初一数学上册“平行线”
人教版七年级数学上册《相交线与平行线》知识点归纳(五四制)
人教版七年级数学上册《相交线与平行线》知识点归纳（五四制）第十二章相交线与平行线相交线与平行线一：相交线（1）相交线的定义两条直线交于一点，我们称这两条直线相交．相对的，我们称这两条直线为相交线．（2）两条相交线在形成的角中有特殊的数量关系和位置关系的有对顶角和邻补角两类．（3）在同一平面内，两条直线的位置关系有两种：平行和相交（重合除外）相交：如图所示，直线AB与直线CD相交于点O，其中以O为顶点共有4个角： 1，2，3，4对顶角与邻补角（1）对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角．（2）邻补角：只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角．（3）对顶角的性质：对顶角相等．（4）邻补角的性质：邻补角互补，即和为180°．（5）邻补角、对顶角成对出现，在相交直线中，一个角的邻补角有两个．邻补角、对顶角都是相对与两个角而言，是指的两个角的一种位置关系．它们都是在两直线相交的前提下形成的邻补角：其中1和2有一条公共边，且他们的另一边互为反向延长线。
像1和2这样的角我们称他们互为邻补角；对顶角：1和3有一个公共的顶点O，并且1的两边分别是3两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角；1和2互补，2和3互补，因为同角的补角相等，所以1＝3。
所以对顶角相等二：垂线（1）垂线的定义当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．（2）垂线的性质过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．注意：“有且只有”中，“有”指“存在”，“只有”指“唯一”“过一点”的点在直线上或直线外都可以．如图所示，图中ABCD，垂足为O。
垂直的两条直线共形成四个直角，每个直角都是90。
垂线段最短（1）垂线段：从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段．（2）垂线段的性质：垂线段最短．正确理解此性质，垂线段最短，指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．它是相对于这点与直线上其他各点的连线而言．（3）实际问题中涉及线路最短问题时，其理论依据应从“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”这两个中去选择．点到直线的距离（1）点到直线的距离：直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．（2）点到直线的距离是一个长度，而不是一个图形，也就是垂线段的长度，而不是垂线段．它只能量出或求出，而不能说画出，画出的是垂线段这个图形．三、平行线在同一平面内，两条直线的位置关系有两种：平行和相交（重合除外）．（1）平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线．记作：a∥b；读作：直线a平行于直线b．（2）同一平面内，两条直线的位置关系：平行或相交，对于这一知识的理解过程中要注意：①前提是在同一平面内；②对于线段或射线来说，指的是它们所在的直线．如图，直线a与直线b平行，记作a//b平行线公理及推论（1）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．（2）平行公理中要准确理解“有且只有”的含义．从作图的角度说，它是“能但只能画出一条”的意思．（3）推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．（4）平行公理的推论可以看做是平行线的一种判定方法，在解题中要注意该结论在证明直线平行时应用．四、平行线的性质同位角、内错角同旁内角同一个平面中的三条直线关系三条直线在一个平面中的位置关系有4中情况：有一个交点，有两个交点，有三个交点，没有交点（1）有一个交点：三条直线相交于同一个点，如图所示，以交点为顶点形成各个角，可以用角的相关知识解决（2）有两个交点:（这种情况必然是两条直线平行，被第三条直线所截。
华师版七年级数学上册第4章22 平行线的判定
思考： 在同一平面内，两条直线垂直于同一条直线，这两条直线
平行吗？为什么？
b
c
a
1
2
平行. 理由：如图， ∵ b⊥a，c⊥a， ∴∠1=∠2=90°， ∴b∥c(同位角相等，两直线平行).
在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行.
1.如图，下列四个图中，∠1=∠2，不能判定a∥b的是（ C ）
2. 如图，下列推理错误的是( C )
A．若∠1＝∠2，则c∥d B．若∠3＝∠4，则c∥d C．若∠1＝∠3，则a∥b D．若∠1＝∠4，则a∥b
3. 如图，Байду номын сангаас列能判定AC∥DF的条件有( C )
①∠1+∠DEC=180°；②∠C=∠2；③∠4=∠FEC；
④∠DEF=∠5；⑤∠3=∠4.
A.1个
课时导入
知识讲解
随堂小测
小结
1.掌握平行线的三种判定方法，会运用判定方法来 判断两条直线是否平行. 2.能够根据平行线的判定方法进行简单的推理.
1.平行线的定义： 在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线. 2.平行线的基本事实及其推论： （1）过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行. （2）如果两条直线都平行于第三条直线，那么这两条直线 也互相平行.
1 A2
所以AB∥CD.（内错角相等，两直线平行）
C B
6.如图，已知∠B=25°，∠BCD=45°，∠CDE=30°，∠E=10°. 试说明：AB∥EF.
解：在∠BCD的内部作∠BCM=25°，在∠CDE的内
部作∠EDN=10°.
M
N
∵∠B=25°，∠E=10°，∴∠B=∠BCM，
2024年秋季新华师大版七年级上册数学教学课件 4.2.1平行线
表示为：a∥b, 读作：a 平行于 b 。
任务三：画平行线的方法。
1.你会画平行线吗?画直线a∥b.
试一试这种方法，看看画出的直 线是否“很”平行。
规范画平行线的方法： （1）工具：直尺、三角板； （2）步骤：放、靠、退、画。
（1）放 （2）靠 （3）推 （4）画
谢谢 大家
爱心.诚心.细心.耐心，让家长放心.孩子安心。
第四章 相交线和平行线
4.2.1 平行线
任务一：创设情境，导入新课 任务二：平行线的概念 任务三：画平行线的方法 任务四：尝试练习，巩固内化 任务五：课堂小结，形成体系
任务一：创设情境，导入新课
如图，平行线在生活中很常见，你还能举出一些例子吗？ 平行线在生活中大量出现，它一定有一些特性，这需要我们去探索。
任务三：画平行线的方法。 2.如图，直线l不经过点P,过点P作直线l的平行线，你能画多少条？
归纳： 基本事实：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行. 注意：与“平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”区别。
任务三：画平行线的方法。 在上图中，另找直线l外一点B，过点B画出与直线l平行的直线.观察这三条直线的关 系，你有什么发现？
相交线
对顶角相等
同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 垂线段最短 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行
平行线
布置作业： 1.教材P194习题4.2，第1、2题； 2.教材P196“数学活动”——画平行线。
同学们，通过这节课的学习， 你有什么收获呢？
任务二：平行线的概念。 1.思考：平行线给我们的形象是不相交，那么不相交的两条直线就是平行线吗？
4.2.2.平行线的判定+++课件+2024—-2025学年华东师大版数学七年级上册
3.(4分·几何直观、应用意识)已知直线BC,小明和小亮想画出BC的平行线,他们
的方法如下:
下列说法正确的是( C )
A.小明的方法正确,小亮的方法不正确
B.小明的方法不正确,小亮的方法正确
C.小明、小亮的方法都正确
D.小明、小亮的方法都不正确
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4.(8分·抽象能力、推理能力)如图,∠B=52°,∠ACB=∠A+8°,∠ACD=60°,求
1.描边:描出两个角的两边.
2.定三线:确定截线和被截线,共线的边是截线,另外两边是被截线.
3.定关系:确定两角的位置关系和数量关系.
4.判定:同位角或内错角相等→两直线平行;同旁内角互补→两直线平行.
素养 当堂测评
1.(4分·几何直观、推理能力)如图,直线MN分别与直线AB,CD交于点E和点F,下
证:AB∥CD.
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【证明】因为∠ACB=180°-∠A-∠B,∠ACB=∠A+8°,∠B=52°,
所以∠A+8°=180°-∠A-52°,
所以∠A=60°,
因为∠ACD=60°,
所以∠A=∠ACD,
所以AB∥CD.
23
本课结束
相等
内错角______,两直线平行
符号
因为∠1=∠2,
所以a∥b.
因为∠2=∠3,
所以a∥b.
互补
的 同旁内角______,两直
因为∠4+∠2=180°,
判 线平行
所以 a∥b.
定
垂直
在同一平面内,______于同
因为CD⊥AB,
一条直线的两条直线平行
EF⊥AB,所以CD∥EF.
图示
5
【对点小练】
初一数学：平行线(含解析)
平行线知识互联网板块一 平行线的定义、性质及判定知识导航【例1】 ⑴ 如下左图，AB CD ∥，AD AC ⊥，32ADC ∠=°，则CAB ∠的度数是________． ⑵ 如下中图，直线l 与直线a ，b 相交．若a b ∥，170∠=°，则2∠的度数是________． ⑶ 如下右图，已知a b ∥，170∠=°，240∠=°，则3∠=________． 图DCBA21ba lb a321CBA 【解析】⑴ 122°；⑵ 110°；⑶ 70°【例2】 ⑴ 根据图在（）内填注理由：① ∵B CEF ∠ =∠（已知）∴AB CD ∥（ ）② ∵B BED ∠= ∠（已知）∴AB CD ∥（ ） ③ ∵180B CEB ∠+∠=°（已知） ∴AB CD ∥（ ）⑵ 下列说法中，不正确的是（ ）A ．如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行B ．过直线外一点，有且只有一条直线和已知直线相交C ．同一平面内的两条不相交直线平行D ．过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行【解析】⑴ ① 同位角相等，两直线平行；② 内错角相等，两直线平行；③ 同旁内角互补，两直线平行．⑵ 本题主要考察两直线平行的识别．根据平行公理及其推论可知A 、D 正确；同一平面内的两条直线的位置关系只有相交和平行两种，C 正确；过直线外一点，有且只有一条直经典例题FC EB D A线与这条直线平行，而有无数条直线与这条直线相交，B 不正确．【例3】 请你分析下面的题目，从中总结规律，填写在空格上，并选择一道题目具体书写证明．⑴ 如图⑴，已知：AB CD ∥，直线EF 分别交AB ，CD 于M ，N ，MG ，NH 分别平分AME ∠，CNE ∠．求证：MG NH ∥．从本题我能得到的结论是：____________________________________．⑵ 如图⑵，已知：AB CD ∥，直线EF 分别交AB ，CD 于M ，N ，MG ，NH 分别平分BMF ∠，CNE ∠．求证：MG NH ∥．从本题我能得到的结论是：____________________________________．⑶ 如图⑶，已知：AB CD ∥，直线EF 分别交AB ，CD 于M ，N ，MG ，NH 分别平分AMF ∠，CNE ∠，相交于点O ．求证：MG NH ⊥．从本题我能得到的结论是：____________________________________．(1)A B C DE FG H M N(2)NMFEDC B A GH (3)NM FEDC B A G H O 【解析】⑴ 两直线平行，同位角的角平分线平行．⑵ 证明：∵AB ∥CD ，∴BMFCNE ∠ 又∵MG ，NH 分别平分BMF从本题我能得到的结论是：两直线平行，内错角的角平分线平行．⑶ 证明：∵AB ∥CD ，∴180AMF CNE ∠+∠=又∵MG ，NH 分别平分AMF ∠，CNE ∠ ∴∴18090MON GMF HNE ∠= ，∴MG ⊥NH从本题我能得到的结论是：两直线平行，同旁内角的角平分线垂直．【例4】 证明：三角形三个内角的和等于180°．【解析】平角为180°，若能用平行线的性质，将三角形三个内角集中到同一个顶点，并得到一个平角，问题即可解决．证法1 : 如图所示，过ABC △的顶点A 作直线l BC ∥，则1BBAC所以180B BAC C ∠+∠+∠=°量代换）．即三角形三个内角的和等于180°． 证法2 : 如图所示，延长BC ，过C 作CE AB ∥，则1A ∠=∠ （两直线平行，内错角相等），2B ∠= ∠ （两直线平行，同位角12180BCA ∠+∠+∠=°， 所以180BCA A B ∠+∠+∠=°，即三角形三个内角的和等于180°．【教师备案】利用平行线证明三角形内角和为180°的方法有很l21C BA 21D C EB A多，老师可以带着学生多练几个【例5】 如图，ABC △中CD AB ⊥于D ，DE BC ∥，交AC 于点E ．过BC 上任意一点F ，作FG AB ⊥于G ，求证：12∠=∠．GFE 21D CBA【解析】∵FG AB CD AB ⊥⊥，， ∴GF CD ∥ ∴∠∵DE BC ∥， ∴2BCD ∠=∠， ∴12∠=∠【例6】 我们知道，光线从空气射入水中会发生折射现象．光线从水射入空气中，同样也会发生折射现象．如图，为光线从空气射入水中，再从水射入空气中的示意图．由于折射率相同，因此有14∠=∠，23∠=∠．请你用所学的知识来判断光线c 与d 是否平行？并说明理由．ba465dcba321【解析】c d ∥如图：∵25180∠+∠=°，36180∠+∠=°，23∠= ∠ ∴56∠= ∠（等角的补角相等）又∵14∠=∠∴1564∠+∠=∠+∠∴c d ∥（内错角相等，两直线平行）【例7】 （成都市初中数学竞赛）如图，已知AE 平分BAC ∠，BE AE ⊥，垂足为E ，ED AC ∥，36BAE ∠ = ° 求BED ∠ 的度数．EDCBA【解析】126°【例8】 ⑴ 如图所示AB CD ∥．求证：360B E D ∠+∠+∠=°EDCBA⑵ 已知，如图，AEC A C ∠=∠+∠,证明AB CD ∥ED CBA【解析】⑴ 如图，过E 点作EF AB ∥，则180B BEF ∠+∠=°因为AB CD ∥，所以EF CD ∥，180FED D ∠+∠=°所以360B BEF FED D ∠+∠+∠+∠=°又BEF FED BED ∠+∠=∠，∴360B BED D ∠+∠+∠=°即360B E D ∠+∠+∠=°F EDCBA ⑵ 解法一：过点E 作AEF A ∠=∠,则AB EF ∥， 又AEC A C AEF CEF ∠=∠+∠=∠+∠，∴C CEF ∠=∠，∴EF CD ∥，∴AB CD ∥． F ED CBA解法二：作180AEF A ∠+∠=°, 则AB EF ∥,∵360AEC AEF CEF ∠+∠+∠=°， ∴360A C AEF CEF ∠+∠+∠+∠=°， 经典例题板块二 平行线的构造∴180C CEF ∠+∠=°， ∴CD EF ∥, ∴AB CD ∥FE DCB A 【教师备案】这两个模型非常重要，建议各位老师分别从已知角度关系证明平行和已知平行证明角度关系两个方面讲解这两个小题，重点强调书写过程 【例9】 ⑴ 如图⑴，已知14MA NA ∥，探索1A ∠、2A ∠、3A ∠、4A ∠，1B ∠、2B ∠之间的关系．⑵ 如图⑵，已知1n MA NA ∥，探索1A ∠、2A ∠、…、n A ∠之间的关系．⑶ 如图⑶，已知1n MA NA ∥，探索1A ∠、2A ∠、…、n A ∠，1B ∠、2B ∠、…、1n B −∠之间的关系．MNA 4B 2A 2A 3B 1A 1MNA nA 4A 3A 2A 1B n -1B 2B 1A nA n -1A 2A 1NM图⑴ 图⑵ 图⑶【解析】⑴ 123412180A A A A B B ∠+∠+∠+∠=∠+∠+°；⑵ 123(1)180n A A A A n ∠+∠+∠++∠=−×° ． ⑶ 12121n n A A A B B B −∠+∠++∠=∠+∠++∠ ；【例10】如图，已知，CD EF ∥，C F ABC +=∠∠∠，求证AB GF ∥G FDECBAQPABCEDFG【解析】如图，过点B 作PQ CD ∥交GF 的延长线于点Q 则PQ EF ∥，【拓1】 如图所示，已知CB OA ∥，100C OAB∠ =∠ ，E ，F 在CB 上，且满足FOB AOB ∠= ∠，OE 平分COF ∠．思维拓展⑴ 求EOB ∠的度数；⑵ 若平行移动AB ，那么OBC ∠：OFC ∠的值是否随之发生变化？若变化，找出变化规律；若不变，求出这个比值；⑶ 在平行移动AB 的过程中，是否存在某种情况，使OECOBA ∠=∠？若存在，求出其度数；若不存在，请说明理由．ABC E FO 【解析】⑴40°；⑵1:2；⑶存在，60OECOBA ∠=【拓2】 在同一平面内有1a ，2a ，3a ，…，97a 共97条直线，如果12a a ∥，23a a ⊥，34a a ∥，45a a ⊥，56a a ∥，67a a ⊥，…，那么1a 与97a 的位置关系是________．【解析】寻找规律，12a a ∥，13a a ⊥，14a a ⊥；15a a ∥，16a a ∥，17a a ⊥，18a a ⊥…，4个一循环，974241÷= ，所以971a a ∥【拓3】 在同一平面内有7条直线，证明：必有两条直线的夹角小于26°．【解析】由平行线的性质可知，平移某条直线不影响该直线与其它直线的夹角，故可将7条直线平移使其交于同一点（如下图），A 7A 6A 5A 4A 3A 2A 1O点O 把7条直线分成14条射线，记为1OA ，2OA ，…，14OA ，相邻两射线组成14个角，记为1α，2α，…，14α，其和为一个周角：1214360ααα+++=° ， 若结论不成立，则26i α°≥，()1214i = ，，，， 相加，得360这一矛盾说明，在1α，2α，…，14α中，必有一个角小于26°，即必有两条直线的夹角小于26°．【拓4】 如图，已知ABCDFED BC A FEDBC A【解析】如右图所示，分别过点E ，F 做AB 和CD 的平行线，易得：AEC EAB ECD∠=∠+∠x 90°50°30°30°ABCD E FG HMNPR Qx 90°50°30°30°AB CDE FG HMNOP【解析】过点G ，H 作AB ，CD 的平行线，那么AB OG HQ CD ∥∥∥∵AB OG ∥，HQ CD ∥∵OG HQ ∥，∴60GHQ OGH HGE EGO ∠=∠=∠−∠=° ∵在MHQ ∆中,180MHQ HMQ MQH ∠+∠+∠=°又∵180MQR MQH ∠+∠=°，∴MHQ HMQ MQR ∠+∠=∠ ，∴40GHM GHQ MHQ ∠=∠−∠=°习题1． 如图：已知12∠=∠，A C ∠= ∠，求证：①ABDC ∥证明：∵12∠=∠（ ）∴______∥______（ ）． ∴C CBE ∠= ∠（ ）又∵C A ∠=∠（ ）∴A ∠=________（ ） ∴______∥______（ ）．EDCBA21【解析】已知：AB ，CD ；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；已知；CBE ∠； 等量代换；AD ，BC ；同位角相等，两直线平行． 习题2． 如图所示，复习巩固⑴ 已知：AB CD ∥，12∠=∠，求证：BE CF ∥； ⑵ 已知：AB CD ∥，BE CF ∥，求证：12∠=∠．F 21E B DA C【解析】⑴ ∵AB CD ∥（已知），∴ABC BCD ∠= ∠（两直线平行，内错角相等） ∵12∠=∠（已知），∴EBC BCF ∠= ∠（等量减等量差相等） ∴BE CF ∥（内错角相等，两直线平行）⑵ ∵AB CD ∥（已知），∴ABC BCD ∠= ∠（两直线平行，内错角相等） 又BE CF ∥（已知），∴EBCBCF ∠= ∠（两直线平行，内错角相等） ∴12∠=∠（等量减等量差相等）习题3． 如图，A B C ，，和D E F ，，分别在同一直线上，AF 分别交CE ，BD 于点G ，H ．已知H BCG FE D A习题4． 如图，在折线ABCDEFG 中，已知∠1=∠2=∠3=∠4=∠5，延长AB GF 、交于点M ．试探索AMG ∠与3∠的关系，并说明理由．M5G4321DCFEBA【解析】3AMG ∠= ∠．理由：∵12∠=∠，∴AB CD ∥（内错角相等，两直线平行）． ∵34∠= ∠，∴CD EF ∥（内错角相等，两直线平行）． ∴AB EF又53习题5． （十二届希望杯）如图所示，AB ED ∥，A E α=∠+∠，B C D β=∠+∠+∠，证明：2βα=．DCEBA21D CFEBA21DCFEBA【解析】证法l ：因为AB ED ∥，所以180A E α=∠+∠=°．（两直线平行，同旁内角互补）过C 作CF AB ∥．由AB ED ∥，得CF ED ∥ （平行于同一条直线的两条直线平行） 因为CF AB ∥，有1B ∠= ∠ （两直线平行，内错角相等） 又CF ED ∥，有2D ∠= ∠，（两直线平行，内错角相等）所以12360B C D BCD β=∠+∠+∠=∠+∠+∠=° （周角定义）所以2βα=（等量代换）证法2：由AB ED ∥，得180A E α=∠+∠=°．（两直线平行，同旁内角互补）过C 作CF AB ∥（如图）． 由AB ED ∥，得CF ED ∥．（平行于同一条直线的两条直线平行）因为CF AB ∥，所以1180B ∠+∠=（两直线平行，同旁内角互补）， 又CF ED ∥，所以2180D ∠+∠=（两直线平行，同旁内角互补） 所以(12)(1)(2)360BCD B D B D β=∠+∠+∠=∠+∠+∠+∠=∠+∠+∠+∠=°所以2βα=（等量代换）． 习题6． 如图，已知：AB CD ∥，ABFDCE ∠=∠，求证：BFE FEC ∠=∠ FEDCBA4321ABC DEF 习题7． 如图，AB DE ∥，70ABC ∠=，147CDE ∠= °，求C ∠的度数． 147°70°ED CB AF147°70°E DCBA∴CF DE∥∴18018014733DCF CDE ∴703337BCD BCF DCF ∠=∠−∠=°−°=°．练习1． （2012年第23届“希望杯”初一决赛试题）下面四个命题：① 若两个角是同旁内角，则这两个角互补② 若两个角互补，则这两个角是同旁内角③ 若两个角不是同旁内角，则这两个角不互补④ 若两个角不互补，则这两个角不是同旁内角其中错误的命题个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】D练习2． 如图，已知AB CD ∥，CE 平分ACD ∠，且交AB 于E ，118A ∠=°，则AEC ∠=________． E BC DA 【解析】∵AB CD练习3． 如图，∵3E ∠=∠（已知），12∠=∠（已知） 又∵∠________=∠________（ ）∴∠________=∠________（ ）∴AB CE ∥（ ）【解析】2；3；对顶角相等；1；E ；等量代换；内错角相等，两直线平行． 练习4． 如图，AD 是ABC △的角平分线，2BAC B ∠=∠，DE BA ∥．试探究B ∠与ADE ∠有何关系？并对你的结论加以说明．补充练习12图F 3E D AAB C D E【解析】 B ADE ∠= ∠，证明略．练习5． 已知，如图所示，AB DE ∥,116D ∠=°，93DCB ∠，求B ∠的度数． E D C B A FED C BA 【解析】过点C 作直线CF AB ∥，因为AB DE ∥,所以AB DE CF ∥∥，练习6． 如图所示，两直线AB CD 、平行，则123456∠+∠+∠+∠+∠+∠=（）A ．630° B ．720° C ．800° D ．900°65HG4321DC FE BA 【解析】分别过E F G H ，，，点做AB 的平行线，再求各个角度的和．选D。
初一数学平行线与垂直线
初一数学平行线与垂直线在初中数学学习中，平行线与垂直线是很重要的概念。
本文将深入探讨平行线与垂直线的定义、性质以及它们在几何图形中的应用。
第一部分：平行线的定义与性质平行线是指在同一个平面上不存在交点的两条直线。
要判断两条直线是否平行，我们可以使用以下几种方法：1. 角度判定法：如果两条直线被一条横截线切割所形成的相邻内角相等（互补角、对顶角、同位角等），那么这两条直线是平行线。
2. 距离判定法：如果两条直线上任意两点之间的距离相等，那么这两条直线是平行线。
了解了平行线的定义后，我们来看一下它的一些性质：1. 平行线具有传递性：如果直线AB与直线CD平行，直线CD与直线EF平行，那么直线AB与直线EF也平行。
2. 平行线间的夹角性质：对于两条直线AB和CD，如果一条横截线EF与这两条直线相交，那么所形成的内角、外角和对顶角都具有一定的关系。
第二部分：垂直线的定义与性质垂直线是指在平面上与另一条直线成直角的直线。
要判断两条直线是否垂直，可以使用以下方法：1. 角度判定法：如果两条直线的相邻内角互为补角（和为90度），那么这两条直线是垂直线。
2. 斜率判定法：如果两条直线的斜率乘积为-1，那么这两条直线是垂直线。
垂直线的性质有：1. 垂直线存在唯一性：通过一个点，可以作出与已知直线垂直的直线，并且这条直线是唯一的。
2. 垂直线与平行线的关系：如果一条直线与另一条直线垂直，并且与第三条直线平行，那么这两条直线也垂直。
第三部分：平行线与垂直线在几何图形中的应用平行线与垂直线在几何图形中应用广泛，下面以几个常见的图形为例进行介绍：1. 矩形：矩形的对边互相平行且相等，对角线互相垂直。
2. 正方形：正方形的边互相平行且相等，对角线互相垂直。
3. 平行四边形：平行四边形的对边互相平行，但对角线不一定垂直。
4. 直角三角形：直角三角形的两条直角边与斜边垂直。
通过对几何图形中平行线与垂直线的应用，我们可以更好地理解这些概念的性质，并且在解题过程中更加熟练地运用它们。
平行线知识点初一
平行线知识点初一在初一的数学学习中，平行线是一个非常重要的概念。
它不仅是几何学习的基础，也在解决实际问题中有着广泛的应用。
首先，我们来了解一下什么是平行线。
在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。
这里要注意两个关键点，一是“在同一平面内”，如果不在同一平面，两条不相交的直线不一定是平行线；二是“不相交”，这意味着它们无论延伸多远都没有交点。
平行线有许多重要的性质和判定方法。
性质 1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。
比如说，直线 a 平行于直线 b，直线 c 与 a、b 都相交，那么所形成的同位角就是相等的。
性质 2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。
性质 3：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。
这些性质在解决角度计算和证明的问题中经常用到。
接下来，我们看看平行线的判定方法。
判定 1：同位角相等，两直线平行。
如果两条直线被第三条直线所截，形成的同位角相等，那么这两条直线就是平行的。
判定 2：内错角相等，两直线平行。
判定 3：同旁内角互补，两直线平行。
在实际解题中，我们常常需要根据已知条件，灵活运用这些判定方法来证明两条直线平行。
再来说说平行线的传递性。
如果直线 a 平行于直线 b，直线 b 平行于直线 c，那么直线 a 就平行于直线 c。
这个传递性在解决一些复杂的几何图形问题时非常有用。
平行线还有一些常见的模型，比如“猪蹄模型”和“铅笔模型”。
“猪蹄模型”中，两条平行线被第三条直线所截，会出现两个形如猪蹄的角，这两个角是相等的。
“铅笔模型”则是另一种常见的情况，同样是两条平行线被第三条直线所截，形成的角有着特定的关系。
在学习平行线的过程中，我们会做很多相关的练习题。
比如，已知两条直线平行，求某个角的度数；或者根据给出的角的关系，证明两条直线平行。
为了更好地掌握平行线的知识，我们要多做练习，熟悉各种题型。
同时，要学会画图，通过图形来帮助我们理解和解决问题。
在画图时，要注意线条的笔直和角度的准确。
2024秋七年级数学上册第五章相交线与平行线5.2平行线1平行线说课稿(新版)华东师大版
①平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。
②平行线的性质：
a.平行线互相平行，不会相交。
b.平行线之间的距离相等。
c.平行线上的对应角相等。
d.平行线上的内错角相等。
e.平行线上的同位角相等。
③平行线的判定方法：
a.同位角相等，两直线平行。
b.内错角相等，两直线平行。
c.外角和相等，两直线平行。
4.学生作业和练习：学生的作业和练习是评估他们对平行线知识的掌握程度的重要依据。通过批改学生的作业和练习，可以了解他们对平行线性质、判定方法和应用的理解和掌握程度，以及他们在实际问题中的应用能力。
5.教师评价与反馈：教师对学生进行评价和反馈是提高学生学习效果的重要环节。教师应及时给予学生积极的反馈和鼓励，以提高他们的学习兴趣和自信心。同时，教师也应指出学生的不足之处，并提出改进的建议和指导，以帮助学生提高学习效果。
最后，我注意到在课堂讨论环节，有些学生表现出较强的积极主动性，但也有一些学生较为沉默。为了激发所有学生的学习兴趣，我计划在未来的教学中，设计一些更具互动性和趣味性的活动，如数学游戏、角色扮演等，让每个学生都能参与到课堂中来，享受学习的乐趣。
教学评价与反馈
1.课堂表现：通过观察学生在课堂上的表现，可以发现他们对平行线概念的理解和掌握程度。重点关注学生的参与度、提问和回答问题的能力，以及他们在实践活动中的表现。
3.学生可能遇到的困难和挑战：在本节课中，学生可能对平行线的概念和性质感到困惑，特别是对于如何判断两条直线是否平行。此外，学生可能对平行线的判定方法难以理解，特别是当涉及到斜率的概念时。在应用方面，学生可能不知道如何将所学的平行线知识应用到实际问题中，解决生活中的问题。因此，在教学过程中，需要关注这些学生的需求，通过提供适当的辅导和示例，帮助他们克服这些困难。同时，要鼓励学生积极参与课堂讨论和实践活动，以提高他们的理解和应用能力。
华东师大版七年级数学上册第5章第2节平行线的判定
EG 12
根据： 等量代换
.A
B
3
得：∠1+∠2=180°.
C
D
FH
根据：同旁内角互补，两直线平行 .
得： EF∥GH 。
如图，已知：∠1=∠2，BD平分∠ABC，试说明 AD∥BC.
证明：由BD平分∠ABC（已知），
根据： 角平分线定义 .
A
D
得：∠2=∠3.
1
又由：∠2=∠1（已知） 根据： 等量代换
根据：等量代换
C
得：∠3+ ∠4 =180°.
E
1
B
3
4 D
2 F
根据：同旁内角互补，两直线平行
得： AB ∥ CD
.
如图，已知：∠DAF=∠AFE，∠ADC+∠DCB=180°，求 证：EF∥BC
证明：由：∠DAF=∠AFE （ 已知） A D
根据：内错角相等，两直线平行.
E
F
得：AD∥ EF .
证明：由∠1=∠2 （已知），
根据：内错角相等，两直线平行.
得AB∥EF.
B
又由∠1=∠B（已知 ）.
根据：同位角相等，两直线平行
得 DE ∥ BC .
A D1 E
2
F
C
如图，已知：∠1+∠2=180°， 求证：AB∥CD.
证明：由：∠1+∠2=180°(已知)，
∠1=∠3（对顶角相等）.
A
∠2=∠4（ 对顶角相等 ）
得 AB∥ CD .
1.如图，已知：AB∥CD， ∠1=55°∠2=80°， 求∠3的度数.
A
C
1
23
E
B
初一数学平行线的知识点归纳
引言概述：初中数学是学习数学的重要阶段，其中平行线是一个重要的概念和知识点。
在初一阶段，学生首次接触到平行线的概念和性质，理解和掌握这些知识对于进一步学习几何和解题能力的培养至关重要。
本文将对初一数学中关于平行线的知识点进行归纳和总结，以便学生更好地理解和掌握这一概念。
一、平行线的定义和性质1. 平行线的定义：两条直线在同一平面内，如果它们不相交，那么它们是平行线。
2. 平行线的性质：a. 平行线具有传递性：如果直线A与直线B平行，直线B 与直线C平行，那么直线A与直线C也平行。
b. 平行线具有对称性：如果直线A与直线B平行，那么直线B与直线A也平行。
c. 平行线具有共线性：如果两条平行线与第三条直线相交，那么交角1和交角2是相等的。
二、平行线的判定方法1. 用角的对应关系判定平行线：a. 同位角相等定理：如果两条直线被一条直线所截，同位角相等，则这两条直线是平行的。
b. 内错角相等定理：如果两条直线被第三条直线所错开，内错角相等，则这两条直线是平行的。
c. 外错角相等定理：如果两条直线被第三条直线所错开，外错角相等，则这两条直线是平行的。
2. 用平行线的性质判定平行线：a. 平行线的传递性：通过已知的平行线，结合传递性，可以判断其他直线与已知直线是否平行。
b. 平行线的对称性：通过已知的平行线，结合对称性，可以判断其他直线与已知直线是否平行。
三、平行线与角的关系1. 同位角和内错角与平行线的关系：a. 同位角：当两条直线被一条直线所截，同位角是对应的角，即对位于同一位置的两条直线交叠形成的角。
对于平行线，同位角是相等的。
b. 内错角：当两条直线被第三条直线所错开，内错角是错开的两条直线形成的内角。
对于平行线，内错角是相等的。
2. 外错角与平行线的关系：a. 外错角：当两条直线被第三条直线所错开，外错角是错开的两条直线形成的外角。
对于平行线，外错角是相等的。
四、平行线与平行四边形的性质1. 平行四边形的定义：有四条边的四边形，使得其中两对边平行。
七年级上册地数学课件-5..平行线华师大版
2. 下面说法中正确的有（ A ）
①一条直线的平行线只有一条；
②因为 a∥b，c∥d，所以 a∥d；
③经过一点有且只有一条直线与已知直线平行．
A. 0 个
B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个
1. 视察如图所示的长方体后填空： （1）用符号表示下列两棱的位置关系：A1B1__∥__AB， AA1__⊥___AB，A1D1__⊥__C1D1，AD__∥__BC； （2）A1B1与 BC 所在的直线是两条不相交的直线，它们
如图所示
C
M
N
E
A
D
B
定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线
画法：一落；二靠；三移；四画 平行线 关于平行线的基本事实： 过直线外一点有且只有一条
直线与这条直线平行
推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这 两条直线也互相平行
1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题。
__不__是___平行线（填“是”或“不是”）， 由此可知，在___同__一__平__面____内，两条不相交
的直线才能叫做平行线.
2. 根据下列语句，利用所给△ABC 画出图形：
（1）过△ABC 的顶点 C，画 MN∥AB；
（2）过△ABC 的边 AB 的中点 D，画平行于 AC 的直线，
交 BC 于点 E .
P a
如图所示，不少国家的国旗、团体或公司的标志的 图案是由平行线、垂线构成的.
做一做
如果在直线 a 外有一个已知点 P，那么经过点 P 可以 画多少条直线与已知直线 a 平行？请动手画一画.
P b
a
基本事实: 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行．
做一做
初一上册数学平行线的判定
初一上册数学平行线的判定
一、平行线的定义
在同一平面内，不相交的两条直线称为平行线。
二、平行线的性质
1. 两条平行线被一条直线所截，同位角相等。
2. 两条平行线被一条直线所截，内错角相等。
3. 两条平行线被一条直线所截，同旁内角互补。
三、平行线的判定方法一：同位角相等
如果两直线的同位角相等，则这两条直线平行。
四、平行线的判定方法二：内错角相等
如果两直线的内错角相等，则这两条直线平行。
五、平行线的判定方法三：同旁内角互补
如果两直线的同旁内角互补，则这两条直线平行。
六、平行线的判定方法四：直线被一条横截线所截，同位角相等或内错角相等或同旁内角互补
如果一条直线被另一条横截线所截，同位角相等或内错角相等或同旁内角互补，则这两条直线平行。
七、平行线的判定方法五：直线被两条平行线所截，对应角相等
如果一条直线被两条平行线所截，对应的同位角或内错角相等，则这两条直线平行。
八、平行线的判定方法六：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
过直线外一点，只能画出一条与给定直线平行的直线。
九、平行线的判定方法七：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行
在同一平面内，如果两条直线都垂直于第三条直线，则这两条直线互相平行。
十、平行线的判定方法八：若两直线同时与第三条直线平行，则这两条直线也互相平行。
6.4 第3课时 平行线的判定(利用内错角、同旁内角课件+2024-2025学年苏科版七年级数学上册
平行.)
两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角互补,那么这两
条直线平行.(简单说成:同旁内角互补,两直线平行.)
探 究
如图6-4-22,如果∠1=∠2,那么a∥b.
与 如图6-4-23,如果∠1+∠2=180°,那么a∥b.
应
用
图6-4-22
图6-4-23
探 究
[理解应用]
与 例2 (教材典题)如图6-4-24,∠1=∠2,∠B+∠BDE=180°.指
解:同旁内角的形状像字母“U”.
探 记 要点 究 如图6-4-17,两条直线a,b被第三条直线c所截形成的8个角中,
与
应 有4对同位角,2对内错角,2对同旁内角.
用
图6-4-17
探 究
[概括新知]
与 如图6-4-17,具有∠4和∠5这种位置关系的一对角叫作内错
应
用 角,具有∠2和∠5这种位置关系的一对角叫作旁内角.
问题4 把上述两对内错角从图形中分解出来,如图6-4-18所
与 示,观察两个图形,可以发现内错角的形状像什么?
应
用
图6-4-18
解:内错角的形状像字母“Z”.
探 究
问题5 如图6-4-17,在直线a,b被直线c所截形成的八个角中,
与 观察∠2和∠5,它们具有怎样的位置关系?
应
用
图6-4-17
解:∠2和∠5在直线c的同侧,在直线a,b之间.
究
与 理由:因为∠4=∠5,又∠3=∠5,
应 用
所以∠3=∠4,从而a∥b.
(2)∠2和∠5是一对同旁内角.a∥b.
理由:因为∠2和∠5互补,又∠1和∠5互补,
所以∠1=∠2,从而a∥b.
七年级数学上册-5.3平行线的性质 解析版
5.3平行线的性质【考点梳理】考点一：平行线的性质考点二：根据平行线性质探究角的关系考点三：根据平行线性质求角的大小考点四：平行线性质在生活应用问题考点五：平行线之间的距离问题考点六：与命题有关的问题考点七：平行线的判定和性质的综合问题知识一：平行线的性质1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等.简单地说:两直线平行，同位角相等.2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等.简单地说:两直线平行，内错角相等.3：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补.简单地说:两直线平行，同旁内角互补.注意：是先有两直线平行，才有以上的性质，前提是“线平行”。
一个结论：平行线间的距离处处相等。
例如：应用于说明矩形（包括长方形、正方形）的对边相等，还有梯形的对角线把梯形分成分别以上底为底的两等面积的三角形，或以下底为底的两等面积的三角形。
（因为梯形的上底与下底平行，平行线间的高相等，所以，就有等底等高的三角形。
）知识二、命题判断一件事情的语句叫命题。
命题包括“题设”和“结论”两部分，可写成“如果……那么……”的形式。
例如：“明天可能下雨。
”这句语句______命题，而“今天很热，明天可能下雨。
”这句语句_____命题。
(填“是”或“不是”)1命题分为真命题与假命题，真命题指题设成立，结论也成立的命题（或说正确的命题）。
假命题指题设成立，但结论不一定或根本不成立的命题（或说错误的命题）。
2逆命题：将一个命题的题设与结论互换位置之后，形成新的命题，就叫原命题的逆命题。
注：原命题是真命题，其逆命题不一定仍为真命题，同理，原命题为假命题，其逆命题也不一定为假命题。
题型一：平行线的性质1．（2023下·广西贺州·七年级统考期末）如图，直线a ，b 被直线c 所截，若a b ∥，∠1＝70°，则∠2的度数是（）A ．50°B ．60°C ．70°D ．110°【答案】C 【分析】由a b ∥，∠1＝70°，可得2170,Ð=Ð=°从而可得答案．【详解】解：∵a b ∥，∠1＝70°，∴2170,Ð=Ð=°故选C【点睛】本题考查的是平行线的性质，掌握“两直线平行，同位角相等”是解本题的关键．2．（2024上·河南周口·七年级河南省淮阳中学校考期末）如图，沿路线A B C D →→→行走，若AB CD ∥，122B ∠=︒，则C ∠=（）A ．58︒B ．122︒C ．128︒D ．132︒【答案】B 【分析】本题考查平行线性质，根据两直线平行，内错角相等，即可解题．【详解】解： AB CD ∥，122B ∠=︒，C ∴∠=122B ∠=︒，故选：B ．3．（2024上·河南周口·七年级统考期末）如图，AB CD ，直线EF 分别交AB ，CD 于点E ，F ，EG 平分BEF ∠，170=︒∠，则3∠的度数为（）A ．70︒B ．80︒C ．40︒D ．30︒【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质；根据角平分线的定义求出BEF ∠，再根据平行线的性质即可求出3∠．【详解】解：∵170=︒∠，EG 平分BEF ∠，∴170BEG ∠=∠=︒，∴1140BEF BEG ∠=∠+∠=︒，∵AB CD ，∴318040BEF ∠=︒-∠=︒，故选：C ．题型二：根据平行线性质探究角的关系4．（2024下·七年级课时练习）如图，直线a ，b 被c ，d 所截，且a b ∥，则下列结论中正确的是（）A ．14∠=∠B ．23180∠+∠=︒C ．3=4∠∠D ．24180∠+∠=︒【答案】C 【分析】根据平行线的性质，逐项判断即可求解．【详解】解：A ．由a b ，无法判断1∠和4∠的大小，故本选项错误，不符合题意；B ．由a b ，无法得出23180∠+∠=︒，故本选项错误，不符合题意；C ．因为a b ，所以3=4∠∠，故本选项正确，符合题意；D ．由a b ，无法得出24180∠+∠=︒，故本选项错误，不符合题意；故选：C ．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．5．（2023下·山东德州·七年级校考阶段练习）如图：,AB CD OE ∥平分,,,40BOC OF OE OP CD ABO ∠⊥⊥∠=︒，则下列结论：①OF 平分BOD ∠②POE BOF ∠=∠③70BOE ∠=︒④2POB DOF ∠=∠，其中结论正确的序号是（）A ．只有①②③B ．只有①③④C ．①②③④D ．只有①④【答案】A 【分析】根据AB ∥CD 可得40BOD ABO ∠=∠=︒，利用平角得到140COB ∠=︒，再根据角平分线的定义得到70BOE ∠=︒，则③正确；利用OP CD ⊥，AB ∥CD ，40ABO ∠=︒，可得50OB ∠=︒，20BOF ∠=︒，20FOD ∠=︒，进而可得OF 平分BOD ∠，则①正确；由70EOB ∠=︒，50POB ∠=︒，20POE ∠=︒，由20BOF POF POB ∠=∠-∠=︒，进而可得POE BOF ∠=∠，则②正确；由②可知50POB ∠=︒，20FOD ∠=︒，则④不正确．【详解】③AB ∥CD ，40BOD ABO ∴∠=∠=︒，18040140COB ∴∠=︒-︒=︒，又OE 平分BOC ∠，BOE ∴∠=12COB ∠=1214070⨯︒=︒，故③正确；①OP CD ⊥ ，90POD ∴∠=︒，又AB ∥CD ，90BPO ∴∠=︒，又40ABO ∠=︒ ，904050POB ∴∠=︒-︒=︒，907020BOF EOF EOB ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒，402020FOD ∠=︒-︒=︒，OF ∴平分BOD ∠，故①正确；②70EOB ∠=︒ ，904050POB ∠=︒-︒=︒，705020POE ∴∠=︒-︒=︒，POE BOF ∴∠=∠，故②正确；④由①可知904050POB ∠=︒-︒=︒，402020FOD ∠=︒-︒=︒，故2POB DOF ∠≠∠，故④不正确．故结论正确的是①②③，故选A ．【点睛】本题考查了平行线的性质，解题的关键是要注意将垂直、平行、角平分线的定义结合应用，弄清图中角和角的关系，再进行解答．6．（2024上·四川巴中·七年级统考期末）如图，AB CD ∥，E 为AB 上一点，且EF CD ⊥垂足为F ，90CED ∠=︒，CE 平分AEG ∠，且CGE α∠=，则下列结论：①1902AEC α∠=︒-；②DE 平分GEB ∠；③CEF GED ∠=∠；④180FED BEC ∠+∠=︒；其中正确的有（）A ．①②B ．②③④C ．①②③④D ．①③④【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，垂线的定义，熟记“一般地，从一个角的顶点出发，在角的内部把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线”，“当两直线所组成的角为直角时，称它们互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线”的相关概念，利用α表示各个角度．根据角平分线的性质，角平分线和垂线的定义逐个分析计算即可．【详解】解：CGE α∠= ，AB CD ∥，CGE GEB α∴∠=∠=，180AEG α∴∠=︒-，CE 平分AEG ∠，119022AEC CEG AEG α∴∠=∠=∠=︒-，故①正确；90CED ∠=︒ ，1122DEB GEB α∴∠==∠，即DE 平分GEB ∠，故②正确；EF CD ⊥ ，AB CD ∥，90AEF ∴∠=︒，90AEC CEF ∴∠+∠=︒，12CEF α∴∠=，12GED GEB DEB α∠=∠-∠= ，CEF GED ∴∠=∠，故③正确；190902FED BED α∠=︒-∠=︒- ，1180902A BEC EC α∠=∠=︒-︒+，180FED BEC ∴∠+∠=︒故④正确；综上所述，正确的有①②③④，故选：C ．题型三：根据平行线性质求角的大小7．（2024下·全国·七年级专题练习）如图，直线m n ∥，含有45︒角的三角板的直角顶点O 在直线m 上，点A 在直线n 上，若120∠=︒，则2∠的度数为（）A ．15︒B ．25︒C ．35︒D ．45︒【答案】B 【分析】本题考查平行线的性质，过B 作BK m ∥，推出BK n ∥，由平行线的性质得到120OBK ∠=∠=︒，2ABK ∠=∠，求出25ABK ABO OBK ∠=∠-∠=︒，即可得到225∠=︒．【详解】解：过B 作BK m ∥，∵m n ∥，∴BK n ∥，∴120OBK ∠=∠=︒，2ABK ∠=∠，∵45ABO ∠=︒，∴452025ABK ABO OBK ∠=∠-∠=︒-︒=︒，∴225ABK ∠=∠=︒．故选：B ．8．（2024上·重庆沙坪坝·七年级重庆南开中学校考期末）如图，直线MN PQ ∥，点A C 、分别在直线MN PQ 、上，AD 平分BAN ∠，CD 平分110ECQ B ∠∠︒，＝，若DCQ α∠=，则1∠等于（）A ．30α︒+B ．30α︒-C ．35α︒+D ．35α︒-【答案】C 【分析】本题考查的是平行线的性质，熟知两直线平行，同位角相等是解题的关键．过点B 作BG PQ ∥交AD 于点G ，由CD 平分ECQ DCQ α∠∠=，可知2ECQ α∠=，故2EBG ECQ α∠=∠=，由110ABE ∠=︒可知1102ABG ABE EBG α∠=∠-∠=︒-，再由MN PQ BG PQ ∥，∥可知()1801801102BAN ABG α∠=︒-∠=︒-︒-，根据AD 平分BAN ∠可得出NAD ∠的度数，进而得出结论．【详解】解：如图，过点B 作BG PQ ∥交AD 于点G ，∵CD 平分ECQ DCQ α∠∠=，，∴2ECQ α∠=，∴2EBG ECQ α∠=∠=，∵110ABE ∠=︒，∴1102ABG ABE EBG α∠=∠-∠=︒-，∵MN PQ BG PQ ∥，∥，∴()1801801102702BAN ABG αα∠=︒-∠=︒-︒-=︒+，∵AD 平分BAN ∠，∴1352NAD BAN α∠=∠=︒+，∴135NAG α∠=∠=︒+．故选：C ．9．（2024·全国·七年级竞赛）如图，82BAC ∠=︒，68CDE ∠=︒，AF 平分BAC ∠，若AF D E ⊥，则ACD ∠的度数为（）A ．18︒B ．19︒C ．20︒D ．21︒【答案】B 【分析】本题主要考查平行线的性质，角平分线的性质，掌握平行线的性质，角平分线的性质，垂直的性质，合理作出平行线是解题的关键．如图所示，作DG AF 交AC 于G ，作CH AF ∥，根据平行线的性质可求出ACH ∠的度数，根据垂直的性质可求出CDG ∠的度数，最后根据ACD ACH DCH ∠=∠-∠即可求解．【详解】解：如图所示，作DG AF 交AC 于G ，作CH AF ∥，∵AF 平分BAC ∠，∴82241CAF ∠=︒÷=︒，∴41AGD ACH CAF ∠=∠=∠=︒，∵68DE AF CDE ⊥∠=︒，，∴906822DCH CDG ∠=∠=︒-︒=︒，∴412219ACD ACH DCH ∠=∠-∠=︒-︒=︒．题型四：平行线性质在生活应用问题10．（2023上·吉林长春·七年级统考期末）如图，一条街道有两个拐角ABC ∠和BCD ∠，已知AB CD ∥，若150ABC ∠=︒，则BCD ∠的度数是（）A ．30︒B ．120︒C ．130︒D ．150︒【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质：两直线平行，内错角相等，由AB CD ，根据两直线平行，内错角相等，可得BCD ∠的度数，解题的关键是将实际问题转化为数学问题求解．【详解】∵150AB CD ABC ∠=︒，∴150BCD ABC ∠=∠=︒（两直线平行，内错角相等）．故选：D ．11．（2023下·江西抚州·七年级统考期中）一辆行驶中的汽车经过两次拐弯后，仍向原方向行驶，则两次拐弯的角度可能是（）A ．先右转30︒，后左转60︒B ．先左转30︒，后右转60︒C ．先右转30︒，后左转150︒D ．先右转30︒，后左转30︒【答案】D【分析】利用平行的性质：两直线平行，同位角相等来选择即可．【详解】解：两次拐弯后，仍在原来的方向上平行行驶，即转弯前与转弯后的道路是平行的，因而右转的角与左转的角应相等，理由是两直线平行，同位角相等．故选：D ．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，能够根据条件，找到解决问题的依据是解决本题的关键．12．（2023下·河北邢台·七年级校考期中）生活中常见一种折叠拦道闸如图1所示．若想求解某些特殊状态下的角度，需将其抽象为如图2所示的几何图形，其中BA AE ⊥，垂足为A ，CD AE ∥，则ABC BCD ∠+∠=（）A ．270︒B ．250°C ．230︒D ．200︒【答案】A 【分析】过B 作BF CD ∥，然后根据平行线的性质和垂线的定义即可得解．【详解】解：如图，过B 作BF CD ∥，∵CD AE ∥，则BF AE ，∴180BCD CBF ∠+∠=︒，∵BA AE ⊥，∴90BAE ∠=︒，∴18090ABF BAE ∠=︒-∠=︒，∴270ABC BCD ABF CBF BCD ∠+∠=∠+∠+∠=︒，故选：A ．【点睛】本题考查平行线的综合应用，熟练掌握平行线的性质和垂线的定义是解题关键．题型五：平行线之间的距离问题13．（2023下·湖南娄底·七年级统考期末）如图，∥MN AB ，P ，Q 为直线MN 上的任意两点，PAB 和QAB 的面积关系是()A ．PAB QAB S S >△△B ．PAB QABS S =△△C ．PAB QAB S S <△△D ．无法确定【答案】B 【分析】根据两条平行线之间的距离处处相等，可知PAB 与QAB 底边AB 边上的高相等，从而得到它们的面积相等．【详解】解：因为∥MN AB ，所以点P 与点Q 到直线AB 的距离相等，即PAB 与QAB 是同底等高的两个三角形，故PAB QAB S S =△△．故选：B ．【点睛】本题考查两条平行线之间的距离处处相等，掌握这一性质是解题的关键．14．（2023下·广西桂林·七年级校联考期末）如图，AD BC ∥，5BC =，点E 在BC 上，8BE =，DCE △的面积为6，则ABE 的面积为（）A ．6B ．12C ．16D ．20【答案】C 【分析】ABE 的边BE 上的高和DCE △的边CE 上的高长度相同，设高为h ，可求得ABE S 和DCE S 之间的数量关系．【详解】∵5BC =，8BE =，∴853CE BE BC =-=-=．∵AD BC ∥，∴ABE 的边BE 上的高和DCE △的边CE 上的高长度相同．设ABE 的边BE 上的高和DCE △的边CE 上的高为h ．根据题意，得1322DCE S h CE h == △，142ABE S h BE h == △．∴8861633ABE DCE S S ==⨯=△△．故选：C ．【点睛】本题主要考查两条平行线之间的距离（如果两条直线平行，那么其中一条直线上每个点到另一条直线的距离都相等，这个距离，叫做这两条平行线之间的距离），牢记两条平行线之间的距离的定义是解题的关键．15．（2022下·河北石家庄·七年级校考期末）如图，点P 、Q 为平面内两个定点，定直线a PQ ∥，M 是直线a 上一动点，对下列各值：①PQM 的周长；②PQM 的面积；③点M 到PQ 的距离；④PMQ ∠的大小.其中会随点M 的移动而变化的是（）A ．②③B ．②④C ．①④D ．①③【答案】C 【分析】根据平行线间的距离不变即可判断③；根据三角形的周长和点M 的运动变化可判断①④；根据同底等高的三角形的面积相等可判断②；进而可得答案．【详解】解：∵直线a PQ ∥，∴点M 到直线PQ 的距离不会随点M 的移动而变化，故③正确；∵PM ，QM 的长随点M 的移动而变化，∴PQM 的周长会随点M 的移动而变化，PMQ ∠的大小会随点M 的移动而变化，故①④错误；∵点M 到直线PQ 的距离不变，PQ 的长度不变，∴PQM 的面积不会随点M 的移动而变化，故②正确；综上，不会随点M 的移动而变化的是①④．故选：C ．【点睛】本题主要考查了平行线间的距离和同底等高的三角形的面积相等等知识，属于基础题型，熟练掌握平行线间的距离的概念是关键．题型六：与命题有关的问题16．（2024下·全国·七年级专题练习）下列各命题的逆命题是假命题的是（）A ．两直线平行，同旁内角互补B ．若两个数0a b +=，则这两个数为相反数C ．对顶角相等D．如果22a b=，那么a b=【答案】C【分析】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是能够正确的写出一个命题的逆命题，写出命题的逆命题后判断正误即可．【详解】解：A、逆命题为同旁内角互补，两直线平行，是真命题，不符合题意；a b+=，是真命题，不符合题意；B、逆命题为如果两个数互为相反数，那么0C、逆命题为相等的角为对顶角，是假命题，符合题意；D、逆命题为如果a b=，那么22a b=，是真命题，不符合题意．故选：C．17．（2023下·辽宁鞍山·七年级校考阶段练习）下列命题：①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③把一个木条固定到墙上需要两颗钉子，其中的数学原理是：两点确定一条直线；④从一个货站向一条高速路修一条最短的公路，其中的数学原理是：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短；⑤垂直于同一条直线的两条直线垂直，其中的假命题有（）A．4个B．3个C．2个D．1个【答案】B【分析】此题主要考查了命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．【详解】解：①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，原命题是假命题；②在同一平面上，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，原命题是假命题；③把一个木条固定到墙上需要两颗钉子，其中的数学原理是：两点确定一条直线，原命题是真命题；④从一个货站向一条高速路修一条最短的公路，其中的数学原理是：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短是真命题；⑤垂直于同一条直线的两条直线平行，原命题是假命题，故选：B．18．（2023下·广西玉林·七年级统考期中）下列命题；①内错角相等；②两个锐角的和是钝角；③a ，b ，c 是同一平面内的三条直线，若a b ，b c P ，则a c P ；④a ，b ，c 是同一平面内的三条直线，若a b ⊥r r ，b c ⊥，则a c P ；其中真命题的个数是（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【分析】本题考查了命题与定理的知识．利用平行线的性质及判定方法分别判断后即可确定正确的选项．【详解】解：①两直线平行，内错角相等，故原命题错误，是假命题，不符合题意；②两个锐角的和不一定是钝角，错误，是假命题，不符合题意；③a ，b ，c 是同一平面内的三条直线，若a b ，b c P ，则a c P ；正确，是真命题，符合题意；④a ，b ，c 是同一平面内的三条直线，若a b ⊥r r ，b c ⊥，则a c P ，正确，是真命题，符合题意；真命题有2个，故选：B ．题型七：平行线的判定和性质的综合问题19．（2024上·江苏南通·七年级统考期末）如图，AE BD ∥，A BDC ∠=∠，AEC ∠的平分线交CD 的延长线于点F ．(1)求证：AB CD ∥；(2)探究A ∠，AEC ∠，C ∠之间的数量关系，并说明理由；(3)若140BDC ∠=︒，20F ∠=︒，求C ∠的度数．【答案】(1)见解析(2)360A AEC C ∠+∠+∠=︒，理由见解析(3)100C ∠=︒【分析】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质，添加适当的辅助线是解此题的关键．（1）由平行线的性质可得180A ABD ∠+∠=︒，求出ABD BDF ∠=∠，即可得证；（2）作EG AB ∥，则180A AEG ∠+∠=︒，EG CD ∥，再由平行线的性质可得180C CEG ∠+∠=︒，即可得出答案；（3）作EG AB ∥，则180A AEG ∠+∠=︒，求出40AEG =︒∠，得出EG CD ∥，由平行线的性质可得20GEF F ∠=∠=︒，从而得出60AEF GEF AEG ∠=∠+∠=︒，由角平分线的定义可得2120AEC AEF ∠=∠=︒，由（2）可得360A AEC C ∠+∠+∠=︒，由此即可得出答案．【详解】（1）证明：AE BD ∥ ，180A ABD ∴∠+∠=︒，180BDC BDF A BDC ∠+∠=︒∠=∠ ，，ABD BDF ∴∠=∠，AB CD ∴∥；（2）解：360A AEC C ∠+∠+∠=︒，理由如下：如图，作EG AB ∥，，则180A AEG ∠+∠=︒，由（1）可得AB CD ∥，EG CD ∴∥，180C CEG ∴∠+∠=︒，360A AEG C CEG ∴∠+∠+∠+∠=︒，AEG CEG AEC ∠+∠= ，360A AEC C \Ð+Ð+Ð=°；（3）解：如图，作EG AB ∥，，则180A AEG ∠+∠=︒，140BDC A BDC ∠=︒∠=∠ ，，40AEG ∴∠=︒，由（1）可得AB CD ∥，EG CD ∴∥，20GEF F ∴∠=∠=︒，204060AEF GEF AEG ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒，AEC ∠的平分线交CD 的延长线于点F ，2120AEC AEF ∴∠=∠=︒，由（2）可得：360A AEC C ∠+∠+∠=︒，360100C A AEC ∴∠=︒-∠-∠=︒．20．（2024下·全国·七年级专题练习）如图，已知：ABC 中，D 、E 、F 、G 分别在BC 、AC 和AB 上，连接DE 、BF 和FG ，AGF ABC ∠=∠，180GFB EDB ∠+∠=︒．(1)判断BF 与DE 的位置关系，并证明；(2)若BF AC ⊥，150EDB ∠=︒，求AFG ∠的度数．【答案】(1)BF DE ∥，理由见详解(2)60︒【分析】本题考查了平行线的性质和判定，平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．（1）先证明GF BC ∥，可得GFB FBD =∠∠，等量代换后可得180FBD EDB ∠+∠=︒，继而得到BF DE ∥；（2）由平行线同旁内角互补，可得18030DBF EDB ∠=︒-∠=︒，根据平行线内错角相等可得30GFB DBF ∠=∠=︒，依据90AFB ∠=︒，可计算出AFG ∠．【详解】（1）解：BF DE ∥，理由如下：∵AGF ABC ∠=∠，∴GF BC ∥，∴GFB FBD =∠∠，又∵180GFB EDB ∠+∠=︒．∴180FBD EDB ∠+∠=︒，∴BF DE ∥．（2）由（1）可知，GF BC ∥，BF DE ∥．∵150EDB ∠=︒，∴18030DBF EDB ∠=︒-∠=︒，∵GF BC ∥，∴30GFB DBF ∠=∠=︒，∵BF AC ⊥，∴90AFB ∠=︒，∴9060AFG GFB ∠=︒-∠=︒．21．（2024上·湖南衡阳·七年级衡阳市华新实验中学校考期末）问题情境1：如图1，AB CD ∥，P 是ABCD 内部一点，P 在BD 的右侧，探究B ∠，P ∠，D ∠之间的关系？（1）如图2，过P 作PE AB ，可得B ∠，P ∠，D ∠之间满足______关系．（直接写出结论）问题情境2如图3，AB CD ∥，P 是AB ，CD 内部一点，P 在BD 的左侧，（2）得B ∠，P ∠，D ∠之间满足______关系．（直接写出结论）问题迁移：请合理的利用上面的结论解决以下问题：已知AB CD ∥，ABE ∠与CDE ∠两个角的角平分线相交于点F ．（3）如图4，若80E ∠=︒，求BFD ∠的度数；（写证明过程）（4）如图5中，13ABM ABF ∠=∠，13CDM CDF ∠=∠，写出M ∠与E ∠之间数量关系并证明结论．【答案】（1）360B BPD D ∠+∠+∠=︒；（2）B D BPD ∠+∠=∠；（3）140︒；（4）6360E M ∠+∠=︒，证明见解析【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义：（1）先证明PE AB CD ∥∥，再由平行线的性质得到180180B BPE D DPE +=︒+=︒∠∠，∠∠，进而可得360B BPD D ∠+∠+∠=︒；（2）如图所示，过P 作PE AB ，先证明PE AB CD ∥∥，再由平行线的性质得到B BPE D DPE ==∠∠，∠∠，进而可得B D BPD ∠+∠=∠；（3）由（1）（2）的结论可得F ABF CDF ∠=∠+∠，360E ABE CDE ++=︒∠∠∠，则可求出280ABE CDE ∠+∠=︒，再由角平分线的定义可得1114022F ABF CDF ABE CDE =+=+=︒∠∠∠∠∠；（4）由（1）（2）的结论可知M ABM CDM ∠=∠+∠，360E ABE CDE ++=︒∠∠∠，进而得到3ABF CDF M +=∠∠∠，再由角平分线的定义得到6ABE CDE M +=∠∠∠，则6360E M ∠+∠=︒．【详解】解：（1）∵AB CD ∥，PE AB ，∴PE AB CD ∥∥，∴180180B BPE D DPE +=︒+=︒∠∠，∠∠，∴360B BPE D DPE +++=︒∠∠∠∠∵BPD BPE DPE =+∠∠∠，∴360B BPD D ∠+∠+∠=︒，故答案为：360B BPD D ∠+∠+∠=︒；（2）如图所示，过P 作PE AB ，∵AB CD ∥，PE AB ，∴PE AB CD ∥∥，∴B BPE D DPE ==∠∠，∠∠，∴B D BPE DPE+=+∠∠∠∠∵BPD BPE DPE =+∠∠∠，∴B D BPD ∠+∠=∠，故答案为：B D BPD ∠+∠=∠；（3）由（1）（2）的结论可知F ABF CDF ∠=∠+∠，360E ABE CDE ++=︒∠∠∠，∵80E ∠=︒，∴360280ABE CDE E ∠+∠=︒-∠=︒，∵ABE ∠与CDE ∠两个角的角平分线相交于点F ，∴1122ABF ABE CDF CDE ==∠∠，∠∠，∴1114022F ABF CDF ABE CDE =+=+=︒∠∠∠∠∠；（4）6360E M ∠+∠=︒，证明如下：由（1）（2）的结论可知M ABM CDM ∠=∠+∠，360E ABE CDE ++=︒∠∠∠，∵13ABM ABF ∠=∠，13CDM CDF ∠=∠，∴1133M ABM CDM ABF CDF =+=+∠∠∠∠∠，∴3ABF CDF M +=∠∠∠，∵ABE ∠与CDE ∠两个角的角平分线相交于点F ，∴22ABE ABF CDE CDF ∠∠∠∠=，=，∴()2226ABE CDE ABF CDF ABF CDF M ∠+∠=∠+∠=∠+∠=∠，∴6360E M ∠+∠=︒．一：选择题22．（2024下·黑龙江绥化·七年级校考）如图，已知直线c 与直线a b ，都相交．若145a b ∠=︒，∥，则2∠=（）A ．145︒B ．135︒C ．55︒D ．45︒【答案】B 【分析】本题考查邻补角互补，平行线的性质．熟练掌握平行线的性质是解题关键．根据两直线平行同位角相等即可得出3145∠=∠=︒，再根据邻补角互补求解即可．【详解】解：如图，∵a b ∥，∴3145∠=∠=︒，∴21803135∠∠︒︒=-=．故选B ．23．（2024下·全国·七年级假期作业）下列语句中，是命题的个数为（）①若两个角相等，则它们是对顶角；②等腰三角形两底角相等；③画线段1cm AB =；④同角的余角相等；⑤同位角相等．A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【答案】C 【分析】本题主要考查命题，熟练掌握命题的概念是解题的关键；因此此题可根据“一般的，在数学中把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题”进行排除选项．【详解】解：①②④⑤符合命题的定义，而③不能写出题设与结论出来，故不是命题，所以是命题的个数有4个；故选C ．24．（2024上·河南南阳·七年级统考期末）如图，直线a b ∥，直线c 与直线a 、b 分别相交于A 、B 两点，AC AB ⊥于点A ，交直线b 于点C ．如果138∠=︒，那么2∠的度数为（）A ．52︒B ．48︒C ．38︒D ．32︒【答案】A 【分析】本题考查平行线的性质，根据两直线平行，同旁内角互补，进行求解即可．【详解】解：∵AC AB ⊥，∴90BAC ∠=︒，∵a b ∥，∴12180BAC ∠+∠+∠=︒，∴2180903852∠=︒-︒-︒=︒；故选：A ．25．（2024上·江苏南通·七年级统考期末）将一直尺和一块含30︒角的三角尺按如图放置，若40CDE ∠=︒，则BFA ∠的度数为（）A ．40︒B ．50︒C ．130︒D ．140︒【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质，邻补角的定义，根据题意知AF DE ∥，进而可得40CFA CDE ∠=∠=︒，再由邻补角定义即可求解，准确识图是解题的关键．【详解】解：由题意可知AF DE ∥，∵40CDE ∠=︒，∴40CFA CDE ∠=∠=︒，∴180140BFA CFA ∠=︒-∠=︒，故选：D ．26．（2024下·全国·七年级专题练习）如图，已知：ABC 中，D 、E 、F 、G 分别在BC 、AC 和AB 上，连接DE 、BF 和FG ，AGF ABC ∠=∠，180GFB EDB ∠+∠=︒．(1)判断BF 与DE 的位置关系，并证明；(2)若BF AC ⊥，150EDB ∠=︒，求AFG ∠的度数．【答案】(1)//BF DE ，理由见解析(2)60︒【分析】本题考查了平行线的判定与性质和余角的计算，熟练掌握平行线的相关判定和性质是解题关键．（1）由AGF ABC ∠=∠，根据“同位角相等，两直线平行”得GF BC ∥，再根据“两直线平行，内错角相等”得GFB FBD =∠∠，再利用“同旁内角互补，两直线平行”，即可证得结论；（2）由GF BC ∥，根据“两直线平行，同旁内角互补”，可求出30DBF ∠=︒，再根据“两直线平行，内错角相等”得30GFB DBF ∠=∠=︒，然后根据余角定义即可求出AFG ∠的度数．【详解】（1）解：BF DE ∥，理由如下：AGF ABC ∠=∠，GF BC \∥，∴GFB FBD =∠∠，又 180GFB EDB ∠+∠=︒，∴180FBD EDB ∠+∠=︒，∴BF DE ∥．（2）解：由（1）可知，GF BC ∥，BF DE ∥，150EDB ∠=︒，∴18015030DBF ∠=︒-︒=︒，∴30GFB DBF ∠=∠=︒，BF AC ⊥，∴90AFB ∠=︒，∴9060AFG GFB ∠=︒-∠=︒．27．（2024上·浙江金华·七年级统考期末）如图，已知AB AC ⊥于点A ，90C EDC ∠+∠=︒．(1)试说明180BAE E +=︒∠∠．（填空）已知AB AC ⊥，得90BAC ∠=︒，所以C ∠+______90=︒，又已知90C EDC ∠+∠=︒，根据______，得B EDC ∠=∠，根据______，得AB DE ∥，根据______，得180BAE E +=︒∠∠．(2)若,55C EAC E ∠=∠∠=︒，求B ∠的度数．【答案】(1)见解析(2)55B ∠=︒．【分析】本题考查平行线的判定和性质，掌握平行线的判定方法和性质，是解题的关键．（1）根据互余关系，平行线的判定和性质，作答即可；（2）根据C EAC ∠=∠，得到AE BC ∥，进而得到EDC E ∠=∠，根据EDC B ∠=∠，即可得出结果．【详解】（1）解：已知AB AC ⊥，得90BAC ∠=︒，所以90C B ∠+∠=︒，又已知90C EDC ∠+∠=︒，根据同角的余角相等，得B EDC ∠=∠，根据同位角相等，两直线平行，得AB DE ∥，根据两直线平行，同旁内角互补，得180BAE E +=︒∠∠；故答案为： B ∠，同角的余角相等；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；（2）∵C EAC ∠=∠，∴AE BC ∥，∴EDC E ∠=∠，由（1）知：EDC B ∠=∠，∴55B E ∠=∠=︒．一、单选题28．（2024上·四川宜宾·七年级统考期末）如图，BD 是ABC ∠的角平分线，DE AB ∥，EF 是DEC ∠的角平分线，有下列四个结论：①BDE DBE ∠=∠；②EF BD ∥；③ABF FEC BFE ∠=∠+∠；④ABF ABED S S =△四边形．其中，正确的个数为（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】D 【分析】此题考查了角平分线的定义，平行线的判定及性质，平行线间的距离处处相等等相关内容，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键．利用DE AB ∥，BD 平分ABC ∠，EF 平分DEC ∠，可以判断出①②正确；再证明DBF BFE ∠=∠，再利用FEC DBC ABD ∠=∠=∠，可判断出③正确；根据EF BD ∥，推出BDF V 与BDE 是等底等高的三角形，最后利用等式性质可得到④正确．【详解】解：∵DE AB ∥，∴ABD BDE ∠=∠，ABC DEC ∠=∠，∵BD 平分ABC ∠，EF 平分DEC ∠，∴12ABD DBE ABC ∠=∠=∠，12DEF FEC DEC ∠=∠=∠，∴BDE DBE ∠=∠，FEC DBC ABD ∠=∠=∠，∴EF BD ∥，故①②正确；∵EF BD ∥，∴DBF BFE ∠=∠，∵ABF ABD DBF ∠=∠+∠，FEC ABD ∠=∠，∴ABF FEC BFE ∠=∠+∠，故③正确；∵EF BD ∥，∴BDF V 与BDE 是等底等高的三角形，∴BDF BDE S S =△△，∴ABF ABED S S =△四边形，故④正确，∴①②③④正确．故选：D ．29．（2024上·山西长治·七年级统考期末）如图，AB CD ，130PAB ∠=︒，120PCD ∠=︒，则APC ∠的度数为（）A ．140︒B ．130︒C ．120︒D ．110︒【答案】D 【分析】此题考查的是平行线的判定及性质，掌握构造平行线的方法是解决此题的关键．过P 作直线∥MN AB ，根据两直线平行，同旁内角互补即可求出APN ∠，然后根据平行于同一条直线的两直线平行可得MN CD ∥，进而可求出NPC ∠，从而求出APC ∠．【详解】解：过P 作直线∥MN AB ，如下图所示，∵∥MN AB ，130PAB ∠=︒，∴180PAB APN ∠+∠=︒（两直线平行，同旁内角互补），∴18050APN PAB ∠=︒-∠=︒，∵∥MN AB ，AB CD ，120PCD ∠=︒，∴MN CD ∥，∴180PCD NPC ∠+∠︒＝，∴60NPC ∠︒＝，∴6050110APC NPC APN ∠=∠+∠=︒+︒=︒，故选：D ．30．（2024上·福建泉州·七年级统考期末）如图，AB CD ∥，直线l 分别交AB ，CD 于点E ，F ，且满足1BEP BEF n ∠∠=，1DFP DFE n ∠∠=，则P ∠的度数为（）A ．1801n + B ．180n C ．1801n -o D ．不确定【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，过P 作PG AB ∥，由平行的判定方法得PG AB CD ∥∥，由平行线的性质得1EPG BEP BEF n ∠=∠=∠，1FPG DFP DFE n ∠=∠=∠，180BEF DFE ∠+∠=︒，等量代换计算得180EPG DFP n︒∠+∠=，即可求解；掌握性质，作出辅助线求解是解题的关键．【详解】解：如图，过P 作PG AB ∥，PG AB CD ∴∥∥，1EPG BEP BEF n ∴∠=∠=∠，1FPG DFP DFE n∠=∠=∠，180BEF DFE ∠+∠=︒，BEF n EPG ∴∠=∠，DFE n DFP ∠=∠，180n EPG n DFP ∴∠+∠=︒，180EPG DFP n︒∴∠+∠=，180P n ︒∴∠=；故选：B ．31．（2024上·重庆九龙坡·七年级重庆实验外国语学校校考期末）如图，,AB CD A BCD ∠=∠∥，点M 是边AD 上一点，连接BM ，延长BM 、CD 交于点P ．点N 是边BC 上一点，连接MN ，使得NMC MCN ∠=∠，作NMP ∠的平分线MQ 交CP 于点Q ．若CMQ α∠=，则AMP ∠的度数用含α的式子表示为（）A ．180α︒-B ．1802α︒-C ．45α︒+D ．90α︒+【答案】B 【分析】本题考查三角形内角和定理，平行线的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数解决问题．证明2PMD α∠=，可得结论．【详解】解：设NMC x ∠=．∥ AB CD ，A ADP ∴∠=∠，A BCD ∠=∠ ，APD BCD ∴∠=∠，AD BC ∴∥，NM NC = ，NMC NCM x ∴∠=∠=，CMD NCM x ∴∠=∠=，MQ 平分NMP ∠，QMP QMN x α∴∠=∠=+，()2PMD PMQ QMD x x ααα∴∠=∠+∠=++-=，1801802AMP PMD α∴∠=︒-∠=︒-．故选：B ．32．（2024上·重庆巴南·七年级校考期末）如图，,AB CD BF ∥平分,EBA DG ∠平分,CDE E α∠∠=，则H ∠的度数用含α的式子表示为（）A ．180α︒-B ．12αC ．1902α︒+D ．1902α︒-【答案】B 【分析】本题考查平行线的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，正确作出辅助线．根据角平分线得出12,34,∠=∠∠=∠过H 作,HM DC ∥过E 作,EN AB ∥证出2123,513,FHG FHM α=∠-∠∠=∠-∠=∠-∠即可得结论；【详解】BF 平分,EBA DG ∠平分,CDE Ð12,34,∴∠=∠∠=∠过H 作,HM DC ∥过E 作,EN AB ∥,AB CD ∥Q ,AB CD HM EN ∴∥∥∥15,216,35,623,FHM FHG CDE α∴∠=∠=∠+∠∠=+∠∠=∠∠=∠=∠2123,513,FHG FHM α∴=∠-∠∠=∠-∠=∠-∠.2FHG α∴∠=故选：B ．33．（2023下·山东济南·七年级山东省济南稼轩学校校考阶段练习）下列结论：①如图1，AB CD ∥，则180A E C ∠+∠+∠=︒；②如图2，AB CD ∥，则P A C ∠=∠-∠；③如图3，AB CD ∥，则1E A ∠=∠+∠；④如图4，直线AB CD EF ∥∥，点O 在直线EF 上，则180αβγ∠-∠+∠=︒．正确的个数有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B 【分析】本题考查的是平行线的性质及三角形外角的性质；①过点E 作直线EF ∥AB ，由平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补，即可得出结论；②如图2，先根据三角形外角的性质得出1C P ∠=∠+∠，再根据两直线平行，内错角相等即可作出判断；③如图3，过点E 作直线EF ∥AB ，由平行线的性质可得出1180A AEC ∠+∠-∠=︒，即得1801AEC A ∠=︒+∠-∠；④如图4，根据平行线的性质得出BOF α∠=∠，180COF γ∠+∠=︒，再利用角的关系解答即可．【详解】解：①如图1，过点E 作直线EF AB ∥，AB CD ∥，∴AB CD EF ∥∥，1180A ∴∠+∠=︒，2180C ∠+∠=︒，12360A C ∴∠+∠+∠+∠=︒，360A AEC C ∴∠+∠+∠=︒，故①错误；②如图2，1∠ 是CEP 的外角，1C P ∴∠=∠+∠，AB CD ∥，1A ∴∠=∠，即P A C ∠=∠-∠，③如图3，过点E 作直线EF AB ∥，AB CD ∥，∴AB CD EF ∥∥，3180A ∴∠+∠=︒，12∠=∠，1180A AEC ∴∠+∠-∠=︒，即1801AEC A ∠=︒+∠-∠，故③错误；④如图4，AB EF ∥，BOF α∴∠=∠，CD EF ∥，180COF γ∴∠+∠=︒，BOF COF β∠=∠+∠ ，COF αβ∴∠=∠-∠，180γαβ∴∠+∠-∠=︒，故④正确；综上结论正确的个数为2，故选：B ．二、填空题34．（2024下·江苏·七年级周测）如图，一辆汽车经过一段公路两次拐弯后，和原来的行驶方向相同，也就是拐弯前后的两条路互相平行．第一次拐的角B ∠等于142︒，第二次拐的角∠C 的度数为．【答案】142︒/142度【分析】此题考查了平行线的性质，根据平行线的性质得出B C ∠=∠，解题的关键是熟练掌握平行线的性质及其应用．【详解】∵原来的行驶方向相同，也就是拐弯前后的两条路互相平行，∴142C B ∠=∠=︒（两直线平行，内错角相等）．35．（2024上·山东济南·七年级统考期末）如图，将三角板与直尺贴在一起，使三角板的直角顶点A 与直尺的一边重合，若130∠=︒，则2∠的度数是°．【答案】60【分析】本题考查了平行线的性质，互余关系；由13∠∠，互余可求得3∠，再由平行线的性质即可求得结果．【详解】解：如图，∵1+3=90∠∠︒，130∠=︒，∴390160∠=︒-∠=︒；∵直尺的两边平行，∴2360∠=∠=︒，故答案为：60．36．（2024上·河南南阳·七年级统考期末）将一副三角板按如图所示重叠放置，其中45BOA ∠=︒，30DOC ∠=︒，90BAO ∠=︒，90DCO ∠=︒，30︒和45︒的两个角顶点重合在一起．若将三角板AOB 绕点O 旋转，在旋转过程中，当AB OC ∥时，BOC ∠=．【答案】45︒或135︒【分析】本题考查了平行线的性质，旋转的性质，直角三角板的角的度数的知识，熟记性质是解题的关键．根据题意画出图形，由平行线的性质可得出答案．【详解】解：如图1，当AOB 绕点O 顺时针旋转90︒时，AB OC ∥，此时45BOC ABO ∠=∠=︒．。
初一数学平行线与垂直线
初一数学平行线与垂直线初一数学——平行线与垂直线数学是一门让人们共同热爱的学科，它的严谨与逻辑引领着我们走向思维的宽广世界。
初中数学作为数学学科的基础，其中的平行线与垂直线是我们学习的重要内容之一。
本文将详细介绍初一数学中关于平行线与垂直线的概念、性质和应用，以帮助大家更好地理解和运用这些概念。
一、平行线的概念与性质1、平行线的定义平行线是指在同一个平面上，永不相交的两条直线。
具体来说，如果两条直线没有任何一个公共点，那么它们就是平行线。
2、平行线的判定方法（1）同位角相等判定法：如果两条直线相交，同位角相等，那么这两条直线就是平行线。
（2）内错外分比例相等判定法：如果一条直线与两条平行线相交，那么这条直线在两条平行线上的截线段长度比例相等。
（3）平行线的性质：平行线具有以下性质：A. 平行线上的任意一组同位角相等；B. 相交线与平行线所成的内错外分角相等。
3、平行线的应用平行线在我们的生活中应用广泛。
在建筑设计、地理测量、编程等方面都有着重要的作用。
例如，在建筑设计中，为了保证建筑物的结构稳定，我们常常采用平行线的原理来设计柱子和墙壁的排布。
二、垂直线的概念与性质1、垂直线的定义垂直线是指与平面上的一条直线相交且与其相交的角度为90度的直线，也称为垂直于该线。
2、垂直线的判定方法（1）同位角相等判定法：如果一组同位角相等的两条直线相交，那么这两条直线互相垂直。
（2）互补角相等判定法：如果两条直线互相垂直，那么它们所成的内错外分角相等。
（3）垂直线的性质：垂直线具有以下性质：A. 相互垂直的两条直线切割出来的对应角是相等的；B. 垂直于同一直线的两条直线是平行线。
3、垂直线的应用垂直线在我们的生活中也应用广泛。
比如，在建筑设计中，我们常常利用垂直线的概念来保证墙壁的垂直平衡。
此外，垂直线还被应用于地理测量中确定高度和角度等。
三、平行线与垂直线的相关性1、平行线与垂直线的关系平行线与垂直线是两种特殊的关系。
初一数学平行线与角的性质
初一数学平行线与角的性质数学是一门让人们感到魅力和挑战的学科，而初一数学作为我们学习数学的起点，为我们打下了扎实的基础。
在初一数学中，平行线与角的性质是我们需要掌握和理解的重要内容。
本文将从平行线和角的定义、平行线与角的关系以及相关定理三个方面来详细论述。
一、平行线和角的定义平行线是指在同一个平面内，永远不会相交的两条直线。
当两条直线平行时，它们的方向相同，且永远保持相同的距离。
在图形中，我们用“//”来表示两条平行线。
角是由两条射线共享一个端点而形成的。
形象地说，我们可以将角看作钟表上的两个指针，一个指向12点，另一个指向任意时刻。
这两个指针之间的空间就构成了一个角。
我们用大写字母来表示角，如∠ABC。
二、平行线与角的关系1. 内角和同旁内角在平行线AB和CD之间，如果有一条横穿平行线的直线EF，那么在EF与AB、CD的交点上所形成的角都是内角。
例如∠BEF、∠BFC、∠CED、∠DEA。
同时，我们还可以观察到，∠BEF的补角是∠CED，∠BFC的补角是∠DEA。
这是由于平行线与横穿它们的直线构成了三组对应的内角和同旁内角。
2. 顶角、对顶角和同旁外角当两条平行线被一条横穿时，形成的两个对应的内角，就是顶角。
例如∠AED和∠CBE就是顶角。
在同一侧的两个顶角称为同旁外角，例如∠AED和∠DEB就是同旁外角。
观察我们可以发现，同旁外角相加的和等于180度。
对顶角是指在平行线交叉时，两条平行线的对应两对顶角，它们的度数之和等于180度。
例如∠AED和∠CBE以及∠DEB和∠BEC都是对顶角。
三、相关定理1. 平行线内的内角和定理：对于两条平行线AB和CD，如果一条直线与这两条平行线相交，那么所形成的内角和等于180度。
2. 平行线内的同旁外角性质：对于两条平行线AB和CD，如果一条直线与这两条平行线相交，那么同旁外角的度数之和等于180度。
3. 平行线与横穿的直线所形成的对应角相等：对于两条平行线AB 和CD，如果一条直线与这两条平行线相交，那么所形成的对应角是相等的。
初中数学七年级上册第五章平行线
第一节平行线的定义1.1 什么是平行线在初中数学七年级上册第五章中，平行线是一个核心概念。
平行线是指在同一个平面上，永远不会相交的两条直线。
这意味着这两条直线之间将永远保持固定的距离，无论它们有多长。
1.2 平行线的符号表示在数学中，我们通常使用符号“||”来表示平行线。
如果有两条线段AB和CD并且它们平行，我们可以表示为AB || CD。
第二节平行线的性质2.1 平行线的交错性质当一组平行线被一条横截线所交叉时，交叉的结果将产生一组相等的对应角。
这就是平行线的交错性质。
2.2 平行线的内错性质当一组平行线被一条横截线所交叉时，交叉的结果将产生一组内错角之和为180度的对应角。
这就是平行线的内错性质。
2.3 平行线的同位角性质当一组平行线被一条横截线所交叉时，交叉的结果将产生一组相等的同位角。
这就是平行线的同位角性质。
第三节平行线的判定定理3.1 两条直线和一条横截线如果两条直线被一条横截线所交叉，而交叉的结果产生一组相等的内错角或同位角，那么这两条直线是平行的。
3.2 一组同位角相等如果两条直线被一条横截线所交叉，而交叉的结果产生一组相等的同位角，那么这两条直线是平行的。
3.3 使用平行线判定定理我们可以使用这些平行线判定定理来判断是否两条直线是平行的。
这也是数学中实际问题中常见的一种解题方法。
第四节平行线的应用4.1 在几何形状中的应用在几何形状中，平行线的性质和判定定理经常被应用来解决角度或边长的问题。
4.2 在实际生活中的应用在建筑、工程、地理等领域，平行线的概念也具有重要的应用价值，例如在设计房屋、修建道路、绘制地图等方面。
结语初中数学七年级上册第五章的平行线的概念、性质、判定定理及应用是数学学习中的重要内容，它对学生在几何学和实际问题求解中具有重要意义。
通过深入理解和学习，同学们能够灵活运用平行线的知识解决各种数学问题和实际问题。
希望同学们能够在学习中对平行线有更深入的理解，并能够灵活运用到实际生活中。
平行线-华东师大版七年级数学上册教案
平行线-华东师大版七年级数学上册教案一、教学目标1.理解什么是平行线。
2.掌握判断线段是否平行的方法。
3.运用平行线的性质解决实际问题。
二、教学重点1.判断线段是否平行。
2.平行线的性质。
三、教学难点1.运用平行线的性质解决实际问题。
2.判断线段是否平行的方法。
四、教学过程1. 导入教师利用物理实验或生活场景，引导学生发现并理解平行线的概念，并与垂直线做对比，加深学生的记忆和理解。
2. 呈现通过幻灯片展示平行线的特点和性质，引导学生进一步理解平行线的概念和几何性质。
3. 讲解根据教材内容，讲解判断线段是否平行的方法，并进行示范和演练。
同时，讲解平行线的性质并指导学生运用几何公设进行推导和证明。
4. 练习让学生自己判定线段是否平行，并进行验证。
同时，给学生练习平行线的性质运用，让学生掌握平行线的应用技巧。
5. 总结学生对平行线的性质和应用进行总结，理清思路，并巩固所学知识。
五、教学评价1.通过学生的自主探究和实践练习，检查学生对平行线的概念、判断方法和应用技巧的掌握情况。
2.通过课堂讨论和练习，检查学生对平行线的理解与逻辑推理能力。
六、教学拓展1.拓展平行线的应用场景，让学生认识到平行线的普适性和应用性。
2.引导学生进行多样的几何实践，培养学生的空间想象和几何直觉。
七、教学反思本堂课通过实际场景和生动的解说，让学生更易理解和掌握平行线的概念和性质。
但在训练学生理解与应用能力方面，还需要更多的练习和辅导，增强学生的自信心和实操能力。
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第一章平行线目录1.1 同位角内错角同旁内角 (2)1.2 平行线的判定（1） (6)1.2 平行线的判定（2） (8)1.3 平行线的性质（2） (10)1.4 平行线之间的距离 (13)1.1 同位角 内错角 同旁内角〖教学目标〗◆1、了解同位角、内错角、同旁内角的意义。
◆2、会在简单的图形中辨认同位角、内错角、同旁内角。
◆3、会在给定某个条件下进行有关同位角、内错角、同旁内角的判定和计算。
〖教学重点与难点〗◆教学重点：同位角、内错角、同旁内角的概念。
◆教学难点：各对关系角的辨认，复杂图形的辨认是本节教学的难点。
〖教学过程〗一. 引入：中国最早的风筝据说是由古代哲学家墨翟制作的，风筝的骨架构成了多种关系的角。
a1a2a387654321这就是我们这节课要讨论的问题：两条直线和第三条直线相交的关系。
二．让我们接受新的挑战：------讨论：两条直线和第三条直线相交的关系 如图：两条直线a1 , a2和第三条直线a3相交。
（或者说：直线 a1 , a2 被直线 a3 所截。
））a1a2a387654321其中直线 a1 与直线 a3 相交构成四个角，直线 a2 与直线 a3 相交构成四个角。
所以这个问题我们经常就叫它“三线八角”问题。
三.让我们来了解 “三线八角”：如图：直线 a1 , a2 被直线 a3 所截，构成了八个角。
a1a2a387654321a1a2a3876543211. 观察∠1与∠5的位置：它们都在第三条直线a3 的同旁，并且分别位于直线a1 , a2 的相同一侧，这样的一对角叫做“同位角”。
类似位置关系的角在图中还有吗？如果有，请找出来？答：有。
∠2与∠6；∠4与∠8；∠3与∠72. 观察∠3与∠5的位置：它们都在第三条直线a3 的异侧，并且都位于两条直线a1 , a2 之间，这样的一对角叫做“内错角”。
类似位置关系的角在图中还有吗？如果有，请找出来？答：有。
∠2与∠83. 观察∠2与∠5的位置：它们都在第三条直线a3 的同旁，并且都位于两条直线a1 , a2 之间，这样的一对角叫做“同旁内角”。
答：有。
∠3与∠8四. 知识整理（反思）：问题1.你觉得应该按怎样的步骤在“三线八角”中确定关系角？确定前提（三线）寻找构成的角（八角）确定构成角中的关系角问题2：在下面同位角、内错角、同旁内角中任选一对，请你看看这对角的四条边与“前提”中的“三线”有什么关系？结论：两个角的在同一直线上的边所在直线就是前提中的第三线。
五.试试你的身手：例1：如图：请指出图中的同旁内角。
（提示：请仔细读题、认真看图。
）87654321AB CDE答：∠1与∠5；∠4与∠6；∠1与∠A；∠5与∠A合作学习：请找出以上各对关系角成立时的其余各对关系角。
1. 其中：∠1与∠5 ；∠4与∠6是直线和直线被直线所截得到的同旁内角。
此时三线构成了个角。
此时，同位角有：，内错角有：。
2.其中：∠1与∠A是直线和直线被直线所截得到的同旁内角。
此时三线构成了个角。
此时，同位角有：，内错角有：。
3.其中： ∠5与∠A 是直线 和直线 被直线 所截得到的同旁内角。
此时三线构成了 个角。
此时，同位角有： ，内错角有： 。
六.让我们自己来试一试 ：（练习）1.看图填空：4321ABCF E D（1）若ED ，BC 被AB 所截，则∠1与 是同位角。
（2）若ED ，BC 被AF 所截，则∠3与 是内错角。
（3）∠1 与∠3是AB 和AF 被 所截构成的 角。
（4）∠2与∠4是 和 被BC 所截构成的 角。
2. 如图：直线AB 、CD 被直线 AC 所截，所产生的内错角是 。
如图：直线AD 、BC 被直线 DC 所截，产生了 角，它们是 。
4321A DBC七.让我们步步登高：例2：如图：直线DE 交∠ABC 的边BA 于F 。
如果内错角∠1与∠2相等，那么与∠1相等的角还有吗？与∠1互补的角有吗？如果有，请写出来，并说明你的理由。
54321ABCDE八.回顾这节课，你觉得下面的内容掌握了吗？或者说你注意到了吗？ 1. 如何确定“三线”构成的“八角”。
（注意“一个前提”） 2. 如何根据“关系角”确定“三线”。
（注意找“前提”）3. 要注意数学中的“分类思想”应用，养成良好的思维习惯。
4. 你有没有养成解题后“反思”的习惯。
九.课后练习：（家庭作业）1.复习本节课的内容。
2.完成本节课后的习题。
3.预习下节课的知识。
1.2 平行线的判定（1）〖教学目标〗◆1、理解平行线的判定方法1：同位角相等，两直线平行；◆2、学会用“同位角相等，两直线平行”进行简单的几何推理； ◆3、体会用实验的方法得出几何性质（规律）的重要性与合理性. 〖教学重点与难点〗◆教学重点：是“同位角相等，两直线平行”的判定方法． ◆教学难点：是例1的推理过程的正确表达. 〖教学过程〗1． 合作动手实验引入复习画两条平行线的方法：提问：（1）怎样用语言叙述上面的图形？（直线l 1，l 2被AB 所截） （2）画图过程中，什么角始终保持相等？ （同位角相等，即∠1＝∠2） （3）直线l 1，l 2位置关系如何？ （ l 1∥l 2） （4）可以叙述为：∵∠1＝∠2∴l 1∥l 2 （ ？ ）2． 平行线的判定方法1：由上面，同学们你能发现判定两直线平行的方法吗？语言叙述：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两 条直线平行。
简单地说：同位角相等，两直线平行。
oo ABL 1L 2（图形的平移变换）抽象成几何图形AB21L 1L 2几何叙述：∵∠1＝∠2∴l 1∥l 2 （同位角相等，两直线平行） 3． 课堂练习：4.画图练习：P6 课内练习1、3 P6 作业题1 5． 例1 P6已知直线l 1，l 2被l 3所截，如图，∠1＝45°， ∠2＝135°，试判断l 1与l 2是否平行.并说明理由.解：l 1 ∥ l 2 理由如下：∵ ∠2＋∠3＝180°，∠2＝135° ∴∠3＝180°－∠2＝180°－135°＝45° ∵∠1＝45°∴∠1＝∠3∴l 1∥l 2（同位角相等，两直线平行）思路：（1）判定平行线方法.（2）图中有无同位角（注∠3位置）l 3l 1l 2123a bc12若∠1＝∠2则b c12acb若a⊥b,b⊥c则a cABCD123若∠ ∠ 则AD∥BCA BCD123若∠1＝∠2 则 ∥ 若 = 则AB ∥DC（3）能说明∠3＝∠1吗？ （4）结论.（5）∠3还可以是其它位置吗？你能说明l 1∥l 2吗？6．练习：P7 作业题3作业题2 作业题4对于2、4你有不同的方法吗？7．小结与反思：（1） 你学到了什么？（2） 你认为还有什么不懂的？（3） 你有什么经验与收获让同学们共享呢？ 8．布置作业. 见作业本1.2 平行线的判定（2）〖教学目标〗◆1、使学生掌握平行线的第二、三个判定方法．◆2、能运用所学过的平行线的判定方法，进行简单的推理和计算． ◆3、使学生初步理解；“从特殊到一般，又从一般到特殊”是认识客观事物的基本方法． 〖教学重点与难点〗◆教学重点：本节教学的重点是第二、三个判定方法的发现、说理和应用． ◆教学难点：问题的思考和推理过程是难点． 〖教学过程〗一、从学生原有认知结构提出问题如图，问21l l 与平行的条件是什么?在学生回答的基础上再问：三线八角分为三类角， 当同位角相等时，两直线平行，那么内错角或同旁内角具有什么关系时，也能判定两直线平行呢?这就是我们今天要学习的问题．(板书课题)学生会跃跃欲试，动脑思考．教师引导学生：将内错角或同旁内角设法转化为利用同位角相等． 二、运用特殊和一般的关系，发现新的判定方法 1．通过合作学习，提出猜想．1l2l12 3①若图中，直线AB 与CD 被直线EF 所截，若∠3=∠4，则AB 与CD 平行吗？你可以从以下几个方面考虑：⑴我们已经有怎样的判定两直线平行的方法？ ⑵有∠3=∠4，能得出有一对同位角相等吗？由此你又获得怎样的判定平行线的方法？ 要求学生板书说理过程，在此基础上．将“猜想”更改成判定方法二：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，则两条直线平行．教师并强调几何语言的表述方法∵∠3=∠4 ∴AB ∥CD （内错角相等，两条直线平行）然后，完成“做一做” ∠1=121°， ∠2＝120°，∠3＝120°。
说出其中的平行线，并说明理由。
②若图中，直线AB 与CD 被直线EF 所截，若∠2+∠4=180°，则AB 与CD 平行吗？你可以由类似的方法得到正确的结论吗？ 由此你又获得怎样的判定平行线的方法？要求学生板书说理过程，在此基础上．将“猜想”更改成判定方法三： 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，则两条直线平行．教师并强调几何语言的表述方法 ∵∠2+∠4=180°∴AB ∥CD （同旁内角互补，两条直线平行） 当学生都得到正确的结论后，引导学生猜想：同旁内角互补，两条直线平行． 2．例题教学，体验新知例2．如图，∠C+∠A=∠AEC 。
判断AB 与CD 是否平行，并说明理由。
分析：延长CE ，交AB 于点F ，则直线CD ，AB 被直线CF 所截。
这样， 我们可以通过判断内错角∠C 和∠AFC 是否相等，来判定AB 与CD 是否平行。
板书解答过程。
提问：能否用不一样的方法来判定AB 与CD 是否平行？ 提示：连结AC 。
例3 如图∠A+∠B+∠C+∠D=360°，且∠A=∠C ，∠B=∠D ， 那么AB ∥CD ，AD ∥BC ．请说明理由。
E F 4 A B C D13 2 EF4 A B C D132 E F G A BC D 132H AC D BE AC D BEFDABC先让学生思考，以小组为单位进行讨论，然后派出代表发言，学生基本上都能想到，用同旁内角互补，两条直线平行的判定，但书写难度较大，教师要加以引导说理过程 三、应用举例，变式练习(讲与练结合方式进行教学)1、课内练习1、22、如图 ⑴∠1=∠A ，则GC ∥AB ，依据是； ⑵∠3=∠B ，则EF ∥AB ，依据是 ； ⑶∠2+∠A=180°，则DC ∥AB ，依据是 ；⑷∠1=∠4，则GC ∥EF ，依据是 ； ⑸∠C+∠B=180°，则GC ∥AB ，依据是 ； ⑹∠4=∠A ，则EF ∥AB ，依据是 ； 3、探究活动：有一条纸带如图所示，如果工具只有圆规， 怎样检验纸带的两条边沿是否平行？如果没有工具呢？ 请说出你的方法和依据。
提示：可尝试用折叠的方法，与你的同伴交流。