窄带随机过程的模拟

合集下载

随机信号分析_第五章_窄带随机过程

随机信号分析_第五章_窄带随机过程

定义复指数函数: ~s (t) ae j (t) ae j e j0t a~e j0t 式中 a~ ae j ,称为复包络。 可以看出s(t)是~s (t) 的实部,即:
s(t) Re[~s (t)]
某些情况下,用复指数形式来分析 问题更加简便,可以简化信号和滤波器 的分析。
复信号~s (t) 的频谱为:
1. s(t) Re[~s (t)]
2.
X~ (
)
2 0
X
(
)
0 0
式中X~ ( )为~s (t)的频谱。
可以证明:满足上面要求的 ~s (t) 是 存在的,称为解析信号。把它用解析表 达式表示为:~s (t) s(t) jsˆ(t)
可以推导出: sˆ(t)
1
s( ) d
t
上式称为希尔伯特(Hilbert)变换,记做
0
ω ω0-ωc ω0 ω0+ωc
|X~H(ω)|
0
ω0-ωc ω0 ω0+ωc
ω
2. 复指数表示
设s(t)为窄带信号,其频谱为X(ω) 。 定义窄带信号s(t)的复指数函数 ~se (t) 为:
~se (t) A(t)e j[0t (t)] A~(t)e j0t 其中A~(t)=A(t)e j (t) sc (t) jss (t)
用复数表示为:
s(t)=acosφ(t)=a[ejφ(t)+ e-jφ(t)]/2
因为 e j0t ( 0 )
所以s(t)的频谱为:
X(ω)= a[ejθδ(ω-ω0)+e-jθδ(ω+ω0)]/2 |X(ω)|= a[δ(ω-ω0)+δ(ω+ω0)]/2 说明正弦型信号包含正负两种频率成分, 其频谱为对称的两根单一谱线。

09第八章窄带随机过程

09第八章窄带随机过程

4S (w) w 0 (t)的 功 率 谱 密 度 S (w) X 5) 解 析 过 程 X X w 0 0 ˆ 解 : 已 知 R X ( ) 2[ R X ( ) jR X ( )], 等 式 两 边 做 傅 氏 变 换 可 得 : ˆ S X ( w ) 2[ S X ( w ) jS X ( w )] ˆ 其 中 , S X ( w ) j sgn( w ) S X ( w ) 所 以 : S X ( w ) 2[ S X ( w ) s g n ( w ) S X ( w )] 4SX (w) w 0 w 0 0
三、窄带随机过程的莱斯表达式
任 何 一 个 实 平 稳 随 机 过 程 X(t)都 可 以 表 示 为 : X ( t ) = ( t ) c o s w 0 t b ( t ) s in w 0 t 式 中 , 对 于 窄 带 随 机 过 程 来 说 , w 0一 般 为 窄 带 滤 波 器 的 中 心 频 率 。
( t ) , b ( t )为 另 外 两 个 随 机 过 程 。
ˆ ( t ) = X ( t ) c o s w 0t X ( t ) s i n w 0t ˆ b( t ) = - X ( t ) s i n w 0 t X ( t ) c o s w 0 t 证明:
证明: 若 X(t)为 实 随 机 过 程 , 则 其 解 析 过 程 为 : ˆ X ( t ) = X ( t ) jX ( t ) 用乘e
复随机过程
定义: 设{Xt, t∈T},{Yt, t∈T}是取实数值的两个随机过程,若对任意t∈T
Zt X
t
iY t
其中 i
1
,则称{Zt, t∈T}为复随机过程。

《随机信号分析》第五章-窄带随机过程

《随机信号分析》第五章-窄带随机过程
高斯 同一时刻不相关
独立
2020/10/24
06-9-27 28
5.3.2 结论1
对于均值为零的窄带平稳高斯过程
其同相分量和正交分量同样是平稳高斯过程, 而且均值都为零,方差也相同;
在同一时刻上的同相分量与正交分量是不相 关的或统计独立的。
2020/10/24
29
5.3.2
Rc Rs R cos 2 fc Rˆ sin 2 fc
15
2.随机信号的复信号表示
X (t) X (t) jXˆ (t)
R X
(
)
E
X
(t
)
X
*
(t)
E{[ X (t ) jXˆ (t )][ X (t) jXˆ (t)]}
RX ( ) RXˆ ( ) j[RXˆX ( ) RXXˆ ( )]
RX ( ) RXˆ ( ) RXˆX ( ) Rˆ X ( ) RXXˆ ( )
2020/10/24
2
希尔伯特变换 (Hilbert Transform)
1.定义
正变换定义:
H[x(t)] xˆ(t) 1 x( ) d
t
xˆ(t) x(t) 1
t
反变换:
H 1[xˆ(t)] x(t) 1 xˆ( ) d
t
H 1[xˆ(t)] xˆ(t) 1
第5章 窄带随机过程
Narrow-band Random Process
希尔伯特变换 信号的复信号表示 窄带随机过程的统计特性 窄带正态随机过程包络和相位的分布
2020/10/24
1
希尔伯特,D.(Hilbert,David,1862~ 1943)德国著名数学家。
希尔伯特领导的数学学派是19世纪末20 世纪初数学界的一面旗帜,希尔伯特被称 为“数学界的无冕之王”。

窄带随机过程

窄带随机过程




相频特性为:
()
/ 2
/
2
0 0
波 器
二、希尔伯特变换的性质
(1) H[xˆ(t)] x(t)
(2) H[cos(0t )] sin(0t )
H[sin(0t )] cos(0t )
(3) 如果a(t)是低频信号
H[a(t) cos0t] a(t)sin 0t H[a(t)sin 0t] a(t) cos0t
低频信号
是窄带确知信号,其解析信号为
x%(t) A(t)cos0t+(t) jA(t)sin0t+(t)
A(t)e j0t+ (t) A%(t)e j0t
其中 A%(t) A(t)e j (t) ,称为复包络。
一、确知信号的复信号表示
对解析信号取傅里叶变换,得
X%() X () jX ()
第五章 窄带随机过程
窄带随机过程
5.1 窄带随机过程 5.2 信号的复信号表示 5.3 窄带随机过程的统计特性 5.4 窄带正态随机过程包络和相位的分布
5.1 窄带随机过程
一、希尔伯特变换的定义
假定一实函数x(t),其希尔伯特变换为:
H[x(t)] xˆ(t) 1 x( ) d
t
其反变换为:
4、同相分量和正交分量的统计特性
RY ( ) cos0t cos0 (t ) RYˆY ( ) sin 0t cos0 (t )
RYYˆ ( ) cos0t sin 0 (t ) RYˆ ( ) sin 0t sin 0 (t ) 利用如下关系 RY ( ) RYˆ ( ) RYYˆ ( ) RˆY ( ) RYˆY ( )
具有系统函数为 jsgn 的网络是一个使相位滞 π 后 2 弧度的宽带相移全通网络。

窄带随机过程

窄带随机过程
0
0 为高频载波。
窄带随机过程----- 若一个随机过程的功率谱密度,只分布在高频载波
ω0 附近的一个较窄的频率范围∆ω内,且满足ω0>>∆ω 时,则称该过程为窄带随机过程。记为:Z( t ) 。
例:图6.1为以窄带随机过程的功率谱密度函数
GZ(ω)
0
0
0
0
问题: 对应于功率谱密度GZ (ω)的窄带随机过程Z(t)的表达 式为何?即如何 Gz ( ) Z(t ) 。
t t
称为Hilbert变换。
Hilbert 变换与反变换:
sˆ(t) H[s(t)] 1 s( ) d
t
s(t) H 1[sˆ(t)] 1 sˆ( ) d sˆ(t) * 1
t
1
全通滤
| H( )|
波器
H ( )
0
90
1
0
f
0
f
0
90
表达式(二): Z(t) X (t)cos 0t Y (t)sin0t
其中:
X (t ) B(t )cos (t ) Y (t ) B(t )sin(t )
B(t ) X 2 (t ) Y 2 (t ), tan (t) Y (t) / X (t)
由于 cos 0t 与sin0t 正交,故称 X( t )-----Z( t )的同相分量, Y( t )-----Z( t )的正交分量。
窄带随机过程的定义 解析信号与希尔伯特变换 窄带随机过程的性质 窄带高斯随机过程Z(t)的高斯分布 余弦波加窄带高斯过程
§6.1 窄带随机过程的定义
窄带系统---------很多无线电系统的通频带 是比较窄的,
它们远小于其中心频率 ,0 这种系统只允许输入信号靠近

《随机信号分析》第五章-窄带随机过程_第三讲

《随机信号分析》第五章-窄带随机过程_第三讲

c
s
t t
t cos 2 ˆ t cos 2
fct fct
ˆ t sin 2 t sin 2
fct fct
■ 若E t 0,E c t E s t 0.
■ 若 t 是高斯过程,c t 和s t 也是高斯过程. ■ 若 t 是广义平稳过程,c t 和s t 是联合广义平稳随机
(t
)
arctan
s c
(t (t
) )
2020/7/24
2
窄带随机过程的低通表示
■ t 的等效低通表示
(t ) (t ) jˆ(t ) L (t )e j2 fct
复包络 复载波
其中L (t) ~(t)e j2fct
L (t) c (t) js (t) a (t)e j (t)
(t ) Re t Re L (t)e j2 fct
2020/7/24
3
5.3.2窄带随机过程的统计特性
解析信号的统计特性
■ R E * t t E (t) jˆ(t) (t ) jˆ(t )
R Rˆ jRˆ jRˆ 2 R jRˆ
P ( f ) A
0
fc
fc fc f
f
A P ( f fc )
0
2 fc
fc
0 f
f
A P ( f fc )
0
f 0
fc
2 fc
f
2020/7/24
Pc ( f ) Ps ( f )
2A
f 0 f
f
10
5.4 窄带随机过程包络和相位的分布
窄带正态噪声的包络和相位分布
一维分布 二维分布
12
5.4.1
J 为Jocabian行列式。

Matlab仿真窄带随机过程

Matlab仿真窄带随机过程

随机过程数学建模分析任何通信系统都有发送机和接收机,为了提高系统的可靠性,即输出信噪比,通常在接收机的输入端接有一个带通滤波器,信道内的噪声构成了一个随机过程,经过该带通滤波器之后,则变成了窄带随机过程,因此,讨论窄带随机过程的规律是重要的。

一、窄带随机过程。

一个实平稳随机过程X(t),若它的功率谱密度具有下述性质:中心频率为ωc,带宽为△ω=2ω0,当△ω<<ωc时,就可认为满足窄带条件。

若随机过程的功率谱满足该条件则称为窄带随机过程。

若带通滤波器的传输函数满足该条件则称为窄带滤波器。

随机过程通过窄带滤波器传输之后变成窄带随机过程。

图1 为典型窄带随机过程的功率谱密度图。

若用一示波器来观测次波形,则可看到,它接近于一个正弦波,但此正弦波的幅度和相位都在缓慢地随机变化,图2所示为窄带随机过程的一个样本函数。

图1 典型窄带随机过程的功率谱密度图图2 窄带随机过程的一个样本函数二、窄带随机过程的数学表示1、用包络和相位的变化表示由窄带条件可知,窄带过程是功率谱限制在ωc附近的很窄范围内的一个随机过程,从示波器观察(或由理论上可以推知):这个过程中的一个样本函数(一个实现)的波形是一个频率为ƒc且幅度和相位都做缓慢变化的余弦波。

写成包络函数和随机相位函数的形式:X(t)=A(t)*cos[ωc t+ Φ(t)]其中:A(t)称作X(t)的包络函数; Φ(t)称作X(t)的随机相位函数。

包络随时间做缓慢变化,看起来比较直观,相位的变化,则看不出来。

2、莱斯(Rice)表示式任何一个实平稳随机过程X(t)都可以表示为:X(t)=A c(t) cosωc t-A S(t) sinωc t其中同相分量:A c(t)= X(t) cosφt= X(t) cosωc t+sinωc t=LP[X(t) *2cosωc t]正交分量:A S(t) = X(t)sinφt=cosωc t— X(t) sinωc t= LP[-X(t) *2sinωc t](LP[A]表示取A的低频部分)。

Matlab仿真窄带随机过程

Matlab仿真窄带随机过程

随机过程数学建模分析任何通信系统都有发送机和接收机,为了提高系统的可靠性,即输出信噪比,通常在接收机的输入端接有一个带通滤波器,信道内的噪声构成了一个随机过程,经过该带通滤波器之后,则变成了窄带随机过程,因此,讨论窄带随机过程的规律是重要的。

一、窄带随机过程。

一个实平稳随机过程X(t),若它的功率谱密度具有下述性质:中心频率为ωc,带宽为△ω=2ω0,当△ω<<ωc时,就可认为满足窄带条件。

若随机过程的功率谱满足该条件则称为窄带随机过程。

若带通滤波器的传输函数满足该条件则称为窄带滤波器。

随机过程通过窄带滤波器传输之后变成窄带随机过程。

图1 为典型窄带随机过程的功率谱密度图。

若用一示波器来观测次波形,则可看到,它接近于一个正弦波,但此正弦波的幅度和相位都在缓慢地随机变化,图2所示为窄带随机过程的一个样本函数。

图1 典型窄带随机过程的功率谱密度图图2 窄带随机过程的一个样本函数二、窄带随机过程的数学表示1、用包络和相位的变化表示由窄带条件可知,窄带过程是功率谱限制在ωc附近的很窄范围内的一个随机过程,从示波器观察(或由理论上可以推知):这个过程中的一个样本函数(一个实现)的波形是一个频率为ƒc且幅度和相位都做缓慢变化的余弦波。

写成包络函数和随机相位函数的形式:X(t)=A(t)*cos[ωc t+ Φ(t)]其中:A(t)称作X(t)的包络函数; Φ(t)称作X(t)的随机相位函数。

包络随时间做缓慢变化,看起来比较直观,相位的变化,则看不出来。

2、莱斯(Rice)表示式任何一个实平稳随机过程X(t)都可以表示为:X(t)=A c(t) cosωc t-A S(t) sinωc t其中同相分量:A c(t)= X(t) cosφt= X(t) cosωc t+sinωc t=LP[X(t) *2cosωc t]正交分量:A S(t) = X(t)sinφt=cosωc t— X(t) sinωc t= LP[-X(t) *2sinωc t](LP[A]表示取A的低频部分)。

窄带随机过程ppt课件

窄带随机过程ppt课件
5
表达式(二): Z(t) X (t)cos 0t Y (t)sin0t
其中:
X (t ) B(t )cos (t ) Y (t ) B(t )sin(t )
B(t ) X 2 (t ) Y 2 (t ), tan (t) Y (t) / X (t)
由于 cos 0t 与 sin0t正交,故称 X( t )-----Z( t )的同相分量, Y( t )-----Z( t )的正交分量。
Fourier 变换
S ()
时域复信号。
问题:如何由给定的时域实信号构造对应的时域复信号?
10
2.解析信号的构造
对给定的时域实信号s(t),设构造的时域复信号为
z(t) s(t) jsˆ(t)
其中,sˆ(t ) 为一由s(t)构造的信号,其构造方法可为,
s( t )
h( t )
ˆs( t )
即, z(t ) s(t ) js(t ) h(t)
引入表达式 2 的目的是将Z( t )分解成两个相互正交的分量,
以便于分别分析。 6
表达式 1 和表达式 2 两者间的几何关系: 表达式1:Z(t) B(t)cos[0t (t)], B(t) 0 表达式2:Z(t ) X (t )cos 0t Y (t )sin0t
B( t ) Y(t )
令 0
RZ (0) RX (0) RY (0)
即: X(t),Y(t),Z(t) 的平均功率相同
∵ 前面假设窄带平稳随机过程的均值为零, ∴
2 Z
2 X
2 Y
24
性质性质4证明:
Z (t) X (t) cos0t Y (t) sin 0t Z (t) X (t) sin 0t Y (t) cos0t

6.窄带与正弦波加窄带随机过程

6.窄带与正弦波加窄带随机过程

于是, 由式(3.5 - 9)及式(3.5 - 10)得到
Rsc(0)=Rcs(0)=0
(3.5 - 15)
于是,由式(3.5 - 9)及式(3.5 - 10)得到
Rξ(0)=Rc(0)=Rs(0)
(3.5 - 16)
即σ2ξ=σ2c=σ2s
(3.5 - 17)
பைடு நூலகம்
这表明ξ(t)、ξc(t)和ξs(t)具有相同的平均功率或方差(因
3.5 窄带随机过程
•窄带过程: 随机过程通过以fc为中心频率的窄带系统的输出. •窄带系统: 是指其通带宽度Δf<<fc,且fc远离零频率的系统。 •窄带随机过程 实际中,大多数通信系统都是窄带型的,通 过窄带系统的信号或噪声必是窄带的,如果这时的信号或噪 声又是随机的,则称它们为窄带随机过程. •窄带噪声的波形:
再取使cosωct=0的所有t
(3.5 - 9)
Rξ(τ)=Rs(τ)cosωcτ+Rsc(τ)sinωcτ (3.5 - 10)
其中应有
Rs(t, t+τ)=Rs(τ) Rsc(t, t+τ)=Rsc(τ)
由以上的数学期望和自相关函数分析可知, 如果窄带过 程ξ(t)是平稳的,则ξc(t)与ξs(t)也必将是平稳的。
由式(3.5 - 1)至(3.5 - 4)看出,ξ(t)的统计特性可由aξ(t), φξ(t)或ξc(t),ξs(t))的统计特性确定。反之,如果已知ξ(t)的统计 特性则可确定aξ(t),φξ(t)以及ξc(t),ξs(t)的统计特性。
3.5.1 窄带过程的同相和正交分量的统计特性
设窄带过程ξ(t)是平稳高斯窄带过程,且均值为零, 方差 为σ2。下面将证明它的同相分量ξc(t)和正交分量ξs(t)也是零均 值的平稳高斯过程,而且与ξ(t)具有相同的方差。

实验四 窄带信号的仿真和分析

实验四 窄带信号的仿真和分析

实验四 窄带信号的仿真和分析一、实验目的1熟悉窄带随机过程的定义,了解窄带随机过程产生的原理与方法。

2估计实验产生的窄带随机过程的功率谱。

二、实验仪器1计算机一台。

2 MATLAB 软件。

三、实验原理如果带通信号的带宽与中心频率相比非常小,即|ω2-ω1|<<ω0(或ωm<<ω0),则称它为窄带信号或准单频信号。

222000002022()cos[()]()()()()()cos()()sin()()()cos()()sin()()cos ()()()cos ()()(;/),0n v v v n n v n v n r A r n n s t A t t v t s t n t v t i t t q t t n t i t t q t t i t A t i t q t A t q t r rA f r t e I r σωωωωωϕσσ+=+Φ=+=-=-=Φ+=Φ+⎛⎫=≥ ⎪⎝⎭只有噪声时,输出噪声幅度服从正态分布,而包络服从瑞利分布。

四 实验内容本实验模拟产生一个窄带随机过程。

首先产生两个相互独立的随机过程 Ac(t)和As(t), 并将用两个正交载波 cos 2πf0t 和 sin 2πf0t 进行调制,如下图所示,然后进行抽样得到窄带过程的抽样。

πf 0tnTπf 0nT4.1 窄带随机过程的产生实验步骤:步骤一,理解窄带随机过程产生的框图,如图所示。

步骤二,根据所设计框图,产生两个独立的白噪声,并设计一个低通滤波器(本实验选择为)。

白噪声通过同一个低通滤波器产生两个相互独立的随机过程Ac(t)和As(t)的抽样Ac(n)和As(n);步骤三,用两个正交载波cos2πf0nT和sin2πf0nT(T为抽样间隔,假定T=1,f0=1000/π)分别对Ac(n)和As(n)进行调制,然后通过两者相减得到窄带随机过程的抽样值;步骤四,根据计算相关函数和功率谱的数学表达式估计其值;步骤五,MATLAB编程完成上述内容。

概率论第六章 窄带随机过程

概率论第六章  窄带随机过程

pB (
ut )
1
2
2
exp(
ut
2
2
)
ut 0
可见,窄带高斯过程包络平方的一维概率密度函数 为指数分布。一个重要的特例是σ2=1的情况,此时有
pu (ut )
1 exp( ut ),
2
2
ut
0
其均值为E[ut]=2,方差为D[ut]=4.
§6.5余弦信号与窄带高斯过程之 和的概率分布
一、余弦信号加窄带高斯过程的包络和相位概率分布
类似地,如果一个随机过程的功率谱密度,只分 布在高频载波ω0附近的一个窄频率范围Δω内,在 此范围之外全为零,且满足ω0>>Δω时,则称之为 窄带过程。
一、窄带过程的物理模型和数学模型
一个典型的确定性窄带信号可表示为
x(t) a(t) cos[0t (t)]
其中,a(t)为幅度调制或包络调制信号,Ф(t)为 相位调制信号,它们相对于载频ω0而言都是慢变化的。
根据希尔伯特变换的性质: RXˆ ( ) RX ( )
RXˆX ( ) RXXˆ ( ) RˆX ( )
整理,得 RX ( ) RZ ( )cos0 RˆZ ( )sin0
同理可以证明 RY ( ) RZ ( )cos0 RˆZ ( )sin0
RX ( ) RY ( )
窄带过程性质的证明
第六章 窄带随机过程
6.1 窄带随机过程的一般概念 6.2希尔伯特变换 6.3 窄带随机过程的性质 6.4窄带高斯随机过程的包络和相位的概率分布 6.5余弦信号与窄带高斯过程之和的概率分布
§ 6.1 窄带随机过程的一般概念
窄带信号的频率或窄带系统的频率响应被限制在 中心频率ω0附近一个比较窄的范围内,而中心频率ω0 又离开零频足够远。

窄带平稳随机过程

窄带平稳随机过程
❖ 窄带高斯过程(零均值)的正交分量、同相 分量正交
❖ 其包络和相位独立。
余弦波加窄带高斯平稳过程
❖ 形式
x t Acosct n t Acosct nc t cosct ns t sin ct
❖ 包络
R t A nc t 2 ns2 t
莱斯分布
p
r
r
2
exp
r2
正交且功率相同。
白噪声
❖ 定义
凡是功率谱密度在整个频带内均匀分布的噪声, 称为白噪声。
P() n0
2 R( ) n0 ( )
2
窄带平稳高斯过程
❖ 高斯白噪声经过带通系统
n t nc t cosct ns tsinct
E
n
t 2
E
nc
t 2
E
ns
t 2
2
nc(t),ns(t)正交
窄带平稳高斯过程(零均值)
t
arctg
ns nc
t t
p 1
2

证明
因为nc(t),ns(t)是正交的均值为0,方差为 的高斯随机变量2,因此它们独立
(窄带高斯过程的性质),则

p
nc ,
ns
1
2
2
exp
nc2
2
ns2
2
则 r nc2 ns2 ,
arctg ns
nc
nc r cos , ns r sin
I0
x
2
0
1
2
exp x
cos
d
p
0
p
r,
dr
0
r
2
2
exp
r

第5章-窄带随机过程

第5章-窄带随机过程

RXXˆ () RXXˆ ()
RXXˆ (0) 0
互相关函数是奇函数
ˆ (t )正交 意味着 X (t )与 X
17
(9)偶函数的希尔伯特变换为奇函数,奇函数的希 尔伯特变换为偶函数 2015/6/2
Hilbert变换

常用变换
xt
cos 2 f0 t sin 2 f0 t
X () X () j ( j sgn()) X () (1 sgn()) X () =2 X ( w)U ( w) 2 X ( w), W 0 W 0 0, 即,解析信号的频谱在负频率部分为0,在正频率部分是 是信号的两倍。
2015/6/2 22
解析信号的特点2:解析信号频谱与复包络频谱
2015/6/2
6
希尔伯特变换 (Hilbert Transform)
1. 定义 :
正变换定义:
ˆ (t ) H [ x(t )] x
反变换:
ˆ ( ) x ˆ (t )] x(t ) H [x d t 1 1 ˆ (t )] x ˆ (t ) H [x t
2015/6/2 20

解析信号的性质(2)
4) 解析信号 x(t ) 的能量为其实信号 x (t)能量的2倍
x1 t x 2 t 0 5) 提示:利用性质2)和3) x t x2 t 0 1 6) 已知实函数 x t , 求其解析信号的方法
x( t ) A( t )cos 2 f 0 t x( t ) A t e j 2 f0t
2015/6/2
注:A t 为低通信号,其带宽W f 0 .

第7章 窄带随机过程

第7章 窄带随机过程

h(t ) 1/ t
| H ( ) |
2 ( ) 2
90
0 0
H ( ) 的相移
1

0

0

H () 1
90
2
解析信号(用信号的希尔伯特变换构造解析信号)
• 由实信号 x(t ) 作为复信号 z(t ) 的实部, x(t ) 的希尔伯特变 换作为复信号 z(t ) 的虚部,即
H () 1
/ 2 0 ( ) /2 0
相频特性为:
正 交 滤 波 器
1 希尔伯特变换 希尔伯特变换相当于一个正交滤波器
1 ˆ (t ) x(t ) * x t
H ( )
+j 0 -j
j 0 H ( ) j 0
什么叫窄带?当信号的带宽远小于载波频率时, 则该信号称为窄带信号,如通信系统中的调幅信号 和调频信号。正弦信号或余弦信号为单频信号(谱线), 是最窄的一种窄带信号,实际上它的带宽等于 0 , 而扩频信号则为宽带信号。这些概念对于理解 窄带随机过程是很重要的。
窄带随机过程
高斯白噪声是一种典型的随机过程,它的概率密度函数为正 态分布(又称高斯分布) ,它的功率谱在整个频率范围内为常数, 故称之为“白” 。当它通过一个窄带滤波器后,就形成了一种窄带 高斯噪声, 它是一种典型的窄带随机过程, 如图所示。 图中 ni (t ) 为 输入高斯白噪声, n0 (t ) 为输出窄带高斯噪声,NBPF 为窄带滤波 器,根据前面随机信号通过线性系统的结论,得输出窄带高斯噪 声的功率谱及窄带随机过程的时域波形如下页图所示。
5
1. 窄带随机过程的定义
一个实平稳随机过程X(t),若它的功率谱密度:

窄带随机过程的模拟

窄带随机过程的模拟

实验报告实验题目:窄带随机过程的模拟一、实验目的了解随机过程特征估计的基本概念和方法,学会运用MATLAB软件产生各种随机过程,对随机过程的特征进行估计,并通过实验了解不同估计方法所估计出来的结果之间的差异。

二、实验原理(1)高斯白噪声的产生提示:利用MATLAB函数randn产生(2)自相关函数的估计111()()ˆ()1ˆ()N m n x N m x n m n n x n m x n N R m R m x x N m --=--+=⎧+⎪⎪=⎨⎪=⎪-⎩∑∑对有偏估计对无偏估计提示:MATLAB 自带的函数为xcorr(),阐述xcorr 的用法(3)功率谱的估计利用周期图方法估计功率谱,21ˆ()()xG X N=ωω 其它谱估计方法:…….提示:MATLAB 自带的函数为periodogram(),阐述periodogram()的用法;阐述其它谱估计方法的用法。

(4)均值的估计111ˆ()N x n mx n N -==∑ 提示:MATLAB 自带的函数为mean()(5)方差的估计12211ˆ[()]N xn x n x N -==-∑σ提示:MATLAB 自带的函数为var()(6) AR(1)模型的理论自相关函数和理论功率谱对于AR(1)模型()(1)()X n aX n W n =-+,自相关函数为2||2()1m X a R m a =-σ ,其功率谱为22()(1)X j G aeωσω-=-。

三、实验内容1. 相关高斯随机序列的产生按如下模型产生一组随机序列()(1)()x n ax n w n =-+,其中()w n 为均值为1,方差为4的正态分布白噪声序列。

(1)产生并画出a=0.8和a=0.2的x(n)的波形; (2)估计x(n)的均值和方差;(3)估计x(n)的自相关函数,并画出相关函数的图形。

2. 两个具有不同频率的正弦信号的识别设信号为12()sin(2)2cos(2)()x n f n f n w n ππ=++,1,2,,n N = ,其中()w n 为零均值正态白噪声,方差为2σ。

4.3 窄带随机过程的基本特点及解析表示

4.3 窄带随机过程的基本特点及解析表示

RAC AS RAS AC 0
即: AC t 与
S AC AS S ASA 0
C
AS t 处处正交
结论:
X(t)宽平稳,期望为0的实窄带随机过程, Ac(t),As(t) 低频过程
性质: (1)Ac(t),As(t) 期望为0,低频、平稳过程,且 联合平稳 (2)自相关函数,功率谱密度相同
RAc () RAs () S Ac () S As ()
(3)Ac(t),As(t)与X(t)平均功率同,方差同
(4)Ac(t),As(t) 互相关函数为奇函数
互谱密度相反
(5)同一时刻Ac(t),As(t)正交
(6)若X(t)单边功率谱关于ω0对偶,则两低频Ac(t),As(t) 过程始终正交(互谱密度,互相关函数横为0)
直接得到困难
X (t )
A(t ) (t )
AC (t ) AS (t )
展开成另一种表达形式(莱斯表示式):
X t A t cos 0 t t
A t cos t cos 0t A t sin t sin 0t
1.均值:零均值
ˆ t sin t 0 E A t E X t cos t X 0 0 C
ˆ t cos t 0 E A t E X t sin t X 0 0 S
4.3.2 平稳窄带随机过程的特点
这节讨论的X(t)是任意的宽平稳、数学期望为零的 实窄带随机过程。
对窄带过程取希尔伯特变换
X t AC t cos 0 t AS t sin 0 t ˆ X ( t ) AC t sin 0 t AS t cos 0 t

5.5窄带随机过程的莱斯表示

5.5窄带随机过程的莱斯表示

随机信号分析目录CONTENTSCONTENTS窄带随机过程的定义窄带随机过程的莱斯表示窄带随机过程的莱斯表示证明小结⚫定义:一个实平稳随机过程X(t),若它的功率谱密度具有下述性质00() ()0 X c c X S S ωωωωωωω⎧−≤≤+⎪=⎨⎪⎩其它且带宽,满足则称此随机过程为窄带平稳随机过程,以下简称窄带随机过程。

2c ωω∆=0ωω∆<<窄带随机过程的功率谱密度图)(ωX S O ωω∆ω∆000 c c ωωωωω−+000 - -c c ωωωωω−−+窄带随机过程的一个样本函数缓慢变化的包络[B(t )]频率近似为ω0有缘学习更多+谓ygd3076考证资料或关注桃报:奉献教育(店铺)窄带随机过程的莱斯表示⚫窄带随机过程的莱斯表示式:其中:00ˆ()()cos ()sin a t X t t X t t ωω=+00ˆ()()sin ()cos b t X t t X t t ωω=−+将X(t)表示成解析过程:0000ˆˆ()cos ()sin ()sin ()cos X t t X t t j X t t X t t ωωωω⎡⎤⎡⎤=++−+⎣⎦⎣⎦ˆ()()()X t X t jXt =+[]000ˆ()()()cos sin j t X t e X t jX t t j t ωωω−⎡⎤=+−⎣⎦0()()()j tX t e a t jb t ω−=+证明:()a t =()b t ==+ωX t a t jb t e j t()()()0][=−++ωωωωa t t b t t j a t t b t t ()sin ()cos ()sin ()cos 0000][][=−ωω()()sin ()cos 00X t a t t b t t =+ωωa t X t t X t t ()()cos ()sin ˆ00=−+ωωb t X t t X t t ()()sin ()cos ˆ00取实部:=X t ()=Xt ()ˆ窄带随机过程的莱斯表示有缘学习更多+谓ygd3076考证资料或关注桃报:奉献教育(店铺)窄带随机过程的定义:一个是平稳随机过程X(t),若它的功率谱密度具有下述性质00() ()0 X c c X S S ωωωωωωω⎧−≤≤+⎪=⎨⎪⎩其它且带宽,满足则称其为窄带随机过程。

窄带高斯随机过程

窄带高斯随机过程

窄带高斯随机过程
嘿,朋友们!今天咱来聊聊窄带高斯随机过程。

这玩意儿啊,就像是生活中的一场奇妙冒险!
你看啊,窄带高斯随机过程就像是天气。

有时候阳光明媚,有时候又乌云密布,变幻莫测得很呢!它那起伏不定的特性,不就跟天气一会儿晴一会儿雨一样嘛。

它的高斯特性呢,就好像是一群人排队,大多数人都在中间,高的矮的只是少数,很有规律的样子。

在通信领域里,窄带高斯随机过程可重要啦!就好比是一座桥,连接着信息的这头和那头。

要是没有它,那信息传递还不得乱了套呀!
想象一下,我们打电话的时候,如果没有窄带高斯随机过程在背后默默工作,那声音可能一会儿清楚一会儿模糊,甚至还可能断了线,那多烦人呐!
它也像个神秘的小精灵,在各种电子设备里跑来跑去,发挥着自己独特的作用。

而且哦,研究窄带高斯随机过程就像是探索一个神秘的宝藏。

你得一点点去挖掘,去发现它的秘密和规律。

有时候可能会遇到困难,觉得哎呀,怎么这么难搞呀!但当你真的搞懂了一些,那种成就感,可别提多棒啦!
咱再说说它在信号处理中的作用,那可真是不容小觑啊!它能帮助我们更好地理解和处理那些复杂的信号,让它们变得清晰明了。

这就好像是给一幅模糊的画慢慢擦拭干净,让它露出原本美丽的模样。

在实际应用中,工程师们可都得跟窄带高斯随机过程打交道呢。

他们得像驯兽师一样,把这个有点调皮的家伙驯服,让它乖乖为我们服务。

总之,窄带高斯随机过程虽然有点复杂,有点神秘,但它真的非常非常重要!我们可不能小瞧了它。

我们要努力去了解它,掌握它的规律,让它为我们的生活和科技发展做出更大的贡献!这就是我对窄带高斯随机过程的看法啦,你们觉得呢?
原创不易,请尊重原创,谢谢!。

窄带随机过程

窄带随机过程
n0 Pξ (ω ) = , w / Hz 2
由Pξ (ω ) R(τ )
因为R(τ )在τ = 0才有值,所以白噪声只与τ = 0相关
(三)
∴ R(τ ) =
宽 带 过 程
n0 δ (τ ) 2
2.带限白噪声 定义: 白噪声限制于(-f0,f0)之内
白噪声 n0/2 n0/2
R(τ ) = f 0 n0 S a (ω 0τ )
FT
1 H [ f (t )]= f (t ) πt
H [a (t )Cosω c t ]
j ω ←→ Sgn [A(ω ω c ) + A(ω + ω c )] 2 2π
FT
1 jA(ω + ω c ) ω < 0 X H ( jω ) = 2 1 2 jA(ω ω c ) ω > 0
X(w)
△f
0
fc
f
1 xH (t ) = F [X H ( jω )] = 2π
1
{∫
∞ j 0 2
A(ω ω c )e dω + ∫
jωt
j ∞ 2
0
A(ω + ω c )e jωt dω
}
因为是窄带信号,假设a(t)带宽为(-W,W)
ω c +W j ω c +W j 1 j ωt = A(ω ω c )e dω + ∫ A(ω + ω c )e jωt dω ω c W 2 2π ∫ω c W 2 分别令ω ' = ω ω c;ω ' = ω + ω c
R(τ)
带限白噪声
Pξ(w) n0/2
1/2f0
-f0
f0
r (t ) = ACos (ω c t + θ ) + n(t )
  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。

自Hale Waihona Puke 的实验心得。差; 画出X(n)的理论的自相关函数和功率谱; 估计X(n)的自相关函数和功率谱。 4. 随机信号通过线性系统分析 考虑图示系统 其中w为均匀分布的随机序列,画出输出端的概率密度和直方图。 四、实验结果与分析 1. (a)序列x(n) 的波形如下:
(b ) x(n)的均值是 mean(x)=4.7348, var(x)=12.2727;
figure(5);%subplot(235); Pw=fft(d); W=0:2*pi/N:2*pi-2*pi/N; plot(1:999,abs(Pw)); title('估计出的功率谱');
4. (a)由图可知,系统的差分方程是: ;
程序代码: clear all;clc; n=1:500; w=rand(1,500); x=zeros(1,500); for i=3:500 x(i)=w(i)+0.9*w(i-1)-0.1*w(i-2); end [f,xi]=ksdensity(x); figure(1); plot(xi,f); xlabel('x'); ylabel('f(x)'); title('概率密度'); X=-0.5:0.05:2.5; figure(2); hist(x,X); title('概率直方图');
提示:MATLAB自带的函数为periodogram(),阐述periodogram()的 用法; 阐述其它谱估计方法的用法。 (4)均值的估计 提示:MATLAB自带的函数为mean() (5)方差的估计 提示:MATLAB自带的函数为var() (6) AR(1)模型的理论自相关函数和理论功率谱 对于AR(1)模型,自相关函数为 ,其功率谱为。 三、实验内容 1. 相关高斯随机序列的产生 按如下模型产生一组随机序列,其中为均值为1,方差为4的正态分 布白噪声序列。 (1)产生并画出a=0.8和a=0.2的x(n)的波形; (2)估计x(n)的均值和方差; (3)估计x(n)的自相关函数,并画出相关函数的图形。 2. 两个具有不同频率的正弦信号的识别 设信号为,,其中为零均值正态白噪声,方差为。 (1)假定,针对,和, 两种情况,使用周期图periodogram()的 方法估计功率谱。 (2)假定,,针对和两种情况,用周期图periodogram()的方法估计 功率谱 3. 理论值与估计值的对比分析 设有AR(1)模型, , W(n)是零均值正态白噪声,方差为4。 用MATLAB模拟产生X(n)的500个样本,并估计它的均值和方
五、实验思考题 (1)自相关函数R(m)最大值应该在n=0,用MATLAB估计得到的 结果与理论的结果相同吗?为什么? 答:不相同。因为R(m)的值是一个向量,而此向量的下标是从1 开始的,所以在图中画出来的时候R(m)的最大值是出现在n=N处的(序 列是因果的),而事实上图中的0~2N-1对应了实际的-N+1~N-1。 (2)随机序列的功率谱是以为周期的周期函数,功率谱的周期性 在MATLAB估计得到的结果中是如何体现的? 答:在这次仿真实验中,貌似没有体现出周期性? 六、心得体会 本次实验基本上囊括了课程中所涉及到的基本知识。其实在一开始 做实验的时候内心是比较抵触的,怕做不出来,但是硬着头皮扛下来, 再请教下同学,这个实验也就做下来了。除此之外,我发现,有一个问 题,就是这样的实验结果是出来了,但往往我就忽视了对好不容易得出 的结果的深入分析,这是一点不足之处。 再次,建议在研讨课时,将各组的程序,仿真报告汇总,分发至各 组,这样,可以让我们在课下用这些继续研究,尤其是关于MATLAB 的一些代码(由于没有进行数模竞赛,是这学期才上手MATLAB,有 不少盲点,比如就在此次中,我才明白,randn(n,1)和randn(1,n)的区别 仅仅是一个是列向量,而另一个是行向量),上网也无处可寻,手头上 现有的关于MATLAB的资料,卷帙浩繁,没有太多关于随机信号分析 的内容。 总而言之,这次实验让我在随机信号分析和MATLAB的使用上有了 更深刻的体会。 六、实验要求 (1)个人独立完成实验,切勿抄袭; (2)用MATLAB完成所有要求的实验内容; (3)撰写详细的实验报告,实验报告中应该包括以下內容: 实验内容和原理的简单阐述,分析; 得到的实验结果图形及简要分析,比较; 对“实验思考题”的详细分析和回答;
2. (a)相同方差,不同频率时的频谱图如下:
可以看到,信号中两个频率的谱线还是比较明显的,没有被噪声淹 没。 (b) 相同频率,不同方差时的频谱图如下:
从图中可以预测有这样一个趋势:即噪声方差越大,信号谱线越难以 分辨。这是因为噪声方差越大,信噪比越小,信号越容易被淹没。 代码如下:
clear all; clc; f1=0.05; f2=0.08; N=500; sigma=1; u=randn(1,N); n = 1:N; w=sigma*u(n); x1 =2*cos(2*pi*n*f2)+sin(2*pi*n*f1)+w; subplot(211); periodogram(x1); % plot(x1); title('f1=0.05,f2=0.08'); f21=0.05; f22=0.20; x2 =2*cos(2*pi*n*f22)+sin(2*pi*n*f21)+w; subplot(212); periodogram(x2); title('f1=0.05,f2=0.20');
方差是
(c)估计出的自相关函数波形见上图; 代码如下:
clear all;clc; a1=0.8; sigma=2; N=500; u=randn(N,1); x(1)=sigma*u(1)/sqrt(1-a1^2); for i=2:N x(i)=a1*x(i-1)+sigma*u(i)+1; end subplot(221); plot(x); title('x(n),a=0.8') b=mean(x) % b=1.5035 sigma1=var(x) % sigma1=4.0319 d=xcorr(x,'coeff'); subplot(222); plot(d) title('自相关函数'); a2=0.2; sigma=2; N=500; u=randn(N,1); x(1)=sigma*u(1)/sqrt(1-a1^2); for i=2:N x(i)=a1*x(i-1)+sigma*u(i)+1; end subplot(223); plot(x); title('x(n),a=0.2')
实验报告
实验题目:窄带随机过程的模拟
一、实验目的 了解随机过程特征估计的基本概念和方法,学会运用MATLAB软 件产生各种随机过程,对随机过程的特征进行估计,并通过实验了解不 同估计方法所估计出来的结果之间的差异。 二、实验原理 (1)高斯白噪声的产生 提示:利用MATLAB函数randn产生 (2)自相关函数的估计 提示:MATLAB自带的函数为xcorr(),阐述xcorr的用法 (3)功率谱的估计 利用周期图方法估计功率谱, 其它谱估计方法:…….
3. (a)均值为mx=-0.0217;方差是;
(b)理论的功率谱密度和自相关函数:
(c)估计出的功率谱及自相关函数:
程序代码:
clear all;clc; a=-0.8; sigma=2; N=500; u=randn(1,N); x(1)=sigma*u(1)/sqrt(1-a^2); for n=2:N x(n)=a*x(n-1)+sigma*u(n); end figure(1);%subplot(231); plot(x); title('x(n),a=-0.8') b=mean(x) % b=1.5035 sigma1=var(x) % sigma1=4.0319 nn=-499:499; rx=4*(-0.8).^(abs(nn))/(1-0.8*0.8); [Px,w]=periodogram(x); figure(2); %subplot(232); plot(rx); title('理论的自相关函数'); w=0:pi/250:2*pi; for i=1:501 G(i)=4/(1+0.8*exp(-1j*w(i)))^2; end figure(3);%subplot(233); plot(w,abs(G)); title('理论的功率谱'); xlabel('rad/s') d=xcorr(x,'coeff'); figure(4); %subplot(234); plot(d) title('估计出的自相关函数');
相关文档
最新文档