第九章 钢筋混凝土构件的变形和裂缝(1)
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第八章 钢筋混凝土构件的变形和 裂缝验算
Chapter 8 Crack and Deflection Control of Reinforced Concrete Members
主讲：季静
第一节 概述 (Introduction)
前面讲的都是属于承载能力极限状态问题，这 一章的内容主要是讲正常使用极限状态问题 它的破坏后果没有承载能力极限状态那么严 重，所以可靠度相对低一些： β≈1～2 （β≈3～4，承载力状态） 体现在材料强度、荷载的取值：标准值 材料强度标准值见附录2，P294
二、使用阶段梁的短期刚度Bs
Bs
Mk
Mk 1
r
－ 平均曲率；
－r与平均中和轴相应的平均曲率半径；
－M k为按荷载标准组合计算的弯矩值。
二、使用阶段梁的短期刚度Bs
梁处于第Ⅱ阶段——开裂阶段， 考虑这一阶段钢筋及受压区混凝土应变的特征。
1、截面应变特征
⑴ 受拉钢筋应变 sk
梁受拉区多处开裂，
接近裂缝的应变大，远
度有所降低。
2．第Ⅱ阶段：裂缝出现后到受拉区钢筋屈 服前
裂缝出现后，f增长加快，促使梁刚度下降，截面削 弱。
υ≤1 是一变量
变形模量随M增大，逐渐降低。
3．第Ⅲ阶段: 受拉钢筋屈服后，M增长很少，变形急剧发展，刚
度急剧降低，构件丧失了继续抵抗变形的能力。
一、钢筋混凝土受弯构件变形（弯曲刚度）的计算特点
一般梁可统一写成： 对于弹性均匀材料,当
f s Ml 2 EI
s,l, E一I定时，f与M成线性关系
一、钢筋混凝土受弯构件变形（弯曲刚度）的计算特点
钢筋混凝土梁是由两种材料组成的，是非 弹性、非匀质材料，所以EI计算不同，不是常 数，关键是EI的计算问题。
f s Ml 2 EI
一、钢筋混凝土受弯构件变形（弯曲刚度）的计算特点
缝宽度允许值做了规定
见附表4－2，P300-301（一般0.2～0.3mm）
计算：
lim
第二节 受弯构件的变形 验算（挠度计算）
一、钢筋混凝土受弯构件变形（弯曲刚度）的计算 特点
材料力学中我们学过了匀质弹性材料梁挠度计算 例 ：均布荷载下简支梁跨中挠度
f 5 ql 4 5 Ml 2 384 EI 48 EI
二、使用阶段梁的短期刚度Bs
⑵受压区边缘混凝土应变 c
分布不均匀：
裂缝处，中和轴上升,
最c 大；
Ms
Ms
裂缝之间，中和轴下降，
较c 小。
二、使用阶段梁的短期刚度Bs
1、截面应变特征
式中： cm c ck
－ c平m 均应变； － c裂k 缝截面处混凝土的应变；
－受c 压边缘混凝土应变的不均匀系数。
平均应变与裂缝截面处应力的关系
a) 受拉区钢筋：
裂缝截面处:
sk
sk
Es
b)
sm sk 受压区混凝土
sk
Es
②
考虑混凝土塑性变形，变形模量 EC/ EC
ck
ck
E
/ c
ck Ec
cm
cck
c ck EC
③
－混凝土的弹性特征系数：＜1，是一变量
二、使用阶段梁的短期刚度Bs
2、短期刚度Bs计算公式推导
考虑了截面上的几何关系 － ， 物理关系 － 及平
衡关系σ－M
（1）几何关系（曲率－应变关系） 纯弯段的平均应变符合平截面假定，由三角形 的 相似关系得出
平均曲率
1 ①cm sm
r
h0
式中：r为曲率半径，即为曲率的倒数。
二、使用阶段梁的短期刚度Bs
（2）物理关系（应力－应变关系）找出
一、钢筋混凝土受弯构件变形（弯曲刚度）的计算特点
下面从受弯构件在纯弯段正截面三个阶段的
M 曲线来考查刚度EI的变化情况。
1、第Ⅰ阶段：以裂缝出现而告终
弹性阶段: 由M直线转向微曲线
短期刚度
Bs 0.85Ec I0
式中：
－混Ec凝土的原点弹性模量；
－换I 0 算截面的惯性矩；
0.85－考虑到第 阶段a ，受拉混凝土塑性变形的发展，梁刚
变化cm幅度比 小得多sm。
二、使用阶段梁的短期刚度Bs
1、截面应变特征
（3）中和轴高度 xn也呈波浪形变化，裂缝截面处 最xn
小。
取 x—nm—截面受压区高度的平均值。
重要结论：无论应变怎么变化，截面平均应变 c与m
的sm连线大体为一直线。
说明截面的平均应变是符合平截面假定的。
二、使用阶段梁的短期刚度Bs
式（2，3）（物理）
Es As h0
1
c Ecbh03
式（4，5） （平衡）
c
对受拉钢筋重心取矩:
M k c h0 ck h0 b h0
ck
Mk
bh02
⑤
Mk
最后会用一个综合系数来表达
h0 h0 h0
ck
AS
Assk
从材料力学知道，曲率与刚度 的B关s 系
1 Mk
r
Bs
Leabharlann Baidu
Bs
Mk
式（M1k）h（0 几何）
cm sm
M k h0
sk
Es
c
ck Ec
Ms
Ms
离裂缝的应变小，呈波
浪形变化，不均匀。
二、使用阶段梁的短期刚度Bs
1、截面应变特征
其中： sm sk
－平sm均应变；
－裂sk缝截面处的钢筋应变，较大； －钢筋应变的不均匀系数；反映了裂缝间拉
区混凝土参与受力的程度。（混凝土参与受力越
多， 越小 ）混凝土全部退出工作 ＝1。
1、截面应变特征
本章内容：
受弯构件的挠度验算 受弯构件、轴心受拉构件和偏心构件（受压
受拉）的裂缝宽度验算
举例说明挠度大、裂缝宽度大影响结构 构件的使用性和耐久性能
第一节 概述
规范对受弯构件的允许挠度作了规定
见附表4－1，P300
计算： f flim
l0 ~ l0 200 300
规范对在不同的工作条件下的构件的最大裂
从以上三个阶段来看，钢筋混凝土梁的刚度不同 于材料力学的刚度，有以下特点：
① 刚度EI不是常数，随荷载的增大而降低； ② 在长期荷载作用下，EI会进一步降低。
故计算挠度时，必须根据构件在使用阶段所处的 应力应变状态，求出相应的刚度值。Bs,B
大多数受弯构件在第Ⅱ阶段（使用阶段）工作， 所以下面讨论第Ⅱ阶段的刚度计算值。
（3）平衡关系（内力－应力关系）
对于第Ⅱ阶段开裂截面建立平衡方程式： 假定：受压区用等效应力图代替，折算应力 ，ck
受压区高度 x ，内力h0臂为 。 h0
二、使用阶段梁的短期刚度Bs
对受压区应力合力取矩：
M k sk Ash0
sk
Mk
Ash0
④
c
Mk h0
ck
AS
h0 h0
Assk
二、使用阶段梁的短期刚度Bs
Chapter 8 Crack and Deflection Control of Reinforced Concrete Members
主讲：季静
第一节 概述 (Introduction)
前面讲的都是属于承载能力极限状态问题，这 一章的内容主要是讲正常使用极限状态问题 它的破坏后果没有承载能力极限状态那么严 重，所以可靠度相对低一些： β≈1～2 （β≈3～4，承载力状态） 体现在材料强度、荷载的取值：标准值 材料强度标准值见附录2，P294
二、使用阶段梁的短期刚度Bs
Bs
Mk
Mk 1
r
－ 平均曲率；
－r与平均中和轴相应的平均曲率半径；
－M k为按荷载标准组合计算的弯矩值。
二、使用阶段梁的短期刚度Bs
梁处于第Ⅱ阶段——开裂阶段， 考虑这一阶段钢筋及受压区混凝土应变的特征。
1、截面应变特征
⑴ 受拉钢筋应变 sk
梁受拉区多处开裂，
接近裂缝的应变大，远
度有所降低。
2．第Ⅱ阶段：裂缝出现后到受拉区钢筋屈 服前
裂缝出现后，f增长加快，促使梁刚度下降，截面削 弱。
υ≤1 是一变量
变形模量随M增大，逐渐降低。
3．第Ⅲ阶段: 受拉钢筋屈服后，M增长很少，变形急剧发展，刚
度急剧降低，构件丧失了继续抵抗变形的能力。
一、钢筋混凝土受弯构件变形（弯曲刚度）的计算特点
一般梁可统一写成： 对于弹性均匀材料,当
f s Ml 2 EI
s,l, E一I定时，f与M成线性关系
一、钢筋混凝土受弯构件变形（弯曲刚度）的计算特点
钢筋混凝土梁是由两种材料组成的，是非 弹性、非匀质材料，所以EI计算不同，不是常 数，关键是EI的计算问题。
f s Ml 2 EI
一、钢筋混凝土受弯构件变形（弯曲刚度）的计算特点
缝宽度允许值做了规定
见附表4－2，P300-301（一般0.2～0.3mm）
计算：
lim
第二节 受弯构件的变形 验算（挠度计算）
一、钢筋混凝土受弯构件变形（弯曲刚度）的计算 特点
材料力学中我们学过了匀质弹性材料梁挠度计算 例 ：均布荷载下简支梁跨中挠度
f 5 ql 4 5 Ml 2 384 EI 48 EI
二、使用阶段梁的短期刚度Bs
⑵受压区边缘混凝土应变 c
分布不均匀：
裂缝处，中和轴上升,
最c 大；
Ms
Ms
裂缝之间，中和轴下降，
较c 小。
二、使用阶段梁的短期刚度Bs
1、截面应变特征
式中： cm c ck
－ c平m 均应变； － c裂k 缝截面处混凝土的应变；
－受c 压边缘混凝土应变的不均匀系数。
平均应变与裂缝截面处应力的关系
a) 受拉区钢筋：
裂缝截面处:
sk
sk
Es
b)
sm sk 受压区混凝土
sk
Es
②
考虑混凝土塑性变形，变形模量 EC/ EC
ck
ck
E
/ c
ck Ec
cm
cck
c ck EC
③
－混凝土的弹性特征系数：＜1，是一变量
二、使用阶段梁的短期刚度Bs
2、短期刚度Bs计算公式推导
考虑了截面上的几何关系 － ， 物理关系 － 及平
衡关系σ－M
（1）几何关系（曲率－应变关系） 纯弯段的平均应变符合平截面假定，由三角形 的 相似关系得出
平均曲率
1 ①cm sm
r
h0
式中：r为曲率半径，即为曲率的倒数。
二、使用阶段梁的短期刚度Bs
（2）物理关系（应力－应变关系）找出
一、钢筋混凝土受弯构件变形（弯曲刚度）的计算特点
下面从受弯构件在纯弯段正截面三个阶段的
M 曲线来考查刚度EI的变化情况。
1、第Ⅰ阶段：以裂缝出现而告终
弹性阶段: 由M直线转向微曲线
短期刚度
Bs 0.85Ec I0
式中：
－混Ec凝土的原点弹性模量；
－换I 0 算截面的惯性矩；
0.85－考虑到第 阶段a ，受拉混凝土塑性变形的发展，梁刚
变化cm幅度比 小得多sm。
二、使用阶段梁的短期刚度Bs
1、截面应变特征
（3）中和轴高度 xn也呈波浪形变化，裂缝截面处 最xn
小。
取 x—nm—截面受压区高度的平均值。
重要结论：无论应变怎么变化，截面平均应变 c与m
的sm连线大体为一直线。
说明截面的平均应变是符合平截面假定的。
二、使用阶段梁的短期刚度Bs
式（2，3）（物理）
Es As h0
1
c Ecbh03
式（4，5） （平衡）
c
对受拉钢筋重心取矩:
M k c h0 ck h0 b h0
ck
Mk
bh02
⑤
Mk
最后会用一个综合系数来表达
h0 h0 h0
ck
AS
Assk
从材料力学知道，曲率与刚度 的B关s 系
1 Mk
r
Bs
Leabharlann Baidu
Bs
Mk
式（M1k）h（0 几何）
cm sm
M k h0
sk
Es
c
ck Ec
Ms
Ms
离裂缝的应变小，呈波
浪形变化，不均匀。
二、使用阶段梁的短期刚度Bs
1、截面应变特征
其中： sm sk
－平sm均应变；
－裂sk缝截面处的钢筋应变，较大； －钢筋应变的不均匀系数；反映了裂缝间拉
区混凝土参与受力的程度。（混凝土参与受力越
多， 越小 ）混凝土全部退出工作 ＝1。
1、截面应变特征
本章内容：
受弯构件的挠度验算 受弯构件、轴心受拉构件和偏心构件（受压
受拉）的裂缝宽度验算
举例说明挠度大、裂缝宽度大影响结构 构件的使用性和耐久性能
第一节 概述
规范对受弯构件的允许挠度作了规定
见附表4－1，P300
计算： f flim
l0 ~ l0 200 300
规范对在不同的工作条件下的构件的最大裂
从以上三个阶段来看，钢筋混凝土梁的刚度不同 于材料力学的刚度，有以下特点：
① 刚度EI不是常数，随荷载的增大而降低； ② 在长期荷载作用下，EI会进一步降低。
故计算挠度时，必须根据构件在使用阶段所处的 应力应变状态，求出相应的刚度值。Bs,B
大多数受弯构件在第Ⅱ阶段（使用阶段）工作， 所以下面讨论第Ⅱ阶段的刚度计算值。
（3）平衡关系（内力－应力关系）
对于第Ⅱ阶段开裂截面建立平衡方程式： 假定：受压区用等效应力图代替，折算应力 ，ck
受压区高度 x ，内力h0臂为 。 h0
二、使用阶段梁的短期刚度Bs
对受压区应力合力取矩：
M k sk Ash0
sk
Mk
Ash0
④
c
Mk h0
ck
AS
h0 h0
Assk
二、使用阶段梁的短期刚度Bs