概率论第四讲

§4 随机变量函数的分布和数学期望，随机变量的各阶矩 如果随机变量表示某种商品的价格的变化律，那么，可以把价格视为。 问题：若，则的分布是什么？ ，所以， 。 一般问题，如果是随机变量，是实可测函数，且定义域包含了随机变量 的值域。那么自然能定义随机变量，如何计算其分布函数。
思考方法与前面的例子完全类似： 。 在特殊情况下，可以得到一些更具体的结果。 如果是严格单调增加或下降的函数，且具有密度函数，则 ，或 ， 而密度函数。 但上面函数单调性要求很高，不一定能满足，所以掌握其思考方法更重 要。 以例子来说明如何用该思考方法解决具体问题。 例 ，，计算和。 ， 所以 。 称分布。 离散时，易计算。这里不赘述了。 如何计算随机变量函数的数学期望？ 从概率空间出发理解就很容易：，因为概率空间并没有变化。 如果把两种定义方式理解为由概率空间上的测度在随机变量变换下变换 为分布所诱导的测度，那么就有下面的结论。 从分布函数出发：，不需要再回到的分布函数来计算。 对离散型随机变量， ； 对连续型随机变量， 。 现在可以定义各阶中心矩和原点矩了，此时，假设所有的积分都有意 义，如果有积分不存在，就称相应的矩不存在。 定义 阶原点矩：； 阶中心矩：。 这里，。 特别，时，称为方差，并记为或。 对前面常见的一些分布，其中的一些参数都可以由数字特征描述。 例 ，则，。 §5 二维随机变量 二维随机变量与高维随机变量在处理方法上类似，这里考虑二维随机变
，成功取1，失败取0。 可以把这种试验独立进行，就得到随机变量序列。 首次成功时刻：如果试验成功即停止试验，需要进行的试验次数。 即。 如果试验进行次，，即试验中总的成功次数。 思考题 上面这两个随机变量都有相应的概率空间。分别确定相应的概 率空间。 提示 第一个概率空间 ，； 第二个概率空间 ，。
第2章 随机变量及其分布
§1 随机变量 定义1 （随机变量）设是一个概率空间，称可测函数为该空间上的一个随机变量。 例1 在箱中编号为1到20的球中不放回随机取出3个球。那么球的最大号码
是一个随机变量，其值域空间为。并且，给定值域空间中的一点，其原像对应于一个随机事 件。例如，，对应于事件，，以及其所有可能的轮换。因此，可以认为本身是样本空间上的一 个随机事件。以后我们经常需要讨论的是类似事件的概率。
例2 考虑等候公共汽车的时间，显然。 这里必须强调，对任意的，。
定义2 （分布函数）设是概率空间上的一个随机变量。对任意，称函数为分布函数。 分布函数满足如下性质
（1）是非降右连续函数；（2），。
§2 离散型随机变量及其分布律 1． 离散型随机变量
离散型随机变量是一个比较特殊的情形。 定义1（离散型随机变量）如果随机变量的值域空间是一个由有限或可列个值构成的集合， 就称之为离散型随机变量。 例 伯努利试验；泊松分布等。 2． 离散随机变量的分布律 对离散随机变量，由于其值域空间是离散的，因此其分布函数是一个阶梯函数，我们也可用 另一种等价方式来刻画。 定义2 （分布律）设随机变量的值域本空间为，那么称为其分布律。 显然分布律和分布函数是相互唯一确定的。 分布律显然满足。 3. 常见的离散随机变量 （1）分布 如果，且其分布律为，，其中。 例1 抛掷硬币，出现反面时令，正面时，则其服从分布。 （2）几何分布 连续不断抛掷硬币，令是首次出现正面时已抛掷的次数。那么，其值域空间为，而分布 律。 （3）二项分布 连续抛掷硬币（可以解释为伯努利试验）次。成功的次数记为，那么其值域空间为，而其 分布律。 （4）泊松分布 设分布律为的随机变量。 例2 如果内，某事件的发生次数。那么下面的假设是合理的： （1）在时间内，发生一次事件的概率为； （2）发生两次或两次以上事件的概率为； （3）事件发生具有独立性。 下面证明此时。 把等份，，。 那么，在假定发生事件的总数是时，其中是每个区间至多只发生一次事件的事件组成，是 至少有一个区间事件发生的次数有两次或两次以上的事件组成。那么 。
§3 随机变量的数字特征：数学期望 对随机变量，取不同值的可能性是不同的。那么计算其平均值就具有很 大意义。
例 掷一粒骰子的平均点数。定义随机变量，则 从概率空间出发来计算：； 从分布来计算：。 表达的直观意义是一样的。 如果定义随机变量如下：，，那么平均值是多少？ 从概率空间出发来计算： ； 从分布（律）出发来计算：
例2 考虑事件首次发生需等候的时间的分布。显然，。因此，，即。 因此，等候时间的分布是指数分布。指数分布具有无记忆的特性：
。 即。 反之，具有无记忆性的分布一定是指数分布。 （3）正态分布
密度函数为的连续随机变量。 易证，这确实是一个密度函数（积分为1）。 正态分布满足的性质： （1）对称性：关于对称； （2）在达到最大值； （3）基本图形。
，。
所以， 。
如果记，，则，即二项分布可用Poisson分布近似计算。 注 如果讨论在一般时间区间内的Poisson分布，只要把参数变为即可。 2. 连续型随机变量
如果随机的分布函数是一个连续函数，且存在非负函数，使 ，
就称是一个连续型随机变量，而称为该随机变量分布的（概率）密度函 数。 注 连续随机变量（分布函数连续）不一定是连续型随机变量，可以找 到这样的例子：连续单调增加，但不存在密度函数。这是一种奇异的情 况，这里不加讨论。 密度函数有如下性质： （1）， （2）； （3）如过在连续，那么。 注 密度函数的概率意义：表示随机变量在处取值的可能性，但不是概 率，连续型随机变量在任意一个确定点取值的概率，这是区别概率为零 与不可能事件不同的一个例子。
， 其中，，，且，。 由微分变量变换结果得，
， 即
。 特别，时，。所以
。 令，则得到函数方程：。
特别，时，。这样的函数显然是偶函数，所以，只要考虑。 满足该方程的解：，（注意幂必须是负的，以保证函数的可积性）。所以，无妨设，利用，所 以， 。
正态分布满足的性质： （1）对称性：关于对称； （2）在达到最大值； （3）基本图形。 标准正态分布，分布函数记为。 有。
。
一般定义 定义（数学期望）设是概率空间上定义的一个随机变量，分布函数为， 如果，或，则称 为数学期望。 如果是离散型随机变量，则； 如果是连续型随机变量，则。 注 定义中的绝对可积条件是必须的。例如，以离散随机变量为例 ， 则 ，但该和取决于分布律中随机变量取值的排列顺序。因此，这里计 算的平均值没有意义。 容易计算常见离散和连续型随机变量的均值。 例如： ，则。 ，则。 ，则。 ，则。 ，则。 ，则。
。
因此，，即。 （3）正态分布
密度函数为的连续随机变量。 思考题 证明这确实是一个密度函数（积分为1）。 概率模型：恒星在空间的分布，近似视为分布在平面上，以平均位置作 为原点，建立坐标系。 如果用直角坐标系考虑：恒星与平均位置的偏差可用两个随机变量表 示。假设这两个坐标之间是没有联系的，即由它们刻划的随机事件是独 立的，且具有相同的概率密度函数。那么在处发现一颗恒星的可能性。 如果用极坐标表示：，，那么假设概率密度函数关于是等可能的，即关 于服从均匀分布的，或表示为处发现一颗恒星的概率密度函数为。 对同一点，直角坐标与极坐标表示同一事件，因此其可能性是相同的：
离散型随机变量的值域空间的元素个数一定是有限或可列的。
事实上离散型随机变量的分布函数是由Байду номын сангаас跃点和相应的跳跃高度唯一确 定的，把后者称为分布律。 分布律
此处，。 分布律性质：，。 常见的离散随机变量 （1）分布 称具有如下分布律的随机变量服从分布，
其中，。 概率模型：抛掷硬币（可能非均匀），出现反面时令，正面时，则其服 从分布。 （2）几何分布
一些记号。由，或其它关系确定的是一些随机事件： ， 一般都把随机变量的自变量表示为隐含的变量。
例 在箱中编号为1到20的球中不放回随机取出3个球。那么球的最大号 码是一个随机变量，其值域空间为。并且，给定值域空间中的一点，其 原像对应于一个随机事件。例如，，对应于事件，，以及其所有可能的 轮换。因此，可以认为本身是样本空间上的一个随机事件。以后我们经 常需要讨论的是类似事件的概率。 例 考虑等候公共汽车的时间，显然。
这里必须强调，对任意的，，这是随机变量为可测函数的结果。 思考题 证明一个随机变量确定了一个事件域：
。 而随机变量考虑的概率空间为，而概率函数可由下面的分布函数确定。 定义（分布函数） 设是概率空间上的一个随机变量。对任意，称函数 为分布函数。 由分布函数可确定事件的概率：。 由此，就确定了。 思考题 分布函数是否能确定一般事件的概率，其中？ 例 掷骰子，硬币，均匀分布的分布函数。
分布函数满足如下性质 （1）是非降右连续函数；（2），。 注：分布函数确定了所有由随机变量确定的随机事件的概率。
高维随机变量在定义和分布函数的定义上并无实质性的困难，以二维为 例，对概率空间上的基本事件，定义一个二元函数可测函数： 就给定了一个二维随机变量。 二维随机变量也可以定义联合分布函数：
。 同样，联合分布函数确定了由该两个随机变量确定的所有事件的概率。 思考题 证明一个单调增加函数，且，，即已知联合分布，则就确定了 每个随机变量的分布函数。但反之不然，举例说明不一定成立。如果等 式成立，就称这两个随机变量是独立的。
常见连续型随机变量 （1）均匀分布 如果，且，；，。 概率模型：在区间内没一点取值的可能性相同的随机变量。 （2）指数分布 概率模型：具有无记忆性的寿命分布。 例 指数分布具有无记忆的特性：
。 即。 反之，具有无记忆性的分布一定是指数分布：满足方程的连续函数一定 具有形式：。 指数分布与Poisson分布有密切联系。记为时间内事件发生的次数。 考虑事件首次发生需等候的时间的分布。显然，
§2 离散型和连续型随机变量 根据分布函数的类型可对随机变量分类。这里讨论两个极端的情形： 离散型和连续型随机变量。 如果是纯跳跃函数，就称随机变量为离散型随机变量。如果连续，且存 在密度函数使，则称随机变量是连续型随机变量。 本课程只限于讨论这两类随机变量或它们的混合。 注 分布函数连续并不能推得一定存在密度函数，即随机变量是连续型 的。 1. 离散型随机变量