高中文科数学 不等式

第五讲、不等式

十三、 不等式 （一）不等关系

了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式（组）的实际背景。 （二）一元二次不等式

1.会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型。

2.通过函数图象了解一元二次不等式与相应函数、一元二次方程的联系。

3.会解一元二次不等式。

（三）二元一次不等式组与简单线性规划问题 1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组。

2.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组。

3.从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决。

（四）基本不等式：

,0)2

a b

a b +≥> 会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题。

不等式的概念与性质

1．实数的大小顺序与运算性质之间的关系：

0>-⇔>b a b a 0<-⇔

2．不等式的性质：

（1）a b b a <⇔> ， a b b a >⇔< （反对称性）

（2）c a c b b a >⇒>>, ，c a c b b a <⇒<<, （传递性） （3）c b c a b a +>+⇒>，故b c a c b a ->⇒>+ （移项法则） 推论：d b c a d c b a +>+⇒>>, （同向不等式相加） （4）bc ac c b a >⇒>>0,，bc ac c b a <⇒<>0, 推论1：bd ac d c b a >⇒>>>>0,0

推论2：n

n b a b a >⇒>>0 推论3：n

n b a b a >

⇒>>0

算术平均数与几何平均数

1．常用的基本不等式和重要的不等式

（1）0,0,2

≥≥∈a a R a 当且仅当”取“==,0a

（2）ab b a R b a 2,,22≥+∈则 （3）+

∈R b a ,，则ab b a 2≥+

（4）

2

22)2

(2b a b a +≤+

2最值定理:设xy y x y x 2,0.,≥+由

（1）如积P y x P xy 2(有最小值定值），则积+= （2）如积2

2

(）有最大值（定值），则积S xy S y x =+

即:积定和最小，和定积最大

运用最值定理求最值的三要素：一正二定三相等

3 均值不等式:

两个正数的均值不等式：ab b

a ≥+2

三个正数的均值不等是：3

3

abc c b a ≥++

n 个正数的均值不等式：

n

n n a a a n

a a a 2121≥+++

4四种均值的关系：两个正数b a 、的调和平均数、几何平均数、算术平均数、均方根之间

的关系是 2

211222b a b a ab b

a +≤

+≤≤

+ 不等式的证明 不等式的证明方法

（1）比较法：作差比较：B A B A ≤⇔≤-0 作差比较的步骤：

①作差：对要比较大小的两个数（或式）作差

②变形：对差进行因式分解或配方成几个数（或式）的完全平方和

③判断差的符号：结合变形的结果及题设条件判断差的符号

注意：若两个正数作差比较有困难，可以通过它们的平方差来比较大小

（2）综合法：由因导果

（3）分析法：执果索因基本步骤：要证……只需证……，只需证……

①“分析法”证题的理论依据：寻找结论成立的充分条件或者是充要条件

②“分析法”证题是一个非常好的方法，但是书写不是太方便，所以我们可以利用分析法寻找证题的途径，然后用“综合法”进行表达

（4）反证法：正难则反

（5）放缩法：将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的

放缩法的方法有：

①添加或舍去一些项，如：a a >+12

；n n n >+)1(； ②将分子或分母放大（或缩小） ③利用基本不等式， 如：4lg 16lg 15lg )2

5lg 3lg (

5lg 3log 2

=<=+<⋅； 2

)

1()1(++<

+n n n n ④利用常用结论： Ⅰ、k

k

k k k 21111<

++=

-+；

Ⅱ、

k k k k k 111)1(112--=-< ； 111)1(112

+-=+>k k k k k （程度大） Ⅲ、

)1

111(21)1)(1(111122+--=+-=-

22a y x =+，可设θθsin ,cos a y a x ==；

已知12

2≤+y x ，可设θθsin ,cos r y r x ==(10≤≤r )；

已知122

22=+b y a x ，可设θθsin ,cos b y a x ==；

已知122

22=-b

y a x ，可设θθtan ,sec b y a x ==；

（7）构造法：通过构造函数、方程、数列、向量或不等式来证明不等式； 解不等式

1．解不等式问题的分类

(1)解一元一次不等式． (2)解一元二次不等式． (3)可以化为一元一次或一元二次不等式的不等式．

①解一元高次不等式；②解分式不等式；③解无理不等式；④解指数不等式； ⑤解对数不等式； ⑥解带绝对值的不等式； ⑦解不等式组． 2．解不等式时应特别注意下列几点： (1)正确应用不等式的基本性质．