初中几何反证法专题(编辑)

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反证法几何练习题初二

反证法几何练习题初二反证法是一种重要的数学证明方法，在几何学中也有广泛应用。

初二学生在学习几何知识的过程中，掌握和运用反证法可以帮助他们更好地理解几何概念和定理。

本文将介绍一些适合初二学生的反证法几何练习题，并解答它们。

1. 问题：证明如果一个三角形的三个内角之和不是180度，那么这个三角形一定不是一个普通的三角形。

解答：假设存在一个三角形ABC，其三个内角之和不是180度。

我们要证明这个三角形不是一个普通的三角形。

首先，假设这个三角形是普通的三角形。

根据三角形内角和定理，三角形的三个内角之和必定是180度。

而现在我们的假设是三角形ABC的三个内角之和不是180度，所以我们的假设与事实相矛盾。

因此，我们可以得出结论：如果一个三角形的三个内角之和不是180度，则这个三角形不是个普通的三角形。

2. 问题：证明在任何直角三角形中，斜边的长度一定大于任意一条直角边的长度。

解答：假设存在一个直角三角形ABC，其斜边的长度不大于任意一条直角边的长度。

我们要证明这个假设是错误的。

首先，假设斜边AC的长度不大于直角边AB的长度。

根据勾股定理，斜边AC的长度的平方等于直角边AB的长度的平方加上直角边BC的长度的平方，即AC² = AB² + BC²。

由于斜边AC的长度不大于直角边AB的长度，所以AC²不大于AB²。

另一方面，根据直角边BC的长度不为0，我们可以得知BC²大于0。

因此，根据AC² = AB² + BC²，我们可以得出结论AC²小于AB²，这与我们的假设相矛盾。

因此，我们可以得出结论：在任何直角三角形中，斜边的长度一定大于任意一条直角边的长度。

通过以上两个例子，我们可以看到反证法在几何证明中的重要性和应用。

初二学生可以通过解决这些反证法几何练习题，提高他们的逻辑思维和数学证明能力。

希望本文可以对初二学生在几何学习中应用反证法有所帮助。

数学反证法经典例题

数学反证法经典例题一、题目：假设“所有整数都是偶数”成立，则下列结论正确的是？A. 1是奇数B. 2是奇数C. 3是偶数D. 存在奇数（答案）C（注：在假设下，所有整数包括奇数也应被视为偶数，但此假设本身是错误的，此题考察反证法思维）二、题目：若声称“所有质数都是大于2的偶数”，则根据这一错误假设，下列哪个数不应被视为质数？A. 2B. 3C. 5D. 7（答案）B（注：在假设下，只有大于2的偶数被视为质数，但实际上3是质数且为奇数，此题同样考察反证法及质数定义）三、题目：假设“所有三角形的内角和不等于180度”，则以下哪个三角形的内角和在此假设下不可能成立？A. 等边三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 任意三角形（答案）D（注：根据几何学基本定理，任意三角形的内角和总是180度，此假设错误，用于考察反证法）四、题目：若有人认为“所有正整数的倒数都小于1”，则下列哪个数的倒数不符合这一错误假设？A. 1B. 2C. 3D. 4（答案）A（注：1的倒数是1，不小于1，此题考察反证法及对倒数概念的理解）五、题目：假设“所有平行线都会相交”，则根据这一错误假设，在平面几何中不可能存在的是？A. 两条平行线B. 两条相交线C. 一条直线和一个点D. 一个三角形（答案）A（注：平行线定义为不相交的直线，此假设与平行线定义相悖，考察反证法及平行线概念）六、题目：若声称“所有实数的平方都是正数”，则下列哪个数的平方不符合这一错误假设？A. 1B. -1C. 0.5D. -0.5（答案）B和D（注：负数和0的平方不是正数，但此题为单选题形式，更严谨的答案是指出存在多个不符合，若必须单选，可选B或D中的任意一个作为代表，此题考察反证法及实数平方性质）七、题目：假设“所有自然数的因数都只有1和它本身”，则根据这一错误假设，下列哪个数不符合这一条件？A. 1B. 2C. 3D. 4（答案）D（注：4除了1和4本身外，还有2作为因数，此假设实际上描述了质数的性质，但4不是质数，考察反证法及质数定义）八、题目：若有人认为“所有圆的周长与其直径的比值都不等于π”，则以下哪个圆的性质在此假设下不成立？A. 圆是闭合曲线B. 圆的对称性C. 圆的面积公式D. 圆的周长与直径之比是常数（答案）D（注：根据圆的定义，其周长与直径之比是π，此假设错误，考察反证法及对圆的基本性质的理解）。

第六章反证法在立体几何中的应用

第六章反证法在立体几何中的应用在立体几何中哪些命题适合应用反证法，我们进行了一些归纳，下面以实例来说明。

一、证明诸直线共面例题：求证：过一点和一条直线垂直的所有直线都在同一平面内。

已知：一点P 与一条直线l ，且a 、b 、c.......n 都垂直于l.求证：a 、b 、c.......n 在同一平面内。

证明：⎩⎨⎧⊥⊥=⋂bl a l P b a , α确定的平面b a l ,⊥⇒；假设、确定的平面又面ααn a l n l a ,l ,pn ⊥⇒⎩⎨⎧⊥⊥⊄；这样过一点有两个平面与直线l 垂直，与有且只有一个矛盾，那么α⊂pn ，故命题得证。

二、证明诸点共面例题：已知空间四点A 、B 、C 、D 满足2π=∠=∠=∠=∠DAB CDA BCD ABC ,求证：A 、B 、C 、D 共面。

证明：抓住四个角都是直角这一特征，容易联想到勾股定理进行比较，从二推出矛盾。

假设A 、B 、D α∈， C α∉，/C 是C 在α内的射影，连/C D,D C CD AD D C C C ADCD /// ⇒⊥⇒⊥⊥α ⑴同理B C CB / ⇒ ⑵D ABC D C B A ADAB AB B C AD D C ////,,,,,⇒∈⊥⊥⊥α且是矩形，所以22/2//2BD D C BC D BC =+⇒=∠π⑶已知2222BD CD BC BCD =+⇒=∠π⑷ 由⑴⑵有 2/2/22B C D C CB CD ++由⑶⑷有 2/2/22B C D C CB CD +=+ ⇒矛盾，则C 一定在α内，即A 、B 、C 、D 共面。

三、证明两条直线异面例题1：已知两个不同平面βα、相交于直线l ，经过直线l 上两点A 和B 分别在α内直线作AC ，β内作直线BD;求证：AC 、BD 是异面直线。

证明：假设 AC 、BD 共面，则 AC 、BD 所在平面βα点，即和过点，即和过A BC B AC 那么，βα、重合与已知矛盾；所以 AC 、BD 是异面直线。

初二数学反证法例题

1.下列哪个命题适合用反证法证明？A.两直线平行，同位角相等。

B.若a=b，则a2=b2。

C.三角形中至少有一个角不大于60°。

（答案）D.全等三角形的对应边相等。

2.使用反证法证明“√2是无理数”时，应先假设什么？A.√2是有理数。

（答案）B.√2是无理数。

C.√2是整数。

D.√2不是整数。

3.下列哪个步骤不是反证法的一般步骤？A.假设命题的结论不成立。

B.从假设出发，经过推理得出矛盾。

C.肯定假设正确，从而肯定原命题成立。

（答案）D.得出原命题成立的结论。

4.用反证法证明“三角形的内角和为180°”时，应假设什么？A.三角形的内角和不为180°。

（答案）B.三角形的内角和为180°。

C.三角形的外角和为360°。

D.三角形的内角和大于180°。

5.下列哪个命题不能用反证法证明？A.相邻的两个角不互补。

B.至少有一个角大于或等于60°的三角形存在。

（答案）C.两个连续整数的乘积不是完全平方数。

D.在三角形中，至少有一个角不大于60°。

6.使用反证法证明命题时，如果推出了与哪个条件矛盾，则说明假设错误？A.已知条件B.命题的结论C.已知条件、定义、定理或公理等（答案）D.假设的条件7.下列哪个选项不是反证法中的“归谬”步骤？A.导出与假设相矛盾的结论。

B.导出与已知条件相矛盾的结论。

（答案）C.导出与定义、定理或公理等相矛盾的结论。

D.导出与临时假设相矛盾的结论。

8.用反证法证明“正方形的对角线不相等”是错误的命题时，应先假设什么？A.正方形的对角线相等。

（答案）B.正方形的对角线不相等。

C.正方形的四条边相等。

D.正方形的对角线互相垂直。

9.下列哪个命题适合用反证法证明其不存在性？A.存在一个三角形，其内角和为181°。

（答案）B.所有三角形的内角和都为180°。

C.三角形的外角和为360°。

几何证明中的反证法与归纳法

几何证明中的反证法与归纳法在几何学中，证明是一种基本的思维方式。

为了证明一个几何问题的正确性，数学家们使用了许多不同的方法。

其中，反证法和归纳法是两种常见的证明方法，它们在几何证明中发挥着重要的作用。

本文将详细介绍几何证明中的反证法和归纳法，并探讨它们在解决几何问题中的应用。

一、反证法反证法是一种常用的证明方法，它通过假设问题的对立面，推导出矛盾的结论，以此证明原命题的正确性。

在几何证明中，反证法可以用来证明很多命题，特别是与平行线和垂直线相关的命题。

例如，我们要证明两条平行线之间的夹角等于180度。

首先，我们假设这两条线之间的夹角小于180度。

然后，通过推理和几何定理，我们可以得出两条平行线之间的夹角等于180度的矛盾结论。

因此，我们可以得出结论，两条平行线之间的夹角等于180度。

通过反证法可以简洁地证明一个命题的正确性，因为它只需假设一个假设，并通过推理得出矛盾的结论。

然而，反证法并不适用于所有的几何问题，有时候需要更加直接的证明方法，比如归纳法。

二、归纳法归纳法是一种证明数学命题的常用方法，它通过从特殊情况出发，逐步推广至一般情况，以此证明一个命题的正确性。

在几何证明中，归纳法常常用于证明关于面积、周长和角度的命题。

例如，我们要证明一个三角形的内角和等于180度。

首先，我们证明一个等边三角形的内角和等于180度。

然后，我们假设一个等腰三角形的内角和等于180度。

最后，我们通过推理可以得出结论，在一个任意的三角形中，内角和也等于180度。

通过归纳法可以一步步地推导出结论，从特殊到一般，使证明过程更加具体有效。

然而，归纳法的使用有时需要构造特定的几何图形，并且证明过程可能相对复杂。

在一些情况下，我们需要结合其他证明方法，如反证法，以获得更好的证明效果。

总结：在几何证明中，反证法和归纳法是两种常见的证明方法。

反证法通过假设问题的对立面，推导出矛盾的结论，以此证明命题的正确性。

归纳法则通过从特殊到一般的推广方式，证明命题在所有情况下的正确性。

九年级数学下册第29章几何的回顾29.2反证法习题课件华东师大版

2.有关结论是以“至多……”或 “至少……”的形式出现的一
类命题.
3.关于唯一性、存在性的问题.
4.结论的反面是比原结论更具体更容易研究的命题.
知识点 2
中点四边形
【例2】（2013·恩施中考）如图所示，在梯形ABCD中，
AD∥BC,AB=CD,E,F,G,H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，求证：
反面
矛盾
论的_____出发,引出_____,从而证明命题成立的方法.
(2)证明命题的一般步骤:
正确
①假设结论的反面是_____的;
②通过逻辑推理,推出与公理、已证的定理、定义或已知条件
相矛盾;
不成立
原结论
③由矛盾说明假设_______,从而得到_______正确.
2.中点四边形：
中点
(1)概念:顺次连结四边形的各边_____所组成的四边形.
•2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于独
立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年3月2022/3/212022/3/212022/3/213/21/2022
•3、做老师的只要有一次向学生撒谎撒漏了底，就可能使他的全部教育成果从此为之失败。 2022/3/212022/3/21March 21, 2022
正方形.( ×)
(4)顺次连结平行四边形各边中点所得到的四边形是矩形.( ×)
知识点 1
反证法
【例1】用反证法证明：四边形中至少有一个角是钝角或直
角．
【思路点拨】根据题设与结论，写出已知、求证，然后按反证
法的步骤进行证明．
【自主解答】已知：四边形ABCD．

初中几何反证法专题

初中几何反证法专题学习要求停了解反证法的意义，懂得什么是反证法。

® 理解反证法的基本思路，并掌握反证法的一般证题步骤。

知识讲解证法就是一种间接证法，它不是直接去证明命题的结论成立，而是去证明命题结论的反面不能成立。

从而推岀命题的结论必然成立，它给我们提供了一种可供选择的新的证题途径，掌握这种方法，对于提升推理论证的水平、探索新知识的水平都是非常必要的。

下而我们对反证法作一个简单介绍。

1.反证法的概念：不直接从题设推出结论，而是从命题结论的反面出发，引出矛盾，从而证明命题成立，这样的证明方法叫做反证法。

2.反证法的基本思路：首先假设所要证明的结论不成立，然后再在这个假左条件下实行一系列的准确逻辑推理，直至得出一个矛盾的结论来，并据此否左原先的假设，从而确认所要证明的结论成立。

这里所说的矛盾是指与题目中所给的已知条件矛盾，或是与数学中已知立理、公理和定义相矛盾，还能够是与日常生活中的事实相矛盾，甚至还能够是从两个不同角度实行推理所得岀的结论之间相互矛盾(即自相矛盾)。

3.反证法的一般步骤：(1)假设命题的结论不成立：(2)从这个假设岀发，经过推理论证得出矛盾：(3)由矛盾判定假设不准确，从而肯左命题的结论准确。

简来说之就是“反设-归谬一结论"三步曲。

相平分。

证明：假设AB与CD互相平分于点M、则由已知条件AB. CD均非OO直径, 可判泄M不是圆心0,连结OA、OB. 0NLVOA=OB, M 是AB 中点.・.OM丄AB (等腰三角形底边上的中线垂直于底边)同理可得：OM丄CD,从而过点M有两条直线AB、CD都垂直于OM这与已知的泄理相矛盾。

故AB与CD不能互相平分。

例2.已知：在四边形ABCD中，M、N分别是AB、DC的中点，丄且MN= 2 (AD+BC)o求证：AD〃BC(2)证明：假设AD*BC,连结ABD,并设P是BD的中点，再连结NIP、PN。

在AABD中VBM=MA, BP=PD丄1_AMP= 2 AD,同理可证PN^ 2BC1_从而MP+PN= 2 (AD+BC)①这时，BD的中点不在MN上若不然，则由MN〃AD, MN〃BC,得AD〃BC与假设AD*BC矛盾, 于是M、P、N 三点不共线。

反证法在几何解题中的应用

上，而体现在整体与综合之中．有效，是通过我们诸多美术教师
美术课给学生的不仅仅是美术．蔡元培在任教育总长（民国长期的、共同的努力形成的．
３４
硅教育论蛞［２０１３年第８期］
证明：假设ＡＣ和ＢＤ不是异面直线，那么ＡＣ和ＢＤ在同也有．这类题目用直接证法证明相当困难，因此一般情况下都采
具来创作一样的东西．美术课应给学生一种或几种创造美的技是给学生以创造美的技艺，更在于对美的认同或创造．所以美术术，而这种技术是因人而异的，教育中应给学生提供多种方式课要给学生美的体验．给学生提供发现美、感受美的眼睛，给学让其选择．同时，向学生提供的技术也应是考虑学生的不同年龄生创造美的意识及精神，当学生具有了审美的眼睛及创造美的及控制相应成本．不能为了学校的特色而不考虑学生的个性及经意识及能力，学生就有了一个美好的生活及美好的明天．济，不能以学校的特色取代学生的特性，为了学校的名誉而牺从学校的地位看，美术是门小学科，但从培养学生来讲，牲了学生的利益．美术又有其他学科所无法取代的功能，甚至在某种程度上会超让学生掌握鉴赏美的方法及知识也是美术教育的一个重要黑色六月 ”的离去，而被学内容，对一般学生来讲，这方面的知识及能力反而更为重要，越其他学科．当其他学科随着高考 “
会不会作画对大部分学生来讲不是很重要的，但有没有审美能生抛置九霄云外之时，美术依然会以其独特的方式长久地影响力却会影响学生的生活质量及学识修养．中学美术教育主要不是着学生，陪伴其一生．

反证法证明初二几何难题，难为初中同学，典型过渡问题

反证法证明初二几何难题，难为初中同学，典型过渡问题如图：在梯形ABCD中，AD//BC，BD＝BC，CD＝CO，∠ABD＝15°，求证：△ABC是等腰直角三角形[思路导航] 因为求证的△ABC是等腰直角三角形，而15°不好直接用，所以联系和15°角一条边相关的条件BD＝BC，以此为切入点作等边三角形（可出45°角），将已知条件结合起来，构造出与所求相同的等腰直角三角形，再利用全等得出∠DBC的度数再计算如图：以BD为边作等边三角形BDE，连接AE•明显，如果∠EAB＝90°就好办•问题出现了但不论如何∠EAB的大小只有大于、小于或等于90°三种情况所以转化为对这个角的大小情况分类讨论（1）假设∠EAB＝90°∵△BDE是等边三角形,∠ABD=15°∴∠ABE=45°∴△AEB是等腰Rt△，∠AEB=45°在△ADE与△ADB中AE＝AB，AD＝AD，DE＝DB∴△ADE≌△ADB（SSS）∴∠ADB=∠ADE=30°∵AD//BC∴∠DBC=30°∵BD=BC∴∠BDC=∠BCD =75°∵CD=CO∴∠DCO =30°∴∠BCO =45°∴△ABC是等腰Rt△(2)假设∠EAB<90°如下图：过E作EF⊥BA，交BA于F，连接DF证明：同（1）可得△FEB是等腰Rt△，∠FEB=45°△FDE≌△FDB（SSS）∴∠FDE=∠FDB=30°∴∠ADB=∠FDB+∠ADF>30°∵AD//BC∴∠DBC＝∠ADB>30°∴∠BDC<75°(i)∠EBC>90°如下图，过B作BM⊥BE，交EF延长线于M∵∠EBC>90°∴M在△BCD内∵∠FEB=45°∴△EBM是等腰Rt△∴BM=BE=BD易得∠MBD=30°∴∠MDB=75°(ii)显然（i）与（ii）矛盾所以假设的∠EAB<90°不成立（3）假设∠EAB>90°作图如下，方法类似（2），也可证也不成立综上所述：△ABC是等腰Rt△小结：本题出现在初二几何，作辅助线的难度适中，其意义在于分类讨论结合反证法，可作为初中向高中及以后学习“过渡”的一个问题，“分类+反证法”具有一定的价值。

立体几何中的反证法

立体几何中的反证法方法总结1．位置关系：（1）两条异面直线相互横向证明方法：①证明两条异面直线所成角为90o；②证明线面垂直，得到线线垂直；③证明两条异面直线的方向量相互垂直。

（2）直线和平面相互平行证明方法：①证明直线和这个平面内的一条直线相互平行；②证明这条直线的方向量和这个平面内的一个向量相互平行；③证明这条直线的方向量和这个平面的法向量相互垂直。

（3）直线和平面横向证明方法：①证明直线和平面内两条相交直线都垂直，②证明直线的方向量与这个平面内不共线的两个向量都垂直；③证明直线的方向量与这个平面的法向量相互平行。

（4）平面和平面相互横向证明方法：①证明这两个平面所成二面角的平面角为90o；②证明一个平面内的一条直线垂直于另外一个平面；③证明两个平面的法向量相互垂直。

2．谋距离：求距离的重点在点到平面的距离，直线到平面的距离和两个平面的距离可以转化成点到平面的距离，一个点到平面的距离也可以转化成另外一个点到这个平面的距离。

（1）两条异面直线的距离求法：利用公式法。

（2）点至平面的距离求法：①“一找二证三求”，三步都必须要清楚地写出来。

②等体积法。

③向量法。

3．谋角（1）两条异面直线所成的角带发修行：①先通过其中一条直线或者两条直线的位移，找到这两条异面直线阿芒塔的角，然后通过求解三角形回去求出；②通过两条异面直线的方向量阿芒塔的角去求出，但是注意到异面直线阿芒塔角得范围就是，向量阿芒塔的角范围就是，如果算出的就是钝角，必须特别注意转化成适当的.锐角。

（2）直线和平面所成的角带发修行：①“一打听二证三求”，三步都必须必须确切地写下出。

②向量法，先求直线的方向量于平面的法向量阿芒塔的角α，那么所建议的角为或。

（3）平面与平面所成的角带发修行：①“一打听二证三求”，找到这个二面角的平面角，然后再去证明我们打听出的这个角是我们建议的二面角的平面角，最后就通过求解三角形xi。

②向量法，先求两个平面的法向量阿芒塔的角为α，那么这两个平面阿芒塔的二面角的平面角为α或π－α。

初三数学29. 1 几何问题的处理方法;29. 2 反证法知识精讲华东师大版

初三数学29. 1 几何问题的处理方法；29. 2 反证法知识精讲华东师大版【本讲教育信息】一. 教学内容：§29. 1 几何问题的处理方法§29. 2 反证法二. 重点、难点：1. 重点：⑴进一步了解证明的含义，理解证明的必要性，掌握证明的书写格式，能灵活地应用所学的公理、定理、定义进行逻辑推理，提高演绎推理的能力．⑵掌握运用等腰三角形的判定和性质定理．⑶理解和掌握平行四边形、特殊平行四边形以及等腰梯形的性质定理和判定定理．会用逻辑推理的方法进行证明．⑷了解反证法的概念，掌握反证法证明几何命题的思想和步骤．2. 难点：⑴有些命题可以通过观察和实验得到，但也有些命题仅仅通过观察和实验是不够的，从而说明证明的必要性．所以理解证明的必要性和能够证明一个命题是本单元的重难点．⑵在证明过程中，如何添加适当的辅助线也是本单元的难点之一．三. 知识梳理：1. 研究几何图形性质的方法前面我们已经学习了许多几何图形的性质，在认识这些图形的性质时，常常采用量一量、算一算、猜一猜等方法，这是研究几何图形性质的一种基本方法．而本章是用逻辑推理的方法来推导图形的性质，逻辑推理的方法是研究数学的一个重要的基本方法．逻辑推理需要依据，常用的依据有公理、定理（如经过两点有且只有一条直线）、定义、性质（如等式性质、不等式性质）、等量代换等．2. 逻辑推理的依据－－－－公理、定理⑴公理：数学中有些命题的正确性是人们在长期的实践中总结出来的，并把它们作为判断其他命题真假的原始依据，我们把这样的真命题叫做公理．公理是不需要证明的．⑵定理：一些命题从公理或其他真命题出发，用逻辑推理的方法判断它们是正确的，并且可以进一步作为判断其他命题真假的依据，我们把这样的真命题叫做定理．3. 证明⑴一个命题是否正确，要经过逻辑推理，这个推理的过程叫做证明．⑵证明的一般步骤：①根据题意，画出图形，图形要具有一般性，不能特殊化，并且在图形上标出必要的字母和符号；②根据题设、结论，结合图形，写出已知、求证．③经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程．4. 用推理方法研究三角形三角形中需要证明的定理很多，而定理的证明方法各有不同，学习时要注意以下方法：⑴通过图形的运动，将三角形拼在一起，找到证明斜边，直角边定理的途径；⑵通过对角平分线的两条定理的类比得出线段垂直平分线的两定理；⑶证明勾股定理逆定理时可用构造法证明；⑷学习概念时需用概念辨析法．在解答有关等腰三角形的问题时，需运用分类思想，不要出现漏解现象．5. 用推理方法研究四边形⑴学习平行四边形的判定和性质，可按边的关系、角的关系以及对角线的关系进行分类，在证明有关平行四边形问题时，要根据已知条件的特点，正确合理地使用平行四边形的判定和性质定理，可以用平行四边形知识证明的问题，不要再倒退到用三角形的全等来证明．⑵将矩形和菱形放在一起进行类比，可以更好地掌握矩形和菱形的特殊性质、学习三角形、等腰梯形的中位线时也要用类比的方法．⑶证明一个问题时，要从已知条件与求证结论两头入手，探索解题途径，建立沟通已知与求证的桥梁，最后用综合法写出证题过程，研究四边形时，一般通过作辅助线把它转化为三角形的有关问题来解决，同时要注意四边形知识的直接应用．由于各种特殊平行四边形概念交错，容易混淆，所以在判断时常常因为概念不清而出错．学习时要对平行四边形与特殊的平行四边形之间的从属关系等基本知识进行整理，弄清演变过程，使之结构化、系统化，并通过针对性的训练，加深理解内在关系，在应用中得到巩固．6. 反证法⑴反证法的概念：从命题结论的反面出发，引出矛盾，从而肯定命题成立，这样的证明方法叫做反证法．⑵反证法证明命题的一般步骤：①假设命题的结论的反面是正确的；②从这个假设出发，通过逻辑推理，推出与公理、已证的定理、定义或已知条件相矛盾；③由矛盾说明假设不成立，从而得到原命题的结论正确．反证法是当有的命题从已知条件出发，经过推理，很难得出结论时，从而想出的从问题的反面出发给出证明的一种方法．这里总结了反证法的一般步骤，要注意的是，若结论的反面不止一种情况，必须把各种可能情况全部列举出来，并逐一加以否定．【典型例题】例1. 已知：如图，点D在AC上，点E在AB上，BD和CE相交于点O，AB=AC，∠B=∠C．求证：BE=CD．分析：BE和CD分别在△BOE与△COD中，由已知条件不能直接证明△BOE≌△COD，但已知AB=AC，AB、BE及AC、CD分别在一条直线上，如果能证明AE=AD，就可得BE=CD．而AE、AD分别在△AEC和△ADB中，可由已知条件证得△AEC≌△ADB．∴△AEC≌△ADB（ASA）．∴AE=AD（全等三角形的对应边相等）．又∵AB=AC，∴BE=CD．例2. 等腰三角形一边上的高是另一边的一半，则顶角的度数为．分析：一般会填30°或120°，这是不完整的，原因是没有充分考虑一切可能的情形，出现漏解现象．我们遇到多解问题时，一定要分类讨论，要充分考虑一切可能的情形，避免出现漏解现象．正确解法：⑴如图，当底边上的高是腰长的一半时，CD=21AC ，∴∠ACB=120°．⑴ ⑵ ⑶ ⑷⑵如图，当一腰上的高是底边的一半时，BD=21AB ，可得∠ACB=120°． ⑶如图，当一腰上的高是另一腰的一半，且高在△ABC 的外部，即DB=21BC ，可得∠ACB=150°．⑷如图，当一腰上的高是另一腰的一半，且高在△ABC 的内部，DB=21BC ，∴∠C=30°． ∴正确解为30°、150°、120°．例3. 求证：等腰三角形腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半．分析：根据证明文字命题的一般步骤，先找出条件和结论，再画图写出已知和求证，最后写出证明．证明文字命题的一般步骤：⑴理解题意，找出命题的条件和结论；⑵根据题意正确画出图形；⑶根据条件结论，结合图形写出已知和求证；⑷探索证明思路，运用数学符号和数学语言条理清晰地写出证明过程．已知：如图，在△ABC 中，AB=AC ，BD ⊥AC ．求证：∠DBC=21∠A ．证法一：用折半法，找出或作出较大角的一半的角，证明它与较小的角相等．作顶角平分线AE ．∵AE ⊥BC （等腰三角形“三线合一”）．∴∠EAC+∠C=180°－90°=90°．∴BD ⊥AC （已知），∴∠DBC+∠C=180°－∠BDC=180°－90°=90°．∴∠DBC+∠C=∠EAC+∠C ． ∴∠DBC=∠EAC ．∵∠EAC=21∠A ，∴∠DBC=21∠A ．证法二：用加倍法，找出或作出等于较小角的两倍的角，证明它与较大的角相等．如图，作∠DBF=∠DBC ，BF 交AC 于F ．由作法得∠FBC=2∠DBC ，即∠DBC=21∠FBC ．∴△BFD ≌△BCD （ASA ）． ∴∠BFD=∠C ．∴∠FBC=180°－∠BFD －∠C=180°－2∠C ．又∵∠C=∠B ，∴∠A=180°－∠B －∠C=180°－2∠C ．∴∠FBC=∠A （等量代换）．∵∠DBC=21∠FBC （已证），∴∠DBC=21∠A ．例4. 等腰三角形的两边长分别为4cm 和9cm ，则它的周长是 cm ．分析：要求三角形的周长，只要求出第三边的长即可，由于题目中的三角形是等腰三角形，第三边也就只能在4cm 和9cm 中选取，由三角形三边的关系可知，第三边不能为4cm ，故其周长即可确定．解：设第三边长为xm ，则9－4﹤x ﹤9+4，即5﹤x ﹤13．由于此三角形是等腰三角形，所以第三边的长为9cm ，即周长为22cm ．点拨：本题主要考查了等腰三角形的一些性质以及三角形中的有关概念，需要注意的是有关等腰三角形的问题往往需要进行讨论，但本题需要考虑到三角形三边的关系，4cm 只能作底边．例5. 如图，在△ABC 中，已知∠ABC 、∠ACD 的平分线交于点P ．求证：点P 到AB 、AC 的距离相等．分析：欲证点P 到AB 、AC 的距离相等，只需证PE=PF 即可．证明：如图，过点P 作PE ⊥AB 交BA 延长线于E ，过点P 作PF ⊥AC 于F ，过点P 作PG ⊥CD 于G ．∵点P 在∠ABC 的角平分线上，∴PE=PG ．∵点P 在∠ACD 的角平分线上，∴PF=PG ．∴PE=PF ．∴点P 到AB 、AC 的距离相等．例6. 已知：如图，□ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，EF 过点O ，且与AB 、CD 分别相交于点F 、E ．求证OE=OF ．分析：本题证法不惟一，但不论用何种证法，主要途径是平行四边形的性质．证法一：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AB ∥CD ，OA=OC ，∠ECO=∠FAO ．又∵∠AOF=∠COE ，∴△AOF ≌△COE ．∴OE=OF ．证法二：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AB ∥CD ，OA=OC ． ∴OEOF OC OA ． ∴OE=OF ．点拨：本题还可以用平行四边形的中心对称性来证明，请读者自己试一试．例7. 如图，在平行四边形ABCD 中CE 是∠DCB 的平分线，F 是AB 的中点，AB=6，BC=4，则AE ：EF ：FB 为（）A. 1：2：3B. 2：1：3C. 3：2：1D. 3：1：2分析：如图，应利用平行四边形的性质及其他图形的性质求解，由∠1=∠2，∠1=∠3，可得∠2=∠3．所以BE=BC=4．而AB=6，所以AE=2．故可求得AE=2，EF=1，BF=3．解：选B例8. 如图，已知正方形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于O 点，E 是AC 上一点，过点A 作AG ⊥EB ，垂足为G ，AG 交BD 于点F ．求证：OE=OF ．证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴∠BOE=∠AOF=90°，BO=AO ．又∵AG ⊥EB ，∴∠1+∠3=90°=∠2+∠3．∴∠1=∠2．∴Rt △BOE ≌Rt △AOF ．∴OE=OF ．变式题：对上述命题，若点E 在AC 的延长线上，AG ⊥EB ，交EB 的延长线于点G ，AG 的延长线交DB 的延长线于点F ，其他条件不变（如下图），则结论“OE=OF ”还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由．分析：结论“OE=OF ”仍成立，可通过证Rt △AOF ≌Rt △BOE 来证OE=OF ．解：结论“OE=OF ”仍成立，证明如下：∵四边形ABCD 是正方形，∴∠AOF=∠BOE=90°，OA=OB ．∴在Rt △AFO 中，有∠F=90°－∠FAO ．又∵AG ⊥BE ，则在Rt △AGE 中，有∠E=90°－∠GAE ．∵∠FAO=∠GAE ，∴∠E=∠F ．∴Rt △AOF ≌Rt △BOE ．∴OE=OF ．例9. 如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，中位线EF 分别与BD 、AC 交于点G 、H ．若AD=6，BC=10，则GH= ．分析：灵活运用梯形及三角形的中位线性质，是解决此题的关键．EF 是梯形的中位线，则EG 是△BAC 的中位线，CF 是△DBC 的中位线，HF 是△DAC 的中位线，根据中位线的性质可解决此题．解：EG=21AD ，GF=21BC ，FH=21AD ， CH=EF －2EG=21（AD+BC ）－AD=21（BC －AD ）=2．例10. 如图，正方形ABCD 中，E 是BC 边上的点，F 是CD 边上的点，且AE=AF ，AB=4．设△AEF 的面积为y ，EC 为x ，求y 与x 之间的函数关系式，并画出这个函数的图象．分析：求△AEF 的面积有多种方法，我们要由题目的条件出发，寻求一种既易于求出这个三角形的面积，又易于与EC 建立联系的方法．由于四边形ABCD 是正方形，它的边长都为4，EC 为x ，那么BE 是容易用x 的代数式表示的，这样，△ABE 、△ECF 的面积都容易用x 的代数式表示，而△ABE 与△ADF 是全等的，这样由正方形的面积减去上述三个三角形的面积求△AEF 的面积是较好的方法．解：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB=AD ，∠B=∠D=90°．又∵AE=AF ，∴△ABE ≌△ADF ．∴BE=DF ．∵BC ＝CD ，∴EC ＝FC ＝x ，BE ＝DF ＝4－x ．由图形可知，S △AEF =AB 2－2S △ABE －S △ECF =42－2×21×4×（4－x ）－21x 2， ∴y=－21x 2+4x ． ∵E 点在BC 边上，且与E 与C 重合时△AEF 不存在，∴x 的取值范围为0﹤x ≤4，它的图象如下．点拨：x 的取值要保证有合理的实际意义，由于x 的取值范围为0﹤x ≤4，所以，它的图象是抛物线的一部分，并且点（0，0）是空心圆点，点（4，8）是实心原点．例11. 用反证法证明：四边形中至少有一个角是钝角或直角．分析：根据题设与结论，写出已知、求证，然后按反证法的步骤进行证明．已知：四边形ABCD ．求证：四边形ABCD 中至少有一个角是钝角或直角．证明：假设四边形ABCD 中没一个角是钝角或直角，则∠A ＜90O ，∠B ＜90O ，∠C ＜90O ，∠D ＜90O ，于是∠A+∠B+∠C+∠D ＜90O ×4=360O ．这与四边形内角和是360O 相矛盾，所以四边形ABCD 中至少有一个角是钝角或直角．【模拟试题】（答题时间：60分钟）一、填空题（每题3分，共30分）1. 一个多边形的每个外角都等于72°，这个多边形是边形，它的每个内角是．2. 等腰三角形一腰上的中线将这个三角形的周长分为15cm 和13cm 两部分，则此三角形的腰长 cm ，底边长 cm ．3. 命题“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的逆命题为．4. n 边形的外角和与内角和的度数之比为2：9，则边数为．5. 平行四边形ABCD 的两条对角线相交于点O ，其周长为50cm ，且△AOB 的周长比△COB 的周长大9cm ，则AB= cm ，BC= cm ．6. 正方形的边长为5cm ，以它的对角线为边长的等边三角形的高为 cm ．7. 三角形的一条中位线将这个三角形分成的一个小三角形与一个梯形的面积之比等于．8. 等腰梯形的腰与上底相等，且等于下底的一半，这个等腰梯形的周长为50cm，则它的中位线长cm．9. 若菱形的边长为1cm，其中一内角为60°，则它的面积为．10. 兴威公园的一段甬路是用型号相同的五边形地砖拼铺而成的，是拼铺图案的一部分．如果每个五边形有3个内角相等，那么这3个内角都等于．二、选择题（每题3分，共24分）11. 如图，EA⊥AB，BC⊥AB，EA=AB，DE=AC，有下列判断：①BC=AD，②DE⊥AC，③∠C=45°，其中结论正确的是（）A. ①②B. ①③C. ②③D. ①②③12. 下列命题中，正确的是（）A. 对角线相等的四边形是矩形B. 一组对边平行且有一个角是直角的四边形是矩形C. 对角线互相垂直的四边形是菱形D. 一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形13. 如果顺次连结四边形各边中点组成的四边形是菱形，那么原来四边形的对角线（）A. 互相平分B. 相等C. 互相垂直D. 互相垂直平分14. 等腰梯形ABCD的对角线AC、BD相交于O，那么图形中全等三角形有（）A. 1对B. 2对C. 3对D. 4对15. □ABCD中，AB=AC=6cm，P是BC边上一点，过点P，作PE∥CA，交AB于E，PF∥BA，交AC于F点，则四边形AEPF的周长为（）A. 8cmB. 10cmC. 12cmD. 14cm16. 平行四边形ABCD中，两条对角线AC、BD的长分别是12和8，则边AB的取值（）A. 0＜AB＜2B. 2＜AB＜10C. 4＜AB＜10D. 4＜AB＜2017. 矩形、菱形、正方形、等腰梯形、直角梯形中，是中心对称图形的个数是（）A. 5个B. 4个C. 3个D. 2个18. 如图，四边形ABED与四边形AFCD都是平行四边形，AF和DE相交成直角，AG=3cm，DG=4cm，□ABED的面积是36cm2，则四边形ABCD的周长为（）A. 49cmB. 43cmC. 41cmD. 46cm三、解答题（22题10分，23题12分，其余每题8分，共46分）19. 如图，点E是正方形ABCD的边BC上的一点，延长AB到F，使BF=BE，连结并延长AE，交CF于G．求证：AG⊥CF．20. 已知：四边形ABCD 中，∠B=∠D=90°，∠A=135°，AD=23，BC=6，求四边形ABCD 的面积．21. 求证：对角线相等的平行四边形是矩形．22. 已知：如下图，AB=CD ，AD=BC ，DE ⊥AC 于E ，BF ⊥AC 于F ．（1）根据以上条件，你能得出哪些等式（如可以得出DE=BF ）？至少写出可得等式中的任意三个；（不同于DE=BF ）（2）证明你写出的关于线段相等的一个结论．23. 如下图，在平面直角坐标系中，点A 是动点且纵坐标为4，点B 是线段OA 上的一个动点，过点B 作直线MN 平行x 轴，设MN 分别交射线OA 与x 轴形成的两个角的平分线于点E 、F ．⑴求证：EB=BF ； ⑵当OAOB 为何值时，四边形AEOF 为矩形？并证明你的结论； ⑶是否存在点A 、B ，使四边形AEOF 为正方形？若存在，求点A 与点B 的坐标；若不存在，说明理由．参考答案 http://一、填空题：1. 五，108°2. 10；8（或332;326） 3. 如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形4. 115. 17；86.625 7. 31 8. 18 9. 23cm 2 10. 120°二、选择题：11. A 12. D 13. B 14. C15. C 点拨：不妨取P 为BC 的中点．16. B 17. C 18. D三、解答题：19. 点拨：证Rt △FBC ≌Rt △EBA ，得∠F=∠BEA ．而∠BAE+∠BEA=90°，故∠BAE+∠F=90°．∴AG ⊥CF ．20. 点拨：作如图所示的辅助线，把四边形补成矩形，用矩形面积减去两个等腰直角△ADE 和△CDF 的面积．由题意，得ED=6232==AE ．过D 作DG ∥BC 于G ，则有DG=GC=BC －BG ．又BG=6，∴DG=6－6．则有S 四边形ABCD =6×（6－6）－)66(216621--⨯⨯2=12． ∴四边形ABCD 的面积为12．21. 已知：在□ABCD 中，AC=DB （如图）．求证：□ABCD 是矩形．证明：∵AC=DB ，BC=CB ，AB=DC ，∴△ABC ≌△DCB ．∴∠ABC=∠DCB ．又AB ∥DC ，∴∠ABC+∠DCB=180°．∴∠ABC=90°． ∴□ABCD 是矩形．22. 点拨：AE=CF ，AF=CE ，∠ADE=∠CBF 等．证明略．23. ⑴证明：如图．∵OF 是∠AOx 的角平分线，∴∠1=∠2．∵MN 平行于x 轴，∴∠3=∠2．∴∠1=∠3．∴BO=BF ．同理可证BO=BE ．所以EB=BF ．⑵解：当21=OA OB 时，四边形AEOF 是矩形． ∴21=OA OB ，∴OB=AB ．又∵BE=BF ，∴四边形AEOF 是平行四边形．∵OE 、OF 是角平分线，∴∠EOF=90°．∴四边形AEOF 是矩形．⑶解：存在点A 、B 使四边形AEOF 为正方形，如下图．∵MN 平行于x 轴，∴当A 点在y 轴时，即A 点坐标为（0，4）时，有OA ⊥EF ．此时，取OA 的中点B （0，2），由（2）知四边形AEOF 是矩形．∴四边形AEOF 是正方形．∴存在A （0，4），B （0，2），使四边形AEOF 为正方形．。

2020人教版中考数学专题《反证法、命题与定理》含解答

2020中考数学专题《反证法、命题与定理》含解答一、选择题1．下列命题是真命题的是（）A.两边及其中一边的对角分别相等的两个三角形全等B.平分弦的直径垂直于弦C.一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形D.两条直线别第三条直线所截，内错角相等【答案】C ．【解析】A 、由两边及其中一边的对角分别相等无法证明两个三角形全等，故A 错误，是假命题；B 、平分弦（非直径）的直径垂直于弦，故B 错误，是假命题；C 、一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形，故C 正确，是真命题；D 、两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，故D 错误，是假命题；故选C ．2．下列命题是假命题的是（）A ．到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上B ．等边三角形既是轴对称图形，又是中心对称图形C ．n 边形（n ≥3）的内角和是180360n ︒-︒D ．旋转不改变图形的形状和大小【答案】B【解析】A ．由线段垂直平分线的判定知该选项是真命题．B ．等边三角形既是轴对称图形，但不是中心对称图形；故该选项为假命题．C ．由n 边形（n ≥3）的内角和是()2180n -︒知该选项是真命题．D ．由旋转的性质得该选项是真命题．3．下列命题是假命题的是（）A. n 边形（n≥3）的外角和是360°B. 线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等C. 相等的角是对顶角D. 矩形的对角线互相平分且相等【答案】C ．【解析】对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角，故选C ．4．已知反比例函数x k y =的图象分别位于第二、第四象限，A （x1，y1）、B （x2，y2）两点在该图象上，下列命题：① 过点A 作AC ⊥x 轴，C 为垂足，连接OA ．若△ACO 的面积为3，则k ＝－6；②若x1＜0＜x2，则y1＞y2；③ 若x1＋x2＝0，则y1＋y2＝0其中真命题个数是（）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】D 【解析】①中，由反比例的几何意义可知，S △ACO ＝12|xy|＝3，∴|k|＝|xy|＝6,∵图象位于第二、第四象限，∴k ＝－6．正确；∵x1＜0＜x2，∴点A 在第二象限，点B 在第四象限，故y1＞y2,正确；③中，∵y1＝16x -,y2＝26x -,∴y1＋y2＝16x -＋26x -＝12126()x x x x -+,若x1＋x2＝0，∴y1＋y2＝0．正确，其中真命题有3个．故选D ．5. 下列命题是假命题的是（）A ．平行四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形B ．同角（或等角）的余角相等C ．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等D ．正方形的对角线相等，且互相垂直平分【答案】A【解析】平行四边形一定是中心对称图形，但不一定是轴对称图形，选项A 是假命题；故选A ．6. 下列命题是真命题的是( )A.对角线相等的四边形是矩形B.对角线互相垂直的四边形是矩形C.对角线互相垂直的矩形是正方形D.四边相等的平行四边形是正方形【答案】C【解析】对角线相等的平行四边形是矩形,故A,B 均错误;对角线互相垂直的矩形是正方形,C 正确;四边相等的平行四边形是菱形,故D 错误;故选C.二、填空题12．(2019·泰州)命题"三角形的三个内角中至少有两个锐角"是______(填"真命题"或"假命题")【答案】真命题【解析】如果三角形有两个直角或钝角,那么内角和就大于180°,所以三角形中最多只能有一个钝角或直角,至少有两个锐角,故原命题为真命题.12．（2019·安徽）命题“如果a+b=0，那么a ，b 互为相反数”的逆命题为 .【答案】如果a ，b 互为相反数，那么a ＋b ＝0【解析】本题考查了命题及其逆命题的概念，解题的关键是理解命题的条件和结论．逆命题是将原命题的题设与结论部分对调.该命题的题设部分为“a ＋b ＝0”，结论部分为“a ，b 互为相反数”. 故答案为如果a ，b 互为相反数，那么a ＋b ＝0.三、解答题1. (2019·台州)我们知道,各个角都相等,各条边都相等的多边形叫做正多边形.对一个各条边都相等的凸多边形(边数大于3),可以由若干条对角线相等判定它是正多边形.例如,各条边都相等的凸四边形,若两条对角线相等,则这个四边形是正方形.(1)已知凸五边形ABCDE 的各条边都相等.①如图1,若AC ＝AD ＝BE ＝BD ＝CE,求证:五边形ABCDE 是正五边形;②如图2,若AC ＝BE ＝CE,请判断五边形ABCDE 是不是正五边形,并说明理由;(2)判断下列命题的真假.(在括号内填写"真"或"假")如图3,已知凸六边形ABCDEF 的各条边都相等.①若AC ＝CE ＝EA,则六边形ABCDE 是正六边形;( )②若AD ＝BE ＝CF,则六边形ABCDE 是正六边形;( )解：(1)①在△EAD 和△ABE 中,AB ＝EA,AE ＝ED,BE ＝AD,∴△EAD ≌△ABE,同理可得△EAD ≌△ABE ≌△BCA ≌△CDB ≌△DEC,∴∠ABC ＝∠BCD ＝∠CDE ＝∠DEA ＝∠EAB,∴五边形ABCDE 是正五边形;②∵AC ＝BE ＝CE,AB ＝BC ＝CD ＝DE ＝EA,∴△ABC ≌△EAB ≌△DEC,∴设∠DCE ＝∠ABE ＝∠BCA ＝x,易得△ACE ≌△BEC,∴设∠ACE ＝∠BEC ＝y,∵EB ＝EC,∴∠EBC ＝∠ECB ＝x+y,∴∠AED ＝2x+y,∠BCD ＝2x+y,∵∠ABC ＝2x+y,∴∠ABC ＝∠BCD ＝∠CDE ＝∠DEA ＝∠EAB,∴五边形ABCDE 是正五边形;(2)①假命题;②假命题;21．（2019山东威海，21，8分）（1）阅读理解如图，点A ，B 在反比例函数的图象上，连接AB ，取线段AB 的中点C ，分别过点A ，C ，B 作x 轴的垂线，垂足为E ，F ，G ，CF 交反比例函数的图象于点D ，点E ，F ，G 的横坐标分别为n-1，n ，n ＋1（n ＞1）.小红通过观察反比例的图象，并运用几何知识得到结论：AE ＋BG ＝2CF ，CF ＞DF.由此得出一个关于之间数量关系的命题：若n ＞1，则（2）证明命题小东认为：可以通过“若≥0，则≥”的思路证明上述命题.小晴认为：可以通过“若＞0，＞0，且≥1，则≥”的思路证明上述命题.请你选择一种方法证明（1）中的命题.【解题过程】（1）∵A ，D ，B 都在反比例的图象上，且点E ，F ，G 的横坐标分别为n-1，n ，n ＋1（n ＞1）， ∴AE ＝BG ＝DF ＝.又∵AE ＋BG ＝2CF ，1y x =1y x =1y x =112,,11n n n -+a b -a b a b a b ÷a b 1y x =1,1n -1,1n +1n∴CF ＝又∵CF ＞DF ，n ＞1，∴＞，即＞.故答案为＞.（2）选择选择小东的思路证明结论＞，∵n ＞1，∴＞0，∴＞.第二批一、选择题10．（2019·深圳）下列命题正确的是（）A ．矩形对角线互相垂直B ．方程x2=14x 的解为x=14C ．六边形的内角和为540°D ．斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等【答案】D【思路分析】对各个选项逐项判断．【解题过程】A 中，矩形的对角线相等，而不具备对角线互相垂直，故A 错误；B 中，方程x2=14x 的解为x=14或x=0，故B 错误；C 中，六边形的内角和为（6－2）×180°=720°，故C 错误；选项D 正确．故选D ．【知识点】矩形的性质；一元二次方程的解法；正多边形的内角和；全等三角形8.（2019•广安）下列命题是假命题的是( )A ．函数35y x =+的图象可以看作由函数31y x =-的图象向上平移6个单位长度而得到B ．抛物线234y x x =--与x 轴有两个交点C ．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形D ．垂直于弦的直径平分这条弦【答案】C【解析】A 、函数35y x =+的图象可以看作由函数31y x =-的图象向上平移6个单位长度而得到，正确，是真命题；111(),211n n +-+111()211n n +-+1n 1111n n +-+2n 1111n n +-+2n 1111n n +-+2n 2221122(1)2()11(1)(1)(1)(1)n n n n n n n n n n n n n n ++---+-==-+-+-+1111n n +-+2nB 、抛物线234y x x =--中△24250b ac =-=>，与x 轴有两个交点，正确，是真命题； C 、对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，故错误，是假命题；D 、垂直与弦的直径平分这条弦，正确，是真命题，故选C ．【知识点】命题与定理；一次函数的平移；抛物线与坐标轴的交点；正方形的判定；垂径定理16.（2019·资阳）给出以下命题：①平分弦的直径垂直于这条弦；②已知点A （﹣1，y1）、B （1，y2）、C （2，y3）均在反比例函数y =k x （k ＜0）的图象上，则y2＜y3＜y1；③若关于x 的不等式组{x ＜−1x ＞a 无解，则a ≥﹣1； ④将点A （1，n ）向左平移3个单位到点A1，再将A1绕原点逆时针旋转90°到点A2，则A2的坐标为（﹣n ，﹣2）．其中所有真命题的序号是．【答案】②③④【解析】①平分弦的直径垂直于这条弦，应该为：平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦，故错误； ②反比例函数y =k x （k ＜0）在二、四象限，当x ＜0时，y ＞0；x ＞0时，y ＜0，且x 增大，y 增大，故y1＞y3＞y2，故正确；③若关于x 的不等式组{x ＜−1x ＞a无解，a ≥﹣1，正确； ④将点A （1，n ）向左平移3个单位到点A1，则A1（﹣2，n ），将A1绕原点逆时针旋转90°到点A2，A2的坐标为（﹣n ，﹣2），正确．以上正确的都为真命题，故答案为：②③④．【知识点】命题与定理二、填空题三、解答题第三批一、选择题7．（2019·永州）下列说法正确的是A ．有两边和一角分别相等的两个三角形全等B ．有一组对边平行，且对角线相等的四边形是矩形C ．如果一个角的补角等于它本身，那么这个角等于45°D ．点到直线的距离就是该点到该直线的垂线段的长度【答案】D【解析】选项A 中，可能是“SSA ”的情形，不能判定两个三角形全等；选项B 中，没有“对角线互相平分”这一条件，不能判定四边形为平行四边形，更不能判定为矩形；选项C 中，如果一个角的补角等于它本身，那么这个角等于90°；只有选项D 正确．7．（2019 · 北京）用三个不等式a b >，0ab >，11a b<中的两个不等式作为题设，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，组成真命题的个数为A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】D 【解析】本题共有3个命题：命题①，如果a b >，0ab >，那么11a b<. ∵a b >，∴0a b ->.又∵0ab >；∴0a b ab ->，化简得11a b <，该命题为真命题. 命题②，如果a b >，11a b <；那么0ab >. ∵11a b <，∴110a b-<，0b a ab -<. ∵a b >，∴0b a -<，∴0ab >.该命题为真命题. 命题③，如果0ab >，11a b <，那么a b >. ∵11a b <，∴110a b-<，0b a ab -<. ∵0ab >，∴0b a -<， ∴b a <.该命题为真命题. 选D.【知识点】真假命题、不等式的性质.7.（2019 · 桂林）下列命题中，是真命题的是( )A ．两直线平行，内错角相等B ．两个锐角的和是钝角C ．直角三角形都相似D ．正六边形的内角和为360︒【答案】A【解析】解：A.两直线平行，内错角相等，正确，是真命题；B.两个锐角的和不一定是钝角，故错误，是假命题；C.所有的直角三角形不一定相似，故错误，是假命题；D.正六边形的内角和为720︒，故错误，是假命题；故选：A ．7．（2019 ·常州）判断命题“如果n＜1，那么n2－1＜0”是假命题，只需举出一个反例．反例中的n可以为（）A．－2 B．－12C．0 D．12【答案】A【解析】本题考查了用举反例的方法证明一个假命题，根据反例的意义：即命题的条件成立，但命题的结论不成立的例子即可为反例，本题中由“－2＜1，而(－2)2－1＝3＞1”，从而反例中的n可以为－2，因此本题选A．【知识点】命题与证明；反证法；举反例。

初二数学----几何证明初步经典练习题(含答案)

初二数学----几何证明初步经典练习题(含答案)本页仅作为文档页封面，使用时可以删除This document is for reference only-rar21year.March几何证明初步练习题编辑整理：临朐王老师1、三角形的内角和定理：三角形的内角和等于180°．推理过程：○1 作CM ∥AB ，则∠A= ，∠B= ，∵∠ACB +∠1+∠2=1800（，∴∠A+∠B+∠ACB=1800． ○2 作MN ∥BC ，则∠2= ，∠3= ，∵∠1+∠2+∠3=1800，∴∠BAC+∠B+∠C=1800．2．求证：在一个三角形中，至少有一个内角大于或者等于60°。

3、.如图，在△ABC 中，∠C ＞∠B,求证：AB ＞AC 。

4. 已知，如图，AE//DC ，∠A=∠C ，求证：∠1=∠B.5. 已知：如图，EF ∥AD ，∠1 =∠2. 求证：∠AGD ＋∠BAC = 180°. 反证法经典例题6.求证:两条直线相交有且只有一个交点.7.如图，在平面内，AB 是L 的斜线，CD 是L 的垂线。

求证：AB 与CD 必定相交。

8.2 一．角平分线－－轴对称9、已知在ΔABC 中，Ｅ为ＢＣ的中点，AD 平分BAC ∠，BD ⊥AD 于D ．AB ＝9，ＡＣ＝13求ＤＥ的长第9题图第10题图第11题图分析：延长ＢＤ交ＡＣ于Ｆ．可得ΔABD ≌ΔAFD ．则BD ＝DF ．又BE ＝EC ，即D Ｅ为ΔBCF 的中位线．∴DE=12FC=12(AC-AB)=2．10、已知在ΔABC 中，108A ∠=，AB ＝AC ，BD 平分ABC ∠．求证：BC ＝AB ＋CD ．分析：在ＢＣ上截取ＢＥ＝ＢＡ，连接ＤＥ．可得ΔBAD ≌ΔBED ．由已知可得：18ABD DBE ∠=∠=，108A BED ∠=∠=，36C ABC ∠=∠=．∴72DEC EDC ∠=∠=，∴CD ＝CE ，∴CBADEFDABC BAEDNMBC ＝AB ＋CD ．11、如图，ΔABC 中，Ｅ是BC 边上的中点，DE ⊥BC 于E ，交BAC ∠的平分线AD 于D ，过D 作DM ⊥AB 于Ｍ，作DN ⊥ＡC 于N ．求证：BM ＝CN ．分析：连接DB 与DC ．∵DE 垂直平分BC ，∴DB ＝DC ．易证ΔAMD ≌ΔAND ． ∴有DM ＝DN ．∴ΔBMD ≌ΔCND （ＨＬ）．∴BM ＝CN ．二、旋转12、如图，已知在正方形ABCD 中，Ｅ在BC 上，Ｆ在DC 上，BE ＋DF ＝EF ．求证：45EAF ∠=．B分析：将ΔADF 绕Ａ顺时针旋转90得ABG ．∴GAB FAD ∠=∠．易证ΔAGE ≌ΔAFE ．∴1452FAE GAE FAG ∠=∠=∠=13、如图，点E 在ΔABC 外部，D 在边BC 上，DE 交AC 于F ．若123∠=∠=∠，ＡＣ＝ＡＥ．求证：ΔABC ≌ΔADE ．分析：若ΔABC ≌ΔADE ，则ΔADE 可视为ΔABC 绕Ａ逆时针旋转1∠所得．则有B ADE ∠=∠． ∵12B ADE ∠+∠=∠+∠，且12∠=∠．∴B ADE ∠=∠．又∵13∠=∠． ∴BAC DAE ∠=∠．再∵ＡＣ＝ＡＥ．∴ΔABC ≌ΔADE ．14、如图，点Ｅ为正方形ＡＢＣＤ的边ＣＤ上一点，点Ｆ为ＣＢ的延长线上的一点，且ＥＡ⊥ＡＦ．求证：ＤＥ＝ＢＦ．分析：将ΔABF 视为ΔADE 绕Ａ顺时针旋转90即可．∵90FAB BAE EAD BAE ∠+∠=∠+∠=．∴FBA EDA ∠=∠．又∵90FBA EDA ∠=∠=，ＡＢ＝ＡＤ．∴ΔABF ≌ΔADE ．（ＡＳＡ）∴ＤＥ＝ＤＦ．平移第14题图第15题图第16题图第17题图三、平移15、如图，在梯形ABCD 中，BD ⊥AC ，AC ＝８，BD ＝１５．求梯形ABCD 的中位线长．分析：延长ＤＣ到Ｅ使得ＣＥ＝ＡＢ．连接ＢＥ．可得ACEB ．可视为将ＡＣ平移到ＢＥ．ＡＢ平移到ＣＥ．由勾股定理可得ＤＥ＝１７．∴梯形ＡＢＣＤ中位线长为８．５．16、已知在ΔABC 中，AB ＝AC ，D 为AB 上一点，Ｅ为AC 延长线一点，且BD ＝CE ．求证：DM ＝EM 分析：作ＤＦ∥ＡＣ交ＢＣ于Ｆ．易证ＤＦ＝ＢＤ＝ＣＥ．则ＤＦ可视为ＣＥ平移所得．∴四边形ＤＣＥＦ为DCEF ．∴ＤＭ＝ＥＭ．线段中点的常见技巧 --倍长四、倍长E17、已知，ＡＤ为ABC 的中线．求证：ＡＢ＋ＡＣ>２ＡＤ．分析：延长ＡＤ到Ｅ使得ＡＥ＝２ＡＤ．连接ＢＥ易证ΔBDE ≌ΔCDA ． ∴ＢＥ＝ＡＣ．∴ＡＢ＋ＡＣ>２ＡＤ．18、如图，AD 为ΔABC 的角平分线且BD ＝CD ．求证：AB ＝AC ．分析：延长ＡＤ到Ｅ使得ＡＤ＝ＥＤ．易证ΔABD ≌ΔECD ．∴ＥＣ＝ＡＢ． ∵BAD CAD ∠=∠．∴E CAD ∠=∠．∴ＡＣ＝ＥＣ＝ＡＢ．19、已知在等边三角形ＡＢＣ中，Ｄ和Ｅ分别为ＢＣ与ＡＣ上的点，且ＡＥ＝ＣＤ．连接ＡＤ与ＢＥ交于点Ｐ，作ＢＱ⊥ＡＤ于Ｑ．求证：ＢＰ＝２ＰＱ．分析：延长ＰＤ到Ｆ使得ＦＱ＝ＰＱ．在等边三角形ＡＢＣ中ＡＢ＝ＢＣ＝ＡＣ，60ABD C ∠=∠=．又∵ＡＥ＝ＣＤ，∴ＢＤ＝ＣＥ．∴ΔABD ≌ΔBCE ．∴CBE BAD ∠=∠．∴60BPQ PBA PAB PBA DBP ∠=∠+∠=∠+∠=．易证ΔBPQ ≌ΔBFQ ．得ＢＰ＝ＢＦ，又60BPD ∠=．∴ΔBPF 为等边三角形． ∴ＢＰ＝２ＰＱ．中位线五、中位线、中线：20、已知在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，Ｅ和Ｆ分别为BD 与AC 的中点, 求证：1()2EF BC AD =-．分析：取ＤＣ中点Ｇ，连接ＥＧ与ＦＧ．则ＥＧ为ΔBCD 中位线，ＦＧ为ΔACD 的中位线． ∴ＥＧ∥＝12BC ，FG ∥＝12AD ．∵AD ∥BC ．∴过一点Ｇ有且只有一条直线平行于已知直线ＢＣ，即Ｅ、Ｆ、Ｇ共线．∴1()2EF BC AD =-．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半21、已知，在ABCD 中BD AB 21=．Ｅ为ＯＡ的中点，Ｆ为ＯＤ中点，Ｇ为ＢＣ中点．求证：ＥＦ＝ＥＧ．分析：连接ＢE ．∵BD AB 21=，ＡＥ＝O Ｅ．∴ＢＥ⊥ＣＥ，∵ＢＧ＝ＣＧ．∴BD EG 21=．又ＥＦ为ΔAOD 的中位线．∴AD EF 21=．∴ＥＦ＝ＥＧ．22、在ΔABC 中，ＡＤ是高，ＣＥ是中线，ＤＣ＝ＢＥ，ＤＧ⊥ＣＥ于Ｇ．求证：（１）ＣＧ＝ＥＧ．（２）2B BCE ∠=∠．分析：（１）连接ＤＥ．则有ＤＥ＝ＢＥ＝ＤＣ．∴Rt ΔCDG ≌Rt ΔEDG （ＨＬ）． ∴ＥＧ＝ＣＧ．∵ＤＥ＝ＢＥ．∴B BDE DEC BCE ∠=∠=∠+∠． ∵ＤＥ＝ＣＤ．∴DEC BCE ∠=∠．∴2B BCE ∠=∠．几何证明初步测验题（1）一、选择题（每空3 分，共36 分） 1、使两个直角三角形全等的条件是（）A 、一组锐角对应相等B 、两组锐角分别对应相等C 、一组直角边对应相等D 、两组直角边分别对应相等2、如图，已知AB ∥CD ，∠A ＝50°，∠C ＝∠E ．则∠C ＝（） A ．20° B ．25° C ．30° D ．40°O C DBAEFECDGAB第2题图第4题图第6题图第7题图3、用反证法证明命题“一个三角形中不能有两个角是直角”，应先假设这个三角形中（）A．有两个角是直角 B．有两个角是钝角 C．有两个角是锐角 D．一个角是钝角，一个角是直角4、如图，直线AB、CD相交于点O，∠BOE=90°，OF平分∠AOE，∠1=15°30’，则下列结论不正确的是( )A．∠2=45° B．∠1=∠3 C．∠AOD+∠1=180° D．∠EOD=75°30’5、下列说法中，正确的个数为（）①三角形的三条高都在三角形内，且都相交于一点②三角形的中线都是过三角形的某一个顶点，且平分对边的直线③在△ABC中，若∠A=12∠B=13∠C，则△ABC是直角三角形④一个三角形的两边长分别是8和10，那么它的最短边的取值范围是2<b<18A．1个 B．2个 C．3个 D．4个6、如图，在AB=AC的△ABC中，D是BC边上任意一点，DF⊥AC于F，E在AB边上，使ED ⊥BC于D，∠AED=155°，则∠EDF等于（）A、50°B、65°C、70°D、75°7、如图，已知△ABC是等腰直角三角形，∠A=90°，BD是∠ABC的平分线，DE⊥BC于E，若BC=10cm，则△DEC的周长为（）A．8cm B．10cm C．12cm D．14cm8、如图，已知△ABC中，∠ABC=45°，AC=4，H是高AD和BE的交点，则线段BH的长度为（）A. B. C.5 D.49、如图，正方形ABCD内有两条相交线段MN、EF，M、N、E、F分别在边AB、CD、AD、BC上．小明认为：若MN = EF，则MN⊥EF；小亮认为: 若MN⊥EF，则MN = EF．你认为（）A．仅小明对 B．仅小亮对 C．两人都对 D．两人都对第9题图第10题图第11题图第12题图10、如图，△ABC为等边三角形，AQ=PQ，PR=PS，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，•则四个结论正确的是（）．①点P在∠A的平分线上; ②AS=AR; ③QP∥AR; ④△BRP≌△QSP.A．全部正确; B．仅①和②正确; C．仅②③正确; D．仅①和③正确11、如图，△ABC中，CD⊥AB于D，一定能确定△ABC为直角三角形的条件的个数是（）①∠1=∠②③∠+∠2=90°④=3:4:5 ⑤A．1 B．2 C．3 D．412、如图，过边长为1的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA＝CQ时，连PQ交AC边于D，则DE的长为（）A．13B．12C．23D．不能确定二、填空题（每空3 分，共15 分）13、命题“对顶角相等”中的题设是_________ ,结论是___________ 。

反证法经典专题(带解析)

反证法专题50道18．用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程30至少有两个实根”时，要x ax b做的假设是（）A．方程30恰好有两个实根x ax bx ax b没有实根B．方程30C．方程30至多有一个实根x ax b至多有两个实根D．方程30x ax ba b ，则,a b至少有一个小于0”时，假设应为（）19．利用反证法证明“若0A．,a b都小于0B．,a b都不小于0C．,a b至少有一个不小于0D．,a b至多有一个小于020．用反证法证明命题时，对结论：“自然数a，b，c中至少有一个是奇数”正确的假设为（）A．a，b，c都是偶数B．a，b，c都是奇数C．a，b，c中至少有两个奇数D．a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数第1页，共17页参考答案：1．A【分析】根据命题的结论的否定进行判断即可.【详解】因为a ，b 中至少有一个能被5整除的否定是a ，b 都不能被5整除，所以假设的内容应该是a ，b 都不能被5整除，故选：A 2．B【分析】“至少有一个”的否定是“一个也没有”，进而可得答案.【详解】由于反证法是命题的否定的一个运用，故用反证法证明命题时，可以设其否定成立进行推证．“至少有一个”的否定是“一个也没有”，故命题“a ，b ∈N+，如果ab 可被5整除，那么a ，b 至少有1个能被5整除”的否定是“a ，b 都不能被5整除”．故选：B ．3．C【分析】根据反证法的定义即可直接得出结果.【详解】由反证法的定义，知在推导过程中，不能把原结论作为条件使用，其他都可以当作条件来使用，所以可以使用结论的否定、已知条件、公理、定理、定义等.故选：C.4．C【分析】根据反证法基本原理，对结论进行否定即可得到结果.【详解】“a 与b 都不能被7整除”的否定为：,a b 至少有一个能被7整除.故选：C.5．D【分析】根据给定条件，利用反证法的意义写出结论的否定作答.【详解】命题“如果0a b ”，“那么22a b ”的结论是22a b ，而反证法证明命题时，是假设结论不成立，即结论的反面成立，所以所求假设是22a b .故选：D 6．C答案第2页，共17页【分析】取命题的反面即可.【详解】用反证法证明命题，应先假设它的反面成立，即1x 且1y ，故选：C ．7．D【分析】利用反证法证明规则即可得到应假设0x 或0y .【详解】利用反证法证明，应先假设结论不成立，本题应假设0x 或0y 故选：D 8．C【分析】根据反证法证明命题的方法，应先假设命题的反面成立，故求出命题的反面即可.【详解】“x ，y 至多有一个大于0”包括“x ，y 都不大于0和有且仅有一个大于0”，故其对立面为“x ，y 都大于0”.故选：C.9．C【分析】反证法中“a ，b ，c 至少有一个是无理数”的假设为“假设a ，b ，c 都不是无理数”，对照选项即可得到答案.【详解】依题意，反证法中“a ，b ，c 至少有一个是无理数”的假设为“假设a ，b ，c 都不是无理数”，即“假设a ，b ，c 都是有理数”.故选：C.10．A【分析】根据“至少有一个大于”的反设是“三个都不大于”可直接得到结果.【详解】“至少有一个大于”的反设是“三个都不大于”，反设正确的是“三个内角都不大于60 ”.故选：A.11．B【分析】根据“至少有一个是偶数”的否定形式可直接判断出结果.【详解】∵“至少有一个是偶数”的否定形式为“都不是偶数”，假设正确的是：假设,,a b c 都不是偶数.故选：B.12．B【分析】“反证法”就是从命题的反面即否定形式入手考虑题设.故答案为：若“6x y ，则3x 且4y ”成立.45．0x 且0y 【分析】根据反证法思想，写出原命题证明中的假设条件即可.【详解】由反证法思想：否定原结论，推出矛盾，所以题设命题的证明，应假设0x 且0y .故答案为：0x 且0y 46．02a 【分析】根据反证法的结构特点可得正确的假设.【详解】对于命题：“已知a R ，若|1|1a ，则a<0或2a ”，用反证法证明时应假设：若02a .故答案为：02a .47．a b 且b c 成立【分析】假设结论的反面成立，即可求解．【详解】解：假设结论的反面成立，即a b 且b c 成立．故答案为：a b 且b c 成立．48．在一个三角形中至少有两个内角是钝角【分析】依据命题的否定即可求得结论的否定为“在一个三角形中至少有两个内角是钝角”【详解】命题“一个三角形中最多只有一个内角是钝角”的否定为“在一个三角形中至少有两个内角是钝角”故答案为：在一个三角形中至少有两个内角是钝角49．1x 且1y 【分析】根据给定条件，写出已知命题结论的否定作答.【详解】命题若2x y ，则1x 或1y 的结论是“1x 或1y ”，其否定为“1x 且1y ”，所以假设的内容应该是：1x 且1y .故答案为：1x 且1y 50．1x 且1y 【分析】根据反证法的原理可知.【详解】根据反证法的原理可知，求证1x 或1y 时，应首先假设1x 且1y .故答案为：1x 且1y 51．a ，b ，c 中至少有两个偶数【分析】用反证法证明某命题时，应先假设命题的否定成立，所以找出命题的否定是解题的关键.【详解】用反证法证明某命题时，应先假设命题的否定成立.因为“自然数a，b，c中至多有一个偶数”的否定是：“a，b，c中至少有两个偶数”，所以用反证法证明“自然数a，b，c中至多有一个偶数”时，假设应为“a，b，c中至少有两个偶数”，故答案为：a，b，c中至少有两个偶数.。

反证法

切线条的件判一定：定直理线l 经经过过半半径径O的A外的端外并端且点垂A.直于这
条半条径件的二直：线直是线圆l 垂的直切于线半.径OA.
切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
几何符号表达：
∵ OA是半径，OA⊥l 于A ∴ l是⊙O的切线.
.O Al
判断:
1. 过半径的外端的直线是圆的切线（）× 2. 与半径垂直的的直线是圆的切线（）× 3. 过半径的端点与半径垂直的直线是圆的切线（）×
O
l
rAΒιβλιοθήκη O rl AO l
r A
利用判定定理时，要注意直线须具备以下两个条件，缺
一不可: (1)直线经过半径的外端; (2)直线与这半径垂直.
已知一个圆和圆上的一点，如何过这个点画出圆的切线？
第一步：连接OA;
.O
第二步：过A点作OA的垂线l.
.
l
A
例1、如图,线段AB经过圆心O,交⊙O于点A,C,∠BAD
3、已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠D=90°， AD＋BC=AB，以AB为直径作⊙O。
求证：⊙O和CD相切
证明：过O作OE⊥CD于点E.
∵OE⊥CD， ∴∠OEC＝90°.
∵∠D＝90°， ∴∠OEC＝∠D. ∴AD∥OE.
E
∵AD∥BC， ∴AD∥BC∥OE.
∵OA＝OB,
∴CE＝DE.
随堂演练
1、下列说法正确的是(
)B
A、与圆有公共点的直线是圆的切线
B、到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线
C、垂直于圆的半径的直线是圆的切线
D、过圆的半径的外端的直线是圆的切线
2、如图，AB是⊙O的直径,∠B=∠CAD. 求证：AC是⊙O的切线.

几何法、反证法 PPT

当且仅当 A,B,C 三点共线时,等号成立.
1
1
1
此时有2absin 60°+2bcsin 60°=2acsin 120°,
1
1
1
即 ab+bc=ac,故当且仅当 = + 时,取得等号.
探究一
探究二
思维辨析
反思感悟利用几何法证明不等式的关键是构造几何图形,先要
研究所证不等式两边的结构特点,再把其中的字母当作图形的边长,
BVC=30°,∠CVA=60°.
如图所示,则
AB= 2 + 2 - 2,BC= 2 + 2 - 3,CA= 2 + 2 -.
因为在△ABC 中,AB+BC>CA,所以
2 + 2 - 2 + 2 + 2 - 3 >
2 + 2 -.
5课时几何法反证法自主预习合作学习当堂检测首页名师点拨反证法中的数学语言反证法适宜证明存在性问题唯一性问题带有至少有一个或至多有一个等字样的问题直接证明有困难时常采用反证法对数学语言的否定假设要准确以免造成原则性的错误有时在使用反证法时对假设的否定也可以举一些特例来说明矛盾尤其在一些选择题中更是如此
B.[-2 10,2 10]
C.[- 10, 10]
D.[-2 5,2 5]
)
解析:由 a2+b2=10,得点(a,b)是以原点为圆心,以 10为半径的圆上的
点.设 a-b=t,则 t 为斜率为-1 的直线在 x 轴上的截距,由图可知当直线
与圆相切时,t 取得最值,此时圆心到直线的距离
|t|=2 5,即 tmin=-2 5,tmax=2 5.
答案:D