线性代数及其应用第5节线性方程组的解

x1
c1,r1
c1n
d1
xr
xr1
k1
cr,r1
1
knr
crn
0
dr
0
xn
0
1
0
可表示线性方程组的任一解，称之为线性方程组
的通解.
下面我们利用线性方程组有解的判别定理研究 线性方程组的解法．
由定理8的证明过程易得线性方程组的求解步 骤，现归纳如下：
Step1 对于非齐次线性方程组，把它的增广 矩阵 B 化成行阶梯形矩阵，从中可同时看出 R(A) 和R(B) . 若 R(A) < R(B) ，则方程组无解.
Step2 若 R(A) = R(B) ，则进一步把 B 化成行 最简形矩阵. 而对于齐次线性方程组，则把系数矩 阵 A化成行最简形矩阵.
0 1 2 2 6 3
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
b
a
2
例14 求下列齐次线性方程组的通解
x1 x2 x3 4x4 3x5 0,
2x1x1xx2 233xx3 352x4x45xx55
0, 0,
3x1 x2 5x3 6x4 7x5 0.
解
本若请本本若若请请本若请节想本单若请节节想想本单单若请节想本单若内请结节击想本单若内内请结结节击击想本单若内请结节击想本容单若束内请返结节击想本容容单若束束内请返返结节击想本容单若束内请返结节已击想本本容单若回束内请返结节已已击想本 本本容单若回 回束内请返结节已击想本本容单若回束内结请返结堂节已击想按本本容单若回束内结结请返结堂 堂节已击想按 按本本容单若回束内结请返结堂节已击想按本本容束单若回束课内结请返结钮堂节已击想按本本容束束单若回束课 课内结请返结钮 钮堂节已击想按本本容束单若回束课内结请返结本钮堂若节已击想按本,请本 本 本容束单若 若 若回束课.内结!请 请 请返结钮堂节已击想按本,,容束单回束课..内结!!返结钮堂节已击想按本,容束单回束节课.想内结!返结钮堂单节 节节已击想 想 想按本,容束单 单单回束课.内结!返结钮堂已击按本,容束回束课.内结!返结钮堂已击按本内,结容束回束课.击内 内内!结返结 结 结钮堂已击 击击按本,容束回束.课结!返钮堂已按本,容束回束课.结!返钮堂容束已按本,返容容 容束回束 束 束课.结!返返 返钮堂已按本,束回课.结!钮堂已按本,束回课.已本结!钮堂回已 已已按本本本,束回 回回课.结!钮堂按,束课.结!钮堂按,结堂束课.按结结结!钮堂堂堂按按按,束课.!钮,束课.!钮束课,钮束束束课课课.!钮钮钮,.!,.,!.,,,!...!!!
零，则
1 0
0 1
0 0
b 11 b 21
b1,n r b 2,n r
d 1 d2
B
(A
,
b
)
初等行变换
0 0
0 0
1 0
b r1 0
b r ,n r 0
dr d r 1
C
0 0 0 0
0
0
0 0 0 0
0
0
由定理8容易得出线性方程组理论中的两个基本 定理，这就是
有解的充要条件为
R(A) = R(B). 当R(A) = R(B) = n 时，方程组（1）有唯一解； 当R(A) = R(B) < n 时，方程组（1）有无穷多个
解；
当R(A) R(B)时，方程组（1）有无解．
证 明 设 R(A) = r 则 ， A 中 必 有 一 个 不 等 于 零 的
r 阶 子 式 ，不 妨 假 设 A 的 左 上 角 的 r 阶 子 式 不 等 于
3x5 6x5
a, 3,
5x1 4x2 3x3 3x4 x5 b.
（1）无解；（2）有无穷多个解，并求出方程
组的通解．
解 写出其增广矩阵并进行初等行变换，化为行
阶B
(
A,
b)
3 0 5
2 1 4
1 2 3
1 2 3
3 6 1
a
3 b
初等行变换
1 1 1 1 1 1
三、举例
例12 求解线性方程组
x1 2x2 3x3 x4 x5 7,
x1 x2 x3 x4 2x5 2,
2x1 x2 x3
2x5 7,
2x1 2x2 5x3 x4 x5 18.
解
例13 确定 a，b 的值，使方程组
x1 x2 x3 x4 x5 1,
3x1
2x2 x3 x4 x2 2x3 2x4
Step3 设 R(A) = R(B) = r ，把行最简形矩阵中 r 个非零行的非零首元所对应的未知量取作非自由未 知量，其余 n – r 个未知量取作自由未知量，并令自 由未知量分别等于 c1 , c2 , … , cn – r ，由 B ( 或 A ) 的行最简形矩阵，即可写出含 n – r 个参数的通解.
定理9 线性方程组 Ax = b 有解的充分必要条
件是 R(A) = R(B) ．
定理10 n 元齐次线性方程组 Ax = 0 有非零解
的充分必要条件是 R(A) < n ．
二、线性方程组的求解步骤
对于线性方程组 Ax = b 当 R(A) = R(B) < n 时,
由于含 n – r 个参数的解
第 5 节 线性方程组的解
有解的条件
方程组的求解步骤
举例
定理８（线性方程组有解的判别定理）
线性方程组
a 11 x1 a 12 x 2 a 1 n x n b1 ,
a
21
x1
a 22 x 2 a 2 n x n
b2 ,
（ 1）
a m 1 x1 a m 2 x 2 a mn x n b m .