即22m >由22222111211333A B E G x x x x m m m m m m ⎡⎤++⎛⎫⎛⎫==++-=+-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦ ()()22224222212112211132113G B G BFG AD A GD x y m Sm f m Sx x y m m m m m m m m ⎛⎫+-- ⎪⎝⎭⎛⎫+-⎪⎝⎭⋅--⋅-====-⋅+--⋅令221t m =-则3t >，212tm +=所以22422214434=311422m t t m m t t t t t t y -===++++⎛⎫+++ ⎪⎝⎭=由勾型函数的对称性，可得34y t t=++在3t >上单调递增 所以348y t t=++>，所以410324t t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭++， ()()242211m f m m m m-=>+，()f m 的取值范围102⎛⎫ ⎪⎝⎭， 【点睛】本题考查求抛物线的方程，计算由点的坐标，利用三角形的面积之比求出表达式，并求范围，考查运算能力，属于难题.22．在直角坐标系中，已知曲线C 的参数方程为13cos 3sin x y ββ=+⎧⎪⎨=⎪⎩，（β为参数），以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线1l 的极坐标方程为θα=，直线2l 的极坐标方程为2πθα=+.（1）写出曲线C 的极坐标方程；（2）设1l 与曲线C 交于P ，Q 两点，2l 与曲线C 交于M ，N 两点，求四边形PMQN 面积的取值范围.【答案】（1）22(cos )50ρθθρ-+-=；（2）⎡⎤⎣⎦【解析】（1）参数方程移项、平方相加，消去参数β可得普通方程， 将直角坐标方程利用互化公式可得极坐标方程；（2）利用韦达定理结合极径的几何意义求出||PQ 、||MN 的值，利用三角形面积公式以及三角函数的恒的变换、三角函数的有界性可得答案. 【详解】（1）由13cos 3sin x y ββ=+⎧⎪⎨=⎪⎩，（β为参数），消去参数β，得22(1)(9x y -+=，将直角坐标方程化为极坐标方程得22(cos )50ρθθρ--=；（2）设()()12,,,P Q ραρα，由1l联立可得22(cos )50ρααρ-+-=，12122(cos )4sin ,56πρραααρρ⎛⎫∴+==+=- ⎪⎝⎭，12||PQ ρρ=-==用2πα+代替α，可得||MN = 又因为12l l ⊥，12PMQN S PQ MN =⋅=四边形=，2sin 2[0,1]3πα⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，PMQN S ⎡⎤∴∈⎣⎦四边形【点睛】本题主要考查参数方程化为普通方程、直角坐标方程化为极坐标方程，考查了极坐标方程的应用以及三角形面积公式的应用，属于中档题.23．已知函数()|1||1|f x x x =+--，x ∈R .（Ⅰ）求不等式()1f x ≥的解集；（Ⅱ）若方程()f x a x -=有三个实数根，求实数a 的取值范围.【答案】（Ⅰ）1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭；（Ⅱ）11a -<<.【解析】（Ⅰ）按1x ≤-，11x -<≤，1x >三种情况去掉绝对值符号，列出不等式组，解不等式组即可得到答案.（Ⅱ）由已知可得方程()f x x a -=有三个实数根，令()()g x f x x =-，画出函数()g x 的图象，根据图象即可得到a 的取值范围.【详解】（Ⅰ）1(1)(1)1x x x ≤-⎧⎨-++-≥⎩或11(1)(1)1x x x -<≤⎧⎨++-≥⎩或1(1)(1)1x x x >⎧⎨+--≥⎩， 解得121x ≤-⎧⎨-≥⎩或1112x x -<≤⎧⎪⎨≥⎪⎩或121x >⎧⎨≥⎩， 无解或112x ≤≤或1x >， 综上，不等式()1f x ≥的解集为1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.（Ⅱ）方程()f x x a -=有三个实数根，令()()g x f x x =-，则2,(,1](),(1,1]2,(1,)x x g x x x x x --∈-∞-⎧⎪=∈-⎨⎪-+∈+∞⎩，作出()g x 的图象如图，若方程()f x a x -=有三个实数根，由()g x 的图象可知，(1)(1)g a g -<<， 即11a -<<.【点睛】本题考查含有绝对值的不等式的解法，考查函数与方程的应用问题，属于基础题.。
2020年重庆八中高考数学三诊试卷(理科) (解析版)
2020年重庆八中高考数学三诊试卷(理科)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知i为虚数单位，则复数1+2i2−i=()A. iB. −iC. −45−35i D. −45+35i2.若A={1,2}，B={(x,y)|x∈A,y∈A}，则集合B中元素的个数为()A. 1B. 2C. 3D. 43.函数f(x)=2x√1+x2e x+e−x的图象大致为()A. B.C. D.4.已知向量a⃗=(1,2)，b⃗ =(2,x)，若a⃗⊥b⃗ ，则|2a⃗+b⃗ |=()A. 3√2B. 4C. 5D. 4√25.已知直线ax+y−1=0与圆x2+y2−2x−8y+13=0交于A，B两点．若|AB|=2√3，则实数a的值是()．A. −43B. −34C. √3D. 26.△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知a=√5，c=2，，则b=()A. 3B. √3C. 2D. √27.“孙子定理”是中国古代求解一次同余式组的方法．是数论中一个重要定理，西方又称之为“中国剩余定理”．一元线性同余方程组问题最早可见于中国南北朝时期(公元5世纪)的数学著作《孙子算经》．若正整数除以正整数后的余数为，则记为，例如.若执行如图所示的程序框图，则输出的结果为()A.B.C.D.8. 春运期间为查醉酒驾驶，将甲、乙、丙三名交警安排到某商业中心附近的两个不同路口突击检查，每个路口至少一人，则甲、乙两名交警不在同一路口的概率是( )A. 19B. 29C. 13D. 239. 在直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，AA 1=2，二面角B −AA 1−C 1的大小为60°，点B 到平面ACC 1A 1的距离为√3，点C 到平面ABB 1A 1的距离为2√3，则直线BC 1与直线AB 1所成角的正切值为( )A. √7B. √6C. √5D. 210. 函数f(x)=x −√2sinx 在区间[0,π]上的最大、最小值分别为( )A. π，0B. π2−√2 ,0C. π ,π4−1D. 0 , π4−111. 定义在R 上的偶函数f(x)在[0,+∞)内单调递减，则下列判断正确的是( )A. f(2a)<f(−a)B. f(π)>f(−3)C. f(−√32)<f(45) D. f(a 2+1)<f(1)12. 已知O 为坐标原点，F 是双曲线C ：x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左焦点，A ，B 分别为双曲线C的左、右顶点，P 为双曲线C 上的一点，且PF ⊥x 轴，过点A 的直线l 与线段PF 交于M ，与y 轴交于点E ，直线BM 与y 轴交于点N ，若|OE|=3|ON|，则双曲线C 的离心率为( )A. 43B. 32C. 2D. 3二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知f(x)=sinx +f ′(0)cosx ，则f ′(π3)= ______ ．14. 若x ，y 满足约束条件{x −y +1≥0x +y −3≥0x −3≤0，则z =x −2y 的最小值为______．15. 已知α∈(π2,π)，sinα=2√55，则tan(α−π4) ______ ．16. 已知三棱锥P −ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，若PA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，AP =AB =1，BC =√3，则球O 的表面积为______． 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 在公差不为零的等差数列{a n }中，a 6=17，且a 3，a 11，a 43成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)令b n =1a n2+an −2，求数列{b n }的前n 项和S n ．18. 某百货公司1～6月份的销售量x 与利润y 的统计数据如表：(1)根据2～5月份的统计数据，求出y 关于x 的回归直线方程y ̂=b ̂x +a ̂；(2)若由回归直线方程得到的估计数据与剩下的检验数据的误差均不超过2万元，则认为得到的回归直线方程是理想的，试问所得回归直线方程是否理想？(参考公式：b ̂=ni=1i −x)(y i −y)∑(n x −x)2)=∑x i ni=1y i −nxy ∑x i2n i=1−nx2，a ̂=y −bx ．19. 已知抛物线y 2=4x 和点M(6,0)，O 为坐标原点，直线l 过点M ，且与抛物线交于A ，B 两点．(1)求OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ； (2)若△OAB 的面积等于12√10，求直线l 的方程．20.如图，在四棱锥P−ABCD中，AB//CD，△PAB和△PAD是两个边长为2的正三角形．DC=4，PD⊥PB，点E是CD的中点．(Ⅰ)求证：AE⊥面PBD：(Ⅱ)求直线CB与平面PDC所成角的正弦值．21.已知函数f(x)=x−alnx(a∈R)(1)当a=2时，求曲线y=f(x)在点A(1,f(1))处的切线方程；(2)求函数f(x)的极值．22. 在平面直角坐标系xOy 中，点P 是曲线C 1：{x =t +1ty =2(t −1t )(t 为参数)上的动点，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为：ρ=2sinθ−3cosθ． (1)求曲线C 1，C 2的直角坐标下普通方程；(2)已知点Q 在曲线C 2上，求|PQ|的最小值以及取得最小值时P 点坐标．23. 设函数f(x)=|2x +a|+|x −1|，其中a ∈R ．(Ⅰ)当a =3时，求不等式f(x)<6的解集； (Ⅱ)若f(x)+f(−x)≥5，求a 的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解：1+2i2−i =(1+2i)(2+i)(2−i)(2+i)=5i5=i，故选：A．根据复数的基本运算进行求解即可．本题主要考查复数的基本运算，比较基础．2.答案：D解析：本题主要考查元素与集合的关系，元素的个数问题，属于基础题．根据元素与集合的关系进行判断即可．解：A={1,2}，B={(x,y)|x∈A,y∈A}，则B={(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)}，所以集合B中有4个元素，故选D．3.答案：C解析：本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数奇偶性和函数值的对应性利用排除法是解决本题的关键．判断函数的奇偶性，以及函数值的符号，利用排除法进行求解即可．解：f(−x)=−2x√1+x2e−x+e x=−f(x)，即f(x)是奇函数，图象关于原点对称，排除B，当x>0时，f(x)>0恒成立，排除A，D故选C．4.答案：C。
2020年重庆八中高考数学三诊试卷(理科)
2020年重庆八中高考数学三诊试卷（理科）一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）=()1.i是虚数单位，复数2+i1−2iA. iB. −iC. −1+iD. 1−2i2.若集合A={x∈N|(x−3)(x−2)<6}，则A中的元素个数为()A. 3B. 4C. 5D. 63.函数f(x)=e x−e−x的图象大致为()x2−1A. B.C. D.4.已知向量a⃗=(1,2)，|b⃗ |=√2，且a⃗⊥b⃗ ，则|a⃗+2b⃗ |=()A. √13B. √17C. 13D. 175.若直线x−y=0与圆x2+y2−4x−6y+9=0相交于A，B两点，则|AB|=()A. 2B. √7C. 3D. √146.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若acosB=3，bcosA=4，则c=()A. 4B. 5C. 6D. 77.一元线性同余方程组问题最早可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》，叫做“物不知数”问题，后由宋朝数学家秦九韶在《数书九章》中给出了完整系统的解答．此类问题在后续发展过程中形成了多种简便快捷的求解方法，右边的程序框图给出了某个“物不知数”问题最小整数解的求解方法--“逐步约束法”.其中，若正整数n除以正整数m的余数为r，则记为n≡r(mod m)，例如7≡1(mod3).执行该程序框图，则输出的n 为()A. 20B. 38C. 47D. 538. 某高校数学学院安排4名研究生在开学日当天随机到三个不同的车站迎接新生，要求每个车站至少有一人，则其中小李和小明不在同一车站的概率为( )A. 712B. 23C. 56D. 11129. 直角△ABC 中，AB =AC =√3，D 为BC 边上一点，沿AD 将△ACD 折起，使点C 在平面ABD 内的正投影H恰好在AB 上，若AH =1，则二面角C −AD −B 的余弦值是( )A. 13B. √23C. √33D. √2210. 若函数f(x)=cos(2x −π6)在(−a,a)上没有最小值，则a 的最大值为( )A. π12B. π6C. 5π12D. 7π1211. 已知函数f(x)={1−|2x −3|,x ∈[1,2]−f(12x),x ∈(2,8]，则下列结论正确的是( )A. f(2)=f(7)B. 函数f(x)有5个零点C. 函数f(x)在[3,6]上单调递增D. 函数f(x)的值域为[−2,4]12. 已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b2=1(a >0,b >0)的左焦点为F 1，过F 1的直线l 与y 轴相交于点M ，与C 的右支相交于点P ，且M 为线段PF 1的中点，若C 的渐近线上存在一点N ，使得MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2NP⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则C 的离心率为( ) A. √2B. 53C. 2D. √5二、填空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 函数f(x)=cosx +13f′(π2)x ，则f′(π2)=______．14. 若x ，y 满足约束条件{x −2y ≤04x −y −4≥05x +4y −20≥0，则z =x +3y 的最小值为______．15. 若α∈(0,π2)，且sinα+2cosα=√102，则tan(α+π4)=______．16. 三棱台ABC −A 1B 1C 1中，A 1A =B 1B =C 1C =A 1B 1=2，AB =4，侧面A 1B 1BA ⊥底面ABC ，M 为AB 的中点，线段MC 的长为______；该三棱台的所有顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为______． 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 已知{a n }是公差不为零的等差数列，S n 是其前n 项和，若S 3=9，且a 5是a 2与a 14的等比中项．(1)求{a n }的通项公式；(2)记b n =a n −log 2a n ，n ∈N +，证明：b n <b n+1．18. 近几年来，热饮越来越受到年轻人的欢迎．一个研究性学习小组为了研究气温对热饮销售的影响，统计了学校门口一个热饮店在2019年1月份某6天白天的平均气温和热饮销售量，得到以下数据：(1)求销售量关于气温的回归直线方程，若某天白天的平均气温为16°C ，估计当天的热饮销售量； (2)根据表格中的数据计算R 2(精确到0.001)，由此解释平均气温对销售量变化的影响．参考公式：b ̂=∑(ni=1x i −x −)(y i −y −)∑(n i=1x i −x −)2，a ̂=y −−b ̂x −；R 2=1−∑(ni=1y i −y ̂i )2∑(n i=1y i−y −)2．19. 已知抛物线C ：y 2=2px(p >0)，直线l 经过点P(2p,0)，且与C 相交于A ，B 两点，O 为坐标原点．(1)判断△AOB 的形状，并说明理由；(2)若|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|OP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=5√13，且△AOB 的面积为5，求l 的方程．20. 如图，四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 为菱形，PD =PB =2，H 为PC 的中点，过AH 的平面分别交线段PD ，PB 于点M ，N ． (1)若BD//面AMHN ，求证：MN ⊥PC ；(2)若PA =PC =3，AC =2√6，求AC 与面AMHN 所成角的正弦值的最大值．21. 已知函数f(x)=lnx −2(x −1)+12a(x −1)2，其中a ≥1．(1)证明：函数f(x)有两个极值点x 1，x 2，并求x 12+x 22的取值范围； (2)若曲线y =f(x)在点(1,0)处的切线与该曲线有且仅有一个公共点，求a 的所有可能值．22. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =4k1+k 2y =1−k 21+k 2(k 为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρcos(θ+π3)=2．(1)求曲线C和直线l的普通方程；(2)若P为曲线C上一点，求P到直线l距离的取值范围．23.设函数f(x)=|x−1|+|2x+a|．(1)若a=2，求f(x)≤8的解集；(2)若f(x)≥3−|x−1|，x∈R，求a的取值范围．答案和解析1.【答案】A【解析】解：复数2+i1−2i =(2+i)(1+2i)(1−2i)(1+2i)=5i5=i．故选：A．复数的分母实数化，即可化简复数得到结果．本题考查复数的基本运算，考查计算能力．2.【答案】B【解析】解：集合A={x∈N|(x−3)(x−2)<6}={x∈N|0<x<5}={1,2，3，4}，则集合A中的元素个数为4，故选：B．由题意利用不等式的解法，求出集合A的结果，可得结论．本题主要考查元素与集合关系的判断，不等式的解法，属于基础题．3.【答案】A【解析】解：函数的定义域为{x|x≠±1}，f(−x)=e−x−e xx2−1=−f(x)，则f(x)是奇函数，图象关于圆的对称，排除C，D，当x>1时，f(x)>0恒成立，排除B，故选：A．判断函数的奇偶性和对称性，判断当x>1时的符合，利用排除法进行求解即可．本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数的对称性和函数值的符合，利用排除法是解决本题的关键，难度不大．4.【答案】A【解析】解：∵a⃗⊥b⃗ ，∴a⃗⋅b⃗ =0，又a⃗=(1,2)，∴|a⃗|=√12+22=√5，则|a⃗+2b⃗ |2=(a⃗+2b⃗ )2=|a⃗|2+4a⃗⋅b⃗ +4|b⃗ |2=5+8=13．∴|a⃗+2b⃗ |=√13．故选：A．由a⃗⊥b⃗ ，得a⃗⋅b⃗ =0，再由已知求得|a⃗|，然后求解|a⃗+2b⃗ |2，开方得答案．本题考查平面向量的数量积运算，考查向量模的求法，是基础的计算题．【解析】解：由圆x2+y2−4x−6y+9=0，得(x−2)2+(y−3)2=4，可得圆心坐标为(2,3)，半径为2．圆心(2,3)到直线x−y=0的距离d=√2=√22．∴|AB|=2√4−(√22)2=√14．故选：D．化圆的一般方程为标准方程，求出圆心坐标与半径，再由点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，然后利用垂径定理求弦长．本题考查直线与圆位置关系的应用，训练了利用垂径定理求弦长，是基础题．6.【答案】D【解析】解：∵acosB=3，bcosA=4，∴a⋅a2+c2−b22ac =3，b⋅b2+c2−a22bc=4，∴a2+c2−b2=6c，b2+c2−a2=8c，∴两式相加，可得2c2=14c，∴解得：c=7．故选：D．由已知利用余弦定理化简整理即可解得c的值．本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．7.【答案】D【解析】解：模拟程序的运行，可得n=4，不满足条件n≡3(mod5)，n=4+7=11；不满足条件n≡3(mod5)，n=11+7=18；满足条件n≡3(mod5)，不满足条件n≡2(mod3)，n=18+35=53；满足条件n≡2(mod3)，输出n的值为53．故选：D．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．【解析】解：某高校数学学院安排4名研究生在开学日当天随机到三个不同的车站迎接新生， 要求每个车站至少有一人， 基本事件总数n =C 42C 21C 11A 22⋅A 33=36，小李和小明在同一车站包含的基本事件个数m =C 22A 33=6，∴其中小李和小明不在同一车站的概率P =1−m n=1−636=56．故选：C ． 基本事件总数n =C 42C 21C 11A 22⋅A 33=36，小李和小明在同一车站包含的基本事件个数m =C 22A 33=6，利用对立事件概率计算公式能求出其中小李和小明不在同一车站的概率．本题考查概率的求法，考查对立事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．9.【答案】A【解析】解：如图，在直角△ABC 中，由AB =AC =√3，得BC =√6． 设BD =x ，则CD =√6−x ，由CH ⊥AB ，AC =√3，AH =1，可得CH =√2． 在△BDH 中，由BH =√3−1，BD =x ，∠DBH =45°，得DH 2=x 2+(√3−1)2−2(√3−1)x ⋅√22=x 2−√6x +√2x +4−2√3．在Rt △CHD 中，有DH 2+CH 2=CD 2，即x 2−√6x +√2x +4−2√3+2=(√6−x)2，解得x =3√2−√62． 即DB =3√2−√62，CD =√6−3√2−√62=32(√6−√2)．则S △ACD =12⋅√3⋅32(√6−√2)⋅√22=9−3√34． S △ADH =12⋅√22[√3⋅3√2−√62−(√3−1)⋅3√2−√62]=3−√34．设二面角C −AD −B 的平面角为θ，则cosθ=S △ADH S △ACD=3−√349−3√34=13．故选：A ．由题意画出图形，求解三角形求出BD 的长度，进一步求得三角形ACD 与三角形AHD 的面积，再由三角形AHD 是三角形ACD 在平面ABC 上的射影，利用面积比值求解．本题考查二面角的平面角及其求法，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题．10.【答案】C【解析】解：显然a >0，由函数f(x)=cos(2x −π6)在(−a,a)上没有最小值，则可得(−2a −π6,2a −π6)为函数的一个完整的递增区间和一个完整的递减区间，即−π≤−2a −π6<2a −π6≤π， 解得0<a ≤5π12，故选：C ．由函数的单调性可得(−2a −π6,2a −π6)为一个完整的递增区间和一个完整的递减区间，求出a 的最大值． 本题考查三角函数的最值的应用，属于中档题．11.【答案】C【解析】解：A.f(2)=1−|2×2−3|=0，f(7)=−f(72)=−[−f(74)]=f(74)=1−|2×74−3|=12， 所以f(2)≠f(7)，故A 错误．B .当x ∈[1,2]，令f(x)=1−|2x −3|=0， 解得x =1或x =2，当x ∈(2,8]，令f(x)=−f(12x)=0，得f(12x)=0， 此时12x ∈(1,4]，①当12x ∈(1,2]，即x ∈(2,4]时， f(12x)=1−|2⋅12x −3|=1−|x −3|， 令f(12x)=1−|x −3|=0得x =2(舍)或x =4， ②当12x ∈(2,4]，即x ∈(4,8]时，f(12x)=−f(14x)=−[1−|2⋅14x −3|]=−1+|12x −3|， 令f(12x)=0，得x =4(舍)或x =8，故函数f(x)的零点为：1，2，4，8，共4个零点，故B 错误． C .当x ∈[3,6]时，f(x)=−f(12x)，此时12x ∈[32,3]，当12x ∈[32,2]，即x ∈[3,4]时，f(x)=−f(12x)=−[1−|2⋅12x −3|]=−1+|x −3|=−1+x −3=x −4， 当12x ∈(2,3]，即x ∈(4,6]时，f(x)=−f(12x)=−[−f(14x)]=f(14x)=1−|2⋅14x −3|=1−|12x −3|=1−(3−12x)=12x −2，所以f(x)={x −4,x ∈[3,4]12x −2,x ∈(4,6], 分段函数f(x)在每一段上均单调递增， 且4−4=12⋅4−2， 所以函数f(x)单调递增．D .当x ∈[1,2]，f(x)=1−|2x −3|={−2x +4,x ∈[32,2]2x −2,x ∈[1,32), 此时f(x)∈[0,1]，当x ∈(2,8]，f(x)=−f(12x)={ −x +2,x ∈(2,3]x −4,x ∈(3,4]12x −2,x ∈(4,6]−12 x +4,x ∈(6,8]此时f(x)∈[−1,1]，综上所述，函数f(x)的值域为[−1,1]，故D 错误． 故选：C ．对于A ，只需代入分段函数计算出f(2)，判断A 错误．对于B ，分两大类情况当x ∈[1,2]，当x ∈(2,8]，讨论函数f(x)的零点；在第二大类中再分x ∈(2,4]，x ∈(4,8]两种情况讨论函数f(x)的零点，即可判断B 错误．对于C ，写出函数f(x)的解析式f(x)={x −4,x ∈[3,4]12x −2,x ∈(4,6]，再判断该分段函数的单调性，可得C 正确．对于D ，分别写出x ∈[1,2]解析式f(x)=1−|2x −3|={−2x +4,x ∈[32,2]2x −2,x ∈[1,32)；x ∈(2,8]解析式f(x)=−f(12x)={ −x +2,x ∈(2,3]x −4,x ∈(3,4]12x −2,x ∈(4,6]−12 x +4,x ∈(6,8]再求出值域，可判断D 错误．本题考查分段函数的性质，解题关键是正确应用分类讨论思想，熟练掌握函数的性质，属于中档题．12.【答案】B【解析】解：由题可知，F 1(−c,0)，直线l 的斜率一定存在，设其方程为y =k(x +c)，则M(0,kc)，∵M 为线段PF 1的中点，∴点P(c,2kc)， 将其代入双曲线C 的方程，有c 2a 2−4k 2c 2b 2=1①，∵MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2NP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴点N(23c,53kc)，且点N 在渐近线y =ba x 上， ∴ba =52k②， 联立①②，消去k 得，c 2a 2=259，∴离心率e =ca =53， 故选：B ．由题可知，F 1(−c,0)，直线l 的斜率一定存在，设其方程为y =k(x +c)，则M(0,kc)，P(c,2kc)， 将点P 的坐标代入双曲线C 的方程，有c 2a2−4k 2c 2b 2=1①，由平面向量的线性坐标运算可得点N(23c,53kc)，代入y =ba x 得ba =52k②，联立①②，消去k ，并结合离心率e =ca 即可得解．本题考查双曲线的性质，涉及渐近线和离心率等，考查学生的数形结合思想和运算能力，属于中档题．13.【答案】−32【解析】解：∵f′(x)=−sinx +13f′(π2)， ∴f′(π2)=−1+13f′(π2)，解得f′(π2)=−32． 故答案为：−32．可以求出导函数：f′(x)=−sinx +13f′(π2)，然后即可求出f′(π2)的值．本题考查了基本初等函数的求导公式，已知函数求值的方法，考查了计算能力，属于基础题．14.【答案】757【解析】解：其平面区域如图： 则由z =x +3y 可化为y =−13x +13z ， 则y =−13x +13z 过点B 时有最小值， 由x −2y =0与5x +4y −30=0联立解得， x =307，y =157，所以B(307,157) 则z =x +3y 的最小值为307+3×157=757．故答案为：757．作出其平面区域，在平面区域内找到最小值时的点，代入即可． 本题考查了线性规划的应用，作图要细致，属于基础题．15.【答案】−2【解析】解：因为sinα+2cosα=√102和sin 2α+cos 2α=1，所以{sinα=−√1010cosα=3√1010或{sinα=3√1010cosα=√1010，又α∈(0,π2)，所以sinα>0，cosα>0，所以{sinα=3√1010cosα=√1010， 所以tanα=sinαcosα=3， 所以tan(α+π4)=tanα+tanπ41−tanα⋅tanπ4=3+11−3×1=−2．故答案为：−2．先结合已知条件和同角三角函数的平方关系解出sinα和cosα的值，需要注意α的取值范围，再根据同角三角函数的商数关系求得tanα，最后利用正切的两角和公式对tan(α+π4)进行展开，代入数据运算即可．本题主要考查三角函数与三角恒等变换的综合应用，涉及同角三角函数的平方关系和商数关系，以及正切的两角和公式，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．16.【答案】2 16π【解析】解：三棱台ABC −A 1B 1C 1中，A 1A =B 1B =C 1C =A 1B 1=2，AB =4， 如图所示：延长AA1，CC1，BB1交于点O，根据平行线等分线段定理得：OA1OA =OC1OC=OB1OB=A1B1AB=24=12．解得OA1=OB1=2，所以△OA1B1为等边三角形．侧面A1B1BA⊥底面ABC，所以A1C1=B1C1=√2，由于A1C12+B1C12=A1B12，则△A1B1C1为直角三角形．同理△ABC为直角三角形．由于M为AB的中点，线段MC=2．由于△ABC为直角三角形，且侧面A1B1BA⊥底面ABC，所以该棱台的外接球的球心在侧面A1B1BA中AB的垂直平分线上，所以设球心为O，且O到AB的距离d=x，设球的半径为R，平行线AB和A1B1的距离为√22−12=√3，则：R2=22+x2，R2=12+(√3−x)2，解得x=0，故R=2．即球心为AB的中点，所以S球=4⋅π⋅22=16π．故答案为：2；16π首先利用割补法，把三棱台补成三棱锥，进一步求出△A1B1C1为直角三角形和△ABC为直角三角形，进一步求出球心和外接球的半径，最后求出球的表面积．本题考查的知识要点：割补法，球的球心的确定，球的半径的求法，勾股定理，球的表面积公式，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．17.【答案】解：设{a n}的公差为d，d≠0，(1)由S3=9，且a5是a2与a14的等比中项，得{a 1+a 2+a 3=9a 52=a 2a 14，即{3a 1+3d =9(a 1+4d)2=(a 1+d)(a 1+13d)， 解得a 1=1，d =2，所以a n =1+2(n −1)，即a n =2n −1，n ∈N ∗； (2)证明：由(1)得b n =2n −1−log 2(2n −1)，n ∈N +， b n+1=2n +1−log 2(2n +1)， b n+1−b n =2+log 2(2n−12n+1)，因为n ∈N +，所以13≤2n−12n+1<1，−log 23≤log 2(2n−12n+1)<0． 从而b n+1−b n ≥2−log 23=log 243>0， 故b n <b n+1．【解析】(1)设{a n }的公差为d ，d ≠0，运用等差数列的通项公式和求和公式，以及等比数列的中项性质，解方程可得首项和公差，进而得到所求通项公式；(2)由(1)得b n ，运用作差法计算b n+1−b n ，结合对数的运算性质和不等式的性质，即可得证．本题考查等差数列的通项公式和求和公式和等比数列的中项性质，考查数列的单调性的判断，以及方程思想和化简运算能力，属于中档题．18.【答案】解：(1)由已知表格中的数据，得x −=5，y −=135，从而：∴∑(6i=1x i −x )(y i −y )=−504，∑(6i=1x i −x )2=168， 解得：b ̂=∑(ni=1x i −x −)(y i −y −)∑(n i=1x i −x −)2=−3，a ̂=y −−b ̂x −=150． ∴气温预报销售量的回归直线方程为：y ̂=−3x +150． 当x =16时，ŷ=102． 因此，某天白天的平均气温为16°C 时，估计可以卖出102杯热饮； (2)求得y ^与y i−y ̂的值如下表：∴∑(6i=1y i −y ̂i )=52，∑(6i=1y i −y −)2=1564．得R 2=1−∑(n i=1y i −ŷi )2∑(n i=1y i −y −)2=1−521564≈0.967．∴销售量变化有96.7%是由平均气温引起的．【解析】(1)求出b ^与a ^的值，可得线性回归方程，取x =16求得y 值即可； (2)由已知数据求得R 2得结论．本题考查线性回归方程的求法，考查残差的求法，考查计算能力，是中档题．19.【答案】解：设直线l 的方程为；x =my +2p ，代入y 2=2px ，化简得：y 2−2pmy −4p 2=0，△=4p2m 2+16p 2>0，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)， 则y 1+y 2=2pm ，y 1y 2=−4p 2， (1)因为x 1x 2=y 12y 224p 2=4p 2，所以OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+y 1y 2=0． 故△AOB 是直角三角形，斜边为AB ．(2)由(1)可得AB 为Rt △ABC 的斜边，所以|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AB|， 因为|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|OP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AB|⋅|OP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√1+m 2⋅√(y 1+y 2)2−4y 1y 2⋅2p =2p ⋅√1+m 2⋅√4p 2m 2+16p 2=4p 2⋅√(1+m 2)(4+m 2)=5√13，①△AOB 的面积S =12⋅2p(|y 1|+|y 2|)=p|y 1−y 2|=2p 2√m 2+4=5，② 由①②可得：p =1，m 2=94．故直线l 的方程为：2x −3y −4=0或2x +3y −4=0．【解析】(1)由题意设直线l 的方程与抛物线联立，求出两根之和及两根之积，进而求出OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+y 1y 2=0.可得OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，及△AOB 为直角三角形； (2)由(1)可得弦长|AB|的值，由向量的关系可得m ，p 的关系，再由面积可得m ，p 的关系，两式联立求出m ，p 的值，即求出直线l 的方程．本题考查三角形形状的判断及直线与抛物线的综合，及向量的运算，属于中档题．20.【答案】(1)证明：连接AC ，BD 交于点O ，因为BD//面AMHN ，面AMHN ∩面PBD =MN ，BD ⊄面AMHN ，则BD//MN ． 因为底面ABCD 为菱形，所以AC ⊥BD ，且O 为BD 的中点． 因为PB =PD ，所以PO ⊥BD ，又因为AC ∩PO =O ，所以BD ⊥面PAC ，PC ⊂面PAC ， 所以PC ⊥BD ，由BD//MN ，故MN ⊥PC ．(2)解：因为PA =PC ，所以PO ⊥AC ，由(1)知，PO ⊥BD ，AC ⊥BD ，以O 为原点，以OA ，OD ，OP 为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系．因为AC =2√6，PA =3，PO =√3，BO =1，所以A(√6,0,0)，C(−√6,0,0)，P(0,0,√3)，H(−√62,0,√32)，D(0,1，0)，从而AH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−3√62,0,√32)，DP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−1,√3)，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√6,1,0)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2√6,0,0) 设DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λDP ⃗⃗⃗⃗⃗ (0≤λ≤1)，AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +λDP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√6,1−λ,√3λ)设面AMH 的法向量n ⃗ =(x,y,z)，则{n ⃗ ⋅AH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{−3√62x +√32z =0−√6x +(1−λ)y +√3λz =0．令x =√2，所以n ⃗ =(√2,2√3(3λ−1)λ−1,6) 设θ为直线AC 与面AMHN 所成角，所以sinθ=|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |=√2√38+12(3+2λ−1)2，当λ=13时，sinθ取得最大值√1919．经检验，此时点N 在线段PB 上，符合题意．【解析】(1)连接AC ，BD 交于点O ，证明BD//MN.得到AC ⊥BD ，证明PO ⊥BD ，然后证明BD ⊥面PAC ，推出MN ⊥PC ． (2)以O 为原点，以OA ，OD ，OP 为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，求出面AMH 的法向量，利用空间向量的数量积求解直线AC 与面AMHN 所成角的正弦函数值的表达式，然后求解最大值即可．本题考查直线与平面所成角的求法，直线与直线垂直的判断方法，考查空间想象能力以及计算能力，是中档题．21.【答案】证明：(1)f(x)的定义域为(0,+∞)，所以f′(x)=1x−2+a(x −1)=ax 2−(a+2)x+1x，设g(x)=ax 2−(a +2)x +1， 因为△=(a +2)2−4a =a 2+4>0且a+2a>0，1a >0，所以g(x)=0在(0,+∞)上有两个不等实根x 1，x 2(x 1<x 2)， 且当x ∈(0,x 1)，(x 2,+∞)时，g(x)>0，f′(x)>0； 当x ∈(x 1,x 2)时，g(x)<0，f′(x)<0．所以f(x)在(0,x 1)，(x 2,+∞)上单调递增，在(x 1,x 2)上单调递减，故x1，x2是f(x)的两个极值点，且x1+x2=a+2a =1+2a，x1x2=1a．从而x12+x22=(x1+x2)2−2x1x2=(1+2a )2−2a=4a2+2a+1，又因为a∈[1,+∞)，所以1a∈(0,1],故x12+x22∈(1,7]．解：(2)由f′(1)=−1知曲线在(1,0)处切线方程为y=−x+1，原问题等价于方程f(x)=−x+1只有一个实根，设ℎ(x)=f(x)+x−1=lnx+12a(x−1)2−(x−1)，则ℎ′(x)=1x +a(x−1)−1=(x−1)(ax−1)x．①当a=1时，ℎ′(x)=(x−1)2x≥0，ℎ(x)在(0,+∞)上单增，而ℎ(1)=0，所以ℎ(x)只有一个零点x=1，符合题意．②当a>1时，令ℎ′(x)=0得x=1a 或1，(1a<1)所以，当x∈(0,1a )，(1,+∞)时，ℎ′(x)>0；当x∈(1a,1)时，ℎ′(x)<0．从而ℎ(x)在(0,1a )，(1,+∞)上单调递增，f(x)在(1a<1)上单调递减，所以ℎ(x)在(1a,+∞)上有一个零点x=1，在(0,1a )上，因为ℎ(1a)>ℎ(1)>0，设φ(a)=e12a+1−a(a>1)，则φ′(a)=12e12a+1−1>0，φ(a)在(1,+∞)单调递增，所以φ(a)>0，即e12a+1>a，从而0<e−12a−1<1a，取x∈(0,e−12a−1)，则ℎ(x0)<−12a−1+12a(x0−1)2−(x0−1)<−12a−1+12a+1=0．则存在x1∈(x0,1a)，使得ℎ(x1)=0，此时ℎ(x)有两个零点，不符题意．综上，a可取得的所有值为1．【解析】(1)先求导，再判断函数导数和极值点的问题，根据韦达定理和二次函数的性质即可求出；(2)原问题等价于方程f(x)=−x+1只有一个实根，设ℎ(x)=f(x)+x−1=lnx+12a(x−1)2−(x−1)，根据导数和函数最值得关系即可求出．本题考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数求函数的最值，充分利用了数学转化思想方法，考查了学生灵活处理问题和解决问题的能力，是难度较大的题目．22.【答案】解：(1)根据曲线C 的参数方程为{x =4k1+k 2y =1−k 21+k(k 为参数)， 由y =1−k 21+k2得k 2=1−y 1+y ，代入x =4k1+k 2， 得k =x2(1+y)，又由k 2=1−y1+y ，得x 24(1+y)2=1−y1+y ， 整理得曲线C 的普通方程为x 24+y 2=1(y ≠−1)；直线l 的极坐标方程为12ρcosθ−√32ρsinθ=2，因为x =ρcosθ及y =ρsinθ，所以直线l 的普通方程为x −√3y −4=0． (2)设点P(2cosθ,sinθ)，则点P 到直线l 的距离为|2cosθ−√3sinθ−4|2=|√7sin(θ+φ)+4|2，因为−1≤sin(θ+φ)≤1，所以点P 到直线l 的距离的取值范围为[4−√72,4+√72]．【解析】(1)直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换． (2)利用点到直线的距离公式的应用和三角函数的关系式的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.【答案】解：(1)当a =2时，f(x)=|x −1|+|2x +2|，∵f(x)≤8，∴当x ≥1时，x −1+2x +2≤8，解得x ≤73，∴1≤x ≤73， 当−1<x <1时，1−x +2x +2≤8，解得x ≤5，∴−1<x <1， 当x ≤−1时，1−x −2x −2≤8，解得−3≤x ，∴−3≤x ≤−1， 综上，不等式的解集为[−3,73]．(2)由f(x)≥3−|x −1|，得|2x +a|+|2x −2|≥3，又g(x)=|2x +a|+|2x −2|≥|(2x +a)−(2x −2)|=|a +2|， ∴g(x)min −|a +2|≥3，∴a +2≤−3或a +2≥3， ∴a ≤−5或a ≥1，∴a 的取值范围是(−∞,−5]∪[1,+∞)．【解析】(1)将a =2代入f(x)中，然后由f(x)≤8，利用零点分段法解不等式即可；(2)由条件可知|2x +a|+|2x −2|≥3，然后由g(x)=|2x +a|+|2x −2|≥|a +2|，求出g(x)的最小值，再根据g(x)min−|a+2|≥3，求出a的取值范围．本题考查了绝对值不等式的解法和绝对值三角不等式，考查了分类讨论思想和转化思想，属中档题．。
重庆市第八中学校2023届高三上学期适应性月考(三)数学试题含答案
秘密★启用前重庆市第八中学2023届高考适应性月考卷（三）数学注意事项：1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名､准考证号､考场号､座位号在答题卡上填写清楚.2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效.3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回，满分150分，考试用时120分钟.一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.集合,A B 满足{}{}{}0,2,4,6,8,10,2,8,2,6,8A B A B A ⋃=⋂==，则集合B 中的元素个数为（ ）A.2 B.3 C.4 D.52.复数12i3i z -=+的虚部为（ ）A.710- B.7i 10- C.75- D.7i5-3.圆22:(1)(1)2C x y -+-=关于直线:1l y x =-对称后的圆的方程为（ ）A.22(2)2x y -+=B.22(2)2x y ++=C.22(2)2x y +-=D.22(2)2x y ++=4.如图所示，平行四边形ABCD 的对角线相交于点,2O AE EO =，若(),DE AB AD R λμλμ=+∈，则λμ+等于（ ）A.1B.1-C.23-D.185.已知0,0a b >>，则242ba b a++的最小值为（ ）A.B.C.1D.1+6.法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆.我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的蒙日圆方程为2222x y a b +=+，现有椭圆222:116x y C a +=的蒙日圆上一个动点M ，过点M 作椭圆C 的两条切线，与该蒙日圆分别交于,P Q 两点，若MPQ 面积的最大值为34，则椭圆C 的长轴长为（ ）A.B.C.D.7.已知数列{}n a 满足21121411,,32n n n n a a a a a a +++===，则5a =（ ）A.122-B.102-C.92-D.82-8.函数()f x 和()g x 的定义域均为R ，且()43y f x =+为偶函数，()41y g x =++为奇函数.对x R ∀∈，均有()()21f x g x x +=+，则()()77f g ⋅=（ ）A.575B.598C.621D.624二､多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小題给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.已知函数()()sin 2(0)f x x ϕϕπ=+<<，曲线()y f x =关于点7,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭中心对称，则（）A.将该函数向左平移6π个单位得到一个奇函数B.()f x 在37,46ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增C.()f x 在7,1212ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上只有一个极值点D.曲线()y f x ='关于直线6x π=对称10.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若677889,,S S S S S S =<>.则下列结论正确的有（）A.790a a +=B.610S S >C.数列{}n a 是递减数列D.使0n S >的n 的最大值为1511.已知点P 为圆22:(2)(3)1(C x y C -+-=为圆心）上的动点，点Q 为直线:350l kx y k --+=上的动点，则下列说法正确的是（ ）A.若直线:350l kx y k --+=平分圆C 的周长，则2k =B.点C 到直线lC.若圆C 上至少有三个点到直线l 的距离为12k <<D.若1k =-，过点Q 作圆C 的两条切线，切点为,A B ，当QC AB ⋅最小时，则直线AB 的方程为33170x y +-=12.已知点P 为抛物线2:2(0)C x py p =>上的动点，F 为抛物线C 的焦点，若PF 的最小值为1，点()0,1A -，则下列结论正确的是（ ）A.抛物线C 的方程为24x y =B.PF PA的最小值为12C.点Q 在抛物线C 上，且满足2PF FQ = ，则92PQ =D.过()2,1P -作两条直线12,l l 分别交抛物线（㫒于点P ）于两点,M N ，若点F 到12,l l 距离均为12，则直线MN 的方程为1515110x y --=三､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在答题卡相应位置上）13.已知函数()f x 的导数为()f x '，且满足()()20sin 1xf x e f x '=-+，则2f π⎛⎫=⎪⎝⎭__________.14.重庆八中某次数学考试中，学生成绩X 服从正态分布()2105,δ.若()1901202P X =……，则从参加这次考试的学生中任意选取3名学生，至少有2名学生的成绩高于120的概率是__________.15.已知对任意平面向量(),AB x y = ，把AB绕其起点沿逆时针方向旋转θ得到向量()cos sin ,sin cos AP x y x y θθθθ=-+，叫做把点B 绕点A 沿逆时针方向旋转θ得到点P .已知平面内点()2,1A ，点(2B +，把点B 绕点A 沿逆时针4π后得到点P ，向量a为向量PB 在向量PA 上的投影向量，则a =__________.16.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若32624,2S S S a =+=，数列n b 满足1n a n n b a =，当n b 最大时，n 的值为__________.四､解答题（共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.（本小题满分10分）在①2cos22cos12BB +=；②2sin tan b A a B =；()()sin sin sin a c A c A B b B -++=，这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答.已知ABC 的内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，若__________.（1）求角B ；（2）若2b =，且ABCABC 的周长.18.（本小题满分12分）已知数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为,n n S T ，且111321,1,2log 33n n n n a a S b a +==-+=+.（1）求数列{n a ∣和{}n b 的通项公式；（2）若1n n nc a T =+，设数列{}n c 的前n 项和为n R ，证明：3n R <.19.（本小题满分12分）多年来，清华大学电子工程系黄翔东教授团队致力于光谱成像芯片的研究，2022年6月研制出国际首款实时超光谱成像芯片，相比已有光谱检测技术，实现了从单点光谱仪到超光谱成像芯片的跨越，为制定下一年的研发投入计划，该研发团队为需要了解年研发资金投入量x （单位：亿元）对年销售额y （单位：亿元）的影响，结合近12年的年研发资金投入量x ，和年销售额y ，的数据（i =1，2，…，12），该团队建立了两个函数模型：①2y x αβ=+②x t y e λ+=，其中,,,t αβλ均为常数，e 为自然对数的底数，经对历史数据的初步处理，得到散点图如图2令()2,ln 1,2,,12i i i i u x v y i === ，计算得如下数据：xy()1221ii x x =-∑()1221ii y y =-∑()()121iii x x v v =--∑206677020014uv()1221ii uu =-∑()1221ii v v =-∑()()121iii u u y y =--∑4604.2031250000.30821500（1）设{}i u 和{}i y 的相关系数为{1,i r x ∣和{}i v 的相关系数为2r ，请从相关系数的角度，选择一个拟合程度更好的模型；（2）（i ）根据（1）的选择及表中数据，建立y 关于x 的回归方程（系数精确到0.01）；（ii ）若下一年销售额y 需达到80亿元，预测下一年的研发资金投人量x 是多少亿元？附：①相关系数nx y r =ˆya bx =+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：()()()121ˆˆˆ,niii nii x x y y bay bx x x==--==--∑∑②参考数据： 4.3820308778.9443,80e =⨯≈≈.20.（本小题满分12分）如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 和侧面11BCC B 都是矩形，11,33D D D C AB BC ===.（1）求证：1AD D C ⊥；（2）若平面11BCC B 与平面1BDD 所成的角为60 ，求三棱锥1C BD D -的体积21.（本小题满分12分）已知双曲线22122:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为)F，渐近线与抛物线22:2(0)C y px p =>交于点⎛ ⎝.（1）求12,C C 的方程；（2）设A 是1C 与2C 在第一鲧限的公共点，作直线l 与1C 的两支分别交于点,M N ，便得AM AN ⊥.（i ）求证：直线MN 过定点；（ii ）过A 作AD MN ⊥于D .是否存在定点P ，使得DP 为定值？如果有，请求出点P 的坐标；如果没韦，请说明理由.22.（本小题满分12分）已知函数()ln f x x a x a =-+.（1）若存在()0,x e ∞∈+使()00f x <，求a 的取值范围；（2）若()f x 存在两个零点()1212,x x x x <，证明：2122x x e +>.秘密★启用前重庆市第八中学2023届高考适应性月考卷（三）数学1-8DAACBCDC 9.BC 10.AC11.ABD 12.ABD13.213e π+14.53215.216.319.（1）121500430.862500050r =====214100.91770.211r ====≈⨯则12r r <，因此从相关系数的角度，模型21x y e +=的拟合程度更好（2）（i ）先建立v 关于x 的线性回归方程.由x t y e λ+=，得ln y t x λ=+，即v t x λ=+.由于()()()1211221140.018770iii i i x x v v x x λ==--==≈-∑∑4.200.01820 3.84t v x λ=-=-⨯=所以v 关于x 的线性回归方程为ˆ0.02 3.84vx =+，所以ˆln 0.02 3.84yx =+，则0.02 3.84ˆx y e +=.（ii ）下一年销售额y 需达到80亿元，即80y =，代入0.02 3.84ˆx ye +=得，0.02 3.8480x e +=，又 4.38280e ≈所以0.02 3.84 4.382x +=27.1x =。