初中几何反证法专题(编辑)

初中几何反证法专题

学习要求

了解反证法的意义，懂得什么是反证法。

理解反证法的基本思路，并掌握反证法的一般证题步骤。

知识讲解

对于一个几何命题，当用直接证法比较困难时，则可采用间接证法，反证法就是一种间接证法，它不是直接去证明命题的结论成立，而是去证明命题结论的反面不能成立。从而推出命题的结论必然成立，它给我们提供了一种可供选择的新的证题途径，掌握这种方法，对于提高推理论证的能力、探索新知识的能力都是非常必要的。下面我们对反证法作一个简单介绍。

1．反证法的概念：

不直接从题设推出结论，而是从命题结论的反面出发，引出矛盾，从而证明命题成立，这样的证明方法叫做反证法。

2．反证法的基本思路：

首先假设所要证明的结论不成立，然后再在这个假定条件下进行一系列的正确逻辑推理，直至得出一个矛盾的结论来，并据此否定原先的假设，从而确认所要证明的结论成立。这里所说的矛盾是指与题目中所给的已知条件矛盾，或是与数学中已知定理、公理和定义相矛盾，还可以是与日常生活中的事实相矛盾，甚至还可以是从两个不同角度进行推理所得出的结论之间相互矛盾（即自相矛盾）。

3．反证法的一般步骤：

(1)假设命题的结论不成立；

(2)从这个假设出发，经过推理论证得出矛盾；

(3)由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正

确

简而言之就是“反设－归谬－结论”三步曲。

例题：

例1．已知：AB、CD是⊙O内非直径的两弦（如图1），求证AB与CD不能互相平分。证明：

假设AB与CD互相平分于点M、则由已知条件AB、CD均非⊙O直径，可判定M不是圆心O，连结OA、OB、OM。

∵OA＝OB，M是AB中点

（1）

∴OM⊥AB （等腰三角形底边上的中线垂直于底边）

同理可得：

OM⊥CD，从而过点M有两条直线AB、CD都垂直于OM

这与已知的定理相矛盾。

故AB与CD不能互相平分。

例2．已知：在四边形ABCD中，M、N分别是AB、DC

的中点，且MN＝（AD＋BC）。

求证：AD∥BC

（2）

证明：假设AD BC，连结ABD，并设P是BD的中点，再连结MP、PN。

在△ABD中

∵BM＝MA，BP＝PD

∴MP AD，同理可证PN BC

从而MP＋PN＝（AD＋BC）①

这时，BD的中点不在MN上

若不然，则由MN∥AD，MN∥BC，得AD∥BC与假设AD BC矛盾，

于是M、P、N三点不共线。

从而MP＋PN＞MN ②

由①、②得（AD＋BC）＞MN，这与已知条件MN＝（AD＋BC）

相矛盾，

故假设AD BC不成立，所以AD∥BC。

课堂练习

1．求证：三角形中至少有一个角不大于60°。

2．求证：一直线的垂线与斜线必相交。

已知：设m，n分别为直线l的垂线

和斜线（如图），垂足为A，斜足为B。

求证：m和n必相交。

3．在△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE相交于H，

求证：AD与BE不能被点H互相平分。

4．求证：直线与圆最多只有两个交点。

5．求证：等腰三角形的底角必为锐角。已知：△ABC中，AB＝AC，求证：∠B、∠C必为锐角。

参考答案：

1．证明：假设△ABC中的∠A、∠B、∠C都大于60°

则∠A＋∠B＋∠C＞3×60°＝180°

这与三角形内角和定义矛盾，所以假设不能成立。

故三角形中至少有一个角不大于60°。

2．证明：假设m和n不相交则

m∥n

∵m⊥l ∴n⊥l

这与n是l的斜线相矛盾，所以假设不能成立。

故m和n必相交。

3．证明：假设AD、BE被交点H互相平分，则ABDE是平行四边形。

∴AE∥BD，即AC∥BC

这与AC、BC相交于C点矛盾，

故假设AD、BE被交点H平分不能成立。

所以AD与BE不能被点H互相平分。

4．证明：假设一直线l与⊙O有三个不同的交点A、B、C，

M、N分别是弦AB、BC的中点。

∵OA＝OB＝OC

∴在等腰△OAB和△OBC中

OM⊥AB，ON⊥BC

从而过O点有两条直线都垂直于l，这是不可能的，故假设不能成立。

因此直线与圆最多只有两个交点。

5．证明：假设∠B、∠C不是锐角，

则可能有两种情况：

(1)∠B＝∠C＝90°

(2)∠B＝∠C＞90°

若∠B＝∠C＝90°，则∠A＋∠B＋∠C＞180°，

这与三角形内角和定理矛盾。

若∠B＝∠C＞90°，则∠A＋∠B＋∠C＞180°，

这与三角形内角和定理矛盾。

所以假设不能成立。

故∠B、∠C必为锐角。

本讲小结

对于一个几何命题，当用直接法证比较困难或甚至不能证明时，则可采用简接证法，反证法就是一种最常见的间接证明方法、掌握并运用好这种方法，对思维能力的提高大有裨益。

所谓反证法，就是先假设命题的结论不成立，从结论的反面入手，进行正确的逻辑推理，导致结果与已知学过的公理、定理，从而得出结论的反面不成立，于是原结论成立。

反证法证题的一般步骤是：

(1)反设：将结论的反面作为假设；

(2)归谬：由“反设”出发，利用已学过的公理、定理，推出与已知矛盾的结果；

(3)结论：由推出的矛盾判断“反设”错误，从而肯定命题的结论正确。

运用“反证法”的关键：

反证法的主要手段是从求证的结论的反面出发，导出矛盾的结

果，因此，如何导出矛盾，就

成了使用反证法的关键。

“反证法”宜用于证明否

定性命题、唯一性命题、“至少”“至多”命题和某些逆命题等，

一般地说“正难则反”凡是直接法很难证明的命题都可考虑用反

证法。

课后作业

1．求证：在平面上，不存在这样的凸四边形ABCD，使△ABC、△BCD、△CDA、△DAB都是锐角三角形。