高考专题-：圆锥曲线题型方法归纳

高考二轮小专题：圆锥曲线题型归纳

1基础知识：

1．直线与圆的方程； 2．椭圆、双曲线、抛物线的定义与标准方程公式；

3．椭圆、双曲线、抛物线的几何性质等相关知识：、、、、、渐近线。

4. 常用结论，特征三角形性质。

2基本方法：

1．待定系数法：求所设直线方程中的系数，求标准方程中的待定系数、、、、等等；

2．齐次方程法：解决求离心率、渐近线、夹角等与比值有关的问题；

3．韦达定理法：直线与曲线方程联立，交点坐标设而不求，用韦达定理写出转化完成。要注意：如果方程的根很容易求出，就不必用韦达定理，而直接计算出两个根；

4．点差法：弦中点问题，端点坐标设而不求。也叫五条等式法：点满足方程两个、中点坐标公式两个、斜率公式一个共五个等式；

5．距离转化法：将斜线上的长度问题、比例问题、向量问题转化水平或竖直方向上的距离问题、比例问题、坐标问题；

3基本思想：

1．“常规求值”问题需要找等式，“求范围”问题需要找不等式；

2．“是否存在”问题当作存在去求，若不存在则计算时自然会无解；

3．证明“过定点”或“定值”，总要设一个或几个参变量，将对象表示出来，再说明与此变量无关；

4．证明不等式，或者求最值时，若不能用几何观察法，则必须用函数思想将对象表示为变量的函数，再解决；

5．有些题思路易成，但难以实施。这就要优化方法，才能使计算具有可行性，关键是积累“转化”的经验；

6．大多数问题只要忠实、准确地将题目每个条件和要求表达出来，即可自然而然产生思路。

4．专题知识特点

⑴用代数的方法研究解决几何问题，重点是用数形结合的思想把几何问题转化为代数问题．

⑵解题思路比较简单，概念公式较多，规律性较强，但运算过程往往比较复杂，对运算能力、恒等变形

能力及综合运用各种数学知识和方法的能力要求较高．

5．专题高考地位

本专题是高中数学的核心内容之一，在历年高考试题中均占有举足轻重的地位，问题总量除包括倒数第1（2）题的压轴题外，还至少包括2~3道小题．

本专题内容在高考题中所占的分值是20多分，占总分值的15%左右．

⑴圆锥曲线中的定义、离心率、焦点三角形、焦半径、通径等知识点是填空题和选择题中的高档试题，难度不高，但方法比较灵活．

⑵直线与圆锥曲线的位置关系容易和平面向量、数列、不等式综合，涉及存在性问题、定值问题、定点问题、求参数问题．

⑶求曲线的轨迹方程是解析几何一个基本问题，是历年来高考的一大热点．

⑷圆锥曲线（包括直线与圆）和函数、数列、不等式、三角、平面向量等知识联系密切．直线与圆锥曲线中的存在性问题、定值问题渐成考试定势．

⑸数形结合思想本身就是解析几何的灵魂，在高考解析几何题中的运用更为常见；分类讨论思想主要体现在解答

题中对参数问题的讨论；等价转化思想：在解题中常化曲为直．

6实例探究

一、求直线、圆锥曲线方程、离心率、弦长、渐近线等常规问题

例1．已知椭圆.过点（2，—1）且方向向量为的直线L交椭圆与A、B两点。

⑴若线段AB的中点为M，求直线OM的斜率（用表示）；

⑵若椭圆的离心率为，焦距为2，求线段AB的长；

⑶在⑵的条件下，设椭圆的左焦点为，求的面积。

点评：常规求值问题的方法：待定系数法，先设后求，关键在于找等式。

二、“是否存在”问题

例2．已知定点A（-2，-4），过点A作倾斜角为45度的直线L，交抛物线（>0）于B、C两点，且线段BC长为。

（I）求抛物线的方程；

（II）在（I）中的抛物线上是否存在点D，使得DB=DC成立？若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由。

（答：。存在点D（2，2）或（8，-4））

三、过定点、定值问题

例 3.已知椭圆C：（>>0），过焦点垂直于长轴的弦长为1，且焦点与短轴两端点构成等边三角

形。

(Ⅰ)求椭圆的方程;

(Ⅱ)过点Q（—1，0）的直线L交椭圆于A、B两点，交直线x = —4于点E，设，。求证：为定值，并计算出该定值。

点评：距离转化法把斜线上的转化为垂直与水平上的，比如向量中的比例以坐标转化，比如抛物线中焦半径与到准线距离的转化。

例4．过抛物线（>0）的焦点F作任意一条直线分别交抛物线于A、B两点，如果（O为原点）的面积是S，求证：为定值。（答：）

点评：证明定值问题的方法：⑴常把变动的元素用参数表示出来，然后证明计算结果与参数无关；⑵也可先在特殊条件下求出定值，再给出一般的证明。

处理定点问题的方法：⑴常把方程中参数的同次项集在一起，并令各项的系数为零，求出定点；⑵也可先取

参数的特殊值探求定点，然后给出证明。

四．最值问题

例5．已知在平面直角坐标系中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为,右顶点为,设点.

（1）求该椭圆的标准方程；

（2）若是椭圆上的动点，求线段中点的轨迹方程；

（3）过原点的直线交椭圆于点，求面积的最大值。

解(1)由已知得椭圆的半长轴a=2,半焦距c=,则半短轴b=1. 又椭圆的焦点在x轴上,

∴椭圆的标准方程为

(2)设线段PA的中点为M(x,y) ,点P的坐标是(x0,y0),

由得点P在椭圆上，得,

∴线段PA中点M的轨迹方程是.

(3)当直线BC垂直于x轴时,BC=2,因此△ABC的面积S△ABC=1.

当直线BC不垂直于x轴时,说该直线方程为y=kx,代入,

解得B(,),C(－,－),

则,又点A到直线BC的距离d=,

∴△ABC的面积S△ABC=于是S△ABC=

由≥－1,得S△ABC≤,其中,当k=－时,等号成立. ∴S△ABC的最大值是.

例6．已知平面内一动点到点F（1，0）的距离与点到轴的距离的等等于1．

（I）求动点的轨迹的方程；

（II）过点作两条斜率存在且互相垂直的直线，设与轨迹相交于点，与轨迹相交于点，